Variables Variables AleatoriasAleatorias
DistribucionesDistribuciones
DAGOBERTO SALGADO HORTA
Función que asigna a cada punto del espacio muestral un número real
X : R
Ejemplo N°1: = falla , no falla
X( no falla ) = 0X( falla ) = 1
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
fallano falla
Espacio Muestral
X({falla}) = 1X({no falla}) = 0
0 1
ConjuntoNúmerosReales
IR
X : Rx
X-1(-, x) Familia de eventos elementales
IR
A cada s le corresponde exactamente un valor X(s)
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
a b
• El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).
• En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral
• El espacio muestral original “induce” un espacio muestra Rx asociado a
la Variable Aleatoria X
• Luego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral RX
RX
X(s) = b; s
X(s) = a
si
Ask
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
( a < x < b )
( a < x b ][ a x < b )
[ a x b ]
Nótese que para cada
par de números
reales a y b existen los siguientes conjuntos
a b
RX
X(s) = b; s
X(s) = a
si
sk
A
( x > a ( x a
x < b ) - x b ]-
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
• El concepto de Probabilidad de ocurrencia de eventos en el espacio muestral se puede aplicar a eventos en RX.
RX
X: RX
X(s) = x
1
0
f : R [0, 1]
f(x)0 P(X(s) = x ) = f(x) 1
s
Función de ProbabilidadFunción de Probabilidad
Variable AleatoriaX : R
X-1(-, x)
Variable Aleatoria DiscretaSea C (con C ) Soporte contable
f : C R C = ci : i I N
i) f(ci) 0
ii) = 1
Usando la transformación X
Ii
i )f(c
• Sea X una variable aleatoria.
• Si el número de posibles valores de X (esto es su RX). - Es finito (contable) o. - Es contablemente infinito (denumerable).
• Entonces llamamos a X una variable aleatoria discreta.
• Esto es, los posibles valores de X pueden ser listados. X1, x2, x3, ...., xn, .....
- En el caso contable la lista es finita. - En el caso denumerable la lista es infinita contable
Variable Aleatoria DiscretaVariable Aleatoria Discreta
Sea C
X: C
tal que
i) p(ci) = Pr(ci) 0
X(ci) = xi
P(A) =
IR
ACcii i
i
i
xXP:
i )()p(c
Conjunto de eventos elementales de una familia de eventos del espacio muestra; C X es una función definida sobre el Espacio Muestral, que mapea en el conjunto de los Números Reales los eventos elementales definidos en C = ci: i N
En algunos textos se utiliza la letra fpara acentuar que la variable aleatoria discreta es una fución
Sea A el evento tal los eventos elementales ciC pertnezcan también a A, esto es ci C A. Usando la transformación X
Variable Aleatoria DiscretaVariable Aleatoria Discreta
x
P(X=5) = f(5) Función de Probabilidad de “masa” Función de Frecuencia
x1 x 2 x3 x4 x5 x6 xn
f(xi)
Los f(xi) deben satisfacer
• 0 f(xi) 1; i = 1, 2, 3, ... , n
• f(xi) = 1
El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina Función de Probabilidad o Cuantia.
A cada resultado posible xi se asocia un número f(xi) = P(X(s) = xi)
llamado la probabilidad de xi
i
Función de Probabilidad v.a. DiscretaFunción de Probabilidad v.a. Discreta
X(ci) = xi
P(A) =
Propiedades función de cuantia:1. P ( X = xi ) 0
2. P ( X = xi ) = 1
3. Función de Distribución:
F(x) = P ( X = xi ) = f ( xi )
ACcij i
i
i
xxP:
j )()f(c
xix xix
i
Esperanza de una v.a. X
i
ii xXPxXE )(
Varianza de una v.a. X
i
ii xXPXExXV )()( 2
1. Distribución Bernoulli
X : R
P(X(ω)=0) = 1 – pP(X(ω)=1) = p
E X = 0 ( 1 - p ) + 1 * p = pV X = ( 0 - p )2( 1 - p ) + ( 1 - p )2 p = p ( 1 - p )
Distribuciones Discretas EspecialesDistribuciones Discretas Especiales
Consideremos un solo experimento sea A un evento asociado con tal experimento.
supongamos que P(A) = p; luego P(Ac) = 1- p
P(X = 1) = p
P(X = 0) = 1 – p
f(x) = P(X =x) = px (1 – p)1-x
X = 0, 10 < p < 1
Entonces su función de cuantía es
00 1
p = 0,7
x
f(x)
Sea la v.a. X(A ) = 1
X(Ac) = 0
Función de Distribución v.a. DiscretaFunción de Distribución v.a. Discreta
2. Distribución Binomial
Supongamos que de una línea de producción se extraen n piezas con reemplazo, las cuales pueden ser defectuosas o no con una probabilidad “p”.X: N° de piezas defectuosas en las n extracciones
Entonces
k = 0, 1, 2,......,n
knk ppk
nkXP
)1()(
Distribuciones Discretas EspecialesDistribuciones Discretas Especiales
E X = npV X = np (1-p)
Notación: X B( n , p )
•Se utiliza en el muestreo de una población finita con reemplazo. •También cuando la población es muy grande, con o sin reemplazo, ya que “p” se hace relativamente constante.
x
n
• Sean n repeticiones independientes del experimento consiste de todos los posibles secuencias { a1, a2, a3, .., an},
donde cada ai puede ser un evento A o un evento Ac. • Existen 2n de tales secuencias
Sea la variable aleatoria X := número de veces que ocurre el evento A sus posibles valores son: 0, 1, 2, 3 , ....., n
f(x) = P(X = x) = px (1 –p)n-x
x = 0, 1, 2,......,n0 < p < 10,000
0,100
0,200
0,300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n = 16p = 0,2
x
f(x)
Función de Distribución v.a. DiscretaFunción de Distribución v.a. Discreta
3. Distribución Hipergeométrica
Surge en poblaciones que contienen elementos clasificables en 2 estratos ( con defectos: D ; sin defectos: N - D ).
Consideremos un lote de tamaño N. Se extrae una muestra de tamaño n sin reemplazo.
X: N° de artículos defectuosos en la muestra
Distribuciones Discretas EspecialesDistribuciones Discretas Especiales
n
N
kn
DN
k
D
kXP )(
k =0,1,2,.....,min n , D
Es aplicable al muestrear lotes de tamaño pequeño en relación al tamaño de la muestra ( N 10 n ).
ND
nXE )1(
))((2
NN
nNDNDnXV
4. Distribución de Poisson
Supongamos que tenemos una muestra de tamaño grande, para lo cual la probabilidad de encontrar un artículo defectuoso es pequeño “p”, y por lo tanto “np” el número total de artículos defectuosos en la muestra. Sea = np.
Entonces
k = 0, 1, 2,.......
!)(
ke
kXPk
Distribuciones Discretas EspecialesDistribuciones Discretas Especiales
E X = V X =
Caso límite: X B( n , p )
con n p 0
nkInnk
nkXP
knk
,,....2,1,0)(1)(
)(!
)( kIek
kXPk
N0
• Se define una v.a. X igual al número de piezas defectuosas;
luego, X = { 0, 1, 2, 3). Encontrar (xi, f(xi))
• Las piezas a la salida de una línea de producción se clasifican
en defectuosas (D) o no defectuosas (N).
• Se toma tres piezas aleatoriamente y se clasifican de
acuerdo a este esquema. El para este experimento es:
= {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
• La probabilidad que una pieza sea defectuosa es p y no
cambia. Eso implica que si la población es finita, las
observaciones se hacen con reemplazo
• Interesa el número de piezas D y no el orden en que salen.
Cronstrucción de un Modelo ProbabilísticoCronstrucción de un Modelo Probabilístico
= {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
x
f(x)
0
(1-p)3
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
2
3(1-p) p2
3
p3
1
X(NND)= 1X(NDN)= 1X(DNN)= 1
3(1-p)2p
3 P(N) P(N) P(D)
Creando un Modelo ProbabilísticoCreando un Modelo Probabilístico
x
1
0
F(x)
x1 x2 x3 x4 x5 x6 xn
P(X=x5) = f(x5) Función de Probabilidad de “masa” Función de Frecuencia
F(x) = 0 x < x1
= f( xi ) x1 x < x2
1
i = 1
= f( xi ) x2 x < x3
2
i = 1
= f( xi ) x3 x < x4
3
i = 1
= f( xi ) x4 x < x5
4
i = 1
Función de Distribución v.a. DiscretaFunción de Distribución v.a. Discreta
• Cuando el experimento se realiza sobre un espacio muestral que está relacionado con escalas intevalares (tales como mediciones de distancias, volúmenes, pesos, tiempos, velocidad,
voltajes, intensidad, caudal, temperatura etc.)
• Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b, son infinitos - no enumerables - no podemos hablar del i-ésimo valor de X = xi; En tales casos se habla se Variables Aleatorias Continuas, donde Rx es un intervalo o un conjunto de intervalos; entonces existe una función continua especial
f:
f(x) = lim h 0 > 0P(x < X < x + h)
h
R R
Variables Aleatorias ContinuasVariables Aleatorias Continuas
f(x)
xf(x) > 0;
Sea X una variable aleatoria continua. La función densidad de probabilidad (pdf) es una función que satisface:
x Rx
f(x) dx = 1
Rx
a b
b
a
dxxP(A) = P(a < x < b) )(f
A: un evento
A: { x| a < x b)
Variables Aleatorias ContinuasVariables Aleatorias Continuas
Están definidas por una densidad de v. a. X
f : R R se dice densidad de probabilidad
PropiedadesPropiedades:
1. f (x) 0
2.
-
1)df( xx
Distribuciones de Probabilidad ContinuasDistribuciones de Probabilidad Continuas
x
dttxXPxF )(f)()(
ObservacionesObservacionesObservacionesObservaciones1.
2.
3. F (-) = 0 ; F () = 1
4. Fx es no decreciente
5.
6.
b
a
dxxbxaP )(f)(
R|
)(f dxxxXE
R
dxxfXExXV )()( 2
a b
b
a
dxxfA )(f(x)
x
Si X es una variable aleatoria, la Función de Distribución Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores:
F(x) = P(X x)
Si X es una v.a. Continua
F(x) = f(t) dt
Donde la sumatoria es reemplazada por una integración para todos los valores de t x
x
-
Si X es una v.a. ContinuaSi X es una v.a. Discreta
F(x) = f(xi)
Donde la suma es tomada sobre todos los índices i que satifacenxi x
i xi x
Si X es una v.a. Discreta
Función de Distribución AcumuladaFunción de Distribución Acumulada
II) Sea F : R R , Fu Distribución, entonces:
i) F es no decrecienteii) F es continua por la derechaiii) lim F(x) = 0 lim F(x) = 1
Luego P( - , x ) = F(x) define una Probabilidad
Además: P( a,b ) = F(b) - F(a)P( a,b ) = F(b) - F(a-)P( a,b ) = F(b-) - F(a)P( a,b ) = F(b-) - F(a-)
Construcción de Modelos de ProbabilidadConstrucción de Modelos de Probabilidad
abxf
1
)( a x b
min máx
0,0
0,1
0,2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a b
f(x)
x
Sea X una variable aleatoria continua que puede tomar
cuarquier valor entre a x b; cuya pdf es:
Sea a = 3; b = 12
A: el evento { 4 < x < 7 }
Entonces:
7
4
dxP(A) = P(4 < x < 7)91
P(A) = 1
3
Variables Aleatorias ContinuasVariables Aleatorias Continuas
1. Distribución Uniforme: Dada la función de densidad
La función de Distribución es
bxaab
xf
1
)(
bx
bxaabax
ax
xF
1
0
)(
Distribuciones Continuas EspecialesDistribuciones Continuas Especiales
Notación: X U( a , b )
2ba
XE
12)( 2ab
XV
2. Distribución Normal
F(x) : No tiene expresión analítica
Rxexfx
,)(
2
2
1
2
1
Distribuciones Continuas EspecialesDistribuciones Continuas Especiales
Notación: X N( , 2 )
XE 2XV
EstandarizaciónEstandarización
Haciendo N( 0 , 1 )
se tiene que:
y FZ(z) se obtiene de tablas !
XZ
Rzezfz
z
,)(2
2
1
2
1
3. Distribución Rayleigh
0)(2
2
22
xsiex
xfx
X
01)(2
2
2
xexFx
X
22XE 2)
22( XV
Distribuciones Continuas EspecialesDistribuciones Continuas Especiales
4. Distribución Gamma
)()(
),,(1
xIex
xf R
x
X
x
X dttfxXPxF ),,()()(
XE 2XV
Distribuciones Continuas EspecialesDistribuciones Continuas Especiales
Función Densidad de ProbabilidadesFunción Densidad de Probabilidades
5. Distribución Chi-Cuadrado
Evaluando en Gamma
Se llega a que X 2(n) ( n/2 , 2 )
)(
2)2
(
)2,2
,(2
21
2
xIn
exnxf Rn
xn
X
nXE nXV 2
Distribuciones Continuas EspecialesDistribuciones Continuas Especiales
6. Distribución Beta
X ( r , s ) ssi
)()()()()(
),,(,xIxx
srsr
srxf srX 10
11 1
1
0
11 1 dxxxsr sr )(),(
0
1 0ndyeyn yn)(
Distribuciones Continuas EspecialesDistribuciones Continuas Especiales
)()()(
),(srsr
sr
srr
XE
)()( 12
srsr
rsXV
)()()()(usrrursr
XE
x
X dusrufxXPxF ),,()()(
Función Densidad de ProbabilidadesFunción Densidad de Probabilidades