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Tema 12 Probabilidad
La teoriacutea de la probabilidad tuvo sus inicios en el anaacutelisis de los juegos de azar de siglo XVII En
este tema trataremos aspectos relaciones con la teoriacutea de probabilidad En primer lugar se hace
una aproximacioacuten intuitiva a la nocioacuten de experimento aleatorio suceso y a la idea de
probabilidad Maacutes adelante estos conceptos se formalizan con el estudio de las propiedades
asociadas a los espacios probabiliacutesticos y con las distintas aproximaciones a la probabilidad como
por ejemplo la conocida Ley de Laplace
1 Factorial de un nuacutemero y nuacutemeros combinatorios
Previamente a introducir las teacutecnicas de conteo recordamos estos dos conceptos baacutesicos
bull Factorial de un nuacutemero n el factorial de n se denota 119899 y se calcula de la siguiente forma
119899 = 119899 middot (119899 minus 1) middot (119899 minus 2) middot hellip middot 3 middot 2 middot 1
Propiedades
- 0 = 1
- 119899 = 119899 middot (119899 minus 1)
bull Nuacutemero combinatorio se define como ldquon sobre mrdquo y se calcula de la siguiente forma
(119899119898) =
119899
119898 middot (119899 minus 119898)
2 Teacutecnicas de recuento Combinatoria
En el Caacutelculo de Probabilidades a menudo se presentan conjuntos demasiado grandes como para
poder enumerar exhaustivamente sus elementos aunque por otra parte obedecen a unas reglas
de formacioacuten fijas que permiten construir procedimientos para conocer su cardinal sin necesidad
de elaborar una lista de elementos La Combinatoria agrupa los procedimientos orientados a
contabilizar el nuacutemero de elementos de conjuntos de este tipo sin necesidad de enumeraciones Se
encarga de analizar las formas de agrupar u ordenar los elementos de un conjunto siguiendo
determinadas reglas y tambieacuten estudia las formas en las que un suceso puede acontecer
Empezaremos el tema recordando las configuraciones de conteo habituales variaciones
permutaciones combinaciones (con y sin repeticioacuten) asiacute como la teacutecnica de diagrama en aacuterbol
21 Diagrama en aacuterbol se trata de un meacutetodo graacutefico de conteo que consiste en ir sentildealando
todos los posibles resultados simulando las ramas de un aacuterbol
Ejemplo
Determina el nuacutemero de palabras distintas de 5 letras que puedan formarse con las letras
A E I L M N P de forma que haya una vocal en la primera posicioacuten
Para ello deben rellenarse cinco posibles posiciones (1 para cada letra) || || || || || ||
La primera posicioacuten debe ocuparse por una vocal y para ello hay tres elecciones posibles
A E I
|| 3 || || || || ||
La segunda posicioacuten debe ocuparse por una letra diferente de la primera de modo que sea
cual sea la primera hay 6 posibilidades
|| 3 || 6 || || || ||
Elegidas la primera y la segunda letras hay 5 elecciones posibles para la tercera posicioacuten
|| 3 || 6 || 5 || || ||
Razonando anaacutelogamente de esta misma forma para las posiciones restantes
2
|| 3 || 6 || 5 || 4 || 3 ||
Es decir el nuacutemero de palabras distintas es 3 middot 6 middot 5 middot 4 middot 3 = 1080
El resultado final del ejemplo sigue una regla de conteo (diagrama en aacuterbol) si los
conjuntos 1198601 1198602 hellip119860119896 tienen 1198991 1198992 hellip 119899119896 elementos respectivamente entonces el producto
cartesiano 11986011199091198602119909 hellip119909119860119896 tiene 11989911199091198992119909hellip119909119899119896 elementos
22 Variaciones ordinarias (sin repeticioacuten) de n elementos tomados de m en m (119951 gt 119950)
consiste en enumerar todos los posibles grupos diferentes de m elementos a partir de n
elementos
- Los elementos no pueden repetirse
- Siacute importa el orden en el que los colocamos
119933119951119950 =119951
(119951 minus119950)
Ejemplo iquestDe cuaacutentas formas pueden recibir el oro la plata y el bronce los 10 participantes de una
carrera de atletismo
En este caso se trata de variaciones sin repeticioacuten de 10 elementos tomados de 3 en 3
119881103 =10
(10 minus 3)=10
7= 10 middot 9 middot 8 = 720 119891119900119903119898119886119904
23 Variaciones con repeticioacuten de n elementos tomados de m en m en este caso al tomar
los m elementos del conjunto de n elementos inicial estos siacute pueden repetirse
- Los elementos pueden repetirse
- Siacute importa el orden en el que los colocamos
119933119929119951119950 = 119951119950
Ejemplo iquestCuaacutentos coacutedigos de longitud 10 se pueden formar combinando los signos + y - Para la primera posicioacuten tenemos dos posibilidades + o ndash para la segunda posicioacuten
tendriacuteamos de nuevo dos posibilidades + o ndash
Razonando anaacutelogamente por el resto de posiciones tendriacuteamos dos posibilidades en cada
una de ellas por lo tanto
2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 210 Es decir se trata de 119881119877210 = 2
10
24 Permutaciones (sin repeticioacuten) de n elementos se trata de variaciones ordinarias en las que 119899 = 119898
119927119951 = 119951
Ejemplo iquestDe cuaacutentas formas pueden sentarse 5 amigos en 5 asientos consecutivos del cine
En el primer asiento de la izquierda pueden sentarse cualquiera de los 5 en el asiento
consecutivo cualquiera de los 4 restantes y asiacute sucesivamente
Es decir hay 5 middot 4 middot 3 middot 2 middot 1 = 120 formas
25 Permutaciones con repeticioacuten de n elementos se trata de permutaciones de n
elementos donde hay elementos que se repiten
119927119951119951120783119951120784hellip119951119948 =
119951
119951120783 middot 119951120784 middot hellip middot 119951119948
3
Ejemplo
En un bar cinco amigos han pedido 3 zumos de naranja y 2 botellas de agua Contabilizar
de cuaacutentas maneras pueden consumir las cinco bebidas
En total hay 5 elementos pero uno aparece repetido 3 veces y el otro aparece repetido 2
veces Por tanto se trata de permutaciones con repeticioacuten
119875532 =
5
3 middot 2= 10 119891119900119903119898119886119904
En general una coleccioacuten de 119899 objetos clasificados en 119896 grupos de objetos ideacutenticos entre
siacute el primero con 1198991 objetos el segundo con 1198992 objetos etc puede ordenarse en fila de
maneras distintas si no se consideran diferentes las ordenaciones donde dos objetos
iguales han permutado su posicioacuten En este caso se habla de permutaciones de 119899 objetos
de los que 1198991 son iguales entre siacute 1198992 objetos son iguales entre siacute etc o simplemente
permutaciones con repeticioacuten 11987511987711989911989911198992hellip119899119896
26 Combinaciones de n elementos tomados de m en m consiste en enumerar todos los
posibles subconjuntos de m elementos a partir de n elementos
- Los elementos no pueden repetirse
- No importa el orden en el que los colocamos
119914119951119950 = (119951119950) =
119951
119950 middot (119951 minus119950)
Ejemplo
Tenemos una urna con 10 bolas de diferente color y extraemos dos al azar iquestcuaacutentas
combinaciones posibles existen
Habraacute tantas combinaciones como formas posibles de extraer dos bolas de la urna es decir
119862102 = (102) =
10
2 middot (10 minus 2)=
10
2 middot 8= 45 119888119900119898119887119894119899119886119888119894119900119899119890119904
27 Combinaciones con repeticioacuten
iquestDe cuaacutentas maneras diferentes se pueden repartir 119903 = 7 bolas ideacutenticas en 119899 = 5 urnas
Las 119899 = 5 urnas son representadas por los espacios comprendidos entre 119899 + 1 = 6 barras
verticales por ejemplo la secuencia
| |∎| ∎∎ | ∎∎∎ | ∎ |
corresponde al reparto donde la urna 1 estaacute vaciacutea las urnas 2 y 5 contienen 1 bola la urna
3 contiene 2 bolas y la urna 4 contiene 3 bolas El reparto de 119903 = 7 bolas en 119899 = 5 urnas
supone emplear 119903 = 7 siacutembolos ∎ y 119899 + 1 = 6 barras verticales | Dos siacutembolos | aparecen
fijos (la primera y la uacuteltima barra que indican el comienzo de la urna 1 y el final de la urna
119899 = 5 respectivamente) y los restantes 119899 + 119903 ndash 1 = 11 (es decir 119903 + (119899 + 1)1048576 minus 2)
siacutembolos aparecen en orden arbitrario Hay tantos repartos de 119903 = 7 bolas en 119899 = 5 urnas
como formas distintas de ordenar esos 119899 + 119903 1048576 minus 1 = 11 elementos (119899 + 119903 minus 1)
(119899 minus 1) middot 119903= 119862119877119899119903 = (
119899 + 119903 minus 1119903
) = 11986211987757 = (117) =
11
7 middot 4= 330
3 Experimentos aleatorios
Existen fenoacutemenos donde la concurrencia de unas circunstancias fijas no permite anticipar
cuaacutel seraacute el efecto producido Por ejemplo si una moneda cae al suelo no es posible conocer
por anticipado el punto exacto donde iraacute a parar cuando se colocan bolas ideacutenticas numeradas
4
en una bolsa y se extrae una bola a ciegas no es posible determinar con total certeza queacute bola
seraacute elegida etc
Estos experimentos son llamados aleatorios puesto que el resultado del fenoacutemeno en estudio
es consecuencia del azar Los experimentos no aleatorios se llaman deterministas
En estas situaciones el caraacutecter impredecible del azar hace inuacutetil cualquier intento de hallar
reglas deterministas que rijan la aparicioacuten de los resultados individuales Sin embargo es falso
decir que el azar no estaacute sometido a leyes lo que ocurre es que no son leyes necesarias que
determinen uniacutevocamente el resultado de cada experimento sino que atantildeen a la frecuencia de
los resultados que se obtienen cuando el fenoacutemeno se repite un gran nuacutemero de veces
El Caacutelculo de Probabilidades se ocupa de estudiar experimentos aleatorios es decir
situaciones que repetidas bajo condiciones ideacutenticas pueden dar lugar a diversos resultados
1198601 1198602 hellip de manera que no puede predecirse con certeza absoluta cuaacutel de ellos ocurriraacute
Ante fenoacutemenos de azar la tendencia natural es tratar de medir el grado de verosimilitud de
los diversos acontecimientos posibles asignando una probabilidad a cada uno de ellos es decir
un valor numeacuterico que informa de la frecuencia con que hay que esperar que se presente cada
uno despueacutes de numerosas observaciones del fenoacutemeno En concreto la probabilidad de cada
acontecimiento posible es un nuacutemero de [0 1] que expresa la frecuencia teoacuterica con que dicho
acontecimiento se presentaraacute en una serie indefinidamente larga de repeticiones del
experimento realizadas en condiciones ideacutenticas
En el estudio de un experimento aleatorio hay dos conceptos fundamentales
bull Los posibles acontecimientos que pueden producirse es decir el espacio muestral y sus
correspondientes sucesos
bull La valoracioacuten de la probabilidad de los acontecimientos posibles
4 Espacio muestral y sucesos aleatorios
En primer lugar introducimos las siguientes definiciones
41 Definiciones
En un experimento aleatorio el espacio muestral se conoce como el conjunto de todos los
resultados posibles que constituyen un fenoacutemeno aleatorio y se denota por 119916
Es habitual decir que el espacio muestral 119864 es
bull discreto si tiene un nuacutemero finito de elementos
bull continuo en caso contrario
Se llaman sucesos a los distintos subconjuntos de 119916 Podemos distinguir dos tipos
bull Sucesos elementales cada uno de los resultados posibles del espacio muestral
bull Sucesos compuestos formados por varios sucesos elementales (uniones de sucesos
elementales)
Ejemplo
Se considera el lanzamiento de dos monedas El espacio muestral es
119864 = (119862 119862) (119862 119883) (119883 119862) (119883 119883) donde 119862 = 119888119886119903119886 y 119883 = 119888119903119906119911
El suceso obtener dos caras (119862 119862) es elemental (anaacutelogo para el suceso obtener dos cruces)
y el suceso obtener una cara (119862 119883) (119883 119862) es compuesto
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La identificacioacuten de los sucesos relativos a un experimento aleatorio implica disponer de
operaciones para formar nuevos sucesos desde otros sucesos dados Por este motivo introducimos
las operaciones entre sucesos
42 Operaciones elementales entre sucesos
Dados dos sucesos asociados a un experimento aleatorio se definen las siguientes operaciones
bull Unioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cup 119861 se describe como
ocurre 119860 u ocurre 119861 es decir el resultado pertenece o bien a 119860 o bien a 119861 o bien a
ambos simultaacuteneamente
bull Interseccioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cap 119861 se describe
como ocurren 119860 y 119861 simultaacuteneamente Si 119860 cap 119861 =empty se dice que 119860 y 119861 son sucesos
incompatibles
bull Contrario o complementario de un suceso si 119860 sub 119864 entonces 119860119888 o es el suceso
formado por todos los sucesos elementales que no estaacuten en 119860
Es importante observar que 119860 cup = 119864 119910 119860 cap = empty
bull Diferencia de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 minus 119861 es la
interseccioacuten del primer suceso con el contrario del segundo 119860 minus 119861 = 119860 cap
bull Diferencia simeacutetrica de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces definimos
el suceso 119860 119861 = (119860 minus 119861) cup (119861 minus 119860) es decir es el suceso que se verifica si y solo si se
verifica uno y solo uno de los sucesos 119860 o 119861
43 Propiedades de las operaciones con sucesos
o Conmutativa 119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
o Asociativa (119860 cup 119861)cup 119862 = 119860cup (119861 cup 119862) (119860 cap 119861) cap119862 = 119860 cap (119861 cap 119862)
o Idempotente 119860 cup 119860 = 119860 119860 cap 119860 = 119860
o Existencia de neutros 119860 cup empty = 119860 119860 cap 119864 = 119860
o Absorcioacuten 119860 cup 119864 = 119864 119860 cap empty = empty
o Simplificativa 119860 cup (119860 cap 119861) = 119860 119860 cap (119860 cup 119861) = 119860
o Distributiva119860 cup (119861 cap 119862) = (119860 cup 119861) cap (119860 cup 119862) 119860 cap (119861 cup 119862) = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
o Complementacioacuten = empty empty = 119864
o Involucioacuten =A
o Leyes de dualidad o de Morgan 119860 cup 119861 = cap 119860 cap 119861 = cup
o 119864 es el suceso seguro y empty el suceso imposible
5 Espacio de probabilidad Definicioacuten de probabilidad
El Caacutelculo de Probabilidades no se establecioacute como una ciencia matemaacutetica hasta principios del
siglo XX En esta eacutepoca el desarrollo de las Ciencias Naturales implicoacute fuertes demandas sobre esta
disciplina y se hizo necesario estudiar los conceptos baacutesicos de la Teoriacutea de la Probabilidad y
clarificar las condiciones bajo las cuales los resultados de la teoriacutea pudieran ser empleados Por
este motivo resultoacute esencial una construccioacuten axiomaacutetica que introdujera una estructura loacutegico-
formal en la Teoriacutea de la Probabilidad
6
51 Definicioacuten axiomaacutetica de probabilidad
Durante el siglo XX el matemaacutetico ruso Andrei Kolmogorov propuso una definicioacuten de
probabilidad que es la que seguimos utilizando hoy en diacutea
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864
Definimos la probabilidad como una funcioacuten 119901 que asocia a cada suceso 119860 de 119979(119864) un nuacutemero
real 119901(119860) que llamaremos su probabilidad
119901119979(119864) ⟼ℝ
119860 ⟼ 119901(119860)
que cumple las siguientes propiedades
A1) La probabilidad de cualquier suceso 119860 es positiva o cero 119901(119860) ge 0 forall119860 isin119979(119864)
A2) La probabilidad del suceso seguro es 1 119901(119864) = 1
A3) La probabilidad de la unioacuten de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos
es la suma de las probabilidades de los sucesos
forall 1198601 1198602 hellip 119860119899 isin119979(119864) tales que 119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895 se tiene que
119901(1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899)= 119901(1198601) + 119901(1198602) + ⋯+ 119901(119860119899)
Nota En matemaacuteticas un axioma es un resultado que se acepta sin que necesite demostracioacuten En
este caso decimos que eacutesta es la definicioacuten axiomaacutetica de la probabilidad porque definimos la
probabilidad como una funcioacuten que cumple estos tres axiomas
52 Consecuencias de la definicioacuten Propiedades
Sean 119860 119861 sucesos de un espacio muestral 119864
1 0 le 119901(119860) le 1
Demostracioacuten
Por A1) tenemos que 119901(119860) ge 0 Por otro lado si 119901(119860) gt 1 entonces 119901() = 1 minus 119901(119860) lt 0 lo cual es imposible por el axioma A1)
2 119901(empty) = 0
Demostracioacuten empty = ⟹ 119901(empty) = 119901() = 1 minus 119901(119864) = 1 minus 1 = 0
3 119901(119860) = 1 minus 119901()
Demostracioacuten
119901(119860 cup ) = 119901(119864) = 1⟹⏞1198603]
119901(119860) + 119901() = 1 ⟹ 119901(119860) = 1 minus 119901()
4 Si 119860 sube 119861 entonces 119901(119860) le 119901(119861)
Demostracioacuten
119861 = 119860 cup (119861 minus 119860)⟹⏞1198603]
119901(119861) = 119901(119860) + 119901(119861 minus 119860) = 119901(119860) + 119901(119861 cap ) ⟹ 119901(119861) ge 119901(119860)
5 Regla de la Adicioacuten 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)
Demostracioacuten
119860 cup 119861 = (119860 minus 119861) cup 119860 cap 119861) cup (119861 minus 119860) unioacuten de disjuntos y por tanto por el axioma A3 se tiene que 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860) Por otro lado
7
119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)
119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞
1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)
119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)
sumando miembro a miembro ambas expresiones
119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)
+ 119901(119860 cap 119861) de donde
119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)
6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964
119901 (⋃119860119894
119899
119894=1
) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)
119899
1198942lt1198943
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
119894=1
+⋯+
+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899
7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)
119903119894=1
53 Aproximacioacuten frecuentista
La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las
frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El
valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su
probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)
Ejemplo
Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si
se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud
119875(Obtener bola roja) =2
3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =
1
3= 0acute333hellip
En cambio
(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7
12= 0prime58333hellip
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5
12= 0prime41666hellip
(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69
120= 0prime575
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51
120= 0prime425
(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822
1200= 0prime685
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378
1200= 0prime315
Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una
sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada
repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades
8
54 Ley de Laplace
Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con
espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son
equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de
Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente
expliacutecito del concepto de probabilidad
En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la
probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la
siguiente forma
119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864
ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables
entre el nordm de casos posiblesrdquo
Ejemplo
Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente
equilibrado
El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los
resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1
2 no obstante vamos a
comprobarlo
El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la
misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de
Laplace
Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo
119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =
2 4 6
1 2 3 4 5 6=3
6=1
2
6 Probabilidad condicionada
Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir
antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la
frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir
No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha
concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el
resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que
disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento
aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos
Ejemplo
Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5
La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15
Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la
9
probabilidad de que sea la 5 es entonces 12
Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al
suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada
Ejercicio
Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la
probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2
El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados
1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12
y tomar como espacio muestral
Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)
El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por
S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)
y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es
A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)
Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16
Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten
61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada
La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0
se llama probabilidad condicionada
Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es
119901(B|A) =119901(A cap B)
119901(A)
A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de
la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de
10
probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la
multiplicacioacuten
62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten
La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad
de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la
probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente
De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)
119901(119860) obtenemos
119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)
Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B
119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)
Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos
119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)
helliphelliphelliphellip
119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)
Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta
Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la
probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de
independencia de sucesos
63 Dependencia e independencia de sucesos
En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto
no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la
siguiente definicioacuten de sucesos independientes
Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que
119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)
Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo
bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo
119901(119861) = 0
bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten
son independientes dado que
p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =
= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()
bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo
son
Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las
caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia
numeacuterica
11
Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado
por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que
119901(Obtener cara)=6
12=1
2
p(Obtener al menos 3) =8
12=2
3
119901(Obtener cara y al menos 3)=4
12=1
3
La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)
establece que ambos sucesos son independientes
La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier
suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de
probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo
119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1
2middot1
6=1
12
El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de
modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias
componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes
y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio
7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
71 Teorema de la Probabilidad Total
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes
119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas
Entonces se verifica que
119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =
119899
119894=1
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119916
Demostracioacuten
119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =
= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =
= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951
1198601cap 119878
1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878
12
72 Teorema de Bayes
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde
ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
o lo que es lo mismo
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)
Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las
probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899
Demostracioacuten
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)
119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)=
119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
2
|| 3 || 6 || 5 || 4 || 3 ||
Es decir el nuacutemero de palabras distintas es 3 middot 6 middot 5 middot 4 middot 3 = 1080
El resultado final del ejemplo sigue una regla de conteo (diagrama en aacuterbol) si los
conjuntos 1198601 1198602 hellip119860119896 tienen 1198991 1198992 hellip 119899119896 elementos respectivamente entonces el producto
cartesiano 11986011199091198602119909 hellip119909119860119896 tiene 11989911199091198992119909hellip119909119899119896 elementos
22 Variaciones ordinarias (sin repeticioacuten) de n elementos tomados de m en m (119951 gt 119950)
consiste en enumerar todos los posibles grupos diferentes de m elementos a partir de n
elementos
- Los elementos no pueden repetirse
- Siacute importa el orden en el que los colocamos
119933119951119950 =119951
(119951 minus119950)
Ejemplo iquestDe cuaacutentas formas pueden recibir el oro la plata y el bronce los 10 participantes de una
carrera de atletismo
En este caso se trata de variaciones sin repeticioacuten de 10 elementos tomados de 3 en 3
119881103 =10
(10 minus 3)=10
7= 10 middot 9 middot 8 = 720 119891119900119903119898119886119904
23 Variaciones con repeticioacuten de n elementos tomados de m en m en este caso al tomar
los m elementos del conjunto de n elementos inicial estos siacute pueden repetirse
- Los elementos pueden repetirse
- Siacute importa el orden en el que los colocamos
119933119929119951119950 = 119951119950
Ejemplo iquestCuaacutentos coacutedigos de longitud 10 se pueden formar combinando los signos + y - Para la primera posicioacuten tenemos dos posibilidades + o ndash para la segunda posicioacuten
tendriacuteamos de nuevo dos posibilidades + o ndash
Razonando anaacutelogamente por el resto de posiciones tendriacuteamos dos posibilidades en cada
una de ellas por lo tanto
2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 210 Es decir se trata de 119881119877210 = 2
10
24 Permutaciones (sin repeticioacuten) de n elementos se trata de variaciones ordinarias en las que 119899 = 119898
119927119951 = 119951
Ejemplo iquestDe cuaacutentas formas pueden sentarse 5 amigos en 5 asientos consecutivos del cine
En el primer asiento de la izquierda pueden sentarse cualquiera de los 5 en el asiento
consecutivo cualquiera de los 4 restantes y asiacute sucesivamente
Es decir hay 5 middot 4 middot 3 middot 2 middot 1 = 120 formas
25 Permutaciones con repeticioacuten de n elementos se trata de permutaciones de n
elementos donde hay elementos que se repiten
119927119951119951120783119951120784hellip119951119948 =
119951
119951120783 middot 119951120784 middot hellip middot 119951119948
3
Ejemplo
En un bar cinco amigos han pedido 3 zumos de naranja y 2 botellas de agua Contabilizar
de cuaacutentas maneras pueden consumir las cinco bebidas
En total hay 5 elementos pero uno aparece repetido 3 veces y el otro aparece repetido 2
veces Por tanto se trata de permutaciones con repeticioacuten
119875532 =
5
3 middot 2= 10 119891119900119903119898119886119904
En general una coleccioacuten de 119899 objetos clasificados en 119896 grupos de objetos ideacutenticos entre
siacute el primero con 1198991 objetos el segundo con 1198992 objetos etc puede ordenarse en fila de
maneras distintas si no se consideran diferentes las ordenaciones donde dos objetos
iguales han permutado su posicioacuten En este caso se habla de permutaciones de 119899 objetos
de los que 1198991 son iguales entre siacute 1198992 objetos son iguales entre siacute etc o simplemente
permutaciones con repeticioacuten 11987511987711989911989911198992hellip119899119896
26 Combinaciones de n elementos tomados de m en m consiste en enumerar todos los
posibles subconjuntos de m elementos a partir de n elementos
- Los elementos no pueden repetirse
- No importa el orden en el que los colocamos
119914119951119950 = (119951119950) =
119951
119950 middot (119951 minus119950)
Ejemplo
Tenemos una urna con 10 bolas de diferente color y extraemos dos al azar iquestcuaacutentas
combinaciones posibles existen
Habraacute tantas combinaciones como formas posibles de extraer dos bolas de la urna es decir
119862102 = (102) =
10
2 middot (10 minus 2)=
10
2 middot 8= 45 119888119900119898119887119894119899119886119888119894119900119899119890119904
27 Combinaciones con repeticioacuten
iquestDe cuaacutentas maneras diferentes se pueden repartir 119903 = 7 bolas ideacutenticas en 119899 = 5 urnas
Las 119899 = 5 urnas son representadas por los espacios comprendidos entre 119899 + 1 = 6 barras
verticales por ejemplo la secuencia
| |∎| ∎∎ | ∎∎∎ | ∎ |
corresponde al reparto donde la urna 1 estaacute vaciacutea las urnas 2 y 5 contienen 1 bola la urna
3 contiene 2 bolas y la urna 4 contiene 3 bolas El reparto de 119903 = 7 bolas en 119899 = 5 urnas
supone emplear 119903 = 7 siacutembolos ∎ y 119899 + 1 = 6 barras verticales | Dos siacutembolos | aparecen
fijos (la primera y la uacuteltima barra que indican el comienzo de la urna 1 y el final de la urna
119899 = 5 respectivamente) y los restantes 119899 + 119903 ndash 1 = 11 (es decir 119903 + (119899 + 1)1048576 minus 2)
siacutembolos aparecen en orden arbitrario Hay tantos repartos de 119903 = 7 bolas en 119899 = 5 urnas
como formas distintas de ordenar esos 119899 + 119903 1048576 minus 1 = 11 elementos (119899 + 119903 minus 1)
(119899 minus 1) middot 119903= 119862119877119899119903 = (
119899 + 119903 minus 1119903
) = 11986211987757 = (117) =
11
7 middot 4= 330
3 Experimentos aleatorios
Existen fenoacutemenos donde la concurrencia de unas circunstancias fijas no permite anticipar
cuaacutel seraacute el efecto producido Por ejemplo si una moneda cae al suelo no es posible conocer
por anticipado el punto exacto donde iraacute a parar cuando se colocan bolas ideacutenticas numeradas
4
en una bolsa y se extrae una bola a ciegas no es posible determinar con total certeza queacute bola
seraacute elegida etc
Estos experimentos son llamados aleatorios puesto que el resultado del fenoacutemeno en estudio
es consecuencia del azar Los experimentos no aleatorios se llaman deterministas
En estas situaciones el caraacutecter impredecible del azar hace inuacutetil cualquier intento de hallar
reglas deterministas que rijan la aparicioacuten de los resultados individuales Sin embargo es falso
decir que el azar no estaacute sometido a leyes lo que ocurre es que no son leyes necesarias que
determinen uniacutevocamente el resultado de cada experimento sino que atantildeen a la frecuencia de
los resultados que se obtienen cuando el fenoacutemeno se repite un gran nuacutemero de veces
El Caacutelculo de Probabilidades se ocupa de estudiar experimentos aleatorios es decir
situaciones que repetidas bajo condiciones ideacutenticas pueden dar lugar a diversos resultados
1198601 1198602 hellip de manera que no puede predecirse con certeza absoluta cuaacutel de ellos ocurriraacute
Ante fenoacutemenos de azar la tendencia natural es tratar de medir el grado de verosimilitud de
los diversos acontecimientos posibles asignando una probabilidad a cada uno de ellos es decir
un valor numeacuterico que informa de la frecuencia con que hay que esperar que se presente cada
uno despueacutes de numerosas observaciones del fenoacutemeno En concreto la probabilidad de cada
acontecimiento posible es un nuacutemero de [0 1] que expresa la frecuencia teoacuterica con que dicho
acontecimiento se presentaraacute en una serie indefinidamente larga de repeticiones del
experimento realizadas en condiciones ideacutenticas
En el estudio de un experimento aleatorio hay dos conceptos fundamentales
bull Los posibles acontecimientos que pueden producirse es decir el espacio muestral y sus
correspondientes sucesos
bull La valoracioacuten de la probabilidad de los acontecimientos posibles
4 Espacio muestral y sucesos aleatorios
En primer lugar introducimos las siguientes definiciones
41 Definiciones
En un experimento aleatorio el espacio muestral se conoce como el conjunto de todos los
resultados posibles que constituyen un fenoacutemeno aleatorio y se denota por 119916
Es habitual decir que el espacio muestral 119864 es
bull discreto si tiene un nuacutemero finito de elementos
bull continuo en caso contrario
Se llaman sucesos a los distintos subconjuntos de 119916 Podemos distinguir dos tipos
bull Sucesos elementales cada uno de los resultados posibles del espacio muestral
bull Sucesos compuestos formados por varios sucesos elementales (uniones de sucesos
elementales)
Ejemplo
Se considera el lanzamiento de dos monedas El espacio muestral es
119864 = (119862 119862) (119862 119883) (119883 119862) (119883 119883) donde 119862 = 119888119886119903119886 y 119883 = 119888119903119906119911
El suceso obtener dos caras (119862 119862) es elemental (anaacutelogo para el suceso obtener dos cruces)
