Universidad de Mendoza Dr. Ing. Jesús Rubén Azor Montoya Análisis de Señales
Doctorado en Ingeniería - Prácticos 1
Unidad I - TRANSFORMADA z Y DE FOURIER
Contenido Conceptual: En Matemática y Procesamiento de Señales, la Transformada z
(TZ) convierte una señal que esté definida en el dominio del tiempo discreto (que es una
secuencia de números reales) en una representación en el dominio de la frecuencia
compleja.
El nombre de Transformada z procede del nombre de la variable del dominio, al igual
que se podría llamar "Transformada s" a la Transformada de Laplace. Un nombre más
adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada
en la serie de Laurent.
Utilidad del Concepto: La importancia del modelo de la Transformada z radica en que
permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficientes
constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales. La transformada Z juega en el estudio de
los sistemas discretos el mismo papel que la transformada de Laplace en los sistemas
analógicos.
Objetivos propuestos: a) Aprender a manejar la Transformada Z como herramienta en
el estudio de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, b) Crear en el alumno un
criterio de selección que le permita aplicar los distintos métodos de cálculo.
Enunciados:
1.1 Hallar la transformada z de estas señales (incluyendo la Región de Convergencia,
ROC):
a) x =(: : : ; 0; 5; 3;¡2; 0; 4;¡3; 0; : : : ;) b) x[t] = 3 [t] + [t - 2] + [t + 2]
c) x[t] = u[t] - u[t - 10] d) x[t] = 2t u[t] + 3 (1/2)t u[t]
e) x[t] = cos(0t) u[t] f ) x[t] =(1/2)t u[-t]
g) x[t] = (3t u[-t -1 ] +(1/2)t u[t + 2] Solución:
a) X(z) = 5z 2 + 3z - 2 + 4z - 2 – 3 z - 2; 0 < |z| < inf b) X(z) = 3 + z - 2 + z 2 ; 0 < |z| < 1 c) X(z) = (1 - z - 10)/(1- z - 1) ; |z| > 0
d) X(z) = (4 – (13/2) z - 1)/[(1 - 2 z - 1) (1 – 0.5 z - 1)] ; |z| > 2
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e) X(z) = [1 - (cos 0) z - 1]/[1 - 2 (cos 0) z -
1 + z - 2] ; |z| > 1
f ) X(z) = 1 / (1 – 3 z) ; |z| < 1/3
1-2 Cuál es la región de convergencia de la transformada Z para estas señales?
1-3 Usar la transformada Z para hallar la convolución de estas señales:
1-4 Hallar la antitransformada de
1-5 Hallar la transformada inversa en los siguientes casos:
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Contenido Conceptual: En Matemática y Procesamiento de Señales, la Transformada z
(TZ) convierte una señal que esté definida en el dominio del tiempo discreto (que es una
secuencia de números reales) en una representación en el dominio de la frecuencia
compleja.
El nombre de Transformada z procede del nombre de la variable del dominio, al igual
que se podría llamar "Transformada s" a la Transformada de Laplace. Un nombre más
adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada
en la serie de Laurent.
Utilidad del Concepto: La importancia del modelo de la Transformada z radica en que
permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficientes
constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales. La transformada Z juega en el estudio de
los sistemas discretos el mismo papel que la transformada de Laplace en los sistemas
analógicos.
Objetivos propuestos: a) Aprender a manejar la Transformada Z como herramienta en
el estudio de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, b) Crear en el alumno un
criterio de selección que le permita aplicar los distintos métodos de cálculo.
