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4. Solucin de ecuaciones diferenciales en forma de series depotencia.
En las aplicaciones se observa que las ecuaciones diferenciales lineales de
orden superior de coecientes variables son tan importantes como las
ecuaciones de coecientes constantes y hasta este momento solo hemos
resuelto las de este tipo con excepcin de las ecuaciones de Euler-Cauchy.
ero como se comento en la unidad pasada una ecuacin lineal sencilla de
se!undo orden con coecientes variables" como y +xy=0, no tiene soluciones
elementales. odemos encontrar dos soluciones linealmente independientes de
esta ecuacin pero" se!#n veremos en esta seccin dichas soluciones estn
representadas por series innitas.
Repaso de Series de Potencia.
Denicin. $na serie de potencias en %x-a& es una serie innita de la forma'
C0+C1 (xa )+C2 (xa )2+=
n=0
Cn(xa )n
(al serie se denomina Serie de otencia centrada en a . or e)emplo la serie
de potencia n=0
(x+1 )n est centrada en a=1. En lo sucesivo nos
ocuparemos de series de potencias en x" esto es" centradas en a=0. or
e)emplo" n=0
2nx
n
es una serie de potencias enx.
* continuacin se dan al!unas deniciones que el lector debe conocer cuando
se requiere resolver ecuaciones diferenciales con este m+todo.
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Convergencia. $na serie de potencias" n=0
Cn(xa )n
es conver!ente en un
valor dexsi su sucesin de sumas parciales {SN(x )} converge" esto es" si
existe el
lim N n=0
N
Cn (xa )n.
limN
SN(x )=
Si el l,mite no existe enx" se dice que la serie diverge.
Intervalo de convergencia. (oda serie de potencia tiene un intervalo de
conver!encia. El intervalo de conver!encia es el con)unto de n#meros reales xpara los cuales conver!e la serie.
Radio de convergencia. (oda serie de potencia tiene un radio de
conver!encia . Si /" una serie de potencia n=0
Cn(xa )n
conver!e para
|xa|R . Si la serie solo conver!e en su centro
a , entonces 0/. Si conver!e para toda x" entonces 01. ecuerde que
|xa|
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Prueba de la razn. Con frecuencia se puede determinar la conver!encia de
una serie de potencias n=0
Cn(xa )n
con la prueba de la ra3n. Supon!amos
queCn 0 para todo n" y que
limn |Cn+1 (xa )
n+1
Cn(xa )n |=|xa|limn|Cn+1Cn |=L
Si 4 5 6" la serie conver!e en forma absoluta" si 4 6" la serie diver!e" y si 4 0
6 la prueba de la ra3n no es concluyente. or e)emplo" para la serie de
potencias n=1
(x3 )n
2n n " la prueba de la ra3n es
limn |
(x3 )n+1
2n+1 (n+1 )
(x3 )n
2nn
|=|x3|limn n+12n =12|x3|;7 la serie conver!e absolutamente para
12|x3|
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x 0 8" la serie n=1
( 1n ) es la serie armnica diver!ente. El intervalo de
conver!encia de la serie es [1,5 ) y el radio de conver!encia es 0 9.
Una serie de potencias dene una funcin. $na serie de potencias dene
una funcin f%x&0 n=0
Cn(xa )n
" cuyo dominio es el intervalo de conver!encia
de la serie. Si el radio de conver!encia es /" f es continua" diferenciable e
inte!rable en el intervalo (aR ,a+R ) . *dems f:%x& e f(x ) dx se pueden
determinar por derivacin o inte!racin t+rmino a t+rmino. 4a conver!encia en
un extremo se puede perder por derivacin" o !anar por inte!racin. Si y0
n=0
Cnxn
es una serie de potencias en x" las dos primeras derivadas son y:0
n=0
n xn1
y y;0 n=0
n (n1)xn2. .
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Propiedad de Identidad. Si la serie n=0
Cn(xa)n1=0, /" para todos
los n#meros en x en el intervalo de conver!encia" entoncesCn=0 para todo
n.
Formas para determinar el Radio de Convergencia:
1)R=
1
limn
|Cn| 2) R=
limn|
Cn
Cn+1|Ejemplo 1 =allar el intervalo de conver!encia absoluta de la serie'
n=1
n2
2n(x1 )
n
Sean Cn=n
2
2n(x1 )
n
y Cn=(n+1)2
2n+1 (x1 )
n+1
Entonces el limn |
(n+1)2
2n+1 (x1 )
n+1
n2
2n(x1 )
n |=L|x1|lim
n 2
n
(n+1)
2
2n+1
n2 0 12 |x1|limn (
n+1)
2
n2 0
1
2|x1|lim
n
n2+2n+1
n2 =
1
2|x1|lim
n
n2
n2+2n
n2+
1
n2=
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1
2|x1|lim
n
1+2
+1
=
1
2|x1|=L
" como la conver!encia es 456
Entonces1
2
|x1|
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l radio de convergencia es la mitad de la longitud del intervalo
abierto de convergencia absoluta.
&ercicios# ncontrar el intervalo de convergencia absoluta para las
siguientes series
1#- n=1
(n+1 )! xn
2#- n=1
x
n
nn
3#- n=0
x
n
n!
"#- n=0
n ! xn
8. =allar el radio de conver!encia de la serie n=1
e
1
nxn+1
@. =allar el intervalo" el con)unto y el radio de conver!encia de las si!uientes
series de otencias.
a& n=1
(1 )n(x5 )n
n3n
b& n=1
n
n+2x
n
c* n=1
x
n
n2+1
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d& n=1
(x+2)n
n2+1
4.+ ,plicacin de Series de -a!lor para resolucin de cuacionesDiferenciales.
*sumamos que no podemos resolver la ecuacin diferencial y =y ,
suponiendo que no estamos familiari3ados con las propiedades de los
exponenciales. *sumiremos que la solucin existe y que posee una expansin
en serie de la forma'
a0+a1x+a2x2
+a3x3
+(1)
Conocida como serie de potencias" sustituimos en la ecuacin y =y
d
dx(a0+a1x+a2x
2+a3x3+ )=a0+a1x+a2x
2+a3x3+
*hora suponiendo que se permite una diferenciacin t+rmino a t+rmino de
series innitas" tenemos'
(a1+2a2x+3a3x2+ax
3)=a0+a1x+a2x
2+a3x3+
uesto que esto es una identidad" entonces
a1=a0
2a2=a1 "
3a3=a2 " a=a3 "
2e donde
a1=a0 " a2=1
2a1=
a0
2 "a3=
1
3a2=
a0
3 2 "
a
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2e esta forma encontramos quea1=a0 " a2=
a0
2 ! "a3=
a0
3 ! "a=
a0
!
" siendo aparente la re!la y sustituyendo estas en la solucin asumida %6&"
tenemos que
70 a0+a1x+a2x2+a3x
3+ entonces 70 a0+a0x+a0
2!x
2+a0
3 !x
3+a0
!x
podemos factori3arA
70 a0(1+x+x
2
2!+
x3
3 !+
x
!) usando la condicin de que y06 cuando x0/" 6
a0 de modo que y0 1+x+x2
2 !+
x3
3 !+
x
! si se est familiari3ado con
las series se podr constatar que la funcin ex=1+
x
1!+
x2
2 !+
x3
3 !+y=ex
Desarrollo de una funcin en serie.Son muchas las funciones que pueden desarrollarse en series de potencias"
para lo cual se emplea la frmula de (aylor'
n=0
f
n (a)(xa)n
n !
2onde fn(a) si!nica la n-+sima derivada de la funcin evaluada en
x=a y a es el valor alrededor del cual se desarrolla la serie. Si a=0,
entonces la serie se llama de Maclaurin.
&emplo + Encontrar la serie de potencias de la funcin'
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y=Lncosx para a=0
Entonces y=Lncosx y (0 )=Lncos(0)=0
y =senxcosx
=tanx y(0 )=t!n(0)=0
y =sec2x y (0 )=sec2 (0 )=1
y =2 sec2xtanx y (0 )=2 sec2(0) t!n(0)=0
yIV=2secx sec2x t!n2x yIV (0 )=2
yV=1" secxtanx# sec2x t!n3x yV (0 )=0
yVI=1" sec"x" secx t!n2x1" sec2x t!nx2 secx t!n2x yVI(0 )=1" " etcA
Entonces' ncosx=0x
0
0!+
0x1
1 !
x2
2 !+0x
3
3!
2x
!+
0x5
5 !
1"x"
" ! +
ncosx=x2
2
x
12
x"
5
&emplo =allar la Serie de otencias correspondiente a'
y=1
x para a=1
y=1
x=
0 !
x y (a)=1
y =1
x2=
1!
x2
y (1 )=1 !
y =2
x3=
2 !
x3y (1 )=2 !
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y ="
x=
3 !
x
y (1 )=3 !
yIV=
2
x
5=
!
x
5y
IV(1 )= !
yV=
120
x" =
5 !
x"y
V(1 )=5 !
Entonces y=1(x1 )+(x1)2(x1)3+(x1)(x1)5+
0 n=1
(1)n(x1)n en /5 x 59.
/peraciones con Series de Potencias
SU0,. 2os series de potencias pueden sumarse t+rmino a t+rmino.
Sean n=0
an (xx0 )n=f(x )y
n=0
n (xx0 )n=" (x )conrad#o de con$er"enc#a R>0
Entonces f(x )+" (x )=n=0
(an+n ) (xx0 )nparatoda|xx0|
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S ean y (x )=n=0
(an ) (xx0 )n
para toda|xx0|0
y (x )=n=0
n (an ) (xx0 )n1
tambi+n conver!e y tiene el mismo radio de
conver!encia que y(x )
I3-R,CI23. $na serie de potencias puede inte!rarse t+rmino a t+rmino.
Sean y(x )=n=0
(an ) (xx0 )nparatoda|xx0|0
Entonces
0
x
y (t) dt=n=0
an
n+1(xx0 )
n+1y t#ene aR co%orad#odecon$er"enc#a .
Puntos 3otables.
Denicin 4.+.+. unto ordinario de una ecuacin diferencial de la forma'
y +f(x )y +" (x )y=0es aquel punto
x0en el cual ambas funciones f%x& y
!%x& son anal,ticas" es decir" pueden representarse en series de potencias de
(xx0) con radio de conver!encia /.
&emplo 5 Encontrar los puntos ordinarios de'
x (x21)y +xy + (x+2 )y=0
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rimero establecemos cules son exactamente las funciones f%x& y !%x&"
dividiendo la ecuacin entre x (x21)
y + xx (x21)
y + (x+2 )x (x21)
y=0 donde
f(x )= 1(x21 )
y " (x)= (x+2 )x (x21)
f%x& no es anal,tica en x 0 B6
!%x& no es anal,tica en x 0 /" x 0 B6
or lo tanto los puntos ordinarios de la ecuacin diferencial dada son todas las
x > " excepto x 0 / x 0 B6
&emplo 4 Ser x 0 / un punto ordinario de la ecuacin
xy +x2y +(senx )y=0
f(x )=x2
x=x es ana&t#caentodos os
" (x )=
sen x
x =
1
x
(x
x3
3 !+
x5
5 !
x$
$ !+)" (x )=(1x
2
3 !+
x
5!
x"
$ !+) tambin es analtica en todos los
Denicin 4.+.unto Sin!ular de la ecuacin diferencial'
y +f(x )y +" (x )y= / es aquel punto x0 , en el cual al menos una de las
funciones f(x) y g(x)no tiene representacin en serie de potencias de
(xx0 ) .
Se observa" por lo tanto" que un punto sin!ular es un punto no ordinario.
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&emplo 6 El punto x0=0 es un punto sin!ular de la ecuacin diferencial'
y +x (Lnx )y =0
orque la funcin Lnx " no tiene una serie de potencias que la represente en
cero.
&emplo 7 =allar los puntos sin!ulares de'
x2(x+1)y +x3 (x21)y +xy=0
f(x )=x
3 (x21 )x
2 (x1 )=x(x+1 ) es anal,tica para todax,
" (x )= x
x2 (x1 )
=1
x (x1 ) no es analtica en 0 y 1 los puntos singulares
son x= 0 y x=1
%ota: emos !ue los coe"cientes polinomiales dar#n puntos ordinarios en
donde las funciones estn de"nidas y puntos singulares en donde no lo estn.
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-eorema 4.+ Existencia de soluciones con series de potencias
Six=x0 es un punto ordinario de la ecuacin diferencial
a2(x )y +a1(x )y +a0 (x )y= /" siempre se puede determinar dos soluciones
linealmente independientes en forma de una serie de potencias centrada en
x0 D esto es"
y(x )=n=0
(an ) (xx0 )n.
