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SEMINARIO DE VIBRACIONES
VIBRACIONES TORSIONALES EN CIGÜEÑALES
PROFESOR: ING. EDUARDO ALVAREZ
LODATO, LUIS ANDRES 78367 ZAIN, MATIAS JAVIER 77281
MARZO 2006
VIBRACIONES EN CIGUENALES LODATO - ZAIN
1. INTRODUCCION
En general, en el estudio de sistemas oscilantes, los modelos
matemáticos continuos son permiten soluciones medianamente
sencillas para casos de geometrías simples, como ser el caso de
barras esbeltas, o modelos de pocos grados de libertad.
En el caso que nos interesa, la propia geometría del cigüeñal
obliga a crear un modelo simplificado. Para esto se opta por la
discretización de cada parte del objeto estudiado, que permita
sustituir el objeto real por uno estática y dinámicamente
equivalente.
Dicha discretización consiste básicamente en los siguientes
conceptos:
• Separar el objeto en secciones de geometría similar, cuyas
características (masa, posición del centro de masa, etc.)
sean posibles de obtener con estudios relativamente
sencillos.
• Reemplazar la masa distribuida de la parte, por una masa
puntual equivalente.
• Reemplazar las características elásticas distribuidas de la
parte, por un resorte equivalente.
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En la figura se observa el modelo discretizado del cigüeñal de un
motor bicilindrico:
Como se ve, a partir de ahora un cigüeñal será para nosotros un
árbol sin masa con volantes distanciados cada Li y con inercias Ji.
Como metodología de desarrollo, se estudiara primero un árbol
con dos volantes, luego uno con tres, y luego se generalizaran los
resultados para n volantes de manera de poder abarcar cualquier
cigüeñal.
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2. ARBOL CON DOS VOLANTES
Si los momentos Mt y –Mt están aplicados en las secciones donde
están colocados los volantes, dichas secciones girarán una
respecto de la otra un ángulo θ, tal que:
θ = Mt / k
Donde la rigidez torsional k esta dada por:
k = G . Jp / L
Con:
G = modulo de elasticidad transversal
Jp = momento de inercia polar
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Si instantáneamente desaparecen los momentos aplicados Mt y
-Mt, los volantes de inercias J1 y J2 comenzaran un movimiento
oscilatorio uno respecto del otro. Dicho movimiento se denomina
oscilación propia del árbol. Desde el punto de vista cualitativo,
estas oscilaciones serán tanto más rápidas como rígido sea el
árbol y menores las inercias de los volantes.
Es fácil visualizar que a medida que transcurra el tiempo, este
movimiento relativo ira desapareciendo como resultado de las
propias resistencias internas y externas, transformando en calor
parte de la energía elástica, hasta agotarse.
De la misma manera, también es fácil intuir que si se aplicara de
un momento externo de manera sincronizada con la oscilación
propia, el efecto de amortiguamiento podría anularse, o incluso
revertirse. Dicho momento externo, se dice que esta en
resonancia con el árbol, y sus efectos sobre las oscilaciones de
este dependen de la cantidad de energía que sea aportada:
Eaportada = Edisipada oscilaciones de amplitud constante
Eaportada > Edisipada oscilaciones de amplitud creciente
Por lo expuesto, resulta evidente que conociendo la frecuencia del
modo de oscilación propia del árbol, o frecuencia fundamental, se
puede luego abarcar el caso con una excitación externa dada y
prever sus resultados por lo menos cualitativamente.
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2.1 CALCULO DE LA FRECUENCIA FUNDAMENTAL
Así como definimos el giro relativo entre ambas secciones θ,
definimos ahora los giros absolutos instantáneos de dichas
secciones como θ1 y θ2.
