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Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles
Curso de Mecánica de Sólidos I, Apuntes de Clase Profesor MSc. Ing. Jaime Campbell Barraza
5-1
5. DESPLAZAMIENTOS EN VIGAS (ECUACIÓN
DE LA LÍNEA ELÁSTICA)
5.1. Ecuación de la Línea Elástica
La curva deformada del eje centroidal de una viga originalmente recta para una
determinada carga se denomina Línea Elástica.
Las causas de la deformación pueden ser momentos flectores, fuerzas de corte,
diferencias de temperatura sobre la altura de la viga, asentamiento de algún apoyo, etc.
La influencia de la fuerza de corte en la mayoría de los casos es despreciable frente a la
influencia del momento flector. Las diferencias de temperatura sobre la altura de la viga y los
asentamientos de apoyos son casos particulares que se tratan con análisis especiales.
La Línea Elástica se determina para calcular los valores de la deformada (flecha) y
ángulos de inclinación (giros) en cualquier punto de la viga. Sirve, además, para obtener la
solución de problemas de vigas hiperestáticas.
Los elementos que usualmente se deben tener en cuenta cuando se desea determinar la
Ecuación de la Línea Elástica de una viga son los siguientes:
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Figura Nº1: Ecuación de la Línea Elástica.
Donde:
ℓ: es el largo de la viga
EI: es la rigidez a flexión de la viga
x: es la coordenada longitudinal de la viga
w(x): desplazamiento vertical en el punto de coordenada “x”
φ(x): pendiente en el punto de coordenada “x”
Adicionalmente se deben conocer las condiciones de apoyo de la viga y las cargas.
La deducción de la ecuación que controla la deformación de una viga recta se muestra
a continuación.
Considerando una viga cualquiera:
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Figura Nº2: Deducción de la Ecuación de la Línea Elástica.
Y dentro de esta viga, considerando un elemento diferencial de largo “dx” en estado
deformado:
Figura Nº3: Elemento diferencial de viga.
De la figura: dsd =⋅ θρ θ
ρdds
=⇒
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Donde, como ya se sabe “ρ” es el Radio de Curvatura.
Y el recíproco “κ” es la Curvatura: dsdθ
ρκ ==
1
La inclinación de la curva es: dxdw
=ϕtan
Como en los análisis de este curso se considera deformaciones pequeñas, se puede
aproximar:
ββ ≈sin ββββ ≈=⇒
cossintan
1cos ≈β
Entonces:
ϕcos⋅= dsdx dsdx =⇒
dxdw
=ϕtan dxdw
=⇒ϕ
dsdθ
ρ=
1 dxdθ
ρ=⇒
1
Teniendo en cuenta que: ϕθ dd −=
2
2
dxwd
dxd
dxd
−=−=⇒ϕθ (*)
Por otro lado, de la Teoría de Flexión en Vigas Rectas (Capítulo 2), se tiene:
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EIM
=ρ1
EIM
dxd
=⇒θ (**)
Igualando (*) con (**): EIM
dxwd=− 2
2
)()(2
2
xMdx
xwdEI −=⇒
Que es la Ecuación Diferencial de la Línea Elástica.
Para determinar la Ecuación de la Línea Elástica se debe integrar dos veces la ecuación
diferencial y, como es obvio, se necesita conocer la ecuación de momentos flectores. Por otra
parte, en la doble integración aparecen dos constantes, cuyo valor se debe determinar mediante
la evaluación adecuada de las condiciones de borde del problema.
Además, como ya se vió: dx
xdwx )()( =ϕ
Y de la Mecánica: dx
xdMxQ )()( =
dx
xdQxq )()( −=
Por lo tanto, se tiene que:
)(xw Es la ecuación de la línea elástica del eje centroidal de la viga
)()(' xxw ϕ= Es la ecuación de la pendiente del eje centroidal
)()('' xMxwEI −=⋅ Es la ecuación del momento flector
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)()(''' xQxwEI −=⋅ Es la ecuación de la fuera de corte
)()( xqxwEI iv =⋅ Es la ecuación de la carga
O sea, la ecuación de la elástica de una viga también se puede determinar a partir de la
cuádruple integración de la ecuación de la carga. Esto es más simple, pero se debe tener en
cuenta que aparecen cuatro constantes de integración.
