Tema V
Cilindros de pared gruesa
Ecuaciones fundamentales para el caso de un cuerpo sometido a cargas
simétricas (con respecto al eje Z)
TE
TE
TE
rzz
zr
zrr
1
1
1
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
ecuaciones fundamentales
TE
TE
TE
rz
r
rr
1
1
Haciendo σz=0 se tiene que:
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
ecuaciones fundamentales
212
212
212
1
1
1
ETJG
ETJG
ETJG
zz
rr
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
ecuaciones fundamentales
TE
TE
TE
rzz
z
zrr
r
11211
11211
11211
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Las ecuaciones anteriores también pueden ser escritas así:
ecuaciones fundamentales
Haciendo σz=0 se tiene que:
0
11
11
2
2
z
r
rr
TE
TE
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
La deformación axial puede escribirse también como:
ecuaciones fundamentales
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
TErz
1
Haciendo z=0 se tiene:
ETE
ETE
r
rr
11
11
ecuaciones fundamentales
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Haciendo z=0 se tiene:
ecuaciones fundamentales
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
ETE
ETE
r
rr
11121
11121
Ecuación de equilibrio para un elemento de volumen simétrico
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
ecuación de equilibrio
02
2
drdzrdFdzddrrdddrdzdzrd rrrr
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
0
rrr F
drd
r
Dividiendo entre (rdΦdrdz) se obtiene:
Caso general de esfuerzo plano (σz=0) considerando espesor
constante (t=ctte)
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
2
2
22
2 111
rF
rotacióndeinerciadefuerzalaesFdonde
FEdr
rdTrru
drrdu
rdrrud
r
r
r
caso general de esfuerzo planoIntegrando dos veces con respecto a robtendríamos:
2
21222
22122
2
21
322
11831
1183
811
1
1
1
rECECrrETrdrrT
rE
rECECrrdrrT
rE
rCrCr
ErdrrT
rru
r
r
r
rr
r
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Caso general de deformación plana (z=0) con espesor constante (t=ctte)
2112
121
12111821
11
12111823
1
18121
11
122
22122
2
22122
2
21
32
1
1
1
CErrET
rECECrrETdrrT
rE
rECECrdrrT
rE
rCrCr
EdrrT
rru
z
r
r
r
rr
r
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros de pared gruesa sometidos a presión interna y externa
Cilindros sometidos a esfuerzo plano σz=0, cilindrosabiertos o cortos (discos).
Cilindros sometidos a deformación plana z=0,extremos del cilindro restringidos o cilindros muylargos.
Cilindros con tapas (σz y z diferentes de cero).
Cilindro de pared gruesa sometido a presión internasolamente.
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindro de pared gruesa sometido a presiónexterna solamente.
Cilindro de pared gruesa con presión interior yexterior iguales.
Cilindro dentro de un medio elástico infinito.
