5/20/2018 Trabajo Domiciliario de An lisis Matem tico II
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERA
ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA GEOLGICA
TRABAJO DOMICILIARIO DE ANL ISIS MATEMTICO II
Grupo A
Tema: A PLICACIONES GEMTRICAS Y MECNICAS DE LA INTEGRA L DE
RIEMANN ASISTIDAS POR COMPUTADORA.
DOCENTE : ING. HORACIO URTEAGA BECERRA
ALUMNO : LOZANO LAMADRID, Luis Gonzalo.
AO : Segundo
CICLO : Tercero
Cajamarca, 01 de mayo de 2012
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TRABAJO DOMICILIARIO DE ANLISIS MATEMTICO II
Grupo A
Tema: A PLICACIONES GEMTRICAS Y MECNICAS DE LA INTEGRA L DE
RIEMANN ASISTIDAS POR COMPUTADORA.
Problema.-dada la regin R limitada por las funciones y = g(x) y = h(x) las rectasx = a, x = b:
En la curva C1: y1= h(x)
y = h(x) =2ax bx c ; siendo a
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2.5
6.25
q
q 4p
2
2(2.5)
5
b q
b
b
( )
6.25 4
2.25
c q p
c
c
Por la que la ecuacin C1quedara:
2( ) 5 2.25y h x x x
En la curva C2: y2= g(x)
y = g(x) =2ax bx c ; siendo 0a , para que la curva se abra hacia arriba
Asumimos que:
1 ( , ) (2,1.5)a v h k
2( )y g x x bx c
Hacemos que: c = m + n2( )y g x x bx c
2( ) ( )y g x x bx m n
2y n x bx m
2( ) ( )y n x m =
2 22x mx m
Por polinomios idnticos:2 2 22x bn m x mx m
2b m
Luego:2( ) ( )
( , )
(2,1.5) ( , )
y n x m
v h k
m n
2
2
4
m
m
m
1.5n
2
2( 2)
4
b m
b
b
4 1.5
5.5
c m n
c
c
Por lo que la ecuacin C2quedara:
2( ) 4 5.5y g x x x
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DETERMINAR:
1) El rea de la regin plana R.
1
1
1
( ) ( ) .
( )
( ) ( ) ( ) .
( ) lim ( ) ( ) .
( ) ( ) ( )
i i i i
n
i
i
n
i i i
i
n
i i ix
i
b
a
A h g x
A R A
A R h g x
A R h g x
A R h x g x dx
Tomamos valores aproximados para a y b, siendo a = 1.5 y b = 3:
3
2 2
1.5
3
2
1.5
33 2
1.5
( ) 5 2.25 ( 4 5.5)
( ) 2 9 7.75
2 9( ) 7.75
3 2
A R x x x x dx
A R x x dx
x xA R x
( ) 3A R 2
u
2) Las integrales para determinar el permetro de la regin R. De ser integrables,resolverlas.
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1 2 12 43Permetro S S
2
1
2
1
3 22
11.5
3 2
11.5
32
11.5
32
11.5
1 '( )
1 '( )
1 ( 5 2, 25) '
1 2 5
4 20 26
2 2 10 13
dS h x dx
S h x dx
S x x dx
S x dx
S x x dx
S x x dx
2
2
2
2
3 22
21.5
3 2
21.5
32
21.5
1 '( )
1 '( )
1 ( 4 5.5) '
1 2 4
4 16 17
dS g x dx
S g x dx
S x x dx
S x dx
S x x dx
Recta 12
Punto 1: ,i if si 1.5i ,
21.5 5 1.5 2.25
3
i
i
f
f
Punto 2: ,i if si 1.5i ,
2( ) 1.5 4 1.5 5.5
( ) 1.75
i
i
f
f
Entonces 12 = 31.75 = 1.25
Recta 43
Punto 4: ,i if si 3i ,
23 5 3 2.25
3.75
i
i
f
f
Punto 3: ,i i
f si 3i
,
23 4 3 5.5
2.5
i
i
f
f
Entonces 43 3.75 2.5 1.25
Por lo tanto:
Permetro =3
2
1.52 2 10 13x x dx +
32
1.54 16 17x x dx + 1.25 +1.25
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Permetro =3
2
1.52 2 10 13x x dx +
32
1.54 16 17x x dx + 2.5
Permetro =29.7 2.052 2.5i u = 9.7i + 2.25
3) Las integrales que indiquen el rea lateral de las superficies de revolucin
generadas, cuando la regin R rota alrededor de: el eje x, el eje y, las rectasx c y d . De ser integrables, resolverlas.
Alrededor d el eje x
1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )A S A S A S A S A S
- Hallando A(S1)
1
1
2
2 .......(1)b
a
dA S h x dS
A S h x dS
21 'dS h x dx
2'
21 5 2.25dS x x dx
21 2 5dS x dx
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7/1
24 20 26 .......2dS x x dx
Reemplazamos 2 en 1
32 2
11.5
32 2
11.5
2 5 2.25 4 20 26
2 2 5 2.25 2 10 13
A S x x x x dx
A S x x x x dx
- Hallando A(S2)
2
2
2 ( )
2 ( ) .........1b
a
dA S g x dS
A S g x dS
Hallando dS
2
2'
2
2
2
1 '( )
1 4 5.5
1 2 4
4 16 17 ...........2
dS g x dx
dS x x dx
dS x dx
dS x x dx
Reemplazamos 2 en 1
32 2
2 1.52 4 5 4 16 17AS x x x x dx
- Hallando A(S3)
2
3 1 2
2
3
2
3
( ) 2
( ) 2 3 1.75 2 1.5625
( ) 3.125 9.81
A S r r
A S
A S u
- Hallando A(S4)
2
4 1 2
2
4
2
4
( ) 2
( ) 2 3.75 2.5 2 1.5625
( ) 3.125 9.81
A S R R
A S
A S u
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8/18
32 2
1.52 2 5 2.25 2 10 13A S x x x x dx
32 2 2
1.52 4 5 4 16 17 19.62x x x x dx u
2
2
2 2 (27,87) 2 (3.738) 19.62
290.75
A S u
A S u
Alrededor d el eje y
1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )A S A S A S A S A S
- Hallando A(S1)
1
( )
1( )
( ) 2 ( )
( ) 2 ( )h b
h a
dA S h x dS
A S h x dS. (1)
Hallando dS
2'
2'
2
2
2
1
1 5 2.25
1 2 5
4 20 26 ........(2)
dS h x dx
dS x x dx
dS x dx
dS x x dx
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9/18
Reemplazando (2) en (1)
3.752 2
13
2 5 2.25 4 20 26A S x x x x dx
- Hallando A(S2)
2
( )
2( )
2 ( )
2 ( ) .........(1)g b
g a
dA S g x dS
A S g x dS
Hallando dS
2'
2'
2
2
2
1
1 4 5.5
1 2 4
4 16 17 .........(2)
dS g x dx
dS x x dx
dS x dx
dS x x dx
Remplazando (2) en (1)
2.52 2
21.75
2 4 5.5 4 16 17A S x x x x dx
- Hallando A(S3)
3
2
3
2
2 1.5 1.25 11.78
A S rh
A S u
- Hallando A(S4)
4
2
4
2
2 3 1.25 23.56
A S rh
A S u
3.752 2
32 5 2.25 4 20 26A S x x x x dx
2.52 2 2
1.752 4 5.5 4 16 17 35.34x x x x dx u
2
2
2 (14.63) 2 (1.309) 35.34
135.48
A S u
A S u
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10/
Alr ededor de la recta x = c = 5
1 2 3 4A S A S A S A S A S
- Hallando A(S1)
1
( )
1( )
2
2h a
h b
dA S rdS
A S rdS
Hallando dS
2
1 'dS h x dx
2'
21 5 2.25dS x x dx
21 2 5dS x dx
24 20 26 .......2dS x x dx
Reemplazamos 2 en 1
3.752 2
13
3.752 2
13
2 5 5 2.25 4 20 26
2 5 7.25 4 20 26
A S x x x x dx
A S x x x x dx
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11/
- Hallando A(S2)
2
( )
2( )
2
2 ........(1)g a
g b
dA S Rg x dx
A S Rg x dx
Hallando dx
2'
2'
2
2
2
1
1 4 5.5
1 2 4
4 16 17 .........(2)
dS g x dx
dS x x dx
dS x dx
dS x x dx
Reemplanzando 2 en 1
3.752 2
23
3.752 2
23
2 5 4 5.5 4 16 17
( ) 2 4 0.5 4 16 17
A S x x x x dx
A S x x x x dx
- Hallando A(S3)
3
2
3
2
2 2 1.25 15.7
A S rh
A S u
- Hallando A(S4)
4
2
4
2
2 3.5 1.25 27.48
A S rh
A S u
3.752 2
32 5 7.25 4 20 26A S x x x x dx
2.52 2 2
1.75
2 4 0.5 4 16 17 43.18x x x x dx u
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12/
Alr ededor de la recta y = d = 6
1 2 3 4A S A S A S A S A S
- Hallando A(S1)
1
1
1
2
2 6 ( )
2 6 ( ) .........(1)b
a
dA S rdS
A S h x dS
A S h x dS
Hallando dS
2'
2'
2
2
2
1 6
1 5 8.25
1 2 5
4 20 26 ..........(2)
dS h x dx
dS x x dx
dS X dx
dS x x dx
Reemplazando 2 en 1
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13/
32 2
11.5
32 2
11.5
2 6 5 2.25 4 20 26
2 5 8.25 4 20 26
A S x x x x dx
A S x x x x dx
- Hallando A(S2)
2
2
2
2
2 6
2 6 .........(1)b
a
dA S RdS
dA S g x dS
A S g x dS
Hallando dS
2'
2'
2
2
2
1 6
1 4 0.5
1 2 4
4 16 17 ...........(2)
d S g x dx
d S x x dx
d S x dx
d S x x dx
Reemplazamos 2 en 1
32 2
21.5
3 2 22
1.5
2 6 4 5.5 4 16 17
2 4 0.5 4 16 17
A S x x x x dx
A S x x x x dx
- Hallando A(S3)
2
3
2
3
2
3
2 6 1.75 6 3
2 1.5625
9.81
A S
A S u
A S u
- Hallando A(S4)
2
4
2
4
2
4
2 6 2.5 6 3.75
2 1.5625
9.81
A S
A S u
A S u
32 2
1.52 5 8.25 4 20 26A S x x x x dx
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14/
3
2 2 2
1.52 4 0.5 4 16 17 19.62x x x x dx u
4) El volumen del solido en revolucin generado cuando la regin R rota alrededordel eje x.
2 2
2 2
1
2 2
1
2 2
3 2 22 2
1.5
4 2 3 2 4 2
lim
5 2.25 4 5.5
25 5.0625 10 4.5 22.5 16 30.25 8
i i i i
n
i i i
i
n
i i in
i
b
a
V h g u
V h g u
V h g u
V h u g u du
V x x x x dx
V x x x x x x x x
33 2
1.5
33 2
1.5
34 3 2
1.5
3
4 44
2 2.5 21.5 25.1875
2 2.5 21.525.1875
4 3 2
16.5
x x d
V x x x dx
x x xV x
V u351.83V u
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15/
5) El volumen del slido en revolucin generado cuando la regin R rota alrededor deleje y.
1
1
3
1.5
32 2
1.5
32
1.5
33 2
1.5
4 3
2
2
lim 2
2
2 5 2.25 4 5.5
2 2 9 7.75
2 2 9 7.75
2 9 7.7524 3
i i i i i
n
i i i i
i
n
i i i in
i
V h g u
V h g u
V h g u
V h x g x dx
V x x x x x dx
V x x x dx
V x x x dx
x x xV
32
1.5
3
2
2 6.75 13.5V u
342.41V u
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16/
6) El volumen del solido en revolucin generado cuando la regin R rota alrededor de larecta x c .
1
1
32 2
1.5
32
1.5
32 3 2
1.5
2
2
lim 2
2
2 5 5 2.25 4 5.5
2 5 2 9 7.75
2 10 45 38.75 2 9 7.75
2 2
i i i i
n
i i i
i
n
i i in
i
b
a
V r h g u
V r h g u
V r h g u
V r h x g x dx
V x x x x x dx
V x x x dx
V x x x x x dx
V3
3 2
1.5
34 3 2
1.5
3
3
19 52.75 38.75
2 19 52.752 38.75
4 3 2
2 8.25 16.5
51.83
x x x dx
x x xV x
V u
V u
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17/
7) El volumen del solido en revolucin generado cuando la regin R rota alrededor de larecta y d .
2 2
2 2
1
2 2
1
2 232 2
1.5
3 2 22 2
1.5
4 2 3 2
6 6
6 6
lim 6 6
6 4 5.5 6 5 2.25
4 0.5 5 8.25
16 0.25 8 4
i
n
i
n
ni
V g x h x dx
V g x h x dx
V g x h x dx
V x x x x dx
V x x x x dx
V x x x x x3
4 2 3 2
1.5
33 2
1.5
25 68.0625 10 16.5 81.5
2 26.5 85.5 67.8125
x x x x x dx
V x x x dx
5/20/2018 Trabajo Domiciliario de An lisis Matem tico II
18/1
34 3 2
1.5
3
3
2 26.5 85.567.8125
4 3 2
16.665
52.35
x x xV x
V u
V u
8) Si uno de los slidos se llena de agua, hallar el trabajo para bombear toda el aguahasta una altura H sobre una superficie libre. Adems si este depsito tiene un orificio
circular de rea a0, ubicado en al parte mas baja, el mismo que se abre con el tiempo
t0 = 0; determinar el tiempo real de descarga de toda el agua. Considerar como
coeficiente de descarga Cd= 0.80 .
9) Con ayuda del AutoCAD 2D verificar el rea de la regin plana y determinar elperiodo de la misma.
10) Con ayuda del AutoCAD 3D hallar el volumen los cuatro slidos de revolucingenerados y compruebe con los clculos aplicando la integral de Riemann.