$na solucin en serie conver!e al menos en un intervalo denido por
|xx0|
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n (n1 )(Cn )(x )n2
+n=0
(Cn )(x )n+1=2C2+
'=1
[ ('+2 ) ('+1 )(C'+2 )+C'1] (x )'
n=2
Entonces' y +xy=2 C2+'=1
[ ( '+2 ) ('+1 )( C'+2 )+C'1 ](x )'=0 aqu, utili3aremos
4a propiedad de identidad. Como la ecuacin anterior es id+nticamente a cero"
esto es que2C2=0 %es el coeciente de x
0 " y
('+1 ) ('+2) C'+
2+C'
1=0,para F06" 9" ?" A
*hora bien , 2C2=0 indica que C2=0 . ero la ecuacin anterior llamada
relacin de recurrencia" determina lasC' de tal manera que se puede
esco!er que cierto subcon)unto del con)unto de los coecientes no sea cero.
Como ('+1 ) ('+2 ) 0 para todos los valores de $ " podemos despe)ar C'+2
" en funcin de C'1 #
C'+2= C'1
('+1 ) ('+2 ) " F06" 9" ?"A %9&
Esta relacin !enera coecientes consecutivos de la solucin supuesta" uno por
uno" a medida que F asume los sucesivos valores enteros indicados
anteriormente'
J06" C3=C023
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J09" C=C13
J0?" C5=C2
5
=0 por$ue C2=0
J0" C"=C35"
=1
2 3 5 "C0
J08" C$=C" $
=1
3 " $C1
J0@"
C#=C5
$ #
=0
J0K" C%=C"# %
=1
2 35 " $ #%C0
7 as, sucesivamente. Si ahora sustituimos los coecientes que acabamos de
obtener en la hiptesis ori!inal.
y=C0+C1x+C2x2+C3x
3+Cx otendre%os&
y=C0+C1x+0C0
23x
3C1
3 x
+0+ C0
2 3 5"x
"+ C1
3 " $x
$+0
2espu+s a!rupamos los t+rminos que contienenC0 y los que contienen
C1 " lle!amos a y=C0y1(x )+C1y2 (x ) " siendo'
y1(x)=1
1
2 3x
3+1
2 3 5"x
"1
235 "# %x
%+=1+'=1
(1 )'
23(3n1)(3n)x
3'
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y2(x)=x1
3 x
+1
3 " $x
$1
3 " $ % 10x
10+=x+'=1
(1 )'
3 (3n)(3n+1)x
3'+1
Como el uso recursivo de la ecuacin %9& de)a a
C0y C1 completamente
indeterminados" se puede esco!er en forma arbitraria. Como se mencion
antes" en realidad la combinacin y=C0y1(x )+C1y2 (x ) " representa la solucin
!eneral de la ecuacin diferencial. *unque de acuerdo con el (eorema ./ toda solucin
en forma de serie conver!e para |x|
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Sustituimos en la ecuacin diferencial'
(x2+1 )n=2
Cn n(n1)xn2+x
n=1
Cnnxn1
n=0
Cnxn=0
Cn n(n1)xn+
n=2
Cn n(n1)xn2+
n=1
Cn nxn
n=0
Cnxn=0
n=2
*hora trataremos que todas las sumatorias ten!an el mismo sub-,ndice.
Cn
n (n1 )xn+
n=
Cn
n(n1)xn2+
n=2
Cn
nxn
n=0
Cn
xn=0
2C2x0C0x
0+"C3x+C1xC1x+n=2
( :
'('1 )C'+('+2)('1)C'+2
[+'C'C']x'
2C2C0+"C3x+n=2
('+1 ) ('1 )C'+('+2)('1)C'+2[]x'
2C2C0+"C3x+n=2
;+* x2y +xy+(x2$2)y=0 cuacin de ?essel. y
>* (1x2 )y 2xy +n(n+1)y=0 cuacin de @egendre.
*parecen con frecuencia en estudios superiores de matemticas aplicadas"
f,sica e in!enier,a. ara resolver la ecuacin %6& supondremos que v /"
mientras que para resolver la %9& slo consideraremos el caso en que n esentero no ne!ativo. Como se trata de obtener soluciones de cada ecuacin en
forma de serie de potencias alrededor dex = 0" observamos que el ori!en es
un punto re!ular sin!ular de la ecuacin de Oessel pero es un punto ordinario
de la ecuacin de 4e!endre.
4.5 Solucin de la cuacin de ?essel.
4.4 Solucin de la cuacin de @egendre
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