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
cilindros de pared gruesa sometidos a presión interna y externa
Cilindro sometido a esfuerzo plano σz=0,cilindros abiertos o cortos
(discos)
P1 P1
P1r1 r2
P2P2
P2 P2
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
cilindro sometido a esfuerzo plano
r
CrCru 21
0
11
11
221
221
z
r
rECEC
rECEC
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
A partir de las ecuaciones de esfuerzoplano, haciendo T(r)=0 y w=0
Condiciones de borde
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
21
22
1212
22
2
21
22
2122
21
1
1
1
rrPrPr
EC
rrPPrr
EC
Desplazamiento
2
2
1
222
1
2
11
21
22
22
21
11
1111
rr
PKy
rr
PKdonde
rrr
EK
rrr
EKru
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Esfuerzos
0
11
11
21
2
22
1
21
2
22
1
z
r
rrK
rrK
rrK
rrK
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Deformaciones
21
122
21
212
221
2
1111
1111
KKE
rr
EK
rr
EK
rr
EK
rr
EK
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros sometidos a deformación plana z=0; extremos del cilindro
restringidos o cilindros muy largos
P2 P2
P2 P2
P1 P1 P1r1 r2
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
cilindros sometidos e deformación plana
r
CrCru 21
2112
1211
1211
1
221
221
CEr
ECECr
ECEC
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
A partir de las ecuaciones de deformaciónplana tenemos haciendo T(r)=0 y w=0tenemos:
Condiciones de borde
21
22
2122
21
2
21
22
1212
22
1
1
211
rrPPrr
EC
rrPrPr
EC
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Desplazamiento en función de las presiones interna y externa
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
rrr
PPrrE
rrr
PrPrE
ru 1121121
22
2122
21
21
22
1212
22
Esfuerzos en función de las presiones interna y externa
21
22
2221
21
21
22
222
211
221
22
1222
21
21
22
222
211
221
22
1222
21
2
1
1
rrPrPr
rrrPrP
rrrPPrr
rrrPrP
rrrPPrr
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Desplazamiento
2
2
1
222
1
2
11
21
2
2
22
2
1
11
21211
rr
PKy
rr
PKdonde
rrrK
rrrK
Eru
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Los esfuerzos y deformaciones anteriorespueden ser escritos también de la siguientemanera
Esfuerzos
21
21
2
22
1
21
2
22
1
2
11
11
KK
rrK
rrK
rrK
rrK
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Deformaciones
0
21211
21211
21
2
22
1
21
2
22
1
z
r
rrK
rrK
E
rrK
rrK
E
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros con tapas (σz y z diferentes de cero)
P2P2
P2 P2
P1
P1
P1 P1
P2
P2
P2
P2
P2
P2
r1 r2
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros con tapas (σz y z diferentes de cero)
z
r
rr
z
r
rr
rECECrrETdrrT
rE
rECECrdrrT
rE
rCrCru
111831
11183
22122
2
22122
2
21
1
1
Condiciones de borde
21
22
2122
21
2
21
22
2221
21
1
1
1
rrPPrr
EC
ErrPrPr
EC z
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Desplazamiento en función de las presiones interna y externa
rErrr
PPrrE
rrr
PrPrE
ru z
111
21
22
2122
21
21
22
2221
21
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Esfuerzos en función de las presiones interna y externa
21
22
222
211
21
22
222
211
221
22
1222
21
21
22
222
211
221
22
1222
21
1
1
rrrPrP
rrrPrP
rrrPPrr
rrrPrP
rrrPPrr
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Desplazamiento
2
2
1
222
1
2
11
21
22
22
21
11
121121
rr
PKy
rr
PKdonde
rrr
EK
rrr
EKru
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Los esfuerzos y deformaciones anteriorespueden ser escritos también de la siguientemanera
Esfuerzos
21
21
2
22
1
21
2
22
1
11
11
KK
rrK
rrK
rrK
rrK
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Deformaciones
21
212
221
212
221
21
121121
121121
KKE
rr
EK
rr
EK
rr
EK
rr
EK
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindro de pared gruesa sometido a presión interna solamente
Cilindros sometidos a presión interior en esfuerzoplano σz=0.
Cilindros sometidos a presión interior endeformación plana z=0.
Cilindros sometidos a presión interior con tapas σzy z diferentes de cero.
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros sometidos a presión interior en esfuerzo plano σz=0
P1 P1
P1r1 r2
P2=0
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Desplazamiento
rrr
EKru 11 2
22
1
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
12
1
2
11
rr
PKdonde
Esfuerzos
0
1
1
22
1
22
1
z
r
rrK
rrK
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Deformaciones
1
221
221
2
11
11
KE
rr
EK
rr
EK
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Esfuerzo tangencial máximo y mínimo
12min
2
1
211max
2
1
Krr
rrKrr
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Espesor relativo
1
12
21
2
1
2
21
12
rrrr
rrrr
rt
pro
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Distribución de los esfuerzos en un cilindro de pared gruesa sometido a
presión interior
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Valores para cilindro hueco, sometido a presión interior
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros sometidos a presión interior en deformación plana z=0
P1 P1 P1r1 r2
P2=0
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Desplazamiento
rrrK
Eru
22
2
1211
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
12
1
2
11
rr
PKdonde
Esfuerzos
1
22
1
22
1
2
1
1
K
rrK
rrK
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Deformaciones
0
211
211
22
1
22
1
z
r
rrK
E
rrK
E
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros sometidos a presión interior con tapas σz y z diferentes de cero
P1 P1
P1r1 r2
P1
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Desplazamiento
rrr
EKru 121 2
22
1
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
12
1
2
11
rr
PK
Esfuerzos
1
22
1
22
1
1
1
K
rrK
rrK
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Deformaciones
1
221
221
21
121
121
KE
rr
EK
rr
EK
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindro de pared gruesa sometido a presión externa solamente
Cilindros sometidos a presión exterior en esfuerzo plano σz=0.
Cilindros sometidos a presión exterior en deformación plana z=0.
Cilindros sometidos a presión exterior con tapas σz y z diferentes de cero.
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Distribución de los esfuerzos en un cilindro de pared gruesa sometido a
presión exterior
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros sometidos a presión exterior en esfuerzo plano σz=0
r1 r2
P2P2
P2 P2
P1=0
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Desplazamiento
rrr
EKru 11 2
12
2
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
2
2
1
22
1
rr
PK
Esfuerzos
0
1
1
21
2
21
2
z
r
rrK
rrK
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Deformaciones
2
212
212
2
11
11
KE
rr
EK
rr
EK
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Esfuerzo tangencial máximo y mínimo
2
2
2
12min
2max
1
2
Pt
r
rrK
K
propro
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Valores para un cilindro sometido a presión exterior
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros sometidos a presión exterior en deformación plana z=0
P2P2
P2 P2
r1 r2
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Desplazamiento
rrrK
Eru
21
2
2211
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
2
2
1
22
1
rr
PK
Esfuerzos
2
21
2
21
2
2
1
1
K
rrK
rrK
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Deformaciones
0
211
211
21
2
21
2
z
r
rrK
E
rrK
E
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros sometidos a presión exterior con tapas σz y z diferentes
de cero
P2
P2
P2
P2
P2
r1 r2
P2
P2
P2 P2
P2
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Desplazamiento
rrr
EKru 121 2
12
2
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
2
2
1
22
1
rr
PK
Esfuerzos
2
21
2
21
2
1
1
K
rrK
rrK
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Deformaciones
2
212
212
21
121
121
KE
rr
EK
rr
EK
z
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros de pared gruesa con presión interior y exterior iguales
PP
P
P
P
P
P
P
r ==-P
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
P
Pr
Cilindro dentro de un medio elástico infinito
P1
r1 r2=
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Esfuerzos
1
21
1
21
Prr
Prr
r
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Deformaciones
1
21
11
1
1
Prr
E
Prr
Er
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Esfuerzo Cortante Máximo
2231
maxr
rrr
PPrr 111
22
2122
21
max
En vista de que σθ normalmente es de tensión, mientras que σr es de compresión y ambos exceden a σz en magnitud, por lo tanto:
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cambio de las dimensiones del cilindro
Cambio de diámetro
Cambio de longitud
zrErrD 22
rzz ELLL
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros compuestos
El método de solución para cilindros compuestoses descomponer el problema en tres efectosseparados:
- Presión por contracción sólo en el cilindro interior(cilindro).
- Presión por contracción sólo en el cilindro exterior(camisa).
- Presión interna sólo en el cilindro compuesto.