Ejemplo Nº1
Determinar la ecuación de la elástica de la viga dada. Datos: P, ℓ, EI.
Figura Nº4: Ejemplo Nº1.
A partir de la ecuación de momento flector: xPxM ⋅−=)(
xPxwEI ⋅=⋅ )(''
12
21)(' CxPxwEI +⋅=⋅
213
61)( CxCxPxwEI +⋅+⋅=⋅
Las condiciones de borde son:
1) 0)( == lxw
2) 0)(' == lxw
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De 2): 021
12 =+⋅ CP l 2
1 21
l⋅−=⇒ PC
De 1): 021
61
223 =+⋅⋅−⋅ CPP lll 3
2 31
l⋅=⇒ PC
Entonces: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅+⋅⋅−⋅= 323
31
21
611)( ll PxPxP
EIxw
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅−⋅= 22
21
211)(' lPxP
EIxw
[ ]xPEI
xw ⋅=1)(''
[ ]PEI
xw 1)(''' =
0)( =xwiv
Las gráficas de todas estas ecuaciones son:
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Figura Nº5: Gráficas del Ejemplo Nº1.
Ejemplo Nº2
Determinar la ecuación de la elástica de la viga dada. Datos: q, ℓ, EI.
Figura Nº6: Ejemplo Nº2.
A partir de la ecuación de la carga: qxq =)(
qxwEI iv =⋅ )(
1)(''' CxqxwEI +⋅=⋅
212
21)('' CxCxqxwEI +⋅+⋅=⋅
322
13
21
61)(' CxCxCxqxwEI +⋅+⋅+⋅=⋅
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432
23
14
21
61
241)( CxCxCxCxqxwEI +⋅+⋅+⋅+⋅=⋅
Las condiciones de borde son:
1) 0)0('' ==xw
2) 0)('' == lxw
3) 0)0( ==xw
4) 0)( == lxw
De 1): 02 =⇒ C
De 2): 021
12 =⋅+⋅ ll Cq l⋅−=⇒ qC
21
1
De 3): 04 =⇒ C
De 4): 021
61
241
334 =⋅+⋅⋅⋅−⋅ llll Cqq 3
3 241
l⋅=⇒ qC
Entonces: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅⋅+⋅⋅−⋅= xqxqxq
EIxw 334
241
121
2411)( ll
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅+⋅⋅−⋅= 323
241
41
611)(' ll qxqxq
EIxw
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅⋅−⋅= xqxq
EIxw l
21
211)('' 2
[ ]l⋅−⋅= qxqEI
xw 1)('''
[ ]qEI
xwiv 1)( =
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Las gráficas de todas estas ecuaciones son:
Figura Nº7: Gráficas del Ejemplo Nº2.
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5.2. Aplicaciones a problemas de vigas hiperestáticas
La Ecuación de la Línea Elástica puede ser usada para determinar la solución de
problemas de vigas hiperestáticas. Lo anterior se logra ya que la ecuación de la viga elástica
permite obtener los desplazamientos en cualquier punto de una viga isostática, por lo que si el
problema original se reduce a uno isostático equivalente (suponiendo alguna incógnita como
conocida) asociado a una compatibilidad geométrica apropiada (en el punto y dirección de la
supuesta incógnita conocida) se puede despejar el valor de la incógnita elegida y
posteriormente a través de las ecuaciones básicas de equilibrio se determinan las restantes
incógnitas.
Para explicar más claramente la idea se presentan algunos ejemplos de aplicación.
Ejemplo Nº3
Determinar las reacciones de la viga dada. Datos: q, ℓ, EI.
