Trabajo Investigativo Nombre: Lider Eduardo Pilligua Menndez. Curso: NBU. Paralelo: C. Tema: Todas las identidades y funciones
trigonomtricas . N de lista: 30.
Funciones trigonomtricas Funcin Seno Funcin coseno
Funcin cosecante Funcin secante
Funcin tangente
Funcin cotangente
Funcin Seno El seno de un ngulo es la relacin entre la
longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
Funcin Seno
Funcin coseno El coseno de un ngulo es la relacin entre la
longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
Funcin tangente La tangente de un ngulo es la relacin entre la
longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
Funcin cotangente La cotangente de un ngulo es la relacin entre
la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
Funcin secante La secante de un ngulo es la relacin entre la
longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
Funcin cosecante La cosecante de un ngulo es la relacin entre
la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
Funciones trigonomtricas inversas Funcin seno inverso
Funcin coseno inverso Funcin tangente inversa Funcin cotangente inversa
Funcin secante inversa Funcin cosecante inversa
Identidades trigonomtrica
Identidades Pitagricas
1 Sen x = Cos x Sen x = 1 Cos x
a
a =
a+
c
a
a
b
Csc x = Ctg + 1 Csc x - Ctg = 1 Ctg x = Csc - 1
b
b
b
_ c ( _ )= 1+ ( a ) bb b b
Sec x =1+T x agSec x - Tag x = 1
T x =Sec x - 1 ag
Identidades Reciprocas Se llama as todo debido a que por
definicin, al intercambiar los trminos del cociente de la relacin trigonomtrica se obtiene estas.
Procedimiento de la Identidades Recprocas=1 =1
=1
Identidades Recprocas
Identidades por cociente Las identidades trigonomtricas por
cociente que se utiliza en la resolucin de problemas de trigonometra son :
Identidad Par Propiedad N1 Para todo funcin F(x) , la funcin de G(x) defina por : G(x) = F(x) +F(-x) Una funcin es par si :
f (x) = f (-x)
Esta es la funcin que se debe comprobar
Demostracin
Cos(+-x)+Cos(--x)=Cos(++x)+Cos(+-x) Cos(-x)+Cos(x)=Cos(x)+Cos(-x)
Sec(+-x)+Sec(--x)=Sec(++x)+Sec(+-x) Sec(-x)+Sec(x)=Sec(x)+Sec(-x)
Es Par
Es Par
Identidad Impar Para toda funcin F(x), la funcin de H(x) definida por :
H (x) = F(x) F (-x) Una funcin es impar si : F (x) = - F (-x)Esta es la funcin que se debe comprobar
Demostracin
Sen(-+x) Sen(--x) = -( Sen(x) Sen(-x)) Sen(-x) Sen(x) = - Sen(x) + Sen(-x)
Tan(-+x) Tan(--x) = -( Tan(x) Tan(-x)) Tan(-x) Tan(x) = - Tan (x) + Tan(-x)
Csc(-+x) Csc(--x) = -( Csc(x) Csc(-x)) Csc(-x) Csc(x) = - Csc(x) + Csc(-x) Todos son Impar
Cot(-+x) Cot(--x) = -( Cot(x) Cot(-x)) Cot(-x) Cot(x) = - Cot (x) + Cot(-x)
El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares, el coseno y la secante son funciones pares.
Identidades pares e impares
Se cumple f(x)=f(-x)
Se cumple f(-x) = - f(x)
Identidades de suma y diferencia de ngulos
Este tipo de identidades muestra una suma o una adicin para un ngulo; la idea es poder expresar un ngulo cualquiera en funcin de un suma o una resta ; adems este tipo de identidades generaliza la teora de las identidades trigonomtricas de la siguiente forma:
Tabla para determinar los ngulos notables
Frmulas de suma y diferencia de ngulos
Identidades de ngulo doble Cuando en la suma o diferencia de
ngulo, si a=b entonces se obtienen los que llamamos ngulos doble que son herramienta en el anlisis del movimiento curvilnea.
Formula de ngulo doble
Formula de ngulo Triple
Formula de ngulo medio
Identidades de producto a suma Puede probarse usando el teorema de la suma para
expandir los segundos miembros.
Demostracin: A partir de :
Identidades de suma a producto Reemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a b) / 2 en las
identidades de producto a suma, se tiene:
Demostracin:
Eliminar seno y coseno A veces es necesario transformar funciones de seno y
coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.