y el suceso obtener una cara (119862 119883) (119883 119862) es compuesto
5
La identificacioacuten de los sucesos relativos a un experimento aleatorio implica disponer de
operaciones para formar nuevos sucesos desde otros sucesos dados Por este motivo introducimos
las operaciones entre sucesos
42 Operaciones elementales entre sucesos
Dados dos sucesos asociados a un experimento aleatorio se definen las siguientes operaciones
bull Unioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cup 119861 se describe como
ocurre 119860 u ocurre 119861 es decir el resultado pertenece o bien a 119860 o bien a 119861 o bien a
ambos simultaacuteneamente
bull Interseccioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cap 119861 se describe
como ocurren 119860 y 119861 simultaacuteneamente Si 119860 cap 119861 =empty se dice que 119860 y 119861 son sucesos
incompatibles
bull Contrario o complementario de un suceso si 119860 sub 119864 entonces 119860119888 o es el suceso
formado por todos los sucesos elementales que no estaacuten en 119860
Es importante observar que 119860 cup = 119864 119910 119860 cap = empty
bull Diferencia de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 minus 119861 es la
interseccioacuten del primer suceso con el contrario del segundo 119860 minus 119861 = 119860 cap
bull Diferencia simeacutetrica de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces definimos
el suceso 119860 119861 = (119860 minus 119861) cup (119861 minus 119860) es decir es el suceso que se verifica si y solo si se
verifica uno y solo uno de los sucesos 119860 o 119861
43 Propiedades de las operaciones con sucesos
o Conmutativa 119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
o Asociativa (119860 cup 119861)cup 119862 = 119860cup (119861 cup 119862) (119860 cap 119861) cap119862 = 119860 cap (119861 cap 119862)
o Idempotente 119860 cup 119860 = 119860 119860 cap 119860 = 119860
o Existencia de neutros 119860 cup empty = 119860 119860 cap 119864 = 119860
o Absorcioacuten 119860 cup 119864 = 119864 119860 cap empty = empty
o Simplificativa 119860 cup (119860 cap 119861) = 119860 119860 cap (119860 cup 119861) = 119860
o Distributiva119860 cup (119861 cap 119862) = (119860 cup 119861) cap (119860 cup 119862) 119860 cap (119861 cup 119862) = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
o Complementacioacuten = empty empty = 119864
o Involucioacuten =A
o Leyes de dualidad o de Morgan 119860 cup 119861 = cap 119860 cap 119861 = cup
o 119864 es el suceso seguro y empty el suceso imposible
5 Espacio de probabilidad Definicioacuten de probabilidad
El Caacutelculo de Probabilidades no se establecioacute como una ciencia matemaacutetica hasta principios del
siglo XX En esta eacutepoca el desarrollo de las Ciencias Naturales implicoacute fuertes demandas sobre esta
disciplina y se hizo necesario estudiar los conceptos baacutesicos de la Teoriacutea de la Probabilidad y
clarificar las condiciones bajo las cuales los resultados de la teoriacutea pudieran ser empleados Por
este motivo resultoacute esencial una construccioacuten axiomaacutetica que introdujera una estructura loacutegico-
formal en la Teoriacutea de la Probabilidad
6
51 Definicioacuten axiomaacutetica de probabilidad
Durante el siglo XX el matemaacutetico ruso Andrei Kolmogorov propuso una definicioacuten de
probabilidad que es la que seguimos utilizando hoy en diacutea
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864
Definimos la probabilidad como una funcioacuten 119901 que asocia a cada suceso 119860 de 119979(119864) un nuacutemero
real 119901(119860) que llamaremos su probabilidad
119901119979(119864) ⟼ℝ
119860 ⟼ 119901(119860)
que cumple las siguientes propiedades
A1) La probabilidad de cualquier suceso 119860 es positiva o cero 119901(119860) ge 0 forall119860 isin119979(119864)
A2) La probabilidad del suceso seguro es 1 119901(119864) = 1
A3) La probabilidad de la unioacuten de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos
es la suma de las probabilidades de los sucesos
forall 1198601 1198602 hellip 119860119899 isin119979(119864) tales que 119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895 se tiene que
119901(1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899)= 119901(1198601) + 119901(1198602) + ⋯+ 119901(119860119899)
Nota En matemaacuteticas un axioma es un resultado que se acepta sin que necesite demostracioacuten En
este caso decimos que eacutesta es la definicioacuten axiomaacutetica de la probabilidad porque definimos la
probabilidad como una funcioacuten que cumple estos tres axiomas
52 Consecuencias de la definicioacuten Propiedades
Sean 119860 119861 sucesos de un espacio muestral 119864
1 0 le 119901(119860) le 1
Demostracioacuten
Por A1) tenemos que 119901(119860) ge 0 Por otro lado si 119901(119860) gt 1 entonces 119901() = 1 minus 119901(119860) lt 0 lo cual es imposible por el axioma A1)
2 119901(empty) = 0
Demostracioacuten empty = ⟹ 119901(empty) = 119901() = 1 minus 119901(119864) = 1 minus 1 = 0
3 119901(119860) = 1 minus 119901()
Demostracioacuten
119901(119860 cup ) = 119901(119864) = 1⟹⏞1198603]
119901(119860) + 119901() = 1 ⟹ 119901(119860) = 1 minus 119901()
4 Si 119860 sube 119861 entonces 119901(119860) le 119901(119861)
Demostracioacuten
119861 = 119860 cup (119861 minus 119860)⟹⏞1198603]
119901(119861) = 119901(119860) + 119901(119861 minus 119860) = 119901(119860) + 119901(119861 cap ) ⟹ 119901(119861) ge 119901(119860)
5 Regla de la Adicioacuten 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)
Demostracioacuten
119860 cup 119861 = (119860 minus 119861) cup 119860 cap 119861) cup (119861 minus 119860) unioacuten de disjuntos y por tanto por el axioma A3 se tiene que 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860) Por otro lado
7
119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)
119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞
1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)
119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)
sumando miembro a miembro ambas expresiones
119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)
+ 119901(119860 cap 119861) de donde
119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)
6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964
119901 (⋃119860119894
119899
119894=1
) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)
119899
1198942lt1198943
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
119894=1
+⋯+
+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899
7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)
119903119894=1
53 Aproximacioacuten frecuentista
La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las
frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El
valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su
probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)
Ejemplo
Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si
se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud
119875(Obtener bola roja) =2
3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =
1
3= 0acute333hellip
En cambio
(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7
12= 0prime58333hellip
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5
12= 0prime41666hellip
(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69
120= 0prime575
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51
120= 0prime425
(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822
1200= 0prime685
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378
1200= 0prime315
Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una
sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada
repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades
8
54 Ley de Laplace
Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con
espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son
equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de
Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente
expliacutecito del concepto de probabilidad
En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la
probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la
siguiente forma
119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864
ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables
entre el nordm de casos posiblesrdquo
Ejemplo
Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente
equilibrado
El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los
resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1
2 no obstante vamos a
comprobarlo
El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la
misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de
Laplace
Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo
119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =
2 4 6
1 2 3 4 5 6=3
6=1
2
6 Probabilidad condicionada
Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir
antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la
frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir
No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha
concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el
resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que
disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento
aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos
Ejemplo
Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5
La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15
Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la
9
probabilidad de que sea la 5 es entonces 12
Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al
suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada
Ejercicio
Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la
probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2
El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados
1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12
y tomar como espacio muestral
Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)
El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por
S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)
y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es
A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)
Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16
Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten
61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada
La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0
se llama probabilidad condicionada
Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es
119901(B|A) =119901(A cap B)
119901(A)
A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de
la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de
10
probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la
multiplicacioacuten
62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten
La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad
de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la
probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente
De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)
119901(119860) obtenemos
119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)
Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B
119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)
Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos
119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)
helliphelliphelliphellip
119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)
Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta
Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la
probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de
independencia de sucesos
63 Dependencia e independencia de sucesos
En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto
no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la
siguiente definicioacuten de sucesos independientes
Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que
119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)
Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo
bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo
119901(119861) = 0
bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten
son independientes dado que
p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =
= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()
bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo
son
Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las
caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia
numeacuterica
11
Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado
por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que
119901(Obtener cara)=6
12=1
2
p(Obtener al menos 3) =8
12=2
3
119901(Obtener cara y al menos 3)=4
12=1
3
La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)
establece que ambos sucesos son independientes
La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier
suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de
probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo
119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1
2middot1
6=1
12
El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de
modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias
componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes
y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio
7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
71 Teorema de la Probabilidad Total
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes
119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas
Entonces se verifica que
119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =
119899
119894=1
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119916
Demostracioacuten
119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =
= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =
= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951
1198601cap 119878
1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878
12
72 Teorema de Bayes
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde
ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
o lo que es lo mismo
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)
Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las
probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899
Demostracioacuten
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)
119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)=
119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
3
Ejemplo
En un bar cinco amigos han pedido 3 zumos de naranja y 2 botellas de agua Contabilizar
de cuaacutentas maneras pueden consumir las cinco bebidas
En total hay 5 elementos pero uno aparece repetido 3 veces y el otro aparece repetido 2
veces Por tanto se trata de permutaciones con repeticioacuten
119875532 =
5
3 middot 2= 10 119891119900119903119898119886119904
En general una coleccioacuten de 119899 objetos clasificados en 119896 grupos de objetos ideacutenticos entre
siacute el primero con 1198991 objetos el segundo con 1198992 objetos etc puede ordenarse en fila de
maneras distintas si no se consideran diferentes las ordenaciones donde dos objetos
iguales han permutado su posicioacuten En este caso se habla de permutaciones de 119899 objetos
de los que 1198991 son iguales entre siacute 1198992 objetos son iguales entre siacute etc o simplemente
permutaciones con repeticioacuten 11987511987711989911989911198992hellip119899119896
26 Combinaciones de n elementos tomados de m en m consiste en enumerar todos los
posibles subconjuntos de m elementos a partir de n elementos
- Los elementos no pueden repetirse
- No importa el orden en el que los colocamos
119914119951119950 = (119951119950) =
119951
119950 middot (119951 minus119950)
Ejemplo
Tenemos una urna con 10 bolas de diferente color y extraemos dos al azar iquestcuaacutentas
combinaciones posibles existen
Habraacute tantas combinaciones como formas posibles de extraer dos bolas de la urna es decir
119862102 = (102) =
10
2 middot (10 minus 2)=
10
2 middot 8= 45 119888119900119898119887119894119899119886119888119894119900119899119890119904
27 Combinaciones con repeticioacuten
iquestDe cuaacutentas maneras diferentes se pueden repartir 119903 = 7 bolas ideacutenticas en 119899 = 5 urnas
Las 119899 = 5 urnas son representadas por los espacios comprendidos entre 119899 + 1 = 6 barras
verticales por ejemplo la secuencia
| |∎| ∎∎ | ∎∎∎ | ∎ |
corresponde al reparto donde la urna 1 estaacute vaciacutea las urnas 2 y 5 contienen 1 bola la urna
3 contiene 2 bolas y la urna 4 contiene 3 bolas El reparto de 119903 = 7 bolas en 119899 = 5 urnas
supone emplear 119903 = 7 siacutembolos ∎ y 119899 + 1 = 6 barras verticales | Dos siacutembolos | aparecen
fijos (la primera y la uacuteltima barra que indican el comienzo de la urna 1 y el final de la urna
119899 = 5 respectivamente) y los restantes 119899 + 119903 ndash 1 = 11 (es decir 119903 + (119899 + 1)1048576 minus 2)
siacutembolos aparecen en orden arbitrario Hay tantos repartos de 119903 = 7 bolas en 119899 = 5 urnas
como formas distintas de ordenar esos 119899 + 119903 1048576 minus 1 = 11 elementos (119899 + 119903 minus 1)
(119899 minus 1) middot 119903= 119862119877119899119903 = (
119899 + 119903 minus 1119903
) = 11986211987757 = (117) =
11
7 middot 4= 330
3 Experimentos aleatorios
Existen fenoacutemenos donde la concurrencia de unas circunstancias fijas no permite anticipar
cuaacutel seraacute el efecto producido Por ejemplo si una moneda cae al suelo no es posible conocer
por anticipado el punto exacto donde iraacute a parar cuando se colocan bolas ideacutenticas numeradas
4
en una bolsa y se extrae una bola a ciegas no es posible determinar con total certeza queacute bola
seraacute elegida etc
Estos experimentos son llamados aleatorios puesto que el resultado del fenoacutemeno en estudio
es consecuencia del azar Los experimentos no aleatorios se llaman deterministas
En estas situaciones el caraacutecter impredecible del azar hace inuacutetil cualquier intento de hallar
reglas deterministas que rijan la aparicioacuten de los resultados individuales Sin embargo es falso
decir que el azar no estaacute sometido a leyes lo que ocurre es que no son leyes necesarias que
determinen uniacutevocamente el resultado de cada experimento sino que atantildeen a la frecuencia de
los resultados que se obtienen cuando el fenoacutemeno se repite un gran nuacutemero de veces
El Caacutelculo de Probabilidades se ocupa de estudiar experimentos aleatorios es decir
situaciones que repetidas bajo condiciones ideacutenticas pueden dar lugar a diversos resultados
1198601 1198602 hellip de manera que no puede predecirse con certeza absoluta cuaacutel de ellos ocurriraacute
Ante fenoacutemenos de azar la tendencia natural es tratar de medir el grado de verosimilitud de
los diversos acontecimientos posibles asignando una probabilidad a cada uno de ellos es decir
un valor numeacuterico que informa de la frecuencia con que hay que esperar que se presente cada
uno despueacutes de numerosas observaciones del fenoacutemeno En concreto la probabilidad de cada
acontecimiento posible es un nuacutemero de [0 1] que expresa la frecuencia teoacuterica con que dicho
acontecimiento se presentaraacute en una serie indefinidamente larga de repeticiones del
experimento realizadas en condiciones ideacutenticas
En el estudio de un experimento aleatorio hay dos conceptos fundamentales
bull Los posibles acontecimientos que pueden producirse es decir el espacio muestral y sus
correspondientes sucesos
bull La valoracioacuten de la probabilidad de los acontecimientos posibles
4 Espacio muestral y sucesos aleatorios
En primer lugar introducimos las siguientes definiciones
41 Definiciones
En un experimento aleatorio el espacio muestral se conoce como el conjunto de todos los
resultados posibles que constituyen un fenoacutemeno aleatorio y se denota por 119916
Es habitual decir que el espacio muestral 119864 es
bull discreto si tiene un nuacutemero finito de elementos
bull continuo en caso contrario
Se llaman sucesos a los distintos subconjuntos de 119916 Podemos distinguir dos tipos
bull Sucesos elementales cada uno de los resultados posibles del espacio muestral
bull Sucesos compuestos formados por varios sucesos elementales (uniones de sucesos
elementales)
Ejemplo
Se considera el lanzamiento de dos monedas El espacio muestral es
119864 = (119862 119862) (119862 119883) (119883 119862) (119883 119883) donde 119862 = 119888119886119903119886 y 119883 = 119888119903119906119911
El suceso obtener dos caras (119862 119862) es elemental (anaacutelogo para el suceso obtener dos cruces)
y el suceso obtener una cara (119862 119883) (119883 119862) es compuesto
5
La identificacioacuten de los sucesos relativos a un experimento aleatorio implica disponer de
operaciones para formar nuevos sucesos desde otros sucesos dados Por este motivo introducimos
las operaciones entre sucesos
42 Operaciones elementales entre sucesos
Dados dos sucesos asociados a un experimento aleatorio se definen las siguientes operaciones
bull Unioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cup 119861 se describe como
ocurre 119860 u ocurre 119861 es decir el resultado pertenece o bien a 119860 o bien a 119861 o bien a
ambos simultaacuteneamente
bull Interseccioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cap 119861 se describe
como ocurren 119860 y 119861 simultaacuteneamente Si 119860 cap 119861 =empty se dice que 119860 y 119861 son sucesos
incompatibles
bull Contrario o complementario de un suceso si 119860 sub 119864 entonces 119860119888 o es el suceso
formado por todos los sucesos elementales que no estaacuten en 119860
Es importante observar que 119860 cup = 119864 119910 119860 cap = empty
bull Diferencia de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 minus 119861 es la
interseccioacuten del primer suceso con el contrario del segundo 119860 minus 119861 = 119860 cap
bull Diferencia simeacutetrica de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces definimos
el suceso 119860 119861 = (119860 minus 119861) cup (119861 minus 119860) es decir es el suceso que se verifica si y solo si se
verifica uno y solo uno de los sucesos 119860 o 119861
43 Propiedades de las operaciones con sucesos
o Conmutativa 119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
o Asociativa (119860 cup 119861)cup 119862 = 119860cup (119861 cup 119862) (119860 cap 119861) cap119862 = 119860 cap (119861 cap 119862)
o Idempotente 119860 cup 119860 = 119860 119860 cap 119860 = 119860
o Existencia de neutros 119860 cup empty = 119860 119860 cap 119864 = 119860
o Absorcioacuten 119860 cup 119864 = 119864 119860 cap empty = empty
o Simplificativa 119860 cup (119860 cap 119861) = 119860 119860 cap (119860 cup 119861) = 119860
o Distributiva119860 cup (119861 cap 119862) = (119860 cup 119861) cap (119860 cup 119862) 119860 cap (119861 cup 119862) = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
o Complementacioacuten = empty empty = 119864
o Involucioacuten =A
o Leyes de dualidad o de Morgan 119860 cup 119861 = cap 119860 cap 119861 = cup
o 119864 es el suceso seguro y empty el suceso imposible
5 Espacio de probabilidad Definicioacuten de probabilidad
El Caacutelculo de Probabilidades no se establecioacute como una ciencia matemaacutetica hasta principios del
siglo XX En esta eacutepoca el desarrollo de las Ciencias Naturales implicoacute fuertes demandas sobre esta
disciplina y se hizo necesario estudiar los conceptos baacutesicos de la Teoriacutea de la Probabilidad y
clarificar las condiciones bajo las cuales los resultados de la teoriacutea pudieran ser empleados Por
este motivo resultoacute esencial una construccioacuten axiomaacutetica que introdujera una estructura loacutegico-
formal en la Teoriacutea de la Probabilidad
6
51 Definicioacuten axiomaacutetica de probabilidad
Durante el siglo XX el matemaacutetico ruso Andrei Kolmogorov propuso una definicioacuten de
probabilidad que es la que seguimos utilizando hoy en diacutea
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864
Definimos la probabilidad como una funcioacuten 119901 que asocia a cada suceso 119860 de 119979(119864) un nuacutemero
real 119901(119860) que llamaremos su probabilidad
119901119979(119864) ⟼ℝ
119860 ⟼ 119901(119860)
que cumple las siguientes propiedades
A1) La probabilidad de cualquier suceso 119860 es positiva o cero 119901(119860) ge 0 forall119860 isin119979(119864)
A2) La probabilidad del suceso seguro es 1 119901(119864) = 1
A3) La probabilidad de la unioacuten de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos
es la suma de las probabilidades de los sucesos
forall 1198601 1198602 hellip 119860119899 isin119979(119864) tales que 119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895 se tiene que
119901(1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899)= 119901(1198601) + 119901(1198602) + ⋯+ 119901(119860119899)
Nota En matemaacuteticas un axioma es un resultado que se acepta sin que necesite demostracioacuten En
este caso decimos que eacutesta es la definicioacuten axiomaacutetica de la probabilidad porque definimos la
probabilidad como una funcioacuten que cumple estos tres axiomas
52 Consecuencias de la definicioacuten Propiedades
Sean 119860 119861 sucesos de un espacio muestral 119864
1 0 le 119901(119860) le 1
Demostracioacuten
Por A1) tenemos que 119901(119860) ge 0 Por otro lado si 119901(119860) gt 1 entonces 119901() = 1 minus 119901(119860) lt 0 lo cual es imposible por el axioma A1)
2 119901(empty) = 0
Demostracioacuten empty = ⟹ 119901(empty) = 119901() = 1 minus 119901(119864) = 1 minus 1 = 0
3 119901(119860) = 1 minus 119901()
Demostracioacuten
119901(119860 cup ) = 119901(119864) = 1⟹⏞1198603]
119901(119860) + 119901() = 1 ⟹ 119901(119860) = 1 minus 119901()
4 Si 119860 sube 119861 entonces 119901(119860) le 119901(119861)
Demostracioacuten
119861 = 119860 cup (119861 minus 119860)⟹⏞1198603]
119901(119861) = 119901(119860) + 119901(119861 minus 119860) = 119901(119860) + 119901(119861 cap ) ⟹ 119901(119861) ge 119901(119860)
5 Regla de la Adicioacuten 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)
Demostracioacuten
119860 cup 119861 = (119860 minus 119861) cup 119860 cap 119861) cup (119861 minus 119860) unioacuten de disjuntos y por tanto por el axioma A3 se tiene que 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860) Por otro lado
7
119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)
119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞
1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)
119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)
sumando miembro a miembro ambas expresiones
119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)
+ 119901(119860 cap 119861) de donde
119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)
6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964
119901 (⋃119860119894
119899
119894=1
) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)
119899
1198942lt1198943
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
119894=1
+⋯+
+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899
7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)
119903119894=1
53 Aproximacioacuten frecuentista
La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las
frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El
valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su
probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)
Ejemplo
Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si
se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud
119875(Obtener bola roja) =2
3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =
1
3= 0acute333hellip
En cambio
(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7
12= 0prime58333hellip
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5
12= 0prime41666hellip
(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69
120= 0prime575
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51
120= 0prime425
(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822
1200= 0prime685
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378
1200= 0prime315
Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una
sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada
repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades
8
54 Ley de Laplace
Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con
espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son
equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de
Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente
expliacutecito del concepto de probabilidad
En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la
probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la
siguiente forma
119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864
ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables
entre el nordm de casos posiblesrdquo
Ejemplo
Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente
equilibrado
El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los
resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1
2 no obstante vamos a
comprobarlo
El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la
misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de
Laplace
Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo
119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =
2 4 6
1 2 3 4 5 6=3
6=1
2
6 Probabilidad condicionada
Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir
antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la
frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir
No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha
concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el
resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que
disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento
aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos
Ejemplo
Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5
La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15
Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la
9
probabilidad de que sea la 5 es entonces 12
Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al
suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada
Ejercicio
Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la
probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2
El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados
1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12
y tomar como espacio muestral
Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)
El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por
S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)
y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es
A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)
Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16
Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten
61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada
La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0
se llama probabilidad condicionada
Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es
119901(B|A) =119901(A cap B)
119901(A)
A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de
la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de
10
probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la
multiplicacioacuten
62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten
La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad
de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la
probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente
De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)
119901(119860) obtenemos
119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)
Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B
119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)
Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos
119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)
helliphelliphelliphellip
119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)
Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta
Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la
probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de
independencia de sucesos
63 Dependencia e independencia de sucesos
En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto
no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la
siguiente definicioacuten de sucesos independientes
Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que
119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)
Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo
bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo
119901(119861) = 0
bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten
son independientes dado que
p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =
= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()
bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo
son
Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las
caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia
numeacuterica
11
Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado
por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que
119901(Obtener cara)=6
12=1
2
p(Obtener al menos 3) =8
12=2
3
119901(Obtener cara y al menos 3)=4
12=1
3
La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)
establece que ambos sucesos son independientes
La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier
suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de
probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo
119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1
2middot1
6=1
12
El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de
modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias
componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes
y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio
7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
71 Teorema de la Probabilidad Total
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes
119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas
Entonces se verifica que
119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =
119899
119894=1
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119916
Demostracioacuten
119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =
= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =
= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951
1198601cap 119878
1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878
12
72 Teorema de Bayes
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde
ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
o lo que es lo mismo
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)
Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las
probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899
Demostracioacuten
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)
119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)=
119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
4
