UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
0100110463
Universidad Po l i t écn i ca de Madrid
T E S I S
OSCILACIONES EN SISTEMAS HIDRÁULICOS
por
Ignacio Esteban Parra Fabián
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos
Madrid, Septiembre de 1981
Universidad Politécnica de Madrid
E. T. S, ds ingenieros Aeronáuticos BIBLIOTECA '
Este übro es obsequio de^L .
T E S I S
OSCILACIONES EN SISTEMAS HIDRÁULICOS
p o r
, A
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E. T,S. I. AERONÁUTICOS
B I B L I O T E C A FECHA ENTRADA N» DOCUMENTO . . . .tS<?3fl N* EJEMPLAH !?S.Wlíl SIGNATURA XQ4Í3JL . -POR. .OSC
..... Pv
Ignacio Esteban Parra Fabián
.CONSULTA EN BIBLIOTECA gRO&ElA. Sff.N':':* S I IPFRIOR
lC-jJ.q-15- 1 B i e 1 - i ^ ~ e. c A
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos
Madrid, Septiembre de 19 81
a: NIEVES,
ESTEBAN y
CARMEN
R E S U M E N
Se analiza la estabi3.idad del comportamiento estacionario de
un sistema de alimentación de una turbina hidráulica, compuesto
por un conducto en el que se intercala una chimenea de equilibrio
para evitar el golpe de a,riete. Asociado a la turbina hay -un re
gulador que trata de mantener constante la potencia proporciona
da por ésta* Se emplean métodos de escalas múltiples para estu
diar los fenómenos transitorios en el sistema anterior, cuando las
portencias obtenidas son pequeñas frente a la máxima que puede pro
procionar el salto hidráulico, cualquiera que sea el valor del a-
rea de la chimenea; se analiza también la situación para cualquier
valor de la potencia de salida, cuando las áreas de la chimenea
son próximas al valor mínimo que asegura comportamiento estable
del sistema. Se investiga además la posible existencia de solu
ciones periódicas, así como su estabilidad y su evolución cuan
do se varían los parámetros que definen el problema. Generalizan
dose los resultados obenidos para el caso en el que la chimenea
de equilibrio es sustituida por una cámara a presión.
•Esta Tesis ha sido realizada bajo la direc
ción del Catedrático de Mecánica, de Fluidos de
la E,T*S,I* Aeronáuticos D# Amable Liñán Martí
nez, con el cual siempre estaré en deuda, tanto
por el interés y la dedicación que me lia dispen
sado, como por su indudable influencia en mi vo
caeion investigadora»
©eseo. agradecer a José Manuel Vega, toda, la
ayuda prestada, sobre todo en la búsqueda de
bibliografía matemática»
-i i-
I N D I C E
'á ina
INTRODUCCIÓN 1
CAPITULO 1 •- Ecuaciones y estabilidad estática
cuando la potencia es constante
1C- Introducción ' 1*1
2.~ Ecuaciones 1«2
3#- Soluciones Estacionarias 1#8
4*- Estabilidad de las soluciones Es
tacionarias 1*10
CAPITULO 2*- Potencia pequeña, frente a la máxi
ma de operación»
1#~ Introducción 2.1
2 #- Estudio cerca de la zona £\0-0 con
^ o > 0 2.2
3t~ Estudio cerca de %0~0 con ^c< 0 2*14
4#~ Estudio cerca de < o~0 con o ^ 0 y
£ > > 1 2,17
5#~ Fenómenos transitorios 2.27
CAPÍTULO 3»~ Potencia del orden de la máxima
de operación.
1.- Introducción 3*1
2.- Perdidas nulas en la base de la
chimenea JU-O 3o3
-iii-
3.- Pérdidas no nulas en la base de
la chimenea, u^Q 3*
4»~ Comparación con resultados numé
ricos 3»
CAPITULO 4«~ Efectos de una cámara, de presión.
1.- Introducción 4
2«~ Ecuaciones 4
3#- Soluciones Estacionarias 4
4*- Estabilidad de las Soluciones Es
tacionarias 4
5#- Soluciones-con potencias pequeñas
frente a la máxima 4
CAPITULO 5.~ Ecuaciones y Estabilidad del Siste
ma incluyendo las características del Regula
dor*
1*~ Introducción 5
2.- Descripción del Regulador 5
3#~ Ecuaciones del Conjunto 5
4«~ Soluciones Estacionarias y Estabi
lidad 5*
CONCLUSIONES Y RESULTADOS " 6
APÉNDICES
Apéndice 1 A1
-iv-
Página
Apéndice 2
Apéndice.3
Apéndice 4
Apéndice 5
BIBLIOGRAFÍA
•v-
N O M E N C L A T U R A B Á S I C A
Símbolo Significado • Se define
en Tecina
Ap Área de la sección del penstock 5*11
A g Área de la chimenea 1 *3
A j Área de la sección del túnel 1«3
. b¿ Coeficiente adimensional en la
ecuación que da la velocidad adi
mensional en el penstock en fun
ción de la apertura de la compuer
ta 5*14
Amplitud y fase en primera aproxi
roacion de la solución cercana al
punto de cambio de estabilidad 2 «8
•i Coeficiente con el cual se modifi
ca la velocidad de apertura de la
compuerta de acuerdo con la.posi
ción de esta en los movimientos
lentos 5*14
r' ídem en los movimientos bruscos 5*14
-vi-
Símbolo Si^iifioardo Se define en
f Coeficiente que engloba.las pérdidas
en el túnel y las producidas por la
descarga del agua en la base de la
chimenea 1#8
Q Aceleración de la gravedad
H Altura del nivel del embalse sobre
la turbina 1 • 3
Vi Altura del nivel del embalse sobre
el punto considerado
I Momento de inercia del conjunto gene
rador-turbina 5*11
L Coeficiente adimensional que rela
ciona el trabajo generado por la
turbina en el tiempo característico
del túnel y la energía cinética del
conjunto generador-turbina 5«14
J jfcC^-3?) 5.18
J Relación entre la altura del nivel
del embalse sobre la turbina y la
longitud del túnel 5»14
-VD-l-
Símbolo Significado Se define en
K Relación entre las pérdidas produ
cidas en la base de la chimenea y
la energía cinética en la misma 1.6
L,L i Longitud del túnel 1#3 y 5«
Lt longitud del penstock 5*11
^ L Velocidad de giro adimensional del
conjunto generador-turbina 5*14
yí 'Yv-VYo 5#16
Yi0 Velocidad de giro adimensional en el
funcionamiento estacionario 5*15
P Presión estática en el punto consi
derado
v<x Presión atmosférica
»T Presión de remanso a la entrada de
la turbina 1.7
« Coeficiente adimensional de pérdi
das en el eje del conjunto genera
dor- turb ina 5*14
-VIH-
Símbolo S gratificado Se define en
S Relación entre los tiempos carac
terísticos del servomotor y del
túnel 5*14
t * Tiempo real
\í Relación entre los tiempos carac
terísticos del dashpot y del tú
nel 5*14
v7\/± Velocidad en el túnel 1*3 y 5.11
y^ Velocidad en el penstock • 5«11
W Potencia cedida por el generador
a la red 1«7
)L Variable que indica la posición de
la compuerta (vale Y=0 cuando la
compuerta esta cerrada) 5«3
Yw* Valor de Y cuando la compuerta está
completamente abierta 5*10
*£ Altura del nivel del embalse sobre • *
el nivel de la chimenea 1#3
-IX-
Significado Se defin-
Altura del nivel del embalse sobre
el punto flifl 1.3
ídem sobre el punto ,f1ff 1.3
Coeficiente de pérdidas en el pens-
tock 5#14
L* A T L¿ A,
2 A TL £ ASH
5.14
1.8
Altura adimensioiial de la chimenea 1.8
S ~ 5o 1.10
Altura adimensional en el régimen
estacionario de velocidades altas
(punto puerto)
Altura adimensional en el régimen
estacionario de velocidades bajas 1.9
2i H 5.H
-x~
gj/?nificádo Se define en
Valor de 5 cuando P-Q en el ciclo
límite 3.22
Rendimiento de la turbina 5.10
Coeficiente adimenslonal de perdidas
en la "base de la chimenea 1#8
Velocidad adimensional en el túnel 1#8 y 5*14
^ i ' í * ^ - ^ © 1 - 1 0 y 5 - 1 6
Velcdidad adimensional en el túnel
en el régimen estacionario de velo .
cidades altas (punto puerto)
ídem en el régimen de velocidades
"bajas 1.9
Velocidad adimensional en el pens-
tock 5#14
^ ^ o 5-16
Valor de £> cuando ^-0 en,el ciclo
límite 3#10
•XI-
Significado Se define en
Densidad del agua
t Tiempo adimensional 1.8
CO Potencia suministrada por el genera
dor adimensionalisada 1*8
CO Velocidad de giro del conjunto
generador-turbina 5 • 11
Símbolo
•xii-
í_N_?_R_Q_D_U_C_C_I_0_N
«*
Con el enorme avance realizado en las últimas decadas por la
Electrónica én el campo de los computadores, que motivo paralela
mente un no menos espectacular avance en el campo del Cálculo Nu
rnérico, se pensó en un principio que los métodos analíticos y grá
fieos iban a quedar definitivamente desplazados, sobre todo desde
el punto de vista ingenieril*
No ha sido así sin embargo, y tales métodos son empleados, in
cluso en el campo de la Ingeniería, práctica* La. razón principal
es que unos y otros no se excluyen sino que se complementan, unien
do a la indudable capacidad de cálculo de los métodos computaclo
ríales, el insustituible valor físico de los analíticos*
En Ingeniería Hidráulica ambos métodos han sido empleados con
gran éxito, como se puede ver en Aronovich (3)> Chaundhry (7),
Jaeger (14), Nekrasov (18), Rich (20), Wylie y Streeter (23)• En
estas referencias se recogen de manera exhaustiva todas las téc
nicas analíticas, numéricas y gráficas, empleadas actualmente en
el cálcLilo de sistemas hidráulicos» Más particularmente Chaundhry
y Ruus (8), Escande (9), Evangelisti (10), Jaeger (15), Llarris (16)
y Ruus (21) tratan los problemas de estabilidad en una central
eléctrica con chimenea de equilibrio•
El objeto de esta. Tesis es la aplicación de nuevas técnicas
analíticas en el campo de la Ingeniería Hidráulica, estas técni
cas son las que se engloban bajo el nombre genérico de Métodos de
-.1-
Perturbaciones o Métodos Asintóticos* Una descripción de estos
métodos está dada en Colé (4) Kevorkian y Colé (5) y Nayfeh (17)#
Una de las grandes ventajaos de estas técnicas, es que dan la
posibilidad de estudiar analíticamente problemas de difícil tra
tamiento numérico* Este es el caso de los problemas que tratare
mos, en los que buscaremos analizar el comportamiento de las so
luciones de un sistema, autónomo de ecuaciones diferenciales ordi
narias dependientes de varios parámetros alrededor de sus puntos
singulares, con unos valores de los parámetros cercanos a los que
dan cambio de estabilidad en tales puntos singulares•
El comportamiento de los sistemas hidráulicos está regido mu
chas vece's por ecuaciones diferenciales ordinarias de tipo auto-
nomo, pudiéndose presentar frecuentemente la anterior situación,
Aronovich (3), Chaundhry (7), Jaeger (14)*
Precisamente la teoría de la bifurcación busca describir la
solución de las ecuaciones en las proximidades de la superficie
de cambio de estabilidad en el espacio de los parámetros; al cru
zar esta superficie, la solución estacionaria deja de ser esta
ble, pudiendo haber bifurcación a una. nueva solución estaciona
ria o periódica de tipo ciclo límite, (bifurcación de Hopf), -
Keller y Antman (24), Marsden y Me Craken (25), Crandall y
Iíabinov/it z (2 6) •
En esta tesis se mostrará como pueden utilizarse las técni
cas de escalas múltiples y la teoría de bifurcación, para anali
-2-
zar la respuesta de un sistema hidráulico* Como ejemplo se ana
liza el sistema de alimentación de una tur-bina hidráulica desde
VJÍ embalse, mediante un conducto en el que se interpone una chi
menea de equilibrio para amortiguar los efectos del golpe de -
ariete (ver figura (1«1)K La turbina va provista, de un regula
dor, cuya misión es tratar de mantener constante la potencia -
proporcionada por la turbina•
Tanto en el arranque y parada, como en los cambios de regi-
men de la turbina, aparecen transitorios, en los que el nivel
de la chimenea y la velocidad del líquido en el conducto de ali
mentación son oscilatorios• El periodo de estas oscilaciones es
grande frente al tiempo de ida y vuelta de las ondas sonoras;
por ello es posible despreciar los efectos de- compre sibiD-idad
del fluido y de dilatación del conducto en el análisis de estas
oscilaciones en masa*
Los efectos de compresibilidad quedan limitados al penstoele
o conducto a presión que une la chimenea de equilibrio con la
turbina. En ausencia de estos fenómenos, las oscilaciones en ma
sa están descritas como veremos en el Capítulo 1 por el sistema
de ecuaciones
^ s - _ a a + e c o -
Donde las variables son:
-3-
£¡ = velocidad adimensional en el túnel.
S= altura adimensional del nivel de la chimenea•
"C = tiempo adimensional*
Depende además el sistema de tres parámetros
üü = potencia adimensionalizada de la turbina.
* 6 -• relación entre parámetros geométricos e hidráulicos del sis
tema, inversamente proporcional al área de la chimenea.
JU = coeficiente adimensional de pérdidas en la base de la chime
nea.
Ante cambios de régimen también se producen en el regulador,
y en particular en las revoluciones de la turbina, oscilaciones
con frecuencias mucho más altas que las de las oscilaciones en
masa, que* solo son amortiguadas, como se verá en el Capítulo 5 ,
si los parámetros que caracterizan el regulador cumplen las con
diciones adecuadas; si es este el caso, las oscilaciones en masa
de la chimenea pueden analizarse utilizando la hipótesis de poten
cia de la turbina constante o
Las ecuaciones autónomas del tipo (0*1) han sido muy trata
das en la literatura, matemática., sobre todo en lo que se refiere
al estudio de la estabilidad de las soluciones estacionarias y
la existencia de soluciones periódicas, Arnold (2), Priedrichs
(11), Guzmán (12), Hurewicz (13), Pontriaguine (19)»
En particular el problema (0.1) ha recibido considerable
atención por parte de los investigadores de oscilaciones hidráu
licas, Chaundhry (7), Jaeger (14), Marris (16), Wylie y Streeter
-4-
(23), que han descrito las soluciones estacionarias, dependien
tes únicamente del parámetro co , y han analizado su estabilidad
ante pequeñas perturbaciones utilizando la teoría linealizada#
Estos análisis se recogen en el Capítulo 1 donde después de
examinar las hipótesis que conducen a las ecuaciones (0.1) se
obtienen las dos"soluciones estacionarias que existen solamen
te para valores de co < - ^ • De acuerdo con la teoría, lineal
de la estabilidad, una de las soluciones estacionarias es siem
pre inestable y la estabilidad de la otra no depende de>u pero
si del parámetro £ , que caracteriza el área de la chimenea* La.
estabilidad de la respuesta estacionaria se asegura, para £^£^0^);
esto es cuando el área de la chimenea supera a un área denomina
da de Thoma. Ver Chaundhry (7), Jaeger (14) (15), Marris (16),
Wylie y Streeter (23)•
La literatura, científica se ha ocupado también, utilizando
métodos numéricos y métodos aproximados^ del análisis de los
transitorios descritos por las ecuaciones (0*1) asociadas al a-
rranque ( paso de o3 de O a un valor fijo ), a la parada (paso de
Co^O a OJ nulo), o cambios de régimen» Y se ha ocupado además de
la estabilidad de las soluciones estacionarias ante perturbacio
nes finitas. Evangelisti (10) Marris (16).
•En los Capítulos 2 y 3 se abordan estas cuestiones utilizan
do técnicas de perturbaciones•
En el Capíttilo 3 se estudia la forma de los transitorios pa~
-5-
ra valores de co del orden de la unidad y de é próximos a los de.
cambio de estabilidad, <£TVx , utilizando los métodos de la Teoría
de la Bifurcación apoyados con las técnicas de escalas múltiples
Colé (4), Kevorkian y Colé (5), Nayfeh (17), en los cuales se su •
pone que cerca del punto de cambio de estabilidad,: las soluciones
próximas a la solución estacionaria son casi periódicas y con un
periodo muy cercano al que se obtiene para la solución de las e-
cuaciones linealizadas en el punto de cambio de estabilidad, que
son las correspondientes a un punto centro y una amplitud que va
ría, solo cuando se espera, un tiempo mucho más largo que el perio
do de oscilación. Esto hace que en primera aproximación (términos
lineales) las solLiciones son periódicas en un tiempo del orden
del periodo de la solución del problema, lineal, pero en las si
guientes aproximaciones aparecerán los términos no lineales que
determinarán la variación de las amplitudes en la escala larga*
La ecuación que determina la evolución de- la amplitud en la
escala larga, tiene además de la solución estacionaria de ampli
tud nula, inestable para £. >£fU ? otra u otras soluciones es
tacionarias de amplitud no nula que aparece por bifurcación de
la solución de amplitud nula en el límite de estabilidad. Cuan
do estas son estables, para £ > £TVx , representan ciclos límites
estables, o modos oscilatorios no amortiguados, del sistema; cuan
do son inestables determinan el dominio de atracción de la solu
ción estacionaria estable que rodean*
En la literatura sobre el terna es conocida la bifurcación que
se produce en el punto de cambio de estabilidad cuando no hay fric
~6~
ción en la chimenea, apareciendo soluciones periódicas inesta
bles que rodean la solución estable y que crecen al alejarnos
del punto de cambio de estabilidad, Evangelisti (10), y se co
noce la existencia de ciclos límites estables que rodean la s_q
lución inestable cuando U4O , Escande (9)> los cuales inicial
mente crecen al separamos del punto de bifurcación» En el Ca
pítulo 3 se verá que esta bifurcación con M ^ O cambia de senti
do al llegar a un valor máximo de £ y después crece como solu
eión periódica inestable cuando € decrece.
En el Capítulo 2 se estudian soluciones transitorias del sis
tema (0.1) para valores de co pequeños frente a. la unidad, carac
terístico de los casos de gran interés práctico en los que la po
tencia es pequeña frente a la máxima que puede proporcionar el
salto, para minimizar las pérdidas por fricción» En las solucio
nes juega un papel importante el término ~^|^| • el cual da lu
gar a la existencia de un ciclo límite estable como bifurcación
de la solución estacionaria. Sin embargo un análisis (sección 4)
para £">> i muestra que este ciclo límite está rodeado por otro
ciclo límite inestable, que para valores pequeños de LK coalesce
con el anterior, desapareciendo ambos para £ mayores que uno da
do.
El Capítiilo 2 contiene, también para oo¿< í * el análisis de
los transitorios del sistema (0.1) y de respuesta del sistema an
te perturbaciones oscilatorias de Oú .
En el Capítulo 4 se considera la respuesta de un sistema hi-
_7_
dráulico en el que la chimenea de equilibrio se sustituye por
una cámara de presión, obteniéndose resultados muy similares a
los de capítulos anteriores*
Por fin en el Capítulo 5 se generaliza el estudio del Capí
tulo 1 al caso en el que la turbina está gobernada por un regu
lador, cuya respuesta dinámica se analiza simultáneamente con la
de la turbina, chimenea de equilibrio y conducto de alimentación,
obteniéndose un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias au
tónomo y de primer orden»
. Los Apéndices 1, 2 y 3 dan los detalles del análisis que con
¿Lucen a resultados que son de ayuda en el desarrollo de todos los
demás apartados« En el Apéndice 4 se analizan los efectos que in
troducen en las oscilaciones en masa la elasticidad del fluido y
el conducto. En el Apéndice 5 se estudia la respuesta del siste
ma con regulador cuando los parámetros que determinan éste, son
tales que el regulador tiene un comportamiento estable, con la tejo
ria lineal de estabilidad, pero con un ciclo límite inestable que
determina las perturbaciones máximas a que puede someterse para un
funcionamiento correcto en conexión con la chimenea*
C A P I T U L O 1
ECUACIONES Y ESTABILIDAD ESTÁTICA CUANDO LA POTENCIA ES
CONSTANTE
1•- Introducion
Durante muchos años, el sistema aquí estudiado, ha sido de
interés desde el punto de vista de la ingeniería hidráulica,
aun hoy gra.n parte de la energía utilizada proviene del aprove
chamiento de saltos hidráulicos, ésto explica el interés con
que ha sido y es estudiado el presente problema, ya que es uno
de los que más corrientemente se utiliza., debido a que los em
balses hidráulicos suelen estar en lugares bastante alejados e
inascesibles de los lugares en los que esta, energía es trans
formada, distribuida, y utilizada•
Asx el agua, es conducida desde su lugar de almacenamiento
a la zona de transformación (central eléctrica) mediante cana
les que pueden ser abiertos o escavados en roca corno en el ca
so presente, estos canales cerrados pueden presentar problemas
de golpe de ariete en las diferentes operaciones de la central
(apertura, cierre, cambio de potencia etc#), por lo que al fi
nal de ellos y antes del conducto final (penstock) que conduce
el agua a la turbina, se coloca una chimenea que pone en comu
nicación el agua o bien con la atmosfera (chimeneas de equili
brio) o bien con una cámara de aire a presión (cámaras de pre
sión) •
La existencia de esta chimenea,- si bien reduce el efecto del
golpe de ariete en la zona entre el embalse y la chimenea, pue-
de dar lugar a oscilaciones inestables en masa,, del fluido del
conducto y del nivel de la chimenea• Se sabe que el sistema es
estable para flujo constante en la turbina, y para apertura coxis
tante del penstock, asi como se conoce la posible existencia de
inestabilidad en el caso de potencia constante (7) (8) (14)«
Es más se sabe que fijadas todas las demás características
del sistema, hay un área límite de la chimenea (Área de Thoma)
por debajo de la cual el sistema no puede operar con potencia
constante, como quiera que la realización de la chimenea es tan
to más cara, cuanto más grande sea su área,, hace que el cálculo
del Área de Thoma de un sistema deba ser lo más exacto posible,
si ¿sto se une al hecho de que pueden presentarse inestabilida
des para áreas superiores a la de Thoma cuando las perturbacio
nes al sistema alcanzan un determinado valor (esto es debido a
la existencia de un ciclo límite inestable que rodea la solución
estable; Evangelisti (10) Marris (16)), llegamos a que debe ha
cerse un estudio exhaustivo cerca de la zona de cambio de esta
bilidad*
Pasaremos pues al estudio del sistema dibujado en la figura
(1#1) con chimenea abierta, dejando el estudio del que tiene cá
mará de presión para el Capitulo 4*
2.~ Ecuaciones
El sistema en estudio se compone de un embalse, en el cual
suponemos que el nivel de agua se mantiene, constante en el tiem
po de operación, un conducto de descarga de sección constante al
final del cual hay una chimenea de quilibrio, de la que sale un
nuevo conducto (penstock), el cual lo supondremos lo suficiente
mente pequeño para, no tenerlo en cuenta, y que descarga en una
turbina, que esta dando una. potencia constante W al generador
(Figura (1.1))
Wúo-el ¿ e l emnba.ls<
FIGURA (1#1)
Además en la base de la chimenea se supone que existe un a—
gujero que restringe el paso de liquido de la chimenea a su ba
se y viceversa,, el efecto de este agujero es beneficioso como lo
han mostrado varios autores (9) (20), pero tal efecto cerca del
límite de estabilidad no ha sido bien estudiado, por lo cual se
incluye aquí.
Si fijamos los valores del flujo a la entrada de la turbina
(Q) y de la presión en ese mismo punto conoceremos el valor de
la potencio, que da la turbina. Si mantenemos constante la ge orne
tría del conducto que va de la. chimenea, a la turbina y el cala
je de las palas de esta cuando este se pueda variar, la presión
y el flujo vendrán determinados por la altura del agua en la chi
menea y la velocidad en el conducto y en la. chimenea, por tanto
la potencia, que da la turbina instantáneamente estará determina
da por la altura de la chimenea y la velocidad en el conducto y
en la chimenea.
Para mantener esta potencia constante existe un sistema de o
control que generalmente actúa sobre la geometría del "peristock"
o sobre el calaje de las palas de la turbina (turbina Kaplan)^ de
manera que el gasto a través del "penstock" varía hasta adecuar
se a la presión que hay a la. entrada de la turbina, para que la
potencia que da ésta sea constante.
La variación de la sección se suele hacer de acuerdo a la va
riación de las revoluciones por minuto de la turbina, o a la va
riación del voltaje y la frecuencia de la corriente de salida en
el generador (15), o incluso esta variación puede estar ligada a
la altura de la chimenea como en algunos modelos experimentales
(16).
En todo caso para este capítulo supondremos que el tiempo de
respuesta de todos estos sistemas de control es lo suficientemen
te pequeño como para considerarlos instantáneos frente al tiempo
-1.4-
característico de operación del sistema*
Además supondremos que este tiempo característico de opera
ción es mucho mayor que el característico de ida y vuelta de
las ondas de choque en el penstock, que se producirían en el ca
so de haber go3-pe de ariete por un cambio brusco de las condi- .
ciones del sistema (cambio instantáneo de potencia)» Con todas
estas suposiciones tenemos:
(i) Ecuación de la. cantidad de movimiento en el túnel (Embalse-
chimenea) • Se considera movimiento unidimensional:
Se ha considerado que puede ha/ber velocidades negativas en
el túnel, con lo que las perdidas serán proporcionales a v\v\ »
Si tenemos que la sección del túnel es constante, entonces v no
depende de $ (distancia desde ffi?! a la sección considerada) y
al integrar (1#1) entre "i" y fS1!f obtenemos:
/ ) L ^ + (P+P^\^?^)r--/\ l5vWl (-1.2)
Al aplicar en el embalse la ecuación de Bernoulli entre la
superficie y la entrada del conducto
( p 4-p § V\) L 4- ~ p - p A Covx V > O
C p 4 . p ^ U ) L - pe, con V < 0
Y en la chimenea, teniendo en cuentaque las velocidades son
muy pequeñas y que las perdidas son despreciables salvo en el es
trechamiento de la base de la chimenea:
-1o 5-
(1.4) ( P + J ^ M z ¿ ^ Cp4J3<3W)d cosa V > 0
. Donde R es un coef ic ien te de
perdida en e l o r i f i c i o (que
puede v a r i a r de va lo r absolu-
M. ¿«i £.
FIGURA (1.2
to cuando la corriente es ha
cia arriba o hacia abajo), que
depende del área de éste, del
1 tipo de movimiento (laminar o
turbulento), de la forma.de la boca etc« (18)#
Pero normalmente k va a permanecer constante ( asx se conside
rará, incluso en el caso de que va.riase con el sentido de la. co
rriente)* " ' •
Sustituyendo (1.3) y (1*4) en (1*2) y simplificando se obtie
ne
¿ Jt " L ^ ~ ^ + T ^ " + z i : a t U t i ( 1-5 )
habiendo tomado como altura nula la del nivel del embalse y la Z
positiva cuando el nivel de la chimenea está por debajo del que
tiene el embalse (X es un coeficiente adimensional de pérdidas
en el conducto y D es una longitud característica de la sección
del conducto (18)) C
—1 • 6™
(ii) Ecuación de continuidad en la-base de la chimenea
p \J (\T i masa que entra
-p (á_5. /\¿ : incremento de masa en chimenea
ü Q : masa que sale
Obteniéndose al simplificar
at" As A6 . ( 1 - °
(iii) Ecuación de la energía en la turbina,
U/-- V2 Q (PT- ^) (1.8)
Donde ^ es el rendimiento de la tur-bina y PT es la presión
total a la entrada de la turbina que la hallaremos aplicando Ber
noulli entre el punto "4" (figura 1*2) y la entrada de la turbi
na,
y la ecuación (1.8) queda
w- « z Q ^ g C H - a - ^ ^ ^ ci.9)
y supondremos |?~{?o (constante, aunque en general b~y(®)).
