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TEMA 3: Funciones de varias variables: lımites ycontinuidad

Calculo

Ingeniero de Telecomunicacion

Calculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 1 / 69

1 Funciones Elementales

2 El conjunto Rn

Estructuras en Rn

Principales tipos de coordenadas en R2

3 Funciones de varias variablesDominio e Imagen de una funcionFuncion inversa. Funcion compuesta

4 Lımites de funciones escalaresLımite de una funcion de dos variablesCalculo practico de lımites de funciones escalares

Propiedades de los lımitesLımites iteradosLımites direccionalesTeorema de compresionInfinitesimos equivalentesCalculo del lımite por cambio a coordenadas polaresCaracterizacion sucesional del lımite

Calculo practico de lımites de funciones vectoriales

5 Funciones continuasFunciones continuas en compactos

Indice1 Funciones Elementales2 El conjunto Rn

Estructuras en Rn

Calculo practico de lımites de funciones vectoriales5 Funciones continuas

Funciones continuas en compactosCalculo () TEMA 3 Ingeniero de Telecomunicacion 3 / 69

Funcion exponencial

Dado un numero real a > 0,

f : R −→ Rx 7−→ ax

Propiedades

Dom(f ) = R, Im(f ) =

{R+ si a 6= 1

1 si a = 1

f es continua en R.

f es derivable en R, con f ′(x) = ax ln a.

Si a ≥ 1, f es creciente. Si 0 < a < 1, f es decreciente.

a0 = 1

axay = ax+y

ay= ax−y

Funcion exponencial

Dado un numero real a > 0,

f : R −→ Rx 7−→ ax

Funcion logarıtmica

Sea a > 0, a 6= 1. Se llama funcion logarıtmica de base a, f (x) = loga(x), a lafuncion inversa de la exponencial ax .

aloga(x) = x loga(ax) = x

Si a = e, hablamos del logaritmo neperiano, denotado ln x .

Propiedades

Dom(f ) = R+, Im(f ) = Rf es continua en R+. f es derivable, con f ′(x) = 1

x ln a .

Si a ≥ 1, f es creciente. Si 0 < a < 1, f es decreciente.

loga(1) = 0.

loga(xy) = loga(x) + loga(y), ∀x , y ,∈ R+.

loga(xy ) = y loga(x), ∀x , y ,∈ R+.

loga( xy ) = loga(x)− loga(y), ∀x , y ,∈ R+; 6= 0.

Funcion logarıtmica

Sea a > 0, a 6= 1. Se llama funcion logarıtmica de base a, f (x) = loga(x), a lafuncion inversa de la exponencial ax .

aloga(x) = x loga(ax) = x

Si a = e, hablamos del logaritmo neperiano, denotado ln x .

Funcion seno

f : R −→ [−1, 1]x 7−→ sin x

Propiedades

Dom(f ) = R, Im(f ) = [−1, 1].

sin x es continua en R.

sin x es derivable, conf ′(x) = cos x .

sin x es una funcion impar.

sin(x + 2π) = sin x .

Funcion coseno

f : R −→ [−1, 1]x 7−→ cos x

Propiedades

Dom(f ) = R, Im(f ) = [−1, 1].

cos x es continua en R.

cos x es derivable, conf ′(x) = − sin x .

cos x es una funcion par.

cos(x + 2π) = cos x .

Funcion tangente

f : R −→ Rx 7−→ tan x = sin x

Propiedades

Dom(f ) = R−{π2 +kπ, k ∈ Z},Im(f ) = R.

tan x es continua en sudominio.

tan x es derivable, conf ′(x) = 1

cos2 x .

tan x es una funcion impar.

tan(x + π) = tan x .

Funcion cosecante

f : R −→ R

x 7−→ cosec x =1

Propiedades

Dom(f ) = R− {kπ, k ∈ Z},Im(f ) =]−∞,−1] ∪ [1,+∞[.

cosec x es continua en sudominio.

cosec x es derivable, conf ′(x) = − cosec x cot x .

cosec x es una funcion impar.

cosec(x + 2π) = cosec x .

Funcion secante

f : R −→ R

x 7−→ sec x =1

Propiedades

Dom(f ) = R−{π2 +kπ, k ∈ Z},Im(f ) =]−∞,−1] ∪ [1,+∞[.

sec x es continua en sudominio.

sec x es derivable, conf ′(x) = sec x tan x .

sec x es una funcion par.

sec(x + 2π) = sec x .

Funcion cotangente

f : R −→ Rx 7−→ cot x =

Propiedades

Dom(f ) = R− {kπ, k ∈ Z},Im(f ) = R.

cot x es continua en sudominio.

cot x es derivable, conf ′(x) = − cosec2 x .

cot x es una funcion impar.

cot(x + π) = cot x .