Podemos entonces expresar las aceleraciones angulares de cada
sección como:
α1 = ∂2θ1 / ∂t2
α2 = ∂2θ2 / ∂t2
Y por lo tanto, las cuplas de origen inercial de cada volante:
M1 = -J1 . α1 = -J1 . ∂2θ1 / ∂t
2
M2 = J2 . α2 = J2 . ∂2θ2 / ∂t
2
Para que haya equilibrio estático instante a instante, las cuplas
inerciales deben ser constantemente de igual magnitud y sentido
contrario, por lo que podemos plantear:
-J1 . α1 - J2 . α2 = 0 (1)
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Pero sabemos también que cada una de estas cuplas esta
equilibrada dinámicamente por la deformación elástica del árbol,
con lo cual podemos plantear una ecuación más tomando como
referencia uno de los volantes, por ejemplo el primero:
-J1 . α1 – k . (θ1 – θ2) = 0 (2)
Estas dos últimas ecuaciones conforman un sistema de 2x2 que
permitiría resolver el sistema, pero e puede conformar un sistema
más sencillo si se apela a plantear el mismo equilibrio que para la
(2), pero tomando como referencia al volante 2:
J2 . α2 – k . (θ2 – θ1) = 0 (3)
La (2) y la (3) forman un sistema de 2x2 con solución conocida, y
podemos verificar que ambas ecuaciones cumplen también con la
(1).
El sistema de 2x2 planteado por las (2) y (3) acepta solución del
tipo:
θ1 = Θ1 . sen(ω.t) (4)
θ2 = Θ2 . sen(ω.t) (5)
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Las soluciones (4) y (5) coinciden con la suposición de que las
oscilaciones son armónicas, y donde la frecuencia que buscamos
se relaciona con la pulsación:
f = ω / 2π
Para calcular ω, recurrimos a las (4) y (5) y al sistema planteado
anteriormente:
α1 = -Θ1 . ω2 . sen(ω.t) = -ω2 . θ1
α2 = -Θ2 . ω2 . sen(ω.t) = -ω2 . θ2
entonces:
J1 . (-Θ1 . ω2 . sen(ω.t)) + k . (Θ1 . sen(ω.t) - Θ2 . sen(ω.t)) = 0
J2 . (-Θ2 . ω2 . sen(ω.t)) + k . (Θ2 . sen(ω.t) - Θ1 . sen(ω.t)) = 0
Son el sistema final, con el que vamos a trabajar para calcular ω.
J1 . (-Θ1 . ω2) + k . (Θ1 - Θ2) = 0
J2 . (-Θ2 . ω2) + k . (Θ2 - Θ1) = 0
(-J1 ω2 + k) . Θ1 - k . Θ2 = 0
-k . Θ1 + (-J2 ω2 + k) . Θ2 = 0
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El sistema anterior tiene solución trivial Θ1 = Θ2 = 0. La solución
no trivial se encuentra igualando a cero el determinante de la
matriz de coeficientes, lo que resulta en:
J1 . J2 . ω4 - ω2 . K . (J1 + J2)
La anterior es una ecuación bicuadratica que se resuelve
reemplazando ω2 = r, de la que resulta:
r1 = 0
r2 = k . (J1 + J2) / (J1 . J2)
Con lo que hallamos la frecuencia buscada:
f = {(k . (J1 + J2) / (J1 . J2)) / 2π}1/2
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2.2 NODOS
Debe observarse de la ecuación (1) que los momentos inerciales
son iguales y opuestos instante a instante, con lo que producen
aceleraciones angulares también iguales y opuestas instante a
instante.
-J1 . α1 = J2 . α2
Y recordando que:
α1 = -ω2 . θ1
α2 = -ω2 . θ2
Podemos decir que los giros también son de signo opuesto
instante a instante.
Esto significa que existe una sección del árbol que no experimenta
rotaciones. Esta sección (N) se define como sección nodal o nodo.
A partir del nodo, cada tramo del árbol oscila en fase con su
respectivo volante.