Las ecuaciones (1.5), (1*7) y (1.9) son las necesarias para
resolver el problema•
Utilizando las siguientes variables y parámetros adimensio-
nales:
-1.7-
5 ~ \l 2^ M v ; 5 = -!r ; ^ t H VI I {=.
<*- = Q
í \¡S H f-^-A
Cü- w _ 2. ATL . M^.^_Lli! ; í^¿ + AL 7 A "
Se tiene de (1.5), (1.7) y (1.9)
(1.10)
que se pueden simplificar eliminando q
¿K. ó z. = - ^ ^ 5 + / ü |
e cu i-5-y4^tl
^
(1,11)
Estas ecuaciones son válidas siempre que:
es decir para 2. < 2^ , pues "Z~£¿ significa que la chimenea es
tá vacía#
3»~ Soluciones Estacionarias"
Se obtienen haciendo nulas las derivadas con respecto al tiem
po:
-1.8-
(1,12)
La ecuación (1•12) ha sido representada dentro de los mar
genes de validez en la figura (1.3) ( para Co^Oy para g>s 0 ,
puesto que para que las potencias sean positivas deben de ser
las velocidades positivas en el túnel)• Si hiciésemos funcio
nar la turbina como una bomba, entonces:
€ . - -Gü S> Cü-CoCi + % ^ Cco^ £ o C O , C O ^
En la figura (1.3) se observa:
(a) No hay solución estacionaria para co > —j=~ (Es decir que
el salto puede dar potencia en régimen estacionario hasta
un límite máximo)•
(b) Una sola solución para co~-^~. (Hay una sola solución
que da la máxima potencia, se da para ^o~TnT )
(c) Dos soluciones para 0á CXJ <^-=-(En la primera,la veloci
dad en el túnel es más baja y la altura en la chimenea es
más alta, porque las pérdidas en el conducto son más bajas
al ser la velocidad menor, sin embargo la segunda solución
no tendría sentido para valores en los que g0 =• D > ~Tj~
porque en estos casos la chimenea estaría vacia, y esto en
el supuesto de que -5~~ > -J~ , porque si ~*~ ^ ~a~ n°
habría más que una solución estacionaria para todo co que
•1.9-
cumpla O á Oü <C \j~¡ U ~ |p. )•
(d) En el hipotético caso de que co < 0 solo habría una solución
válida, con £D< 0 .
4«— Estabilidad de las so3.uciones estacionarias
Se estudiará el comportamiento del sistema alrededor de la,s
soluciones estacionarias (£0 > So )> suponiendo pequeñas perturba
ciones alrededor de estaos soluciones estacionarias.
En primer lugar hacemos el cambio de variable
5 - 5 ~ So
¥ - l - €o que a l suponer £ o > 0 , So - €o y \%> l?l<l€ol
~\
^ S~ - _ ¿L -a , ^ f o p- , d t
€go d s \dS
4-
4-
~/
(1-13)
y tomando la' parte lineal que es la que domina con pequeñas per-
turbaciones alrededor de la solución estacionaria
di d-ZL
f -
-2-€,
L — e - A (1.14)
-1.10-
Si suponemo s £ 0<0, 5o =- €o y \ € l <\ ío\
41 = ^of+S + ^ V ^ I l a t l *\
ds-a* = -££-l- e
+ e € i+€í i + S i -s -^ fóH
^> O
(1.15)
y linealizando
(41 ]
41 .6* J
2^
L
"=>o
- €.
[g
= A' f"
s (1-.16)
Para estudiar la estabilidad de las soluciones estacionarias
halladas en la sección anterior, hallamos los. autovalores del pro
blema lineal asociado a cada una. de ellas, y si los dos autovalo
res son negativos entonces la solución es estable y si algún auto
valor en positivo la solución es inestable.
El polinomio característico de A es
X*- TV (A) X -V- A (A) - O
donde: TV (AV traza de A =• - 2 0 4- fLÜLe^
A (AV determinante de A - £ - Z,€ 5?
y e l de A' es
con:
A2- Tr(A ' ) X + A(A") = 0.
T r (A ' ) = 2 g 0 + ^ Í | T
-1.11-
A (A1 ) = £ + 4|||
Í5vcN
y las soluciones serán
\-_ J^±^^f-&W
Las situaciones que se pueden presentar son (2) (11) (13)'
(i) Si A(A)<0entonces A¿ • Áz~ A(Aj< 0 f Ai y A2 sorl reales,por
que (LlliAl) -A(AN)>0 y de distinto signo, con lo que (£c, 5o )
es un punto inestable del tipo llamado "puerto" en el diagra
ma de fases del sistema.
(ii) Si A ( A ) > 0 N, T r ( A ^ < 0 , entonces Re(A^Oy^aC^O,
con lo que el punto es un extractor en el 'diagrama de fases•
Siendo además nodo si:
o espiral si
(TiJA)f - ACÁ) <-0 z
(iii) Si A ( A ) > 0 y TrCA")>0, se tiene
que es un nodo inestable si
y un punto espiral inestable si
(TrL^i) z_ A(/V)<0 -
(iv) Si A (A) > O \j Tr(A)= O en teoría lineal el punto se
ría un centro, pero en la ecuación general no se podría, decir
-1,12-
a priori»
Ahora bien nosotros tenemos
( I ) A ( A ) = 6 - ^ § > ( c o n 0 S < £ o < \ | ^ < O
como £ > 0 entonces A(A^ = 0 para g0- --= ( O J = - ^ = )
y. ACA^X) cuando 0 < § o ^ ^ y A ( A } < O p a r a -^ < £0<-1
Y A (A') v^ _ 4 4 3 1 ¿ e
COV\ g 0 <. O
por lo tanto A (A') > O V £ 0 < O
( I I ) TV ( A ) - £ 0 2-U-lll i-%
(con O ¿ £ 0 < \ | ^ < i ) ^ .
y entonces
T r ( A ) - 0 para ^ - O ^ p a r a a~2U-g)
T r C A ) < 0 para 6 < 2C-l-§*)
T ^ C A ) > 0 para e > - 2 - U - g o )
Y T r (A') -- g 0 - £ ± ^ X ¿ ~ €o") < O (con € o < o )
<"*> Bis w = cT ^ f - ACM = ? ; ( ^ - i f - e C ^ )
con o < ^0<\|7~'< i • Resulta entonces
De donde t>xs(A^O para '
-1.13-
para Co > -=r como A OV) < 0 el discriminante es mayor
que cero. Y en la zona 0££0<-4=- tenemos
Oís (A) >0 con 0<e<^ i=^^C(4-2^)-\/T¡^cT^iF))
DrsCA^O con Gy< fe <fe2-- 2 a ; t ^ ((Mgo^+^a-^ü-^))
So
D i i (A1) > 0 t o n • 6 > feí
siendo t)í<; (A1) - 0 para
resultando que para ^ ^ 0
DXS(A')>O con o<£<<i^ ?í±±&5((i+2^_\/á+iiF)u+£j) So
bis (A') < O con £lCG^^-^^(Ci+2^)4-\í^^"ÜH?))
DisCA')>0 cov G>£.'¿
En la figura (1,4) se.han dibujado todas las curvas que repre
sentan Tr(A>0, A(A>0 y D i S ( A V 0 para 0<k%D¿L±r
(en el cual 0 co <c —^~ ), ya que para £</> 7f * el punto correas
pondiente a cada co es un punto puerto y no cabe distinguir otraa
clases. Para ^ o < 0 se ha dibujado TrCA')-0, ACÁ1)-0- y
Ms(A')-0 .
-1.14-
En dicha figura (1#4) se pueden distinguir las siguientes zo»
ñas:
(A) cu > —%===- no hay solución estacionaria
(B) ACA^>0 ) TrCAVO c o n t>ÍsM>0 que se tiene para
o < e eá
significa que la solución correspondiente a la primera rama
positiva de la figura (1.3) es un nodo estable.
(C) A(A^)>0 ;Tr(A^<cO con t>ís(A)<0 que es para
Corresponde a l a zona en l a que l a primera solución con Go>0
es ua punto e s p i r a l e s t a b l e .
(D) A ( A ) > 0 ; T r ( A ) > 0 con " D i s C A V O que es para
0<*»Hk
En este caso la primera solución para oo > O es un punto es
piral inestable.
(E) A CA) > 0 ; TV (A> > 0 con t>ÍS (A) > O se tiene c on
-1.15-
Cuando l a primera solución para/ üú>0 es un nodo inestable*
(P) t M s ( A ' ) > 0 t s e t i ene con
La solución que hay para oo<:0 es un nodo e s t ab l e •
(G) D i s C A f ) < 0 , se t i ene con
e ; < e < £'z
La solución que se tiene para G ü < 0 es un punto espiral
estable•
Se observa que el estrechamiento en la base de la chimenea
no interviene para nada en la estabilidad estática de las solu
ciones estacionarias del problema.
-1.16-
(A)
IGIJRA ( 1 . 4 )
C A P I T U L O 2
POTENCIA PEQUEÑA FRENTE A LA MAXIM DE OPERACIÓN
!•- Introducción
Habíamos visto en el capítulo anterior que la potencia adi-
mensionalisada en función de la velocidad estacionaria adimen-
sionalizada vale'
Poniendo la ecuación en función de variables dimensionales
La energía total sacada del volumen de agua N/J- será (supo,
niendo que el nivel de agua en el embalse se mantiene):
_ W V/r _ fe0p6 H VA- , . J__„z\
En esta ecuación se observa que la energía total que se pue
de sacar de un volumen de agua V T es tanto menor corno mayor es
la velocidad del régimen con el cual se extrae dicha energía» A
sí contra menor sea la velocidad en el túnel mayor es la energía
que se extrae del embalse por unidad de volumen, es por ello que
en general conviene operar con potencias mucho menores que la ma
xima posible ( C O m — 77^ ) t £sto viene reforzado por el hecho
de que para velocidades más pequeñas el límite de estabilidad se
tiene con áreas menores que para velocidades mayores, ya que
de donde
A « " - T ^ T Í ? *(2-1) 2 ^
-2.1-
Supondremos por tanto que é>D <C< i => co « i *
2.- Estudio cerca de la zona <C~0 con ¿L> 0
Para este estudio emplearemos .un método de escalas, múltiples,
suponiendo que cerca de los puntos de cambio de estabilidad (£o-0),
que en teoria linealizada son centros, las soluciones son perió
dicas o muy cercanas a ellas, con dos tiempos característicos, uno
•el periodo de estas soluciones, que viene dado por él de la solu
ción de ecuación linealizada en primera aproximación, el segundo
tiempo es el característico de variación de las amplitudes de ta
les soluciones cercanas a las periódicas, en'el transcurso de un
periodo• Este segundo tiempo cerca del punto de cambio de estabi
lidad es mucho mayor que el primero y es por esta razón por la
que en estas zonas es posible emplear los métodos de escalas múl
tiples (4) (5) (17)/.
Tenemos ahora las ecuaciones (1*11) que estudiaremos alrede
dor de ( £¿, 5o ) * ( £o* €^)t por lo tanto haremos el cambio f fj-§0, •
5 - 5~So * teniendo en cuenta que aqux ^ ~ 5 + o puede ser nega
tivo, queda entonces:
+ ¿-£ i-<£-*-/* M I
-2.2-
Supondremos ahora que £0~ S < < A f es decir estamos a distan
cias del orden de S del punto de cambio de estabilidad en el pía
no de los parámetros (é,<-o), puesto que co - £o^~§o^~ €<>•
Buscaremos un desarrollo asintótico de las soluciones cerca
nas en orden de £ a la solución estacionaria:
£ - S ^ 4- S2vj¿+ —
Estas aproximaciones asintóticas cumplirán:
"3 * dr
.2 En (2,3) no aparecen términos de orden superior a & , si elimi
namos los términos de orden superior a £> , tenemos:
a*. A
ecuaciones que tienen por solución general
BJL - \T£ (- 6 seva v[£r + A eos \fe O
cuyo periodo es ¿=I1 , que es al límite al que tiende el perio
do de las soluciones cuando 8—^0 ; por tanto cerca de la zona
de cambio de estabilidad podremos suponer que el periodo es de
la forma ~T~- 4^- 4- S T ^ — , y para que el periodo fuese siem
pre T--?=J? deberíamos hacer un cambio del tipo X - Z (i4-Sx,4-~),
donde Xi lo determinaríamos de forma que el periodo obtenido pa
-2.3-
ra las soluciones en las siguientes aproximaciones sea -==- , si
además suponemos que la determinación de la amplitud del ciclo
limite se producirá en segunda aproximación, la segunda escala de
tiempo deberá ser x -Z.& •
Se puede poner entonces
? ^ £ vfi<*/>0 + S ^ 2 C x / x ) * —
5" - £ ^i Cx/X) + ¿^¿Cx,^ + —
y las ecuaciones (2.3) se transforman en
g Ijü + s2 ( %k + x, SJH + |a i) = & 2 l + &H z* +
en primera aproximación obtenemos
3x - £<
^ - - - ^
que teniendo en cuenta que 2.A - "2, Cxyx) e \jA —\(^ CX/X^sus solu
ciones serán del tipo
\/A - ACx^ se>n >fl x + B Cx ) cos.NÍe x
2JL - ví& A Cx) eos vle x - ÍG & OO seva \fe x
Estas soluciones son armónicas en x^como era de suponer ya •
que corresponden a las soD-Uciones de la parte lineal del proble
ma en el punto de cambio de estabilidad, que corresponde a un
punto centro en el que las trayectorias son elipses, estas solu-
-2.4-
ciones son válidas en primera aproximación cerca del punto de
cambio de estabilidad, si bien hay que tener en cuenta que la am
plitud de estas oscilaciones puede variar con la escala larga y,
y dependiendo de que las amplitudes medias crezcan o decrezcan
con la escala larga serán espirales crecientes o decrecientes,
pero también puede ocurrir que la amplitud media se mantenga en
la escala larga., en ese caso estaríamos ante unas oscilaciones
mantenidas en la primera y en las siguientes aproximaciones?has
ta aquella en la cual se determina la' amplitud que se mantiene
constante en la escala larga, estamos pues ante la primera apro
ximación de un ciclo límite en el plano de las fases, que bifur
cará del punto de cambio de estabilidad* En el presente caso ne
cesitaremos acudir a la- segunda aproximación para determinar la
amplitud media de la solución periódica que tenemos en primera
aproximación y que se mantiene constante con la escala larga•
Asi en segunda aproximación tenemos
r Sx I 3x I I (2.4)
Sustituyendo los resultados obtenidos para \|1 y *2A se tiene
un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, cuya parte horno
genea es exactamente igual que el sistema obtenido para \¡¿ y ^
en primera aproximación* Deberemos imponer ahora condiciones de
periodicidad en x a las soluciones del sistema, para ello apli-
-2.5-
remos los resultados obtenidos en el Apéndice 1 en el cual se
dan condiciones de periodicidad para, las soluciones de un s is te
ma de dos ecuaciones lineal y no homogéneo. En este caso tenemos
que (empleando la notación del Apéndice 1):
íL ( x ) - - x¿ (\fe A eos V&x -\fé B sen Í£x) - A s e v \ ^ x -G> eos \fex +
+ i - ( l + A s e n í i x + & <ZQSÍ€:Y;S)\4+A s e \ A ^ x + G>eos\íéx\-
- y U e 1 ( A sev\ \fex + ( i c o s { e x " ) l A ^ e n f e x + 6 c o s < e x l
f^Cx) =. v A ¿ C A s e n \Tex + G> cos\Té^ , )+*fé(C)Se\aíév-Acos^x ' ) +
+ € V - A eos \íéx - <£Vz- G> s e n V&x
A *SA O ^ & donde A = 2J± w & - - T ^ T
Además:
¿x -0 ; A = A ; i f ^ - e . ^ v ; 2 - <£
y como 2_ i / lo i ^ 3.^ b_j según el Apéndice 1 son los primeros
términos del desarrollo en serie de Fourier de f^x) y f2(x),
tendremos (apoyándonos en resultados del Apéndice 2):
a j - x l V ré .e>-Á-JL yu£ 2A \í/?+e? - 2 A con AHB 2 < i
2 . ^ Xx \íe G> - A - JL yu e l A \/A*+ B2 -
_ ? / , _ ?=. ^Y- ro<-__L_ . _ ( 7 + _ ! - >\ÍA2+GM ") A con A H & ^ I
b ^ - x ^ A"G>-^-y^e2&\í^^-2.B co^ AN-tf <£1
bA =• -y, Ve A -fe - ^ / ^ S^+tf "\
-ZCi-% ^ c o s ^ ^ U - . ^ ^ ^ T ) ^ ^ ^ A
-2.6-
Ahora bien para que (2.4) tenga soluciones periódicas debe
cumplirse
ex b d -vv< a i -v/3> Wt =.O
ex ax - K bA +/i aíi = o Resultando •
2 € xA B - 2fé A - J ^ y ¿^ A\Rítf •+- e?AA-2\ÍI A = 0 aov\ K*&<{
2 e ^ A + Z l é 6 + | : y u e^&vltfíá*- e 3 / i B-v^ S = 0 ÍTV
2 e x, £ -2\fe A - - £ - / * e.54A\ÍA^ + e3'2A -
2^1(1-^ orcos-¿^ +^U + \CS^1)A=0
2fe v, A +2^S + ^yaé5^ÍM1-fc4&+ 3TÍ
+ Z ^ ( l - - ^ ^ c o s ^ 4 | f ( 2 + >if^6MlB-0
cov\ Al+S^i
-n
Combinando estas dos ecuaciones (multiplicando la primera por
-A y la segunda por B y sumándolas, posteriormente se multiplica
la primera por B y la segunda por A y se suman):
¿Lx 2>TT '
4-z\íé (AVe>*)- O
ZfQ CÁB-BA)-2.ex,CA%G>') l c¿m (A+eVl
-2.7-
Vcoví A2-V6^i
¿A* 3TT/
Si hacemos el cambio A Ser» tffcx-t-fécosféx - C eos (tf£x + M5) ,
tenemos C ' ^ V A W y tg H> = - -A-
obteniéndose las siguientes ecuaciones:
(2.5)
Donde:
f Ce)-- á
íCcW
2. i z i
Con C'< 1
Teniendo en cuenta que C representa la amplitud media de la
solución en primera aproximación del problema (2.2) cerca de £o-0,
la primera ecuación del sistema (2*5) representa la variación con
la escala larga de dicha amplitud media y la segunda es la varia
ción de la fase de dichas soluciones en primera aproximación en
la misma escala. Si queremos por tanto que: primero esta fjase sea
constante en la escala larga (periodo constante e igual a ~!í- )
debe ser Yx-0 y con ello M -cte y segundo, la amplitud media C sea
constante con la escala larga,representando entonces la amplitud
media de un ciclo límite. Esto es: *
dLC SiX
^0
-2.8-
Es decir
3TT/ 2
Esta ecuación tiene la solución C=0, que corresponde a la solu
ción estacionaria alrededor de la cual estamos estudiando, el
comportamiento del sistema.
Las otras soluciones corresponden a soluciones periódicas
que cumplen
rcc)^^xx/A &Zc -§ +KO-0 (2.6)
Esta ecuación nos da de manera implicita 0~C(€fju) f que esta di
bujada en la figura (2*1), en ella se representa C en el eje de
ordenadas y £ en el eje de abeisas, las curvas además están da-
das para diferentes valores de ¿A » En todas las curvas se obser
va que C se anula pa.ra £--Z ( condición de Thoma) y para é-^^o
siempre que JU-^O • Si yu~0 entonces se anula solo para€-2t Es
más cuando u.40todas las curvas tienen un máximo y cuando >u~O
no existe tal máximo tendiendo C a infinito cuando £-*>oo # El má
ximo para /A^O esta situado en £ m que varia su valor entre 2
B oo 9
Para hallarlo calcularemos 4^* — O • Y como:
(se obtiene al derivar la expresión P(C) - 0 con respecto a 6:)
se tiene que <c^^ 11L.. donde C ^ ^ C C e ^ 4 6 MCU X
-2.9-
Sustituyendo esta expresión en (2*6)
y como resulta que
ccm C^i
tenemos que (al ser f(1) = 1)
f ( C) > i covx d > 1
í CO- i Con £<l •
Si 7 A ^ ^ ^ y CvA^£y
y si yu < | ^ -> C ^ - j | ~ ^ donde
Se observa además que para todo valor de XA existe un ciclo lí
mite para cada valor de e en el intervalo (2,<x>), y no existe, en
esta aproximación, ciclo límite para 0<it^2, como la solución
estacionaria es inestable para 2 ¿ £ < ^ > el ciclo límite rodea
siempre una solución inestable y es a su vez estable, y esto se
descubre al acudir de nuevo a la primera ecuación de (2*5) que
nos da la evolución de C con la escala larga* Si Cc es el valor
que hace P(CG) = 0 y C > C¿ entonces:
Si C £ {
y si C > i - "
(porque ~ ^ 0 si C ^ i )
y por la misma razón si C ¿- ^c ~==? FÍ.C) ^ O
-2.10-
y como
resulta que
si c > c c xi<o
con lo que Cc corresponde a un ciclo límite estable•
A todo lo dicho hay que añadir algunas salvedades cuando M¿<Í,
ya que si M k <=> entonces
con l o que
*2>^ _ 3TT i £tu* ~ J_£> J(A £VAA O i G x7* O
y entonces ya no es válido el desarrollo asintotico hecho al prin
cipio de la sección, es decir que para valores de u^%> (incluso
para ¿A^S ) no se puede asegurar que exista ciclo límite para A i ' valores de e para los cuales este desarrollo da C^-rió C<v~)*
Esta salvedad se vera confirmada en la sección 4 de este mis,
mo capítulo, en el que se estudia el comportamiento para ucc i y
£ » 1 •
Por otra parte en la zona cercana a e-Z.se observa, para,yu«l,
que C varía muy rápidamente con £ , e incluso que en ju-0 sube
con pendiente vertical, conviene entonces estudiar más exactamen-
te lo que pasa cerca de 6^2 para ju« i , así se ha hecho en el
Apéndice 3> en el cual solo se estudia la existencia y amplitud
~2,11~
del ciclo límite, debido a lo engorroso del cálculo que este lí
mite de parámetros conlleva. En los resultados obtenidos en el
Apéndice 3 se observa que para k\c^i existe "una bifurcación que
para julo primero va hacia la derecha, después gira a la izquier
da llegando a zonas en las que incluso G < Z (figura A3-1) y pos
teriormente cuando en el ciclo límite existen zonas en las que
la velocidad del túnel se hace negativa, gira de nuevo hacia la
derecha para empalmar eon la solución dada en esta sección (si
u-0 la bifurcación inicialmente va hacia la izquierda en forma
parabólica, volviéndose hacia la derecha cuando se alcanzan ve
locidades negativas en el túnel)* La estabilidad de los ciclos
límites por extensión de lo ocurrido en esta sección serán esta
bles si rodean soluciones inestables, e inestables si rodean sjo
luciones estables, así en este caso serán estables los que en la
bifurcación crezcan hacia la derecha e inestables los que crez
can hacia la izquierda* Queda por comprobar que las soluciones
obtenidas en el Apéndice 3 empalman con las obtenidas en la pre
senté sección* Aquí la amplitud del ciclo límite está dada., cuan
do hay velocidades negativas en el túnel, por £>C (con é*-^ í) y
C vale
Corno en el Apéndice 3 tenemos que LA-£>LXÍ y £-2.4& ei y la ampli
tud de ^ en el ciclo límite es £ C - S Q-V-S^a?) , se debe sus-
tituir en (2.7) C - á + S~¿L , de donde al despreciar términos de
rz orden superior a o queda:
-/\-.:.- (2.8)
-2.12-
por otra parte se sabe que si e ^ i
eos ( a e!/¿- 5jd eVi+ ÜÜ ¿ ^ - W -e *" ^-e?*" ~ TTe
con lo que
1 r- ^V j . S\Í2 o 3 / 2 - . ^ ^ 2 P S / Z ^
^ ^ - ¿ ^ - ^ - e ~ T I e + T G o e 4
y además
a l combinar es tas expresiones
^ ¡4-e ^ u + ( i + e ) l ) H ¿ e e - | 5 T r ^
por tanto en (2#8) con C ~ £> °¿L queda
y de aqui
• ^ 4 ^ 15TT , ^UZ a \
y en el Apéndice 3 obteníamos
que son resultados coincidentes salvo en el término "3J1. , esto
es porque al calcular el resultado de esta sección se han despre
ciado términos de orden superior a S y estos términos aparecen
en el Apéndice 3 para aproximaciones en £> t que es la que deter
mina cL en primera aproximación, por lo tanto en esta sección se
-2.13-
desprecian salvo los términos en uj y ^i que al estar englobados
enuy G. (que son del orden de la -unidad) aparecen siempre, habría
que acudir por lo tanto a siguientes aproximaciones de la solución
obtenida en esta sección para tener un empalme completo»
Conviene hacer notar como conclusión que si bien el estrecha
miento en la base de la chimenea no tiene efecto alguno en la es
tabilidad estática del problema, si que lo tiene sin embargo en la
forma de las soluciones periódicas que rodean la solución estacio
naria, haciendo que aparezca un ciclo límite hacia la derecha, (fi
gura (2#1)) que rodea la solución inestable y que es estable a su
vez, y que este ciclo límite se hace cada vez más pequeño al tiem
po que el estrechamiento se hace más pequeño•(M crece), este com
portamiento que será confirmado en la sección 4 de este capítulo
y en el Capítulo 3> da lugar a comportamientos muy complicados co
mo el que aparece en el Apéndice 3 (figura A3-1) donde para LK^ O
yju¿L<l hay para valores £>2 con \&-z\^< í una solución inestable
rodeada de tres ciclos límites, dos de ellos estables (el más ex
terior y el más interior) y el tercero inestable (el intermedio)•
3»- Estudio cerca de g0-0 con ^ $ O
Se emplea un método similar al empleando en la sección anterior,
con las ecuaciones (1.11) pero en este caso el cambio debe ser:
porque la turbina funciona ahora como bomba y la solución estacio-
-2.14-
cionaria, alrededor de la cual estudiamos las soluciones, es
(£,!"-£o)» c!on ell° las ecuaciones (1.11) quedan:
<á2
(2.9)
Y en este caso tomaremos ^--S con £¿<i , "buscando soluciones del
tipo
Dependiendo \ff y 2j de dos escala.s de tiempo
Sustituyendo en (2.9) obtenemos
&®Mi + ^(^i.^)^ 8 x 9x dx
4 - -
O * o x d x
Con lo que, en primera aproximación , obtenemos lo mismo que
en la sección anterior
93j_ - •* ^ V A Cx) se\n fe >c~ 4 B G O CO£ (£X c9x
3x J
-2#15-
y en segunda aproximación
3x
§** = 9><
(2.10)
^ 2 9^t ^-j
Aplicando los resultados del Apéndice 1, apoyándose en los
resultados del Apéndice 2, para que el sistema (2.10) tenga so
luciones periódicas:
2 1
COY\ A2+GT¿ ¿
-7.ÍG Á'-|^e5/iAlí^-£^A-^A-0
~\
A^-er^i ^ / ¿
2.\fifc + ~ yu e ^ e V ^ + 6 1 + € / ¿ B +
. + za u- ^ a
Combinando es tas dos ecuaciones y con e l cambio
A «sewfSx + & eos ( e x - C eos C ^ x +H5")
se t i ene que
31Y y U £ * ¿ Z _ § A _ C l i C < 0
y como quiera, que -fC^O^-0 \ / C ^ 0 r e s u l t a que
- 2 . 1 6 -
3TT / 2.
y por tanto para todo O^O ~3r:<0f e s ^ e c i r Que I a solución
nula es estable para todo valor de// y de £ , y no tiene ninguna
solución periódica que la rodee* Esto es lo que habíamos obtenido
al estudiar la estabilidad, con pequeñas perturbaciones de la s.o
lucion estacionaria, ahora sabemos que además no hay solución pe
riódica que bifurque desde el punto de cambio de estabilidad £o=0»
4#- Estudio cerca de ^ - O c o n ^ O y g » j .
El suponer £.>> i , significa, tener una, chimenea con un área
mucho menor que la de Thoma, y si bien este caso no tiene gran in
teres práctico, si lo tiene desde el punto de vista teórico, ya
que los resultados tienen gran importancia desde el punto de vis
ta cualificativo*
Como veremos en este caso existe Lina descripción completa, de
todos los ciclos limites que rodean la solución estacionaria i-
nestable, explicando incluso el comportamiento en las proximida
des del punto puerto (£p*£p ) con r, > J~ , que existe siempre
en conjunción con el punto espiral inestable .( £0, %l ) con ^0C ~r,
siendo £o y %p las soluciones positivas de co -£0G-£o)Para w > 0 •
Al ser ÜÚCCI podremos tomar £>o~S> <£< ¿ por lo que en primera
P L z aproximación Co~& y ^p - L- ~
Utilizamos las ecuaciones (2#2). en las cuales hacemos el si
guiente cambio
(2.11)
Con estas relaciones (2.2) queda déla forma:
¿|- ¿H^-c¿^')\é'^v^^y gfél )
as i-S - S -fe y* g^ \as
V (2.12)
El dar este cambio viene explicado por el hecho de que si e.s
tudiamos £>>¿ , entonces como vimos en la sección 2 de este Ca~
pítulo, las soluciones en primera aproximación son:
^ S ¿ eos Cféx +4>)
5 ^ -&\f¡= G sev\ c\íex-vM>)
Como además queremos que c^vdepara poder acercarnos en alguna de
las sonas de la trayectoria al punto puerto,que representa en el
plano de las fases a la otra solución estacionaria, y que está a
una distancia del orden de la unidad de la solución estacionaria,
alrededor de la cual estamos trabajando, entonces:
&C ^
por ello Q'v-£= 7 como "z. <v -j= , al hacer el cambio a variables
del orden de la unidad en la segunda ecuación quedaría un tórmi
no no lineal del orden de £>{& , por lo tanto si queremos que
este término aparezca en segunda aproximación debe de ser:
-2.18-
Sfé _4/o
<£ ^ g<3
y por tanto fj^S^3 > ^ ^ ^^ Y S0^ *
>u se toma del orden de 8 3 para que el término en el que influye,
que es no lineal, aparezca en segunda aproximación*
2/a Expansionamos ahora en potencias de S3(podríamos hacerlo en
potencias de -i- , pero se prefiere hacerlo así por ser luego más
fáciles las comparaciones)
Suponemos también dos escalas de tiempo, la primera del orden
de $> , en la cual el periodo de la solución en primera aproxima
ción es i^I , la segunda de un orden mayor, porque suponemos que
la determinación del ciclo límite se va a hacer en segunda aproxi
***
macion:
X - S £ 3
Sustituyendo en (2.12) obtenemos:
^ 4 £2/3 r §^i . v 9 ^ , Q*o\ 1
eo\n 2D< {
i-^a
Obtenemos en primera aproximación la misma ecuación ojue en la
-2.1-9-
sección 2 con las variables actuales
3x
(2.13)
Cuyas -soluciones son armónicas enx, y son válidas en toda la zo
na cercana a £D"=0 con E ^ i , siendo además los coeficientes de los
términos en seno y coseno dependientes de la escala larga, cuya
variación se determinará en la segunda aproximación. Tomaremos co
rno soluciones de (2.13)
s¡0- A g í s e v , v f E x 4 B g ) C O S ( E X
^ - o - A « ) eos ( & * - Q6?) s>ewfe*
En segunda aproximación tenemos
9* ' Xi*8^"á^ ^ 0 ^ o l V ^ \ ^ |
? ^ - - Exj4 _x, 3*a - §*fe 4- JE* cov\ "Z0¿ i
3x J -1 3 x 5x A-io J (2.14)
Estas ecuaciones son lineales y no homogéneas en Zx e ^ , obte
niéndose el termino forzador al sustituir y0 y t> por su valor
obtenido en primera aproximación* Ahora obligaremos a que las ojs
cilaciones sean mantenidas en la escala corta y que solo varien
las amplitudes con la. escala larga, para ello obligaremos a que
las -soluciones de (2,14) sean periódicas en x .utilizando los re
sultados del Apéndice 1 con A °
f i CO - x-j (e> sew\íe x - A eos t fex) - A s e ó l e * - ^ C O S Í E * -
- ~ (A seiAfGy + B c o s f E x ) lA <LGV\ {&* + B eos (ex | ( d + ^ E * )
- 2 . 2 0 -
Í2.GO = Xi (E (A sen \ fe x + 6 eos \fe-x) + 8 sev\ tflx - A eos lÍEx 4-
4. ^ C A eos ^E x -„.B_£&w ÍE x\___ C o n A i + 6 ^ i
1~ (ACOS(GLX - B seviÍE*^)
de donde, apoyándose en e l Apéndice 2 , l o s primeros coef ic ien tes
del desa r ro l lo en s e r i e de Foiirier de f ¿ (x) y f 2 (x ) s e r í a n :
— r - ^
\(i-CA24&2) - i ) A
?-. o2 cow A +G2<í i
por otra parte como c*-0 , Í2>~ i y W-tfE (según la nomenclatura del
Apéndice 1) para que haya soluciones periódicas de (2.14) debe
cumplirse
ÍE b ¿ - .--l^VEA -2. fe- J4£-^ -|- B^(ATÍBT+
-*-
Ve
c 3TT 1
AH8Z V l-CAl4G>2) -i) B-0
combinando estas dos ecuaciones (multiplicando la primera por A y
la segunda por -B y sumando; y después multiplicando la primera
por B y la segunda por A y sumando) queda el sistema equivalente
cL i&B?)^ i4£e*_I . ( A * + t f ) * + 2E0 i
Á6-6A* 2 ^ ^ ( A V B Z )
V¿RA?+G> 2 ) -i)i
\ cov\ ÁW< i
- 2 . 2 1 -
(Los puntos sobre las letras significan al igual que en la sección
2 derivadas con respecto a x)
Al hacer- el cambio
C eos Cf£x 4 ^ ) ^ A s e n ^ x 4 6 eos \Í£ x
tenemos G - \JA2+&~ y " t ¿^ - - ~ y l a s ecuac iones quedan
COV\ C <L i.
^U-ZtfEx, ] (2.15) ax •
En la segunda ecuación al hacer X^-O, la fase V de la solución
del problema en primera, aproximación se mantiene constante, quie
re esto decir que haciendo el cambio X- ¿(i+OCí/3)) en la escala
corta de tiempos, entonces el periodo se mantiene constante in
cluso en la escala larga»
De la. primera ecuación de (2©15) obtenemos la amplitud de los
ciclos límites sin más que hacer
-O
Es decir
Ecuación que da C en función de E ylu ? y de la cual es solución
C = 0 porque
i»« c-í l—)- I Í - i ^ ) ' ^ - o
como se puede ver sin más que aplicar la regla de L'Hopital.
~2.22~
Además existen soluciones con c^O que están dibujadas en
la figura (2.2). Se observa en esta, figura que para los valores
de TA menores que uno dado T\1 ? existen dos soluciones periódi
cas para valores de E menores que un E¿ , dependiente dez. y pa
ra valores mayores que otro EzC/0 * además G ^ Ez (cumpliendo*
se además que GJL GKO-Ez U¿i)), para valores de E entre Ej y *E2
no existen soluciones periódicas.
Ahora bien para valores de ZT mayores que JujL existen siempre
dos soluciones periódicas para, todo valor de E#
. Para calcular Ej (p) y E¿Cu) (máximo y mínimo de E en (.2.16)
con a fijo ) derivamos en (2.16) con respecto a C y tenemos
^ c¿-cL) de donde se deduce que íí-fe - O cuando
da
(si descartamos E-O y GL-^oo ) y la solución de esta, ecuación
es G - \ I íiJLiLL (eliminando la solución C S O ) , sustituyendo es,
te valor en (2#16) obtendremos II- Z I ( E ) , que está dibujada, en
la figura (2#3)# En esta figura para cada valor de TU se obtiene
E-i y z f y se ve que para M>M¿- 1 •7846406 no existen valores má
ximo y mínimo de E, pues cambia el carácter de las curvas y apa
recen un máximo y un mínimo en C^que según la formula (2.16) al
derivar con respecto a E
-2 o23-
se dan en £-\h=r y como se obseva en la figura (2*2) el máximo es
menor q u e y ü ^ y el mínimo mayor que y lililí , con lo que la ra
ma correspondiente al ciclo límite más interior está siempre por
debajo de C-\l^¿r y la correspondiente al ciclo límite más exte- .
rior por encima de este valor*
Si en el segundo miembro de la primera ecuación de (2*15) sus
tituimos £ = W~JX obtenemos
- r-Z
Esta cla.ro que con (Eyu)r-O se obtiene la curva juryu(E) dibujada
en la figura (2.3) y si üyufe) entonces ^ÍBjJu)<0 y si 2Jc/u(E)en
tonces ¿\C£,/A)> O * 3r cuando &>ju1 que es el máximo valor de
•7A(E) entonces <z(.&,j¿)<£0 para todo valor de E.
Quiere decir esto, que si y U ) ^ y C- \i-• • • entonces -~ <cO $
y como £~y:M^ e s ^ valor que es intermedio entre los dos valores
de G, en los cuales el 'segundo miembro de la primera ecuación de
(2,15) se anula, como tal segundo miembro es.continuo para todo
valor de 2, de C y de R salvo para E=0 y paxa C^i porque la.
discontinuidad en C-0 es evitable, resulta que ^¿cO para todo va
lor de C entre esos dos valores en los que se anula la derivada
(qtie corresponden a los ciclos límites), por lo tanto toda trayec
toria entre tales dos ciclos límites tendera hacia el más interior.
Además si C'-J-^ con V¿c< i y^>0 resulta que
-2.24-
con lo que si E 4 O ^=p ~r=r>0 para un valor de C<i pero que está
por encima del ciclo límite más exterior, luego por razones de con
tinúidad 4 ^ >0 Para todo valor de C por encima del ciclo más ex-
terior, que resulta de esta forma, inestable, pues toda trayectoria
por encima y por debajo de él se aleja»
Y si C¿<£ A resulta que
y entonces ¿£ o si &^G> luego por razones de continuidad todo
valor de C por debajo del valor del ciclo límite más interior da
un valor de d|l>o y resulta que tal ciclo límite es estable«
Resumiendo estos resultados, podemos decir que si T¿>Mi =
= 1 •7846406 existen dos ciclos límites para todo valor de E, uno
más interior que es estable y rodea, la solución inestable y otro
más exterior que es inestable y es exterior ál punto puerto»
Si ZA <IX ± se tiene que para, todo E tal que .0<^E<:Eá 6 E>E 2
se cumple que q(E,lO¿0 Y eB válido todo lo dicho anteriormente
para los dos ciclos límites que aparecen en dichas zonas, pero
si E esta entre EL y E ¿ entonces 5CB^u)>0 y ocurre que g ^ > 0
para todo valor de C con lo que únicamente existe la solución es
taeionaria que es inestable y el punto puerto.
Vemos por tanto que si bien este caso no va a tener gran in~
teres práctico, si va a resulta-r muy útil.para esclarecer como se
comportan las soluciones periódicas, coincidiendo los resultados
-2.25-
aquí obtenidos con los obtenidos en la sección 2 como veremos
más adelante y explicando el comportamiento de la bifurcación pa
ra valores de IX«1 que no habían quedado completamente explica
dos ni en el Apéndice 3* ni en la sección 2 con valores de ampli
tud del ciclo límite del orden de la unidad*
En esta sección la variación media de 5 viene dada por C¿ y
la de £ por *> " , con C cumpliendo la ecuación
^ ^ - i t é r 0 ' (2-17) y en la sección 2 la variación media de l~ está dada por &C y la
de S por &Í6.CÍ donde C cumple
3IT /^e*C - § + f C c 0 = O ( 2 . 1 8 )
con
K c O =1 I s i C £ L
haciendo Cz-S<¿¡ , & ^ ^ y u^p £> 4 tenemos de (2*18)
3TT/ 2Cj. & A ^ 4 / C:
^ • • _ Cz
S si tomamos d, <^£> 3 entonces d-~ — - >> i y entonces
*- S
con 3.0 que queda
^ a ^ E ^ - ^ - ^ f O ^ ) (2.19)
Haciendo aliora ° !—ti - C2. y s u s t i t u y e n d o en ( 2 . 1 7 ) quede
- 2 . 2 6 -
que coincide en primera aproximación con (2*19) cuando C ^ &
Luego los dos resultados obtenidos en las secciones 2 y 4 coin
ciden en primera aproximación, cuando tomamos amplitudes del or
den de £> '3 para la variación de ^ •
5#- Fenómenos transitorios
Las ecuaciones halladas en los apartados anteriores nos" per
miten calcular dentro de cada, aproximación el comportamiento traii
sitorio del sistema ante determinadas perturbaciones*
Supongamos por ejemplo una variación brusca en la potencia de
salida (Auo ) . Es decir el sistema, que operaba con una potencia
Co-f Acó , pasa a tener una demanda de potencia cu , como en esta a-
proximación Co~^ 0 , el sistema pasa de tener una, velocidad esta
cionaria de operación en el túnel ^0+Aco a tener £~0 •
Luego si estamos en la zona estable ( G<£2.)9 antes del cambio
de potencias las variables ^ ( 5 tienen el valor
^ - o + A co
Por tanto cuando se produce el cambio brusco las condiciones
iniciales para (2.2) son
£¡ - A c ó A "§"* Acó C A t o + 2 É ^
- 2 . 2 7 -
Y corno A c o ^ ' í ^ - S r e s u l t a , que en p r imera aprox imac ión
vfi --^o eos Cféx+U--Af
De donde se s igue C Co > - C 0 ^
&GÜ
Integrando ahora la primera ecuación de (2.5) con la condi
ción inicial •Oíd) - Co
X = ¿h __
^ - ^ ^ - t f C « (2.20)
que nos da la evolución de la amplitud media de 6j en función de
la escala larga.
La ecuación (2.20) no tiene validez cuando Cu-O > es decir
cuando se produce un corte repentino de la potencia suministra
da. En este caso las ecuaciones válidas son (haciendo ou O en
(1.11))
¿s.a ÁZ.
«+sv^|é| e^
y eliminando S
siendo las condiciones iniciales
- o
(2.21)
r-o
-2.28-
y tomando Acó ~£<£¿:i con el siguiente desarrollo asintotico de £j
De igual forma que en la sección' 2 hacemos depender y1 e yz de
dos escalas de tiempo
X *"£ C H *.&*+ — ")
Sustituyendo en (2.21) las relaciones anteriores
/ 9 x
Con lo que en primera aproximación
de donde
V¿- AGO c,evi í e x: + S c ^ ) co¿\ fex y en segunda aproximación
= 3Vé;B s e v \ í £ x ' - I i l e A COSlíéX -
- ( é 2 Ci+A e2) l A se\A fe x + B eos fé* \ (- Bsev\ m* -vAcosfex)
Para que es ta ecuación tenga soluciones per iód icas en x , de
be cumplirse que l o s primeros términos d_el d e s a r r o l l o en s e r i e de
Fourier de l segundo miembro sean nu los . Es d e c i r :
^LféB + J ^ líe U + yue^) NÍA^G5" £ - 0
- 2 . 2 9 -
Combinando las dos ecuaciones y teniendo en cuenta el cambio
C eos C\fé X4-1?) = A sen \íex + 6 eos \fex -queda
4^= o dx
( 2 .22 )
con las condiciones iniciales
¿(en - i ^ _ ^ o (2.23)
Integrando entonces (2.22) con las condiciones (2.23) resulta
c -4* -f 0
i
A - ^ U + , M £ Z ) X
y por tanto C-*0 cuando x-^oo ,
Entonces la solución en primera aproximación de (2.21) es
e . A c ° - eos Cíe t +4>0) + O ( W )
Luego cuando las potencias son pequeñas, si se produce un
corte brusco de la potencia, se inicia una oscilación amorti
guada cuya amplitud tiende a cero en tiempos mucho más grandes
que el periodo de la oscilación, y esta amortiguación crece pa
ra valores mayores del parámetro LK •
Otro tipo de fenómenos son los que sé presentan cuando la po
teneia de salida (o>) varia con el tiempo de una forma periódica.
-2.30-
Supongamos entonces que se proauce varxaciones de la potencia
CO - COo C 1+ £> coA eos \)~t-)
donde S--^¿i y COo -^oCi-^J) - ^o
Sustituyendo la expresión anterior en (1.11) y haciendo £¡ = - ^ 0
y S= S ~^o queda
(2.24)
En primera, aproximación este sistema es lineal:
y tiene una solución oscilatoria de periodo -=r , por lo tan
to si U es muy diferente de yfs , el sistema tendrá las mismas
soluciones que las encontradas en la sección 2, salvo que ahora
en segunda aproximación tendrá, una nueva componente de periodo
Pero cuando P2f\Í£ se pueden producir fenómenos de resonan
cia en segunda aproximación que cambiarán la forma de los ciclos
límites hallados en la sección 2« Supondremos por tanto
v -fe. +Sv¡
Expasionamos £ y S en potencias de £ :
Tomando también dos escalas de tiempo
x •=• n C i + £ xs + —"}
Sustituyendo en (2.24) y despreciando términos de orden superior
a £ , obtenemos:
+ S coi e ( eos Cv>-iféy/)x cos^fex -c,enCv¡-(6y()y £Gvt<g*)
En primera aproximación obtenemos ima respuesta, oscilatoria
en x, de periodo =±[-. Vfe -
§ 1 L = - 2 , , T ^ , - A G ? ) s e n vfex-v BCx) eosfex
9 l i=-evf \ 2 , - - fé&Cx} s e n íex + féA(30 eos \íex 8 x
= - e y ,
Sustituidos estos resultados en el segundo miembro de las ecua
ciones obtenidas en segunda aproximación
§3i -9x
-^ + i -a + ^u^^^%^-^ _sa
-2.32-
Y obligando a que las soluciones ssan periódicas de periodo -11-
(Apéndice 1), (siguiendo los mismos pasos que en la sección 2),
se obtiene:
di
Donde f(C) es la dada en.la sección 2 (2,5) y se ha efectuado
el cambio*
d eos C/e x + ~ A £e>n í e x + 6 eos N(&X
Ahora podemos elegir xL de manera que el sistema" (2.25) sea
un sistema autónomo: •
con lo que
d* 3TT ' 2. Z I
lio ,- " (2.26)
Las soluciones estacionarias de este sistema autónomo son las s,o
luciones periódicas del problema (2.24)
-2.33-
eliminando ^QLH^ y Cos^ de estas ecuaciones:
<ÜÍ£= C^C Z + C j/ie'tí + ÍCO-ffc^ (2.27)
Para V-0 (Ia frecuencia forzadora es igual que la propia, del
sistema en primera, aproximación) se tiene que
Esta ecuación cuando €<Z(zona estable con ¿uv~G) da dos solu
ciones de C, una positiva y otra, negativa y además si Oos <<c i
entonces C¿< i , con lo que f(C)=1 de donde para u - O
z-e Pero la solución negativa no tiene sentido, porque hemos tomado
siempre C^O , y si 1x4-0 el termino en u para C<cO tiene que
cambiar de signo, en realidad el signo más da las soluciones con
£>0 y H ^ — , y el signo menos las daría con C¿0 y ^ - ^ 9 aun
que habría que cambiar los términos en JU y f(C) para que la so
lución de (2*27) tenga sentido, coincidiendo entonces ambos resul
tados pues
_ 2 Cuando Vio y C¿<- 1 podremos poner
£ eos ( ^ y + l ) * - c ! coSC\fex + ^ )
CT = aV e ¿ A C p Z + C5fr/ l 6^ + -4í')
-2 .34-
lo que indica que cuando "p -*>oo entonces C-^O * es decir que
cuando nos separamos mucho de la frecuencia propia del sistema
se vuelve a recuperar la solución nula que se tenía con oo{-0.
Que lógicamente será estable para £¿l2L e inestable para é>2*
En cuanto a la solución obtenida para £>2 , con C¡^0(para
Gu<~0), ha.brá que estudiar las ecuaciones (2026) como un sis
tema autónomo en su plano de las fases (Cf^)f viendo las so
luciones estacionarias (procedentes de la solución para cv{~0)
que se pueden presentar (que son periódicas para (2.24)) y su
estabilidad, pudiéndose dar el caso d.e que se obtengan ciclos
límites en el plano (C^M3) que representarían soluciones perio
dicas de (2.24), aunque algo más complicadas que una simple so
lución oscilatoria en x.
¿OH
FIGURA ( 2 . 1 )
(Las lineas de trazos representan ciclos límites inestables)
H
0.5-4
¡¿.2^53$
0A T" 4
ío LOO 2
FIGURA (2.2)
r ^
-C_A_P_I_T_U_L_0 3
' POTENCIA DEL ORDEN DE LA MAXIU'A DE OPERACIÓN
•1.- Introducción
En el capíttilo anterior se estudió el comportamiento del sis
terna cuando las potencias obtenidas eran mucho más pequeñas que
la máxima de operación, en ese caso, el límite de estabilidad se
daba para G=2 , lo que daba una limitación inferior al área de
la chimenea
ASL = ^~ (3.D
Este área, por debajo de la cual el sistema es inestable, es
conocida como área de Thoma (7) (15) y es la que se obtiene al su
poner que las perdidas en el túnel son despreciables* Sin embargo
cuando las potencias de operación son lo suficientemente grandes,
o la fricción en el túnel lo suficientemente importante es necesa
rio modificar la formula (3*1)> teniendo para el arca de Thoma la
formula dada en (2.1) (también dada en (14) pag* 79)
A AT L 1
Z3H
Cuando la velocidad estacionaria en el túnel es grande (o la
fricción es grande) es más dificil que en las. oscilaciones alre
dedor de la solución estacionaria, 3.a solución oscilatoria alean
ce valores negativos de la velocidad en ""el túnel, esto hace que
la bifurcación que aparece en el punto de cambio de estabilidad
( & ~2 (i- £D ) ) cambie de carácter, con respecto al que tenía
en el capítulo anterior.
-3.1-
En el Apéndice 3 vimos que en el caso de que las pérdidas en
la base de la chimenea fuesen nulas, la bifurcación en el punto
de cambio de estabilidad se iniciaba hacia la izquierda con un ci
clo limite inestable que rodeaba a la solución estacionaría esta
ble, y posteriormente cuando el cüo límite va aumentando de am
plitud-al alejarse del punto de cambio de estabilidad, alcanza
una zona en la cual en determinados momentos hay velocidades ne
gativas en el timel, con lo cual cambia, la tendencia, de crecimien
to, volviendo la bifurcación hacia, la derecha en forma de ciclo
límite estable que rodea la solución periódica inestable anterior
mente hallada y más posteriormente rodea la solución estacionaria
inestable una. vez sobrepasado el punto de cambio de estabilidad.
Más adelante, como se vio en la sección 2 y 4 del capítulo an
terior, el ciclo límite iba creciendo de amplitud hacia la zona de
los é crecientes hasta, llegar a un punto^en el que volvia a. dar
la vuelta hacia los £. decrecientes; como ciclo límite inestable^
que rodeaba los anteriores y que seguía . aumentando de amplitud
hasta alcanzar el punto puerto a partir del cual el ciclo límite
desaparecía, porque un ciclo límite no puede rodear un nodo o pun
to espiral junto con un punto puerto*
En este capítulo veremos que la situación cambia bastante, es
to es debido a que en general al ir aum.enta.ndo de amplitud el ci
clo límite va a alcanzar zonas cercanas al punto puerto antes de
que en algunas de sus partes haya velocidades negativas en el tú-
riel. Asi veremos que en el caso de KA ~0 (perdidas en la base de
la chimenea nulas) existirá una bifurcación hacia los £. decrecien
tes que no cambiará de sentido antes de llegar al punto puerto,
momento en el cual desaparecerá.
Cuando ju sea distinto de cero habrá una bifurcación inicial
hacia £ crecientes, que dará la vuelta inmediatamente hacia, las
£ decrecientes, y continuará con la misma tendencia hasta desa
parecer.