Funcion arcoseno

Para cada x ∈ [−1, 1], se define arcsin x como el unico y ∈ [−π2 ,π2 ] tal que

sin(y) = x .arcsin(sin x) = x sin(arcsin x) = x

Propiedades

Dom(f ) = [−1, 1],Im(f ) = [−π2 ,

π2 ].

arcsin x es continua en [−1, 1].

arcsin x es derivable, con

f ′(x) =1√

1− x2.

arcsin x es una funcion impar.

Funcion arcocoseno

Para cada x ∈ [−1, 1], se define arccos x como el unico y ∈ [0, π] tal quecos(y) = x .

arccos(cos x) = x cos(arccos x) = x

Propiedades

Dom(f ) = [−1, 1],Im(f ) = [−π, π].

arccos x es continua en [−1, 1].

arccos x es derivable, conf ′(x) = − 1√

1−x2.

arccos x es una funcion par.

Funcion arcotangente

Para cada x ∈ R, se define arctan x como el unico y ∈]− π2 ,

π2 [ tal que tan(y) = x .

arctan(tan x) = x tan(arctan x) = x

Propiedades

Dom(f ) = R,Im(f ) =]− π

2 ,π2 [.

arctan x es continua en R.

arctan x es derivable, con

f ′(x) =1

1 + x2.

arctan x es una funcion impar.

Relaciones trigonometricas

1 sin2 x + cos2 x = 1.

2 sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y ; sin(2x) = 2 sin x cos x .

3 cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y ; cos(2x) = cos2 x − sin2 x .

4 tan(x + y) = tan x+tan y1−tan x tan y .

5 sin2 x = 1−cos(2x)2 .

6 cos2 x = 1+cos(2x)2 .

7 sec2 x = 1 + tan2 x .

Estructuras en Rn

El conjunto Rn

DefinicionEl conjunto Rn es el producto cartesiano Rn = R× R× · · · × R, es decir

Rn = {(x1, x2, . . . , xn) | xj ∈ R, para j = 1, 2, . . . , n}

El conjunto Rn con las operaciones usuales de suma y producto por escalares, esdecir:

~x + ~y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

λ~x = (λx1, λx2, . . . , λxnxn)

siendo ~x = (x1, x2, . . . , xn), ~y = (y1, y2, . . . , yn) y λ ∈ R, tiene estructura deespacio vectorial, cuya dimension es n.

Distancia euclıdea

Norma de un vectorSi se define el producto escalar ordinario como

~x · ~y = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn

Rn tiene estructura de espacio euclıdeo, pudiendose definir la norma de un vectorcomo

||~x || =√~x · ~x =

1 + x22 + · · ·+ x2

Definicion

La distancia euclıdea entre dos vectores ~x = (x1, x2, . . . , xn) y ~y = (y1, y2, . . . , yn)se define como

d(~x , ~y) = ||~x − ~y || =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2

Topologıa en Rn

Bola con centro ~a y radio r

Dado el vector ~a de Rn, la bola con centro ~a y radio r es el conjunto

Br (a) = {~x ∈ Rn | d(~x ,~a) = ||~x −~a|| < r}

Ejemplo

La bola de R2 con centro el vector~a = (a1, a2) y radio r esprecisamente el conjunto de lospuntos interiores a la circunferenciacon centro ~a y radio r .

Br (~a) = {(x1, x2) ∈ R2 |√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 < r}

= {(x1, x2) ∈ R2 | (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2< r2}

Topologıa en Rn

Punto interior y conjunto abierto

Un punto x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se dice que es un punto interior del conjuntoA (x ∈ int(A)) si existe una bola con centro x totalmente contenida en A, esdecir,

x punto interior de A si ∃Br (x) ⊆ A

Se dice que el conjunto A es abierto si todos sus puntos son interiores.

Ejemplo

El conjunto A = {(x , y) ∈ R2 | (x − 1)2 + (y + 1)2 < ( 12 )2} es abierto.

El conjunto B = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 13} no es abierto.

Topologıa en Rn

Punto frontera

Un punto x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se dice que es un punto frontera delconjunto A (x ∈ Fr(A)) si toda bola con centro x contiene puntos de A ypuntos no pertenecientes a A.

El conjunto frontera de A esta formado por todos los puntos frontera de A.

NotaUn punto frontera de A no pertenece necesariamente a A.

Ejemplo

Siendo A y B los conjuntos del ejemploanterior,

Fr(A) = {(x , y) ∈ R2 | (x−1)2+(y+1)2 = (1

Fr(B) = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y 2 =1

Topologıa en Rn

Conjunto cerrado

Se dice que el conjunto A es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera.

Ejemplo

En muchos de los problemas de optimizacion, los dominios estaran definidos poruna o mas desigualdades. Por ejemplo, si p, q y m son parametros positivos, elconjunto de los puntos (x , y) que verifican las desigualdades

px + qy ≤ m, x ≥ 0, y ≥ 0

es cerrado.

Topologıa en Rn

Conjunto cerrado

Se dice que el conjunto A es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera.

Importante

En general, si g(x) = g(x1,, . . . , xn) es una funcion continua de n variables y c esun numero real, los tres conjuntos

{x ∈ Rn | g(x) ≥ c} {x ∈ Rn | g(x) ≤ c} {x ∈ Rn | g(x) = c}

son cerrados. Si sustituimos ≥ por > o ≤ por <, los conjuntos correspondientesson abiertos.

Ejemplo

El conjunto C = {(x , y) | 2x − 3y ≤ 12} es cerrado.

El conjunto D = {(x , y) | 2x − 3y < 12} es abierto.

Topologıa en Rn

Conjunto acotado

Se dice que el conjunto A es acotado si existe una bola que lo contenga.

Ejemplo

El conjunto {(x , y) | 4 < x2 + y 2 ≤ 9} es acotado.

Topologıa en Rn

Conjunto acotado

Se dice que el conjunto A es acotado si existe una bola que lo contenga.

Ejemplo

El conjunto {(x , y) | 4 < x2 + y 2} no es acotado.

Topologıa en Rn

Conjunto compacto

Se dice que el conjunto A es compacto si es cerrado y acotado.

Ejemplo

El conjunto {(x , y) | 4 < x2 + y 2 ≤ 9} no es compacto, pues es acotado pero nocerrado. Sin embargo, el conjunto {(x , y) | 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 9} sı es compacto.

Topologıa en Rn

Conjunto compacto

Se dice que el conjunto A es compacto si es cerrado y acotado.

Ejemplo

El conjunto {(x , y) | 4 ≤ x2 + y 2} no es compacto, pues es cerrado pero noacotado.

Coordenadas en R2

Coordenadas cartesianas: Un punto P tiene como coordenadas cartesianas(x , y), siendo x la abcisa e y la ordenada del punto P.

Coordenadas polares: Un punto P tiene como coordenadas polares (ρ, θ),siendo

ρ es la distancia del punto P al origen, es decir ρ =√

x2 + y 2.

θ ∈ [0, 2π[ es el angulo que forma el vector→OP con el semieje positivo de las x .

Coordenadas en R2

C.cartesianas −→ C.polares

Dado un punto (x , y) en coordenadascartesianas, obtenemos (r , θ) como

ρ =√

x2 + y 2 θ = arctany

C.polares −→ C.cartesianas

Dado un punto (r , θ) en coordenadascartesianas, obtenemos (x , y) como

x = ρ cos θ y = ρ sin θ

Coordenadas en R2

C.cartesianas −→ C.polares

Dado un punto (x , y) en coordenadascartesianas, obtenemos (r , θ) como

ρ =√

C.polares −→ C.cartesianas

Dado un punto (r , θ) en coordenadascartesianas, obtenemos (x , y) como

x = ρ cos θ y = ρ sin θ

Ejemplos

El punto de R2 cuyas coordenadas cartesianas son (√

2) tiene comoexpresion en coordenadas polares (2, π4 ).

La circunferencia de radio 1 y centrada en el origen, x2 + y 2 = 1, vieneexpresada como ρ = 1 en coordenadas polares.

Coordenadas en R3

Coordenadas cartesianas en R3

Un punto P tiene como coordenadas cartesianas (x , y , z).

Coordenadas en R3

Coordenadas cilındricas en R3

Un punto P tiene como coordenadas cilındricas (ρ, θ, z), siendo (ρ, θ) lascoordenadas polares del punto Q proyeccion de P sobre el plano OXY .

Coordenadas en R3

C.cartesianas −→ C.cilındricas

Dado un punto (x , y , z) enc.cartesianas, obtenemos (ρ, θ, z)como

ρ =√

xz = z

C.cilındricas −→ C.cartesianas

Dado un punto (ρ, θ, z) encoordenadas cilındricas, obtenemos(x , y , z) como

x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z

Coordenadas en R3

C.cartesianas −→ C.cilındricas

Dado un punto (x , y , z) enc.cartesianas, obtenemos (ρ, θ, z)como

ρ =√

xz = z

C.cilındricas −→ C.cartesianas

Dado un punto (ρ, θ, z) encoordenadas cilındricas, obtenemos(x , y , z) como

x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z

Ejemplos

El punto de R3 cuyas coordenadas cartesianas son (√

3) tiene comoexpresion en coordenadas cilındricas (

√6, π4 ,

√3).

El cilindro de radio 1 con eje el eje z , x2 + y 2 = 1, viene expresado comoρ = 1 en coordenadas cilındricas.