en una bolsa y se extrae una bola a ciegas no es posible determinar con total certeza queacute bola
seraacute elegida etc
Estos experimentos son llamados aleatorios puesto que el resultado del fenoacutemeno en estudio
es consecuencia del azar Los experimentos no aleatorios se llaman deterministas
En estas situaciones el caraacutecter impredecible del azar hace inuacutetil cualquier intento de hallar
reglas deterministas que rijan la aparicioacuten de los resultados individuales Sin embargo es falso
decir que el azar no estaacute sometido a leyes lo que ocurre es que no son leyes necesarias que
determinen uniacutevocamente el resultado de cada experimento sino que atantildeen a la frecuencia de
los resultados que se obtienen cuando el fenoacutemeno se repite un gran nuacutemero de veces
El Caacutelculo de Probabilidades se ocupa de estudiar experimentos aleatorios es decir
situaciones que repetidas bajo condiciones ideacutenticas pueden dar lugar a diversos resultados
1198601 1198602 hellip de manera que no puede predecirse con certeza absoluta cuaacutel de ellos ocurriraacute
Ante fenoacutemenos de azar la tendencia natural es tratar de medir el grado de verosimilitud de
los diversos acontecimientos posibles asignando una probabilidad a cada uno de ellos es decir
un valor numeacuterico que informa de la frecuencia con que hay que esperar que se presente cada
uno despueacutes de numerosas observaciones del fenoacutemeno En concreto la probabilidad de cada
acontecimiento posible es un nuacutemero de [0 1] que expresa la frecuencia teoacuterica con que dicho
acontecimiento se presentaraacute en una serie indefinidamente larga de repeticiones del
experimento realizadas en condiciones ideacutenticas
En el estudio de un experimento aleatorio hay dos conceptos fundamentales
bull Los posibles acontecimientos que pueden producirse es decir el espacio muestral y sus
correspondientes sucesos
bull La valoracioacuten de la probabilidad de los acontecimientos posibles
4 Espacio muestral y sucesos aleatorios
En primer lugar introducimos las siguientes definiciones
41 Definiciones
En un experimento aleatorio el espacio muestral se conoce como el conjunto de todos los
resultados posibles que constituyen un fenoacutemeno aleatorio y se denota por 119916
Es habitual decir que el espacio muestral 119864 es
bull discreto si tiene un nuacutemero finito de elementos
bull continuo en caso contrario
Se llaman sucesos a los distintos subconjuntos de 119916 Podemos distinguir dos tipos
bull Sucesos elementales cada uno de los resultados posibles del espacio muestral
bull Sucesos compuestos formados por varios sucesos elementales (uniones de sucesos
elementales)
Ejemplo
Se considera el lanzamiento de dos monedas El espacio muestral es
119864 = (119862 119862) (119862 119883) (119883 119862) (119883 119883) donde 119862 = 119888119886119903119886 y 119883 = 119888119903119906119911
El suceso obtener dos caras (119862 119862) es elemental (anaacutelogo para el suceso obtener dos cruces)
y el suceso obtener una cara (119862 119883) (119883 119862) es compuesto
5
La identificacioacuten de los sucesos relativos a un experimento aleatorio implica disponer de
operaciones para formar nuevos sucesos desde otros sucesos dados Por este motivo introducimos
las operaciones entre sucesos
42 Operaciones elementales entre sucesos
Dados dos sucesos asociados a un experimento aleatorio se definen las siguientes operaciones
bull Unioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cup 119861 se describe como
ocurre 119860 u ocurre 119861 es decir el resultado pertenece o bien a 119860 o bien a 119861 o bien a
ambos simultaacuteneamente
bull Interseccioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cap 119861 se describe
como ocurren 119860 y 119861 simultaacuteneamente Si 119860 cap 119861 =empty se dice que 119860 y 119861 son sucesos
incompatibles
bull Contrario o complementario de un suceso si 119860 sub 119864 entonces 119860119888 o es el suceso
formado por todos los sucesos elementales que no estaacuten en 119860
Es importante observar que 119860 cup = 119864 119910 119860 cap = empty
bull Diferencia de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 minus 119861 es la
interseccioacuten del primer suceso con el contrario del segundo 119860 minus 119861 = 119860 cap
bull Diferencia simeacutetrica de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces definimos
el suceso 119860 119861 = (119860 minus 119861) cup (119861 minus 119860) es decir es el suceso que se verifica si y solo si se
verifica uno y solo uno de los sucesos 119860 o 119861
43 Propiedades de las operaciones con sucesos
o Conmutativa 119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
o Asociativa (119860 cup 119861)cup 119862 = 119860cup (119861 cup 119862) (119860 cap 119861) cap119862 = 119860 cap (119861 cap 119862)
o Idempotente 119860 cup 119860 = 119860 119860 cap 119860 = 119860
o Existencia de neutros 119860 cup empty = 119860 119860 cap 119864 = 119860
o Absorcioacuten 119860 cup 119864 = 119864 119860 cap empty = empty
o Simplificativa 119860 cup (119860 cap 119861) = 119860 119860 cap (119860 cup 119861) = 119860
o Distributiva119860 cup (119861 cap 119862) = (119860 cup 119861) cap (119860 cup 119862) 119860 cap (119861 cup 119862) = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
o Complementacioacuten = empty empty = 119864
o Involucioacuten =A
o Leyes de dualidad o de Morgan 119860 cup 119861 = cap 119860 cap 119861 = cup
o 119864 es el suceso seguro y empty el suceso imposible
5 Espacio de probabilidad Definicioacuten de probabilidad
El Caacutelculo de Probabilidades no se establecioacute como una ciencia matemaacutetica hasta principios del
siglo XX En esta eacutepoca el desarrollo de las Ciencias Naturales implicoacute fuertes demandas sobre esta
disciplina y se hizo necesario estudiar los conceptos baacutesicos de la Teoriacutea de la Probabilidad y
clarificar las condiciones bajo las cuales los resultados de la teoriacutea pudieran ser empleados Por
este motivo resultoacute esencial una construccioacuten axiomaacutetica que introdujera una estructura loacutegico-
formal en la Teoriacutea de la Probabilidad
6
51 Definicioacuten axiomaacutetica de probabilidad
Durante el siglo XX el matemaacutetico ruso Andrei Kolmogorov propuso una definicioacuten de
probabilidad que es la que seguimos utilizando hoy en diacutea
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864
Definimos la probabilidad como una funcioacuten 119901 que asocia a cada suceso 119860 de 119979(119864) un nuacutemero
real 119901(119860) que llamaremos su probabilidad
119901119979(119864) ⟼ℝ
119860 ⟼ 119901(119860)
que cumple las siguientes propiedades
A1) La probabilidad de cualquier suceso 119860 es positiva o cero 119901(119860) ge 0 forall119860 isin119979(119864)
A2) La probabilidad del suceso seguro es 1 119901(119864) = 1
A3) La probabilidad de la unioacuten de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos
es la suma de las probabilidades de los sucesos
forall 1198601 1198602 hellip 119860119899 isin119979(119864) tales que 119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895 se tiene que
119901(1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899)= 119901(1198601) + 119901(1198602) + ⋯+ 119901(119860119899)
Nota En matemaacuteticas un axioma es un resultado que se acepta sin que necesite demostracioacuten En
este caso decimos que eacutesta es la definicioacuten axiomaacutetica de la probabilidad porque definimos la
probabilidad como una funcioacuten que cumple estos tres axiomas
52 Consecuencias de la definicioacuten Propiedades
Sean 119860 119861 sucesos de un espacio muestral 119864
1 0 le 119901(119860) le 1
Demostracioacuten
Por A1) tenemos que 119901(119860) ge 0 Por otro lado si 119901(119860) gt 1 entonces 119901() = 1 minus 119901(119860) lt 0 lo cual es imposible por el axioma A1)
2 119901(empty) = 0
Demostracioacuten empty = ⟹ 119901(empty) = 119901() = 1 minus 119901(119864) = 1 minus 1 = 0
3 119901(119860) = 1 minus 119901()
Demostracioacuten
119901(119860 cup ) = 119901(119864) = 1⟹⏞1198603]
119901(119860) + 119901() = 1 ⟹ 119901(119860) = 1 minus 119901()
4 Si 119860 sube 119861 entonces 119901(119860) le 119901(119861)
Demostracioacuten
119861 = 119860 cup (119861 minus 119860)⟹⏞1198603]
119901(119861) = 119901(119860) + 119901(119861 minus 119860) = 119901(119860) + 119901(119861 cap ) ⟹ 119901(119861) ge 119901(119860)
5 Regla de la Adicioacuten 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)
Demostracioacuten
119860 cup 119861 = (119860 minus 119861) cup 119860 cap 119861) cup (119861 minus 119860) unioacuten de disjuntos y por tanto por el axioma A3 se tiene que 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860) Por otro lado
7
119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)
119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞
1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)
119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)
sumando miembro a miembro ambas expresiones
119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)
+ 119901(119860 cap 119861) de donde
119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)
6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964
119901 (⋃119860119894
119899
119894=1
) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)
119899
1198942lt1198943
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
119894=1
+⋯+
+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899
7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)
119903119894=1
53 Aproximacioacuten frecuentista
La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las
frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El
valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su
probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)
Ejemplo
Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si
se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud
119875(Obtener bola roja) =2
3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =
1
3= 0acute333hellip
En cambio
(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7
12= 0prime58333hellip
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5
12= 0prime41666hellip
(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69
120= 0prime575
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51
120= 0prime425
(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822
1200= 0prime685
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378
1200= 0prime315
Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una
sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada
repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades
8
54 Ley de Laplace
Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con
espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son
equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de
Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente
expliacutecito del concepto de probabilidad
En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la
probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la
siguiente forma
119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864
ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables
entre el nordm de casos posiblesrdquo
Ejemplo
Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente
equilibrado
El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los
resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1
2 no obstante vamos a
comprobarlo
El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la
misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de
Laplace
Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo
119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =
2 4 6
1 2 3 4 5 6=3
6=1
2
6 Probabilidad condicionada
Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir
antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la
frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir
No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha
concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el
resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que
disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento
aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos
Ejemplo
Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5
La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15
Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la
9
probabilidad de que sea la 5 es entonces 12
Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al
suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada
Ejercicio
Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la
probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2
El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados
1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12
y tomar como espacio muestral
Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)
El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por
S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)
y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es
A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)
Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16
Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten
61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada
La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0
se llama probabilidad condicionada
Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es
119901(B|A) =119901(A cap B)
119901(A)
A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de
la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de
10
probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la
multiplicacioacuten
62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten
La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad
de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la
probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente
De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)
119901(119860) obtenemos
119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)
Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B
119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)
Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos
119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)
helliphelliphelliphellip
119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)
Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta
Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la
probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de
independencia de sucesos
63 Dependencia e independencia de sucesos
En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto
no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la
siguiente definicioacuten de sucesos independientes
Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que
119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)
Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo
bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo
119901(119861) = 0
bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten
son independientes dado que
p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =
= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()
bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo
son
Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las
caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia
numeacuterica
11
Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado
por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que
119901(Obtener cara)=6
12=1
2
p(Obtener al menos 3) =8
12=2
3
119901(Obtener cara y al menos 3)=4
12=1
3
La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)
establece que ambos sucesos son independientes
La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier
suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de
probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo
119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1
2middot1
6=1
12
El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de
modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias
componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes
y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio
7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
71 Teorema de la Probabilidad Total
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes
119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas
Entonces se verifica que
119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =
119899
119894=1
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119916
Demostracioacuten
119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =
= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =
= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951
1198601cap 119878
1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878
12
72 Teorema de Bayes
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde
ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
o lo que es lo mismo
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)
Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las
probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899
Demostracioacuten
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)
119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)=
119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
5
La identificacioacuten de los sucesos relativos a un experimento aleatorio implica disponer de
operaciones para formar nuevos sucesos desde otros sucesos dados Por este motivo introducimos
las operaciones entre sucesos
42 Operaciones elementales entre sucesos
Dados dos sucesos asociados a un experimento aleatorio se definen las siguientes operaciones
bull Unioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cup 119861 se describe como
ocurre 119860 u ocurre 119861 es decir el resultado pertenece o bien a 119860 o bien a 119861 o bien a
ambos simultaacuteneamente
bull Interseccioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cap 119861 se describe
como ocurren 119860 y 119861 simultaacuteneamente Si 119860 cap 119861 =empty se dice que 119860 y 119861 son sucesos
incompatibles
bull Contrario o complementario de un suceso si 119860 sub 119864 entonces 119860119888 o es el suceso
formado por todos los sucesos elementales que no estaacuten en 119860
Es importante observar que 119860 cup = 119864 119910 119860 cap = empty
bull Diferencia de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 minus 119861 es la
interseccioacuten del primer suceso con el contrario del segundo 119860 minus 119861 = 119860 cap
bull Diferencia simeacutetrica de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces definimos
el suceso 119860 119861 = (119860 minus 119861) cup (119861 minus 119860) es decir es el suceso que se verifica si y solo si se
verifica uno y solo uno de los sucesos 119860 o 119861
43 Propiedades de las operaciones con sucesos
o Conmutativa 119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860
o Asociativa (119860 cup 119861)cup 119862 = 119860cup (119861 cup 119862) (119860 cap 119861) cap119862 = 119860 cap (119861 cap 119862)
o Idempotente 119860 cup 119860 = 119860 119860 cap 119860 = 119860
o Existencia de neutros 119860 cup empty = 119860 119860 cap 119864 = 119860
o Absorcioacuten 119860 cup 119864 = 119864 119860 cap empty = empty
o Simplificativa 119860 cup (119860 cap 119861) = 119860 119860 cap (119860 cup 119861) = 119860
o Distributiva119860 cup (119861 cap 119862) = (119860 cup 119861) cap (119860 cup 119862) 119860 cap (119861 cup 119862) = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)
o Complementacioacuten = empty empty = 119864
o Involucioacuten =A
o Leyes de dualidad o de Morgan 119860 cup 119861 = cap 119860 cap 119861 = cup
o 119864 es el suceso seguro y empty el suceso imposible
5 Espacio de probabilidad Definicioacuten de probabilidad
El Caacutelculo de Probabilidades no se establecioacute como una ciencia matemaacutetica hasta principios del
siglo XX En esta eacutepoca el desarrollo de las Ciencias Naturales implicoacute fuertes demandas sobre esta
disciplina y se hizo necesario estudiar los conceptos baacutesicos de la Teoriacutea de la Probabilidad y
clarificar las condiciones bajo las cuales los resultados de la teoriacutea pudieran ser empleados Por
este motivo resultoacute esencial una construccioacuten axiomaacutetica que introdujera una estructura loacutegico-
formal en la Teoriacutea de la Probabilidad
6
51 Definicioacuten axiomaacutetica de probabilidad
Durante el siglo XX el matemaacutetico ruso Andrei Kolmogorov propuso una definicioacuten de
probabilidad que es la que seguimos utilizando hoy en diacutea
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864
Definimos la probabilidad como una funcioacuten 119901 que asocia a cada suceso 119860 de 119979(119864) un nuacutemero
real 119901(119860) que llamaremos su probabilidad
119901119979(119864) ⟼ℝ
119860 ⟼ 119901(119860)
que cumple las siguientes propiedades
A1) La probabilidad de cualquier suceso 119860 es positiva o cero 119901(119860) ge 0 forall119860 isin119979(119864)
A2) La probabilidad del suceso seguro es 1 119901(119864) = 1
A3) La probabilidad de la unioacuten de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos
es la suma de las probabilidades de los sucesos
forall 1198601 1198602 hellip 119860119899 isin119979(119864) tales que 119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895 se tiene que
119901(1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899)= 119901(1198601) + 119901(1198602) + ⋯+ 119901(119860119899)
Nota En matemaacuteticas un axioma es un resultado que se acepta sin que necesite demostracioacuten En
este caso decimos que eacutesta es la definicioacuten axiomaacutetica de la probabilidad porque definimos la
probabilidad como una funcioacuten que cumple estos tres axiomas
52 Consecuencias de la definicioacuten Propiedades
Sean 119860 119861 sucesos de un espacio muestral 119864
1 0 le 119901(119860) le 1
Demostracioacuten
Por A1) tenemos que 119901(119860) ge 0 Por otro lado si 119901(119860) gt 1 entonces 119901() = 1 minus 119901(119860) lt 0 lo cual es imposible por el axioma A1)
2 119901(empty) = 0
Demostracioacuten empty = ⟹ 119901(empty) = 119901() = 1 minus 119901(119864) = 1 minus 1 = 0
3 119901(119860) = 1 minus 119901()
Demostracioacuten
119901(119860 cup ) = 119901(119864) = 1⟹⏞1198603]
119901(119860) + 119901() = 1 ⟹ 119901(119860) = 1 minus 119901()
4 Si 119860 sube 119861 entonces 119901(119860) le 119901(119861)
Demostracioacuten
119861 = 119860 cup (119861 minus 119860)⟹⏞1198603]
119901(119861) = 119901(119860) + 119901(119861 minus 119860) = 119901(119860) + 119901(119861 cap ) ⟹ 119901(119861) ge 119901(119860)
5 Regla de la Adicioacuten 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)
Demostracioacuten
119860 cup 119861 = (119860 minus 119861) cup 119860 cap 119861) cup (119861 minus 119860) unioacuten de disjuntos y por tanto por el axioma A3 se tiene que 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860) Por otro lado
7
119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)
119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞
1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)
119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)
sumando miembro a miembro ambas expresiones
119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)
+ 119901(119860 cap 119861) de donde
119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)
6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964
119901 (⋃119860119894
119899
119894=1
) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)
119899
1198942lt1198943
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
119894=1
+⋯+
+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899
7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)
119903119894=1
53 Aproximacioacuten frecuentista
La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las
frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El
valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su
probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)
Ejemplo
Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si
se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud
119875(Obtener bola roja) =2
3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =
1
3= 0acute333hellip
En cambio
(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7
12= 0prime58333hellip
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5
12= 0prime41666hellip
(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69
120= 0prime575
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51
120= 0prime425
(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822
1200= 0prime685
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378
1200= 0prime315
Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una
sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada
repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades
8
54 Ley de Laplace
Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con
espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son
equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de
Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente
expliacutecito del concepto de probabilidad
En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la
probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la
siguiente forma
119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864
ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables
entre el nordm de casos posiblesrdquo
Ejemplo
Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente
equilibrado
El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los
resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1
2 no obstante vamos a
comprobarlo
El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la
misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de
Laplace
Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo
119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =
2 4 6
1 2 3 4 5 6=3
6=1
2
6 Probabilidad condicionada
Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir
antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la
frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir
No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha
concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el
resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que
disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento
aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos
Ejemplo
Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5
La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15
Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la
9
probabilidad de que sea la 5 es entonces 12
Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al
suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada
Ejercicio
Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la
probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2
El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados
1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12
y tomar como espacio muestral
Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)
El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por
S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)
y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es
A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)
Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16
Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten
61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada
La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0
se llama probabilidad condicionada
Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es
119901(B|A) =119901(A cap B)
119901(A)
A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de
la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de
10
probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la
multiplicacioacuten
62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten
La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad
de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la
probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente
De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)
119901(119860) obtenemos
119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)
Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B
119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)
Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos
119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)
helliphelliphelliphellip
119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)
Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta
Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la
probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de
independencia de sucesos
63 Dependencia e independencia de sucesos
En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto
no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la
siguiente definicioacuten de sucesos independientes
Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que
119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)
Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo
bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo
119901(119861) = 0
bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten
son independientes dado que
p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =
= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()
bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo
son
Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las
caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia
numeacuterica
11
Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado
por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que
119901(Obtener cara)=6
12=1
2
p(Obtener al menos 3) =8
12=2
3
119901(Obtener cara y al menos 3)=4
12=1
3
La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)
establece que ambos sucesos son independientes
La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier
suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de
probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo
119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1
2middot1
6=1
12
El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de
modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias
componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes
y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio
7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
71 Teorema de la Probabilidad Total
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes
119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas
Entonces se verifica que
119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =
119899
119894=1
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119916
Demostracioacuten
119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =
= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =
= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951
1198601cap 119878
1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878
12
72 Teorema de Bayes
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde
ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
o lo que es lo mismo
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)
Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las
probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899
Demostracioacuten
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)
119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)=
119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
6
51 Definicioacuten axiomaacutetica de probabilidad
Durante el siglo XX el matemaacutetico ruso Andrei Kolmogorov propuso una definicioacuten de
probabilidad que es la que seguimos utilizando hoy en diacutea
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864
Definimos la probabilidad como una funcioacuten 119901 que asocia a cada suceso 119860 de 119979(119864) un nuacutemero
real 119901(119860) que llamaremos su probabilidad
119901119979(119864) ⟼ℝ
119860 ⟼ 119901(119860)
que cumple las siguientes propiedades
A1) La probabilidad de cualquier suceso 119860 es positiva o cero 119901(119860) ge 0 forall119860 isin119979(119864)
A2) La probabilidad del suceso seguro es 1 119901(119864) = 1
A3) La probabilidad de la unioacuten de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos
es la suma de las probabilidades de los sucesos
forall 1198601 1198602 hellip 119860119899 isin119979(119864) tales que 119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895 se tiene que
119901(1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899)= 119901(1198601) + 119901(1198602) + ⋯+ 119901(119860119899)
Nota En matemaacuteticas un axioma es un resultado que se acepta sin que necesite demostracioacuten En
este caso decimos que eacutesta es la definicioacuten axiomaacutetica de la probabilidad porque definimos la
probabilidad como una funcioacuten que cumple estos tres axiomas
52 Consecuencias de la definicioacuten Propiedades
Sean 119860 119861 sucesos de un espacio muestral 119864
1 0 le 119901(119860) le 1
Demostracioacuten
Por A1) tenemos que 119901(119860) ge 0 Por otro lado si 119901(119860) gt 1 entonces 119901() = 1 minus 119901(119860) lt 0 lo cual es imposible por el axioma A1)
2 119901(empty) = 0
Demostracioacuten empty = ⟹ 119901(empty) = 119901() = 1 minus 119901(119864) = 1 minus 1 = 0
3 119901(119860) = 1 minus 119901()
Demostracioacuten
119901(119860 cup ) = 119901(119864) = 1⟹⏞1198603]
119901(119860) + 119901() = 1 ⟹ 119901(119860) = 1 minus 119901()
4 Si 119860 sube 119861 entonces 119901(119860) le 119901(119861)
Demostracioacuten
119861 = 119860 cup (119861 minus 119860)⟹⏞1198603]
119901(119861) = 119901(119860) + 119901(119861 minus 119860) = 119901(119860) + 119901(119861 cap ) ⟹ 119901(119861) ge 119901(119860)
5 Regla de la Adicioacuten 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)
Demostracioacuten
119860 cup 119861 = (119860 minus 119861) cup 119860 cap 119861) cup (119861 minus 119860) unioacuten de disjuntos y por tanto por el axioma A3 se tiene que 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860) Por otro lado
7
119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)
119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞
1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)
119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)
sumando miembro a miembro ambas expresiones
119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)
+ 119901(119860 cap 119861) de donde
119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)
6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964
119901 (⋃119860119894
119899
119894=1
) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)
119899
1198942lt1198943