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros compuestosMecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Cilindros compuestos
P1r2
r3
r1
Cilindro
Camisa
Pc
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
(Ea, a)
(Eb, b)
Esfuerzos tangenciales para el cilindro
12
221
23
21
22
23
21
22
21
22
2
121
23
21
23
21
22
22
1
'
'
2
PrrrrrrP
rrrrrr
PrrrrP
rrrrr
c
c
B
c
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Esfuerzos tangenciales para la camisa
3121
23
21
22
23
22
2122
21
23
21
22
23
22
23
22
23
22'
'
rrenPrr
rPrr
r
rrenPrrrrrrP
rrrr
c
c
A
B
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Esfuerzos radiales para el cilindro
212
221
23
21
22
23
11
'
'
rrenPrrrrrrP
rrenP
cr
r
B
C
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Esfuerzos radiales para la camisa
3
2122
21
23
21
22
23
0'
'
rren
rrenPrrrrrrP
A
B
r
cr
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Presión de contactoMecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
En el diseño de cilindros compuestos esimportante relacionar la diferencia de diámetro delos cilindros acoplados con los esfuerzos que seproducirán. Esta diferencia de diámetros(tolerancia) se obtiene generalmente porcontracción, es decir, calentando el cilindroexterior hasta que se deslice libremente en elcilindro interior, cuando el cilindro exterior seenfría y se contrae sobre el cilindro interior seobtiene la presión de contacto
presión de contacto
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Sea δb y δa los cambios de diámetro delcilindro exterior e interior respectivamente, ypuesto que la deformación perimetral es iguala la deformación diametral, se tiene que:
abrr ab 22
presión de contacto
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
22
22
1
1
rrrrE
rrrrE
bbb
aaa
rbb
raa
cilindro
camisa
donde
presión de contacto
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
cr
c
Prr
Prrrrrr
a
a
2
21
22
21
22
2
El esfuerzo tangencial y radial para el cilindro viene dado por:
presión de contacto
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
cr
c
Prr
Prrrrrr
b
b
2
22
23
23
22
2
El esfuerzo tangencial y radial para la camisa viene dado por:
presión de contacto
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
bb
c
aa
c
rrrr
EP
rrrr
EP
b
a
22
23
23
22
21
22
21
22
Sustituyendo los esfuerzos anteriores en lasecuaciones de deformaciones obtenemos:
Presión de contacto
bb
aa
c
rrrr
Er
rrrr
Er
rP 2
223
23
222
21
22
21
222
bb
ca
a
c
rrrr
EPr
rrrr
EPrr 2
223
23
222
21
22
21
222
Donde:
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
presión de contacto
21
23
22
23
21
22
322 rr
rrrrr
rEPc
Si Ea = Eb = E y a = b =
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Ajustes de interferencia
Los ajustes de interferencia so aquellos en los que lapieza interior es mas grande que la exterior y requierela aplicación de una fuerza “F” durante el ensamble.Una vez terminado el ensamble se presenta ciertadeformación de las piezas y existe presión (presión decontacto) en la superficie que se ensambla. Despuésdel ensamble no se genera movimiento entre laspiezas, pero no existe un requisito particular para lapresión resultante entre las piezas que se ajusten. Losajustes de interferencia pueden ser de dos clases:ajustes forzados y ajustes por encogimiento.
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Ajustes forzados
FN1: Ajuste de impulso ligero. Sólo se requiereligera presión para ensamblar las piezas. Seutilizan para partes frágiles y donde no debantransmitirse fuerzas considerables medianteunión.
FN2: Ajuste de impulso medio. Clase depropósito general que se emplea a menudo parapiezas de acero cuya sección es moderada.
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Ajuste forzado
FN3: Ajuste de impulso pesado. Se utiliza parapiezas de acero pesadas.
FN4: Ajuste de fuerza. Se utiliza para ensamblesde alta resistencia donde se requiere altaspresiones resultantes.
FN5: Ajuste de fuerza. Similar a la clase FN4pero se utiliza cuando se requiere presiones masaltas.
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Ajustes de fuerza y por encogimiento
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Ajustes de fuerza y por encogimiento (continuación de la tabla)
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa
Fuerza normal, Fuerza de fricción entre las superficies de contacto y torque máximo admisible antes de
que se produzca deslizamiento
LrPrFT
LrPNF
LrPN
c
c
c
222
2
2
2
2
2
Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa