Matemática para ingenieros 1
01. A continuación se presentan cuatro proposiciones. Justifique, a través de las propiedades de los vectores en
y , por qué dichas proposiciones son falsas.
I. En , si es paralelo a entonces y tienen el mismo vector unitario.
II. En , al calcular producto se obtiene un vector en la misma dirección de .
III. Los vectores , forman un ángulo agudo.
IV. El punto pertenece a la recta cuya ecuación vectorial es .
Resolución
I. Si
sea , entonces
, entonces
II.
para que tenga la mima dirección
no existe valor de que cumpla la igualdad
Matemática para ingenieros 2
III.
, entonces es obtuso
IV. Si pertenece a la recta
entonces
no existe valor de que cumpla la igualdad
02. A continuación se presentan cuatro proposiciones falsas:
I. El sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado.
II. El sistema de ecuaciones lineales es incompatible.
III. No existe un valor del conjunto que haga a un sistema incompatible.
IV. El sistema es compatible indeterminado para todo . Según esto efectúe lo siguiente:
a) Justifique, sin usar las propiedades del rango de una matriz, por qué dichas proposiciones son falsas.
b) Justifique, a través de las propiedades del rango de una matriz, por qué dichas proposiciones son falsas.
Resolución
a) I. dividiendo entre cuatro la segunda ecuación
,
Matemática para ingenieros 3
II. , sumando todas las ecuaciones
reemplazando en (1) la primera ecuación
reemplazando en la segunda ecuación
entonces
entonces existe una única solución
III. restando la segunda ecuación menos la primera ecuación
entonces será incompatible si
IV.
si el sistema de ecuaciones tiene una única solución
b) I. efectuando
entonces
Por el Teorema de Rouche Frobenius
Si , el sistema es incompatible
Matemática para ingenieros 4
II. efectuando
efectuando
entonces
Por el Teorema de Rouche Frobenius
Si , el sistema es compatible determinada
III. efectuando
entonces
• Si
entonces
Por el Teorema de Rouche Frobenius
Si , el sistema es compatible determinada
• Si
entonces
Por el Teorema de Rouche Frobenius
Si , el sistema es incompatible
Matemática para ingenieros 5
IV. efectuando
Si
entonces
Por el Teorema de Rouche Frobenius
Si , el sistema es compatible determinada
03. Dos rectas y tienen vectores direccionales y respectivamente. Su intersección es
el punto . ¿Cuál es la ecuación vectorial de la recta que pasa por y determina con
y un triángulo de 6 unidades de área?
Resolución
a
a
b
b
a t(4;0;3)
b r(-3; 11;4) (31
5;2;17
5)
L1
L2
L3
Matemática para ingenieros 6De los datos
,
... (1)
,
,
como y están en la misma recta, entonces
de la primera igualdad
reemplazando en (1)
entonces
Matemática para ingenieros 704. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas y que es
perpendicular e intersecta a la recta ,
Resolución
El punto tiene la forma
entonces
como y son perpendiculares, entonces
entonces
entonces y
05. Dada la matriz , calcule:
a) La matriz de cofactores de la matriz
b) La matriz
c) La matriz
Resolución
Matemática para ingenieros 8a) Los cofactores son:
b) Sea
entonces
c)
Matemática para ingenieros 9
06. Dada la recta , y el punto que se encuentra a unidades de distancia
a la recta . Halle las coordenadas de que es el simétrico de respecto tal como se muestra en la figura.
Resolución
Sea en punto de corte de la recta y el segmento , entonces tiene la forma
es perpendicular a , entonces
entonces , entonces
es el punto medio de y
entonces
Matemática para ingenieros 1007. Se sabe que, una función es impar cuando satisface que y que es par cuando satisface
. A continuación se presentan tres proposiciones, justifique a través de las propiedades descritas de
las funciones pares e impares, por qué dichas proposiciones son verdaderas.
I. La función representada por es par.
II. La función representada por , es par e impar a la vez.
III. La función representada por es impar.
Resolución
I.
entonces es par
II.
entonces es par
entonces es impar
entonces es par e impar a la vez
Matemática para ingenieros 11
III.
entonces es impar
08. Dada la matriz donde
a) Determine la matriz inversa de
b) Use el resultado obtenido en el ítem anterior para determinar el conjunto solución de
Resolución
a)
como
Matemática para ingenieros 12
b)
es equivalente a
sea ; ;
entonces
entonces
09. A continuación se presentan tres proposiciones. Justifique a través de las propiedades de las funciones, por qué
dichas proposiciones son verdaderas.
I. La inversa de una función impar es también impar.
II. La composición de funciones impares es una función impar.
III. Si es par, la composición es par.
Resolución
I. es impar, entonces
entonces es impar
Matemática para ingenieros 13II. es impar, entonces
es impar, entonces
, porque es impar
, porque es impar
entonces es impar
III. es par, entonces
, porque es par
entonces es par
10. A partir del sistema de ecuaciones:
se modeló la matriz ampliada
y luego de un proceso de escalonamiento se obtuvo
a) Calcule el valor de para que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible indeterminado.
b) Calcule el valor de para que el sistema de ecuaciones lineales sea incompatible.
Resolución
a)
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b)
15. Dada la función definida por , , , ¿cuál es el máximo valor de para que
exista?
Resolución
Para que tenga inversa debe de ser inyectiva
es una parábola de vértice y se abre hacia abajo
por lo que no es inyectiva, porque al trazar horizontales corta en más de un punto
Será inyectiva en el intervalo o o
como la función está determinada en el dominio , entonces el máximo valor de “ ” para que sea
inyectiva es