Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —231—
CAPÍTULO 4 EL CAMPO ELÉCTRICO EN MATERIALES DIELÉCTRICOS
Materia: Asociación de partículas cargadas Núcleos: carga positiva Nubes de electrones: carga negativa Propiedades de la materia: fase (sólido, líquido, gas), dureza, aspereza, color, reflectividad, transparencia, opacidad, capacidad calorífica, etc., etc., son consecuencia de fuerzas electromagnéticas entre sus constituyentes. Materiales de acuerdo a propiedades eléctricas:
l conductores l semiconductores l dieléctricos
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Conductores: Materiales con gran cantidad de portadores libres:
≅ 1022 portadores / cm3 Semiconductores: Materiales con una cantidad moderada, pero controlable, de portadores libres:
106 ≅ 1020 portadores / cm3 Dieléctricos (aislantes): Materiales con muy pocos portadores libres:
< 106 portadores / cm3
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Los sólidos pueden ser: l cristalinos l policristalinos l amorfos
Campo eléctrico en un material: Resultante de un campo eléctrico “externo” y el campo eléctrico generado por la distribución de cargas en el material.
La interacción de un campo eléctrico con la materia dependerá del tipo de material
Un material dieléctrico se puede representar como
un conjunto de dipolos eléctricos (Polarización: Momento dipolar por unidad de volumen).
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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El momento dipolar eléctrico: Dipolo puntual (Ejemplo 4):
( ) 3o
3o y4
ˆy4
aq2y
επ−=
επ−=
pkE
p=2aq = momento dipolar
(C.m)
Se puede definir el momento dipolar eléctrico para cualquier distribución de carga; i.e., cualquier
distribución de carga se puede representar por un dipolo eléctrico
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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F+
F-
E
+q
p
-q F+=+qE; F-=-qE; ⇒ FNETA=0
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Torque:
N = S X F Carga positiva:
( ) ( ) ijkN ˆaqEˆqEˆa =×−=+ Carga negativa:
( ) ( ) ijkN ˆaqEˆqEˆa =−×=− Torque total: Dipolo puntual: iNNN ˆaqE2=+= −+ En general: N = p × E
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Momento dipolar de una distribución arbitraria:
dτ
ξ
θ
z
y
x
r
ρrmax
ro
∫ τθρεπ
= dcosrr1
41
)r(V 2oo
odip
rr •=θ oˆcosr
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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∫ τρ•επ
= drˆ
41
)r(V 2o
o
oodip r
r
Momento dipolar de la distribución:
p = rρdτ∫
p = rσda∫
p = rλdl∫
pr
•επ
= 2o
diprˆ
41
)r(V
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Campo eléctrico de un dipolo:
Vdip (r,θ) =
14πεo
pcosθ
r2
θr4
cospr1
ˆr4
cospr
),r(V),r( 2o
2o
dipdip
επθ
∂θ∂
−
επθ
∂∂
−=θ−∇=θ rE
[ ]θsenˆcos2r4
p),r( 3
odip θ+θ
επ=θ rE
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Polarizabilidad y polarización: Material dieléctrico: Conjunto de dipolos eléctricos Polarización: Alineación parcial de los dipolos en un campo eléctrico. La alineación es función de campo y la estructura del material:
Ep αt=
ααααααααα
=
=
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z
y
x
EE
E
pp
p
t α Tensor de polarizabilidad
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Para materiales lineales e isotrópicos y campos eléctricos pequeños:
p=αE
α ⇒ polarizabilidad el momento dipolar inducido es en la misma dirección
que el campo eléctrico En general, si EEXT=0, el momento dipolar inducido es cero; el material no presenta polarización. Materiales con momentos dipolares permanentes: agua, algunos iónicos, ferroeléctricos (electrets).
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —243—
Polarización: Momento dipolar por unidad de volumen:
P =
lim∆τ→0
p∆τ
∫ τξ•
επ=•
ξεπ= d
ˆ
41ˆ
41
V 2o
2o
dipξξ P
p
Necesario conocer P para integrar Alternativa: Transformar la integral para expresarla en términos de “densidades de carga de polarización”
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Usando:
2
ˆ1
ξ=
ξ∇
ξ
∇ actuando sobre coordenadas de integración:
∫ τ
ξ∇•
επ= d
14
1V
odip P
( )
τ•∇
ξ−τ
ξ•∇
επ= ∫∫ d
1d
14
1V
odip PP
( )
τ•∇
ξ−•
ξεπ= ∫∫ d
1d
14
1V
odip PaP
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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∫∫ ξ
σ
επ=•
ξεπ
da4
1d
14
1 p
ooaP
Densidad superficial de carga de polarización:
nP ˆp •≡σ
( ) ∫∫ τξ
ρ
επ=τ•∇
ξεπ− d
41
d1
41 p
ooP
Densidad volumétrica de carga de polarización:
ρp ≡ −∇ • P
Vdip =
14πεo
σp
ξda∫ +
ρp
ξdτ∫
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —246—
Ejemplo 30.- Campo eléctrico producido por esfera de radio R polarizada uniformemente:
z
y
x
n=r^ ^
P
R
r
θ
θ=•=•=θσ cosPˆˆPˆ)(p rknP
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —247—
Condiciones de frontera:
1) V(r → ∞, θ) → 0 2) VINT(r=R, θ) = VEXT(r=R, θ)
3) )(1
Rr),r(V
r),r(V
r po
INTEXT θσε
−==
θ
∂∂
−θ∂∂
Forma del potencial:
∑∞
=
θ=θ0n
nn
nINT )(cosPrA),r(V
∑∞
=+ θ=θ
0n
n1nn
EXT )(cosPrB
),r(V
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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De 2) (continuidad del potencial):
∑∑∞
=+
∞
=
θ=θ0n
n1nn
0n
nn
n )(cosPRB
)(cosPRA
1nnn
nRB
RA += ⇒ 1n2nn RAB +=
∑∞
=+
+θ=θ
0n
n1n
1n2n
EXT )(cosPrRA
),r(V
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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De 3) (discontinuidad del campo eléctrico):
θε
−=θσε
−=θ+−= ∑∞
=
− cosP
)(1
)(cosPRA)1n2(o
po
n
0n
1nn
θε
−=θ− cosP
cosA3o
1
o
1 3P
Aε
= 3
o1 R
3P
Bε
=
Potencial:
θε
=θ cosr3P
),r(Vo
INT θε
=θ cosrR
3P
),r(V 2
3
oEXT
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Campo eléctrico:
θ3cosPr
r1
ˆ3cosPr
r),r(V
ooINTINT
ε
θ∂θ∂
−
ε
θ∂∂
−=θ−∇= rE
θsen3P
ˆcos3P
)(oo
INT
θ
ε+
θ
ε−=θ rE
Cambio de variable: ⇒ z = rcosθ:
VINT(z) =
P3εo
z
kE ˆz3P
z)z(V)z(
oINTINT
ε∂
∂−=−∇=
kE ˆ3P
)z(o
INT ε−=
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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[ ]θsenˆcos2r3
PR),r( 3
o
3
EXT θ+θε
=θ rE
¡Campo Dipolar!
[ ] [ ]θθ ˆsenˆcos2r4
pˆsenˆcos2r3
PR3
o3
o
3θ+θ
επ=θ+θ
εrr
Momento dipolar de la esfera:
τ=
π= PP
3R4
p3
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Densidades superficial y volumétrica de carga de
polarización ⇒ realidad física
+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-
A
S
P
Material polarizado: cadena de dipolos
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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( ) qSPASPp ==τ∆=
PA = q
Aqlim
ˆA
PAlim0A0A ∆
=•=∆ →∆→∆
nP
nP ˆp •=σ
( )∫∫∫ τ•∇−=•−=τρ dddp PaP
( )P•∇−=ρp
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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El campo promedio en un dieléctrico:
Promedio temporal y espacial del campo eléctrico microscópico dentro del dieléctrico
Resultante de un campo externo y el producido por la polarización del material. En equilibrio (estado estacionario):
ξ
σ+τ
ξ
ρ
πε= ∫ ∫ ξξ ˆdaˆd
41
2p
2p
oE
El campo interno en el dieléctrico es menor al campo eléctrico externo, pero nunca llega a ser cero, como en
un medio conductor.
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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La ley de Gauss:
ρ' = ρ + ρp
o
p
o
'
ε
ρ+ρ=
ερ
=•∇ E
P•−∇=ρp
oo ε•∇
−ερ
=•∇P
E
ooo ερ
=
ε
+•∇=ε•∇
+•∇P
EP
E
( ) ρ=+ε•∇ PEo (ρ = densidad de carga libre)
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Vector desplazamiento; D.
PED +ε= o
ρ=•∇ D
encQd =•∫ aD
1) D normal o tangencial a la superficie en cualquier
punto. Debemos conocer la dirección de D a priori. 2) D debe ser constante en la superficie gaussiana
usada.
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos (LIH): Polarización en general:
+++++= kiikjiijkkjjiii EEbEEbEaEaEaP ...EEEcEEb kjiijkkjjk ++
Si P sólo depende de la primera potencia del campo:
kkjjiii EEEP α+α+α=
ααααααααα
=
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z
y
x
EE
E
PP
P
El medio es lineal
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —258—
Si el medio se ve igual en cualquier dirección:
ii EP α=
αα
α=
z
y
x
z
y
x
EE
E
0000
00
PP
P
El medio es isotrópico
Si las propiedades eléctricas del medio no dependen de la posición: )(f r≠α )z,y,x(f≠α
El medio es homogéneo
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —259—
Medios lineales, isotrópicos y homogéneos (LIH):
l Gases diluidos, l algunos líquidos, l cristales cúbicos simples, l sólidos amorfos
Para dieléctricos LIH:
EP eoχε=
χe = susceptibilidad eléctrica del medio (para el espacio libre, χeo=0)
D = εoE + P = εoE + εoχeE = εo(1 + χe)E
D = εE
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Permitividad dieléctrica del material:
)1( eo χ+ε≡ε Para medios LIH, ε no es función de posición, pero sí
de frecuencia Permitividad relativa (constante dieléctrica):
oee 1k
εε
=χ+=
Material ke Material ke
Aire 1.00059 Agua de mar 80.4 Vidrio 4-7 Mica 5.4 Polietileno 2.26 Porcelana 6-8 Silicio 11.9 SiO2 3.9
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Densidad volumétrica de carga de polarización y libre:
=
ε•∇χε−=χε•−∇=•−∇=ρ
DEP eoeop )(
ρ
−−=ρ
εχε
−=•∇εχε
−e
eeoeok
1kD
ρ
−=ρ
e
ep k
k1
En un medio LIH, la densidad volumétrica de carga de polarización está determinada por la
densidad volumétrica de carga libre
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —262—
Ejemplo 31.- Carga puntual en el origen rodeada por una esfera de material dieléctrico LIH de radio R.
z
y
x
R
q
ε
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —263—
Adentro del dieléctrico (r < R):
qQd enc ==•∫ aD
( ) qr4Dd 2 =π=•∫ aD
rD ˆr4
q2π
=
rD
E ˆr4
q2επ
=ε
=
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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rDDP ˆr4
qk
1kk
1k2
e
e
e
eeo
π
−=
−=
εχε
=
0p =•−∇=ρ P
(no hay carga libre en el dieléctrico) Densidad superficial de carga de polarización: En las dos superficies del dieléctrico; rodeando la carga puntual y en r=R:
2e
ep
R4q
k1k
RrPˆ
π
−=
==•=σ nP
qk
1kda
R4q
k1k
daQe
e2
e
eppR
−=
π
−=σ= ∫∫
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —265—
qk
1kQQ
e
epRpC
−−=−=
eee
epCnetaC k
qkq
qqqk
1kqQqQ =+−=
−−=+=
Afuera (r = R):
rD
E ˆr4
q2
ooEXT
επ=
ε=
0=P
Cálculos en medios LIH: idénticos a los del
espacio libre. Resultado correcto si: εo ⇒ ε
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —266—
Capacitores:
⇒ Almacenan energía en el campo eléctrico
⇒ Aplicaciones en electrónica en DC y AC
⇒ Diversos tipos y geometrías:
l integrados l cerámica l mica l placas paralelas (variable) l electrolíticos l placas paralelas; cilíndricos; esféricos
⇒ Diseñados considerando rangos de voltaje y frecuencia de operación
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Capacitor de placas paralelas:
Placa infinita, densidad uniforme de carga (Ejemplo 12):
jE ˆ2 oεσ
±=
I IIIII
(1) (2)+σ -σ
d
E=0 E=0E=+σ/εoj
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —268—
Diferencia de potencial entre las placas:
ddyˆdyˆdVo
d
0oo ε
σ=
εσ
=•εσ
=•=∆ ∫∫ ∫ jjlE
ε
=ε
=∆A
dQd
)A/Q(V
oo
QC1
V ∆=∆ ⇒ VQ
C∆∆
=
FaradNmC
JC
CJC
VC
C22
≡⇒⇒⇒⇒
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —269—
Sub-múltiplos comunes: Atto Farads (aF; 10-18 F) parásitas en CI Femto Farads (fF; 10-15 F) parásitas en CI Pico Farads (pF; 10-12 F) CI Nano Farads (nF; 10-9 F) circuitos discretos Micro Farads (µF; 10-6 F) Mili Farads (mF; 10-3 F) fuentes de alimentación Capacitor de placas paralelas:
dA
C oε=
Capacitancia: función de la geometría
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Dieléctricos en capacitores: l Aumento de la capacitancia l Soporte mecánico l Mantienen separación constante l Voltajes de ruptura mayores para algunos medios Para dieléctrico LIH:
dA
C ε=
eo
o
e k
dAdA
CC
=εε
=ε
ε= ⇒ CkC ee =
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —271—
Ejemplo 32.- Reducción en área obtenida al hacer un capacitor de placas paralelas con mica entre las placas, a la de un capacitor similar, con el mismo valor de capacitancia, pero con el espacio libre entre las placas.
Cd
Ad
AC 2
o1
e =ε=ε=
eo1
2 kAA
=εε
=
Con mica: reducción de área en un 81.5%.
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —272—
Ejemplo 33.- Capacitor MOS.
Polisilicio
Substrato
Óxido de campo
Aluminio
Dieléctrico de compuerta
Compuerta: G
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Capacitancia por unidad de área (C'=C/A):
m10X0.1m/F10X4531.3
Å1009.3
t'C 8
11o
ox
ox−
−=
ε=
ε=
2323 m/pF10X4531.3m/F10X4531.3'C µ== −−
Para C = 100pF área: 170µm X 170µm
Tecnología CMOS actual:
110Å = tox = 35Å
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —274—
Ejemplo 34.- Capacitores en serie.
d
ε1
ε2
σp1s
σp1i
σp2s
σp2i c
a
b
Vector desplazamiento:
∫ ∫∫ σ=−=• daDdadaD
kD ˆσ−=
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —275—
Campo eléctrico:
kE1 ˆ1ε
σ−= kE2 ˆ
2εσ
−=
Polarización:
kkEP 11ˆ
k1kˆ
1e
1e
11eo1eo σ
−−=
εσ
χε−=χε=
kkEP 22ˆ
k1kˆ
2e
2e
22eo2eo σ
−−=
εσ
χε−=χε=
Caída de potencial:
2d
dV1
11 εσ
=•=∆ ∫ lE 2d
dV2
22 εσ
=•=∆ ∫ lE
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —276—
ε
+ε
σ=∆+∆=
2121o
112d
VVV
Densidades de carga: Entrecara “a”:
σ
−−=−=•=σ=σ
1e
1e1ss1ppa k
1kPˆ11 nP
Entrecara “b”:
σ
−==•=σ
1e
1e1ii1p k
1kPˆ 11 nP
σ
−−=−=•=σ
2e
2e2s2p k
1kPˆ 2s2 nP
σ
−=σ
−−σ
−=σ+σ=σ
2e1e2e
2e
1e
1es2pi1ppb k
1k1
k1k
k1k
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —277—
Entrecara “c”:
σ
−==•=σ=σ
2e
2e2s2i2ppc k
1kPˆ 1nP
Carga neta: Entrecara “a”:
1e1e
1epaa kk
1k σ=σ
−−σ=σ+σ=σ
Entrecara “b”:
σ
−=σ
2e1eb k
1k1
Entrecara “c”:
2e2e
2epcc kk
1k σ−=σ
−+σ−=σ+σ=σ
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —278—
Capacitancia:
1
1
1
11 d
A2
2dA
VQ
C ε=
ε
σσ
=∆
= 2
2
2
22 d
A2
2dA
VQ
C ε=
ε
σσ
=∆
=
ε+ε
εε=
ε
+ε
σσ==
21
21
21
oTOT d
A211
2d
AVQC
Dos capacitores en serie:
ε+ε
εε=
ε+
ε
ε
ε
=+
=21
21
21
21
21
21TOT d
A2
dA2
dA2
dA2
dA2
CCCC
C
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —279—
Ejemplo 35.- Capacitancia por unidad de longitud de guía coaxial.
a
b
r
z
ke
D y da son paralelos:
D(2πrz) = λz
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —280—
rrD ˆr2
ˆrz2z
)r(πλ
=πλ
=
Campo eléctrico:
<<επ
λ
≥=
bra para ˆr2
br para 0)r(
r
E
Diferencia de potencial:
=επ
λ−=•−=−=∆ ∫∫
a
b
a
b
drr2
d)r()b(V)a(VV rE
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —281—
επλ
=επ
λ−=∆
ab
ln2
b
a
)rln(2
V
Capacitancia por unidad de longitud:
( )a/bln2
VlC
'Cεπ
=∆λ
==
Guía típica: radio interior a=0.4mm, radio exterior 2.3mm, ke=2.26:
C' =2πkeεoln b / a( )=
2π(2.26)(8.85X10−12 F / m)εo
ln2.30.4
= 7.184X10−11F/ m = 71.84 pF / m
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —282—
Para un capacitor arbitrario —dos conductores separados por un material de permitividad ε— la capacitancia se encuentra de:
∫∫−
+
•
•ε=
lE
aE
d
dC
ε
dl
σ
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —283—
Efectos de borde:
E
dl
0d ≠•∫ lE
0≠×∇ E
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —284—
E
dl
0d =•∫ lE
0=×∇ E
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —285—
( ) EqEEqFFFTOT ∆=−=−= −+−+
E
( )ESE ∇•=∆
( ) ( ) ( )EpESESEF ∇•=∇•=∇•=∆= qqq
∫ τ= dPp ( )∫ ∇•= EPF
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —286—
Fuerza por unidad de volumen:
( )EPf ∇•= Para dieléctrico LIH:
( ) ( )EEEEf ∇•χε=∇•χε= eoeo Usando:
( ) ( ) ( ) ( )EEEEEEEE ∇•−×∇×−×∇×−∇=∇• 2E
( ) 2E21
∇=∇• EE
2
eo E21
∇χε=f
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —287—
Ejemplo 36.- Tablilla de material dieléctrico está parcialmente dentro de las placas de un capacitor.
y=0 y=yo
s
d
jEy
E 22
∂∂
=∇
∫ ∂∂
χε= jF ˆdxdydzEy2
1 2eo
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —288—
∫ ∫
∂∂
χε= jF ˆdxdzdyEy2
1oy
0
2eo
[ ]∫ −χε= jF ˆdxdz)0(E)y(E21 2
o2
eo
E(yo) ˜ 0 2
2o2
dV
)0(E =
jjF ˆVdW
21ˆdxdz
dV
21 2
oeo
d
0
W
0
2
2o
eo χε−=−χε= ∫∫
Principio de operación de micrófono electret
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —289—
Electricidad en la atmosfera:
ionosfera ∼ conductor
400,000V
Tierra 50-400km
I∼1,800A
(capacitor esférico)
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —290—
Tormentas eléctricas:
∆V∼100,000,000V∼2km
E1∼50,000V/m
E2>50,000V/m
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —291—
Pararrayos:
I∼20,000A
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —292—
Energía y trabajo:
τρ= ∫ dV21
W
ρ=•∇ D ⇒ τ•∇= ∫ dV)(21
W D
[ ] τ∇•−•∇= ∫ dVV21
W DD
τ∇•−•= ∫ ∫ VddV21
W DaD
τ•+•= ∫ ∫ ddV21
W EDaD
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —293—
Trabajo:
∫ τ•= d21
W ED
Densidad de energía:
EDED
•=τ
τ•≡ ∫
→τ 21
d21
limu
0
Energía almacenada en un capacitor:
VQ
C =
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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VdQ
dC = ⇒ VdCdQ =
τ=
τ=ρ
dVdC
ddQ
22 CV21
dCV21
dd
VdCV
21
Vd21
W ==ττ
=τρ= ∫∫∫
CQ
21
QV21
CV21
W2
2 ===
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Condiciones de frontera para D y E: En el espacio libre:
oερ
=•∇ E 0=×∇ E
En medio dieléctricos:
ρ=•∇ D
( ) =×∇+ε×∇=+ε×∇=×∇ PEPED oo PPE ×∇=×∇+×∇εo
En general: 0≠×∇ P y 0≠×∇ D
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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β
α
dl
2
1D1
D2
Componentes tangenciales:
=•+•=• ∫∫∫ lDlDlD 1 ddd 2
( )t1t221 DDlcoslDcoslD −=β+α−
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Las componentes tangenciales de D son discontinuas:
t1t2 DD ≠ Las componentes tangenciales de E son siempre continuas:
t2t1 EE = Componentes normales:
=•+•==• ∫∫∫ 211 aDaDaD ddQd 2enc
( ) ∫∫ σ=− dadann 12 DD
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Si σ ≠ 0, las componentes normales de D son discontinuas:
σ=− n1n2 DD
Si σ=0, las componentes normales son continuas:
n2n1 DD =
Si los medios son LIH:
σ=ε−ε n11n22 EE Las componentes normales de E son siempre discontinuas. Para σ=0:
n22n11 EE ε=ε ⇒ n21
2n1 EE
εε
=
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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En términos de la derivada normal del potencial:
σ−=
∂∂
ε−∂∂
εentrecara
Vn
Vn 2211
( ) 0ˆ =−× 12 EEn
( ) σ=−• 12 DDn ♦Las componentes tangenciales de E son siempre
continuas. ♦Las componentes normales de D son discontinuas
si σ ≠ 0.
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Ecuación de Laplace:
Ejemplo 37.- Esfera dieléctrica LIH, radio R en campo eléctrico uniforme; kE ˆEo= (ver Ejemplo 23).
Condiciones de frontera: 1) V(r→∞) = -Eorcosθ 2) VINT(r=R) = VEXT(r=R) 3) DnINT = DnEXT
∑∞
=+ θ+θ−=θ
0n
n1nn
oEXT )(cosPrB
cosrE),r(V
∑∞
=
θ=θ0n
nn
nINT )(cosPrC),r(V
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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De 2) (continuidad del potencial):
=+θ+θ+ ...)(cosPRCcosRCC 22
21o
...)(cosPRB
cosRB
RB
cosrE 232
21o
o +θ+θ++θ−
De 3) (discontinuidad del campo eléctrico):
RrV
rRr
Vr EXTEXTINTINT
=∂∂
ε==
∂∂
ε
εEXT=εo εINT=ε ke=ε/εo
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —302—
RrV
rRr
Vr
k EXTINTe
=∂∂
==
∂∂
( ) =+θ+θ ...)(cosRPC2cosCk 221e
...)(cosPRB3
cosRB2
RB
cosE 242
31
2o
o +θ−θ−−θ−
RB
C oo = 2
1o1
RB
RERC +−=
322
1RB
RC = 2o
RB
0 =
31
o1eRB
2ECk −−= 42
2eRB
3RCk2 −=
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —303—
0Co = 0Bo =
+
−=2k
3EC
eo1
+−
=2k1k
REBe
e3o1
22e B3Bk2 −= ⇒ 22 C0B == Cn = Bn = 0 para n ≠ 1
+−
−θ−=θ2k1k
rR
1cosrE),r(Ve
e3
3
oEXT
+
θ−=θ2k
3cosrE),r(V
eoINT
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —304—
+
θ−=θ=θ2k
3cosRE),R(V),R(V
eoEXTINT
Cambio de variable: z=rcosθ
+
−=2k
3zE)z(V
eoINT
Campo eléctrico:
−
+−
+θ=θ rE ˆ2k1k
rR
21cosE),r(e
e3
3
oEXT
+−
−θ θ2k1k
rR
1sene
e3
3
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —305—
[ ]θsenˆcos2k
3E),r(
eoINT θ−θ
+
=θ rE
kE ˆ2k
3E)z(
eoINT
+
=
Evaluados en la superficie (r=R):
[ ]θsenˆcosk2k
E3),R( e
e
oEXT θ−θ
+=θ rE
[ ]θsenˆcos2k
E3),R(
e
oINT θ−θ
+=θ rE
Componentes: l Normales (radiales) en la superficie: discontinuas l Tangenciales (polares): continuas
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Polarización:
( ) kkEP ˆ2k
3E1kˆ
2k3
Ee
oeoe
oeoINTeo
+
−ε=
+
χε=χε=
kP ˆ2k1k
E3e
eoo
+−
ε=
¡Uniforme!
Densidades de carga de polarización:
0p =•−∇=ρ P
(además, no hay carga libre y es LIH)
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —307—
Rrˆˆ
2k1k
E3Rr
ˆˆe
eoop
=•
+−
ε==
•=•=σ rkrPnP
θsenˆcosˆ θ−θ= rk
( )Rr
ˆˆsenˆcos2k1k
E3)(e
eoop
=•θ−θ
+−
ε=θσ rr θ
θσ=θ
+−
ε=θσ coscos2k1k
E3)( poe
eoop
+−
ε=σ2k1k
E3e
eoopo
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Ecuación de Poisson: Fuentes del campo eléctrico: l Cargas libres l Cargas de polarización
o
p
ε
ρ+ρ=•∇ E y V−∇=E
( )P•∇−ρε
−=
ε
ρ+ρ−=∇
oo
p2 1V
Para LIH:
ρ
−=•−∇=ρ
e
ep k
k1P
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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=
−+ερ
−=
−+
ερ
−=∇e
ee
oe
e
o
2
kk1k
kk1
1V
ερ
−=
εε
ερ
−=
ερ
− o
oeo k1
ερ
−=∇ V2
Cálculos en un medio LIH: isomórficos a los del
espacio libre
εo ⇒ ε