2«- Pérdidas nulas en la base de la chimenea JU-O
Estudiaremos ahora el caso con perdidas nulas en la base de
la chimenea, aquí las ecuaciones válidas alrededor de la solución
de equilibrio (solución para velocidades bajas en el túnel) son
las dadas en (1.13) para JU - O
2 ^ + s- H2' °\
s z
^ ¿-sí s i-si 1^1
(3.2)
J Estas ecuaciones forman un sistema autónomo de dos ecriaciones,
que además cumplen todas las condiciones de regularidad suficien
tes como para poder aplicar el teorema de Hopf (11)»
Sabemos que la traza del problema lineal asociado vale
TrCA^íUt-j^T-2)-
y que se hace nula para é-Z(l-f?j) siendo
-3.3-
Si nosotros hacemos
tenemos que
X- (A) = - S €° i-Sí
y que para £ •= O
\o 3S l- ¿
Es un problema en el cual se cumple la condicción de traías-
versalidad y al aplicar el teorema de Hopf antes mencionado, ve
mos que existe bifurcación y que además debemos acudir por lo me
nos a la tercera aproximación para determinar la amplitud del ci
cío límit'e, por otra parte si existe bifurcación esta es simple,
es decir solo la hay hacia uno de los lados, a la izquierda o a
la derecha, aqui como veremos solo la hay hacia la izquierda ( G
decrecientes) que es la zona estable*
Por tanto desarrollamos asintóticamente las soluciones en po
tencias de yS hasta el tercer término (otro de los resultados del
teorema es que la bifurcación es de tipo parabólico, y al mover
se desde el punto de bifurcación una cantidad S la amplitud va
ría del orden devS)
Por otro de los resultados del teorema^el periodo varía solo
en segunda aproximación y el ciclo límite corno ya dijimos se de
termina como muy pronto en tercera aproximación, empleamos en-
-3,, (3.3)
-3.4-
tonces dos escalas de tiempo que en relación con el tiempo real
están dadas por
(3.4)
Sustituyendo (3.3) y (3.4) en (3.2) y despreciando los tér-
minos de orden superior a o tenemos:
(3.
- * ¿ ^ 2 § » ^ ~ S Nf^ - ^ ^ 2 . ^ ^ +VéB, + S ^ + S ^ 2 3
(3.6) En primera aproximación obtenemos
que es un sistema lineal con la traza nula y cuyas soluciones
no nulas representan soluciones periódicas que rodean a la nula
en el plano de la fases, estas soluciones representan en prime
ra aproximación las soluciones cerca del" punto de cambio de es
tabilidad, "tínicamente estarán modificadas ligeramente por los
términos no lineales que aparecen en las siguientes aproxima
ciones. Según el Apéndice 1 las soluciones de este sistema son:
-3.5-
\ j i =. ACxO se-y\ k x 4 BCxO C-OS k x
"ZL - C ^ o ACí?> - k GCx)") sev\VCx 4 O ^ B t x ^ k A C x V ) eos Ve
donde k - \j2ií-2>$'¿) (que t i ene sent ido porque estaraos en l a zona
en l a que ^ f f )
x
En segunda aproximación tenemos:
^ - - - - 2 ^ ^ + S 2 - ( A s e ^ K x + B eos k x f —\
9x 3^2 , 2^o 1" (3.7)
4- C2. 0B4KA") coskx) J
Este sistema de ecuaciones tiene soluciones periódicas y de
periodo 2/rr k
siempre, y p0r tanto también en segunda aproxima
ción las -soluciones cerca del punto de cambio de estabilidad son
periódicas, para hallarlas acudiremos a los restiltados de Apén
dice 1? teniendo en cuenta que en este caso
c x - - 2 ^ 0 ; /2>-A j r ^ - Z C l - ^ J ) 0 k-\f2C¿^cf)
y obtenemos
^ ~ A0 + Aj sev\ Icx 4- B A d o s k x 4 A2. sev\ Zvcx + B 2 eos 2 K x z z - A'0 4- Cz^oAi-KíSa") sev\ k x 4- O ^ B i 4K Ax^ e o s k x +
4- A'z S e \ A 2 K x 4 G ' 2 , c o s 2 k x
Donde
Ao" r^í -2 \0 2.
A' - i ± M l A^tf (3 .8)
- ^ i ^ £ l l _ A e 5 + J ^ ) C ^ ^ A^ 3Cl-OCl-3^J)
. . 3 .6 -
AL y B¿ son arbitrarios y dependerán de las condiciones inicia
les, o de las condiciones de periodicidad que se impusiesen en a-
proximaciones sucesivas y como no van-a intervenir en tercera a-
proximación para la determinación del ciclo límite, podremos to
mar' condiciones iniciales de manera que Ai=BJi~0 , aunque si
quisiéramos calcular una segunda aproximación de la amplitud del
ciclo límite, tendríamos que ir a la cuarta aproximación y ahí
tendrían importancia los términos en A L y Bá y no se podrían con
siderar nulos•
En tercera aproximación obtenernos:
g>>¿ ~ _ 9 r i - C 2 \ w i_ ->r_ -> J_ ^ o , •>-> -^_ J _ 2 ^ O _ _ ^ 3 ^ = -m-S.1)» + 2í„-a3 + 1 % *».** +pry ~2. *=i
y sustituyendo los valores de ^ J ^ J \/2 y 2¿ obtenidos anterior
mente tenemos una, ecuación lineal no homogénea én NJ3 y "£3 que tie
ne como columna de términos independientes una función periódica
en x de periodo £ii . Este sistema tendrá soluciones periódicas
cuando los primeros términos del desarrollo en serie de Fourier
•3.7-
de la columna de términos independientes cumpla las condiciones
del Apéndice 1. Así.tenemos que los primeros términos del desa
rrollo en serie de Pourier de los términos independientes son:
cLj -. - Á - -§£- ¿V 2-^?. A CAZ+ B2) + Xx B +
3 ve i -<^0
a ' ^ - i ^ Á +VCG + iSLíl=ÍS¿) ACA2+ tf) -
b' - - 2 £ 0 B - I C Á + g^oZ (3-4%,*) feCA2ie2) +
(aonae Á- % y 6 » ¿f )
Y según el Apéndice 1 para que existan soluciones periódicas
se deoe cumplir que:
3 o .o-
por lo que sustituyendo se obtiene:
4-
+ _fsiSzñlÜ_ A CAN- B2) + 2 ^ x ^ - 0
^ Ve é H - i f ^ ^ A + - 5 ? ^ * - B + 2. ^ 4 ^ ^ ACA%B2)-•< í
Combinando es t a s dos ecuaciones y haciendo e l cambio
C eos CWx + <4>") - A Se\n Kx +- G> eos k x
de donde C^V/AHG2- y ^ = cxretc; - ^
^o(s -q^ j c ^ ~\
•t^SÍ -L + Jdfil^ji^M¿_ d2
*' ~" ' Xi + ^ 2 K 6 CL-^)d-q¿)K
(3.9)
J
Si integramos la primera ecuación con la condición inicial
C^-Cio) obtenemos CÜCx^o^ ¡7 al sustituir en la segunda se tiene:
No es posible mantener la fase constante en cualquier solu
ción del sistema (3*9) dando un valor a x¿ adecuado, lo que si
es posible hacer es dar un valor a x^ dependiendo de 0 de manera
que la fase se mantenga constante para el ciclo límite.
Los ciclos límites se obtienen haciendo 4^ = o dx
-3.9-
Por tanto deben ser
£ - O ó c -
Es decir para que la solución sea periódica en x con amplitud,
constante en la escala larga x (ciclo límite), debe ser o la solu
cion. nula o una solución con amplitud \[& \/ y^Qgi clue e s e^ verda--
dero ciclo límite* Representando esta amplitud (que es el valor de
^ para^-0 ; l?(o)) en función de £- €-lCl-(£) para -un 0 fijo se
obtiene una parábola como la dada en la figura (3«1) (curva para
yu-0 ), que nos da idea de corno se produce la bifurcación a solu
ciones periódicas en el punto de cambio de estabilidad» Si quere
mos que ¿fe en el ciclo límite debemos tomar
Xi - -
Para estudiar el comportamiento de las soluciones, integramos
la primera ecuación de (3*9) que es de variables separada^ y re
sulta.
e*p (- Js * } = -£-*C1-^)
l -
l -2 - 6 ^
siendo
Cuando
tíl£ _ ¿¡a )c^-|^|^)^o d * 2LCl-^¿,
Por lo tanto cuando partimos de un valor de C entre cero y
el ciclo límite, la trayectoria tiende hacia la solución nula que
-3*10-
es estable, y esta solución nula se alcanza en un tiempo infini
to porque
lim C-*> O ^o i 5 - ^ 0 ^ z
¿-^o¿ c
= O
es decir
Cuando
es
x —^> 001
£ >
44 >0 dx
z
Luego cuando C 0 es mayor que el valor de la amplitud media
del ciclo límite entonces G-±-*><?o y además C se hace infinita
mente grande en tiempos finitos porque
lim c0
y de aquí
C 2Cl-tf) ,
A la derecha del punto de cambio de estabilidad (paraG cre
cientes), no existe ciclo límite, teniéndose únicamente la solu-
•3.11-
ción es tac ionar ia que es i ne s t ab l e •
3 # - Perdidas no nulas en l a base de l a .chimenea
En este caso deberíamos emplear l a s ecuaciones (1 * 13) pero
con JU-4- O .
¿ Í U - Z É ¡ O Í ¡ +-S"- ? Z +/x ^ S i ¿S d^ d * c c\-£~
"A
í + S5JL 5 + M ego Js l¿T I +
(3-10)
En este caso no es posible aplicar el teorema de bifurcación
mencionado en la sección 2, porque aquí no se cumplen las condi
ciones .de regularidad que se cumplían allí* Pero podremos hacer
u tan pequeña que al expansionar asintóticamente las variables,
de la forma que lo hicimos en la sección 2, los términos en u que
son los no regulares aparezcan en tercera aproximación*
Vale entonces la expansión asintotica hecha, en (3*3)* pero a
quí en ves de VS utilizaremos ju como parámetro pequeño, pone
mos entonces:
í VA*' y^^ y^^Jr"
x = *£ C ¿-4- yiyU^f-- ")
* - ^ u2-
-3.12-
Sustituyendo en (3.10) y despreciando términos de orden supe.
r i o r a ¡x3 :
- -s?^-^^-y^^^^vlí^^M(3-11)
En primera y en segunda aproximación se obtienen l o s misinos
resu l tados que se obtuvieron en l a sección 2 para e s t a s ap rox i
maciones, puesto que sa len i dén t i ca s ecuaciones*
\ji - A seviWx 4 fecos Wx
\ j z ~ A0 + Ai Se^Wx + Bi cosWx + Az &ev\2Kx + B z eo s 2vex
^ 2 ^ A'0 + C Z ^ A A - K G J ^ sewvcx + C2^ 0 G>A vk A ^ c o s k * +
+ A(¿ ¿ e n i K x + B ^ o o s l v c x
Donde K =.\]2-G>G£' y A 0 , Az , B z , A'0 , A'z y B^ es tán dardos
en l a s expresiones (3*8)• Por o t r a par te como no van a i n t e r v e
n i r para l a determinación del c i c l o l ím i t e en l a t e r c e r a ap rox i
mación, podremos tomar Ai=Bi=0»
- 3 . 1 3 -
En la tercera aproximación aparecen nuevos términos (los debi
dos a las perdidas en la chimenea) con respecto a' los que tenía
mos en la sección 2:
Imponiendo ahora condiciones de periodicidad en x a la so Ili
ciones de esta ecuación, resulta que los primeros coeficientes
del desarrollo en serie de Fourier de los términos independientes
deben cumplir (Apéndice 1):
-2-^1^4 ka! + bi=0 1 (3^13)
Los valores de a { , bA , a¿ y b[ resultan ser (apoyándose en
resultados del Apéndice 2)\
a.,-- A - - ^ - i ^ 2 ^ A CAVtf) + - i f ^ G C A W ) - .
-3.H-
- eAA + e¿ 2^
A - ^ ._£oK 6^0 3TT
^4, l- Í¡ * ' * ^T-^T B ~ a " 3 ^ ) a"^o) A«5^.
Sustituyendo en (3•13) y combinando las ecuaciones resultan
tes de manera que queden en función de las nuevas variables (C,^) t
donde
C~- \/A2+62 \¡
Que son las ecuaciones que provienen del cambio C COSCKX-I-^) =
= A sen le* 4 & eos kx
4. JL¿*zlí¿L_ c*
V, 1(3.14)
Al igual que en la sección 2 no es posible dar iin valor a x ,
de manera que la fase se mantenga constante para toda solución de
-3.15-
(3.14), poro si es posible dar un valor a x ¿ dependiendo de o y
(?j de modo que la fase £ea constante para la solución periódica
que se obtiene para esos valores de 0 y €j • Ese valor de xí es:
*. -Q + m* c H ^ 4 c i-^)/¿ cP -
Donde cTp es el valor que toma el C correspondiente al ciclo
límite que aparece cuando los parámetros valen 0 y ei • Es decir
se obtiene haciendo nulo el segundo miembro de la, primera ecua
ción de (3.H)
Y (3.16)
(Nota: al ser 0< ^0^-~- , entonces Cl-^o ) A¿-¿¡^) - 0 5 " ^ )
y Ci+Lníj0 -£0^ o} son positivos)
Ahora bien cuando Q± se mueve en el rango de valores
0^ ^ I ^ ^ Í O ? c o n lo valiendo
entonces existen dos soluciones positivas de C que hacen nulo el
segundo miembro de la primera ecuación de (3»14)* luego en este
caso habría que sustituir en (3«15) el valor de C correspondien
te al del ciclo límite del que se quiere,calcular el periodo,
porque x L es la cantidad necesaria, que se debe poner en el cam-
bio X -"£ (¿ + /XXJ + -- ) para mantener el periodo constante e
-3.16-
igual a -=-2 f así tenemos que si el periodo de la solución ob
tenida es 231 en la variable x* en el tiempo adimensional real K
su periodo será:
La amplitud de £j en el ciclo límite estará dada por z*£p-É[(0),
donde Cp esta dado en la ecuación (3*16) en función de *0 y
Q ~ €~¿^~5rJ f podremos entonces dibujar, como en la sección 2, el
comportamiento de la bifurcación cerca del punto de cambio de es
tabilidad, así se ha hecho en la figura (3»1) para, el mismo valor
de £]Q tomado en la sección 2 y para, un valor determinado de ,u£0
con el fin de comparar los resultados con U-0 j ulQ •
La estabilidad de los ciclos límites se estudia con la pri
mera, ecuación de (3*14), la cual se puede integrar, dando como
soluciones las siguientes:
(i) Para ^i^Cio > la ecuación (3»1b) da dos raices reales y dis
tintas C¿ y C2 , y la solución de (3#14) es
* , - l
Se debe distinguir el caso €.¡-0 porque en ese caso una de las
raices es nula^-O y por tanto queda la solución:
i
ev
-3.17-
(ii) Con Qs~ Qs0 , aquí hay una raiz de (3*16) que es doble C4 ,
la solución de-(3*14) es
(3.19)
(iii) Cuando ^i>e,i0 * (3.16) no tiene raices reales y (3.14) tie
ne de solución
(3.20) donde
3 Tí <U < * - * # )
R - e . £a-3>ql) 1 <5»^f)
s iendo F - f ^ > 0 porque e i > &io
Además hemos tornado
1'z
C 0 - C ( o )
- 3 . 1 8 -
Tenemos entonces que cuando £j<0 , la ecuación (3• 16) solo
tiene una raiz real .positiva C¿ , la cual representa (figura
(3#1)) un solo ciclo límite a la izquierda del punto de cambio
de estabilidad, este ciclo límite es inestable y rodea la solu
ción estacionaria que es estable porque:
Si CCCi entonces en(3«14) queda que
cix <o
y si C > Q resulta ^ ~ > 0 • Luego la, solución nula es estable
y el ciclo límite inestable* De la ecuación (3*17) se sigue que
cuando Cid)- Ca <£ Cx la solución nula se alcanza en un tiempo
infinito, o lo que es lo mismo se alcanza en una escala aun más
larga que x# Y si C0>C± » 0 se hace infinitamente grande en tiem
•pos finitos, es decir:
Í3.21)
Cuando 6i^0 la situación es la misma que en el caso anterior
salvo que aquí la ecuación que rige es la (3*18) y que cuando
C-^CXD se obtiene
En él caso 0 < ^ <£ (?10 tenemos dos ciclos límites uno interior
de amplitud C z y otro exterior de amplitud C¿ , cuando C<CZ
entonces Q^L > o f si C Z ¿ C < C. " -=£> 2-^ < O y por d x dtx:
fin si C ^ ^ > 2£>o, con lo que resulta que la solución nula
«ay-
OS inestable (estamos a la derecha del punto de cambio de esta
bilidad), el ciclo límite interior es estable y el exterior inejs
-3.19-
table. Al estudiar la ecuación (3*17), se obtiene que si CQ<C:L
ó C z <C C 0 <¿-Cx el ciclo límite interior se alcanza en una es
cala mucho más larga que x (porque para C-^ C 2 > X—^oo ) y si
Co>CÁ ; C se hace infinitamente grande para tiempos finitosv
"siendo x ¿^ el dado en (3•SI).
Si tenernos et ~ e{Q , entonces CS = CZ es decir los dos ciclos
límites coalescen y dan lugar a un ciclo límite que es inestable
por arriba pero estable por debajo, porque si C^CX > —=r > o
y si C > C¿ entonces Ó £ > Q , pero resulta que para C-CiJ^S^-
y además si (T0 <<Ti el valor C-Ci se alcanza en un tiempo mu
cho más largo que x ( x ~*>oo para C ~-> Cx ) y si Ca>Ci , C se
hace infinitamente grande en tiempos finitos, deduciéndose de la
ecuación (3.19) que
Y por £in si et > 8xo no existe ningún ciclo límite y solo
prevalece la solución estacionaria que es inestable porque para,
todo C > 0 ^> jr > O y además C se hace infinitamente gran
de en tiempos finitos, siendo en este caso
XTco
Los resultados aquí obtenidos coinciden con los que se obtie
nen en el Apéndice 3 cuando no hay velocidades negativas en el
túnel* Aquí obtenemos que la variación media de £* es uC (j¿«J)y
C cumple la ecuación
-3.20
como «£-ZCI-%o) -M2, ^i > si hacemos XA£=C5 se obtiene
(despreciando términos de orden superior a 6 - 0 )
(c')2- ^5- A- C' + % C e - 2 . ^ £ 2 ) ^ o (3.22)
En el Apéndice 3 obteníamos que la variación media de Q es
tá dada por £>C (con ^ 0 ~ S ^ ^ 1 ) .donde C cumple
Donde JU -uK £> y G-2L-& e¿ , luego sustituyendo £>C~C'
queda
(c'f - £ÍL ytt. c 1 + % Cé-2 + ^ £ ^ - O v y 3rr ¿ b
que coincide plenamente con la ecuación (3«22).
4«- Comparación con resultados numéricos
Los resultados obtenidos en las secciones anteriores son vá
lidos únicamente cerca del punto de cambio de estabilidad, es dje
cir para valores de € cercanos a 2-Ci-r^) , se deben por tanto
extender tales resultados numéricamente •
A título de ejemplo se ha integrado el sistema (1.11) para
algunos valores de £¡0 y LA buscando tínicamente las soluciones
periódicas. Y después se han comparado con los resultados ana
líticos.
-3.21-
El método seguido ha sido el siguiente: fijados los valores
de los parámetros, se parte con condiciones iniciales í~~ 0 y
5 -5(0) > O (: suponiendo que ^ S ^ ) ) y s e integran las ecua
ciones ("K11-) por un método Runge-Kutta de cuarto orden hasta que
Sj alcance de nuevo el valor cero siendo ^ > Ü , se toma el va
lor que 5 *fciene e n e s e instante y se compara con el inicial, si
el último valor es mayor que el inicial estamos en la zona ines
table y £ debe ser menor para que la trayectoria empiece y aca
be en S-S^ 0)* B^ Por e^ contrario el 5 obtenido es menor quo
el inicial, debemos aumentar el valor de £ •
Asi por un método de aproximaciones sucesivas (se emplea el
de la "regula falsi"), se llega a a justar el valor de e necesa
rio (fijados los demás parámetros) para que la solución empiece
y termine en S ~ S^0)*
Cuando se prevée que la variación de la amplitud del ciclo
límite con e va a ser muy pequeña, entonces se emplea un méto
do alternativo que con similares ideas ajusta 5C0) para \nn valor
fijo de € •
En cualquiera de los casos lo que se hace es hallar la solu
ción periódica para, un valor de <£ determinado (fijando los de
más parámetros), más concretamente hallamos un punto de esa so
lución periódica en el plano de las fases, esto' es suficiente
para describir la bifurcación de soluciones periódicas, porque
el valor de S^°) está en relación directa con la amplitud me
dia del ciclo límite• Así si en primera aproximación:
-3.22-
q C eos Cvc*^),
resulta que ^Cü^-^CÍ «
En la figura (3*2a) están dibujadas las curvas teóricas para
u-0 Con £¡0=0.2; 0.3; 0.4, para LK =0.05 con ^ 0 =0.2 y para A =
=0.1 con ^0=0.3, estas curvas han sido dibujadas según las for
mulas dadas en este capítulo (secciones 2 y 3) en las cuales se
supone ^¿v¿ o
En la misma figura se han reflejado los valores obtenidos nu
médicamente para las mismas situaciones paramétricas (circuios o
triángulos).
Se observa que los resultados numéricos y teóricos coinciden
cerca del punto de bifurcación, separándose los valeres según
se hace mayor. Esto se debe principalmente a que nos alejamos del
punto de bifurcación y por tanto el desarrollo asintotico deja de
ser válido, además el desarrollo teórico se ha hecho para la pri
mera aproximación de y 5 , y al alejamos del punto de bifurca
ción las siguientes aproximaciones empiezan a ser importantes
En la figura (3»2b) se han dibujado los resulta-dos teóricos
para ^0=0.05 y M =0, según las formulas dadas en el Capítulo 2
(secciones 2 y 4) y el Apéndice 3, en los cuales se supone ^ 0 « 1,
hay dos ramas dibujadas, la primera para, valores de 5Í0) más pe
queños que se obtendría de los resultados de la sección 2 del Ca
pítulo 2 y del Apéndice 3> y la segunda para (0) mayores que se
~3^23-
obtendría de los resultados de la sección 4 del Capítulo 2.
Los resultados numéricos se aproximan bastante, aunque se ob
servan descrepancias algo mayores en la zona de ^co) más altas, que
-se explican por el hecho de que el límite estudiado en la sección
4 de Capítulo 2, era para valores de G >> L 9 siendo aquí G^í •
Finalmente en la figura (3*2c) se comparan los resultados nu
méricos para ÁA =0»1 con £j0-0.1 con los teóricos de la. sección 2
(Capítulo 2) donde se supone que £*0« í ? la discrepancia puede
ser explicada, porque ^0 =0«1 resulta algo grande.
3.24-
i gCoWO
<H
(Las lineas de trazos representan ciclos linites inestables)
(NOTA*- La representación dada para /¿so-i es válida para todo valor de j**o
ás que leer %& encordonadas y 6~ i"** en abcisas) sin mas que /*
FIGÜEA (3*1) /**
f(o>
o.*H
0.2.-4
( a )
gto)
0.<o-\
oA-{
o.l-X
5Co)
&é H /A- O.'l
o.<í-J (c)
0.1-
3 -€*r
FIGURA ( 3 * 2 )
C_A„P_I_T_y_L_0 4
EFECTOS DE UNA CÁMARA DE PRESIÓN
^•- Introducción
En el sistema cuyas ecuaciones estudiamos en los capítulos an
teriorés, se puede sustituir la chimenea de equilibrio por una cá
mará a presión. En esta situación se presentan nuevas condiciones
al problema de las oscilaciones en masa con potencia constante.
El resultado obtenido para esta disposición es peor que el pb
tenido con chimenea de equilibrio, porque el área de cámara nece
saria para tener condiciones de estabilidad resulta ser mayor que
el área de Thoma para la misma potencia de operación* Esto no qui
ta sin embargo interés al problema, porque en determinadas ocasio»
nes esta situación puede ser más factible que otras y además la
cámara de presión es un elemento que se presenta, con mayor fre
cuencia en otro tipo de circuitos hidráulicos (circuitos con acu
muladores, calderines, etc.).
Las ecuaciones que rigen el fenómeno de oscilaciones en masa,
son prácticamente las mismas que con chimenea de equilibrio, con
la excepción de que en este caso al no estar la cámara abierta,
la presión que hay sobre la superficie del agua no es la atmos
férica, sino que aquí la presión depende de la altura del agua
en la cámara de presión, siguiendo una ley que se supone en gene
ral politrópica (14) (23). •m
Mantendremos también la existencia de un estrechamiento en la
-4.1-
base de la chimenea, lo que da bastante generalidad al problema,
porque en algunos casos el agua, suele acceder a la cámara de pre
sión mediante un conducto más estrecho que la propia cámara*
2*~ Ecuaciones
El sistema esta representado esquemáticamente en la figura
(4.D
FIGURA (4.1)
Las ecuaciones empleadas son las mismas que las usadas en el
Capítulo 1, continuidad en la base de la chimenea,, cantidad de
movimiento en el túnel y energía en la turbina, la única diferen
cia es que las condiciones de contorno cambian en las dos últi
mas •
La presión en la cámara de aire varia según una politrópica
de grado n, resultando
C.OY\ v\^a
-4*2-
Donde P¿, es la presión en la cámara de aire en el instante consi
derado, V^ su volumen y \7o. el volumen del aire encerrado en la
cámara cuando% está a la presión atmosfericao
Como el área de la cámara es fija, podremos poner
con "2o. la altura de la co3.umna de aire a la "presión atmosférica..
Resultando que la presión en el punto ,f1fl es
Pi ±f<% C i j - ^ - -^/>k ^ \ | | | con v > 4
Pi- c^^g c^-^ -ir/1* ^ í l^H- i f^ ccm V<1
de donde queda
( p+J,5 K^ - ^ ¿ -J>^ - ip* ¿|\¿t\ - i ^ con 1
Expresiones que al ser sustituidas con (1.3) en (1.2) dan lu
gar a
P***1 YX (4.1) JD LJC^-^TV
Por otra parte tenemos que en el punto de entrada a la turbi
na la presión total vale:
PT = Pc+j=i CH.-a-^^HH)
-4.3-
que al ser sustituida en (1*8) da lugar a
y>sCi-vy ) (4.2)
Y la ecuación de la continuidad en la "base de la chimenea (1.7)
sigue siendo válida
(4.3) a.t Ac
En las ecuaciones (4*1) y (4*2) se ha despreciado la presión
atmosférica frente a la que hay en la'cámara de presión*
Utilizando ahora las adimensionalizaciones hechas en el Capí
tulo 1y añadiendo las nuevas variables adimensroñales
S T" •a-r H
obtenemos de (4.1) (4.2) y (4.3)
a*
= — e e + e ^ + € .
oo - ^^-^^^l^h-c i^)
De donde eliminando q
w°» CS-Sr^
~\
a_? - < ^ € ¡ +•• G cu
4-Wi
(5-^r J
(4.4)
-4.4-
3#- S oluc ione s c stac i onarias
Al hacer nulas las derivadas con respecto al tiempo tenemos
(con co > O )
So
^o ^
WA Vi
4> c^^0c¿-£¿) (4.5)
v\n
• Vemos que se obtiene la misma relación entre co y ^c que se ob
tenía en el Capítulo 1# Pero ahora la relación entre la altura de
la chimenea y la velocidad en el conducto es distinta, como se de
duce de la primera ecuación de (4»5)• La relación entre 0 y <T0 da
da por esta ecuación es biunivoca para la zona. <g0>¿rT f que es la
zona de valides de las ecuaciones, ya que al derivar con respecto
a *Zo
^ yr) cx>v\ v\yyí C ^ O - S T )
YH1
resulta que la derivada es mayor que uno para todo valor de S O > 5 T
y además
l i m C So - — ^ ) ^-oo
l'iw ( cr 3QÜ ^ = O O
Lue¿;o tenemos pa ra ^"0>c;_. que
S o ~ vr> CSo-SrT
4 . 5 . .
es una función monótona creciente que alcanza todos los valores
entre-oo y^oo , y por tanto para cada valor de ^ 0 tenemos un
único valor de <r0 mayor que S T Que cumpla
^o - vn ,vi "~ no (4.6) cso-sTy Así dada una potencia de operación ( oo ) se obtienen las veloci
dades estacionarias en el túnel de la figura (1#3) y la altura
de la chimenea correspondiente se halla al sustituir los valores
de £¡a obtenidos en (4#6)#
Y habrá o no solución estacionaria, dependiendo de que el valor
de cu sea menor o mayor que 3^3
como ya se vio en el Capítulo 1
4«~ Estabilidad de las soluciones estacionarias
Para estudiar el comportamiento de las soluciones alrededor
de las soluciones estacionarias hacemos el cambio
5 ^S-^o
Donde 0 y So son soluciones del sistema (4.5).
(4.7)
Tomando ahora ^ O > o y l^"| <C^ 0 y s u s t i t u y e n d o ( 4 . 7 ) en
(4.4)
g f ^ - £ S - e ^ 0 4 - fe-^o C ¿ ~ 5 * ) (4.8)
W \
4.6-
Y al linealizar alrededor de la solución estacionaria queda:
2-^0 i + YN wn C5«-sT^
Yl-t-i
\A YY1 %o r A + — — — — "i
5 (4.9)
'Resultando que
e TrCA-)-^oC-^. + 7^zC A +- y\ YYI
CSO-STJ v\+i) )
Xuego los puntos de cambio de estabilidad son para £j0~C)
(como en el Capítulo 1) y
•y el área mínima necesaria en la cámara para que haya estabili
dad es
As = AT L 1 +
Y\ VY1 H n-vl
f H U-ü-O^
1-
•con H
Z3H
^ f vn H vi
v
V
'Deduciéndose que el área de cámara necesaria para asegurar la
estabilidad es mayor que el área de Thoma calculada para chime
neas de equilibrio, por lo que el comportamiento de una cámara a
presión va a ser en general peor, a estos efectos, que ¿1 de una
chimenea abierta.
-4.7-
Además
que como en el caso con chimenea de equilibrio es negativo para
valores de £*o>-L , y por tanto la solución estacionaria•• corres,
pondiente es un punto puerto, que esta siempre aparejada a una
solución con £0C-T=- , que tendrá entonces AC&) > 0 y será un
punto espiral o un nodo dependiendo del discriminante, y por o-
tra parte estable o inestable dependiendo del valor de la trasa*
5«- Soluciones con potencias -pequeñas frente a-la máxima
Como caso más interesante se va a estudiar él de potencias
pequeñas frente a la máxima de operación, en paralelo con lo lie
cho en la sección 2 del Capítulo 2 para chimeneas de equilibrio
supondremos que co<¿: i y estudiaremos las soluciones a.lredédor
de la solución estacionaria ( 0, ^o ) con ^ 0c<] , ya que la o~
tra solución ( p, £ p ) con ^ p ~ ¿ ~ ^ 4 — *es u n punto puerto
y no puede haber bifurcación a soluciones periódicas en el0 To
mamos pues £¡0-S «- i y al igual que hicimos en la sección 2
del Capítulo 2 expansionamos las soluciones cercanas a la esta
cionaria en potencias de S
_ o . (4.10)
Dependiendo \/¿ y ^¿ de dos escalas de tiempo, una más cor
ta en la cual el periodo de las soluciones va a ser constante y
-4.8-
del orden unidad y otra más larga, en la cual van a ser del or
den unidad las variaciones de la amplitud de las soluciones* por
lo visto en el Capítulo 2 esta escala es para, tiempos del orden
(4.11)
de -- • Tomamos entonces
x ^ S (por lo visto en'el Capítulo 2 no hacía falta variar la primera
escala en primera aproximación para mantener el periodo constan
te) •
Sustituyendo (4*10) y (4»11) en (4*4) teniendo en cuenta (4*6)
y (4.5) y despreciando términos de orden superior a & :
"A
4- (i 4-Üo-STj
r»+ l)(S^^+ Vi^l" (4.12)
Si exceptuamos el término en ^ d.e la primera ecuación, que
no interviene en la determinación del ciclo límite, pues aparece
en segunda aproximación y dará lugar a términos cuadráticos en
S€v\(£X y eos Me x , se tiene que las ecuaciones (4^12) son
del todo similares a las ecuaciones obtenidas para \/¿ y Zj en la
sección 2 del Capítulo 2, puesto que haciendo el cambio:
\¿i - ^ i ( L -+ Y> vn feo-Sr}
Y\+i ) con í-l,2.,~
- 4 . 9 -
€' - e <* + -!£%*>
r /*
llegamos a:
¿ ^ + 6 2 C ^ + = S 2 ( 1-^^114^0 + 3x 3;
dx S
Siguiendo las mismas etapas que en el Capítulo 2 se tiene que
en primera aproximación
\fi - C c ^ eos C\Í£' X -t- CxV) !?i = ~fé' Ccs?) sen (tfe'x + Ve*))
Donde C(s?)y *£Cv) son determinadas en segunda aproximación, dando
lugar a:
<=*¿^- Í L / A ' e ' Z G 2 + ^ g -c!fCc)
^-r- - o 1 con
Í ( C ) = ¿ - ^ . a r c o s -L + | ~ CZ-v-^) \ fc r -¿ c5 > J-
f C C ^ i C ^ K
- 4 . 1 0 -
y los ciclos límites que se obtienen para ¿ r - O « est¿m dibu-dtxr
jados en la figura (2,1) con la salvedad de que habrá que poner
^ y /*' n vez de G. y U • Observándose que al ser
u'-- ¿t
los valores de >u necesarios para, obtener una misma amplitud media
de las oscilaciones de . en el ciclo límite, en este caso son ma
yores que los calculados con chimenea de equilibrio*
Como conclusión se sigue que los valores de área de la cáma
ra- y de amortiguamiento en la base de la chimenea, deben de ser
mayores con el presente sistema que para la solución con chime
nea de equilibrio,si se quieren obtener los mismos resultados,
de estabilidad de la solución estacionaria cuando ésta es esta
ble, y-de amplitud del ciclo límite que rodea la solución esta
cionaria cuando ésta es inestable*
-4.11
C_A_P_I_T_U_L_0 5
ECUACIONES Y ESTABILIDAD DEL SISTEIfiA INCLUYENDO LAS CARACTERÍS
TICAS DEL REGULADOR
¿*~* T'r-v-
''?'>,
1• - Introducción
En los anteriores capítulos, al estudiar las oscilaciones en
masa de un sistema con chimenea de equilibrio, se hicieron varias
suposiciones simplifieativas, entre las que se encuentran las si
guientes:
(a) Longitud del penstock nula o despreciable*
(b) Sistema regulador fiel e instantáneo, manteniendo siempre
constante la potencia de salida del generador.
(c) No se producen perdidas en el penstock*,
(d) Aceleraciones en la chimenea despreciables*
En la práctica ninguna de estas condiciones será totalmente
cierta, sobre todo la segunda, porque si bien la longitud del con
ducto chimenea-turbina (penstock) es apreciable, siempre se pue
de suponer que es muy pequeña frente a la longitud del túnel em
balse-chimenea, y también las aceleraciones en la chimenea son
despreciables, pues ésta suele ser lo suficientemente grande pa
ra cumplir la condición de Thoma, solo en algunos casos (chimene
as diferenciales) pueden ser importantes•
Con respecto al regulador, tenemos que en la. práctica no es
lo suficientemente rápido como para considerarlo instantáneo, una
de las razones es que un regulador demasiado rápido daría proble
mas de golpe de ariete• Por ésto la potencia que da la turbina no
es constante, y ello da lugar a que el generador, el cual debo dar
-5.1
una potencia, constante a la red, se acelere o decelere según que
la potencia que reciba de la turbina sea mayor o menor que la ne
cesarla.
En general los reguladores actúan sobre el flujo de agua en
el penstock, abriendo o cerrando una compuerta (o modificando el
calaje de las palas de la turbina) de acuerdo con la variación
de las revoluciones del generador* En otros casos se pued.e hacer
de acuerdo con la alttira de la chimenea, o con el voltaje y la
frecuencia de la corriente de salida del generador, como en al
gunos modelos experimentales (15) (16)*
2#— Descripción del re.-qralador
El regulador estudiado en este capítulo es de características
hidráulico-mecánicas y está descrito en varias referencias (8)
(20) (23). Si bien no es el único utilizado, el estudio hecho con
él se puede extender a otros ya que posee todos les elementos ñor
males de este tipo de reguladores»
En la figura (5*1) está dibujado esquemáticamente el regula
dor, especificándose en ella los parámetros más importantes, que
serán necesarios en el cálculo*
-5.2-
ñ
X T
-JL
C<w
JL
•T V
Í=333LL Sn»\ í
1 r
2=0 n—
-»
FIGURA (5.1)
El funcionamiento es el siguiente, dado un aumento (disminu
ción) en las revoluciones del conjunto generador-turbina, el pun
to C permanece fijo y se elevan (descienden) los puntos A y B,
con lo que se mueve la válvula de corredera y el pistón del ser
vomotor se mueve hacia la izquierda (derecha) para cerrar (abrir)
la compuerta, asi disminuye (aumenta) el flujo en el penstock y
da menor (mayor) potencia la turbina al generador» Al mismo tiem
po los puntos E, F descienden (se elevan) y por tanto desciende
(se eleva) el punto C junto con el B, porque ahora es el A el que
sirve de pivote, cerrándose la válvula de corredera»
Con respecto al último párrafo hay que decir que la pendien
te en el punto E es mayor que en el punto P, asi si e3. servomotor
se mueve hacia la izquierda (derecha), el punto E (y por tanto el
C) desciende (se eleva) más que el F, que es solidario con G, y
-5.3-
entonces el muelle C-G tira hacia arriba (abajo), entrando en
funcionamiento el elemento H (dashpot), que hace que el punto C
se una con el G en un tiempo determinado, el cual se puede hacer
mayor o menor según sea el agujero más pequeño o más grande*
La misión de este último despositivo es estabilizar el regu
lador en operación, sin que sea lo suficientemente "brusco para
que se produzca golpe de ariete* Si no existiese el "dashpot"
(H), al querer hacer la respuesta del sistema, amortiguada y no
oscilatoria, se necesitaría un tiempo de respuesta del servomo- ,
tor demasiado rápido, agravándose el problema del golpe de arie
te (20)• La existencia del "dashpot" hace que inicialmente (al
ser la pendiente de E mayor que la de P) se trabaja con corre
cciones a las velocidades de operación del servomotor mucho más
fuertes con las pertuh3,c iones bruscas de la velocidad de giro
que con las más suaves*
Para poder describir el comportamiento del sistema de la fi
gura (5»1), se estudiará el regulador elemento a elemento, para
después conjuntar las diferentes ecuaciones y encontrar las ecua
ciones diferenciales que rigen el movimiento del dispositivo*
(a) Tacornetro de masas
Para poder medir las variaciones de velocidad de giro en el
conjunto generador-turbina, se debe disponer de un tacóme-
tro, aquí se trata de un tacómetro de masas que esta dibuja
do esquemáticamente en la figura (5.2).
-5.4-
R^ C,ajzsen8
Se compone de -unas varillas
de longitud R^ en cuyos extre
mos hay dos masas de magnitud m,
•girando e3~ conjunto a una velo
cidad proporcional a 3.a del gene
rador ( C^-cD )•
Si llamamos Oco a la distan
cia entre el punto 0 y el punto
A, resulta que
6co = 2 r 9 eos 0
pero al tomar momentos con respecto a 0 se sigue que
(con ¿o la velocidad de giro del generador)
Qiieda entonces
&"= ~t^ (5.D R5¿gcu
2
Suponemos que la respuesta de este dispositivo es lo sufi
cientemente rápida frente a las variaciones en co , para po
der despreciar el tiempo característico de este elemento
frente a los demás tiempos del sistema*
FIGURA (5«3)
Este elemento; lo único
que hace es relacionar los
movimientos de los puntos A,
B jrC, para calcular esta re
lacián suponemos que la vari
-5*5-
lia es totalmente rígida•
Mediremos todos los desplazamientos con respecto a una linea
que pasando por el punto 0 es paralela al eje del servomotor.
De la figura (5»3) obtenemos la relación
u ^-^r- gp + _Jk-. Seo (5-2) li+l* ^ 1¿+ li
Válvula de corredera
El punto B es solidario con el eje de una válvula de correde
ra, que esta alimentada por una bomba de presión constante' P0 $
y que supondremos que no tiene ni huelgo ni solape» Si además
tenemos que las ventanas de paso del líquido son rectangula
res, tendremos un coeficiente, de pcfrdidas inversamente propor
cional al cuadrado de las aperturas de las ventanas $ si Q es
el gasto por los conductos:
( Af _ es el incremento de presión necesario para mover el em
bolo del servomotor, U c es la distancia del punto B al eje
de referencia con la válvula en posición neutra.).
Si Ager es el área del embolo en el servomotor, resulta que
la velocidad de cierre de la compuerta es
1*1= <3 Aser
(Y es la posición de la compuerta, siendo Y=0 cuando está ce
rrada).
Sustituyendo Q despejada de (5#3) y teniendo en cuenta que Y
es positivo cuando va a abrir la compuerta, y U es positivo
cuando B es ta por debajo de l eje de r e fe renc ia (pasa por 0
y es para le lo a l eje del servomotor) , se obtiene que
. ^ - C z C U - U o ) con C^>0 (5*4)
Esta ecuación es vá l i da siempre y
cuando lU-U0 l ¿ b , siendo b l a
a l t u r a de l a s ventanas de l a v á l
vula de corredera» Si lU-Uo\> l o
entonces
\[ ^ C? b co^ U - u D •> b
*í ^ - C ^ b c o n U-Uo<~V>
—R o FIGURA ( 5 . 4 )
d) Conjunto muelle~amorti£"iiador (dashpot)
Se designa por este nombre a todo el conjunto de elementos
cuya, misión es variar la posición del extremo C de la vari
lla proporcionalmente a la posición de la compuerta (Y)*
De la figura (5*1) se deduce:
l~l"-S<^ 1-1'"-Svrt- Scx-QV
Donde Ci y C¿ son los coeficientes de proporcionalidad que
relacionan el movimiento del punto C de 3.a figura (5*1) con
la posición de la, compuerta, la diferencia entre ambos es
que la variación debida a CL es permanente, y la debida a C
es temporal hasta que el muelle, venciendo la resistencia
del amortiguador, ha.ce que el punto" Cy«16 coincidan•
De la figura (5*1) se puede deducir que:
KáCS^-SfO-CP^-P^ A B (5.6) Con \<;<¡ la constante del muelle, Ag, el área del embolo del
-5.7-
amortiguador y ( R»""^i ) a diferencia de presiones entre la
cara de abajo y la. cara de arriba. de3. embolo.
Ahora bien si el taladro practicado en el embolo tiene diá
metro !ty>y longitud 1 0 > si suponemos además que a través del
taladro hay corriente laminar (con ,Ua la viscosidad del lí
quido del interior del embolo) entonces la diferencia de pre
siones estará dada, por:
(despreciando el efecto de los extremos del conducto)
que sustituida en (5*6) da lugar a:
K¿ (Í^-Sp) = Ü | ^ A * ( ¿p- íc) •• (5.7)
(los puntos so"bre las letras significan derivadas con respecto al
tiempo).
Como de (5.5) se puede despejar
SOL = - C ¿ ^ + 1-1'"- £ m
Se = - C¡ \í +1-1'
3- de (5.1), (5.2) y (5.4) se obtiene
^P C l , * 1, l^^cfoo2 li °
Que sustituida -junto con (5.8) en (5.7) queda
1 2.2 ¿Ag, Q Ag. li±2i V 4 C Kc 5¿±i> 4- í 2 2 /^lo A& r' \ Y + K< C. V + . TT t£ c,.i4 ^ ^ s ^ i i rr D^ • ' ;
^ s a ^ . U o . ^ ( l - l - - g ^ V - W s ^ - ^ ^ -
¿29 ^..loAe l^ !iJh3. ¿L. (5.9) rrt>f i i «scj CAJ3
(5 .8)
- 5 . 8 -
Esta ecuación diferencial de segundo grado es la que represen
ta el funcionamiento del regulador, relacionando el movimiento de
la compuerta con la velocidad de giro del conjunto generador-tur
bina*
3»— Ecuaciones del conjunto
En primer lugar ya se ha estudiado la ecuación del regulador
(5#9), ahora debemos añadir las distintas ecuaciones de los ele
mentos que componen el sistema de la central eléctrica (embalse $
túnel, chimenea, etc*)#
1 J
ir
o.<H
o.í-1
oaH
Necesitamos también una tabla de características de la turbi
na, que se suelen dar en forma de figura (5»5), en la cual se re
lacionan un gasto característico con una velocidad de giro carao
terística, para diferentes valores de apertura de compuerta y del
rendimiento (carta de Hill) (7) (23)« Para nuestro proposito este
diagrama se traduce en una relación entre la velocidad en el pens
tock y las revoluciones de la
turbina para diferentes porcen
tajes de apertura de compuerta
y rendimientos.
En la figura (5o) se pue
de apreciar que el gasto varia
muy poco con las revoluciones,
.y si además suponemos que la i-o.
nercia del conjunto generador-
}o.s
loo 2 o o T - »
FIGURA ( 5 . 5 ) M-ni.ta.ria.
- 5 , 9 -
turbina es lo suficientemente grande, la variación de las revolu
ciones será muy pequefía frente a su valor inicia-I, se tendrá en
tonces que el gasto (y por tanto la velocidad en el penstock) va
riará únicamente con la apertura de compuerta, y esa variación^
la supondremos lineal por simplificación:
V z ^ B 0 + G>A (5.10)
( Vwv. es el recorrido del servo para la apertura máxima del pens
tock, Y~0 para el cierre completo)»
Por otra parte el rendimiento también varía con las revolucio
nes y el gasto, pero varía mucho más con las revoluciones de la
turbina, sobre todo para rendimientos altos, revoluciones que he
mos supuesto antes que van a ser muy poco variablesf por ello y
aun con menos justificación que en el caso anterior supondremos
que el rendimiento es constante, tomando como valor el del rendi
miento correspondiente a la situación.:estacionaria que estamos'
estudiando
fc= ¿ (55o, - f ) (5.11)
La potencia cedida por la turbina se dedica en parte a cre
ar la tensión e intensidad en la red suficientes para satisfacer
la potencia de demanda (W), que suponemos constante, y en parte
a vencer el par resistente en el eje del conjunto y en acelerar
el generador• El par resistente se supone proporcional a la ve
locidad de giro (eje lubricado) y en general será muy pequeño
frente al par total que da la turbina. La potencia que da la tur
bina será entonces:
-5.10-
,—;2.
¿¡j = velocidad de giro del conjunto
I = momento de inercia del conjunto
\¿J = potencia cedida a la red
kr Oü- V&r resistente en el eje
p-j-s presión de remanso a la entrada de la turbina
loQ (PT-Pcx) = potencia de la turbina (1.8)
donde
(5-12)
Quedan por fin las ecuaciones correspondientes al movimiento
del fluido en el túnel, la chimenea y en el penstock, en los cua
les se considera movimiento unidimensional, y por tanto las ecua
clones se desarrollan de manera similar a como se hizo en el Ca
pítulo 1• La figura (5*6) representa esquemáticamente todo el sis
tema y las ecuaciones se dan a continuación:
FIGURA {5.6)
-5.11-
(i) Continuidad en la base de la chimenea
j¡r - - k v> - fe v> (5-13)
(ii) Cantidad de movimiento en el túnel.
(igual que en el Capítulo 1)
¿ H
Pero s i y,>0 (1 .3)
Cp4^pg \a \ - P ^ - - ^ J5 ViWi\
y s i y, ¿ o ( e l túne l descarga en e l embalse) (5* 14b)
Cp+p^M i - C p + p ^ ^ ^ ^ + ^ p ^ vi\yl\ Siendo en este caso (aplicando la eeua.ció*n de movimiento uni
dimensional en la chimenea, para no despreciar las acelera
ciones) :
que sustituida en (5.14b) y el resultado en (5.14) se obtie
ne:
d t Li Li a t z 2LL¡ *at l"3t
^-.(A. + i \ VLWÜ. (5.15)
(iii) Continuidad en el conducto chimenea-turbina (penstock)
5.12-
PLi ^r + tp+f^s'^J3^^
= - ^ ¥ ^ ^ (5.16)
donde
Cp+/^vo 5^P 5-j^M ^ (5;17)
(suponemos que siempre V2>0 ? es decir la turbina no puede
funcionar como bomba)»
Como'en la ecuación (5*12) PT es la presión total en el pun
to "5" (Entrada de la turbina) se puede despejar P 5 de (5*12)
-L O V? (5.18)
•z J
(se ha tomado Q = \4Ap )
Y sust i tuyendo (5.17) y (5 .18) en ( 5 . 1 6 ) :
ég + —_—i———- ( 1- I 4 ^ 1 ) + W4krG3*) +
A z U x/2-^'J* -TK V¿ (5.19)
Las ecuaciones (5.9) (5.10) (5.13) (5.15) y (5.19) forman un
sistema de -cinco ecuaciones diferenciales con cinco incógnitas
(" , co /VZ/ /Vj ). Este sistema se puede .convertir en otro de cin
co ecuaciones diferenciales, pero que es autónomo y de primer or
den, pero antes de transformarlo adimensionalizaremos con las si
guientes relaciones:
-5O13-
S z - V 2 e H V] / 1 2 2^H 2 AT
^ c7)2 R r s ^ V _ V Vi - co Wi
2 /-*£•£; *=' o t o
Oü -2 f t H
u/ t j 0 ^ HA-, ; e
. 2 A T L t
f A<H
D o< =. . XzU A*
f t>¿ AS ' R=- £VOY
izarlo A&
V„ i ^ ^ H t , •. b 0 - 6 ^ ; br- B, C A¿
y S = Ji±_k
Yf vTi J
- JL i¿ • £ - -L Z A T
2 L\ 2. V LA fcP
Con es tas r e lac iones s u s t i t u i d a s en (5*9) (5o 10) (5*13) (5• 15)
y (5#19) y eliminando Y del sistema queda:
<u J_ ohn. - > a e ^ , - ^ ^ , i q ; i + s ^ 3 l l ^ i | ) - C ü -
- ( S + i f< J \ ) p + (t - ¿a ) fr - R -n
- 5 . 1 4 -
4»- Soluciones estacionarias y estabilidad
Las soluciones estacionarias se obtienen de (5«20) sin más
que hacer nulas todas las derivadas con respecto al tiempo, y re
solviendo el sistema de cinco ecuaciones que queda* La solución
es
y^o =• r= L —
Luego para un valor de ¿o dado se tienen dos soluciones de ^ 0
como en el Capítulo 1, con Oü^co^^ ya que como <x y R son coe.
ficientes de perdidas los suponemos muy- pequeños *
En realidad podremos emplear la figura, (1»3) sin más que po
ner en abcisas el valor \/l+<x 0 y en ordenadas \/ITó< (aj4^no) •
Estas ecuaciones son una extensión de las dadas en (1#12) pxieS es,
tas últimas se recuperan cuando oc'M^-0 . Como en capítulos an
teriores sustituyendo al parámetro co, emplearemos como nuevo pa
rámetro la velocidad estacionaria, adimensional con bajas pérdidas
en el túnel ^0 , que coincide con la velocidad estacionaria adi
mensional en el penstock#
* - j
Dado entonces ^0 y especificados los parámetros Cil^olhi que
dan fijados los valores que toman las variables adimensionales en
(5.21)
-5.15-
el estado estacionario, que hemos visto que pueden ser dos, uno
donde los valores de. velocidad en el túnel y penstock hacen que
las pérdidas sean más bajas y otro en el cual se producirán per
didas más altas• El estado más interesante será el primero, por
que es él que puede ser, para determinados valores de los pará
metros,' estable, pues el otro es siempre inestable cuando exis
te • También hay que recordar que hay un va,lor .máximo de co a par
tir del cual no existen soluciones estacionarias^porque el sis
tema no es capas de dar una potencia mayor*
Para estudiar la estabilidad de las soluciones estacionarias,
se estudia el comportamiento alrededor de las soluciones estacio
narias haciendo el cambio
Tí W - Vio
llegarnos al sistema
(5.22)
-5.16-
v ál-
- í ( c', v7 + Si - & tv / T + 3e(;,-g-sb,: v .
+ H v v^l CA^0)2
(5.22)
^ 0 + ^ 2
(5-t/*&l£l-
Linealizando el sistema anterior alrededor de la solución es
tacionaria, considerada (suponiendo ( (|<J 0 ), queda el sistema:
¿I
/'V
<
d.vT
, A
3 A
Y (5.23)
%
V Y V
-5.17-
donde A es l a matriz cuadrada de orden 5 s i g u i e n t e :
2<?<> O O H-J 1+S H-J
-a o o . £ o
O A ' O O
. i -£ W -/'-fe -^oCS*^ tu^i-^D -tR
(Donde. J ^ j e ( S r ^ ) )
Para estudiar el sistema (5*23) s e deben estudiar como son
los autovalores de 'la matriz A, si todos tienen parte real nega
tiva el sistema es estable, si alguno de esos autovalores tiene
parte real positiva el sistema es inesta,ble« Los autovalores de
la matriz A son las raices de su polinomio característico:
-5.18-
+ \Tí¡o ( 2 01-^-3^0- € Ci + S V) X* + ( (€(£'ytSH
+ 2 ^ 0 Q ^ R + *t*£L + V e U - 3 ^ - 3 o ^ + (2(1-^-^0,0-b¿ L
b¿
(5.24)
Para el estudio de las cinco raices de este polinomio en X ,
haremos algunas suposiciones con respecto a los parámetros que
arjarecen en (5*24) •
En primer lugar la zona de validez de los parámetros es la si
guiente :
O < 0 ^y'ft (para que no se vacie la chimenea)
Y10>0 (n es oo2, adimensionalizada que es positiva)
J > 0 (como consecuencia de ser ^ 0 <£y-~ )
bj>0 (lógicamente a mayor apertura de la compuerta la veloci
dad en el penstock será mayor) ~
S>0 / vr>0/J>oy 6^0, t> O (porque todos los elementos que intervie
nen en su definición son positivos)
Por otra parte estos últimos parámetros tienen un sentido físico
-5.19-
claro:
tienvDo característico del servo S=
tiempo característico en el túnel \Ij - = \[&\
2»
j . • ' J- • -i -i i j . • ¿ 2 3 ^ l o .Aja,
tiempo c a r a c t e r í s t i c o en e l dashpot - s rv~iv¿ V= - — 7 — = • TTPo ¿ ^ j
tiempo característico en el túnel \fl- . L_j_ _ Vi N^H
J - JL Ü. < x ¿ (la longitud del túnel es mucho mayor que la al tu
ra de la chimenea)
g* - •^fil^ x (la chimenea está mucho más cerca de la turbina
que del embalse)
L " 2rsg J ~ ÍI - ¿ reo/ ^
(es la rela.ci<5n entre el trabajo generando por la turbina en el
tiempo caracteristico del túnel y la energia cinética del conjun
to generador-turbina)
tiempo característico en el túnel i v¥ -,—i=-R_ „ J_ _ Y í foH
= tiempo del orden de lo que tarda en pararse el conjunto
generador-turbina cuando gira libremente
Luego R <<c ~ <c<c i L
Se tiene además que V no puede ser mucho menor que S, porque
si el tiempo característico del dashpot-es mucho menor que él del
servomotor entonces el efecto del dashpot sería nulo»
Estudiaremos entonces las siguientes situaciones paramétricas:
-5.20-
(A) + > > £ y dentro de este caso:
Al S~V
Aj, S c<- V ; i. ~- V
M S«V ;-£¿< V
(B) 4- <V S en donde distinguiremos:
B2 S^<V
(C) -v- <<. S con los subeasos:
Cl S^V
C2 S¿<V
Caso A1
Tenemos que 4~"» S« -V probando con soluciones del tipo
X -- - con Xj del orden unidad, al despreciar términos de or
den menor que -^ se obtiene: S3
para que las soluciones de esta ecuación tengan parte real ne
gativa, se debe cumplir:
£'1 + f > ^ S o C T + 5 ) (5.25)
Este requisito, fijadas las características hidráulico-mecáni
cas del sistema, supone la limitación de la inercia del con
junto generador-turbina, que debe ser mayor que un deterrnina-
~5*21~
do valor•
Existe además -una solución del orden de i> que será A-\¿L ,
que sustituido en (5*24) da lugar a
qué resulta ser negativa para la zona de validez de los pará
metros •
Existen además las soluciones que son del orden unidad y que
son válidas para todos los ca,sos parame trie os $ en primera a-
proximación valen
A* +«;„ ( Z - _ § i - _ ) A + 6 ± i | ¿ 4 í í | í = 0 (5.26)
y para que tengan parte real negativa debe cumplirse que
&<Z CL-£; ó-Zoc^0), y en general para oc^O se recuperan las
mismas condiciones de estabilidad que se obtuvieron en el Ca
pítulo 11
Caso A2
Para los casos A2, A3 y A4 aparte de las raices dadas en'pri
mera aproximación por (5*26), se tiene una ra.iz real de orden
-5- , que vale en primera aproximación (al sustituir X~~f-) S
Y para que sea negat iva debe cumplirse:
Cj > Si-i2 i C&+J) (5.27)
que es la misma condición (5.25) con S^<V
Aparte en este caso particular con i- > > V existen dos raices
-5.22-
I reales de orden ~~ e Lf cumpliendo:
x a » V» 2 C _
X» - -
con X- -+- y X ~ A2 L +-- y para que sean negativa? se de, y
"be cumplir como condición adicional
Ci > ^ l i l c l + J) (5-28)
La cual es más restrictiva que la (5*27)' por ser en general
Cí < CA , ya que sino no tendría sentido la existencia del
dashpot.
Caso A3
En este caso las raices A* y A3 son las dos del mismo orden
y están dadas por la ecuación
A? + —^A M ° z ^ -q D c¿43) ^ - ^oCS+a)
6 i t no E;I
que da una condición nueva de estabi3.idad
^ + %r- U-<£-3«#) > 5i^ 0CS+3) (5.29) V^o Vio
que es menos restrictiva que la condición (5»28)
-5.23-
Caso A4
Existen dos raices reales de nuevo de ordenes í, y -rz que cum
p3.en
siendo A-A2 L+~ y A- X3 — 4
Y son siempre negativas si se cumple (5 «27) , para la zona de
validez de parámetros asumida*
Caso B1
De nuevo existen aquí las raices de orden unida.d dadas en pri
mera aproximación por (5*26), y existen tres raices de orden \ * l -g- ^ L J — que cumplen
vvo Vvo V
con Xr . ^ 4 — S
Esta ecuación de tercer grado para que de las tres soluciones
negativas además de cumplir las condiciones (5*25) y (5^29)
se debe cumplir
> ^ | S ( J - ^ - 3 « ^ 2 ) ' (5.30)
-5.24-
Caso B2
En este caso 4 ^ S <¿< V
Aparte de las raices de orden unidad existen dos tipos de rai
ees A - _t-f— ^ X - i ^ ^ — qUe cumplen
Las cuales son negativas o tienen parte real negativa cuando
se cumple (5.27).
Caso 01
Con 4- <¿<- S-^V (es decir -J— ^ -J— <¿<c_ i )
Aparte de las raices del orden de la unidad existen dos tipos
de raices X-A,Vj-~H-- y \ - A^-y que cumplen
x 2 -- - i
Y para que todas las soluciones sean negativas se debe cum
plir la condición (5^25)
Caso C2
En es te caso ~ ^ ^ S ¿C V (con lo que ——* <c< 1 )
y ex is ten dos t i p o s de rapices A-A(t[í. y \ - \ z — que cum~
píen l a s ecuaciones»
- 5 . 2 5 -
Gon lo que obliga a que se caspia la condición (5•27) para
que todas las soluciones sean negativas.
En todos- los casos estudiados se ha supuesto que
porque en todos los casos se exigen las condiciones (5»25), (5*27),
(5.28) 6 (5*29), para cuyo cumplimiento es necesario que como mu
cho (£>+<5) sea del orden de -*- (siempre y cuando C^^j sean de or
den unidad)
Gomo conclusión y a la vista de todos los resultados, si nos
mantenemos dentro de les limites de valides impuestos a les para
metros, se puede asegurar que la ecuación (5•2.4) tiene todas sus
raices negativas (y por tanto la solución estacionaria del siste
ma (5*22) es estable) cuando se cumplan las condiciones (5*25) y
Í5»29), que son más completas que las (5*27) y (5»28) y además
que
con
íl Estas últimas condiciones son para que las raices del orden
de la unidad de la ecuación (5*24), que cumplen la ecuación
(5*26) en primera aproximación, tengan parte real negativa las
dos, y el estudio que se puede hacer a la ecuación (5*26) es i-
gual al que se hizo a la ecuación característica de la matriz A
de (1.14) en el Capítulo 1.
El sistema (5.20) se reduce al sistema (1.11) cuando se anu-
-5.26-
lan todos los parámetros nuevos introducidos en el sistema
( V S X. £ j P oc ), es por tanto (1.11) un caso particular
de (5*22) cuando los tiempos característicos del regulador son lo
suficientemente pequeños como para despreciarlos, asi como las
pérdidas en penstock y turbina, la longitud del penstock y las ace
leraeiones en la chimenea.
En cuanto a la existencia de soluciones periódicas, tenemos
las halladas en los capítulos 2 y 3 para el problema (1.11), que
es un caso particular del (5#20) en un determinado límite, y se
guirán valiendo siempre y cuando los parámetros que se anulan en
ese límite sean lo suficientemente pequeños, pueden éstos sin em
bargo modificar en parte el comportamiento de las soluciones ha
lladas en- los capítulos 2 y, 3, los cuales se podrían hallar si
guiendo un procedimiento similar, sin más que tener en cuenta el
teorema de la va.riedad central, el cual nos permitiría estudiar
el movimiento relacionado con los autovalores de orden unidad de
la ecuación (5.24)* siempre y cuando todos los restantes fuesen
negativos, como si nos moviésemos en una variedad de dos dimen
siones (variedad central) inmersa en el espacio de las fases
(que en este caso es de cinco dimensiones) en vez de movernos en
un plano de fases, que era lo que teníamos en los capítulos 1, 2
y 3.
Otros movimientos más complicados, por existir más de dos au
tovalores que sean imaginarios conjugados, es decir cuando hay mo
vimientos que envuelven dos movimientos oscilatorios, desacoplados
en primera, aproximación, pueden ser estudiados según el método da-
-5 #27-
do en el Apéndice 5 para un caso muy particular del problema es
tudiado en este capítulo.
~5*28~
CONCLUSIONES Y RESULTADOS
En el Capítulo 1 se reduce el estudio general del complejo
hidráulico dado en la figura (1*1) al sistema autónomo de dos e-
cuaciones (1#11), dependiendo de tres parámetros adimensipnales:
co = potencia adimensional
él = relación entre el volumen de agua en el túnel y el producto
área de la chimenea por altura del nivel del embalse.
U = coeficiente adimensional de pérdidas en la base de la chime
nea.
Para todo valor de co positivo por debajo de uno dado, se tie
nen dos soluciones estacionarias que solo dependen de co , una que
siempre es inestable y se da con valores de la velocidad en el con
clucto grandes (de hecho con 0, velocidad adimensional en el túnel,
mayor que -L- ) y otra que puede ser estable o inestable dependien
do del valor de é , en concreto la solución es estable si £<c2.Ci~í )
e inestable para £ > 2C l~%o) ? en la práctica estas condiciones
se reducen a que el área de la chimenea sea mayor o menor que el
valor de Thoma (2,1) respectivamente*
Se comprueba además, en el supuesto de pequeñas perturbacio
nes alrededor de la solución estacionaria, que el valor de yu no
interviene en el cálculo de la solución estacionaria ni en la de
terminación de su estabilidad*
El cambio de estabilidad de la solución estacionaria se pro
duce en dos zonas del plano de los parámetros ( £ , Cü ), paraco~o
-6.1-
(con €>2 ) y Pa^a £-2.Ci-^í) (pa^a "todo valor de O S C o ^ 3 ^ )•
En el Capítulo 2 se estudia la zona cercana a OÜ-G , observan
dose que existe una bifurcación a soluciones periódicas en la zo
na de cu>Of cuando £>2 , que es una. zona en la que la solución e,s
tacionaria es inestable,hiendo los ciclo límites que aparecen es
tables. Para <£¿2 la solución estacionaria se hace indiferente pa
ra cu^o pero es estable para cej>0 y co¿0 •
Esta bifurcación puede ser vista como partiendo de é>2.£l-£2)
(que es €-20-^)p&ra ^-£¿¿1), es como se estudia en e3. Apéndice 3?
y se observa que para JU40 (pero con ucci) existe una bifurcación
desde &-~2.(\- £*) , que va hacia la zona inestable ( £> 2X1-^) ) has
ta llegar a un máximo, donde se vuelve en forma, de ciclo límite i~
nestable hacia la zona estable, volviendo a cambiar de sentido ha
cia la zona inestable como ciclo límite estable, al alcanzar en a3.
guna de sus partes velocidades negativas en el túnel (figuras
(A3.1) y (2.1))';
La evolución que sigue el ciclo límite, cuando en alguna de
sus partes alcanza velocidades negativas en el túnel, depende del
valor que tomeyu (que suponemos todavía yU¿<ci ), como se puede
ver en la sección 4 del Capítulo 2, para kx por debajo de un va-
lor (yU^y^S 3 ) la bifurcación gira de nuevo en forma de ciclo lí
mite inestable que crece hacia la zona estable y que desaparece
cuando en alguna de sus partes alcanza el otro punto singular en
el plano de las fases, que representa la otra solución estaciona
ria, y es un punto puerto (figura (2.2)), por la derecha, aparece
-6.2-
desde £~o¿> otro ciclo límite estable (que rodea la primera solu
ción, inestable para este valor de los parámetros) que da la vuel
ta en forma de ciclo límite inestable, el cual desaparece para
&-*>oo al encontrarse con el punto puerto.
Cuando JU >UL £> , para £-»2 existen siempre dos ciclos
límites rodeando la solución uno estable que es más interior y
otro inestable que rodea al anterior y que se encuentra con el
punto puerto para &^L y para G-*>&o (figura (2c2))e
Cuando estamos cerca de €.- ^Ci-^) si ^ 0^ i y^M^O f e~
xiste una bifurcación de un ciclo límite estable hacia <~>2(i-£>¿)
hasta llegar a un valor máximo de G ~2Xl-^*) +MZ 10 * e n el cual
da la vuelta como ciclo límite inestable hacia, los £ decrecientes
(si yU-0 la bifurcación se inicia y continua sin dar la vuelta ha
cia G<20-^)) (Capítulo 3, figura (3.1))•
Esta tendencia se ve que sigue siendo la mismoa cuando toma
mos valores de 6 más alejados del punto de bifurcación, asi pa
rece indicarlo los resultados numéricos dados (figura (3#2)), la
razón es que al ser la velocidad estacionaria lo suficientemente
alta, la otra solución estacionaria que va aparejada con ella es
ta más cercana (figura (1*3)) y además para que en el ciclo lími
te aparezcan velocidades negativas en el túnel debe ser la ampli
tud mayor que en el caso con co¿xi f resultando que el ciclo lími
te alcanza zonas cercanas al punto puerto, antes que zonas en las
que haya velocidades negativas en el túnel, siendo más importante
la tendencia, de la bifurcación de ir a zonas de G decrecientes,
~6,3~
como se deduce del comportamiento seguido en los límites estudia
dos en el Capitulo 2é
El que existe un ciclo límite inestable rodeando una solución
estable, significa que existe una zona de estabilidad alrededor
de 3.a solución estacionaria, y si bien la solución es estable pa
ra pequeñas perturbaciones, puede no serlo cuando las perturbació
nes alcancen un determinado valor* Así en la práctica una bifur
cación hacia la zona estable significa im corrimiento del límite
de estabilidad empequeñeciendo la zona en la que la solución es
estable»
El que exista un ciclo límite estable rodeando una solución
inestable, si la amplitud es lo suficientemente pequeña, signifi
ca que la zona de estabilidad se amplía hasta que se alcance la
máxima, amplitud de oscilación que permite el sistema o
Como conclusión por tanto se ve que paxa u-0 el límite de es
tabilidad dedo por Tlioma (7) (14) (15) * es algo optimista cuando
Co<c<£ L y bastante optimista para co< l # Sin embargo cuando
jd^i el límite resulta pesimista, pero los problemas que surgen
con motivo del golpe de ariete si el agujero en la base de la chi
menea es muy pequeño, pueden hacer la solución inviable*
En el Capítulo 4 se concluye que pperacionaimente, para las
mismas áreas de la chimenea y la cámara de presión, el comporta-
miento de esta, última es peor que el de la chimenea de equilibrio,
pero en ocasiones puede resulta,r más ventajoso la realización de
6.4-
una cámara de presión ancha que la de una chimenea de equilibrio
más estrecha^
Por último en el Capitulo 5 aparece unas nuevas condiciones
de estabilidad del sistema que son (5*25) y (5*29)> las cuales
se pueden traducir en un valor máximo para el parámetro L , que
depende inversamente de la inercia del conjunto turbina—genera
dor I, es decir que las partes rotatorias de la central deben te
ner un momento de inercia mínimo, como quiera que el aumentar tal
inercia resulta caro, el estudio de este límite de estabilidad
es sumamente importante.
Se podría acudir a modificar otros parámetros, pero todos tie
ríen un límite, como por ejemplo aumentar los tiempos caracterís
ticos del regulador (V,S), esto podría suponer un regulador dema
siado lento que no daría un funcionamiento uniforme • Cj yC± depen
den de características mecánicas del regulador que no van a tener
un gran margen de variación, ¿f0 esta fijado por la potencia de
funcionamiento, y todos los demás parámetros que intervienen en
(5.25) y (5©29) salvo L dependen únicamente de las característi
cas hidráulicas del sistema.
-6 •5-
• A P É N D I C E S
Apéndice 1
Sea el sistema de ecuaciones:
at \ (AI-0
con (xz4Í/3>< O estrictamente, supondremos que f¿(t) y f2(t) son
funciones periódicas de periodo -rr- , con K-V* «**-*/*•
Queremos ver en que condiciones el problema (A1-1) tiene so
luciones periódicas y cuales son esas soluciones, para ello ye ZTT
remos que cuando existen, tienen el periodo -£* y son desarró
llateles en serie de Pourier, con desarrollo uniformemente con
vergente, con lo que hallando los coeficientes del desarrollo
de Pourier de la solución, esta estará determinada, pues coin
cide Vt a (R con la suma de la serie»
Se debe sin embargo imponer condiciones adicionales a f¿(t)
y f^t) para asegurar la existencia de las series de Pourier y
su convergencia uniforme, estas condiciones son: continuidad
VtelR , tener derivada continua a trozos en todo IR y cumplir:
'o ^o Esto nos asegura l a ex i s tenc ia de s e r i e s de Pour ier u n i f o r
memente convergentes para f ¿ ( t ) y f 2 ( t ) , Vt e IR ( 22) #
f \ ( t ) =* a D + I (2Ln sevx - nk+ + b n eos n k t ) ( A 1 _ 2 )
f i C O -- 2 L o + í l aV s e a n K t + b fn «>s ^ ^ ^
Dadas unas condiciones iniciales u.0i^>el problema (A1-1),
por el Teorema de existencia global de Picard-Lindeloff (12),
tiene solución continua y con derivada continua .Vt £lR f sien
do además esta solución única ( utilizamos el hecho de que
f*(t) y ffc(t) son continuas ), si nos restringimos ahora a las
soluciones periódicas, estas por ser solución son de clase C (ÍRJ
con lo que cumplen las condiciones suficientes para tener de
sarrollos en serie de Pourier uniformemente convergentes VteR:
-A1.1 ~
U = An + ^ ( A n sen n Vc-t + 8^ eos r\ k±) ^ (A1-3)
o- = Ao + £ ( A'n Sen V)kt + BV, eos n fc-O
Las series de funciones dadas en (A1-2) y (A1-3) se pueden sustituir en (A1-1), obteniéndose como combinación lineal de ellas las series de Pourier de -p¿ ¡J~TT> <lue s o n uniformemente convergentes VtélR por ser combinación lineal finita de series uniformemente convergentes Vte!R#
Y la integral de la suma, de la serie en cualquier intervalo de IR coincide con la suma de las integrales, por integra -ción de series uniformemente convergentes ( 6 ) 9
a^i si:
Z 1 Í ü £ > ¿U = LU-t) - U 0 - £ í VpwCO «A <i
pero ü. VÍ o- tienen desarrollos en serie -únicos dados por (A1-3)
U W . u , + 4 / o % „ ( r ) d x = A 0 4 | ( A „ icn <nWt+6Kcos nKt)
CU + í N a C ^ d t - An ^ «Vct + a„cosnVct /O
c t e + /* \f„Ct) ¿ * - A'n se«. ^ t v B ' . « * « « /o
j V n. € JM . í t
y der ivando V n. é. IN vp ( t^ = - VI W T2>n S€.n n. Vct + VL K Avr^oS vi Vct.
?aCt)= -vil* G>'vx sevx n k t + ¿.KA'* eos viKt
es decir que los desarrollos en serie de j~=£ 3 ^L^ se obtie
nen por derivación directa, término a término de los desarrollos (A1-3).
Resumiendo, si el problema (A1-1) tiene soluciones periodi
-A1.2-
cas, de periodo - r~ , éstas tienen desarrollo en serie de Pou—
rier uniformemente convergente, y por tanto tales soluciones es
taran definidas VtéR si conocemos sus coeficientes del desarro
lio, además estas soluciones son únicas si se fijan unas condi
ciones iniciales u.0v O"0 • Como resultado final se tiene el si -
guíente:
Lerna,- Sean fi(t) y f2(t) funciones reales de variable re~ *» *} Tí
al, continuas Vt <=. R, periódicas de periodo •=•— , con deriva
das continuas a trozos, tales que:
fo J0
( con ello tienen desarrollos en serie uniformemente convergen
tes dados en (Ai-2))*
Entonces el problema (A1-1) tiene soluciones periódicas de
periodo 2JX f continuamente derivables Vt^tRy 'con desarrollos . V e
en serie uniformemente convergentes
L L ( t ) ^ A 0 + H. C AY I Sevi v x K t i l i ^ eos n \ c t )
L J ( t ) = . A i + i í A U e a n K t ^ ^ c o s Y i K t )
( estas soluciones son únicas si fijamos las condiciones ini
ciales u 0 vj &0) si y solo si los coeficientes de 1 e r orden del
desarrollo en serie de Pourier de f¿(t) y f^Ct) cumplen
oc bj + Ve a 4 + / 3 b; O I (Á1__4)
Demostración
Por todo lo dicho anteriormente si existen soluciones pe
riódicas de periodo —|t serán del tipo (Á1-3)> por lo que
sustituyendo en (A1-1) esas expresiones, asi como (A1-2), se ojb
tiene
ex A 0 -+y2>.A0 + a_o - o* ^ (A1-5) ¡T Ao - o( A'0 + a ' 0 - 0
-A1.3-
lf (3>n - K A'"--,KA' n-^V - - bV \ ^ >
El sistema (A1~5) es compatible y determinado pues
y su solución es
A0 = "%* a° + *& a'° (A1_7)
A', - -£i *. - .-£ a'0 El sistema (Al-6) es compatible y determinado V n ^ i ya que su
determinante vale (Vi?* i) {roe2-— % J*>) y las soluciones son:
pero para n=1 el sistema (A1-6) tiene el determinante nulo, es
más la matriz de los coeficientes tiene rango 2.
En-efecto tenemos el sistema:
ex A4 + K &! + /3 A4 - - a i
- K Ai + oc B 4 + /^ &'i - - b * y- A i - c* AV + K B'i =• - a i ir e>d - K A'd - ^ B ; -- - Wi
sustituimos la 3 ecuación por la combinación, lineal siguiente
— K (I-) + ex ( 1~) Arp> (?>*) ( esto es valido porque sienprey3*0)
y la 4" ecuación por ex (I") + K (. i~\ •+ fb CLi~) y queda:
c* A4 + K t5d + / i AV = - a-i - k A i + < * e>4+ /s B'i —- W
0 =. - K ^4 4- <x a i 4 p a \ 0 - <x b 4 + k a i 4- fh b'4
- A 1 . 4 -
luego para que el sistema sea compatible debe cumplirse
que son las condiciones (A'l-4) y el sistema tiene de soluciones
que quedaran fijadas al fijar unas condiciones iniciales del pro
blema (A1-1). Reciprocamente si se cumple (A1-4) entonces existen
soluciones periódicas de (A1-1), la condición de existencia de s£
luciones periódicas viene dada por: ( ver (11))
/ * $Tlct) • JcO dLx - O (At-10)
donde <JÓ íi.) es una matriz fundamental del sistema (A1~1) y f(t)
es el vector (f¿(t), f2(t))* Podemos tomar (J Ct) de tal manera que
o5(o}-I( la matriz unidad) esto es
fe- sen Kt + ccsVct ¿~ se.n \<±
.96 CHb> ^
siendo
(^(tW
X sen Kt - f i L S e n k t + cflsv<t
1 * . s e n k t + c o s k t - -^se^Vc-t
^ X c,enKt £L sen K t + coS k-t K K
y de la condición (A1-10) se obtiene
oca.4. - kb¿ +yiaii =01 (A1_11} -Ui+ota'i 4-kb'r-0J
teniendo en cuenta que a^b^a^ vj b^ son los coeficientes de Fou-
rier de 1 orden de f¿(t) y £^(t) respectivamemente.
Las condiciones (A1-11) son equivalentes a la,s (A1-4) pues la
primera ecuación de (A1-11) coincide con la segunda de (A1-4) y
si multiplicamos la primera de (A1-11) por - - ~ y le sumamos la
segunda multiplicada por J~ se obtiene la primera de (A1~4)« Con
eluyendoylas condiciones (A1-4) equivalen a decir que existen BO
luciones periódicas de periodo =~~- , que son por tanto de clase
C (IR) y con desarrollos en serie de Pourier uniformemente con
vergentes •
~A1*5~
Apéndice 2
A.- Primeros términos del de sa r ro l l o en s e r i e de Four ier de
(A sevA Kx + & c o s k x ) \ j\s>e.Y\ Kx + G> eos Vwl
Podemos poner /\ s e v i K x -\- G> c o s k x - d e o s H*
donde C--\!^& , H>-k*+M> s, ^ a * ^ t = | }
e> *. d eos f A - - d sevi H>
y los primeros términos del d e s a r r o l l o de C coS*V l C-OS T \ son
^ 7 / c o s H ^ t c o s V l e o s H M V >, ^ / c o s a c o s H > \ s e w S M ^ O
ya que eosMM c ó s a l e s una función par y
pero
o
luego C c o s f I c o s ^ l - A o ^ ^ p C eos 4* 4- ( términos de orden super ior )
de donde (A s e n Kx 4- G> c o s k x ) 1 A sen Kx+£> cos te* ! - A o + J ^ \ f / £ ^ C c o s f +
+(términos de orden s u p e r i o r ) = = Ao^—r^A^G^ (¿I cos*f cosVcx-C sen1? senW*)+( términos de orden super ior) :
n / \ 0 4 J L AVA^O1 senWx 4-—- GWA^B2, coskx+( términos de orden super ior ) 3TT 3TT
(A2-1)
B.- Primeros términos del desarrollo en serie de Pourier de
( i + A s e n k x + B c o s K x ) \ i + A se^nKx + e > c o s \ * x l
8
-A2.1
haciendo e l cambio A se.n K x •+- G> e o s K*. - C e o s ^
y l o s té rminos en senM^ ^ cosV de (!•*• C e o s ^V) l i +• O cosH*!
son 1 - / ( i + C co^)\UCco^\ senHMH* = 0 3
por s e r ( ¿ + d cosH>) 1 1 + tícosH^ ¿° U + C COSC-HO)\*+C cosC-4>)(una función p a r .