Ejercicios de identidades trigonomtricas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13) Ctg x Sen x = Cos x
Cos x/Sen x * Sen x = Cos x Cos x = Cos x 14) Tang z * Cos z * Csc z = 1 Sen z/Cos z * Cos z * 1/Sen z = 1 1=1 15) Tang x * Cot x = 1 Sen x/Cos x * Cos x/Sen x = 1 1=1
16)Cos x * Cosc x = Cotg x
Cos x * 1/Sen = Cotg x Cos/Sen = Cotg x Cotg = Cotg 17) 1+tang x/1+Cot x = Sen x/Cos x 1+Sen x /Cos x /1+Cos x/Sen x = Sen x/Cos x Cos x + Sen x /Cos x /Sen x + Cos x /Cos x = Sen x/Cos 18) Tang x + Cotg x = Sec x Cosec x Sen x / Cos x + Cos x / Sen x = Sec x * Cosec x Sen x + Cos x / Cos x * Sec x = Sec * Cosec x 1/Cos x * Sec x = Sec x * Cosec x Sec x * Cosec x = Sec x * Cosec x
19) Cosx Sen x = 1 - 2 Sen x
1 Sen x Sen x = 1 2 Sen x 1 2 Sen x = 1 2 Sen x 20) Cos x Sen x = 2Cosx 1
Cos x (1 Cos x ) = 2 Cos x 1 Cos x 1 + Cos x = 2 Cos x 1 2 Cos x 1 = 2 Cos x 1 21) ( 1 + Cotg x ) * Sen x = 1 Cosc x * Sen x = 1 1/Sen x * Sen x = 1 1=1
22) ( Cosc x 1 ) Sen x = Cosx
Cotg x * Sen x = Cos x Cos x/ Sen x * Sen x = Cos x Cosx = Cos x 23) Sec x + Cosc x = Sec x * Cosc x 1/Cos x + 1/Sen x = Sec x * Cosc x Senx+ Cos x/Cos x + Sen x = Sec x * Cosc x 1/Cos x * Sen x = Sec x * Cosc x Sec x * Cosc x = Sec x * Cosc x
24) Cos4 x Sen4 x + 1 = 2 Cos x
(Cos x + Sen x ) ( Cos x Sen x ) + 1 = 2 Cos x Cos x Sen x + 1 = 2 Cos x Cosx ( 1 Cos x ) + 1 = 2 Cos x Cos x 1 + Cos x + 1 = 2 Cosx 2 Cos x = 2 Cos x 25)( Sen x + Cos x ) + ( Sen x Cos x) = 2Sen x +2Sen x * Cos x + Cos x + Sen x 2Sen x * Cos x + Cos x = 2 1+1=2 2=2
26) Cosc x / 1 + Tang x = Cotg x
Cosc x/Sec = Cotg x 1/Sen x / 1/Cos x = Cotg x Cos x/Sen x = Cotg x Cotg x = Cotg x27) Tang x Sen x = Tang x * Sen x Sen x/Cos x Sen x = Sen x Sen x/Cos x Sen x/Cos x Sen x = Tang x Sen x Sen x/Cos x Sen x = Sen x/Cos x Sen x
28) Sen x + Cos x/ Sen x = 1 + 1/Tang x
Sen x + Cos x/ Sen x = 1 + Cotg x Sen x + Cos x/ Sen x = 1 + Cos x/Sen x Sen x + Cos x/ Sen x = Sen x + Cos x/ Sen x
29) 1-Sen x/Cos x = Cos x/1 + Sen x ( 1 Sen x) ( 1 + Sen x ) = Cos x * Sen x 1 Sen x = Cos x Cos x = Cos x
30) Sec x ( 1 Sen x ) = Cos x
1/Cos x (Cos x ) = Cos x Cos x = Cos x 31) Sen x ( 1 + Cot x) = 1 Sen x ( Csc x ) = 1 Sen x (1/Sen x ) = 1 1=1 32) ( Sen x 1 ) ( Sec x + 1 ) = Tang x Sec x 1 = Tang x 1 + Tang x 1 = Tang x Tang x = Tang x
33) Tan x/Cot x = 1/Cos x - 1
Sen x/Cos x/Cos x/ Sen x = 1/Cos x - 1 Sen x/Cos x = 1/Cos x - 1 1 Cos x/ Cos x = 1/Cos x - 1 1/Cos x Cos x/ Cos x = 1/Cos x - 1 1/Cos x - 1 = 1/Cos x - 1 34) Sen x( Cos x- Sen x) = Cos x Sen x( 1/Sen x Sen x) = Cos x Sen x( 1 Sen x / Sen x) = Cos x Sen x * Cos x/ Sen x = Cos x Cos x = Cos x
35) Sen x/Csc x + Cos x/Sec x = 1
Sen x/1/Sen x + Cos x/1/Cos x = 1 Sen x+ Cos x = 1 1 = 1
Referencias de consulta
http://www.scribd.com/doc/95037/Trigonometria http://www.vitutor.com/fun/2/c_15.html http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_3.html http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica http://www.google.com.ec/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&ved=0CGkQFjAH&url=htt p%3A%2F%2Fdcb.fi-c.unam.mx%2Fusers%2Fgustavorb%2FCalculoDiferencial%2FCDA2.p http://es.scribd.com/doc/91815/TRIGONOMETRIA http://www.youtube.com/watch?v=zuAQgCmo8vs http://www.fic.umich.mx/~lcastro/identidades%20trigonometricas.pdf http://www.luiszegarra.cl/moodle/pluginfile.php/143/mod_resource/content/1/cap3.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas