UNIDAD 3: Análisis en regimen estacionario senoidal Tema 3.1. Regimen estacionario senoidal • 1ª parte: Conceptos fundamentales de AC • 2ª parte: Potencia en AC Tema 3.2. Resonancia serie y paralelo Tema 3.3. Acoplamiento magné?co, transformadores y máquinas eléctricas. Tema 3.4. Sistemas trifásicos
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UNIDAD 3: Análisis en regimen estacionario senoidal
Tema 3.1. Regimen estacionario senoidal 1ª parte: Conceptos fundamentales de AC
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Régimen permanente vs. transitorio
� Régimen permanente o estacionario: es la respuesta de un circuito para ?empos que ?enden a ∞.
� Régimen permanente en DC: las tensiones y corrientes son constantes.
� Régimen permanente en AC: las tensiones y corrientes son funciones cosenoidales.
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Regimen estacionario senoidal
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� Términos u?lizados para AC: ◦ Régimen permanente estacionario senoidal ◦ CA (Corriente Alterna, en español) ◦ AC (Alterna?ng Current, en inglés) ◦ Alterna
Regimen estacionario senoidal
� Se estudia el comportamiento en regimen permanente o estacionario (para t→∞)
� Se analizan circuitos eléctricos con resistencias, bobinas y condensadores con fuentes senoidales.
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~ +
Ig=A·∙cos(ωt+ϕ) Vg=A·∙cos(ωt+ϕ)
Fuente de corriente de AC: Fuente de tensión de AC:
Caracterís?cas de las señales senoidales (I)
x(t)=A·∙cos(ωt+ϕ) � A = amplitud o valor de pico [V] o [A] � ϕ = ángulo de fase [rad] � ω = frecuencia angular [rad/s] � f = frecuencia [s-‐1]; ω=2πf � T = periodo [s]; T=1/f
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x(t)
t
A
T
Caracterís?cas de las señales senoidales (II) � El ángulo de fase se u?liza para comparar dos señales de igual frecuencia:
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T
x2(t)=A·∙cos(ωt+ϕ2) x1(t)=A·∙cos(ωt+ϕ1)
x1(t)=A·∙cos(ωt+ϕ1)
x2(t)=A·∙cos(ωt+ϕ2) Si ϕ1> ϕ2 à ϕ= ϕ1-‐ϕ2
� Se dice que x1(t) está adelantada ϕ radianes respecto de x2(t), o que x2(t) está retrasada ϕ radianes respecto de x1(t)
� La señal adelantada en el ?empo es la señal desplazada hacia la izquierda en el gráfico (la de color verde).
Elementos pasivos en AC
Elementos pasivos
Resistencias
Bobinas
Condensadores
Vamos a analizar el comportamiento de los elementos pasivos en el regimen estacionario senoidal (AC)
Elementos pasivos: Resistencia � Elemento que disipa energía en forma de calor.
� Unidades: Ohmios [Ω] � 1Ω=1V/1A � La resistencia depende de la resis?vidad (ρ), la longitud (L) y la sección (S) del material:
R A B I
R Ley de Ohm: VA-‐VB = VAB = IR
𝑅=𝜌𝐿/𝑆 L
S
Elementos pasivos: Bobina � Elemento que almacena energía magné?ca. � Compuesto por un hilo conductor devanado en forma helicoidal.
� L = inductancia. � Unidades: Henrios [H].
L
A B I L
I
vAB (t) = Ldi(t)dt
i(t) = i(t0 )+1L
vAB (t)t0
t∫ ⋅dt
Comportamiento de L en con?nua � En corriente con?nua (y régimen permanente) las tensiones e
intensidades del circuito son constantes. � En una bobina, vAB(t) = L·∙di(t)/dt = L·∙0 = 0 � vAB(t)=0 -‐> La bobina equivale a un cortocircuito.
� Para estudiar un circuito en corriente con?nua y régimen permanente, se sus?tuyen las bobinas por cortocircuitos :
+ - 5V 6KΩ +
- 5V
10mH
6KΩ
Tipos de bobinas
¿Dónde hay bobinas?
Ferrita (interferencias)
Transformador
Circuito electrónico
Cocina inducción
Motor eléctrico
Elementos pasivos: Condensador � Elemento que almacena energía en forma de carga eléctrica,
proporcional a la tensión entre sus extremos. � Compuesto por dos placas conductoras separadas por un material
aislante.
� C = capacidad � Unidades: Faradios [F] � 1F=1C/1V
C
A B
I
C
q =C ⋅ vAB
i(t) =C dvAB (t)dt
vAB (t) = vAB (t0 )+1C
i(t)t0
t∫ ⋅dt
Comportamiento de C en con?nua � En corriente con?nua (y régimen permanente) las tensiones e
intensidades del circuito son constantes. � En un condensador, i(t) = C·∙dvAB(t)/dt = C·∙0 = 0 � i(t)=0 -‐> El condensador equivale a un circuito abierto.
� Para estudiar un circuito en corriente con?nua y régimen permanente, se sus?tuyen los condensadores por circuitos abiertos:
+ - 5V
2KΩ
6KΩ 5mF + - 5V
2KΩ
6KΩ
Tipos de condensadores
¿Dónde hay condensadores?
Flash
Vehículo eléctrico
Equipo corrección factor potencia Circuito electrónico
Principio de dualidad � Bobinas y condensadores son elementos duales. ◦ Su modelo matemá?co coincide con sólo cambiar C por L y V por I:
� Condensador:
� Bobina:
◦ En DC, un condensador es un circuito abierto. ◦ En DC, una bobina es un cortocircuito.
i(t) =C dv(t)dt
v(t) = L di(t)dt
Asociación de bobinas en serie � Elementos en serie: ◦ Dos elementos en serie comparten un nodo al que no llega ningún otro elemento. ◦ Por todos los elementos conectados en serie circula la misma corriente.
◦ Elemento equivalente: se puede sus?tuir por el conjunto de los elementos en serie.
L1 L2 A B C
Leq A C
Las inductancias en serie se suman.
Leq = L1 + L2
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Asociación de bobinas en paralelo
� Elementos en paralelo: ◦ Dos elementos en paralelo están conectados a dos nodos comunes. ◦ En todos los elementos conectados en paralelo cae la misma tensión.
A
L1 L2 B
Leq
A
B
Los inversos de las inductancias en paralelo se suman.
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1Leq
=1L1+1L2
Asociación de condensadores en serie � Elementos en serie: ◦ Dos elementos en serie comparten un nodo al que no llega ningún otro elemento. ◦ Por todos los elementos conectados en serie circula la misma corriente.
◦ Elemento equivalente: se puede sus?tuir por el conjunto de los elementos en serie.
C1 C2 A B C
Ceq A C
Los inversos de las capacidades en serie se suman.
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1Ceq
=1C1+1C2
Asociación de condensadores en paralelo
� Elementos en paralelo: ◦ Dos elementos en paralelo están conectados a dos nodos comunes. ◦ En todos los elementos conectados en paralelo cae la misma tensión.
Las capacidades en paralelo se suman.
C1 C2
A
B
Ceq
A
B
Ceq = C1 + C2
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Comportamiento de los elementos pasivos en AC
� Se estudia el comportamiento en regimen permanente o estacionario (para t→∞)
� Se analizan circuitos eléctricos con resistencias, bobinas y condensadores con fuentes senoidales:
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~ +
Ig=A·∙cos(ωt+ϕ) Vg=A·∙cos(ωt+ϕ)
Fuente de corriente de AC: Fuente de tensión de AC:
Comportamiento de R en AC
Conocida I=Ai·∙cos(ωit+ϕi), u?lizando la ley de Ohm: V=R·∙I tenemos que: V=R·∙I=R·∙Ai·∙cos(ωit+ϕi). Si en general, V=Av·∙cos(ωvt+ϕv). Se cumple que: V=Av·∙cos(ωvt+ϕv)=R·∙Ai·∙cos(ωit+ϕi). Por tanto: � ωi = ωv (frecuencias iguales) � Av =R·∙Ai (la amplitud R veces mayor) � ϕv=ϕi (fases iguales)
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A B
I
+ V -‐
R
Comportamiento de L en AC
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A B I
+ V -
I
L
AV=L·∙ωi·∙Ai
Comportamiento de C en AC
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A B
I
+ V -‐ C
�
Comportamiento general en AC � En todos los casos (R, L y C) se man?ene la misma frecuencia (ω) y
pueden variar la amplitud (A) y la fase (ϕ). � En general, en un circuito con fuentes senoidales en regimen
permanente, se cumplirá que tensiones e intensidades en cualquier punto del circuito, serán funciones senoidales con frecuencia igual a la de las fuentes.
� En el siguiente circuito, se pide la tensión en el nodo A, las únicas incógnitas son el módulo de la tensión en el nodo y su fase.
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Representación fasorial
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x(t)=A·∙cos(ωt+ϕ) Nº complejo: módulo A y fase ϕ
Función del Pempo Fasor
Im
Re
A ϕ
� Dado que las únicas incógnitas son A y ϕ, se puede buscar una representación más cómoda para tensiones e intensidades:
la representación en FASORES
Impedancia Z
� La impedancia Z es un número complejo que relaciona I y V para un elemento en AC:
V=Z·∙I � Impedancias de R, L y C: ◦ Resistencia à Z=R ◦ Bobina à Z=jωL ◦ Condensador à Z= 1/jωC
� Impedancia genérica: parte real + parte imaginaria Z= R+jX
R = resistencia [Ω] X = reactancia[Ω]
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Admitancia Y
� La admitancia Y es la magnitud inversa de la impedancia Z: V=(1/Y)·∙I V=Z·∙I
� Admitancia genérica: parte real + parte imaginaria Y= G+jB
G = conductancia [S] B = susceptancia [S]
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Asociaciones de impedancias � Impedancias en serie: ◦ Dos impedancias en serie comparten un nodo al que no llega ningún otro elemento. ◦ Por todos los elementos conectados en serie circula la misma corriente.
◦ Impedancia equivalente: se puede sus?tuir por el conjunto de las impedanciasen serie.
� Las impedancias en serie se suman:
Zeq = Z1 + Z2 � Impedancias en paralelo: ◦ Dos impedancias en paralelo están conectadas a dos nodos comunes.
◦ En todos los elementos conectados en paralelo cae la misma tensión.
� Los inversos de las impedancias en paralelo se suman: 1/Zeq = 1/Z1 + 1/Z2
� Transformación triángulo-‐estrella: idén?ca fórmula que para las resistencias
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Asociaciones de impedancias
� Ejemplo:
◦ RESOLUCIÓN:
� Paso al dominio complejo � Resolución en el dominio complejo � Paso de la solución al dominio temporal
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Vg=200·∙cos(100t) [V]
Impedancias y su fase
◦ ZR=R
◦ ZL=jωL
◦ ZC= 1/jωC
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Im
Re ZR
Im
Re
I V ϕ=0
Im
Re
ZL
Im
Re I
V ϕ=π/2
Im
Re ZC
Im
Re I V
ϕ=-‐π/2
Impedancia induc?va ◦ Impedancia inducPva:
Zeq=R+jX, donde X>0
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Im
Re
Zeq Im
Re I
V 0<ϕ<π/2 ϕ ϕ
◦ Podemos asegurar que una impedancia es inducPva si: � está compuesta sólo por resistencias y bobinas � ?ene parte imaginaria (reactancia) posi?va (X>0) � la tensión va adelantada respecto de la intensidad un ángulo cuyo
valor está entre 0 y π/2.
Impedancia capaci?va ◦ Impedancia capaciPva:
Zeq=R+jX, donde X<0
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Im
Re Zeq
Im
Re I
V
-‐π/2<ϕ<0 ϕ ϕ
◦ Podemos asegurar que una impedancia es capaciPva si: � está compuesta sólo por resistencias y condensadores � ?ene parte imaginaria (reactancia) nega?va (X<0) � la tensión va retrasada respecto de la intensidad un ángulo cuyo valor
está entre 0 y π/2.
Transformación de fuentes en AC
� De la misma forma que en DC:
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+ - V (t)
Z
A
B
I(t) Z
A
B
V = I·∙Z
Equivalentes Thevenin y Norton en AC
� De la misma forma que en DC:
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+ - VTH (t)
ZTH
A
B
IN(t) ZN
A
B
ZTH=ZN
VTH=IN·∙ZTH
EQUIVALENTE THEVENIN EQUIVALENTE NORTON
Análisis por nodos y mallas en AC
� El análisis por nodos y mallas se realiza del mismo modo que en DC pero u?lizando fasores (número complejos) para los valores numéricos de las tensiones, corrientes e impedancias.
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Problemas de circuitos en AC
◦ RESOLUCIÓN: � Paso al dominio complejo: esto es, representar en el dominio complejo los valores de los componentes del circuito (resistencias, bobinas, condensadores y fuentes).
� Resolución en el dominio complejo: esto es, aplicar las leyes de nodos y mallas o cualquier otro método de análisis y operar con número complejos.
� Paso de la solución al dominio temporal: finalmente, se debe expresar la solución en el dominio del ?empo.
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