En e l caso de que C í i en tonces
(i + C cosM>) U +CíeosVI - C4+C c o s ^ f - i + 2CcosH,4C2cos iVf
cos4 ?clvV=2C oon l o que
(A+ A senK* - f G> eos k x ) U + A sen K x + G>cos K x \ = A0-+
+ 2 A s e n K x + 2 . B e o s V < : x •+• ( t é rminos de orden s u p e r i o r )
(A2-2) con N/AVG? ^ 4.
y en e l caso de C > i l a func ión i-l-CcosV se hace n e g a t i v a pa ra
cúreos r i . < 4? < 2TT- a rcos ^ , . . _ _ <3 C (tomando pa ra e l a r c o coseno l a d e
te rminac ión de CO,Tfj) luego '•2/n . ,xTt
^ f (A+C cosH») 1 i+C eosH>| cosH> ¿H» = X Í ( U C cosH'fcosH' d f -
2.n - a r c o s ^ - 2LTÍ - a r c o s ^ ~
(d + cí c o s a c o s 4 » d ^ = 2 4 - — /(cos^4Z^cos2H?+02eos3 f)df
-eos T.I_ 7<jLtxos -clá r e o s ZJL 'CLíXoS
= 2 ¿ - — senH ) + C ^ + C sen ZM> + c * s e n V - ¿ 2 s e g 3 ^ T¿Tr~áf£üS~l
4
<xrcoS ~
- A 2 . 2 -
por lo tanto
( L + A se\n k x 4- £> e o s K y ) I 1 + A s e n VCx + £> e o s K x \ -
con C - V^4G>2 > 4 (A2-3)
C - Primeros términos del desarrollo en serie de Fourier de:
A Sen l e * -V B e o s W x ' c o n ^ A * + ^ 2 ^ ^
i - A s e n K x - B c o s K x
haciendo el mismo cambio que en A y B queda
.-gcosV Co n C<i J-Ccos^
al ser esta una función par en T solo tiene término en eos V que vale:
/2.TT / t i J- f C cos^V ¿y? - * ¿coszy ¿4/ rr / i-CcosV *rc / A-dcosV
sis .. <ir
_CÜ¿H!_ ¿H» - -i— /" Cl-frdy n J L fl&-Z2±JLLA2L •=.
con cos^V- >J~^-
luego K
Jo con lo que
A sen VC* + B eos W ^ _ A , 2_ ( - - L - \\(A senWx + Bcoskx) + -i-(Asenkx + e>cosKx) - " o + t f ^ - C *
+(términos de orden superior)
r- , * (A2-4)
-A2.3-
Apéndice 3
Cálculo del ciclo límite cuando cu «: 1, &- -2. ¿-^ A y /* ^ 4
A#- Sin velocidades negativas en el túnel
Tenemos entonces las ecuaciones (1 * 13)
suponemos que £ - £ <c ¿ => co ==• SC4-&) y hacemos — z r 3 C¿L
g - S ^ + S y^-i-S ^ 4 - b ^ / 5• = S ^ , •+ &1 2 4 S -2.3 4 á Xi» <E ~ z + e, £z ; / * -y^i r = x ( ¿+ x, £>z4- Xa. S3+ — )
-¡ -r o • -•••• - i - o -7— t o __
- 5*2 -s4* - sV- s3 z^ -sV^^+^ls^h
4-S22^1 + g3z^+^z^3+ S^. + S ^ + S^B^+sW-
a
1 aproximación
¿Vi __ ^
el =2., 7 \
- A 3 . 1 -
como buscamos el ciclo limite suponemos \fx - C eos V2 X con C < 1
puesto que g = £ 0+ g - S + & Ü, + S*^- S Cl + C cosflx 4 $ ^ - ) y si suponemos £^0 "=> G ¿ i en 1" aproximación y por tanto zd = -\Tz £ se^iV^x
2 aproximacj-on
- ^ H , - ^ ( - ^ N z.-ZC:cosNrzx - % - % - eo^iflx
d l i = - zvj 2L 4 2-fc» - - 2- v(z - -Zíz C s ew \fz x
al aplicar el apéndice 1 tenemos
a j ^O ; bd=-2.<d ; ¿Í--2.N/2: C ; b ' d = 0 con cx=0;/3 = 4 $=.-2. ;'K*V¿
con lo que ^ ¿ ¿ + ^ = 0 N, -vf! b ^ a ^ = 2/IC-2\Í2C¡ = O
es decir que para todo C este problema nos da soluciones periódi cas. _ ^ Además a 0 = - - 4 - ; a 2 ^ 0 ; ^2. = - % ) <5L* bn^O Vn>3
a.'0- o ; a'n-b'n-o Vnn y teniendo en cuenta (A1-7) , (A1-8) y (A1~9)
además podemos suponer con las condiciones iniciales adecuadas A¿ - &¿- O con lo que
A'^-a^o
A = -^- b - —41. r*2-
^ - a - ^ L B2 — á = a z - % - - O
^ /W- Bv.-A'v.-^-O V*>/2>
-A3.2-
obtenemos entonces la solución
y , = - ^ | - Q^SQ-YI z \ f l x
* z - CL +2.C eos\T2 X - 4 - eos 2-VT
3 g aproximación
¿i x . ^
¿ ^ ~ -2.vj342?.2.+ 2 ^z -<2V^ -2x1síi=. -^x^ + C cosV2x4- C 2-
3 y por tanto aplicando apéndice 1
aA=v|c3-V2:x4C ; V-o
y yfca.j+b'jx %-2x , c +qc-e i c-2x i C= o 3
-\íz bi + aí^.o j . . i e,.. j£
haciendo pues ^ z í - £ i + S - hay soluciones periódicas para todo
c. H ÍZ
Teniendo en cuenta (A1-7) , (A1-8) y (A1-9)
como 3L 0 =0 ; a ^ ^ - G ^ V z C x ^ ; 2 L ^ ^ CZ ; <2_3 - ^ C 3
Ao= | Cz j A'0= 0 ;
tomando condiciones iniciales de manera que A¿ - Í2>¿-0
A'^cU- f - - -^ ) • B ! - 0
-A3.3-
A',-- í | c 3 • > B3-0
con l o que
"Z* = V I C ( ¿ - - ^ - - ^ } Sen \fzx - dZSen ^ x + ' ^ ^ 3 4-i-C3se.3^Ix
4- aproximación
-2X2.NJÍ
en este caso
3 \f2.a.J-+b,1^-4£x2^o —> <^Q o' x^O
o u / *—
de donde
Es decir para que exista una solución periódica distinta de la
trivial en 4- aproximación debe de ser :
-A3.4-
Esta curva está dibujada en la figura A3«1> dando para, diver
sos valores de M± ,C en función de e^- -—, se aprecia en esta fi
gura que cerca de €- z para^u <<. i y co ce 1 la bifurcación no va e~
xactamente hacia las e. crecientes sino que para C < 1 y para
existen soluciones periódicas para£CZ# Además por extensión del
caso en el que €>^ i se ve que cuando la solución periódica rodea
una solución estable, o una inestable con un ciclo límite esta
ble, es inestable, siendo estable la solución periódica en el res¡
to de los cansos *
Para hacer concordar este resultado con los obtenidos para los
casos de potencia pequeña y chimenea estrecha debemos sixponer que
0>if esto naturalmente hace que pueda haber velocidades negati
vas en el túnel, por lo que se deben emplear las ecuaciones ( 2«2 )
en vez de las ( 1,13)* Vamos a suponer además que \C~4|¿x 1 (pero
d-¿>0) concretamente tomaremos C-4-+S o. con cxyO. Tenemos enton
ces
|t) / c ¿q f2l/5 cZí/5 clwS clH^
+ & 5 + ¿> Ü4 + & > . / 5 + *> > v 5 + & 3*Va
+ ° 3M/5
6 - 2 4 S e, 4 S e¿ y ytt-yUt b ^ , 1 r7- ¿,4,/5 í-,b/S ^ ,8/5 \
t - x C U x , S 4-*2. b -t-x3 b 0+xi1 S + - - )
S'¿ *!i + ¿* é*&. + é3 + - - + S2% é*«* a ^ x d x d)( dix.
- S ^ ^ ^ Z ^ + S ^ f + s^*M/6 + ( & v ? + ¿ M l 4 s i ) -
- é ^ ( U Z c c S ^ 5 ) ^ , ¿i C O & > Í 2 X U O S ^ K | - ¿ ,X | ( 2 C O S ^ . X 4 C O S Z \ Í 2 X , ) ~
*" á /5Xd(2c». c o s a x •+-2<x eos2 \IIx) - S3x,\5. s e * VI x - ó'^x.fé a senv/Z* +
4 &x, ^.z + S ^ x , -2,tt</6- S**"^ C£ eos \T2.x 4 eos2yflx") - ¿ ><Z^¡1 sen\ í tx -
- £> /sx;z \ÍZ a. s e n fex 4- S2 / 5 x z 2 . z "" ^ ^ V i s e w V I x - S ^ V E sen\Í2x
-A3.5-
s * ^ 4- sW5 éii^ + ¿*4*i + 4- &2% á i ^ ~ c ix d x : d y ¿ ^ ~~
= - 6 Z 2 . N Í Í - S 'V / 52.^ | i J / 5- S 3 2v , 3 ^ Z ^ * , ^ - S^2\f2 s e v > \ í l x -
- ¿4/52\TIa savi^x +S 32iz+ S,V52 *(4/5 + ¿12¿i+S?"?/52^,/5-f a*** z^ / 5-+ + ^ z ^ + ¿ ^ s e ^ V l x + S* ' 5 ** S e ^ x - ^ C U ? - ^ * ! sen í l x +
+ 6l3*¿{ a2 Sen2 VTx - SZ"/S (¿1\ÍZ 2IH/6 Sen a x 4- ¿dVi a 0+V) Sen VZ x) -
- S*ei eos a* - S** e, a eos a x - e¿ NJ2 - SzV/5
ei ^N/6- £ % a sen -- S^e.^ Awftx- g^e, cos^-S^^a eos ax -S2%v - g"* e^tl s e m f l x - S 3 x » Z c o s t f i x - S ^ ' 5 2x , a c o s í l x - S Zvj vja-
- S2^5 2. x-j vjw/ - £? 2 Xá \fl s e n a x - SW/5ZXi \1 a. sevi vlx - S* *x2cos-íLx-
- S ^ Z X Í ex e o s VÍX - S 2 V 5 l x 2 v j r S ^ 5 2x2>ÍI sen Í Z x - £t/sZx¿ cosfix-
- S*Vs 2xM c o s ü x
Aproximación &
Como s2- (£¡+S)l?+S\ - ^(-ZcosVlx-coS2VIx,)+"
ajustando las condiciones iniciales de manera, que \¡¿ no tenga ter minos en seno y en coseno.
\¡z n - ^ s e n Z\ZIx ^iL-z. 2, - 2 c o s a x - cosNfix ¿ y
¿ 2 Í - - Z N U - ? * Z s e n W T x J B i - 2 c o s s f 2 x + l - - i c o s 2 \ í z :
d x
Aproximación b
+ ¿ q / 5 ( - 2 < x COSNÍIX - Z o . cosz\/2:x) + —
- j ^ = 2 w / 5 - 2 a c o s \ í i x - 2 * . c o s z \ Í 2 l x | ^ - a É se«zfcx
a x J,H/5 -> -f a - ^ eos 2.VÍ1K
Aproximación S
£ z - ( g + S ) l l* - tS | - ¿*( -2 .cos \ /z>c - c o s ^ x ) +
+ 8 , V 6 ( - 2 a coS\Í2 x - 2 o . e o s ^ x ) - $? 2.\j r ( i + cos>TIx> - '
-A3.6-
eZl±. - -2. ^ í L s ew z f l x ( i + c o s í i x ) - y j f z s e n ^ í l y <d x
-3 3
d ? 3 . _ 2 u + ¿ i Cos Í2x + 1 - 4 - eos 2 \íi x-+¿i sev\2\íH* - ejcostf lx-
- yx 2. cüS\íi><r
a l imponer c o n d i c i o n e s pa ra l a e x i s t e n c i a de s o l u c i o n e s p e r i ó d i
cas
V - . - % 4 -4 : COS " 2 - ^ K - -~- COS 3.\féx ° 2. G 1G
Aproximación o
+• 2 . ^ c o s 2 - ^ * ) - ^ 3 , 2 . ^ Q + cosvfl.x') + £,7/5 g ( ^ s e ^ vnlx-*-VUtt0
4- b n c o s VI \Z2.>0 con n o >> 3 luego
^ 2 . a / í , 4 - £ ( a * sevt v i \ / I *4b n cos>ni íW)
e s t o s t é rminos pueden a p a r e c e r en l a s aproximaciones s u b s i g u i e n
t e s pero no se t e n d r á n en c u e n t a , a l i g u a l que a q u í , porque no
a f e c t a n a l o s t é rminos de pr imer orden de l a aproximación S que
es l a que de te rmina l a ampl i tud d e l c i c l o l í m i t e .
Aproximación o
S2- (£+s)iH+si = - £~ C2cos^: x + coszn-x) - s 5 u * eos vi* +
+ 2 ex c o ^ ^ x ) - S3 Zv|, C¿4 cOSyfl'x^H- S 5 ¿. Ca.* £e\n vi fL->
+ bv, cos Y) ( f l x ) - ^ 2 / 5 (o? co<^\ f Ix 4 £ - , - - ) * ° " v\l» 3
- A 3 . 7 -
áJ^¿ s a.v5 -o? eos* *íx + ¿ ¡ - 1 s ^ . & á se«2«x4£¿-
f>2/5
, « / 5
- * * - 2 , -
Aproximación £
El té rmino en & de S - C^+S) \ ^+ & \ e s
—Í2& = 2I<V 4-GL ^ Se\n 2.\flx ( i + cos^x-) 4- a % se\r\2.\flx- cosílx-
- X, \fz ex. í>^vi \fzx - x 2 tfZ sev\ ( i x + £ ;
ci X '5 3
- GA ex cosv'Xx - e^cos \T2 x -Zxj a eos \T£x - Z ^ c o s ü x
mH?
& - -2Ls/ iq/c+ i [ a eos Vá:x 4 l - | eos 2.\f£x 4 S a. Sevi2i/¿x
a l imponer cond i c iones de p e r i o d i c i d a d a l a s s o l u c i o n e s obtene
mos que
\1£ , . =. 3CL 4 % eos 2-tfzx - T^- eos Svflx + £ - ~
*«* = (^ " t t - &) "««* - *-*§* "«*«* * 4- - i i - c,evi 3.V2.X 4 ^_
Aproximación &.
El té rmino en £** de &2- ( £ 4 S ) l £ ,46 I e s
- ( ¿ 4 ^ 3 U+eos tfZx ))-=*!§• Cuneos Vlx4 g^--
^--^-^-2v j 3U4-cos«ax^- l |p-^e-OS^x4v J^-
co
- ^ CZcos Vüx 4 cos^if lx) - *±MX cos\ílx\eos\íIxl 4 ±Q- -
-A3.8-
¿UM - „Z\¡H + l i 3 - z i Ci + "2-2.) \Í2- s e n \n x - ¿1 \n sevn3 \Í2v l+
a * ~ ~JM
+ 2/2 se/i f l x - e, y^ - e, tfl. seytvfXx - 2 x i y2 -
- Zxj /z sevo \ f l x
obligando que no haya términos seculares
Aproximación G
El término en £ ''de £ - (£+ £")!£+S| es
? £ a?^ seva 2. x 4- £^—'
- ^ - V 5 + | § ^ sen \fl x -X3\Í2. sevifix+^--
~H^T "~ z ^ * r z * 3 e o s a x
para que haya soluciones periódicas
Aproximación o
^ q^
22/ ^
El término en £ 5de S - ( £ + S M § + ^ l es ao
- Z i f iV5 (d+eos t fzx )4 - £¿
<X>
V o
¿l )JZZ/ .-¿H* . £w/ 5 - 2 ^ U + eos Vz.>0 + I
los términos del segundo miembro son de"mucho mayor orden que e l t e rce ro luego es t a aproximación da soluciones per iód icas •
-A3.9-
^ Ve Aproximación a
El término en S /5 de £*- 0£+S) l " |+£ I es
Vi o
d ~ ^ - ~ 2 z 3 < < . - z ^ l 2 / 5 C d + Oos^x)~2v j l q / 5 cx c o s K I x -
- X7 VH £i sevi\fzx -Xi¿ \fZ S^Yi f i x + £-j¡—
dtx 5
- 2 X ¿ CLCos\T2-X - Z X 4 C Q S V^X
para que haya soluciones periódicas
z Aproximación b
x^.^+giJÍ
El término en £ 5 de £*"- ( £ + S ) 1 § + S | éi
-^)i^U^cos:íl^) + Z)i5c.coS^y+^^2.^s)^l^^^<LO^x^
4- Í M Í I Q^COSfZx -UA2 a. e o s tflx I c o s \ nx \ + X L 2.2.-J05TT /
— x 1 C2a.cos \ |2x +2<xcosz\fZx)+X1^W/(-~X2 .C2coStf2.x-v-
v»;v"
*-i2Vla. se\a3*íXx-i-Z\/2. a. s e \ a \ i íx -e , ^ - £ 1 ^ 2 . -— e,Vz. CL seva f i x - e^íz se vi-Vil x -2.Xj Vw/5-
- 2Xj Vz a <>evi \fl x - z x 2 ^ - 2 x¿ Nfz s e n {1 x
y para que tenga soluciones periódicas debe ser
3TT / Á -?TT
-A3.10-
tenemos entonces
, ifcfc
IH/5 r Z
,«4
W (A3-2 por o t ra par te de (A3-1) cuando no hay velocidades negat ivas en e l t úne l :
£-2= s'C-Z-fc'+^c» Cái
por tanto esta fórmula sera válida con d - i +S 5 C L V CX£ 0
asi teníamos que
' (A3-3)
con lo que se ve, que las fórmulas obtenidas para casos con velo
cidades negativas en el túnel y las obtenidas cuando-las velocida
des en el túnel son siempre positivas, ccncuerdan en valor de la
función y en derivada, en el punto de transición (cL-O), es decir
que la función que da la amplitud del ciclo límite dependiendo de
£, M y <£ es de clase uno, lo cual es de esperar de las condicio
nes de regularidad en el segundo miembro de las ecuaciones ( 2«2 )• .
Podremos asi completar las curvas dibujadas en la figura A3»1
para d ^ ¿ f viendo como es el comportamiento cuando C es algo ma
yor que la unidad, además este resultado explica el porque de la
existencia en yx<ci de bifurcación hacia £> 2.Q-£0)cuando cu <:< 1
y hacia £ < 2.C4-§*}cuando G J ~ ¿ , puesto que si Co<^l, entonces
^ i , y la amplitud del ciclo límite es pequeña (cerca del cam
bio de estabilidad € =• 2. Cd-C^)) entonces £ ~ £,+£o>0 con lo que vio
hay velocidades negativas en el túnel,rigiendo las ecuaciones
(1#13)* y aunque cuando >u<<i pero distinto de cero, la bifurca-.
ción va hacia G>2Cl-^*) llega hasta un valor máximo de £ y lúe,
go va hacia los valores de £. mas pequeños, si se siguiese aumen
-A3.11-
tando la amplitud del ciclo limite llegaría un momento en el que
£-f^+^0 pudiese ser negativo, rigiendo entonces las ecuaciones
( 2«2)> cambiando en ese momento la tendencia de la bifurcación
hacia las £ crecientes. Asi ocurre que si cu no es lo suficien
temente grandp, la velocidad en el túnel en el caso estacionario
es lo suficientemente pequeña para que oscilaciones alrededor de
la solución puedan alcanzar velocidades negativas en el túnel pa
-ra algunas de BVLS partes, sin que se haya dado el caso de vaciar
se la chimenea en otras (o alcanzar el pinito puerto) con lo que
aparece la rama hacia £ creciente en la bifurcación. Esta rama
hacia las G crecientes corresponderá a una solución periódica
estable, como se puede deducir al rodear siempre a una solución
inestable, sea periódica o constante.
-A3.12-
-u
<3
M p4
Apéndice 4
Estudiaremos aquí, en primera aproximación, los efectos elásticos en el túnel y en el agua cuando estos son muy pequeños (ya que asi ocurre en casos normales), al igual que se hizo en el a-péndice 3 solamente se buscaran las amplitudes medias de los ciclos límites, asi como sus periodos, sin tratar de estudiar feno menos transitorios*
Las ecuaciones a utilizar son las siguientes (la notación empleada es la de las figuras 1*1y1*2)
Continuidad en el túnel
Cantidad de movimiento en el túnel
— 4- Ur ,— •— -+- — — '--• «+ —-Ci-—* — ~- — —
Continuidad en la base de la chimenea (suponemos que la presión en la base de la chimenea es la misma en todas partes y vale lo que vale la presión hidrostatica de la chimenea)
43. •=. . (A-r ir\ , i , A / . . _ J > T •+ ~^p* ( M $ no varia con la presión)
A * A á (M-3)
Variación de la densidad lineal del -agua en el túnel con la presión
y> M = (/> A V ( i + £ ^ - ) (¿4-4)
Variación de la densidad del agua con la presión
f> - Pe (4 +- ¿L £ ^ ^ ) a.4$i (A4-5)
de estas dos ectiaciones y en primera aproximación se obtiene
-A4.1-
A T- Aa U -+(¿-¿0 ^ 5 ^ ) (A4-6)
Para integrar(A4-2) necesitamos conocer las condiciones de
contorno en el túnel. Las cuales se obtienen integrando la e-
cuaeion de la cantidad de movimiento a lo largo de lineas de
corriente en el embalse y en la chimenea
Teniendo en cuenta (A4-5) e integrando entre la superficie
del embalse y la entrada al túnel, llegamos a:
P<¡
de donde
U ( 1 + C L
^
^ - S ^ L - 0 si o-<iO
(M-7) ercO
Integrando ahora entre la superficie de la chimenea y la sj;
cción-2 (ver figura 1.2 ):
y entre las secciones 2 y 4 (figura A4-1)
¿L
FIGURA (A4-1)
además ^
-A4.2-
es decir
y entonces
i. p. O"2- v3-<.0 " z J (A4-8)
/i -/ex ( i + C P- P-Ms.L.)
Si suponemos ahora que la longitud del " penstock "es nula
y por tanto que la entrada de la turbina es el punto 3 ¿le la
figura A4«1, y que por tanto 2^- H tenernos que (ecuación (1#8 ))
es decir
Ahora bien de (A4-1) se tiene
y al utilizar (A4-4)
_L S^. -_ ^ ( 2£. + er £ £ ) * (A4-10)
de (A4-2) al tener en cuenta (A4-5) se sigue
-A4.3-
3t £ 3S. + a/a 3 ^ ~ + 3 s " 1 0
(A4-11)
.de (A4-3) a l t ener en cuenta (A4-9) y (A4-6)
W -4-
(A4-12)
Efectuamos las siguientes adimensionalizaciones
- V ^ 1 5 ; *~Us ; ***L; M T Y - ^ ;
./ £ W
con lo que partiendo de (A4-10), (M-11), (A4-12), (A4-7) y (A4-8) se obtiene:
(A4-14)
+ ^ : _,—-— (A4-15)
donde
V (A4-16)
-A4.4-
_ \ f V (A4-17)
0
(A4-18)
Las soluciones estacionarias para ex-O cumplirán
¿"So
vroi - a - ^ ] ^=P oo — So
es decir co - g0( i-§0 ) al igual que se obtuvo cuando no se
contemplaba la elasticidad del líquido y de los materiales•
Además
que es la distribución de presiones en el túnel cuando estamos
en régimen estacionario para oí-0*
Si suponemos <x <£<c i, se puede presumir que las soluciones
estacionarias se separan del orden de ex^de estos valores9 co
mo además para oí •=- O
-A4.5-
con lo que al integrar (A4-14) de 0 a 1 y contando con (A4-17) y
(A4-18)
y de (M-15)
es decir que es el mismo problema que se tenía en las ecuaciones (1.11) de la memoria, y el problema lineal asociado a éste tiene traza nula para £ 0- O y para e -2. C ¿ - ¿í) (con ^ ~ ^oC^-^oV? al tener ex40pero oc <c< i también, cerca de estos valores, habrá traza nula para el problema lineal asociado a las ecuaciones (A4-13) hasta (A4-18).
Si suponemos 00 <-<• 1 (%o-£> ^^ O N <=-rvjl se puede poner
' g^ S-Ci + O + S via.
5 = 6 i -ézC4+^2,)
« = £ Y x U + Sxd+—)
(A4-19)
y al despreciar términos de orden superior que S en la ecuaciones (A4-13) hasta (A4-18)
¿ | ^ + 6l 8 ^ s g * ( * d £ + i r> í l <i£ -* i . 9&) (A4-2o )
= &Z (4- U + ^ U + ^ i D (A4-21)
-2fCí-a.)CA-HMil)) (A4-22)
-M.6-
donde
3 ¡ í = i i j l a , i ; Kw = ^ 1 ^ ; vJio-^l3ao ') ^ ° * y i U ^
(A4-23)
donde (A4-24)
P¿o- pi\r_0 ; p^o- p^l^o ; p44= PiV-i .; Pu^ P * W
además se toma como nivel nulo el del embalse y por tanto
K(Ó) = -K-l v, IAU^-1 (A4-25) En primera, aproximación de (A4-20)
y de (A4-21)
^ + §LBL _ í* áí*!l ~ O (A4-26)
integrando con respecto a "y" de O a 1
^ Í+T>ii-Pi0- % U - ^ U > - ° Por (AA-25)
y por (A4-23) y (M-24)
con lo que
=> 4^-Í Í-O
-A4.7-
es decir
y de (A4-22)
con lo que en 1 § aproximación
^ B c o s í l x ; zL¿^-{£ £> s e n ^ x (A4-27)
(se puede cambiar el origen de tiempos para obtener esta solución
siempre)
asi en (A4-26)
- \fé 6 Sen '/éX + §-& - Í£_ 4Ü2l) r=.Q
integrando entre 0 e "y"
-OféB seviVfcx*^ + P i Cx / \ { ) - P ío - ^ - ( K ( ^ ) - K?)=-0
y por tanto
p d C x , v / ) r : * £ l ^ ) +\T6 ^ B s e v ^ f l x (A4-28)
y e n segunda a-proximacion de (A4-20)
a l i n t eg ra r entre 0 e "y" -2. •J
y i - ^ z o ^ + t f U + B c o s f é x ) ( £ + £ ¡ . V ^ - ^ v/1 BcostfÉX (A4-29)
de (A4-21)
9V i +xA ^ü . 4- ¿ ^ +JL ? M i + ty^3CpA\;) TfVjcgl)^
= ^ p ( i - U+^Yw+^l)
susti tuyendo (A4-27) y (A4-28)
-A4.8-
integrando con respecto a "y11 de 0 a 1
c^v. so
- X-gt Ü Ü L ) - £ z l ( ¿ - ( i + G> eos | e x ) U 4 - B c o s í ? x | ) 3 ¿i^ £
.de (a4-23) y ( M - 2 4 )
p: >2-A~ ^c!~-'2-i~ tf<%^~/* <¿2i 1 d"2L, ¿Ax i c£x
r» - " ' 4. * " * 1 I A 3
U+^KO
->
con l o que
p -Pzo- %?u-K>)- z*-yc^-^&i&l-i
- f U - U + 3 J ) U + > J I I ) CCm C A - 4 ^ ^ 0
t en i endo é s t o en c u e n t a , con (A4-28) se l l e g a a
^ - 2 * + C ¿ - U + & c o s t é x ) U + B c o s t e x | ) -Clx
- y u ^ t f o o s ^ x Icos *Sx\ 4- ( ,r /0 CS + K ^ ^ - ^ r - +
+ V J ) ( 6 e > s e n í é x (A4-30) y por f i n de (A4-22)
con l o que por (A4-29) y (A4-27)
que con (A4-30) forma un sistema de ecuaciones en 22. e ^2.0 »
-A4.9-
que para tener soluciones periódicas debe cumplir según el apén
dice 1, (junto con los resultados del apéndice 2)
yféaj + b'^o ; -v ib i + a ' ^o donde
a^CXi + Y^CR + R O d y - I í ^ j < i B
j - 2 6 - J j f y W e 2 BZ con Q.-sl
de donde
y por tanto
lo que nos da un nuevo periodo para los cielos límites frente al
hallado en el límite cc<c{9 sin tener en cuenta la elasticidad de
los materiales, allí se obtenía X^ - 0 , y aquí el nuevo periodo
será
y en cuanto a
'i tenemos
con ¿(g> = ^ ™ B OT
la cual es la misma solución que la obtenida en el caso de no
-A4.10-
haber tenido en cuenta, la elasticidad del liquido y las paredes (ver ecuación (1.13)), por tanto estos efectos no influyen en primera aproximación en la amplitud del ciclo límite.
Si tenemos ahora en cuenta el caso de chimeneas estrechas en el cual co <<u 1 , é>> 1 e hicimos la siguiente expansión
%-- £'No + S U + *)
£>x- tCí+ ^V,) KA. - /A b °
v3
y ahora además para que los efectos elásticos aparezcan en 2§
aproximac i ón:
<X = 0 b
de donde sale, al despreciar términos de orden superior a b ^
de (M-13) ?^o , £2/3 9if, _ _ rv3 £ £ 3 W (M-31)
de (M-14)
9 * ^ £ (A4-32)
de (A4-15) i.. ,
4 82/¿ tr ^o (A4-33) ^ 1-TLO-
x3
de (A4-16) ^ , Ah
poo + o p i 0 — V>¿ con ^0£)<0
(A4-34)
-M.11-
de (A4-17)
P d + S** p i d - A--Eo + S** C - ^ - / ; ^ | ^ l ) cevi V o i > 0
P o i + ^ P i , - l - ^ S ^ ( ^ , - ^ ^ \ ^ 4 ^ ) con ^
(A4-35)
(poo-?o<:x%0 ) po4= PoC*)^ ) pio-PiGrt^o) P Ü = - P * ^ W )
al tener como nivel nulo para, h , él del embalse las ecuaciones
(A4~25) siguen siendo validas.
Primera aproximación
De (A4-3D
podremos entonces integrar entre 0 y 1 la primera aproximación de (A4-32)
de donde resulta (junto con (A4-33) , (A4-34)y (A4-35))
(tomando el origen de tiempos adecuado)
£ 0-- 8 sen^ÍE x (A4-37)
integrando (A4-36) ent re 0 e "y" queda
p ^ C x , ^ ) - CB sevnvfE x ) y - K Of) (M-38)
Segunda aproximación
De (A4-3D
e^ ~ 2 a x 2. J
al integrar entre 0 e "y"
y A ^ v j ) - N , Í O OO - l | p ^ Z e> eos fe x
-A4.12-
y al sustituir en la segunda aproximación de (A4-32)
susti tuyendo (A4-37) y (A4-38) e integrando ent re 0 y 1 con respecto a"yff
~ ( T F +/^ ^ ) B Z eos \ f tx Icos \Te x l (A4-39)
y de (A4-33)
d S L ^ - E V Í A O + c*d + ? - L i ) VE B C O S \ Í E X -x ¿z
— E E> S e r > >Tex (A4-40)
y si queremos que el sistema formado por (A4-39) y (A4-40) de soluciones periódicas, según los apéndices 1 y 2 se debe cumplir que
>fe a¿+ b'd = o ; - f i ^ + a ' ^ o donde
luego de la primera ecuación
6 fEa1 + bi= C2.^+í^).\ÍEe>=o =>
- > * = - « Í E 12
es decir que al igual que en el caso A el periodo del ciclo límite varía,y si al no tener en cuenta la elasticidad del medio, este periodo en ti era en segunda aproximación:
-A4.13-
ahora será
en cuanto a la amplitud del ciclo límite la situación que tenía
mos para fluido no compresible, se mantiene puesto que de la se
gunda ecuación, se obtiene:
_ c 2u t.. l , - i\ - 0 ^ E e> kVT=ig^ 4 >
y de aquí
que es la misma ecuación para B que la que obteníamos en (2,1 ó)
para la amplitud media d En este caso pues, pasa algo similar
al caso anterior en el que la amplitud del ciclo límite no se ve
afectada por compresibilidades del liquido pequeñas, aunque si
se modifica su periodo* . ;
Ahora como en el límite u ce i con ^0°^ i , hacernos la expansión
asintótica:
X ^ *£ C 1 4/A2 *i + )
€ - ^Ci-g^ + e ^
Tr po y* pi p* y*3 Pa
(con p0=ip0C>() pues es la distribución de presiones en el con
ducto para régimen estacionario)
Sustituyendo en las ecuaciones (A4-13) a (A4-18) inclusive, y
teniendo en cuenta que /vi y £0> 4 con lo que se puede suponer
que £>0 en este límite:
y & c - ^ ^ - * & ^ - ^ i ^ ) (A4-41)
-A4.14-
i - i -37
• 3 á - f = ^ £+/* £ €0 1 V a 4^ Z ^ ^ + ^ ^r tf^^r2^* + 7 A a ¿ - í
^ i ^ z (A4-42)
^ ^ ^ ' ^ ^ ^ ^ ^ ^ - ^ Z a - ^ ^
~V^ ? ^? j |> V * «i Sil ~/¿ ^ r *1 : (M-43)
~ /^ 3 C^+ ^ . j ^ i j + Ka.C-l-§2-)21) (A4-45)
El valor de p 0 viene dado por
á^e + 3^
1£ aproximación
l ^ ^0 = - K + ¿ ( ( 4 - O 3 - 0
de (A4-41) ^ - = 0 => 3 Í = - 3 I O < V 3 ^ 1 1 = ^ 4 0 = ^ 1
-A4.15-
por lo que de (A4-42)
¿ H i g - ¥ ^ '.. '<*-*> al integrar desde y=0 a y=1
y como de (A4-44) y (A4-45)
Pu = - *i
se deduce
y de (A4-43)
^ = . 2 ( 1 - ^ ) ^ + 2 1 , ^
tomando como solución de este problema (buscamos solo la ampli
tud del ciclo límite)
vjA - fe eos Ve x
^A " ~ K 6 sevo Kx + 2.£c£> eos Kx
i n t eg rando ahora (A4-46) de 0 a ftyff
luego
P i - ^ r 2 ( ( i - f ) y - O k cosk.x + V<v/ B sewVcx
2^ aproximación
de(M-4D | & . =, - * g0 á&»
al integrar entre 0 e "y"
^=- ^zo+ *§o C « + ^ 0 - * S O 3 . (A4-47)
coví K = "2-Ci-3§^)
•A4.16-
de (A4-42)
sustituyendo (A4-47) e integrando de 0 a 1 con respecto a "y":
de (A4-44) y (A4-45)
P*o- -y Yzo x +"z^ u¿*'T)
PZI= ~ ^ + % Ci-^o^2" 2L
obteniéndose
• d^2_
y de (A4-43)
con lo que al tener en cuenta (A4-47) queda
,1 *
-A4.17-
Sustituyendo ¿ y 2.4 por su valor se tiene como solución par
ticular de este sistema de* ecuaciones a:
y * o ^ Ao + A 2. s e n 2-VCx + B T . eos Z K x
*ZZ ~ A'o^"" A ¿ s e n Z k x -4- V i n c o s 2.Wx
donde (por el apéndice 2)
+ ^ SÍ- f Ci-s?)l+2 i ^ Si [^ dy)
A*"~ 3WC1-ÍÍ1) B ' * 6Cl-fí)C¿-3gn
3- aproximación
de (A4-41)
sustituyendo p y p0 por su valor e integrando entre 0 § "y"
obtenemos
*>* i/3o~ í C- C¿ + «O + T Ci-3CoZ) 3* + 3£ * ) B eoskv-
- y^SoC2-:/- - ^ Z)& se. Kx (A4-48)
de (A4-42)
-A4.18-
sustituyendo la expresiones obtenidas en (A4-48) y (A4-47) e integrando entre 0 y 1 con respecto a "y11:
á
4" C^i - o ) + P31 - Pao - «a. C po, p„ - ?oo PÍO') =
y por lo tanto al agrupar términos (^y Pao se obtienen de (A4-44)
y (A4-45))
(A4-49) y de (A4-43) se obtiene
-A4.19-
al utilizar (A4-48) y sustituir p A / p 0 / Nf20/£¿ t y± /"^j por sus expresiones queda:
(M-50)
Las ecuaciones (A4-49) y (A4-50) constituyen un sistema de dos
ecuaciones diferenciales en las incógnitas y3oO>0 y "2-3Cx) , ya
que se puede sustituir ^ \j 1 x e ^ Í O por sus expresiones en
función de x, además para que no aparezcan términos seculares en
la solución de este sistema, según los apéndices 1 y 2 se debe cum
plir: - 2 . § o b ¿ 4 V C a * * W¿ = 0
- zgoax-^bi + a'^o siendo
a-i» ¿ T ^ B 3 - ^ C1-3.SJ)** (*-£)**£.* B^+x, B+
+ K y ( /< R+ ROdj - Í C ' ~ | g ° % ^ + ^ ) B
A ~ ¿ 5 0 * Jo
+ — _ ^o + — _ ^ — £o j ^
- A 4 . 2 0 -
1 (i-agíKi-S.1) i - s í " ^ Ü-ss^f1 ( i-SÍ)4* Bl-+ ^ f g C"( i -£)U-a£) K£ -
U-So)U-5S?)+i-C 1-3 ' | ) U"^>-i-í j iegj1 í-iídy +<x
de donde resulta
- Be 1 ( i f f | ° , ) + 2K>Í1B+ i fA iS=0 1 ~ So
« i - a í . ' ) ^ ) 6 ^ 1 ° (i-í.) B-y.geiB-
'CM-so
^ Cí-3^)"H¿-^B^yA,B = o
hiendo
A * = l ^ i ; (a CCi-56.1)- ^ ü £ ) ) / L J + a a - ^ ) C 3 - u $ ) -
. De la segunda de las ecuaciones se objtiene la amplitud del ci
clo límite, que será la solución de la ecuación:
2 U-3 Sí) U-SÍ) 3Tr
A"" So
-A4.21-
lo que dará como soluciones
.?*.. -»XV¿
y de la primera ecuación se obtiene:
Al comparar estos resultados con los obtenidos sin tener en
cuenta los efectos elásticos, se ve que como en los casos an
teriores queda afectado el periodo del ciclo límite al introdu
cir la elasticidad del fluido y los materiales, pero en este ca
so además se produce una modificación en la amplitud del ciclo
límite para cada valor de e¿ ~ (6-iO^So))/^ que se puede re
sumir a la vista de la figura 3#1 en un desplazamiento de las
parábolas dibujadas, a la izquierda c a la derecha según sea
J\2<0 o A¿>0 • En realidad sirven las mismas curvas sin mas que
poner la cantidad 6¿ ~ ft A 2 ÍLLÍE en vez del valor Q,x .
Como resumen se puede decir que en todos los casos se ve a—
fectado el periodo de los ciclos límites, con respecto a los
valores hallados sin tener en cuenta efectos elásticos, no ocu
rre así con las amplitudes de los ciclos límites, ya que estas
para valores iguales de los parámetros permanecen inalteradas,
incluso en el ultimo caso donde lo que realmente se observa es
un desplazamiento del límite de estabilidad en el plano de los
parámetros {€ ,°->), debido a la elasticidad de los materiales*
-A4.22-
Apéndice 5
Se estudiará aquí, para el límite de potencias pequeñas, un
caso particular del modelo estudiado en el capítulo 5, en el
cual se presentan soluciones periódicas de un tipo distinto al
que se presentaban en los capítulos 2 y 3«
Por simplicidad supondremos en este caso:
b4
^O > > 1
0
£ = & -
h R
0 0
- 0 = o = 0
de manera que » \
c¡¿ K.
Con e l l o de (5 .22 ) obtenemos
"\
y ( A 5 - 1 )
dt tf 2
^ V T Z ^ - Lti-g-z~£)íiMg^¿s-í«&%^M; j
Si suponemos p o t e n c i a s pequeñas / G>0-£><<i y tomamos
L = L ~r- ; v - 1/ a C cov\ L ^ ¿ j V 'v 1 ) , pa ra t iempos muy
pequeños ^ - S ¿ Ccova 2 ^ i ) tenemos:
(A5-2)
- A 5 . 1 -
+ |X U + ?1) ? + | ^ U Í3S + 0 €; (A5-2) C| no c¿ vio
Buscaremos soluciones del tipo
donde las variables \(^ > i. / v¿ ' u¿- dependen del tiempo medido
con tres escalas, asociadas a los tiempos de respuesta del re
gulador, chimenea y amortiguamiento de la chimenea
X - S C i + S Vj + ¿LY¿ + ) ;
X t = . g S U + S * i + — ) (A5-4)
Supondremos además para poder describir las soluciones perió dicas con la teoría de bifurcación, que
|j^-|^<i-fi*-3«6»)+6 v^+S*^ (A5-5)
puesto que la traza del problema, lineal asociado a las dos ul
timas ecuaciones de (A5-2) se hace nula para
Esto obliga a movernos cerca de valares C{<0 ., lo cual no
se da en la realidad, pero la posible bifurcación que aparezca
en este punto puede alcanzar la zona de validez de los parámetros,
aparte de que el método utilizado en este apéndice puede ser se
guido cerca de cualquier otro punto de cambio de estabilidad esté
o no esté dentro de la zona de validez de las ecuaciones.
Tornando entonces (A5-3), (A5-4) y (A5-5) y sustituyendo en
(A5-2) obtenemos
-A5.2-
• > , \ " " " " ' * . \ \
£ t ^ + £(§£+Xi^ 3 x 3 x
•^IMf)-^^ + | % ) 4 S 3 ( ^ + x , ^ i + * a ^ i + 3 * L +
(A5-7)
5 + *?c£* +*. %* 4-^y+ s \ 8 £ + « ^ + * * £ + | | + 3x • w v ©x • "• ex " ©x ' ~ v Sx " "• 9x ' "¿ ex ax
bi t C\*i Zi*tí + | f ^ C S ¿ ^ Vd + S* ^ ^ + $ % V2 )
CiV»o (A5-8)
<9x v 3 x A 3 x 3 / y v 9 x J 8 x 2 8x Sx
- T S3o< C& + V4) V i 2 - 1 ( S ^ + S 3 * * ) - t ( S ^ v/A + fe3 ^ +
+ ^ 2 i V 2 ) (A5-9)
c o n
1S aproximación
De (A5-6) y (A5-7)
8x J y de (A5-8) y (A5-9)
£ > * 7*'. v.2. x7 *
3K t v4
^ - . ^ C x ^ ) * - Z L j ^ i C X , * ) (A5-10)
u, =• ^ - C<3> sevi K x - A eos Vcx)
(A5-11)
- A 5 . 3 -
donde por el apéndice 1 : K ~ * L , „
En esta escala el regulador responde armónicamente , por ha
llarnos cerca del límite de estabilidadf y no se observan cambios
en la chimenea y conducto de alimentación*
2S aproximación
De (A5-6) y (A5-7) con (A5-10)
Bx 3x
8x 39 J
(A5-12)
integrando los dos miembros de las dos ecuaciojnes-dé''(A5~12) entre 0 y ^=^ > y obligando a que yz y " z sean periódicas de
ü ve K periodo 2U * se tiene:
K
c9x vj i - AC*^ Sevn \T£x + B G O cosvfex ( A ^
2.j - - \ f e C "5 se\r> \fex — A e o s ^íex)
y teniéndolo en cuenta en (A5-12)
(A5-H)
- ' i , Cx,m +• §• CB sev>Kx-A cosWx) K
Por otra parte de (A5-8) y (A5-9)
9x 2 Bx 9x
(A5-15.)
y para que tenga soluciones periódicas en x," por el Apéndice 1:
Ka-¿Vvb'^° -i *io ^ - • ¿ t * * a i * ° (A5-16)
-A5.4-
con
a.j - x v< e> - A - v^ A + !§iX B A A
bA ^ - x , K A - é - ^ B + !§¿I ^ B
Si llamamos C e o s ( k x +*f ) - A se.v\ k x + B cosVcx
de (A5-16) se o b t i e n e que s i :
Xi = O /v U a = O \ (A5-17)
en tonces
^ , h o (A5-18)
Con las condiciones (A5-17) se tiene
&! * - Á + |f\ "El A • cité
y las ecuaciones (A5-16)
¿ - - ¿ § ^ A + T * S
Con ello las ecuaciones (A5-15) tienen las soluciones
-A5.5-
Vz - 2.J. 4- A i Sen Wx 4- SJL eos Wx
U z - t v ? ^ + X ( & s e n Vcx - A i c o s k ^ ) + U5-19)
Donde A¿ y Bj estarán determinados por las condiciones iniciales o condiciones de periodicidad en aproximaciones sucesivas.
3- aproximación
De (A5-6) y (A5-7)
Integrando entre 0 y =~r y obligando a que "B e ^3 sean pe, riódicas y de periodo 23$ f queda:
-•S (A5-20)
y de la sección 2 del capítulo 2 ( 2.5) tenemos que si X^-Q entonces P - ¿te y que
4JJ ^ £J3 _ c • J-Cc) (A5-21)
con
í c c ) = ' ' - * — o s - g f +3n.C2 + é i ) V E ^ G>'1
C £ l
donde
Y de (A5-8) y (A5-9) .
- A 5 . 6 -
9 x QhjC" 3 z 9x 3"? 8x
l i íá . =. T v3 - ^ ?Üi _ Sii? - i H i - t Ci +ioO Vi -toe C a-kv/W?--o x 9x Q* 9><
Al imponer condiciones necesarias y suficientes para la exis
tencia de soluciones periódicas en estas ecuaciones, teniendo
en cuenta (A5-10), (A5-11), (A5-14), (A5-15) y el Apéndice 1:
4^4A + ¿+2>cx .+ f¡-ot Cz+ £z) B 0
(El punto sobre la letra significa -r r y el apostrofo -—=~ )
Combinando adecuadamente las anteriores ecuaciones y teniendo en cuenta las obtenidas en (A5-16) junto con (A5-17):
dCM^) __ fe tAAi + B B 0 _¿ d_^> +
Sabiendo que * _
y llamando Q - A A¿ 4 B B¿ queda:
+ f-o<kj; U y e e,tó (A5-22)
teniendo que la solución general de
B i Q + ¿Cx)
£> V f *•» Cri <Ar y / k £ f^U-bJclp i iL f l i r t <Ar
Q - c, c°} e*-J° ' + (/ e IW J° . iCp> d P ) e*!«* 'Ó
Si obligamos a que sea periódica en x y de periodo -j=r (que es el periodo de l^C*) )f entonces se d.ebe cumplir
' fzvr p
/¿> *
Luego para que Q - A A A + B B4 sea periódica en ic y de periodo 2£L , según (A5-22) se debe cumplir
Jo (A5-23)
Y por (A5-13) /^,dx =. j, + efe y si la constante se engloba en U , podremos poner f^tdx ~yi , resultando además
^ . (A5-24)
'* ÍAC>n d x ^ O O í
-A5.8-
Se tiene también que: ,2TT
%, (?) a x - 21T A 0
Y\=-t iendo £ Ao + <¿L ( A * S e n Y\ \ féx + &v\ CoS n ( 6 K )
y por e l Apéndice 1, de la,s ecuac iones (A5-20)
A 0 - - a . D
siendo
— i / 2 T r -= "¿r / ( A- C í + 2 " c o s H í ) | l + C c o s V O dH'
siendo C W Á 2 - M 5 Z "3 M ^ ^ x + H ? >con T^ __-jr
4e donde • = *
| r U + § 0 c r c o S - L . - j ^ V ^ T " n C * d a ° r " >a + Tr v a ' .2 ; ~" c
y
Z5* C o n G £ ¿
¿ L 0 -'O f $ ( ' ? + &V3T-&U*í )*«*£) c>,l
- A
,y por otra parte :
c£ i (A5-25)
^ V f £ Ct e^C^^)ax
= / exp c f e ^ S e y i \ r § ^ + B c o s ^ x ) ) ^ x :
- A 5 . S -
= 4= I e«?(^C eos Y) 4? - ^ fexpC^cos^ dV = Vé CJirto.
_ 2-Tr T / S. Vi
IoC^c) (A5-26)
•Donde
.!««>-£ ¿ / _ eos 9 aé
'es una función modificada de Bessel de orden nulo, que viene re
presentada aproximadamente en la figura (A5-1) ( 1 )
FIGURA (A5-1)
o i <i fe 8 lo 2
•Susti tuyendo (A5-24) , (A5-25) y (A5-26) en (A5-23)
(A5-27)
con
G C c ) ^ ^
— ( l + ~ ) cxrcos-4: cov\ G >s i
do vi C <A
•La de r ivada ele 6 CC^ es
G'CC) - 'C U - | - C ^ ^ - g ^ f )) C J Q V \ OÍ
- A 5 . 1 0 -
y como 2,. a r C 0 s ¿ ¿: i \ / d ^ C < o o TT G
resulta que & (C) es monótona creciente y continua siendo G(o)=0 y Q¿vn GCZ!) -oo
Las ecuaciones (A5-21) y (A5-27) determinan el comportamiento en primera aproximación de la amplitud de ^i / S ; ¿ v " siendo esta primera aproximación
?i =• S 5" eos M*
S = - S 5 í i sen M7
? - - £ U evep (i- |¿£ ^ eos ÑP ) e o s V
Las ecuaciones (A5-21) y (A5-27) forman un sistema autónomo, con las variables dependientes C y "U y variable independiente
Los puntos singulares de ese sistema serían los correspondien tes a valores de G y U constantes, que darían lugar'a soluciones periódicas en el sistema inicial (A5-2).
Así de (A5-21)
^=0 - f._N , (A5-28)
y de (A5-27)
\J - O
^+e TL iit G(c) V (A5-29) ^* =. Z _.jfe cVtá
2(é c\w| - ^ 2 ^
con G^O como loí0^- ¿ y 6 (&} - O ^ la segunda ecuación de (A5-29) queda
~A5.11.
que tendrá solución para \)¿ >^ - é (A5-30)
La ecuación ~ =. 4-CC ) , tiene solución para £>Z como se vio en ( 2.6) • Luego la segunda ecuación de ('A5-29) tendrá solu ción cuando
Podremos distinguir entonces cinco casos:
(A) 0<-&¿ 2. y y ¿ < - £ En este caso tendremos un solo punto singular
(B) 0<fe¿2. y V¿>-£ En este caso habrá dos puntos singulares
/ V 6
(C) e > Z y V) z<-é v
Dos puntos singulares en la zona de validez C > o , U > O e± (2,U)= (o, o)
2 a C^u)-cs:c^o) con K^V-
(D) 6 >2 y - € 5. \)¿ < - é. + ^ Í £ - G C ¿ C ^ ) \fé civil
Tres puntos singulares en la zona de validez C > 0 ; U >0
&i C£, U) - Co, o)
_ / Vj.+ & k
V V& Z!M
(E) € > z y v>z> - é + %S^ S¿£, (S CGCO)
Cuatro puntos singulares en la zona de validez C>0 , U > 0 Ei C^,V^) co, cO
-A5.12-
£2, C 5,U) - Ce: Ce), O) cem j-CCCe^a ¿|
Ve S.KIS
fe^!^) La matriz caracteristica del sistema lineal asociado al pro
blema (A5-21) y (A5-27) cerca de los puntos singulares es:
y los autovalores del sistema son:
Donde los valores que se dan a C y U son los del punto sin
gular en consideración* Por lo que en las diferentes casos tene
mos:
(A) Un solo punto singular que es inestable porque
A x — > 0 .
porque £ < 2. y V^ < • * - £ •
y la solución trivial es inestable porque en el plano ( C , XJ ) es
un punto puerto, con -un autovalor X¿>0 • Bsto significa que do los dos movimientos desacoplados ( G^, 5 ) y ( %¿t ) e^ segundo
-A5.13-
es inestable y el primero estable, en conjunto el problema resul
ta inestable.
(B)
B1 En este caso la solución trivial es un nodo estable por
que
B2 Rodeando a la solución trivial del movimiento (%Z9 ^ ) existe una solución periódica que es inestable porque para ella.:
Lo cual representa un punto puerto en el diagrama de fases del sistema formado (A5-21) y (A5-27)
(C)
01 En este caso la solución trivial es un nodo inestable
puesto que los dos autovalores son negativos
X, €-2, ^ 0 porque G > 2.
02 Rodeando a la solución trivial del movimiento (%[9 S ) existe una solución periódica que es estable pero que aparejada
a la solución trivial del segundo movimiento ( %t, V\ ) que es inejs table, da en conjunto "una solución inestable, puesto que
Ai -— £ ¿* C4CC)) ^ Q p 0 r x a s características de ^CQ) d c
(D)
D1 La solución trivial es un punto puerto porque la solu-
-A5.14-
ción nula del movimiento (C y ) se hace estable, en conjunto
la solución es inestable:
X, . €¿2= >o
D2 Es inestable porque:
D3 Es una solución que es nodo inestable porque
La situación es entonces una solución trivial inestable rodea
da de una solución periódica estable (D2) asociadas al primer mo
vimiento (£¡(, "S ) Y 'una solución trivial en el segundo movimiento
(ÉJ^, V\ ) que es estable y está rodeada de una solución periódica
inestable cuando está asociada a la solución trivial inestable del
primer movimiento y es inestable y única cuando está asociada a la
solución periódica del primer movimiento• En conjunto esta situa
ción parametrica da lugar a una solución inestable*
(E)
E1 Solución nula inestable
*• ~ szr>°
aunque sea estable en el segundo movimiento (%l9 ^ )
E2 Solución estable, porque:
-A5.15-
E¡3 Solución ine s t ab l e
1L >,- ^ >o
X, * v^+fcXD '2.
E4 Solución inestable
dlci
V e c'.Kb
Las soluciones en el primer movimiento (^» ^ ) son dos, la
trivial que es inestable y la periódica que la rodea que es es
table, y ambas pueden estar asociadas a las dos del segundo mo
vimiento ( ¿, Vn ) la trivial que es estable y las periódicas que
son inestables.
Las dos únicas soluciones estables se dan para (B) con G <Z
y ^ i > - £ » 7 Para (E) con €>2L y
En el primer ca,so tal solución es la trivial que además para el
segundo movimiento (C?. >"^ ) está rodead-a de una solución perió
dica inestable, dando una zona de estabilidad alrededor de la
solución estable• En el segundo caso tal solución es una no nu
la, compuesta por una periódica que rodea la trivial inestable
del primer movimiento (4\i S ) y por la-trivial estable del se
gundo movimiento ( , V\ ) que está rodeada a su vez por una pe
riódica inestable, que delimita una zona-de estabilidad alrededor
de la solución nula. Conviene hacer notar además que la bifurca
ción en el segundo movimiento ( ¿, v\ ) se produce hacia las V¿
crecientes, que es zona de estabilidad de la solución nula, luego
-A5.16-
si la bifurcación siguiese en este sentido podría, alcanzar la zo
na de las C¿ positivas delimitando una zona de estabilidad al
rededor de la solución nula que es esta.ble para estos valores de
^ i .
En la figura A5-1 está representado el plano de los parámetros
(é,^2), con las zonas delimitadas en los párrafos anteriores para
-un valor determinado de ——*> •
-A5.17-
4. H
2 H
- Z H
- 1 -J
FIGURA (A5.1)
t.>. M
B I B L I O G R A F Í A
(1) Abramowitz M.; Stegun I. A* "Handbook of Mathematical
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