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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE HUAUCHINANGO
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
MÉTODOS PARA SOLUCIÓN DE EJERCICIOS
CRUZ SANCHEZ JORGE ANTONIOGALICIA ROJAS JONATANGOMEZ HERNANDEZ JUAN RICARDO
ANTECEDENTESUna ecuación diferencial se dice Ecuación Diferencial Lineal de Orden n, que abreviaremos como EDL(n), si tiene la forma :
Cuando r(x) = 0, es decir cuando la ED tiene la forma:
Se llama Ecuación Diferencial Lineal Homogénea de Orden n, y se abreviará por EDLH(n).
[1] Zill, Dennis G.(2006). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Octava Edición. Brooks/Cole Publishing Co. ITP.
INTRODUCCIÓNMétodo de coeficientes indeterminados para obtener :
Se usa para tres formas de , o combinaciones de ellas, que pueden resumirse, en forma general, de la siguiente manera:
Donde es una raíz de la ecuación auxiliar y y son polinomios de grado respectivamente. Se busca una solución particular de la forma:
Donde son polinomios en x de grado k, cuyos coeficientes están indeterminados, y z es la multiplicidad de la raíz de la ecuación auxiliar.
Método de variación de parámetros para obtener :
Se usa para cualquier forma de . Sabemos que la solución general de una ecuación diferencial de la forma:
, es … (1)
Si tenemos una ecuación no homogénea, es natural suponer que su solución tiene algo que ver con (1), como observamos en el método anterior.
El cambio de parámetros que se va a realizar en (1) es el siguiente:
Cambiando las constantes por funciones de x; y además vamos a pedir que:
… (2)
INTRODUCCIÓN
Pero, ¿Qué forma han de tener y para que sea la solución particular de la ecuación ?
Suponiendo que es solución.
Derivando +v+v.
Como tenemos la condición (2).
Sustituyendo en la ecuación no homogénea:
INTRODUCCIÓN
y’’ + f(x)y’ + g(x)y
Reacomodando términos, sacando como factor común a u y v:
Los paréntesis se anulan puesto que y son solución, entonces , que junto con la suposición (2) forman un sistema de ecuaciones, cuyas incógnitas son u’ y v’. Este sistema va a resolverse por la regla de Cramer. Entonces:
INTRODUCCIÓN
cero cero
Como y son L.I. en el intervalo, entonces el wronskiano es diferente de cero en él ye entonces existen u’ y v’.
INTRODUCCIÓN
Objetivos:• Conocer los métodos de solución de coeficientes indeterminados y variación de parámetros.• Ser capaz de identificar y analizar ecuaciones diferenciales de orden superior, así como proponer
estrategias y métodos para su solución.
Ejercicios 4.5Encontrar mediante el método de coeficientes indeterminados:
Ejercicios 4.6Encontrar la solución mediante el método de variación de parámetros:
INTRODUCCIÓN
METODOLOGÍAEjercicio por el método de coeficientes indeterminados.Partiendo de la ecuación planteada:
La ecuación auxiliar correspondiente es:
Derivando dos veces la ecuación auxiliar obtenemos:
𝑦 ′ ′+𝑦=𝑠𝑒𝑛𝑥
Sustituyendo los valores de y en la ecuación original obtenemos:
Eliminando términos semejantes la ecuación queda expresada como:
Igualando coeficientes tenemos:
Sustituyendo los valores en , la ecuación resultante es:
Ecuación correspondiente a .∴ 𝑦𝑝=−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
METODOLOGÍA
Ejercicio por el método de variación de parámetros.Partiendo de la ecuación planteada:
La ecuación característica se resuelve para conocer sus raíces:
METODOLOGÍA
Sean
Realizando las operaciones correspondientes se tiene que:
De lo anterior se deduce que:
METODOLOGÍA
Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación obtenemos la siguiente ecuación:
Agrupando términos semejantes:
]
Simplificando obtenemos:
METODOLOGÍA
[] E.
ANÁLISIS DE RESULTADOS
1. Para el ejercicio de coeficientes indeterminados:
El valor correspondiente de fue:
2. Para el ejercicio de variación de parámetros:
El valor correspondiente de fue:
Y el valor correspondiente de fue:
𝑦𝑝=−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑦 h=𝑐1𝑒𝑥2 𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐2𝑒
𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝑥
[]
CONCLUSIONES• Se determino que, la resolución de problemas de ingeniería está asociada, por lo general, a resultados
numéricos puesto que se requieren respuestas prácticas.• Los resultados obtenidos, coinciden con las respuestas proporcionadas en el planteamiento de cada
ejercicio.
REFERENCIAS
[1] Zill, Dennis G.(2006). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Octava Edición.
Brooks/Cole Publishing Co. ITP.