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
119894=1
+⋯+
+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899
7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)
119903119894=1
53 Aproximacioacuten frecuentista
La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las
frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El
valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su
probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)
Ejemplo
Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si
se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud
119875(Obtener bola roja) =2
3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =
1
3= 0acute333hellip
En cambio
(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7
12= 0prime58333hellip
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5
12= 0prime41666hellip
(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69
120= 0prime575
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51
120= 0prime425
(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822
1200= 0prime685
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378
1200= 0prime315
Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una
sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada
repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades
8
54 Ley de Laplace
Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con
espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son
equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de
Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente
expliacutecito del concepto de probabilidad
En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la
probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la
siguiente forma
119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864
ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables
entre el nordm de casos posiblesrdquo
Ejemplo
Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente
equilibrado
El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los
resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1
2 no obstante vamos a
comprobarlo
El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la
misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de
Laplace
Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo
119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =
2 4 6
1 2 3 4 5 6=3
6=1
2
6 Probabilidad condicionada
Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir
antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la
frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir
No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha
concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el
resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que
disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento
aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos
Ejemplo
Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5
La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15
Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la
9
probabilidad de que sea la 5 es entonces 12
Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al
suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada
Ejercicio
Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la
probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2
El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados
1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12
y tomar como espacio muestral
Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)
El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por
S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)
y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es
A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)
Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16
Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten
61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada
La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0
se llama probabilidad condicionada
Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es
119901(B|A) =119901(A cap B)
119901(A)
A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de
la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de
10
probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la
multiplicacioacuten
62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten
La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad
de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la
probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente
De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)
119901(119860) obtenemos
119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)
Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B
119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)
Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos
119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)
helliphelliphelliphellip
119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)
Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta
Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la
probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de
independencia de sucesos
63 Dependencia e independencia de sucesos
En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto
no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la
siguiente definicioacuten de sucesos independientes
Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que
119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)
Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo
bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo
119901(119861) = 0
bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten
son independientes dado que
p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =
= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()
bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo
son
Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las
caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia
numeacuterica
11
Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado
por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que
119901(Obtener cara)=6
12=1
2
p(Obtener al menos 3) =8
12=2
3
119901(Obtener cara y al menos 3)=4
12=1
3
La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)
establece que ambos sucesos son independientes
La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier
suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de
probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo
119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1
2middot1
6=1
12
El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de
modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias
componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes
y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio
7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
71 Teorema de la Probabilidad Total
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes
119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas
Entonces se verifica que
119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =
119899
119894=1
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119916
Demostracioacuten
119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =
= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =
= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951
1198601cap 119878
1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878
12
72 Teorema de Bayes
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde
ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
o lo que es lo mismo
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)
Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las
probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899
Demostracioacuten
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)
119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)=
119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
7
119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)
119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞
1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)
119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)
sumando miembro a miembro ambas expresiones
119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)
+ 119901(119860 cap 119861) de donde
119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)
6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964
119901 (⋃119860119894
119899
119894=1
) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)
119899
1198942lt1198943
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
1198941lt1198942
119899
1198941=1
119899
119894=1
+⋯+
+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899
7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)
119903119894=1
53 Aproximacioacuten frecuentista
La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las
frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El
valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su
probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)
Ejemplo
Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si
se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud
119875(Obtener bola roja) =2
3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =
1
3= 0acute333hellip
En cambio
(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7
12= 0prime58333hellip
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5
12= 0prime41666hellip
(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69
120= 0prime575
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51
120= 0prime425
(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822
1200= 0prime685
119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378
1200= 0prime315
Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una
sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada
repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades
8
54 Ley de Laplace
Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con
espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son
equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de
Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente
expliacutecito del concepto de probabilidad
En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la
probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la
siguiente forma
119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864
ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables
entre el nordm de casos posiblesrdquo
Ejemplo
Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente
equilibrado
El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los
resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1
2 no obstante vamos a
comprobarlo
El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la
misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de
Laplace
Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo
119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =
2 4 6
1 2 3 4 5 6=3
6=1
2
6 Probabilidad condicionada
Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir
antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la
frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir
No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha
concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el
resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que
disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento
aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos
Ejemplo
Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5
La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15
Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la
9
probabilidad de que sea la 5 es entonces 12
Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al
suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada
Ejercicio
Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la
probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2
El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados
1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12
y tomar como espacio muestral
Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)
El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por
S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)
y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es
A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)
Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16
Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten
61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada
La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0
se llama probabilidad condicionada
Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es
119901(B|A) =119901(A cap B)
119901(A)
A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de
la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de
10
probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la
multiplicacioacuten
62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten
La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad
de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la
probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente
De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)
119901(119860) obtenemos
119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)
Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B
119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)
Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos
119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)
helliphelliphelliphellip
119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)
Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta
Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la
probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de
independencia de sucesos
63 Dependencia e independencia de sucesos
En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto
no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la
siguiente definicioacuten de sucesos independientes
Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que
119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)
Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo
bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo
119901(119861) = 0
bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten
son independientes dado que
p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =
= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()
bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo
son
Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las
caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia
numeacuterica
11
Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado
por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que
119901(Obtener cara)=6
12=1
2
p(Obtener al menos 3) =8
12=2
3
119901(Obtener cara y al menos 3)=4
12=1
3
La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)
establece que ambos sucesos son independientes
La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier
suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de
probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo
119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1
2middot1
6=1
12
El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de
modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias
componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes
y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio
7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
71 Teorema de la Probabilidad Total
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes
119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas
Entonces se verifica que
119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =
119899
119894=1
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119916
Demostracioacuten
119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =
= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =
= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951
1198601cap 119878
1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878
12
72 Teorema de Bayes
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde
ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
o lo que es lo mismo
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)
Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las
probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899
Demostracioacuten
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)
119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)=
119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
8
54 Ley de Laplace
Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con
espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son
equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de
Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente
expliacutecito del concepto de probabilidad
En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la
probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la
siguiente forma
119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864
ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables
entre el nordm de casos posiblesrdquo
Ejemplo
Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente
equilibrado
El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los
resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1
2 no obstante vamos a
comprobarlo
El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la
misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de
Laplace
Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo
119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares
119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =
2 4 6
1 2 3 4 5 6=3
6=1
2
6 Probabilidad condicionada
Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir
antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la
frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir
No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha
concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el
resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que
disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento
aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos
Ejemplo
Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5
La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15
Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la
9
probabilidad de que sea la 5 es entonces 12
Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al
suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada
Ejercicio
Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la
probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2
El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados
1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12
y tomar como espacio muestral
Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)
El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por
S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)
y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es
A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)
Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16
Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten
61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada
La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0
se llama probabilidad condicionada
Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es
119901(B|A) =119901(A cap B)
119901(A)
A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de
la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de
10
probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la
multiplicacioacuten
62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten
La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad
de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la
probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente
De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)
119901(119860) obtenemos
119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)
Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B
119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)
Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos
119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)
helliphelliphelliphellip
119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)
Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta
Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la
probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de
independencia de sucesos
63 Dependencia e independencia de sucesos
En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto
no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la
siguiente definicioacuten de sucesos independientes
Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que
119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)
Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo
bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo
119901(119861) = 0
bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten
son independientes dado que
p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =
= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()
bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo
son
Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las
caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia
numeacuterica
11
Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado
por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que
119901(Obtener cara)=6
12=1
2
p(Obtener al menos 3) =8
12=2
3
119901(Obtener cara y al menos 3)=4
12=1
3
La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)
establece que ambos sucesos son independientes
La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier
suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de
probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo
119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1
2middot1
6=1
12
El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de
modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias
componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes
y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio
7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
71 Teorema de la Probabilidad Total
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes
119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas
Entonces se verifica que
119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =
119899
119894=1
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119916
Demostracioacuten
119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =
= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =
= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951
1198601cap 119878
1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878
12
72 Teorema de Bayes
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde
ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
o lo que es lo mismo
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)
Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las
probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899
Demostracioacuten
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)
119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)=
119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
9
probabilidad de que sea la 5 es entonces 12
Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al
suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada
Ejercicio
Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la
probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2
El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados
1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12
y tomar como espacio muestral
Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)
El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por
S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)
y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es
A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)
Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16
Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten
61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada
La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0
se llama probabilidad condicionada
Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es
119901(B|A) =119901(A cap B)
119901(A)
A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de
la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de
10
probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la
multiplicacioacuten
62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten
La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad
de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la
probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente
De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)
119901(119860) obtenemos
119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)
Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B
119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)
Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos
119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)
helliphelliphelliphellip
119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)
Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta
Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la
probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de
independencia de sucesos
63 Dependencia e independencia de sucesos
En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto
no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la
siguiente definicioacuten de sucesos independientes
Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que
119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)
Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo
bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo
119901(119861) = 0
bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten
son independientes dado que
p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =
= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()
bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo
son
Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las
caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia
numeacuterica
11
Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado
por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que
119901(Obtener cara)=6
12=1
2
p(Obtener al menos 3) =8
12=2
3
119901(Obtener cara y al menos 3)=4
12=1
3
La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)
establece que ambos sucesos son independientes
La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier
suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de
probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo
119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1
2middot1
6=1
12
El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de
modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias
componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes
y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio
7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
71 Teorema de la Probabilidad Total
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes
119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas
Entonces se verifica que
119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =
119899
119894=1
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119916
Demostracioacuten
119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =
= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =
= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951
1198601cap 119878
1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878
12
72 Teorema de Bayes
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde
ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
o lo que es lo mismo
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)
Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las
probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899
Demostracioacuten
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)
119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)=
119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
10
probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la
multiplicacioacuten
62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten
La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad
de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la
probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente
De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)
119901(119860) obtenemos
119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)
Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B
119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)
Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos
119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)
helliphelliphelliphellip
119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)
Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta
Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la
probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de
independencia de sucesos
63 Dependencia e independencia de sucesos
En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto
no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la
siguiente definicioacuten de sucesos independientes
Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que
119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)
Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo
bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo
119901(119861) = 0
bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten
son independientes dado que
p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =
= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()
bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo
son
Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las
caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia
numeacuterica
11
Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado
por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que
119901(Obtener cara)=6
12=1
2
p(Obtener al menos 3) =8
12=2
3
119901(Obtener cara y al menos 3)=4
12=1
3
La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)
establece que ambos sucesos son independientes
La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier
suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de
probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo
119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1
2middot1
6=1
12
El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de
modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias
componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes
y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio
7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
71 Teorema de la Probabilidad Total
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes
119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas
Entonces se verifica que
119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =
119899
119894=1
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119916
Demostracioacuten
119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =
= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =
= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951
1198601cap 119878
1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878
12
72 Teorema de Bayes
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde
ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
o lo que es lo mismo
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)
Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las
probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899
Demostracioacuten
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)
119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)=
119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
11
Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado
por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que
119901(Obtener cara)=6
12=1
2
p(Obtener al menos 3) =8
12=2
3
119901(Obtener cara y al menos 3)=4
12=1
3
La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)
establece que ambos sucesos son independientes
La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier
suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de
probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo
119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1
2middot1
6=1
12
El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de
modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias
componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes
y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio
7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
71 Teorema de la Probabilidad Total
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes
119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas
Entonces se verifica que
119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =
119899
119894=1
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119916
Demostracioacuten
119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =
= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =
= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951
1198601cap 119878
1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878
12
72 Teorema de Bayes
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde
ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
o lo que es lo mismo
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)
Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las
probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899
Demostracioacuten
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)
119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)=
119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
12
72 Teorema de Bayes
Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos
1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde
ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899
Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)
o lo que es lo mismo
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)
Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las
probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899
Demostracioacuten
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)
119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)
119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando
119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(119878)=
119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)
119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)