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I.E.S.
GUADARRAMA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Curso 2017-‐‑2018
Pág. 1 de 7 MATEMÁTICAS ACADÉMICAS -‐‑ 4º ESO A Unidad 1 – Polinomios y fracciones algebraicas
Pedro García Moreno
UNIDAD 1
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
1. OPERACIONES CON POLINOMIOS
Actividades de clase
1.1. Resuelve las siguientes operaciones, simplificando el resultado:
a. − 𝑥Y − 3 6𝑥 + 1 + 𝑥 2𝑥Y − 7𝑥 b. 2𝑥Y𝑦 ^ − 𝑥Y − 𝑦 Y
c. 2𝑎 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 − 𝑏 Y + 3𝑎 + 𝑏 𝑏 d. 2𝑥 + 𝑧 2𝑥 − 𝑧 + 𝑥 + 2𝑧 Y
1.2. Opera, expresando como fracción única:
𝐚. 3𝑥 + 1 3𝑥 − 1 −𝑥 − 2 Y
2 𝐛. 2𝑥 Y −2 − 𝑥 1 + 𝑥
2 − 2 𝑥 − 2 Y
1.3. Dados los siguientes polinomios:
𝑃 𝑥 = 𝑥^ − 5𝑥Y − 3 𝑄 𝑥 = 6𝑥Y − 1 𝑅 𝑥 = 𝑥l − 2𝑥Y
calcula:
𝐚. 3 · 𝑃 𝑥 − 𝑄 𝑥 𝐛. 𝑃 𝑥 · 𝑄 𝑥
𝐜. 𝑅 𝑥 Y − 9 · 𝑄 𝑥 Y 𝐝. 𝑅 𝑥 l
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Pág. 2 de 7 MATEMÁTICAS ACADÉMICAS -‐‑ 4º ESO A Unidad 1 – Polinomios y fracciones algebraicas
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1.4. Resuelve las siguientes divisiones, empleando el método de Ruffini cuando sea posible, y
comprueba los resultados obtenidos. ¿Hay alguna división exacta?
𝐚. 7𝑥^ − 5𝑥 + 3 ∶ 𝑥Y − 2𝑥 + 1
𝐛. 3𝑥^ − 7𝑥Y − 7𝑥 + 4 ∶ 𝑥 − 3
𝐜. 𝑥l + 1 ∶ 𝑥 + 1
Actividades de refuerzo
1.5. Resuelve las siguientes operaciones, simplificando el resultado:
a. 2𝑥 −5𝑥 b. 2𝑥 −5 + 𝑥
c. 3𝑥Y Y − 3𝑥Y + 1 Y d. 3𝑥 − 2 Y − 2 3𝑥 − 2 3𝑥 + 2
e. 2 𝑎𝑏 − 2 Y − 𝑎𝑏 𝑎𝑏 − 2 f. 2𝑐 + 𝑑 + 1 𝑐 − 2𝑑 − 2𝑐 2𝑑 + 𝑐
1.6. Opera, expresando como fracción única:
𝐚. 𝑥 𝑥 + 4
5 −2𝑥 + 1 Y
4 +𝑥 + 4 𝑥 − 4
2 𝐛. 𝑥 − 1 ^
8 +34 𝑥 𝑥 + 2
Y −𝑥^
10
1.7. Resuelve las siguientes divisiones, empleando el método de Ruffini cuando sea posible, y
comprueba los resultados obtenidos. ¿Hay alguna división exacta?
𝐚. 𝑥y − 2𝑥l − 𝑥 + 2 ∶ 𝑥 + 2
𝐛. 2𝑥^ − 8𝑥Y + 2 ∶ 2𝑥Y + 1
𝐜. 𝑥l − 1 ∶ 𝑥Y + 2𝑥
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Pág. 3 de 7 MATEMÁTICAS ACADÉMICAS -‐‑ 4º ESO A Unidad 1 – Polinomios y fracciones algebraicas
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2. RAÍCES Y FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Actividades de clase
2.1. Comprueba si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:
a. 𝑥 = −1 es una raíz del polinomio 𝑄 𝑥 = −𝑥^ − 𝑥Y − 2𝑥 − 4
b. 𝑥 = 3 es una raíz del polinomio 𝑅 𝑥 = 𝑥l − 2𝑥Y − 3
2.2. Inventa los polinomios que cumplan las siguientes condiciones:
a. De tercer grado cuyas raíces sean −2,−3, 1. b. De segundo grado que tenga como raíz doble 𝑥 = −5.
c. De tercer grado que tenga por raíces 𝑥 = −5 y 𝑥 = 3.
d. Que tenga dos raíces dobles, 2 𝑦 − 2. e. De cuarto grado que no tenga raíces.
2.3. Calcula el valor de m para que las siguientes divisiones tengan el resto que se indica en cada
caso:
a. 𝑥^ − 2𝑥Y − 𝑥 +𝑚 ∶ 𝑥 + 1 Resto = −1
b. −𝑥l − 𝑚𝑥^ + 3 ∶ 𝑥 − 2 Resto = 0
2.4. Obtén las raíces y factoriza los siguientes polinomios:
𝐚. 3𝑥^ + 2𝑥Y − 𝑥 𝐛. 2𝑥^ − 𝑥Y − 8𝑥 + 4 𝐜. 𝑥l − 𝑥Y + 6𝑥
𝐝. 𝑥^ − 1 𝐞. 𝑥y − 7𝑥l + 8𝑥^ + 16𝑥Y 𝐟. 𝑥l − 2𝑥Y + 1 𝑥Y − 𝑥
WIRIS
Resuelve la actividad 2.4 con el programa WIRIS. Accede a la aplicación a través del enlace:
http://www.wiris.net/educa.madrid.org/wiris/es/
Haciendo uso del menú “Polinomios”, elige la opción “factorizar” e introduce el polinomio a
factorizar:
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Actividades de refuerzo
2.5. Comprueba si es cierto o falso que 𝑥 = −3 es una raíz del polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑥^ + 3𝑥Y −
5𝑥 − 27
2.6. Busca los valores de a para los cuales el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑥^ − 4𝑥Y + 𝑥 + 6 es divisible por
𝑥 − 𝑎.
