Post on 12-Jan-2015
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UNIDAD 1: FUNCIONES, LÍMITE Y CONTINUIDAD
Límites al infinito
Límites infinitos
1
tiempo(años)
clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos …
¿ ?
¿ ?
50
t
Entonces: 50)(lim
tft
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
2
LÍMITES AL INFINITO
3
Si los valores de la función f (x) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )x
f x L
De manera similar, valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye indefinidamente, se escribe:
lim ( )x
f x M
POR EJEMPLO….
4
y = f (x)y
y = L
y = M M
Llim ( )x
f x L
lim ( )x
f x M
x
POR EJEMPLO….
5
LÍMITE AL INFINITO PARA FUNCIONES POLINÓMICAS
6
11 1 0( ) n n
n nf x a x a x a x a
lim ( ) lim nn
x xf x a x
Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito, se halla el límite del término de mayor grado (término dominante).
Ejemplos:
a) 32 59lim
3 6xx x
b) )5( 24
lim
xxxx
Sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valorde los siguientes límites?
INTERROGANTE . . . . .
7
n
xxlim
nx x
1lim
nx x
1lim
INTERROGANTE . . . . .
8
También tenemos:
Por , Tenemos que tener cuidado con la definición de la potencia de los números negativos. En particular:
EJERCICIO . . . . .
9
EJERCICIO . . . . .
10
Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html
EJERCICIO . . . . .
11
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html
EJERCICIO . . . . .
12
Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html
EJERCICIO . . . . .
13
Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html
So x=2 is a vertical asymptote. On the other hand, we have
So y=1 and y= -1 are horizontal asymptotes.
11 1 0
11 1 0
( )n n
n nm m
m m
a x a x a x af x
b x b x b x b
11 1 0
11 1 0
lim ( ) lim
n nn n
m
m mx xm m
m
a x a x a x a
xf xb x b x b x b
x
Divida el numerador y denominador entre el x elevado al mayor grado del denominador y calcule el límite de la nueva expresión:
Resolución:
límite al infinito para funciones racionales
14
15
Para funciones racionales: 1
1 1 01
1 1 0
( )n n
n nm m
m m
a x a x a x af x
b x b x b x b
Resolución simplificada:
Calcular el límite, tomando en cuenta el término dominante del numerador y del denominador:
m
m
n
n
x xb
xalim
EJERCICIOS:
16
32
542
2
lim
x
xx
x
xxx 21
34
lim
x
xxx 21
34
lim
3
72lim
x
x
x
1.
2.
3.
4.
Calcule los siguientes límites
PROBLEMA
17
Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puede modelarse con la función de Michaelis – Menten:
( ) 0AN
Y N NB N
donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?
Se dice que es un límite infinito si f (x)aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.Técnicamente, este límite no existe, pero se puede dar más información acerca del comportamiento de la función escribiendo:
LÍMITES INFINITOS
18
lim ( )x a
f x
lim ( )x a
f x
lim ( )x a
f x
si f (x) crece sin límite cuando x→a.
si f (x) decrece sin límite cuando x→a.
LÍMITES INFINITOS
19
La línea vertical x = 3. Esta línea se llama una ASÍNTOTA VERTICAL.
LÍMITES INFINITOS
20
Para una función dada f (x), hay cuatro casos, en los que asíntotas verticales se pueden presentar:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
21
De la gráfica de la función f, halle en caso exista, los siguientes límites:
Ejemplo 2:
¡INTERROGANTE!
22
A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:
)(lim xfax
23
a. Estime 2 2
1 1
1 1lim , lim
1 1x xx x
Ejemplo 1:
2 2
2 2lim , lim
2 2x xx x b. Estime .
¿A dónde tiende ?2
2lim
2x x
¿A dónde tiende cuando x tiende a −1? 2
1( )
1f x
x
CONTINUIDAD
24
Criterio de continuidad
Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres condiciones siguientes:
1. f(c) existe (c está en el dominio de f)
2. Limx c f(x) existe (f tiene un límite cuando xc)
3. Limx c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)
CONTINUIDAD
25
1 2 3 4
1
2
0
y
x
y = f (x)
Continua
Discontinua
CONTINUIDAD
26
1
1
0
y
x
y = f(x)
1
0
y
x
y = f(x)
1
0 x
y = f(x)
y = f(x)
y
x
2
CONTINUIDAD
27
21
x
y
2
22
x
xy
Discontinuidad infinita
Discontinuidad removible
Continuidad de Funciones
28
Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función
limx 2
x21x 2
50
28
f (x)x21
x 2
Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2 será una punto de discontinuidad.
Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que tipo de discontinuidad tenemos.
Evidentemente no existe f(2)No se puede dividir por 0
limx 2
x21x 2
50
Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2
Números muy pequeños pero negativos:
1,90 – 2 = - 0,1
1,99 – 2 = - 0,01
Números muy pequeñospero positivos:1,90 - 2 = 0,11,99 - 2 = 0,01
Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los límites laterales)
29
Veamos la gráfica de la función: f (x)x21
x 2
Cuando me acerco a 2-
la función va hacia -∞
Cuando me acerco a 2+
la función va hacia +∞
Aquí tendremos
Una Asíntota vertical
De ecuación x=2
30
Veamos el siguiente ejemplo con una función
definida a trozos:
f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5
Aquí tenemos una recta horizontal, paralela al eje de abcisas X. Siempre es continua en su intervalo de definición.
Aquí tenemos una parábola. Siempre es continua en su intervalo de definición.
Aquí tenemos una recta. Siempre es continua en su intervalo de definición.
Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los casos x = 2 y x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir algún cambio respecto a la continuidad
31
Si nos fijamos en la gráfica de esta función
veremos que:
Discontinua
de 1ª especie
en x = 2 con
salto de 3 u.
Continua en
x = 5
Continuidad de Funciones
3232
Estudiamos analíticamente el caso de x = 2
f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5
f (2)5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2, donde se produce un salto de 3 unidades.
33
Estudiamos analíticamente el caso de x = 5
limx5
x2 6x105
f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5
limx5
4x 155
f (5)5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5
34
Veamos algún caso con una discontinuidad del tipo “Evitable”
f (x)x2 3x2
x 1Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }
Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1
1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
2. limx1
x2 3x2x 1
00 lim
x1
x 1 x 2 x 1
limx1
x 2 1
limx1
x2 3x2x 1
00 lim
x1
x 1 x 2 x 1
limx1
x 2 1
Como los límites izquierda y derecha son iguales tenemos que existe el límite x 1
limx 1
f (x) f (1) que no existe
35
Veamos ahora la gráfica de la función
Tenemos un agujero para x = 1
36
1lim0
xfx
existennoxfyxfxx 00limlim
0lim1
xfx
1lim1
xfx
existenoxfx 1lim
1lim2
xfx
1lim2
xfx
1lim2
xfx
23limlimlim333
fxfxfxfxxx
1lim4
xfx
existennoxfyxfxx 44limlim
1 2 3 4
1
2
0
y
x
y = f (x)
37
Esboce el gráfico de una función f con dominio R que cumpla con las siguientes condiciones:
Ejemplo 3:
FIN38