Para hallar la posición del nodo, recurrimos de nuevo a las tres
ecuaciones recién mencionadas, de las que deducimos:
-J1 . θ1 = J2 . θ2
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o sea,
-J1 / J2 = Θ2 / Θ1
Por otro lado, sabemos que la magnitud de los giros es
proporcional al la distancia al nodo, o sea:
-L2 / L1 = Θ2 / Θ1
Con lo que obtenemos la posición del nodo:
L2 / L1 = J1 / J2
IMPORTANTE: Debe mencionarse que el sistema de ecuaciones
planteado no permite conocer los valores de las rotaciones, sino
solo su proporción
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3. ARBOL CON TRES VOLANTES
Por las mismas condiciones de equilibrio planteadas para el caso
anterior, formamos el sistema:
J1 . α1 + k1 . (θ1 - θ2) = 0
J2 . α2 + k2 . (θ2 - θ3) – k1 (θ1 - θ2) = 0
J3 . α3 - k2 . (θ2 - θ3) = 0
De la misma forma que antes, consideramos las soluciones
armónicas:
θ1 = Θ1 . sen(ω.t)
θ2 = Θ2 . sen(ω.t)
θ3 = Θ3 . sen(ω.t)
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Y por lo tanto,
α1 = -ω2 . θ1
α2 = - 2 . θ2
α3 = - 2 . θ3
usando estos valores en las tres ecuaciones anteriores tenemos:
1 -J1 ω2) . Θ1 – k1 . Θ2 = 0
2 - k2 . Θ3 = 0
omo volvemos a despreciar la solución trivial, volvemos a
ω6.J1.J2.J3 - ω6.(k1.(J2.J3 + J1.J3) + k1.(J1.J2 + J1.J3)) +
sta es la ecuación gobernante del fenómeno, y aunque no la
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ω
ω
Y
(k
– k1 . Θ1 + (k1 + k2 -J2 ω2) . Θ
(k2 -J3 ω2) . Θ3 – k2 . Θ2 = 0
C
plantear el determinante de la matriz de coeficientes igualado a
cero, y queda la ecuación:
ω2.k1.k2.(J1 + J2 + J3) = 0
E
resolveremos, podemos observar que una solución es ω = 0.
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De la misma forma que antes, una vez conocida la solución ω, se
pueden resolver las ecuaciones de equilibrio planteadas, y obtener
las relaciones entre los giros Θ1, Θ2 y Θ3. Esta solución aportará
tres ecuaciones de relaciones entre los Θ, una de las cuales es
dependiente. De estas ecuaciones se toman dos (las que
relacionan Θ1 con Θ2 y Θ2 con Θ3). El sistema conformado por ellas
se llama vector característico, vector modal, o vector propio. Cada
solución de ω tiene su correspondiente y único vector propio.
Para expresar el vector propio de un sistema oscilante, se recurre
a normalizarlo. Como las soluciones implican siempre relaciones
entre los giros, pero no valores absolutos, se asigna el valor
arbitrario Θ1 = 1 y se expresa el resto del vector con esta
convención. El vector propio así expresado se dice normalizado.
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4. ARBOL CON n VOLANTES
Como es de esperarse, a medida que se agregan volantes al
sistema, las ecuaciones de equilibrio se van complicando y
también la ecuación final de ω. Siempre habrá tantas soluciones
para ω como cantidad de volantes tenga el sistema, y una será
ω = 0. A su vez cada solución creciente en frecuencia implica la
existencia de un nodo más:
ω = 0 no hay nodo
ω = ω1 1 nodo
ω = ω2 2 nodos
.
.
ω = ωn n nodos
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A continuación, se presenta un método práctico para hallar
frecuencias naturales de sistemas lineales de n volantes.
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4.1 METODO HOLZER
Es un método básicamente lógico de suposición y comprobación.