2.7. Factoriza:
𝐚. 𝑥Y − 25 𝑥Y − 6𝑥 + 9 𝐛. 𝑥^ − 9𝑥Y + 15𝑥 − 7 𝐜. 𝑥l − 𝑥Y − 6𝑥
𝐝. 𝑥y − 2𝑥^ + 𝑥 𝐞. 𝑥l − 𝑥^ − 7𝑥Y + 𝑥 + 6 𝐟. 𝑥� − 16𝑥Y
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Pág. 5 de 7 MATEMÁTICAS ACADÉMICAS -‐‑ 4º ESO A Unidad 1 – Polinomios y fracciones algebraicas
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3. EXPRESIONES ALBEGRAICAS
Actividades de clase
3.1. Simplifica las siguientes fracciones:
𝐚. 𝑥Y − 3𝑥𝑥Y − 9 𝐛.
𝑥l + 𝑥^ − 4𝑥Y − 4𝑥𝑥^ − 4𝑥 𝐜.
𝑥l + 2𝑥^ − 3𝑥Y
2𝑥l − 3𝑥^ + 𝑥Y
3.2. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 𝑃 𝑥 y 𝑄 𝑥 :
a. 𝑃 𝑥 = 𝑥Y − 9, 𝑄 𝑥 = 𝑥Y − 6𝑥 + 9
b. 𝑃 𝑥 = 𝑥^ − 7𝑥Y + 12𝑥, 𝑄 𝑥 = 𝑥l − 3𝑥^ − 4𝑥Y
c. 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 3 Y 𝑥Y + 5𝑥 , 𝑄 𝑥 = 𝑥^ 𝑥 − 3 𝑥Y + 𝑥 + 2
3.3. Efectúa las operaciones y simplifica el resultado:
𝐚. 2𝑥 + 1𝑥 + 3 −
𝑥Y + 5𝑥Y + 3𝑥 𝐛.
𝑥Y
𝑥Y − 2𝑥 + 1 +2𝑥 + 3𝑥 − 1 − 3
𝐜. 𝑥Y
𝑥 − 1 :1𝑥 −
1𝑥 − 1 𝐝. 4 −
12𝑥 − 1
2𝑥 −
1𝑥Y
𝐞. 5𝑥 − 10𝑥 + 3 ·
𝑥Y − 9𝑥 − 2
𝐟. 𝑥 +1𝑥 ∶ 𝑥 −
1𝑥 · 𝑥 − 1
Actividades de refuerzo
3.4. Simplifica las siguientes fracciones:
𝐚. 𝑥^ + 3𝑥Y + 𝑥 + 3
𝑥 𝑥 + 3 Y 𝐛. 𝑥Y − 2𝑥
𝑥Y − 5𝑥 + 6 𝐜.
4𝑥Y𝑦 − 2𝑥𝑦Y
2𝑥𝑦Y
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3.5. Determina si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:
𝐚. 𝑥^ − 𝑥𝑥^ + 𝑥Y 𝑦
3𝑥 − 33𝑥 𝐛.
𝑥 + 5 Y
𝑥^ + 10𝑥Y + 25𝑥 𝑦 𝑥 − 33𝑥 − 𝑥Y
3.6. Efectúa las operaciones y simplifica el resultado:
𝐚. 1𝑥Y −
13𝑥 +
1𝑥 𝐛.
2𝑥 − 2 −
𝑥 + 1𝑥Y − 2𝑥 −
3𝑥Y − 4
𝐜. 5𝑥 − 10𝑥 + 3 ·
𝑥Y − 9𝑥 − 2
𝐝. 3𝑥 −
𝑥3 :
1𝑥 +
13
𝐞. 𝑥Y
𝑥 + 3 1 −𝑥 − 1𝑥 − 1 𝐟.
𝑥 + 1𝑥 − 1 Y ·
𝑥Y − 1𝑥
4. PROBLEMAS
Actividades de clase
4.1. En un rectángulo de lados x e y inscribimos un rombo. Obtén el perímetro del rombo en
función de los lados del rectángulo:
4.2. El dibujo de la derecha muestra el plano de una habitación en la que cualesquiera de las
paredes que se juntan son perpendiculares. Si las longitudes de algunas paredes son a y b, ¿cuál
es el área de la habitación?
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4.3. En el rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 de lados 𝐴𝐵 = 3 𝑐𝑚 y 𝐵𝐶 = 5 𝑐𝑚 se ha inscrito el cuadrilátero
𝐴´𝐵´𝐶´𝐷´, donde 𝐴𝐴´ = 𝐵𝐵´ = 𝐶𝐶´ = 𝐷𝐷´ = 𝑥 𝑐𝑚. Escribe el área de 𝐴´𝐵´𝐶´𝐷´ en función de x.
4.4. Disponemos de dos modelos de cajas, como las de las figuras, cuya altura es fija y cuya base
varía, dependiendo del lado x.
a. Encuentra una expresión algebraica que determine el volumen de cada tipo de caja.
b. Encuentra la expresión algebraica que determina la cantidad total de material
necesario (superficie) para construir cada
tipo de caja (consideramos que tienen tapa
con una superficie idéntica a la de la base).