TEMA 5: TEMA 5: DIFERENCIACIÓNDIFERENCIACIÓNTEMA 5: TEMA 5: DIFERENCIACIÓNDIFERENCIACIÓN
• La derivada y su interpretación geométrica y La derivada y su interpretación geométrica y económicaeconómica• Propiedades de la derivadaPropiedades de la derivada• La regla de la cadenaLa regla de la cadena• Teoremas de Rolle y del Valor MedioTeoremas de Rolle y del Valor Medio• Regla de l’HôpitalRegla de l’Hôpital• Derivadas sucesivasDerivadas sucesivas• Polinomio de TaylorPolinomio de Taylor• Extremos relativosExtremos relativos• Concavidad y ConvexidadConcavidad y Convexidad
La derivada y su interpretación geométrica y económica
• Definición. Dada una función f : D y un punto a D, se dice que f es derivable en el punto a si existe
En este caso dicho límite se denota por f’(a) y se dice que es la derivada de f en a. La derivada de f en a se puede expresar de distintas formas:
limh 0
f(a h) f(a)
h
df(a)
dxfx
' (a) f '(a) limh 0
f(a h) f(a)
hlim
x a
f(x) f(a)
x a
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
a+h
f(a+h)
a
f(a)
f(x)
h
f(a+h)-f(a)
f’(a)=m= pendiente de la recta tangente a f(x) en P(a,f(a)) es igual a la tg, siendo el ángulo formado por la recta tangente con el eje OX.
y=f(a)+m(x-a)
TASAS DE CAMBIO Y SU INTERPRETACIÓN ECONÓMICA
Sea la función y = f(x), y supongamos que x toma los valores a and a+h. Entonces, el cambio en el valor de la función (incremento de f) es f(a) = f(a+h) – f(a) La tasa de cambio media de f en el intervalo entre a y a+h es
La tasa de cambio instantánea de f en a es f’(a)
La tasa de cambio proporcional de f en a is f’(a)/f(a). Esta tasa es conocida también como
tasa de cambio relativa.
f(a)
h
f(a h) f(a)
h
Derivadas
f(x)= c, f‘(x)=0; f(x)=x, f’(x)=1 f(x)=a.x, f’(x)=a
f(x)=xn f’(x)= n.xn-1 f(x)=ex f’(x)= ex f(x)= ax f’(x)=ax.ln a
f(x)=logax f’(x)= (1/x)logae
f(x)= sen x f’(x)=cos x f(x) = cos x f’(x) = -sen x
f(x) = tagx f’(x)=1/(cos2x) = 1 + tag2x
f(x) =cotagxf’(x)=-1/(sen2x) = -(1+cotag2x)
f(x)= arccosxf’(x)=-1/(1- x2)1/2
f(x)=arctg x f’(x)=1/(1+x2)
f(x)= arcsenxf’(x)=1/(1- x2)1/2
f(x)=g(u) con u=h(x)f’(x)=g’(u).h’(x)
Algebra de DerivadasDadas dos funciones f , g:D derivables en D, se verifica que
1. f+g es derivable en D y (f+g)’(x)= f’(x)+g’(x)
2. f.g es derivable en D y (f.g)’(x)= f’(x).g(x)+f(x).g’(x)
3. (f/g) es derivable en D, si g(x)0, xD y (f/g)’(x)=(f’(x).g(x)-f(x).g’(x))/(g(x)2)
4. f(x) es derivable en D y (f(x))’= f’(x)
5. Regla de la cadena: Si f(x) es derivable en a y g(x) es derivable en f(a), (gof)(x) es derivable en a y se verifica
(gof)’(a)=g’(f(a)).f’(a)
Ejemplos de funciones compuestas derivablesSi u = u(x) es una función de x, entonces
f(x)=u f’(x)=u’;
f(x)=a.u f’(x)=a.u’f(x)=un f’(x)= n.un-1u’f(x)=eu f’(x)= euu’; f(x)=au f’(x)=u’.au.ln af(x)=logau f’(x)= (u’/u)logaef(x)= sen u f’(x)=u’cos uf(x) = cos u f’(x) = -u’.sen u
f(x)= tag u f’(x)= u’(1+tag2u)=u’/(cos2u)
f(x)=arctg u f’(x)=u’/(1+u2)
2 2
' '( ) arcsin '( ) ( ) arccos '( )
1 1
u uf x u f x f x u f x
u u
INTERPRETACIÓN ECONÓMICA
• Si C(x) es el coste de producir x unidades, C’(x) es el coste marginal (en x)
•Si R(x) es el ingreso por vender x unidades, R’(x) es el ingreso marginal (en x)
•Si (x) es el beneficio por producir (y vender) x unidades, ’(x) es el beneficio marginal.
•Enn general en Economía, Marginal = Derivada.
•La propensión marginal al consumo es la derivada de la función consumo con respecto a la renta.
•El producto marginal (o productividad) del trabajo es la derivada de la función de produción con respecto al trabajo.
•A veces se aproxima C’(x) C(x+1)-C(x)
•La elasticidad de f con respecto a x es
Elxf(x)
x
f(x)f '(x)
FUNCIONES MONÓTONAS. CARACTERIZACIÓN
Dada una función f: D derivable en D, se verifica que:
1. f’(x) 0 en D si y solo si f es creciente en D.
2. f’(x) 0 en D si y solo si f es decreciente en D.
3. f’(x) =0 en D si y solo si f es constante en D.
4. f’(x) >0 en D si y solo si f es estrictamente creciente en D.
5. f’(x) <0 en D si y solo si f es estrictamente decreciente en D.
Proposición.
Dada una función f: D derivable en aD, entonces f es continua en a.
Teorema de RolleDada una función f: [a,b] derivable en (a,b) y continua en los extremos a y b, se verifica queSi f(a) = f(b), entonces existe un punto interior c, por los menos, en el que f’(c) = 0.
Teorema del Valor MedioDada una función f: [a,b] derivable en (a,b) y continua en los extremos a y b, se verifica que existe un punto c(a,b) tal que
f(b) - f(a) = f’(c).(b-a)
Teorema del valor medio generalizadoDadas dos funciones f, g: [a,b] derivables en (a,b), continuas en los extremos a y b, y tales que no existe ningún punto x del interior del intervalo en el que f’(x) y g’(x) sean ambas infinitas, se verifica que existe algún punto c interior al intervalo donde
g’(c)[f(b) - f(a)] = f’(c).[g(b)-g(a)]
Si g(x)= x, se obtiene el Teorema anterior
APROXIMACIÓN LINEAL Y DIFERENCIAL
Sea una función f(x) derivable en x=a. La tangente a la gráfica en el punto (a,f(a)) tiene por ecuación
y=f(a)+f’(a)(x-a)
Si aproximamos la gráfica de f por su recta tangente en x=a, estamos haciendo una aproximación lineal en f de modo que
f(x) f(a)+f’(a)(x-a) (x próximo a a)
x
f(a)f(x)
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Sea una función derivable y=f(x), y denotemos por dx un incremento arbitrario de la variable x. Llamaremos diferencial de f a la expresión f’(x)dx, y la denotamos por dy (or df)
df(x)= dy= f’(x)dx ≈f(x+dx)-f(x)
Idea intuitiva: Vease la aproximación lineal.
Reglas para el cálculo diferencial
d(af+bg)=adf+adg
d(f.g)=df.g+f.dg…..
DERIVACIÓN IMPLICITA
Si dos variables x e y están relacionadas por una ecuación, para hallar y’(x):
1- Derivar cada lado de la ecuación c.r.a. x considerando y como función de x
2- Resolver la ecuación resultante respecto a y’.
Derivadas de orden superior
Dada una función f: D derivable en D, se puede considerar la función derivada primera de f
f’: D /xf’(x)
Del mismo modo, si f’ es derivable en D, se denomina derivada segunda a la función
f’’=(f’)’ D / x(f’(x))’
Sucesivamente, se define la derivada n-ésima de f, si existe, como
f (n = (f(n-1))’ :D /x (f(n-1 ( x) )’
INDETERMINACIONES. REGLA DE L’HÔPITAL
En el estudio de un límite cuando x tiene a a de un cociente en el que el numerador y el denominador tienden a 0, escribimos
Este límite es una Indeterminación del tipo 0/0. (a puede ser sustituido por a+, a-,.)
Regla de L’Hôpital (versión simple)
Si f y g son diferenciables en a, con g(a)=f(a)=0, y g’(a)0, then
limx a
f(x)
g(x)
0
0
limx a
f(x)
g(x)
f '(a)
g'(a)
Teorema: Regla de L’Hôpital (tipo 0/0)
Supongamos dos funciones f y g diferenciables en (,) que contine al punto a, excepto posibiblemente en a, y supongamos que f(x) y g(x) ambas tienden a 0 cuando x tiende a a. Si g’(x)0 para todo xa en (,), y si
con L finito, L = +, L=-, entonces
Teorema: Regla de L’Hôpital (otros tipos de indeterminaciones)
La regla de L’Hôpital se puede extender a otros casos. Por ejemplo:
• a puede tomar los valores .
• a puede ser un punto extremo del intervalo (,).
• La regla también se verifica cuando la indeterminación es del tipo /.
limx a
f '(x)
g'(x)L
limx a
f(x)
g(x)lim
x a
f '(x)
g'(x)L
FORMULA DE TAYLOR
Intuición: Recordar la fórmula de la recta tangente a la función f en un punto a
y=f(a)+ f’(a)(x-a)
Esta línea esta tan cerca de la función como se quiera si se considera un x suficientemente cercano a a.
