Post on 02-Feb-2016
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Representación gráfica de funciones.
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Función impar: Centro de simetría el (0,0)
Crecimiento y Decrecimiento
Sea f una función derivable en los puntos del intervalo abierto I:
Si f ’(x) > 0 para todo x I, entonces f es estrictamente creciente en I,
Si f ’(x) < 0 para todo x I, entonces f es estrictamente decreciente en I,
De esta forma, el estudio del crecimiento o decrecimiento de una función
se reduce al estudio del signo de su derivada.
Ejemplo.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las
función f(x) = 4 x 3 – 3 x
Como f ‘ (x) = 12 x 2 – 3 = 3 . ( 2 x + 1 ) . ( 2 x – 1 ).
Igualado f ‘ (x) a cero, se obtiene las soluciones x = -1/2 y x = +1/2 . Y
obtenemos el estudio de crecimiento y decrecimiento siguiente
Extremos locales y relativos: máximos y mínimos
Sea f una función derivable en un punto x0. Si f tiene en (x0,f(x0)) un extremo
relativo (máximo o mínimo), entonces f ´(x0) = 0.
Para que f tenga un máximo local en (x0,f(x0)) tiene que existir dos números a,
b (a < b) tales que f sea creciente en (a,x0) y decreciente en (x0,b).
Para que f tenga un mínimo local en (x0,f(x0)), tiene que existir dos números a,
b (a < b) tales que f sea decreciente en (a,x0) y creciente en (x0,b).
Puede suceder que f ‘ (x0) = 0, y f no tenga en (x0,f(x0)) ni máximo ni mínimo
local (se suele denominar punto de inflexión).
También puede suceder que no exista f ‘(x0) y que f tenga un máximo o un
mínimo local (pero no relativo) en (x0,f(x0)).
Los puntos x0 en los que f ’(x0 ) = 0 o no existe la derivada, se denominan
puntos críticos.
Extremos locales: máximos y mínimos
Ejemplos.
Halla los máximos y mínimos de f(x) = x3 + x2 – x - 1.
Como f ‘(x) = 0 3 x2 + 2 x – 1 = 0 x = -1 y x = 1/3
Y teniendo en cuenta que
será:
(-1,f(-1)) un máximo relativo
(1/3,f(1/3)) un mínimo relativo
Extremos locales: máximos y mínimos
Halla los máximos y mínimos de f(x) = x3 - 1.
Como f ‘(x) = 0 3 x2 = 0 x = 0
Y teniendo en cuenta que
f no tiene ni máximo ni mínimos relativos
Extremos locales: máximos y mínimos
Halla los máximos y mínimos de f(x) = |x|.
f ‘(x) 0 para todo x 0 y f ‘(0) no existe
Sin embargo teniendo en cuenta que f es continua en x = 0 y que
f tiene ni mínimo local en (0,0)
Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
Una función f es convexa en un intervalo I, cuando para cualquier par de
puntos a, b I el segmento que [a,b] queda por encima de la gráfica f en I.
Una función f es cóncava en un intervalo I, cuando para cualquier par de
puntos a, b I el segmento que [a,b] queda por debajo de la gráfica f en I.
En x0 f tiene un punto de inflexión cuando existe un a, b (a < b) tal que f es
convexa en (a,x0) y cóncava en (x0,b) o cóncava en (a,x0) y convexa en
(x0,b)
Ejemplo.-
La función x2 es convexa en todo intervalo real.
La función g(x) = - x2 es cóncava en todo intervalo real.
La función h(x) = x3 tiene un punto de inflexión en x = 0.
Concavidad, convexidad y puntos de inflexión
Sea f una función con derivada segunda en un intervalo I
Si f ‘ ‘(x) > 0, entonces f ‘(x) es creciente en I, y por tanto f es convexa
en I.
Si f ‘ ‘(x) < 0, entonces f ‘(x) es decreciente en I, y por tanto f es
cóncava en I.
Si f tiene en x0 un punto de inflexión y existe la derivada segunda en
ese punto, entonces f ‘ ‘ (x0) = 0
Ejemplo.- Estudiar los intervalos de concavidad, convexidad y puntos de
inflexión de la función f(x) = x3 – 3 x 2.
Como f ‘ (x) = 3 x 2 – 6 x; f ‘ ‘ (x) = 6 x – 6 = 0 x = 1
Como: f ‘ ‘ (x) < 0 si x < 1, y f ‘ ‘ (x) > 0 si x > 1. f es cóncava en x < 1,
convexa en x > 1, y tiene un punto de inflexión en (1,f(1)) = (1,-2).
Máximos y mínimos con la derivada segunda
Si f es una función tal que f ‘(x0) = 0, es decir en x0 hay un punto crítico, y
existe la derivada segunda en algún intervalo que contiene a x0.
Si f ‘ ‘ (x0) > 0, entonces f alcanza un mínimo relativo en ((x0,f(x0)).
Si f ‘ ‘ (x0) < 0, entonces f alcanza un máximo relativo en (x0,f(x0)).
Ejemplo.- Estudiar los extremos relativos de la función f(x) = x4 – 4 x3 + 2
Como f ’(x) = 0 4 x3 – 12 x 2 = 0 x = 0 y x = 3.
Como f ‘ ‘(0) = 12.02 – 24.0 = 0 y f ‘ ‘(3) = 12.32 – 24.3 > 0.
Y teniendo en cuenta que f ‘ (x) < 0, si x (-,3) – {0}.
f tendrá un punto de inflexión en (0,2) y un mínimo relativo en (3,-25)
convexa
convexa
horizontal
Asíntotas verticales y horizontales
Si f es una función tal que
decimos que f tiene una asíntota horizontal y = a
lim limx x
f x a o f x a
Ejemplo.- Estudiar las asíntotas horizontales de
2
2 1
xf x
x
Como
La función f tiene una asíntota horizontal y = 1
2
2lim lim 1 lim
1x x x
xf x f x
x
Asíntotas verticales y horizontales
Si f es una función racional tal que para x = a, se anula el denominador si
decimos que f tiene una asíntota vertical en x = a
lim limx a x a
f x o f x
Ejemplo.- Estudiar las asíntotas verticales de
3
1 2
xf x
x x
Como
La función f tiene una asíntota vertical en x = -2 y otra en x = 1
2 2 1 1
lim ; lim ; lim ; lim ;x x x x
f x f x f x f x
Asíntotas oblicuas
Decimos que la recta y = m.x + n (con n 0) es una asíntota oblicua, cuando
se cumple:
( )lim ; lim ( )
o bien
( )lim ; lim ( )
x x
x x
f xm f x m x n
x
f xm f x m x n
x
Asíntotas oblicuas
Ejemplo.- Estudiar las asíntotas oblicuas de la función3
2( )
1
xf x
x
Como
3
32
3
3
2 2
( ) 1lim lim lim 1
1lim ( ) lim lim 0
1 1
x x x
x x x
xf x xx mx x x x
xf x m x x n
x x
f tiene una asíntota oblicua y = x
Estudio de las gráficas de una función
El estudio de la gráfica de una función requiere recopilar gran cantidad de
información y resultados. Una posible ordenación de este estudio es:
1.- Estudio de las propiedades globales de la función: Se estudia el
dominio, los puntos de corte con los ejes, las simetrías y la periodicidad.
Los intervalos del eje X en los cuales la función está por encima o por
debajo del eje horizontal. Los puntos en los que f es discontinua.
2.- Derivada primera: Se estudian los puntos críticos, los intervalos de
crecimiento y decrecimiento.
3.- Derivada segunda: Se analiza los intervalos de concavidad y
convexidad, puntos de inflexión.
4.- Asíntotas: Se estudia las posibles asíntotas, verticales, horizontales y
oblicuas.
5.- Representación gráfica: Se representa la gráfica teniendo en cuenta
todos los datos obtenidos en los apartados.
Estudio de las gráficas de una función
VER EJEMPLO DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
.
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
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lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/mate
maticas.htm)
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