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SISTEMA DE NUMEROS
NÚMEROS ENTEROSDIVISIBILIDADNÚMEROS PRIMOSMÍNIMO COMÚN MULTIPLOMÁXIMO COMÚN DIVISOR
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Z = Conjunto de los Números Enteros
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
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PRODUCTO EN Z
La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir.¿ CÓMO SE HACE?. Multiplico números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente ley de los signos :
(+) · (+) = +
(-) · (-) = +
(+) · (-) = -
(-) · (+) = -
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DIVISIBILIDAD
Un número entero A es divisible entre otro número entero positivo B, si al dividir A entre B la división resulta exacta.
A B A Є Ζ , B Є Ζ +
0 K K Є Ζ
Se dice : “ A es divisible entre B ” ó
“ B es un divisor de A ”
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MULTIPLICIDAD
Un número entero A es múltiplo de un número entero positivo B, si A es el resultado de multiplicar a B por un número entero K.
A = B.K A Є Ζ , B Є Ζ +
K Є Ζ Se dice : “ A es múltiplo de B “ ó
“ B es un factor de A “
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DIVISIBILIDAD < > MULTIPLICIDAD
Indicar que: un número entero A es divisible entre ó múltiplo de otro número positivo B, se considerará equivalente, y se denotará: o o A = B ó A = B ó A=nB, n ZB: Módulo
Ejemplos:
o o o o21= 7 , - 45 = 9 , 5 = 5 , 0 = 3
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OBSERVACIONES
Todo número entero positivo es divisible por si mismo y por la unidad.
La unidad es divisor de todo número entero .
El cero es múltiplo de todo número entero.
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CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Es un conjunto de reglas que , aplicadas a las cifras de un número , nos permite anticipar entre qué cantidades es divisible dicho número. En caso contrario , nos permite calcular el residuo en forma directa.
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Número Criterio 2 * El número acaba en cifra par 3 * La suma de sus cifras es
múltiplo de 3 4 * El número formado por las dos
últimas cifras es múltiplo de 4
5 * La última cifra es 0 ó 5
9 * La suma de sus cifras es multiplo de 9
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REPRESENTACION LITERAL DE UN NUMERO
Cuando no se conocen las cifras de un número éstas se representan mediante la notación: N =
EJEMPLO: Si el número se escribe como :
abcdef
abcdefN oo
ófedcba 93
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NUMEROS PRIMOS Llamados también primos absolutos, son
aquellos números que poseen únicamente dos divisores: a la unidad y el mismo número.
Ejemplos:
2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…
Todos los números primos son impares, a excepción del 2.
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Números Simples: Son aquellos números enteros positivos que poseen a lo más dos divisores, y están formados por la unidad y los números primos. Ejms: 1, 2, 3, 5, 7, 23, 29, 37, 89, 187, 193,..
Números Compuestos: Son aquellos números enteros positivos que poseen más de dos divisores. Ejemplos: 4 , 6, 12, 35, 80, 100, 118, 258, …
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NUMEROS PRIMOS ENTRE SI (P.E.S.I.)
Se les denomina también primos relativos o coprimos, y son aquellos números que tienen como único divisor común a la unidad.
Ejm. 6, 14, 21 son números P.E.S.I porque DIVISORES
6 : 1, 2, 3, 614 : 1, 2, 7, 14 ,el único divisor común es 121 : 1, 3, 7, 21
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PROPIEDADES
Dos o más números consecutivos son siempre números P.E.S.I.
Dos o más números impares consecutivos son siempre números P.E.S.I.
Si dos números A y B son P.E.S.I. entonces:
a) A, B y A + B son P.E.S.I.
b) A, B y A – B son P.E.S.I.
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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA.
Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes , elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos. Esta representación es única, salvo el orden de sus factores. A esta representación se le denomina: Descomposición Canónica del Número.
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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)
Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCM de dichos números es un entero positivo que cumple las siguientes condiciones:
1. Es un múltiplo común de los números.
2. Es el menor de estos múltiplos comunes.
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Ejm. Halle el MCM de 4, 6 y 8
: 4,8,12,16, 20,24, 28, 32, 36, 40,44,48…
: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, …
: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …
Múltiplos comunes: 24, 48, …
El menor de estos múltiplos comunes es 24
M.C.M.(4, 6, 8) = 24
o
4o
6o
8
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Ejm. Halle el MCM de 40, 78 y 180
MCM(40, 78, 85)=2.2.2.3.3.5.13 = 4680
13
5
3
3
2
2
2
111
1131
5135
15135
45395
453910
903920
1807840
19
Ejm. Halle el MCM de 40, 78 y 180
MCM(40,78,180) =
5.3.2=180
13.3.2=78
5.2=40
22
3
6804=13.5.3.2 23
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MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCD de dichos números es un entero positivo que cumple las siguientes condiciones:
1. Es un divisor común de los números.
2. Es el mayor de los divisores comunes.
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Ejm. Halle el MCD de 12, 16 y 20
12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
16 : 1, 2, 4, 8, 16
20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20Divisores comunes: 1, 2, 4
El mayor de estos divisores comunes es 4
M.C.D.(12, 16, 20) = 4
22
Ejm. Halle el MCD de 400, 800 y 1800
MCD(400,800,1800)=2.2.2.5.5 = 200
5
5
2
2
2
942
452010
22510050
450200100
900400200
1800800400
PESI
MÉTODOS PARA CALCULAR EL M.C.D.
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Ejm. Halle el MCD de 400, 800 y 1800
MCD(400,800,1800) =
223
25
24
5.3.2=1800
5.2=800
5.2=400
200=5.2 23
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PROPIEDADES FUNDAMENTALES
Con respecto a las operaciones con números múltiplos de un mismo módulo:
a) b)
c) Si
d) Si
no
no
no
=+ no
no
no
=-
no
no
=A.K⇒Ζ∈K∧=A
nom+n
o=A⇒Ζ∈m∧=A
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Si un número es múltiplo de varios módulos, entonces es múltiplo del MCM de dichos módulos:
i) Si
ii) Si
)c,b,a(MCMo
co
bo
ao
=A⇒=A∧=A,=A
r±=N⇒
r±=N∧r±=N,r±=N
)c,b,a(MCMo
co
bo
ao
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Dado un número N donde:
Se cumple:
NdecompuestosdivisoresdeCantidad:CDC
NdeprimosdivisoresdeCantidad:CDP
NdesimplesdivisoresdeCantidad:CDS
NdedivisoresdeCantidad:CD
)N(
)N(
)N(
)N(
)N()N(
)N()N()N(
CDP+1=CDS
CDC+CDS=CD
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Si un número N se descompone canónicamente:
Entonces:
.......c.b.a=N γβα
)...1+γ).(1+β).(1+α(=CDN