Post on 14-Jul-2015
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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Y FUNCIÓN
VALOR ABSOLUTO
JAVIER LÓPEZ ÁLVAREZ
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
Una función definida a trozos es, como su propio nombre indica, una función que se forma a partir de “trozos” o partes de otras funciones.Para definirla tendremos que determinar qué funciones intervienen y qué trozos de ellas nos interesan.
Veamos un ejemplo
2
3 2( ) 1 2 3
4 3
si xf x x si x
x si x
≤−⎧⎪= − − < <⎨⎪ − ≥⎩
Vamos a trabajar con trozos de tres funciones:
1 3y =2
2 1y x= −
3 4y x= −
Partición del eje OX
Dividimos el eje OX en los trozos indicados:
( ]2 , 2x ≤ − ⇒ −∞ −
( )2 3 2,3x− < < ⇒ −
[ )3 3,x ≥ ⇒ +∞
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
A partir de los ejes de coordenadas obtenemos tres regiones:
El trozo correspondiente a la primera función se construye así:
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
El trozo correspondiente a la segunda función se construye así:
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
El trozo correspondiente a la tercera función se construye así:
Finalmente obtenemos la gráfica completa de la función a trozos:
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
La función valor absoluto mantiene el signo de las imágenes positivas y cambia el de las negativas.Analíticamente este tipo de funciones son en realidad funciones definidas a trozos.
Ejemplo 1
3 3( ) 3 ( )
( 3) 3x si x
f x x f xx si x− ≥⎧
= − ⇒ =⎨− − <⎩
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
( ) 3f x x= −
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Gráficamente es tan sencillo como conservar la parte positiva de la gráfica (por encima del eje OX) y añadir el
simétrico respecto del eje OX de la parte negativa.
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
( ) 3f x x= −
Ejemplo 2
( ]( ) ( )
[ )
2
2 2
2
2 , 1
( ) 2 2 1,2
2 2,
x x si x
f x x x x x si x
x x si x
⎧ − − ∈ −∞ −⎪⎪= − − ⇒ − − − ∈ −⎨⎪ − − ∈ +∞⎪⎩
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
2( ) 2f x x x= − −
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
2( ) 2f x x x= − −
Ejemplo 3
( ) cosf x x=
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
( ) cos ( ) cosf x x f x x= ⇒ =