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2014 (Actualizavión 2015)
© J.S. Ramírez-Navas 1
Ciencia y Tecnología de los Alimentos
Juan Sebastián Ramírez-Navas IQ, PhD Escuela Nacional del Deporte
Nutrición y Dietética Cali – Colombia
Bases matemáticas para la Ciencia y Tecnología de Alimentos
Juan Sebastián Ramírez-Navas IQ, PhD Escuela Nacional del Deporte
Nutrición y Dietética Cali – Colombia
CONTENIDO
CyTA
Contenido
Sistema Internacional de Unidades
Bases matemáticas para la Ciencia y Tecnología de los alimentos:
Proporciones, Fracciones, Porcentajes,
operaciones algebraicas, despeje de ecuaciones,
sistemas de ecuaciones, aplicaciones
Estequiometria y Ecuación Química
Bibliografía
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CyTA
Resolución de problemas
• En primer término se tendrá un enunciado, que resume los requerimientos de algún problema real (en general, llegar al planteamiento de un enunciado en el que se indica claramente cuál es el problema que debe resolverse, es una tarea nada fácil cuando se trabaja en una planta)
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2014 (Actualizavión 2015)
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Resolución de problemas
• Después del enunciado, la primera fase de la resolución será traducir el enunciado al lenguaje usado en ingeniería química, es decir, construir el diagrama de flujo, colocar los datos conocidos en las diferentes líneas de flujo y tratar de presentar en forma matemática la pregunta o preguntas que se espera sean contestadas por medio de la resolución
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Resolución de problemas
• Inmediatamente se procederá a la resolución usando los conocimientos matemáticos, físicos o químicos a nuestro alcance y planteando ecuaciones matemáticas que nos lleven a una solución.
• En esta fase se evitará el uso de números y se trabajará únicamente con ecuaciones algebraicas y diferenciales.
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Resolución de problemas
• Cuando ha sido posible plantear el resultado de esta manera, es fácil sustituir las variables algebraicas por los datos numéricos y así obtener el resultado, el cual por último deberá traducirse al mundo real, o sea, presentarse en forma escrita indicando los resultados y requerimientos con palabras y números
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Resolución
– Leer bien el enunciado del problema
– Resolución
• Traducción
• Planteamiento
• Sustitución y cálculos
• Resultados
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FRACCIONES
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Concepto
• Fracción
– Es la parte de un entero
• Número fraccionario
– todo número fraccionario representa el cociente exacto de una división en la cual el numerador representa el dividendo y el denominador el divisor.
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Partes de una fracción
3
4
Numerador
Denominador
Indica el número de partes en que se divide la unidad o el entero.
Indica el número de partes que se toman del entero.
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Tipos de fracciones
Propias
Impropias
Mixtas
Son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador.
Son aquellas en las que el numerador es mayor o igual que el denominador.
Son aquellas que están compuestas por una parte entera y una fracción.
3
5
1
2
8
15
8
8
7
5
13
10
2
7 1
3
5 8
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Conversión de fracciones
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3
2 = 1
1
2
3
6
1
2
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Conversión de fracciones
Fracciones equivalentes
• Son aquellas que se escriben diferente, pero representan la misma cantidad.
1
2 2
4 3
6
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Comparación de fracciones
“Mayor que” “Menor que” “Igual”
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1
2
2
5
5 4
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RAZONES Y PROPORCIONES
CyTA 3
2
66666,03
2
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Razones y proporciones
• Cuando decimos “la razón entre el número a y el número b es...” estamos diciendo lo siguiente: “la división entre el número a y el número b es ...” O de otra forma: “a dividido por b es la razón entre a y b”
• La palabra razón es sinónimo de división
• Realicemos la siguiente división
• Esto es, 2 divido por 3, o en nuestro nuevo lenguaje, la razón entre 2 y 3 (que es diferente a decir la razón entre 3 y 2) es
6
4
66666,03
2
32
22
6
4
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Razones y proporciones
• La razón entre 2 y 3 es 0,66666.
• Calculemos ahora la razón entre 4 y 6, esto es
• No resulta complicado verificar que la “división” entre 4 y 6 tiene como resultado la misma razón entre 2 y 3
• Por lo demás,
• De manera que, podemos decir que existe la “misma razón” entre 2 y 3 que entre 4 y 6.
3 metros
2 metros
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Razones y proporciones
• ¿Por qué se debe utilizar, en algunos casos, la palabra razón más que la palabra división?
• Observe esta antena, compuesta por una barra vertical y una horizontal. La barra vertical tiene una longitud de tres metros, y la barra horizontal tiene una longitud de dos metros. De este modo la razón entre la longitud horizontal y la longitud vertical es de 2/3.
3 metros
2 metros
6 metros
4 metros
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Razones y proporciones
• Si se construye una antena de longitud horizontal de 4 metros y de longitud vertical de 6 metros
• Esta nueva antena, más grande, tiene la misma razón entre la barra horizontal y la barra vertical que la antena más pequeña.
• De tal forma que, más que una división entre longitud vertical y longitud horizontal, la razón nos está indicando una forma de “construcción”, un cierto “patrón” de cómo construir antenas similares a la antena pequeña.
1000
17
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• Entendiendo ahora la razón entre la cantidad a y la cantidad b como una medida de relación entre a y b, se tiene una poderosa herramienta de medición con muchas aplicaciones al entorno real
– Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de
– Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 17 bebés.
– Entonces ¿por cada 2000 habitantes cuántos nacimientos ocurrirán durante el año? (recuerde la antena, en este caso la barra horizontal son los recién nacidos y la barra vertical los habitantes)
Razones y proporciones
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1000 habitantes
17 recién nacidos
2000 habitantes
x recién nacidos 20001000
17 x 34
1000
172000 x
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• Ambas antenas, que representan esquemáticamente a la población, deben estar en la misma razón, esto es
• Esto es, por cada 2000 habitantes nacerán 34 bebés anualmente.
Razones y proporciones
4939843,92
126000 habitantes por kilómetro cuadrado
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• La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional.
• Por ejemplo, se sabe que la población de la Segunda Región de Antofagasta es de 493984 personas, y también se sabe que la superficie de la Segunda Región es de 126000 kilómetros cuadrados.
• Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de
• ¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!
Razones y proporciones
1
3 130000
xrazón =
estudiantes enfermos
número de estudiantes =
130000
3x 43333x
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• Se dice en los organismos de salud que, en invierno, la razón de enfermedades bronquiales es que se enfermará un estudiante de cada tres
• Si la población estudiantil de la ciudad de Cali es de 130000 estudiantes, ¿cuántos se enfermarán este invierno aproximadamente?
• ¡Aproximadamente 43333 estudiantes se enfermarán este invierno!
Razones y proporciones
REGLA DE TRES
CyTA
Regla de tres
• Es una forma de resolución de problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita.
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Regla de tres
Directa
Inversa
Mixta
Regla de tres
Simple y directa
A B
X Y
X BY
A
simple inversa
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A B
X Y
A BY
X
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Regla de tres simple directa
• Si necesito 2 litros de leche para el desayuno de 8 niños, ¿Cuántos litros de leche se necesita para 15?
• De los 800 estudiantes universitarios, han viajado por tierra (en bus) 600 estudiantes. ¿Qué porcentaje de estudiantes ha ido de viaje por tierra (en bus)?
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8 2
15 Y
15 2 30Y 3,75
8 8
800 100%
600 Y
600 100%Y 75%
800
Regla de tres simple inversa
• Si 8 trabajadores realizan todo su trabajo en 10 horas, ¿cuánto tardarán 3 trabajadores en realizar la misma cantidad de trabajo?
• Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?
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8 10
3 Y
8 10Y 26,67
3
25 300
75 Y
25 300Y 100
75
PORCENTAJE
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Porcentajes
• El cálculo de porcentajes forma parte de las actividades cotidianas, por ejemplo, en el pago de impuestos, en la interpretación de estadísticas o en los descuentos.
• A pesar de su uso frecuente,
muchas personas, grandes y
chicas, tienen dificultad para
calcularlo.
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¿Qué significa Porcentaje?
45(120) 54
100
36(215) 77,4
100
El a por ciento de N se denota por: a % de N
Y se define como: a
a% de N (N)100
Ejemplos:
Calcule el 45% de 120
Calcule el 36% de 215 soles
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Porcentajes Porcentajes
• No se puede realizar sumas o restas:
100 + 25%
2x – 10%
• Siempre debe estar referido a una cantidad.
250 + 15%(200)
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Literal Simbólico Fraccionario Decimal
25%(N) 0,25(N)
60 por ciento de N
60%(N) 0,60(N)
16%(N) 0,16(N)
122 por ciento de N
25
N100
60
N100
122
N100
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Porcentajes Calcular 35% de 60
CALCULADORA NO CIENTÍFICA
Deberás teclear:
60 x 35 %
y aparecerá el resultado en la pantalla
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CALCULADORA CIENTÍFICA
La secuencia de teclas depende del modelo de calculadora. Para la Casio es:
60 x 35 SHIFT =
SHIFT activa la segunda función de las teclas
Tecla = contiene % como segunda función
SHIFT
=
%
SHIFT + = %
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Cálculo de porcentajes: con calculadora
Aumentos y descuentos
• Si una cantidad N aumenta en a%, se obtiene:
• Ejemplo
– Si una cantidad C se aumenta en 15%, se obtiene:
• Si una cantidad N disminuye en a%, se obtiene:
• Ejemplo
– Si una cantidad P se disminuye en 15%, se obtiene:
100 15
P 0,85 P100
a 100 a
N N N100 100
100 15
C 1,15 C100
a 100 a
N N N100 100
jsrn jsrn
¿Cuánto queda si una cantidad x .....?
Literal Simbólico Decimal
Disminuye en 10%
Disminuye en 40%
Disminuye en 42%
Disminuye en 35%
Aumenta en 10%
Aumenta en 30%
Aumenta en 15%
Aumenta en 23%
90% x
110% x
130% x
65% x
115% x
58% x
123% x
60% x
0,90 x
1,10 x
1,30 x
0,65 x
1,15 x
0,58 x
1,23 x
0,60 x
100%x - 10%x
100%x - 40%x
100%x + 10%x
100%x + 30%x
100%x - 35%x
100%x + 15%x
100%x - 42%x
100%x + 23%x
Variación porcentual
• Ejercicio
• En el mes de diciembre, un trabajador recibe 2400 soles de remuneración, en enero su remuneración es de 2600 soles. – Calcule la variación de su sueldo:
– Calcule la variación porcentual de su sueldo:
2600 – 2400 = 200 soles
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2600 2400
100 8,34%2400
Aplicación
• Dos personas siguen dietas diferentes y después de dos meses sus pesos fueron los siguientes:
• ¿Cuál fue la variación en peso de cada persona?, ¿Quién bajó más? • ¿Cuál fue la variación porcentual en el peso de cada persona?,
¿Quién bajó más?
Antes Después
Persona 1 70 kg. 60 kg.
Persona 2 60 kg. 51 kg.
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FRACCIÓN MÁSICA
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Fracción másica
• Es la masa (el peso) m de la sustancia dividida entre la masa (el peso) total de todas las sustancias presentes.
• Aunque lo que se pretende expresar es la fracción en masa, suele usarse el término fracción en peso.
i
masa de ix
masa total
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Ejemplo
Un limpiador de cañerías de grado industrial contiene 5,00 kg de agua y 5,00 kg de NaOH. ¿Cuál es la fracción
en masa (peso) y el porcentaje de cada uno de los componentes dentro del recipiente del limpiador de
cañerías?
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Resolución
Base de cálculo: 10 kg de disolución total
Componente kg Fracción en peso Porcentaje
H2O 5
NaOH 5
10
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Resolución
Base de cálculo: 10 kg de disolución total
Componente kg Fracción en peso Porcentaje
H2O 5 5/10 = 0,5 50%
NaOH 5 5/10 = 0,5 50%
10 1,0 100%
METROLOGÍA
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Metrología
• Del griego μετρoν, medida y λoγoς, tratado.
• Es la materia matemática y técnica que estudia las mediciones de las magnitudes garantizando su normalización mediante la trazabilidad.
• Acota la incertidumbre en las medidas mediante un campo de tolerancia.
• Incluye el estudio, mantenimiento y aplicación del sistema de pesos y medidas.
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Metrología
• Actúa tanto en los ámbitos científico, industrial y legal, como en cualquier otro demandado por la sociedad.
• Su objetivo fundamental es la obtención y expresión del valor de las magnitudes empleando para ello instrumentos, métodos y medios apropiados, con la exactitud requerida en cada caso.
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Metrología
• Tiene dos características muy importantes:
– el resultado de la medición y
– la incertidumbre de medida
• Su campo de acción
– Acuerdos internacionales para patrones de medida
– Aseguramiento de la calidad en mediciones
– Certificación (Empresas de certificación)
– Calibraciones
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SISTEMAS DE UNIDADES
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Sistema de unidades
• Se entiende por Sistema de Unidades el conjunto sistemático y organizado de unidades adoptado por convención.
• Definen un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto.
• Es un sistema coherente ya que el producto o el cociente de dos o más de sus magnitudes da como resultado la unidad derivada correspondiente.
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Sistema de unidades
• Existen varios sistemas de unidades:
– Sistema Internacional de Unidades o SI
– Sistema métrico decimal
– Sistema cegesimal o CGS
– Sistema Natural
– Sistema técnico de unidades
– Sistema anglosajón de unidades
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Otros sistemas de unidades
• Gravitatorios: Técnico - Terrestre
• Norteamericano De Ingeniería
• MKSC
• MKSA
• Practico
• Británico de Unidades
• Técnico Gravitacional
• Ingles Absoluto
• Británico
• Inglés
• Técnico Británico
• Técnico Inglés
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Sistema métrico
• Fue una de las muchas reformas aparecidas durante el periodo de la Revolución Francesa.
• A partir de 1790, la Asamblea Nacional Francesa, hizo un encargo a la Academia Francesa de Ciencias para el desarrollo de un sistema único de unidades
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Sistema métrico
• El establecimiento internacional del Sistema Métrico Decimal comenzó en 1875 mediante el tratado denominado la Convención del Metro
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Sistema métrico
“....nada más grande y ni más sublime ha salido de las
manos del hombre que el sistema métrico decimal”
Antoine de Lavoisier
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Sistema MKS
• En 1935, en el Congreso Internacional de los Electricistas celebrado en Bruselas, Bélgica, el ingeniero italiano Giovanni Giorgi propone y logra que se acepte su sistema.
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Sistema MKS
• Este sistema es llamado absoluto, pues como magnitud fundamental se habla de la masa y no del peso de los cuerpos, este sistema recibe el nombre de MKS, cuyas iniciales corresponden al metro, al kilogramo y al segundo como unidades de masa, longitud y tiempo respectivamente.
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Sistema Internacional de Unidades
• En 1889 se estableció una organización internacional denominada Conferencia General de Pesas y Medidas, que actualmente cuenta con representantes de la mayoría de los países del mundo.
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Sistema Internacional de Unidades
• En virtud de que en el mundo científico se buscaba uniformidad en un solo sistema de unidades que resultara práctico, claro y acorde con los avances de la ciencia, en 1960, científicos y técnicos de todo el mundo, se reunieron en Ginebra, Suiza en la XXI Conferencia General de Pesas y Medidas, y acordaron adoptar el llamado Sistema Internacional de Unidades (SI).
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Sistema Internacional de unidades
• El sistema de unidades definido por esta organización, basado en el Sistema Métrico Decimal tiene seis unidades fundamentales: metro, kilogramo, segundo, ampere, Kelvin y candela
• En 1971 se agregó la séptima unidad fundamental: el mol.
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Sistema Internacional de unidades
• El SI presenta coherencia porque:
– Define las unidades en términos referidos a algún fenómeno natural constante e invariable de reproducción viable.
– Logra una considerable simplicidad en el sistema al limitar la cantidad de unidades base.
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SI en Colombia
Si bien desde 1967 (Decreto 1731 del 28 de septiembre) se adoptó legalmente el SI, y se lo ratificó por medio del Decreto 3464 de 1980, sólo hasta la expedición de la Ley 1512 de 2012 (6 de febrero) el Congreso de la República aprobó el ingreso de Colombia como miembro pleno a la Convención del Metro, convirtiéndose en el país firmante número 84.
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SISTEMA INTERNACIONAL
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Definiciones
• Las dimensiones son el conceptos básicos de medición, como longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.
• Las unidades son la forma de expresar las dimensiones, como pies o centímetros para la longitud, u horas o segundos para el tiempo.
• Magnitud: todo aquello que puede ser medido.
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Definiciones
• Magnitud fundamental: cada una de las magnitudes que en un sistema, se aceptan por convención como funcionalmente independiente una respecto de otro.
• Magnitud derivada: su nombre lo dice, es aquella que se deriva de las fundamentales y están ligadas mediante relaciones matemáticas bien definidas.
• Magnitud suplementaria: lo que se agrega para completar.
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Definiciones
• Las magnitudes derivadas resultan de multiplicar o dividir entre sí las magnitudes fundamentales.
– Por ejemplo al multiplicar la magnitud fundamental de la longitud por sí misma, nos da la longitud al cuadrado que en el sistema Internacional es metro cuadrado (m2), que corresponde al área o superficie.
– Al multiplicar longitud por longitud por longitud obtenemos metros cúbicos (m3), que es una de las unidades con la cual se expresa el volumen.
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Definiciones
• Unidad de Medida: Valor de una magnitud para la cual se admite, por convención, que su valor numérico es igual a uno (1). Se fija la unidad de medida de una magnitud para hacer posible la comparación cuantitativa entre diferentes valores de una misma magnitud.
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Definiciones
• Al anexar unidades a todos los números que no son fundamentalmente adimensionales, se obtienen los siguientes beneficios prácticos: – Menor probabilidad de invertir, sin darse cuenta, una parte
del cálculo.
– Reducción en el número de cálculos intermedios y en el tiempo durante la resolución de problemas.
– Un enfoque lógico del problema, en lugar de limitarse a recordar una fórmula e insertarle números.
– Fácil interpretación del significado físico de los números empleados
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Unidades fundamentales del SI
Unidad Símbolo
Longitud Metro (m)
Masa Kilogramo (kg)
Tiempo Segundo (s)
Temperatura Kelvin (º K)
Intensidad de corriente eléctrica Ampere (A)
Intensidad luminosa Candela (cd)
Cantidad de sustancial Mol (mol)
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• En 1889 se definió el metro (m) patrón como la distancia entre dos finas rayas de una barra de aleación platino-iridio.
• El interés por establecer una definición más precisa e invariable llevó en 1960 a definir el metro como “1 650 763,73 veces la longitud de onda de la radiación rojo-naranja del átomo de kriptón 86 (86Kr)”.
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Longitud Longitud
• Desde 1983 se define como "la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz, durante un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 segundos".
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1 m
1 segundo
299,792,458 t
• La primera definición de kilogramo (kg) fue “la masa de un litro de agua destilada a la temperatura de 4°C”.
• En 1889 se definió el kilogramo patrón como “la masa de un cilindro de una aleación de Platino-Iridio”.
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Masa Masa
• Este estándar es el único que requiere comparación para validar un artefacto.
• En la Oficina Internacional de Pesos y Medidas hay una copia del estándar
• En la actualidad se intenta definir de forma más rigurosa, expresándola en función de las masas de los átomos.
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Tiempo
• Su primera definición fue: "el segundo es la 1/86 400 parte del día solar medio".
• Con el aumento en la precisión de medidas de tiempo se ha detectado que la Tierra gira cada vez más despacio, y en consecuencia se ha optado por definir el segundo en función de constantes atómicas.
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Tiempo
• Desde 1967 se define como "la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de Cesio 133".
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Reloj atómico de fuente de cesio: El tiempo primario y la frecuencia estándar
para el USA (NIST)
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Corriente eléctrica
• El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y colocados a una distancia de un metro uno del otro en el vacío, produce entre estos conductores una fuerza igual a 2 x 10-7 newton por metro de longitud.
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Temperatura
• Hasta su definición en el Sistema Internacional el Kelvin y el grado Celsius tenían el mismo significado.
• El Kelvin (K), unidad de temperatura, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.
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Intensidad luminosa
• La candela (cd) es la intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 x 1012 hertz y de la cual la intensidad radica en esa dirección es 1/683 watt por estereoradian.
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• La candela (cd) comenzó definiéndose como la intensidad luminosa en una cierta dirección de una fuente de platino fundente de 1/60 cm2 de apertura, radiando como cuerpo negro, en dirección normal a ésta
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Intensidad luminosa
Ángulo sólido
• El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.
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Cantidad de materia
• Antes no existía la unidad de cantidad de sustancia, sino que 1 mol era una unidad de masa "gmol, kmol, kgmol“
• Ahora el mol se define como la cantidad de sustancia de un sistema que contiene un número de entidades elementales igual al número de átomos que hay en 0,012 kg de carbono-12
• NOTA: Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones …
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Unidades derivadas sin nombre especial
Magnitud Nombre Símbolo
Superficie metro cuadrado m2
Volumen metro cúbico m3
Densidad de masa kilogramo por metro cúbico kg/ m3
Velocidad lineal metro por segundo m/s
Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2
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Unidades derivadas del SI
jsrn
Unidades derivadas del SI
Unidades derivadas sin nombre especial
Magnitud Nombre Símbolo
Ángulo plano Radian rad
Ángulo sólido Esteroradian sr
Velocidad angular radián por segundo rad/s
Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2
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Unidades derivadas del SI
Unidades derivadas con nombre especial
Magnitud Nombre Símbolo
Frecuencia hertz Hz
Fuerza newton N
Presión pascal Pa
Energía, trabajo joule J
Potencia watt W
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Unidades derivadas del SI
Unidades derivadas con nombre especial
Magnitud Nombre Símbolo
Resistencia eléctrica ohm Ω
Voltaje volt V
Flujo luminoso lumen lm
Iluminación lux lx
Ejemplo de construcción de unidades derivadas
m kg s
m3
kg·m/s2 m/s
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Unidades aceptadas que no pertenecen al SI
Magnitud Nombre Símbolo
Masa tonelada t
Tiempo minuto min
Tiempo hora h
Tiempo día d
Temperatura grado celsius °C
Volumen litro L ó l
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Unidades aceptadas que no pertenecen al SI
Magnitud Nombre Símbolo
Angulo plano grado °
Angulo plano minuto ’
Angulo plano segundo ’’
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Unidades en uso temporal con el SI
Magnitud Nombre Símbolo
Energía kilowatthora kWh
Superficie hectárea Ha
Presión bar Bar
Radioactividad curie Ci
Dosis adsorbida Rad rd
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Unidades desaprobadas por el SI
Magnitud Nombre Símbolo
Longitud fermi fermi
Presión atmósfera atm
Energía caloría cal
Fuerza Kilogramo-fuerza kgf
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Múltiplos y submúltiplos decimales
Múltiplos Submúltiplos
Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo
1018 exa E 10-1 deci d
109 giga G 10-2 centi c
106 mega M 10-3 mili m
103 kilo k 10-6 micro μ
102 hecto h 10-9 nano n
101 deca da 10-18 atto a
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Reglas generales para el uso del SI
• Todo lenguaje construye reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicación
• El Sistema Internacional de Unidades - SI construyó sus propias reglas
• Cambiar o alterar las reglas causan ambigüedades
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Reglas para usar los símbolos
• No se colocarán puntos luego de los símbolos de las unidades SI, sus múltiplos o submúltiplos. Ejemplo: kg
• El símbolo de la unidad será el mismo para el singular que para el plural. Ejemplo: 1 kg - 5 kg
• No se acepta la utilización de abreviaturas para designar las unidades SI. Ejemplo: grs
• Los símbolos se escriben a la derecha de los valores numéricos separados por un espacio en blanco. Ejemplo: 10 A
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• Cuando se deba escribir (o pronunciar) el plural del nombre de una unidad SI, se usarán las reglas de la gramática española. Ejemplo: metro - metros
• No deberán combinarse nombres y símbolos al expresar el nombre de una unidad derivada. Ejemplo: metro/s
• Cada unidad y cada prefijo tiene un solo símbolo y éste no puede ser alterado de ninguna forma. No se debe usar abreviaturas. Ejemplo:
Correcto incorrecto 30 kg 30 kgrs 5 m 5 mts
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Reglas para usar los símbolos Reglas para usar los símbolos
• Los símbolos se escriben a la derecha de los valores numéricos separados por un espacio en blanco. Ejemplo: 10 A - 30 m - 40° 30’ 20’’
• Todo valor numérico debe expresarse con su unidad, incluso cuando se repite o cuando se especifica la tolerancia. Ejemplo: 30 m ± 0,1 m
• Luego de un símbolo no debe escribirse ningún signo de puntuación, salvo por regla de puntuación gramatical, dejando un espacio de separación entre el símbolo y el signo de puntuación. Ejemplo: 7,1 m .
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La coma como marcador decimal
• La coma es reconocida por la Organización Internacional de Normalización - ISO- como único signo ortográfico en la escritura de los números utilizados en documentos y normalización.
• La importancia de la coma para separar la parte entera de la decimal, es enorme.
• La grafía de la coma se identifica y distingue mucho más fácilmente que la del punto.
• El punto facilita el fraude, puede ser transformado en coma, pero no viceversa.
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Uso del nombre de las unidades
• El nombre completo de las unidades SI se escribe con letra minúscula, con la única excepción de grado Celsius, salvo en el caso de comenzar la frase o luego de un punto. Ejemplo: metro - kilogramo - newton - watt
• Las unidades, los múltiplos y submúltiplos, solo se podrán designarse por sus nombre completos. Ejemplo:
• m (metro)- kg (kilogramo) - K (kelvin)
• Las unidades cuyos nombres son los de los científicos, no se deben traducir, deben escribirse tal como en el idioma de origen. Ejemplo: newton - joule - ampere
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Escritura de numeros en documentos
• En números de muchas cifras, éstas se agrupan de tres en tres, a partir de la coma, tanto para la parte entera como para la decimal. Ejemplo: 1 234 567,890 12
• La primera cifra a la izquierda de la coma decimal tiene, como valor posicional, el de la unidad en la que se expresa el número. Ejemplo: 34,50 m (la cifra 4 indica metros)
• Si un símbolo que contiene un prefijo está afectado por un exponente, éste (el exponente) afecta toda la unidad. Ejemplo: 1 cm2 = (0,01m)2
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Uso de los prefijos
• Todos los nombres de los prefijos del SI se escriben con letra minúscula. Ejemplo: kilo - mega - micro
• Los símbolos de los prefijos para formar múltiplos se escriben con letra griega mayúscula, salvo el prefijo kilo, que por convención se escribe con letra (k) minúscula. Ejemplo: exa E - giga G - kilo k
• Los símbolos de los prefijos para forma submúltiplos se escriben con letra latina minúscula, salvo el símbolo del prefijo micro, para el cual se usa la letra griega mu minúscula ( µ ). Ejemplo: mili m - micro µ
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Representacion del tiempo
• El día está dividido en 24 horas, por lo tanto las horas deben denominarse desde las 00 hasta las 24.
• El tiempo se expresará utilizando dos cifras, para expresar los valores numéricos de las horas, de los minutos y de los segundos, separados de los símbolos de estas unidades mediante espacios en blanco y de acuerdo al siguiente orden: hora, minuto, segundo.
• Ejemplo: 12h 05 min 30s - 00h 30 min 05 s
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Representacion de la fecha en forma numerica
• Para expresar el año se utilizarán cuatro cifras, las que se escribirán en bloque. Cuando no exista riesgo de confusión podrán utilizarse sólo dos cifras.
Ejemplo: 1990 ó 90 2003 ó 03
• Se utilizarán dos cifras para representar los días y los meses. Al escribir la fecha completa se representará el orden siguiente: año, mes, día y se usará un guión para separarlos.
• Ejemplo: 15 de octubre de 2003 - 2003-10-15 ó 03-10-15
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Ejemplos
Correcto
s
g
L/min
km/h
cm3
50 gramos
50 g
10 m x 20 m x 50 m
de 10 g a 550 g
Incorrecto
Seg seg
GR grs grm
LPM
KPH
cc cmc c m3
50 gramo
50 gr 50 grs
10 x 20 x 50 m
de 10 a 550 g
jsrn
Ejemplos
Correcto
de 10 g a 550 g
(30,5 ± 0,01)m
30,5 m ± 0,01 m
1,23 nA
123,45
0,876
1,25
123 456,123
Incorrecto
de 10 a 500 g
30,5 ± 0,01 m
30,5 m ± 0,01
0,001 23 µA
123.45
,876
1¼
123.456,234
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Ejemplos
Correcto
1,234 567
N.m
kg.m
N/m2
m
Pa
kg
Hz
Incorrecto
1,234567
Nm
Kgm
N:m2
m
Pa
KG
hz
jsrn
Ejemplos
Correcto
K
newton
joule
ampere
watt
Incorrecto
k
niutonio - nuton
julio
amperio
vatio
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Unidades a la colombiana
• Bulto - papas, repollo, maíz • Caja - tomate, pepino • Racimo - plátano ;
submúltiplo gajo • Chuspa (bolsa) - leche • Atado - cebolla, panela • Guango – leña • Carga – café • Eche: 20 (gasolina) • Chipa – hierro • Kilo(s)
• Libra(s) - papa, carne, puntillas
• Tabaco - medir distancias • Poma – guarapo • Arroba • Manojo • Mate (manjar blanco) • Puño • En las ferreterías se utiliza el
sistema inglés
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CONVERSIÓN DE UNIDADES
Procesos industriales
Reglas para manejar las unidades
• Las reglas para manejar las unidades son en esencia muy sencillas:
– Suma, resta, igualdad: Sólo es posible sumar, restar o igualar cantidades si las unidades de dichas cantidades son las mismas
– Multiplicación y división: Podemos multiplicar o dividir unidades distintas a voluntad
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Unidades y conversiones
• Por medio de las equivalencias podemos convertir unidades de un sistema a otro, como se ve en la tabla siguiente.
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Factor de conversión
• Los FC son expresiones de valores equivalentes de diferentes unidades del mismo sistema o de sistemas distintos
• El FC es la expresión de una cantidad con sus respectivas unidades, que es usada para convertirla en su equivalente en otras unidades de medida establecidas en dicho factor.
• En cualquier equivalencia de unidades de medida se pueden obtener dos factores de conversión.
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Procedimiento para convertir unidades
• Escriba la cantidad a convertir.
• Defina cada unidad en términos de la unidad deseada.
• Para cada definición, forme dos factores de conversión, uno como el recíproco del otro.
• Multiplique la cantidad a convertir por aquellos factores que cancelarán todo menos las unidades deseadas
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Ejemplo 1: Convertir 12 in. a centímetros dado que 1 in. = 2,54 cm
Paso 1: Escriba la cantidad a convertir.
12 in.
Paso 2. Defina cada unidad en términos de la unidad deseada.
1 in. = 2,54 cm
Paso 3. Para cada definición, forme dos factores de conversión, uno como el recíproco del otro.
1 in.
2,54 cm
2,54 cm
1 in.
jsrn
Del paso 3. o 1 in.
2,54 cm
2,54 cm
1 in.
2.54 cm12 in. 30.5 cm
1 in.
Ejemplo 1: Convertir 12 in. a centímetros dado que 1 in. = 2,54 cm
21 in. in.12 in. 4.72
2.54 cm cm
¡Mala elección!
Paso 4. Multiplique por aquellos factores que cancelarán todo menos las unidades deseadas. Trate algebraicamente los símbolos de unidades.
¡Respuesta correcta!
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Ejemplo 2: Convertir 60 mi/h a unidades de km/s dado 1 mi = 5280 ft y 1 h = 3600 s.
Paso 1: Escriba la cantidad a convertir.
Paso 2. Defina cada unidad en términos de las unidades deseadas.
mi60
h
Nota: Escriba las unidades de modo que los numeradores y denominadores de las fracciones sean claros.
1 mi. = 5280 ft
1 h = 3600 s
jsrn
Ejemplo 2: Convertir 60 mi/h a unidades de km/s dado 1 mi = 5280 ft y 1 h = 3600 s.
Paso 3. Para cada definición, forme dos factores de conversión, uno como recíproco del otro.
1 mi = 5280 ft
1 h = 3600 s
1 mi 5280 ft o
5280 ft 1 mi
1 h 3600 s o
3600 s 1 h
El paso 3, que se muestra aquí por claridad, en realidad se puede hacer mentalmente y no se necesita escribir.
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Paso 4. Elija factores para cancelar las unidades no deseadas.
mi 5280 ft 1 h60 88.0 m/s
h 1 mi 3600 s
Tratar algebraicamente la conversión de unidades ayuda a ver si una definición se usará como multiplicador o como divisor.
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Ejemplo 2: Convertir 60 mi/h a unidades de km/s dado 1 mi = 5280 ft y 1 h = 3600 s.
Más ejemplos
• La distancia que hay del home al jardín central de un campo de beisbol es de 400 pies (ft), convierta esta cantidad a metros.
• Convierta una longitud de 1500 millas a kilómetros.
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400 pies0,304m
*1pie
400*0,304m 121,92m
1
1500 millas1609m
*1milla
1500*1609m 2412000m
1
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Más ejemplos
• Convertir una velocidad de 110 km/h a m/s.
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km110
h
1000m*
1km
1h*
110*1000 m m30,55
3600s 3600 s s
EXPONENTES
CyTA
Exponente
• Término utilizado en matemáticas para indicar el número de veces que una cantidad se ha de multiplicar por sí misma.
• Un exponente se escribe normalmente como un pequeño número o letra en la parte superior derecha de la expresión.
– Ejemplo: • x2
• (x+y)3
jsrn
an
denota
el producto a.a.a…a
(n factores)
Exponente
jsrn
Leyes de los exponentes
m n m n
mm n
n
0
m n mn
a (a ) a
aa
a
a 1
(a ) a
2 4 2 4 6x x x x 7 8 7 8 15w w w w
88 2 6
2
xx x
x
14
14 8 6
8
zz z
z
8
3 3 8 24x x x 4
9 9 4 36w w w
0x 1 0k 1
jsrn jsrn
Leyes de los exponentes
m m m
m m
m
m
m
m m
(ab) a b
a a
b b
1a
a
a b
b a
8 8 8wt w t
4 4 4 4xyz x y z
5 5
5
x x
y y
3 3
3
w w
r r
7
7
1x
x
2
2
1w
w
9 9z g
g z
3 3r t
t r
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ECUACIONES LINEALES
CyTA
Ecuación
Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas, cada una de ellas escrita a los lados del signo igual.
7x 5 12 3x
Ecuación
jsrn
Ecuación
7x 5 12 3x
La expresión que se escribe a la izquierda de la igualdad recibe el nombre de “primer miembro de la ecuación”, y la expresión de la derecha “segundo miembro”.
Primer miembro Segundo miembro
jsrn
7x 5 12 3x
Los términos que llevan x se denominan “términos en x” y aquellos que no van multiplicando a la x se llaman términos independientes.
Términos en x
Términos independientes
Ecuación
jsrn
Ecuación lineal
• Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación de la forma
donde a y b son números reales y a≠0
• Resolver una ecuación consiste en encontrar un valor para la incógnita que al sustituirlo en la ecuación haga que la igualdad se cumpla.
ax b 0
jsrn
Ecuación lineal
La ecuación lineal ax + b = 0
(donde a≠0) tiene exactamente una solución
jsrn
b
a
7x 5 12 3x
7x 3x 12 5
10x 7
7x
10
2014 (Actualizavión 2015)
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5x 2x 11 2 x 8
3x 11 x 6
3x 11 x 6
3x x 6 11
2x 5
5x
2
Ecuación lineal
jsrn
SISTEMAS DE ECUACIONES
CyTA
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas son dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas que han de verificarse a la vez
Se escribe
''' cybxa
cybxa
''' cybxa
cybxa
''' cybxa
cybxa
''' cybxa
cybxa
''' cybxa
cybxa
''' cybxa
cybxa
''' cybxa
cybxa
Se llaman coeficientes
Se llaman términos independientes
Sistemas de ecuaciones lineales
jsrn
Una SOLUCIÓN del sistema
''' cybxa
cybxa
es cualquier pareja de valores (x, y)
que verifique las dos ecuaciones
Dos sistemas son EQUIVALENTES si tienen las mismas soluciones
14
32
yx
yx
2.1- 5 = -3
4.1- 5 = -1
Ejemp
lo
El par (1, 5) es una solución de este sistema porque:
1x
5y
jsrn
''' cybxa
cybxa
• Si
''' c
c
b
b
a
a
Sistema compatible indeterminado
Infinitas soluciones
• Si
• Si
''' c
c
b
b
a
a Sistema incompatible
No tiene solución
'' b
b
a
a
Sistema compatible determinado
Tiene una única solución
Clasificación de los sistemas
jsrn
Ejemplo
643
82
yx
yx
yx 28
64)28(3 yy 3y
328 x
2x
jsrn
Métodos de resolución • Método de sustitución
– Se despeja una incógnita en una ecuación
– Se sustituye esa expresión en la misma incógnita de la otra ecuación
– Se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. Se resuelve ésta.
– El valor de esa incógnita se sustituye en la expresión donde estaba despejada la otra incógnita
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Ejemplo
x 2 y 8
3x 4 y 6
yx 28
3
4628
yy
3y
328 x 2x
3
46 yx
yx 28
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Métodos de resolución • Método de igualación
– Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones – Se igualan esas dos expresiones – Se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. Se resuelve
ésta. – El valor de esa incógnita se sustituye en cualquiera de las dos
expresiones, para calcular el valor de la otra.
Ejemplo
643
82
yx
yx
3y
832 x 2x
643
2463
yx
yx 3por
3010 y
82 yx
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Métodos de resolución • Método de reducción (Eliminación de una incógnita)
– Se multiplican una o las dos ecuaciones por números de manera que los coeficientes de una misma incógnita sean opuestos
– Se suman esas dos ecuaciones, eliminando así una de las incógnitas – Se resuelve la ecuación resultante. – Se sustituye ese valor en cualquiera de las dos ecuaciones para calcular el
valor de la otra incógnita.
BASE DE CÁLCULO
CyTA
Base de cálculo
• Este concepto es crucial tanto para entender cómo debe resolverse un problema como para resolverlo de la manera más expedita.
• La base de cálculo es la referencia que se elige para los cálculos que se planea efectuar para resolver un problema
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Base de cálculo
La base de cálculo puede ser un tiempo -horas, por ejemplo- o cierta masa de material -como 5 kg de CO,- o alguna otra cantidad conveniente.
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Base de cálculo
• Al seleccionar una base de cálculo se debe hacer las siguientes preguntas:
– ¿De qué se va a partir?
– ¿Qué respuesta se requiere?
– ¿Cuál es la base de cálculo más conveniente?
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ESTEQUIOMETRIA Y EC. QUÍMICA
Industria de Alimentos
La estequiometria
• Se ocupa de la combinación de elementos y compuestos.
• Las relaciones que se obtienen de los coeficientes numéricos de la ecuación química son los cocientes estequiométricos que nos permiten calcular los moles de una sustancia en relación con los moles de otra sustancia que interviene en la ecuación química
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La Ecuación Química
• Proporciona información cuantitativa y cualitativa indispensable para calcular las cantidades de sustancias que se combinan en un proceso químico
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La Ecuación Química
• Un caso general de Ec. Qca sería: a A + b B → c C+ d D • donde:
– A, B, C, D, representan los símbolos químicos o la fórmula molecular de los átomos o moléculas que reaccionan (lado izquierdo) y los que se producen (lado derecho).
– a, b, c, d, representan los coeficientes estequiométricos, que deben ser ajustados de manera que sean reflejo de la ley de conservación de la masa.
• La interpretación física de los coeficientes estequiométricos, si estos son números enteros y positivos, puede ser en átomos o moles.
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La Ecuación Química
• La Ec Qca indica cuáles son las relaciones estequiométricas: – 1 mol (no lbm ni kg) de heptano reacciona con 11 moles de oxígeno
para dar 7 moles de dióxido de carbono y 8 moles de agua.
– Estos moles pueden ser Ib mol, g mol, kg mol o cualquier otro tipo. Se forma un mol de CO2 a partir de cada 1/7 mol de C7H16.
– Además, se forma 1 mol de H2O con cada 7/8 mol de CO2.
– Así, la ecuación indica en términos de moles (no de masa) las proporciones entre los reactivos y los productos.
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La Ecuación Química
• Si la base de cálculo que se escoge es una masa (Ibm, kg) en lugar de moles, se recomienda usar el siguiente procedimiento para resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones químicas: 1. Use el peso molecular para calcular el número de moles de
la sustancia que equivalen a la base de cálculo; 2. Obtenga de este número de moles el número
correspondiente de moles del producto o reactivo deseado multiplicándolo por el cociente estequiométrico correcto, según la ecuación química, y
3. Convierta el número de moles de producto o reactivo en una masa.
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2014 (Actualizavión 2015)
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Ejemplo
• Si 10 kg de C7H16 reaccionan por completo con la cantidad estequiométrica de O2, ¿cuántos kg de CO2 se obtendrán como producto?
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Resolución
Base de cálculo: 10 kg de C7H16
R/. 30,8 kg CO2
7 16 2 27 16 2
7 16 7 16 2
1 kgmol C H 7 kgmol CO 44 kg CO10kg C H * * * 30,8 kg CO
100,1kg C H 1 kgmol C H 1 kgmol CO
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BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
Industria de Alimentos
Bibliografía
• Libros – FELDER, R.M. Y ROUSSEAU, R.W. Elementary Principles of
Chemical Processes. 3 ed.: John Wiley & Sons, 2004. 702 p.
– HENLEY, E.J.A., ROSEN, E.M. Y VÁZQUEZ, F.M. Cálculo de balances de materia y energía: (métodos manuales y empleo de máquinas calculadoras). Reverté, 1973. 596 p.
– HICKS, T.G., HICKS, S.D. Y LETO, J. Manual de cálculos de ingeniería química. 3 ed.: McGraw-Hill, 1998. 1632 p.
– HIMMELBLAU, D.M.A. Y GARCÍA, R.L.E. Principios básicos y cálculos en ingeniería química. 6 ed.: Prentice Hall : Pearson Educación, 1997. 728 p.
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Bibliografía
• Libros – MCCABE, W.L. Y SMITH, J.C. Operaciones Básicas De
Ingeniería Química. Reverté, 1981. 498 p. – OCÓN GARCÍA, J. Y TOJO BARREIRO, G. Problemas De
Ingeniería Química: Operaciones Básicas. Aguilar, 1986. – PERRY, R. Manual del Ingeniero Químico. 7 ed. USA: McGraw-
Hill, 1997. – REKLAITIS, G.V. Y SCHNEIDER, D.R. Balances De Materia Y
Energía. Interamericana, 1986. 649 p. – WATSON, H., HOUGEN, O.A., WATSON, K.M. Y RAGATZ, R.A.
Principios de los Procesos Químicos. Reverte, Editorial S.A., 1982. 560 p.
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