Enunciado:
Calcular la transformada de Fourier de la función f dada por
casos demás02
7cos1
)(
t
t
tf
SOLUCIÓN
dtedtetfF titti
2
7cos1)()(
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1-6 Calcular la transformada de Fourier de la función:
ittf
4
5)(
SOLUCIÓN
)(1104
5 4 ueit
1-7 Calcular la transformada de Fourier de la función:
f(t) = 6[u(t – 3) – u(t – 7)
SOLUCIÓN
Enunciado:
Calcular la transformada de Fourier de la función:
con a=1
Respuesta
1-8 Calcular la transformada de Fourier de la función:
f(t) = t + 1 (-1< t <0)
f(t) = -t + 1 (0 < t <1)
0 en otro caso
Apéndice: Tabla de Transformadas de Fourier
x(t) X()
t( )
2
u(t)
1
1j
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1
2 t( )
1
j 2 t
u
rectt
sinc
2
W
sinc W t( )
rect
2 W
trit
sinc2
2
W
sinc W t( )2
tri
2 W
ej0 t
2 0
t ej
cos 0 t 0 0 sin 0 t j 0 0 u t( ) cos 0 t
2 0 0
j
0 2
2
u t( ) sin 0 t j
2 0 0
j
0 2
2
u t( ) e t
1
j
u t( ) t e t
1
j 2
u t( ) t2 e
t
2
j 3
u t( ) t3 e
t
6
j 4
Unidad II - Transformada Discreta de Fourier
2-1 Utilizar la DFT para calcular la Transformada de Fourier de:
casos demás02
7cos1
)(
t
t
tf
Determinar la frecuencia de la señal. Utilizar N=1024 muestras de la misma y utilizar
los tiempos de muestreos Ts= 0.01 , 0.1 y 1. Analizar los resultados.
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2-2 Calcular la transformada de Fourier de la función:
f(t) = sinc(t)
2-3 Probar la propiedad de Simetría: F( )t <=== ..2 f( )
Dado
2-4 Probar la propiedad de Escalado: f( ).a t <=== .1
aF
a
Con un ejemplo.
2-5 Verificar la propiedad de Modulación:
.f( )t cos( ).0 t <=== .1
2( )F( ) 0 F( ) 0
Para f(t)=e-|t|
y w0=2..5 (f0=5 Hz)
2-6 Verificar la fórmula de Parseval para las funciones
f1(t)=e-|t|
y f2(t)=t)
2-7 Hallar mediante el algoritmo FFT la Transformada de Fourier de
f(t) = (t).t2.e
-.t
con
2-8 Aplicar el algoritmo DFT al diente de sierra:
Comparar los resultados con el desarrollo en serie.
Unidad IV – FILTRADO ADAPTIVO
Contenido Conceptual: El desarrollo de los Filtros Adaptivos ha alcanzado en la
actualidad un desarrollo tal que significa una parte muy importante en el campo del
Procesamiento de Señales.
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Se define al filtro adaptivo como un dispositivo que intenta modelizar la relación entre
señales en tiempo real en forma iterativa.
Se diferencia de los filtros digitales comunes tipo IIR o FIR, en que éstos tienen
coeficientes invariantes en el tiempo, mientras que un adaptivo puede cambiar su forma
de comportarse, es decir pueden cambiar sus coeficientes de acuerdo con un algoritmo
del mismo tipo. De hecho no se saben los coeficientes del filtro cuando se diseña, estos
coeficientes son calculados cuando el filtro se implementa y se reajustan
automáticamente en cada iteración mientras dura su fase de aprendizaje.
El hecho de que estos filtros no sean invariantes temporales y que tampoco sean lineales
hace que su estudio sea más complejo que el de un filtro digital, ya que no se pueden
aplicar, salvo en un par de excepciones, las transformaciones en frecuencia, dominio Z,
etc.
Utilidad del Concepto: Este tipo de filtros permiten actuar en un ambiente de
comportamientos estadísticos desconocidos y su uso ofrece una solución eficaz a dicho
problema, ya que provee una mejora significativa en su comportamiento con respecto al
uso de filtros de coeficientes fijos, diseñados por los métodos convencionales.
Aplicaciones típicas son la cancelación de ruido, identificación de sistema y muchas
más.
Objetivos propuestos: Permitir al alumno a) Comprender la teoría matemática acerca
de este tipo de dispositivos, b) Lograr la verificación, a través de simulaciones, de los
conceptos acerca de los Filtros adaptivos, c) Crear en él un criterio superador del mundo
acotado en el que ha desarrollado su aprendizaje científico, d) Utilizar algunas de las
herramientas computacionales representadas por una gran variedad de algoritmos
recursivos.
4-1 Probar que las siguientes relaciones son ciertas para cualesquier matriz A, B, C.
a) A B B A
b) A B C( ) A B B C
c) A B( )T
BT
AT
d) A B( )1
B1
A1
e) Si A es simétrica entonces A-1 es también simétrica.
4-2 Arrancando de la ecuación:
MSE E k 2
E dk 2 W
TR W 2 P
T W
hallar:
W
d
d2 R W 2 P
4-3 Sea en el siguiente combinador lineal adaptivo de la figura con N=10. Entonces:
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a) Encontrar el vector peso óptimo
b) Escribir una expresión para yk usando la respuesta a la parte a)
c) Usar el resultado de la parte b) y xk de la figura, probar que xk = dk .
4-4 En la figura anterior, qué valores peso producirán un valor raiz-media-cuadrática
(rms) de k sea igual a 2?
a) Con N=5 ?
b) Con N=10 ?
La expresión general de la raiz media cuadrática del error esta dada por:
0.5 w02
w12
w0 w1 cos2
N
2 w1 sin2
N
2
que representada en el espacio es un paraboloide elíptico. Los cortes con planos =cte
de este paraboliode son elipses.
4-5 Sobre la superficie de performance de la figura anterior, con N=8, cuál es el vector
gradiente cuando w1=0 y el valor medio cuadrático de k es:
a) 2.0
b) 4.0
Porqué es más pronunciado el gradiente en el último caso?
4-6 Considérese el sistema mostrado en la siguiente figura, el cual es un combinador
lineal adaptivo con un único peso.Supóngase que la llave S se abre y E[xk2]=1,
E[xk.xk-1]=0.5, E[dk2]=4, E[dk.xk]= -1, E[dk.xk-1]=1. Derivar una expresión para la
función performance. Hacer un gráfico de la función performance.
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4-7 Repetir el ejercicio anterior con la llave S cerrada.
4-8 Cuál es el valor óptimo para el ejercicio 6)? Cuál es el valor del mínimo error
cuadrático medio?
4-9 En el diagrama del combinador lineal adaptivo del ejercicio 6) xk y dk estám dados
por
xk sin 2 k
N
dk 2 cos 2 k
N
y sea N=5. Con la llave S abierta:
a) Encontrar y graficar una expresión para .
b) Encontrar el valor óptimo de w1
c) Encontrar el valor mínimo de .
4-10 Repetir el ejercicio anterior con la llave S cerrada.
4-11 El estudiante deberá tener alguna experiencia con funciones correlación tales como
aquellas derivadas en las siguientes ecuaciones:
E xk xk n 1
N1
N
k
sin2 k
N
sin2 k n( )
N
1
2cos
2 n
N
E dk xk n 1
N1
N
k
2 cos2 k
N
sin2 k n( )
N
sin2 n
N
Considérese las siguientes formas de onda continuas y periódicas:
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Supóngase que cada forma de onda es muestreada en t=0, T, 2T;... tal que hay
exactamente N muestras por ciclo en los primeros dos casos y N/2 muestras por ciclo en
el último caso. Si una muestra es tomada donde f(t) es discontinua, déle el valor a la
derecha de la discontinuidad:
a) Encontrar E[uk.uk-n]
b) Encontrar E[yk.yk-n]
c) Encontrar E[uk.xk-n]
d) Encontrar E[uk.yk-n]
e) Encontrar E[xk.yk-n]
4-12 Usando un ejemplo del ejercicio 11, ilustrar que en general, la autocorrelación es
una función par de la variable desplazamiento n, pero la correlación cruzada no lo es.
4-13
a) Probar que la ecuación:
VT
R V k
representa una elipse cuando hay dos pesos.
b) Qué tipo de curva es la representada cuando hay un sólo peso?
