NOTAS
Se pretende a continuación exponer la resolución de problemas relacionados a la espintrónica extraídos de distintos libros de texto que tratan tal materia.
Esta presentación contiene muchos hipervínculos asociados con conceptos, personajes, etc. para una fácil lectura y acceder a información ampliada al respecto.
Las operaciones matemáticas están vinculadas a Wolfram Alpha, el cúal se encarga de computarlas en una interfaz similar a un buscador tradicional. 2
SPIN
. Pro
ble
mas re
suelto
s. Escu
ela
de
física, U
NA
H.
ECUACIONES DE LA MECÁNICA CUÁNTICA
Ecuación de
Schrodinger
Ecuación de Dirac
Ecuación de Klein Gordon
Ecuación de Pauli
1926
No relativista
No toma en cuenta espín
1927
No relativista
Partículas espín ½ (e.g. electrón)
1927
Relativista
No toma en cuenta espín (e.g. pión)
1928
Relativista
Partículas spin ½ (e.g. electrón)
Línea de tiempo 3
SPIN
. Pro
ble
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s. Escu
ela
de
física, U
NA
H.
ECUACIONES DE LA MECÁNICA CUÁNTICA
4
Irwin Schrödinger Wolfgang Pauli
Paul DiracOscar Klein
SPIN
. Pro
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s. Escu
ela
de
física, U
NA
H.
PROBLEMA I [1]
Mostrar que los operadores , y satisfacen las siguientes ecuaciones:
xS yS zS
5
x y y x zS S S S i S
2 2 2 2 23| | [ ]
4x y zS S S S I
SPIN
. Pro
ble
mas re
suelto
s. Escu
ela
de
física, U
NA
H.
SOLUCIÓN
Los componentes del espín podemos expresarlos en función de tres matrices adimensionales ,
y como sigue:
2
2
2
x x
y y
z z
S
S
S
0 1
1 0
0
0
1 0
0 1
x
y
z
i
i
6
x y
z
SPIN
. Pro
ble
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suelto
s. Escu
ela
de
física, U
NA
H.
SOLUCIÓN
A este punto, es importante mencionar que las matrices , y son llamadas matrices de Pauli cuyos valores propios son . Los vectores propios correspondientes a éstos se les conoce como espinores y se denotan como .
Matemáticamente y mostrando la analogía con algún operador con vector propio y valor propio :
7
x zy1
A v v
1 , ,i i ii x y z
i
vA
SPIN
. Pro
ble
mas re
suelto
s. Escu
ela
de
física, U
NA
H.
SOLUCIÓN
Por ejemplo, los vectores propios para son:
De modo que debe cumplirse (haz encima para verificarlo en Wolfram):
8
x
11
12x
11
12x
1 10 1 2 2
11 0 1 1
2 2
1x x x 1x x x
1 10 1 2 2
11 0 1 1
2 2
SPIN
. Pro
ble
mas re
suelto
s. Escu
ela
de
física, U
NA
H.
SOLUCIÓN
Entonces, por sustitución directa:
2 2
2
2 2 2 2
0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 04 4
0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 04
x y y x x y y xS S S S
i i
i i
i i
i i
sigue….
9
SPIN
. Pro
ble
mas re
suelto
s. Escu
ela
de
física, U
NA
H.
SOLUCIÓN
…continúa:
2
2 2
0 0
0 04
2 0 1 0
0 2 0 14 2
1 0
0 12 2
x y y x
z
i iS S S S
i i
i i
i
i i
x y y x zS S S S i S 10
SPIN
. Pro
ble
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suelto
s. Escu
ela
de
física, U
NA
H.
SOLUCIÓN
Para corroborar la segunda identidad procedemos de forma similar:
2 2 2
2 2 2 2
2 2 22 2 2
2 2 22
0 1 0 1 0| |
1 0 0 0 12 2 2
0 1 0 1 0
1 0 0 0 14 4 4
0 1 0 1 0
1 0 0 0 14
x y z
iS S S S
i
i
i
i
i
sigue….
11
SPIN
. Pro
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suelto
s. Escu
ela
de
física, U
NA
H.
SOLUCIÓN
…continúa:
2 2 22
2 22
2 2
0 1 0 1 0 0 1 0 1 0| |
1 0 1 0 0 0 0 1 0 14 4 4
1 0 1 0 1 0 3 0 1 03
0 1 0 1 0 1 0 3 0 14 4 4
3| | [ ]
4
i iS
i i
S I
12
SPIN
. Pro
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mas re
suelto
s. Escu
ela
de
física, U
NA
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PROBLEMA II [2]
Suponga que un electrón se prepara en el espinor del vector propio de , con valor propio y mediciones repetitivas se realizan del componente de su momento angular intrínseco, calcular el valor promedio y la desviación estándar de estas mediciones.
0zS 2
x
xS
xS
13
SPIN
. Pro
ble
mas re
suelto
s. Escu
ela
de
física, U
NA
H.
SOLUCIÓN
Podemos expresar (y cualquier operador) de una forma conveniente llamada descomposición espectral, dado por [3] :
Esta forma es de gran utilidad ya que nos permite calcular las probabilidades de obtener una valor propio en particular.
0 1
1 02 2 2x x x x xS
14
xS
ˆj j j jQ e e e
2 2| | | | | | |n n n ne e e
SPIN
. Pro
ble
mas re
suelto
s. Escu
ela
de
física, U
NA
H.
SOLUCIÓN
Para nuestro caso específico
Y respecto al valor esperado
1 1 11 1| 1 0 1 1 1 1
1 1 02 2 2 2
1 1{1 0}{1 0} {1 0}{1 0}
2 2 2 2
1
2 2
x xz z
x
x
S S
S
S
1 0
2 2
15
SPIN
. Pro
ble
mas re
suelto
s. Escu
ela
de
física, U
NA
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1 11 11 1 1 1
1 12 2 2 2xS
SOLUCIÓN
Pero hay un método más fácil. Recordemos que el valor esperado lo podemos obtener como sigue:
Esto es:
Precisamente es lo que esperábamos ya que el electrón se encuentra en el está polarizado [1]
16
0 1 10 | | 0 1 0 0
1 0 02x xS S
|Q Q
z
SPIN
. Pro
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s. Escu
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de
física, U
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SOLUCIÓN
Por último, la desviación la podemos calcular por definición:
2 2 2
1 2
1 2
( )
0 1 0 10 | | 0
1 0 1 02
0 1 0 1 11 0
1 0 1 0 02 2
x x x xS S S S
17
SPIN
. Pro
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suelto
s. Escu
ela
de
física, U
NA
H.
BIBLIOGRAFÍA
1. Bandyopadhyay, S., & Cahay, M. (2008). Introduction to Spintronics. In S. Bandyopadhyay, & M. Cahay, Introduction to Spintronics (p. 33). CRC Press.
2. Bandyopadhyay, S., & Cahay, M. (2008). Introduction to Spintronics. In S. Bandyopadhyay, & M. Cahay, Introduction to Spintronics (p. 40). CRC Press.
3. Griffiths, D. Introduction to Quantum Mechanics. In D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (pp. 105, 119). New Jersey: Prentice Hall.
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