Como se dijo al principio, las soluciones de las pulsaciones ω para
los modos de oscilación propia son aquellas en que, bajo la
ausencia de amortiguación, la amplitud de las oscilaciones se
mantiene constante. Como también dijimos antes, dichas
magnitudes son arbitrarias, y sus valores se expresan en función
de Θ1 = 1.
n un sistema oscilante general como el de la figura, el E
movimiento total será el resultante de la superposición de los n-1
movimientos relativos. Estos n-1 movimientos representan todas
las oscilaciones propias del árbol, por lo que el problema consiste
básicamente en hallar todas las pulsaciones ω tal que la suma de
las cuplas inerciales de los volantes sea nula.
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El árbol de la figura se encuentra moviéndose con una pulsación ω
perteneciente a un modo propio. En esta situación sabemos que
los giros de las secciones se comportan de la forma:
θ1 = Θ1 . sen(ω.t)
θ2 = Θ2 . sen(ω.t)
θ3 = Θ3 . sen(ω.t)
.
.
θi = Θi . sen(ω.t)
Considerando como siempre el equilibrio entre las cuplas
inerciales y las elásticas, se puede plantear el siguiente sistema:
-J1 . ω2 . Θ1 + k1 . (Θ1 - Θ2) = 0
-J2 . ω2 . Θ2 + k1 . (Θ2 - Θ1) + k2 . (Θ2 - Θ3) = 0
-J3 . ω2 . Θ3 + k2 . (Θ3 - Θ2) + k3 . (Θ3 – Θ2) = 0
.
.
-Ji . ω2 . Θi + ki-1 . (Θi – Θi-1) + ki . (Θi - Θi-1) = 0
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Recordando que Θ1 no es una incógnita sino que tiene el valor 1
por convención, podemos escribir la primera ecuación como Θ2 en
función de Θ1, luego la segunda como Θ3 en función de Θ1 y Θ2 y
así sucesivamente, con lo que nos queda:
Θ1 = 1
Θ2 = Θ1 . (1 - J1 . ω2 / k1)
Θ3 = Θ2 . (1 - J2 . ω2 / k2) - Θ1 . J1 . ω
2 / k2
.
.
.
Prosiguiendo de este modo se obtendrán ecuaciones para cada Θi
en función de los Θi-1 anteriores.
Será necesario agregar una última ecuación para el último
volante, que puede ser la que se obtiene planteando el equilibrio
del árbol instante a instante, lo que implica que la suma de las
cuplas inerciales es nula:
Σ Ji ω2 Θi = 0
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De esta manera podemos armar el sistema:
Θ2 = Θ1 . (1 - J1 . ω2 / k1)
Θ3 = Θ2 . (1 - J2 . ω2 / k2) - Θ1 . J1 . ω
2 / k2
.
.
Θn = Θn-1 . (1 - Jn-1 . ω2 / kn-1) - Θn-2 . Jn-2 . ω
2 / kn-1 - . . . . . . . .
- Θ1 . J1 . ω2 / k2
0 = J1 . Θ1 + J2 . Θ2 + J3 . Θ3 + . . . . + Jn . Θn
Eliminando sucesivamente las amplitudes se llega a una ecuación
de ω2 de orden n-1, que aporta n-1 soluciones de ω que son las
n-1 pulsaciones de los modos naturales de vibración.
Como es sabido, las ecuaciones de orden grande pueden ser
extremadamente complejas de resolver de manera directa o
incluso irresolubles, por lo que a veces se debe recurrir a métodos
iterativos o numéricos para hallar los n-1 valores de ω. también
puede graficarse la función aproximándola con una buena cantidad
de puntos representativos y así obtener valores tentativos de las
raíces ω2 que luego se pueden afinar con métodos de mayor
precisión.
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En resumen:
• Se asigna el valor arbitrario Θ1 = 1
• Se obtienen progresivamente los valores de las amplitudes Θi
en función de las Θi-1 anteriores
• Se sustituyen los Θn valores obtenidos en la ultima ecuación
y se iguala a una función F(ω2)
• Se grafica F(ω2) y se hallan las raíces aproximadas
• Se afinan los valores de las raíces hasta la precisión deseada
En la practica, es suficiente buscar las frecuencias de los primeros
modos, dado que son las más bajas y por lo tanto las más fáciles
de alcanzar.
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4.2 NODOS
Los nodos de sistemas de n volantes se pueden hallar
gráficamente una vez que se han determinado todos los valores
relativos a Θ1.
Recordando que para cada modo de vibración su orden implica
igual cantidad de nodos, podemos trazar una “elástica” que una
de manera rectilínea los Θi correspondientes a cada volante.
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El análisis de nodos es de vital importancia en árboles con
volantes dado que las máximas tensiones se producirán en los
tramos donde haya nodos, y sobre todo en los cuales la elástica
tenga mayor pendiente.
5. APLICACION A CIGÜEÑALES
Los análisis realizados hasta ahora son validos partiendo claro
esta, de la base de poder modelar un cigüeñal como un eje sin
masa y volantes de inercia equivalente. E ahí el verdadero
problema: reemplazar el cigüeñal real por un modelo totalmente
equivalente.
Luego de muchos estudios exhaustivos, con los años se han
logrado compilar datos que permiten determinar parámetros que
modelen de manera lo más precisa posible el árbol equivalente.
Las masas rotantes a tener en cuenta son:
• la masa del cigüeñal
• la masa rotativa de la biela
• la mitad de la masa de las partes con movimiento alternativo
• la masa del volante de inercia
• la masa de los órganos cuyo movimiento es transmitido por
engranajes (distribución, etc.)
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El estudio de la biela merece una consideración aparte, ya que es
el único elemento cuyo movimiento es en parte lineal y en parte
rotativo, por esto se recurre a dividir su masa total en dos
fracciones, una correspondiente a movimiento rotativo y otra al
alternativo. Esta separación es difícil de realizar dado que debe
cumplir dos condiciones que generalmente son excluyentes:
-no debe cambiar la posición del centro de masa global
-ídem el centro de percusión
Por esto, en general se adopta una solución de compromiso que
minimice el error.
Para las partes con movimiento alternativo (pistones y fracción de
biela) el momento de inercia equivalente se calcula:
JALTER = JCIG + mALTER . r2 / 2
donde:
JCIG = inercia del cigüeñal y masas rotativas
mALTER = masa de las partes alternativas
r = radio de la manivela
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Para los accesorios arrastrados por engranajes se considera la
inercia equivalente mediante un análisis de la energía cinética del
conjunto, reducida al eje principal que es en este caso el del
cigüeñal. Se obtiene entonces:
JACCES = Ji . i2
donde:
Ji = inercia de los accesorios respecto de su propio eje
i = relación de transmisión entre el eje del accesorio considerado
y el del cigüeñal
Una vez conocidas las inercias de cada parte involucrada, se
deberá dividir el cigüeñal en una cantidad representativa de partes
cada una con su baricentro definido. El árbol equivalente estará
conformado por volantes que comparten con su correspondiente
sección las siguientes características:
• misma masa que las partes que allí actúan
• mismo baricentro
• misma inercia que las partes que allí actúan
• misma rigidez torsional de cada tramo
De esta última condición depende la validez de todo el modelo.
Por lo tanto se recure al siguiente análisis:
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La rotación real de una sección baricentrica respecto de la
siguiente estará dada por la siguiente relación correspondiente a
resistencia de materiales:
θ = Mt . L / (G . JP)
Si asignamos momentos de inercia arbitrarios a los tramos que
separan a cada volante, podemos decir:
θ’ = Mt . L’ / (G . JP’)
y como la rotación relativa debe ser la misma en el real y en el
modelo:
Mt . L / (G . JP) = Mt . L’ / (G . JP’)
con lo que obtenemos la relación:
L’ = L . JP / JP’
De esta manera se puede construir el árbol equivalente para
calcular las frecuencias propias del cigüeñal.
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