Seferino Yesquen
Matemáticas para Matemáticas para Simulación de Simulación de reservorios reservorios
Seferino Yesquen
Ecuaciones de Flujo
FLUJO LINEAL
Consideremos una porción horizontal
de material poroso, donde
inicialmente la Presión en todo este
elemento es Po y después de un
tiempo la presión en el lado izquierdo
( en x=0) la presión se incrementa a
P1, mientras que la presión en el lado
derecho (en x=L) se mantiene en
Pr=Po
Ecuación de flujo mas simple : Flujo horizontal de un fluido. Solución numérica y analítica para la presión como una función del espacio y del tiempo.
Flujo de
Fluido
x
X=0
X=LP=P1
P=Po
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Ecuaciones de Flujo – Ecuación Diferencial Parcial (EDP)
La EDP para el flujo horizontal en una dimensión, de un liquido en una fase asumiendo permeabilidad, viscosidad y compresibilidad constante para un flujo dependiente del tiempo o transitorio es:
t
P
k
φμc
x
P2
2
Si el flujo alcanza un estado donde no es mas dependiente del tiempo, se denota el flujo como ESTADO ESTABLE. Es decir 0
tP
0
2
2
x
P
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Ecuaciones de Flujo
La distribución de presión en los estados transitorios y estable. Las presiones inicial y en le lado derecho permanecen iguales
Pre
sió
n
Distancia, xx
P Solución
transitoria
Solución estado estable
Presión inicial y en el lado derecho
Presión en el lado izquierdo
Distribución de Presión v/s Distancia
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Solución analítica a la EDP
Cuando el tiempo es muy grande, el termino exponencial se aproxima a cero y la solución resulta en la ecuación de estado estable.
L
xPPPtxP LRL ,
12
22
sinexp12
,n
LRL L
xntc
k
L
n
nL
xPPPtxP
La solución analítica del desarrollo de los transientes de presión en el medio poroso esta dado por:
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Ecuaciones de Flujo – Flujo Radial
Una forma alternativa de la ecuación de flujo horizontal en una dimensión de un liquido, es la ecuación de flujo radial, la cual es usada para la interpretación de ensayo de pozos. En este caso el área de flujo es proporcional a r2, tal como se muestra en la siguiente figura.
r
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La ecuación de flujo radial en el sistema de radial de coordenadas es:
t
P
k
φμc
r
Pr
rr
1
• Para un estado estable la ecuación se simplifica a:
01
r
Pr
rr
• Integrando dos veces para las siguientes condiciones limite: P(r=rw) = Pw y P(r=re) = Pe, la solución para estado estable resulta ser:
w
e
w
e rr
rrwe
w
PPPP ln
ln
Ecuaciones de Flujo – Flujo Radial
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Soluciones de Ecuacions de Flujo
SOLUCION NUMERICA
• Las soluciones analiticas de las ecuaciones de flujo en
un reservorio se obtienen solamente despues de hacer
simplificaciones respecto a la geometria, condiciones y
propiedades que restringen severamente la aplicabilidad
de la solución.
• Para la mayoria de los problemas de reservorios reales,
tales simplificaciones no son validas. Por lo que es
necesario resolver la ecuación numericamente
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Discretización de Ecuación de Flujo
DISCRETIZACION
La ecuación diferencial parcial de flujo lineal se resolverá numéricamente usando aproximaciones de diferencias finitas para los términos que contienen derivadas.
t
P
k
φμc
x
P2
2
Terminos
derivativos
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Discretización de Ecuación de Flujo
•Primero la variable espacio, X, deberá ser subdividida en un numero
discreto de bloque ( grid blocks), y después la variable tiempo deberá
ser dividido en lapsos discretos de tiempo ( time steps ). De esta
manera la presión en cada bloque puede ser resuelta numéricamente
para cada time step.
•Entonces ahora nuestra porción horizontal de material poroso esta
definido en una dimension por un sistema de N bloques cada uno de
longitud Dx
1 Ni-1 i i+1
x
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Discretización de Ecuación de Flujo
• Este proceso nos genera una GRID de bloques centrados, a cada uno de los bloques se les asigna el índice “I” ( en esta caso para x ). Todas las propiedades son iguales en todo el bloque
1 Ni-1 i i+1
x
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Discretización de Ecuación de Flujo
Aproximaciones por serie de Taylor
La serie de Taylor nos proporciona la aproximación
de una función f(x+h) en términos de f(x) y sus
derivadas f´(x) y puede ser escrita como
...'''!3
''!2
'!1
32
xfh
xfh
xfh
xfhxf
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Primera Derivada
...!3
)('''
!2)(''
')(
...!3
'''
!2
''')(
32)()(
3)(2)()()(
hxf
hxf
hfxff
hf
hf
hfxff
Xhx
Xxxhx
)(!32
''''''2
)('
...!3
)(''')(''')('2
22)()(
)()(
3)()(
hOhff
e
eh
ffxf
hxfxf
hxfff
xxtr
trhxhx
hxhx
Dividiendo entre 2h
Restando
De la Serie de Taylor
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Segunda Derivada
...!3
)('''
!2)(''
')(
...!3
'''
!2
''')(
32)()(
3)(2)()()(
hxf
hxf
hfxff
hf
hf
hfxff
xhx
xxxhx
Reordenando
Sumando
De la Serie de Taylor
...!4
''''0
!2
''0)(2 4)(2)(
)()( hf
hf
fxff xxhxhx
)(...!4
''''
2''
...!4
''''2''
22)(
2)()()(
)(
2)(2
)()()()(
hhf
e
eh
ffff
hf
h
ffff
xtr
trhxxhx
x
xhxxhxx
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SERIE DE TAYLORAproximación Lineal de una función
Ejercicio de derivada
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SERIE DE TAYLORAproximación Lineal de una función
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SERIE DE TAYLORAproximación Lineal de una función
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SERIE DE TAYLORAproximación Lineal de una función
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SERIE DE TAYLORAproximación Lineal de una función
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SERIE DE TAYLORAproximación Lineal de una función
Ejercicio de derivada
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Discretización de Ecuación de Flujo
Aproximaciones por serie de Taylor
La serie de Taylor nos proporciona la aproximación de una función
f(x+h) en términos de f(x) y sus derivadas f´(x) y puede ser escrita como
...'''!3
''!2
'!1
32
xfh
xfh
xfh
xfhxf
Aplicando las series de Taylor para la función Presión, podemos
escribir expansiones en una variedad de formas para obtener
aproximaciones a las derivadas en la ecuación lineal de flujo
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Discretización de Ecuación de Flujo
...,'''!3
,''!2
,'!1
,,32
txPx
txPx
txPx
txPtxxP
Aproximación de la derivada de segundo orden en el ESPACIO• Al tiempo constante t, la función presión puede ser
expandida hacia delante y hacia atrás.
...,'''!3
,''!2
,'!1
,,32
txPx
txPx
txPx
txPtxxP
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Discretización de Ecuación de Flujo
...,'''!3
,''!2
,'!1
,,32
txPx
txPx
txPx
txPtxxP
Sumando ambas funciones y despejando para La segunda derivada de Presión tendremos:
...,'''!3
,''!2
,'!1
,,32
txPx
txPx
txPx
txPtxxP
+
...,''''12
,,2,,''
2
2
txP
x
x
txxPtxPtxxPtxP
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Discretización de Ecuación de Flujo
Empleando los índices del sistema de Grid y usando superíndices para indicar el time step, se obtiene:
2
211
2
2 2xO
x
PPP
x
P ti
ti
ti
t
i
ERROR por discretizacion
Aproximacion central de la
segunda derivada
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Discretización de Ecuación de Flujo
2
211
2
2 2xO
x
PPP
x
P ti
ti
ti
t
i
Error de Discretizacion• El resto de los términos de la serie de Taylor son reunidos en el
termino O((Δx)2), indicando que este error es proporcional al tamaño de (Δx)2.
• Este termino de error, el cual en este caso es de segundo orden, se desprecia en simulación numérica.
• Mientras mas pequeño sea el tamaño del grid block usado, menor será el error involucrado.
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Discretización de Ecuación de Flujo
Aproximación de la Derivada del TIEMPO
• En una posición constante, X, la función presión puede ser expandida hacia delante tomando en cuenta el TIEMPO.
...,'''!3
,''!2
,'!1
,,32
txPt
txPt
txPt
txPttxP
...,''2
,,,'
txPt
t
txPttxPtxP
tOt
PP
t
P ti
tti
t
i
Resolviendo para la primera derivada, tenemos la siguiente aproximación.
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Discretización de Ecuación de Flujo
...,'''!3
,''!2
,'!1
,,32
ttxPt
ttxPt
ttxPt
ttxPtxP
...,''2
,,,'
txPt
t
txPttxPtxP
tOt
PP
t
P ti
tti
tt
i
La función de la Presión puede ser expandida hacia atrás tomando en cuenta el TIEMPO.
Resolviendo para la primera derivada, tenemos la siguiente aproximación.
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Discretización de Ecuación de Flujo
La aproximacion central obtenida de las expansiones hacia adelante y hacia atras en un intervalo de Δt /2 es:
...,'''!3
,''!2
,'!1
,, 2
3
22
2
22
22
t
tt
tt
tt txPtxPtxPtxPttxP
...,'''!3
,''!2
,'!1
,, 2
32
2
22
22
2
tt
tt
tt
t txPtxPtxPtxPtxP
tOt
PP
t
P ti
tti
tt
i
2
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Discretización de Ecuación de Flujo
Ecuacion diferencias Explicita• Usamos las aproximaciones determinadas anteriormente al nivel de
tiempo t y la sustituimos en la ecuacion de flujo lineal. • Se obtiene la siguiente ecuacion en diferencias.
Por conveniencia, el termino de error se desprecia y el signo de igualdad se reemplaza por un signo de aproximación
Es importante mantener en mente que los errores involucrados en esta forma numerica de la ecuacion de flujo son proporcionales a ΔX y Δt
t
PP
k
c
x
PPP ti
tti
ti
ti
ti
2
11 2Ni ,...,1
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Condiciones de Frontera
Condiciones de Frontera (Boundary conditions BC's)
• Las fuerzas que hacen que exista flujo desde los limites o fronteras.
• Se tienen dos tipos de condiciones de frontera
Condiciones de fronteraCondiciones de frontera
Condiciones de presión Condiciones de Caudal de Flujo
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Condición de Frontera: Presión
Cuando los limites de presión son especificados, normalmente se
hace referidos al final de las fases del sistema en cuestión. Aplicada al
sistema lineal simple descrito, tenemos los siguientes Condiciones de
frontera o Limite.
Usando el sistema de índicesUsando el sistema de índices
RtN
Lti
PP
PP
0
0
21
21
La razón por lo que se usa i=1/2 y N+1/2 es que las Condiciones de
frontera son aplicados al final del primer y del ultimo bloques,
respectivamente.
R
L
PtLxP
PtxP
0,
0,0
Condiciones de Frontera
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Condición de Frontera: caudal de Flujo
Alternativamente, podemos especificar el caudal de flujo, Q, hacia o desde un limite ó fin de
una fase del sistema. Por ejemplo en el lado izquierdo de nuestro sistema. Haciendo uso de la
Ecuación de flujo de Darcy. Aplicando la expansión de la Serie de Taylor al bloque y haciendo
que la derivada de la presión sea la función, tenemos
0
x
L x
PkAQ
...,'''!2
,''!1
,',0' 1
2
21
21
txPtxPtxPtxPxx
...,'''!2
,''!1
,',' 1
2
21
2121
txPtxPtxPtxP
xxx
Condiciones de Frontera
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Operando convenientemente tenemos :
Condiciones de Frontera
xOAkx
Qx
PP
x
PL
ttt
212
1
2
2
xOAkx
Qx
PP
x
PR
tN
tN
t
N
21
2
2
En el caso de un reservorio real, las condiciones de caudal de flujo
representan normalmente caudales de producción o inyección de pozos .
Un caso especial es cuando no existe flujo en el limite del reservorio, donde
Q=0. Esta condición es especificada
Esta condición es especificada en todos los limites exteriores del
reservorio, entre capas no comunicantes, y en fallas sellantes en el
reservorio.
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Condiciones Iniciales
CONDICIONES INICIALES (Initial condition IC)
La condición inicial de Presión para nuestro sistema horizontal puede ser especificada como
00 PP ti Ni ,...,1
Para el caso de sistemas no horizontales, las presiones hidrostáticas son calculadas normalmente tomando como base una presión referencia y las densidades de los fluidos.
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Solucion de las Ecuacion Diferencial
• Soluciones de las ecuaciones diferenciales
• Habiendo derivado las ecuaciones diferenciales y especificado el
sitema de grid blocks, las condiciones de frontera y las
condiciones iniciales, se puede resolver para determinar la
presión.
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Solucion de las Ecuacion Diferencial
Formulación Explicita
Se puede obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales que pueden ser resueltas explícitamente para las presiones promedio en los grid blocks (i=1, 2,…N) para cada time step. Para el caso de presión constante en la condición de frontera se tiene:
Lttttt PPP
c
k
x
tPP 23 1223
411
t
iti
ti
ti
tti PPP
c
k
x
tPP 112 2
1,...,2 Ni
123
4 32
NtN
tR
tN
ttN PPP
c
k
x
tPP
1i
Ni
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Formulación Implícita
En este caso, todos los time steps en las aproximaciones son cambiados a t+Δt, a excepción para el termino derivada de tiempo.
t
PP
k
c
x
PPP tttL
tttt
112
43
12 23
t
PP
k
c
x
PPP ti
tti
tti
tti
tti
2
11 2
t
PP
k
c
x
PPP tN
ttN
ttN
ttN
ttR
2
43
132
1,...,2 Ni
1i
Ni
Solucion de las Ecuacion Diferencial
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Se ha establecido un juego de ecuaciones de N ecuaciones con N incógnitas, las cuales deberán ser resueltas simultáneamente. Por simplicidad el juego de ecuaciones puede ser escrito como.
itt
iitt
iitt
ii dPcPbPa
11
Ni ,...,1
Ni
a
a
i
,...,2
,1
01
1,...,2
,2
3 43
1
Ni
b
bb
i
N
1,...,2
,1
0
Ni
c
c
i
N
RtNN
tii
Lt
PPd
Ni
Pd
PPd
2
1,...,2
,
2
43
143
1
t
x
k
c 2
Solucion de las Ecuacion Diferencial
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• A - area, m2
• c - compresibilidad, 1/Pa
• k - permeabilidad, m2
• L - longitud, m
• N - numero de grid blocks
• O(...) - error de descritizacion
• P - presion, Pa
• Q - caudal de flujo, Sm3/d
• r - radio, m
• t - tiempo, s
• x - distancia, m
• x, y, z- coordenas en el espacio
x - longitud del of grid block, m
t - time step, s
- porosidad
- viscosidad, Pa·s
Subscripts:
0 - Valor inicial
e - final del resevorios
i - numero del block
L - lado izquierdo
R - lado derecho
w - pozo
Nomenclatura