Formula de Taylor
Supongamos f es n+1 veces diferenciable en un intervalo que contiene a (a-h,a+h). Entonces, si x (a-h,a+h), f(x) puede escribirse como
donde Rn+1(x) es el Resto de Taylor, y viene dado por
para algún número real c entre x y a.
f(x) f(a) f '(a)
1!(x a)
f ' '(a)
2!(x a)2 ...
f (n (a)
n!(x a)n Rn1(x)
Rn 1(x) f (n1(c)
n 1!(x a)n1
Esto significa que
Cuanto mayor es n, mejor es la aproximación
Si a=0, la fórmula de Taylor es conocida como Fórmula de McLaurin
f(x) f(a) f '(a)
1!(x a)
f ' '(a)
2!(x a)2 ...
f (n (a)
n!(x a)n
f(x) f(0) f '(0)
1!x
f ' '(0)
2!x ...
f (n (0)
n!xn Rn 1(x)
PUNTOS EXTREMOS (OPTIMOS)
Sea f: D una función. Diremos que
c D es un punto máximo global de f f(x) f(c) para todo x en D
c D es un punto mínimo global de f f(c) f(x) para todo x en D
Si el valor de f en c es estrictamente mayor que en cualquier otro punto de D, entonces c es un punto máximo global estricto.
Si el valor de f en c es estrictamente menor que en cualquier otro punto de D, entonces c es un punto mínimo global estricto.
• Si el valor de f en c es el mayor de todos los puntos de un entorno de c entonces c es un punto máximo local.
• c es un punto máximo local si exite un intervalo (,) alrededor de c tal que f(x) f(c) para todo x en (,) que esté en el dominio D.
• Si el valor de f en c es el menor de todos los puntos de un entorno de c entonces c es un punto mínimo local.
• c es un punto mínimo local si exite un intervalo (,) alrededor de c tal que f(c) f(x) para todo x en (,) que esté en el dominio D..
Teorema
Sea f una función diferenciable en un conjunto I y sea c un punto interior de I – es decir, no un punto frontera de I. Una condición necesaria para que x=c sea un punto máximo o mínimo de f en I es que x=c sea un punto estacionario de f, es decir
f’(x) = 0
Test para Max/min con la primera derivada.
Si f’(x) 0 para cx, y f’(x)0 para xc , entonces x = c es punto máximo de f.
Si f’(x) 0 para xc, y f’(x)0 para cx , entonces x = c es un punto mínimo de f.
a
f(x)
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
Definición
Dada una función f: D , y un punto a D,
Se dice que f es concava en a si y sólo si
f(x) f(a)+f’(a)(x-a)
Se dice que f es convexa en a si y sólo si
f(x) f(a)+f’(a)(x-a)
Proposición
Dada f: D dos veces diferenciable en D,
f’’(x) es la derivada de f’(x). Se verifica que
f’’(x)0 en D f’ es creciente en D f es convexa en D
f’’(x)0 en D f’ es decreciente en D f es concava en D
a
f(x)
Representación Gráfica de una Función y=f(x)
1. Dominio de la Función f(x)
2. Cortes con los ejes
Corte a OX: se hace y=0, se calculan los correspondientes valores de x
Corte a OY: se hace x=0, se calculan los correspondientes valores de f(x)
3. Simetrías
Respecto del eje OY: f(x)=f(-x) xDominio
Respecto del origen: f(x)=-f(-x) xDominio
4. Periodicidad
Funciones trigonométricas, etc....
5. Cálculo de y’=f’(x)
Valores de x tales que f’(x)=0
Valores de x tales que f’(x)>0 (intervalos de crecimiento)
Valores de x tales que f’(x)<0 (intervalos de decrecimiento) Si f’(x)=0, f’(x+h)>0, f’(x-h)<0 entonces en (x, f(x)) mínimo
Si f’(x)=0, f’(x+h)<0, f’(x+h)>0 entonces en (x,f(x)) máximo
6. Cálculo de y’’=f’’(x)
Valores de x tales que f’’(x)>0 (intervalos de convexidad)
Valores de x tales que f’’(x)<0 (intervalos de concavidad)
Valor de f’’(x) en los puntos hallados en 3.1
f’’(x)>0 mínimos f’’(x)<0 máximos
7. Cálculo del valor de la ordenada en los máximos y los mínimos
8. Cálculo de los x tales f’’(x)=0
Si sig(f’’(x+h))sig(f’’(x-h)) para 0<h< , hay punto de inflexión
9. Cálculo de f’’’(x)
Si f’’’(x)0 para los valores hallados en (8), hay punto de inflexión
10. Asíntotas
Verticales: las rectas x=a tales que lim f(x) = cuando xa
Horizontales: y=b, tales que lim f(x)=b cuando x
Oblicuas: y=mx+n tal que
m=lim (f(x)/x) cuando x
n=lim (f(x)-mx) cuando x
11. Regiones / GRAFICA