Figura Nº8: Ejemplo Nº3.
Planteando el sistema isostático equivalente:
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Figura Nº9: Sistema isostático equivalente del Ejemplo Nº3.
Este sistema isostático debe ser asociado a la siguiente compatibilidad geométrica:
0=Δ+Δ RbB
qB
Separando el sistema isostático:
Figura Nº10: Sistema isostático equivalente separado.
Para la Parte I se puede usar el resultado del Ejemplo Nº2: EI
qqB
4
3845 l⋅
=Δ
Para la Parte II se hace el siguiente desarrollo:
xRxM B ⋅−=21)(
xRxwEI B ⋅=⋅21)(''
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12
41)(' CxRxwEI B +⋅=⋅
213
121)( CxCxRxwEI B +⋅+⋅=⋅
Las condiciones de borde son:
1) 0)0( ==xw
2) 0)2/(' == lxw
De 1): 02 =⇒ C
De 2): 044
11
2
=+⋅ CRBl 2
1 161
l⋅−=⇒ BRC
Entonces: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅⋅−⋅= xRxR
EIxw BB
23
161
1211)( l
)2/( l==Δ xwRbB
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅−⋅==216
1812
11)2/( 23 l
ll
l BB RREI
xw EI
RBRbB
3
481 l⋅
−=Δ⇒
De la compatibilidad geométrica:
0481
3845 34
=⋅
−⋅
EIR
EIq B ll l⋅=⇒ qRB 8
5
Para determinar las restantes reacciones:
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Figura Nº11: Esquema para el cálculo de reacciones.
Por simetría: CA RR =
Momentando en el extremo izquierdo: 228
5 lll
ll ⋅⋅=⋅+⋅⋅ qRq C
l⋅=⇒ qRC 163
l⋅=⇒ qRA 163
Ejemplo Nº4
Determinar las reacciones de la viga dada. Datos: q, ℓ, EI.
Figura Nº12: Ejemplo Nº4.
Planteando el sistema isostático equivalente:
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Figura Nº13: Sistema isostático equivalente del Ejemplo Nº4.
Este sistema isostático debe ser asociado a la siguiente compatibilidad geométrica:
0=Δ+Δ RbB
qB
Separando el sistema isostático:
Figura Nº14: Sistema isostático equivalente separado.
Para la Parte II se puede usar el resultado del Ejemplo Nº1: EI
RBRbB
3
31 l⋅
−=Δ
Para la Parte I se hace el siguiente desarrollo:
3
61)( xqxM ⋅−=l
3
61)('' xqxwEI ⋅=⋅l
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14
241)(' CxqxwEI +⋅=⋅l
215
1201)( CxCxqxwEI +⋅+⋅=⋅
l
Las condiciones de borde son:
1) 0)( == lxw
2) 0)(' == lxw
De 2): 0241
14 =+⋅ Cql
l 3
1 241
l⋅−=⇒ qC
De 1): 0241
1201
235 =+⋅⋅−⋅ Cqqlll
l 4
2 301
l⋅=⇒ qC
Entonces: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅+⋅⋅−⋅= 435
301
241
12011)( ll
lqxqxq
EIxw
)0( ==Δ xwqB
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅== 4
3011)0( lq
EIxw
EIqq
B
4
301 l⋅
=Δ⇒
De la compatibilidad geométrica:
031
301 34
=⋅
−⋅
EIR
EIq B ll l⋅=⇒ qRB 10
1
Para determinar las restantes reacciones:
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Figura Nº15: Esquema para el cálculo de reacciones.
Suma de fuerzas verticales: ll ⋅=⋅+ qqRA 21
101
l⋅=⇒ qRA 52
Momentando en el extremo izquierdo: 32
1101 l
lll ⋅⋅=⋅⋅+ qqM A
2
151
l⋅=⇒ qM A
Ejemplo 5
Para la viga dada se pide determinar la Ecuación de la Línea Elástica. Datos: P, ℓ,
EI=ctte..-
Figura Nº16: Ejemplo Nº5.
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Solución:
Importante:
En la rótula se produce una situación especial. A pesar de que en este caso la ecuación
del momento flector es la misma a ambos lados de la rótula, la ecuación de la línea elástica no
es la misma debido a que en la rótula se produce una discontinuidad de giros (pendiente), lo
que obliga a determinar una ecuación de la línea elástica para el tramo a la izquierda de ella y
otra ecuación para el tramo de la derecha.
Suponiendo los cortes 1 (desde el empotramiento hasta la rótula), 2 (desde la rótula
hasta el apoyo deslizable) y 3 (desde el voladizo hasta el apoyo deslizable) y teniendo en
cuenta las reacciones en el empotramiento (MA=P·ℓ en sentido horario y AV=P hacia abajo) y
en el apoyo deslizable (CV=2·P hacia arriba), se tiene:
Tramo 1 (0<x< ℓ)
l··)(1 PxPxM +−=
l··)(''· 1 PxPxwEI −=
12
1 ···21)('· CxPxPxwEI +−= l
2123
1 ···21·
61)(· CxCxPxPxwEI ++−= l
Condiciones de Borde del tramo 1:
1) 0)0(1 ==xw → 02 =C
2) 0)0('1 ==xw → 01 =C
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Por lo tanto, la ecuación de la línea elástica del tramo 1 es:
231 ··
21·
61)(· xPxPxwEI l−=
xPxPxwEI ···21)('· 2
1 l−=
Los desplazamientos verticales y giros en los puntos extremos del tramo 1 son:
0)0(1 ==xw
EI
PPPEI
xw3
231
·31··
21·
611)( l
llll −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −==
0)0('1 ==xw
EI
PPPEI
xw2
21
·21···
211)(' l
llll −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −==
Tramo 2 (0<x< ℓ)
xPxM ·)(2 −=
xPxwEI ·)(''· 2 =
12
2 ·21)('· DxPxwEI +=
213
2 ··61)(· DxDxPxwEI ++=
Condiciones de Borde del tramo 2:
1) EI
Pxw3
2·
31)0( l
−== → 32 ·
31
lPD −=
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2) 0)(2 == lxw → 21 ·
61
lPD =
Por lo tanto, la ecuación de la línea elástica del tramo 2 es:
3232 ·
31··
61·
61)(· ll PxPxPxwEI −+=
222 ·
61·
21)('· lPxPxwEI +=
Los desplazamientos verticales y giros en los puntos extremos del tramo 2 son:
EIPPPP
EIxw
3323
2·
31·
310··
610·
611)0( l
ll −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+==
0·31··
61·
611)( 323
2 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+== lllll PPP
EIxw
EIPPP
EIxw
222
2·
61·
610·
211)0(' l
l =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +==
EI
PPPEI
xw2
222
·32·
61·
211)(' l
lll =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +==
Tramo 3 (0<x< ℓ)
xPxM ·)(3 −=
xPxwEI ·)(''· 3 =
12
3 ·21)('· ExPxwEI +=
213
3 ··61)(· ExExPxwEI ++=
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Condiciones de Borde del tramo 3:
1) EI
Pxw2
3·
32)(' l
l −== → 21 ·
67
lPE −=
2) 0)(3 == lxw → 32 ·lPE =
Por lo tanto, la ecuación de la línea elástica del tramo 3 es:
3233 ···
67·
61)(· ll PxPxPxwEI +−=
223 ·
67·
21)('· lPxPxwEI −=
Los desplazamientos verticales y giros en los puntos extremos del tramo 3 son:
EIPPPP
EIxw
3323
3··0··
670·
611)0( l
ll =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−==
0···67·
611)( 323
3 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−== lllll PPP
EIxw
EIPPP
EIxw
222
3·
67·
670·
211)0(' l
l −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −==
EI
PPPEI
xw2
223
·32·
67·
211)(' l
lll −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −==