Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”6
Unidad 6. Ecuaciones e inecuaciones
PÁGINA 106
■ Practica
Ecuaciones: soluciones por tanteo
1 Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones:
a) 2x + 3 = 32 b) √2x + 1 = 9 c) xx + 1 = 8 d) (x – 1)3 = 27
a) 2x + 3 = 32 8 2x + 3 = 25 8 x + 3 = 5 8 x = 2
b) √2x + 1 = 9 8 2x + 1 = 81 8 2x = 80 8 x = 40
c) x x + 1 = 8 8 x = 2 porque 22 + 1 = 23 = 8
d) (x – 1)3 = 27 8 (x – 1)3 = 33 8 x – 1 = 3 8 x = 4
2 Las siguientes ecuaciones tienen más de una solución entera. Búscalas tan-teando.a) (x + 1)2 = 4 b) (x + 1)(x – 3) = 0 c) x2 = 2x d) 3(x – 2)2 = 3
a) (x + 1)2 = 4 8 x + 1 puede ser 2 o –2, esto es x1 = 1 o x2 = –3
b) (x + 1)(x – 3) = 0 8 x1 = –1, x2 = 3
c) x2 = 2x 8 x1 = 0 o x2 = 2
d) 3(x – 2)2 = 3 8 (x – 2)2 = 1 8 x – 2 es 1 o –1, esto es, x1 = 3 o x2 = 1
3 Busca por tanteo, con la calculadora, una solución aproximada hasta las déci-mas.a) x3 + x2 = 20 b) xx = 35 c) 3x = 1 000 d) x3 = 30
a)
23 + 22 = 8 + 4 = 1233 + 32 = 27 + 9 = 36
°¢£
Por tanto, la solución está entre 2 y 3.Probemos con 2,4; 2,5; 2,6; …
2,43 + 2,42 = 19,5842,53 + 2,52 = 21,875
°¢£ Por tanto, la solución es 2,4.
b)
33 = 2744 = 256
°¢£ La solución está entre 3 y 4. Probemos con 3,1; 3,2; …
3,13,1 = 33,363,23,2 = 41,35
°¢£ La solución más próxima es x = 3,1.
c)
36 = 72937 = 2 187
°¢£ La solución está entre 6 y 7. Probemos con 6,2; 6,3; …
36,2 = 908,1436,3 = 1 013,59
°¢£ La solución más próxima es x = 6,3.
d)
33 = 2743 = 64
°¢£ La solución está entre 3 y 4. Probemos con 3,1; 3,2; …
3,13 = 29,7913,23 = 32,768
°¢£ La solución es x = 3,1.
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Unidad 6. Ecuaciones e inecuaciones
Ecuaciones de primer grado
4 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 1 – 2x9
= 1 – x + 46
b) 3x + 25
– 4x – 110
+ 5x – 28
= x + 14
c) x – 32
– 5x + 13
= 1 – 9x6
a) Multiplicamos ambos miembros por 18 y simplificamos:
2(1 – 2x) = 18 – 3(x + 4) 8 2 – 4x = 6 – 3x 8 2 – 6 = 4x – 3x 8 x = – 4
b) Multiplicamos la expresión por 40 y simplificamos:
8(3x + 2) – 4(4x – 1) + 5(5x – 2) = 10(x – 1) 8
8 24x + 16 – 16x + 4 + 25x – 10 = 10x + 10 8 23x = 0 8 x = 0
c) Multiplicamos ambos miembros por 6 y simplificamos:
3(x – 3) – 2(5x + 1) = 1 – 9x 8 3x – 9 – 10x – 2 = 1 – 9x 8 2x = 12 8 x = 6
5 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 1 + 12x4
+ x – 42
= 3(x + 1) – (1 – x)8
b) 3x – 26
– 4x + 110
= – 215
– 2(x – 3)4
c) 2x – 36
– 3(x – 1)4
– 2(3 – x)6
+ 58
= 0
a) Multiplicamos toda la ecuación por 8:
2(1 + 12x) + 4(x – 4) = 3(x + 1) – (1 – x) 8 24x – 16 = 0 8 x = 1624
= 23
b) Multiplicamos la ecuación por 60:
10(3x – 2) – 6(4x + 1) = –2 · 4 – 15 · 2(x – 3) 8
8 30x – 20 – 24x – 6 = –8 – 30x + 90 8 36x = 108 8 x = 10836
= 3
c) Multiplicamos toda la ecuación por 24:
4(2x – 3) – 6 · 3(x – 1) – 4 · 2(3 – x) + 3 · 5 = 0 8
8 8x – 12 – 18x + 18 – 24 + 8x + 15 = 0 8 –2x = 3 8 x = – 32
6 Las siguientes ecuaciones son de primer grado. Compruébalo y resuélvelas:a) (x + 1)2 + (x – 2)2 = (x + 2)2 + (x – 1)2 b) 4(x – 3)(x + 3) – (2x + 1)2 = 3
c) x + 35
+ (x – 1)2
4 = x 2 + 1
4 d) (x – 3)2
4 – (2x – 1)2
16 = 35
16Para comprobar que son ecuaciones de primer grado, simplificamos las ecuaciones al máximo antes de resolverlas:
a) x2 + 2x + 1 + x2 – 4x + 4 = x2 + 4x + 4 + x2 – 2x + 1 8 –2x + 5 = 2x + 5 8
8 – 4x = 0 8 x = 0
b) 4(x2 – 9) – 4x2 – 4x – 1 = 3 8 4x2 – 36 – 4x2 – 4x – 1 = 3 8
8 –4x = 40 8 x = 40– 4
= –10
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Unidad 6. Ecuaciones e inecuaciones
c) Multiplicamos la ecuación por 20:
4(x + 3) + 5(x – 1)2 = 5(x2 + 1) 8 4x + 12 + 5(x2 – 2x + 1) = 5x2 + 1 8
8 4x + 12 + 5x2 – 10x + 5 = 5x2 + 1 8 –6x = –16 8 x = 166
8 x = 83
d) 4(x2 + 9 – 6x) – (4x2 + 1 – 4x) = 35 8 4x2 + 36 – 24x – 4x2 – 1 + 4x = 35 8
8 20x = 0 8 x = 0
Ecuaciones de segundo grado
7 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x2 – 2x – 3 = 0 b) 2x2 – 7x – 4 = 0 c) 2x2 – 5x – 3 = 0 d) x2 + x + 2 = 0
a) x = 2 ± √4 + 122
= 2 ± √162
= 2 ± 42
x1 = 3x2 = –1
b) x = 7 ± √49 + 324
= 7 ± √814
= 7 ± 94
x1 = 4
x2 = –24
= – 12
c) x = 5 ± √25 + 244
= 5 ± 74
x1 = 3
x2 = –24
= – 12
d) x = –1 ± √1 – 82
= –1 ± √–72
No tiene solución.
8 Resuelve:
a) 4x2 – 64 = 0 b) 3x2 – 9x = 0 c) 2x2 + 5x = 0 d) 2x2 – 8 = 0
a) 4x2 = 64 8 x2 = 644
8 x2 = 16 8 x1 = 4, x2 = –4
b) 3x (x – 3) = 0 x1 = 0x – 3 = 0 8 x2 = 3
c) x(2x + 5) = 0
x1 = 0
2x + 5 = 0 8 x2 = –52
d) 2x2 = 8 8 x4 = 4 8 x1 = –2, x2 = 2
9 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) –2x2 – x + 3 = 0 b) 25 – 100x2 = 0
c) 52
x2 + 3x = 0 d) –x2 + 3x + 10 = 0
a) x = 1 ± √1 + 24– 4
= 1 ± √25– 4
= 1 ± 5– 4
x1 = – 6
4 = – 3
2x2 = 1
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Unidad 6. Ecuaciones e inecuaciones
b) Despejamos x2 8 x2 = 25100
8 x = ± √ 25100
= ± 510
8 x1 = – 12
, x2 = 12
c) Sacamos x factor común 8 x (52 x + 3) = 0
x1 = 052
+ 3 = 0 8 x2 = – 65
d) x = –3 ± √9 + 402
= –3 ± 72
x1 = 5x2 = –2
10 Resuelve:a) (x – 3)(x + 3) + (x – 4)(x + 4) = 25b) (x + 1)(x – 3) + (x – 2)(x – 3) = x2 – 3x – 1c) x (x – 3) + (x + 4)(x – 4) = 2 – 3xd) 3x (x + 4) – x (x – 1) = 13x + 8
a) x2 – 9 + x2 – 16 = 25 8 2x2 = 50 8 x2 = 25 x1 = 5x2 = –5
b) x2 + x – 3x – 3 + x2 – 5x + 6 = x2 – 3x – 1 8
8 x2 – 4x + 4 = 0 8 (x – 2)2 = 0 8 x = 2
c) x2 – 3x + x2 – 16 = 2 – 3x 8 2x2 = 18 8 x2 = 9 x1 = 3x2 = –3
d) 3x2 + 12x – x2 + x = 13x + 8 8 2x2 = 8 8 x2 = 4 8 x1 = –2, x2 = 2
11 Las siguientes ecuaciones son de segundo grado e incompletas. Resuélvelas sin aplicar la fórmula general:
a) (3x + 1)(3x – 1) + (x – 2)2
2 = 1 – 2x b) x 2 + 2
3 – x 2 + 1
4 = x + 5
12
c) (2x – 1)(2x + 1)3
= 3x – 26
+ x 2
3
a) 9x2 – 1 + x 2 – 4x + 42
= 1 – 2x 8 18x2 – 2 + x2 – 4x + 4 = 2 – 4x 8 19x2 = 0 8 x = 0
b) Multiplicamos toda la ecuación por 12:
4(x2 + 2) – 3(x2 + 1) = x + 5 8 4x2 + 8 – 3x2 – 3 = x + 5 8
8 x2 – x = 0 8 x(x – 1) = 0 x1 = 0x2 = 1
c) Multiplicamos la ecuación por 6:
2(2x – 1)(2x + 1) = 3x – 2 + 2x2 8 2(4x2 – 1) = 3x – 2 + 2x2 8 6x2 – 3x = 0 8
8 3x(2x – 1) = 0
x1 = 0
2x – 1 = 0 8 x2 = 12
12 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) (2x + 1)2 = 1 + (x – 1)(x + 1) b) (x + 1)(x – 3)2
+ x = x4
c) x + 3x + 12
– x – 23
= x2 – 2 d) x(x – 1)3
– x(x + 1)4
+ 3x + 412
= 0
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Unidad 6. Ecuaciones e inecuaciones
a) 4x2 + 1 + 4x = 1 + x2 – 1 8 3x2 + 4x + 1 = 0
x = – 4 ± √16 – 126
= – 4 ± 26
x1 = –1/3x2 = –1
b) x 2 – 2x – 32
+ x = x4
8 2x2 – 4x – 6 + 4x = x 8 2x2 – x – 6 = 0
x = 1 ± √1 + 484
= 1 ± 74
x1 = 2x2 = –3/2
c) 6x + 9x + 3 – 2x + 4 = 6x2 – 12 8 6x2 – 13x – 19 = 0
x = 13 ± √169 + 45612
= 13 ± 2512
x1 = 19/6x2 = –1
d) 4x (x – 1) – 3x (x + 1) + 3x + 4 = 0 8 4x2 – 4x – 3x2 – 3x + 3x + 4 = 0 8
8 x2 – 4x + 4 = 0 8 x = 4 ± √16 – 162
= 2
Otros tipos de ecuaciones
13 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) (2x – 5)(x + 7) = 0 b) (x – 2)(4x + 6) = 0
c) (x + 2)(x2 + 4) = 0 d) (3x + 1)(x2 + x – 2) = 0
a) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:
2x – 5 = 0 8 x = 5
2x + 7 = 0 8 x = –7
°§¢§£
Soluciones: x1 = –7, x2 = 52
b) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:
x – 2 = 0 8 x = 2
4x + 6 = 0 8 x = – 64
= – 32
°§¢§£
Soluciones: x1 = – 32
, x2 = 2
c) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:
x + 2 = 0 8 x = –2x2 + 4 = 0 8 x2 = – 4 No tiene solución.
°¢£ Solución: x = –2
d) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:
3x + 1 = 0 8 x = – 1
3
x 2 + x – 2 = 0 8 x = –1 ± √1 + 82
= –1 ± 32
1–2
°§¢§£
Soluciones: x1 = –2, x2 = –1
3, x3 = 1
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