Post on 21-Jul-2020
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JeanDalibard
Année2016-17
ChaireAtomesetrayonnement
Fluidesquan2quesdebassedimensionettransi2ondeKosterlitz-Thouless
Gazquan:queendimensiondeux:ducasidéalauxinterac:onsbinaires
2
Laphysiqueenbassedimension
Coursprécédent:àtempératurenonnulle,iln’yapasd’ordrecristallin(ordreàlongueportée)endimension1ou2
h(uj � u0)2i ! 1 quand Rj ! 1
Butdescoursquivontsuivre:Ya-t-ilunordreouunquasi-ordredansungazdeBose,l’ordreétantcaractérisédanscecasparunecohérencemacroscopiqueouuncomportementsuperfluide?
Transi'onBKT(Berezinskii-Kosterlitz-Thouless)
Peierls,Mermin-Wagner-Hohenberg
3
Lesbutsducoursd’aujourd’hui
Traiterleproblèmedugazparfaitendimension2
• Commentl’argumentd’Einstein(1924)surlegazparfaitsaturéest-ilmodifié?
Gazuniformevs.gazconfinédansunpiègeharmonique
• Discuteruneimplémenta:onaprioriinaZendue:
Unpremierpasaudelàdugazparfait
• Commenttraiterleproblèmed’unecollisionbinaireendimension2danslecadredelamécaniquequan:que?
UneassembléedephotonsdansunecavitéBonn,groupedeMar2nWeitz
Klaers et al Nature 468 545 (2010)
4
Lasta:s:quedeBose-Einstein
Par:culesdansuneboîtedecôtéL
• Energie: Ep =p2
2m
• Impulsionquan:fiée: p =2⇡~L
n, n = (nx
, ny
) 2 Z2
p(r) =1pL2
eip·r/~2D
• Fonc:onsd’onde:
Np =1
e(Ep�µ)/kBT � 1
Nombremoyendepar:culesdansunétatd’impulsionpàl’équilibrethermique:
TempératureT,poten:elchimiqueμ
=1
1Z eEp/kBT � 1
Z = eµ/kBT :fugacité
5
Ladensitéd’états
NousseronsamenésàeffectuerdesmoyennesoudessommessurlesétatspX
p
F (p)✓
L
2⇡~
◆2 ZF (p) dp
x
dpy
Silaquan:téF(p)nedépendque|p|,doncdel’énergie,onob:entE =p2
2mZ +1
0F (E) D(E) dE
D(E):densitéd’étatsautourdel’énergieE,provenantdudécomptedunombred’étatsdanslatranched’énergiecompriseentreEetE+dE
X
p
F (p)
Dansuneboîteàdeuxdimensions,D(E)estunequan:téindépendantedeE
Pourrappel,àtroisdimensions: D(E) /pE
6
Pourquoiladensitéd’étatsestconstantedansuneboîte2D
p =2⇡~L
n, n = (nx
, ny
) 2 Z2
px
py
Pointsuniformémentrépar:sdansleplan (p
x
, py
)
2⇡~/L
E =p2x
+ p2y
2m:équa:ond’uncercle
p2m(E + dE)D(E) dE :nombredepointsdansl’anneaucomprisentreet
p2mE
Airedecetanneau: ⇡⇣p
2m(E + dE)⌘2
� ⇡⇣p
2mE⌘2
= 2m⇡ dE
indépendantedeE
Onarriveainsià: D(E) = 2m⇡
✓L
2⇡~
◆2
=mL2
2⇡~2
7
Lasatura:ondesétatsexcitésd’Einstein
Atempératurefixée,lenombredepar:culesquel’onpeutplacerdanslesétatsexcitésestborné.
{Nexc
Passageàuneintégrale:Nexc
(T, µ) <
Z+1
0
D(E)
eE/kBT � 1dE
CeZeintégralea-t-elleunsens,i.e.,converge-t-elleen0et?+1
Np =1
e(Ep�µ)/kBT � 1
n’adesensquesi µ < E0 = 0
Nexc
(T, µ) =X
p 6=0
1
e(Ep�µ)/kBT � 1
<X
p 6=0
1
eEp/kBT � 1correspondantà µ ! 0
Eneffet,laloideBose-Einstein:
E0
8
Lasatura:ondesétatsexcitésd’Einstein(suite)
{Nexc
Nexc
(T, µ) <
Z+1
0
D(E)
eE/kBT � 1dE
Convergenceen?PasdeproblèmecarD(E)variedoucementavecE
E = +1
ConvergenceenE=0?ToutdépendducomportementdeD(E) :
A3D: D(E) /pE
kBT
Z
0
1pE
dE estconvergenteenE=0
et1
eE/kBT � 1⇡ 1⇣
1 + EkBT
⌘� 1
=kBT
E
9
Lasatura:ondesétatsexcitésd’Einsteinà3D
A3D,l’intégralequimajorelapopula:ondesétatsexcitésestconvergente
Soncalculexactdonne
Nexc
(T, µ) < 2.612L3
�3
T�T =
~p2⇡p
mkBT2.612 =
+1X
n=1
1
n3/2avec
Unequan:tésansdimensionu:le:ladensitédansl’espacedesphases
D =N
L3�3T (densitéspa:ale)⇢ =
N
L3
Dexc
D
Dc
D0
Dexc
Dc
Dc = 2.612 {D0
10
Lanon-satura:ondesétatsexcitésà2D
Nexc
(T, µ) <
Z+1
0
D(E)
eE/kBT � 1dE
Ladensitéd’étatsàdeuxdimensionsestindépendantedeE.L’intégraleneconvergedoncpasenE = 0:
1
eE/kBT � 1⇡ kBT
EkBT
Z
0
1
EdEetdiverge
ATfixée,onpeutmeZreunnombrearbitrairementélevédepar:culesdanslesétatsexcitésquand
Pasdesatura:on,nidepopula:onmacroscopiquedansl’étatfondamental
µ ! 0
11
Distribu:onenimpulsiondugazdeBoseà2D
Onvarieladensitédansl’espacedesphasesd’unevaleur<<1àunevaleur>>1
0 2 4 6 8
10�3
101
105
p�T /h
N(p) D = 0.1, 0.3, 1, 3, 10
p�T
~ = 1 , p2
2m=
1
4⇡kBT
Leseffetsdesta:s:quequan:quesonttoujoursprésents,mêmesanscondensa:on:accumula:ond’unemajoritédespar:culesdanslazonedepe:tesimpulsions
N(p) =1
e(p2/2m�µ)/kBT ) � 1⇡ kBT
p2
2m + |µ|distribu:onLorentzienne
�T =~p2⇡p
mkBT
12
Cohérencespa:aledugazdeBoseà2D
Lacohérencespa:aleestcaractériséeparlafonc:ondecorréla:onàuncorps:
G1(r, r0) = hr|⇢1|r0i
quiestlatransforméedeFourierdeladistribu:onenimpulsion
0 2 4 6 8
10�3
10�1
101
r/�T
G1(r)
D = 0.1, 0.3, 1, 3, 10
TransforméedeFourierd’unelorentzienneenimpulsion:
G1(r, 0) / e�r/`
aveclalongueurdecohérencequiaugmentetrèsviteavec
`D
13
2.
LegazdeBosedansunpiègeharmonique2D
14
Ladensitéd’étatdansunpiègeharmonique2D
En = (nx
+ ny
+ 1)~!
Oscillateurisotropedepulsa:onω
Densitéd’états: D(E) / E
~!
~!
CeZedensitéd’étatsvientassurerlaconvergencedeZ +1
0
D(E)
eE/kBT � 1dE
Lapopula:ondesétatsexcitéssaturedoncdansunpiègeharmonique2D:
Nexc
< 1.64
✓kB
T
~!
◆2
1.64... =⇡2
6
Onretrouveuncondensatcommeà3Dquandmais…µ ! 0
15
Cecondensatest«singulier»
Descrip:ondugazpiégéàl’approxima:onsemi-classique:
N(E) =1
1Z eE/kBT � 1
Approxima2onvalabletantqu’onnecherchepasàenextrairedesinforma2onsavecunerésolu2onenposi2onetenimpulsionquiseraittelleque �r �p . ~
W (r,p) / 1
1Z e
⇣p2
2m+ 12m!2r2
⌘/kBT � 1
Densitéspa:aledanslepiègeàlalimite,c’est-à-dire:
⇢(r) =
ZW (r,p) d2p = � 1
�2T
ln⇣1� e�m!2r2/(2kBT )
⌘µ ! 0 Z ! 1
c’est-à-direauvoisinagedufonddupiège:r ! 0
⇢(r) ⇡ � 1
�2T
ln(r2) + constante
divergeen r = 0
(kBT � ~!)
16
Cecondensat2Dest«singulier»(suite)
Mêmesiladivergenceestcompa:bleavec⇢(r) ⇡ � 1
�2T
ln(r2) + constante
unnombretotaldepar:culesfinicarconverge,elleseraprobléma:que
dèsqu’ilyauradesinterac:onsrépulsivesentreatomes
Z⇢(r) d2r
A:tredecomparaison,ungazdeBosedansunpiègeharmonique3DcondensequandladensitécentraleaZeintlavaleur:
r ! 0 ⇢(r) ! 2.612
�3T
Ce«critèrecentral»estalorséquivalentaucritèretrouvépouruneboîtecubique
Iln’yavaitpasdecondensa2ondansuneboîteà2D,d’oùlecaractèresingulierducaspiégé
17
3.
Ungaz2Dpresqueidéal:lesphotonsencavité
18
Desphotonsmassifsetpiégésquicondensent???
• Lesphotonsnesontpasdespar:culesmassivesdansl'espace3D.Commentpeuvent-ilsacquérirunemasseà2D?
• Pouravoiruncondensatà2D,ilfautconfinerlespar:cules,parexempledansunpiègeharmonique.Commentob:entcepiégeageharmoniquepourlesphotons?
• Onposegénéralementμ=0pourlesphotons(nombrenonconservé).CommentobtenirμnonnuldansceZeexpérience?
• S’agissantdephotons,commentdis:nguercondensa:ondeBose-Einsteineteffetlaser?
19
Ledisposi:fdel’expériencedeBonn
Entrelesdeuxmiroirs,méthanol+colorant(Rhodamine6G)
milieud’indice n0 = 1.33
L = 1.5µm
Cavitéop:quedefinesse105
avec
Lesphotons«u:les»ontunelongueurd’onde(danslevide)danslagamme500-580nm
L ⇡ N�
2n0N = 7
LesmodeslongitudinauxN = 6ouN = 8correspondentàdeslongueursd’ondenonaZeintesparlafluorescencedesmoléculesdecolorant
Ledegrédelibertéselonzestfigépourlesphotonsdelacavité
z
20
Unemassepourlesphotons?
Selonl’axezdelacavité:aveckz = N⇡/L N = 7
Degrésdelibertétransverses(xy):avecE = ~! =~c|k|n0
|k| =q
k2z + k2?
⇡ ~!0 +~2k2
?2mph
oùl’onaposé: ~!0 =N⇡~cn0L
mph =~n0kz
c
mph ⇡ 0.7⇥ 10�35 kg
100000foismoinslourdqu’unélectron
Approxima:onparaxiale: |k?| ⌧ kz
E ⇡ ~cn0
kz
✓1 +
k2?
2k2z
◆
21
Unpoten:elharmoniquepourlesphotons
L(0)
L(r) L(r) = L0 � 2⇣R�
pR2 � r2
⌘
⇡ L0 �r2
R
~!0 =N⇡~cn0L
quel’oninjectedanslerésultatprécédent:
~!0(r) = ~!0(0) +1
2mph⌦
2r2
d’oùl’énergied’unphotonécartéderdel’axeop:que
avec: ⌦ =c
n0
pL0R/2
⌦/(2⇡) ⇡ 40GHz
BilandeceZeanalyse«corpusculaire»: E(r,k?) =~2k2
?2mph
+1
2mph⌦
2r2
22
Thermodynamiqueducolorant
g
ee
g
+1photon
e
gpompage
Larelaxa:onrovibra:onnelletrèsrapide(femtoseconde)garan:tunéquilibrethermiqueentresous-niveauxdegd’unepart,entresous-niveauxdeed’autrepart
Ne(E + ~!)Ng(E)
= Z e�~!/kBT T ⇡ 300K
Enrevanche,lerapportentrelespopula:onsdesdeuxcon:nuaassociésàeetàg n’estpasthermique,maisimposéparlapuissancedulaserdepompage.
RapportcaractériséparleparamètreZ
23
Thermodynamiquedesphotons
g
e
N (!) :nombredephotonsdansunmoded’énergie ~!
N (!) Ng(E) = [1 +N (!)]Ne(E + ~!)
absorp'on émissionspontanée+s'mulée
N (!)
1 +N (!)=
Ne(E + ~!)Ng(E)
Al’équilibre: = Z e�~!/kBT
Analysesimplifiéefondéesurlebilandétaillé:
ouencore:
LoideBose-Einsteinavecunefugacitédifférentede1,doncunpoten:elchimiquenonnul,dépendantsdelapuissancedulaserdepompage
N (!) =1
1Z e~!/kBT � 1
24
Ladifférenceaveclerayonnementducorpsnoir
DansleformalismeconduisantàlaformuledePlanck,onimposeμ=0pourlesphotons
Celaestmo:véparl’existencedeprocessustelsque:
1photon uneexcita:ondesparois
2photons
Nonconserva:ondunombred’excita:ons: µ = 2µ ) µ = 0
Dansl’expériencedeBonn,ilyaconserva:ondunombred’excita:ons:
1photon+1moléculeg 1moléculee
Lepoten2elchimiquenonnulrendcomptedeceSeconserva2on
Surleplanmathéma:que,descrip:onàl’approxima:onRWA
25
Lacondensa:on2DobservéeàBonn
Spectredelalumièresortantdelacavitépourdespuissancedepompagecroissante
AjustementdescourbesparuneloideBose-EinsteinavecT=300Ketunpoten:elchimiquevariable
Condensa:onaZenduepour
⇡ 60 000
Bonaccordaveclesobserva:ons!
N =⇡2
3
✓kBT
~⌦
◆2
26
Condensatoulaser?
• Lesfluctua:onsdunombredephotonsdanslemoded’unlasersontsouventpoissoniennes.EllessonticineZementplusimportantesetcorrespondentaurésultataZendudanslecadredel’ensemblegrand-canonique.
• Ladistribu:onénergé:quefaitapparaîtreunpicétroitaudessusd’unpiédestalthermique,généralementabsentpourunlaser
• Ils’agitd’unrégimeforcéplutôtqued’unéquilibrethermodynamiqueausensstrict
Uncritèrepluscontraignantpourraitconsisteràvérifiercertainesrela:onsfluctua:on-dissipa:on(ChiocheZaetal.)
27
Bilanàcestade
Gazparfaitdebosonsàlalimitethermodynamique
•Condensa2ondansunpiègeharmonique,maissingulier
densitécentralepourunpiègedefréquence! 1 ! ! 0
•Pasdecondensa2ondansuneboîteàlalimitethermodynamique
Peut-ilyavoirunetransi:ondephasesansqueladensitédevienneinfinie?
Oui,maisceZetransi:onestfondamentalementdueauxinterac:ons!
MécanismeBKT
28
4.
Collisionsbinairesàdeuxdimensions
29
Collisionsentredeuxpar:cules
H =p21
2m+
p22
2m+ U(r1 � r2)
OnsupposeraquenedépendquedeU(r) r = |r|
Sépara'ondesvariables: H = HCM + Hrel
Centredemasse: HCM =P 2
2MR =
1
2(r1 + r2) P = p1 + p2
M = 2m
Variablerela:ve: Hrel =p2
2mr+ U(r) r = r1 � r2 p =
1
2(p1 � p2)
mr = m/2
LaphysiquedelacollisionestdécriteparHrel
30
Barrièrecentrifugeetcollisionenondes
U(r) = �C6/r6avecparexemple+uncoeurdur
Oncherchelesétatspropresded’énergieposi:veHrel =p2
2mr+ U(r)
Etatproprecommunàetaumomentciné:que,depar:eangulaireconnue.Hrel
0 1 2 3 4 5�2
�1
0
1
2
r
U(r)
potentiel dans l’onde s
potentiel dans l’onde p
énergie centrifuge (onde p)
énergie incidente
Pourunétatdemomentciné:quenonnul,ilapparaîtuntermedebarrièrecentrifuge1/r2dansl’hamiltonienradial
Abasseénergie,lepoten:eld’interac:onnejoueunrôlequepourlecanaldecollisiondemomentciné:quenul
Collisionenondes,doncisotrope
31
Etatsta:onnairedediffusion
Hrel =p2
2mr+ U(r)
OnchercheunétatpropreavecHrel k(r) = Ek k(r) Ek =~2k22m
etlecomportementasympto:que
k(r) ⇠ eik·r + f(k)eikrpkr
ondeplaneincidente
ondecylindriquesortante
Oncherchelecomportementdel’amplitudedediffusionf (k)danslalimite k ! 0
32
Lecastri-dimensionnel
Poten:eldeportéeb,limitedebasseénergie: kb ⌧ 1U(r)
eikx
Ilexistedoncunerégiondel’espacetelleque b < r ⌧ k�1
kr = 1
2b
⇢e
±ikr
r
�ou
⇢sin(kr)
r,cos(kr)
r
�
⇢1,
1
r
�
Lavaleurdelalongueurdediffusionaestimposéeparlarégularitédelafonc:ond’ondeenr = 0etdépenddeU(r)
a = � limk!0
f(k)Amplitudedediffusion:
R(r) = C0
⇣1� a
r
⌘Fonc:onradiale:
33
Lecasbi-dimensionnel
⇢e
±ikr
pr
�ou
⇢sin(kr)p
r,cos(kr)p
r
�
eikx kr = 1
2b
⇢pr,
1pr
�???
Nemarchepascarn’estpasunesolu:onexactedanslecasU = 0,
maissimplementunelimiteasympto:que
e±ikr
pr
Enrevancheà3D,estbienunesolu:onexactequandU = 0e±ikr
r
34
Lecasbi-dimensionnel(suite)
eikx kr = 1
2b
Solu:onsexactespourU = 0 : fonc:onsdeBesselde1èreet2èmeespèce
J0(kr) Y0(kr)
J0(kr) ⇠r
2
⇡krcos
⇣kr � ⇡
4
⌘
Y0(kr) ⇠r
2
⇡krsin
⇣kr � ⇡
4
⌘
J0(kr) ⇠ 1
Y0(kr) ⇠2
⇡ln(kr)
35
Lecasbi-dimensionnel(fin)
eikx kr = 1
2b
J0(kr) ⇠r
2
⇡krcos
⇣kr � ⇡
4
⌘
Y0(kr) ⇠r
2
⇡krsin
⇣kr � ⇡
4
⌘
Fonc:onradiale: R(r) = C1 ln(r) + C2 = C1 ln(r/a2)
a2:longueurdediffusionàdeuxdimension
Amplitudedediffusion: f(k) ⇡ 1
� 1
2⇡ln(ka2) +
i
4
k ! 0
J0(kr) ⇠ 1
Y0(kr) ⇠2
⇡ln(kr)
Collisiondansunegéométriequasi-bidimensionnelle
Petrov-Holzmann-Shlyapnikov
aoh
Confinementharmoniqueselonl’axez:
aoh
=
r~
m!z
Résultatdumêmetypequeceluitrouvépourleproblèmestrictement2D:
f(k) ⇡ 11
g� 1
2⇡ln(ka
oh
) +i
4
g =p8⇡
a
aoh
avec
a:longueurdediffusion3D
Danslaplupartdescas,letermedomineledénominateur,cequidonne1/g
maisilfaudraserappelerquecelanepeutpasêtrecorrectsidevientgrand
f(k) ⇡ gg . 1
g
37
Bilan
Legazparfaitàdeuxdimensionspeutêtrevucommeuncaspar:culierduthéorèmedeMermin-Wagner-Hohenberg
Pasd’ordreàlongueportéeàlalimitethermodynamique
Maisilest«pauvre»ausensoùilneprésentepasnonplusdetransi:ondephasetopologiqueàlaBKT
Lesinterac'onssontindispensablespourfaireémergerceLetransi'ondephase
Ladescrip:ondecesinterac:onspeutsefairedanslescassimplesentermed’unnombresansdimensionquicaractérisel’amplitudedediffusiong
g =p8⇡
a
aoh
f(k) ⇡ g si g . 1