4-14 Escribir la ecuación característica de R en términos de una polinomial si:
a)
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Ra
b
b
a
b)
R
a
b
c
b
a
b
c
b
a
4-15 Encontrar los eigenvalores de:
a)
R3
2
2
3
b)
R13
1
1
3
4-16 Escribir la ecuación característica de R en términos de una polinomial si:
a)
Ra
b
b
c
b)
R
a
b
c
b
d
e
c
e
f
4-17 Encontrar los eigenvalores de:
a)
R2
1
1
3
b)
R4
1
1
3
c)
R
4
3
0
3
6
2
0
2
4
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d)
R
4
2
0
2
4
3
0
3
6
4-18 Encontrar los eigenvectores de las matrices anteriores:
4-19 Demostrar que los eigenvectores dados en las matrices anteriores son
ortonormales.
D0.851
0.526
0.526
0.851
D0
D1
0
E
0.828
0.24
0.506
0.489
0.751
0.444
0.274
0.615
0.739
E0
E1
1.2 105
E2
E1
2.37 104
4-20 Considérese un combinador lineal adaptivo en la forma
con dos pesos (en este caso L=1). Las señales x y d tienen las siguientes propiedades:
E[x0k2]=2, E[x1k
2]=3, E[x0k.x1k]=1,E[x0k.dk]=6, E[x1k.dk]=4, E[dk2]=36.
a) Escribir una expresión para el error medio cuadrático.
b) Cuál es el vector óptimo W'?
c) Cuál es el error mínimo cuadrado?
d) Encontrar los eigenvalores y eigenvectores.
e) Hacer un gráfico de la superficie de performance
4-21 Una superficie de performance de peso único tiene los parámetros =0.1, min=0
y w'=2. Escribir una expresión para la superficie de performance.
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4-22 En el ejercicio anterior, si el intento inicial en el peso óptimo es w0=0 y el
parámetro de convergencia es =4, cuáles son las primeras cinco elecciones de w
usando el algoritmo de búsqueda del gradiente simple?
4-23 Hacer el ejercicio anterior con =8
4-24 Para la superficie de performance univariable dada por:
w( ) 0.4 w2
4 w 11
qué rango de valores del parámetro de convergencia proveerá una curva de ajuste de
peso sobreamortiguada?
4-25 Escribir una expresión y graficar la curva de aprendizaje para la superficie de
performance en el ejercicio anterior, dado un valor inicial w0=0 y un parámetro de
convergencia =1.5.
4-26 Derivar una forma discreta del algoritmo de Newton similar a:
wk 1 wk
' wk ' ' wk
k 0 1
pero con ecuaciones diferencia en vez de derivadas.
4-27 Derivar una fórmula de ajuste de peso para aplicar el método de Newton en la
siguiente figura:
w( ) 1 1 w2
4 3 w( )2
1 1
36
w 2 1.99 2
2 1 0 1 2
5
10
w( )
w
4-28 Escribir un algoritmo en la forma
Wk 1 Wk1
2R
1
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específicamente para la superficie de performance:
R2
1
1
2
P7
8
E dk 2 42
w0 w1( ) 2 w02
2 w12
2 w0 w1 14 w0 16 w1 42
4-29 Usando el método modificado de Newton con parámetro de convergencia =0.1, cuáles son los cinco primeros vectores peso comenzando desde w00=5 y w10 =2, cuáles
son los valores de w020 y w120 ?
4-30 Usando el método del Steepest Descent con =0.1, cuáles son los cinvo primeros
valores del vector peso partiendo de w00=5 y w10 =2, cuáles son los valores de w020 y
w120 ?
4-31 Dada la superficie de error en la ecuación:
w0 w1( ) 2 w02
2 w12
2 w0 w1 14 w0 16 w1 42
graficar la curva de aprendizaje para el método de Newton cuando los pesos iniciales
son nulos y =0.05.
4-32 Repetir el proceso del ejercicio anterior pero para el método del Steepest Descent.
4-33 Derivar la ecuación:
k min
0
L
i
v0'i n 1 2 2 k
partiendo de:
k min V'0T
I 2 2 k V'0
realizando los productos matriciales elemento por elemento.
Unidad V – ANÁLISIS TIEMPO-FRECUENCIA
Contenido Conceptual: Un tipo especial de la transformada de Fourier, la
transformada wavelet representa una señal en términos de versiones trasladadas y
dilatadas de una onda finita (denominada wavelet madre).
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La teoría de los wavelets está relacionada con campos muy variados. Todas las
transformaciones de de este tipo pueden ser consideradas formas de representación en
tiempo-frecuencia y, por tanto, están relacionadas con el análisis armónico. La
transformada wavelet es un caso particular de filtro de respuesta finita al impulso.
Los wavelets, continuos o discretos, como cualquier función L2, responden al principio
de incertidumbre de Hilbert (conocido por los físicos como principio de incertidumbre
de Heisenberg).
Esta Transformada es eficiente para el análisis local de señales no estacionarias y de
rápida transitoriedad y, al igual que la Transformada de Fourier con Ventana, mapea la
señal en una representación de tiempo-escala. El aspecto temporal de las señales es
preservado. La diferencia está en que la Transformada Wavelet provee análisis de
multiresolución con ventanas dilatadas.
El análisis de las frecuencias de mayor rango se realiza usando ventanas angostas y el
análisis de las frecuencias de menor rango se hace utilizando ventanas anchas
Utilidad del Concepto: Los campos de aplicación de las TFR (Representación tiempo-
frecuencia) son cada vez más amplios, pues se ha comprobado que mejoran los
resultados de los métodos espectrales y temporales clásicos al ser capaces de reflejar
cambios en frecuencia con respecto al tiempo (transitorios espectrales) cosa que en un
análisis espectral clásico no se pueden detectar, por lo que la clasificación o detección
de determinadas propiedades de la señal analizada se mejora. Análogamente, los
métodos basados en características temporales no consiguen detectar características
esenciales de la señal que son las que muestran con certeza su naturaleza. Por ello, el
uso combinadote ambos dominios resulta en el aprovechamiento de características útiles
presentes en ambos dominios para así realizar diagnósticos más fiables.
Inicialmente se aplicó en la detección por radar y reconocimiento del habla, pero hoy en
día se aplica en casi todos los campos del tratamiento digital de señales.
Objetivos propuestos: Permitir al alumno a) Comprender la teoría matemática acerca
de este tipo de transformadas, b) Lograr la verificación, a través de simulaciones, de los
conceptos acerca de los wavelets, c) Crear en él un criterio superador del mundo
acotado en el que ha desarrollado su aprendizaje científico, d) Utilizar algunas de las
herramientas computacionales representadas por una gran variedad de algoritmos
destinados a estas operaciones.
Enunciados:
5-1. Analizar la señal no estacionaria cuya expresión matemática es:
x(t)=if[t<0.25.T,cos(2..f1.t),cos(2..f2.t)]
En esta señal hay dos componentes de frecuencia en tiempos diferentes. En el intervalo
0 a 0.25.T es una simple cosenoide de frecuencia f1 (50 Hz), y en el intervalo restante
una cosenoide de frecuencia f2 (200 Hz).
Realizar, a través de Mathcad, todas las etapas de un análisis tiempo-frecuencia de la
señal aplicando el concepto de la Transformada ventaneada de Fourier (STFT).
La señal en el dominio del tiempo x(t) si bien es continua, se discretizará para poder
operar sobre ella con una computadora digital.
La ventana a utilizar será una gaussiana como la siguiente:
t a( ) exp at ( )
2
2
=
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donde es el desplazamiento temporal y a el coeficiente de expansión.
Utilizar N=1024 muestras de la función y utilizar un ancho de ventana de Nv=64.
Aplicando la definición de wavelet, como descomposiciones sucesivas a través de
filtros paso-bajo y paso alto, hallar la transformación de primer nivel del siguiente
vector
5-2. Qué diferencia hay entre el resultado que arroja la simple aplicación de la
Transformada de Fourier y la de la STFT?
5-3. Repetir el ejercicio 5.1 para distintos anchos de ventana y relacionar los resultados
con el Principio de Incertidumbre de Heisenberg.
5-4. Dado el wavelet madre:
t( ) t2
1 expt2
2
Llamado Sombrero Mejicano,
a) demostrar que el mismo es la derivada segunda de la función gaussiana exp(-t2/2) .
b) Verificar que el mismo tiene energía finita.
c) Hallar su Transformada de Fourier, , y verificar que cumple con la condición de
admisibilidad, esto es:
d) Verificar que el valor promedio del wavelet en el tiempo es nulo y por lo tanto debe
ser oscilatorio.
5-5. Considerar los distintos miembros que se derivan del wavelet madre Sombrero
Mejicano, dados por la expresión:
t a b( )t b
a
2
1
exp
t b
a
2
2
Donde a es la escala y b es la ubicación.
a) Representar la función para distintos valores de a y b y deducir que efectos produce
la variación de cada uno de estos parámetros.
b) Hallar la Transformada de Fourier de (t,a,b) para distintos valores de a y concluir
cuál es el efecto en la multiplicación con la señal f(t) a analiza.
5-6. Generar con Matlab un vector a partir de una función igual a la del Ejercicio 5-1 de
1024 elementos.
a) Utilizando la sentencia de Matlab COEFS = CWT(S,SCALES,'wname','plot') que
calcula y grafica los coeficientes wavelets de la CWT del vector real S, con SCALES
siendo un intervalo de escalas (números positivos), usando el wavelet de nombre
'wname', obtener la Transformada Wavelet del mismo a través del Sombrero Mejicano
(wname=’mexh’).
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b) Analizar el gráfico bi-dimensional que resulta, identificando las frecuencias (desde
la escala de resoluciones) y los tiempos de ocurrencias (desde la escala de tiempos).
c) Utilizando la sentencia surf(abs(COEFS)) analizar el comportamiento en la
tridimensión.
5-7. Dados el filtro FIR promediante (paso-bajo) de coeficientes [1 1] y el diferencia
(paso-alto) de coeficientes [1 -1], hallar sus correspondientes funciones de transferencia
H(z) y graficar las H() que se derivan al reemplazar z=exp(j) .
5-8. Dado el siguiente vector de datos:
V=[1 5 9 3 5 4 3 -1]
a) Pasarlo por el filtro FIR promediante (paso-bajo) de coeficientes [1 1] y
submuestrear el resultado.
b) Realizar la misma operación con el diferencia (paso-alto) de coeficientes [1 -1]
c) Reiterar el proceso con la salida del paso b) como nuevo vector B
d) Verificar que el resultado es igual (excepto por un factor constante) que la
Transformada de Haar de nivel J=3 obtenida con la sentencia Matlab
wavedec(V,3,'haar')*sqrt(2)/2
5-9. Reconstruir el conjunto de datos del ejercicio 5.8 utilizando las funciones wavelet y
Escalante dadas por
Función wavelet de Haar:
Función Escalante de Haar
Con los correspondientes desplazamientos y escalas.
5-10. Dada una senoide, mediante el conjunto de datos:
i 0 1023 Xi sin2 i
1024
Contaminada con ruido blanco Gaussiano con = 0 y = 0.1
a) Hallar la WT, de nivel 5 utilizando el wavelet “Daubechies-2” del vector utilizando la
sentencia Matlab [C L] = WAVEDEC(S,5,'db2');
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b) Eliminar todos los elementos del vector C cuyo valor absoluto sea menor que =0.8
(también llamado umbral).
c) Recomponer la señal desde el vector “tratado” con las indicaciones de los pasos
anteriores. Para ello usar la sentencia de Matlab X = WAVEREC(C,L,'db4');
d) Sacar conclusiones acerca del resultado.
5-11. Repetir la experiencia del ejercicio 5.10 con distintos valores de umbral y niveles
de descomposición, sacando todas las conclusiones posibles.