Coordenadas en R3

Coordenadas esfericas en R3

Un punto P tiene como coordenadas cilındricas (ρ, θ, ϕ), donde ρ ≥ 0,0 ≤ θ < 2π y 0 ≤ ϕ < π, siendo:

ρ el modulo del vector ~OP, es decir, ρ es la distancia del punto P al origen.

θ es el angulo formado por el vector ~OQ con el semieje positivo de OX ,siendo Q el punto proyeccion de P sobre el plano OXY .

ϕ es el angulo formado por ~OP y el eje OZ .

Coordenadas en R3

C.cartesianas −→ C.esfericas

Dado un punto (x , y , z) en coordenadas cartesianas, obtenemos (ρ, θ, ϕ) como

ρ =√

x2 + y 2 + z2 θ = arctany

xϕ = arccos

z√x2 + y 2 + z2

C.esfericas −→ C.cartesianas

Dado un punto (ρ, θ, ϕ) en coordenadas esfericas, obtenemos (x , y , z) como

x = ρ cos θ sinϕ y = ρ sin θ sinϕ z = ρ cosϕ

Coordenadas en R3

Ejemplos

El punto (3, π4 ,π4 ) en coordenadas esfericas tiene como coordenadas

cartesianas ( 32 ,

La esfera de radio 1 centrada en el origen, x2 + y 2 + z2 = 1, viene expresadocomo ρ = 1 en coordenadas esfericas.

Estructuras en Rn

Funciones de varias variables

Definicion

Una funcion f : A ⊂ Rn −→ Rm es una aplicacion que a cada punto ~x ∈ A ⊂ Rn

le hace corresponder ~y ∈ Rm

f (x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , ym) ∈ Rm

Definicion

f (x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , ym) ∈ Rm

Ejemplo

Si expresamos el area de un triangulo en funcion de la base y de la altura,tendremos una funcion de dos variables:

A = 12 bh =⇒ A = f (b, h)

Definicion

f (x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , ym) ∈ Rm

Si m = 1, se denomina funcion escalar y si m > 1, funcion vectorial.

Dominio e Imagen

DefinicionDada f : Rn −→ Rm, se define su dominio como

Dom(f ) = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | ∃ f (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rm}

Ejemplos

Si f (x , y) =√

x + y , entonces Dom(f ) = {(x , y) ∈ R2 | x + y ≥ 0}

Si g(x , y) = (sin(xy),y

x2 + y 2, entonces Dom(g) = R2 − {(0, 0)}

Si h(x , y) =e√

ln(x + y − 1), entonces

Dom(h) = {(x , y) ∈ R2 | x + y − 1 > 0, x + y 6= 2}.Si l(x , y) = (x , log y , arcsin x), entonces

Dom(l) = {(x , y) ∈ R2 | y > 0} ∩ {(x , y) ∈ R2 | |x | ≤ 1}.

Dominio e Imagen

DefinicionSea f : Rn −→ Rm. La imagen de f se define por

Im(f ) = {(y1, y2, . . . , ym) ∈ Rm | ∃ (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn con f (x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , ym)}

Ejemplos

Si f (x , y) =√

x + y , entonces Im(f ) = [0,+∞[

Si g(x , y) = ln(xy), entonces Im(g) = RSi h(x , y) = sin(x + y), entonces Im(h) = [−1, 1].

Si h(x , y) = (ln(x + y − 1), exy , sin(x − y), 2x√1−x−y

), entonces Dom(h) = ∅

Funcion compuesta y funcion inversa

Definicion

Sean f : Rn −→ Rm y g : Rm −→ Rp. Si Im(f ) ⊂ Dom(g), se define la funcioncompuesta (g ◦ f ) : Rn −→ Rp como

Rn f−→ Rm g−→ Rp

(g ◦ f )(x) = g(f (x))

Ejemplos

f : R2 −→ R3 definida por f (x , y) = (x + y , x − y , x2)

g : R3 −→ R definida por g(x , y , z) = x2 + y 2 + z2

Entonces,(g ◦ f )(x) = (x + y)2 + (x − y)2 + x4

Funcion compuesta y funcion inversa. Funcion acotada

DefinicionSea f : Rn −→ Rm. Si f es inyectiva, se puede definir la funcion inversaf −1 : Im(f ) ⊂ Rm −→ Rn de modo que,

(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = x ∀x ∈ Dom(f )

Ejemplos

Sea f : R2 −→ R definida por f (x , y) = ex+y . Entonces, f −1(z) = ln z

Si g : R −→ R esta definida por g(x) = sin x , entonces g−1(x) = arcsin x

Si h : R −→ R esta definida por h(x) = cos x , entonces h−1(x) = arccos x

Funcion acotada

DefinicionSea f : A ⊆ Rn −→ R. f esta acotada en A si

∃M ∈ R tal que |f (x)| ≤ M ∀x ∈ A,

o equivalentemente, Im(f ) es un subconjunto acotado de R.

Ejemplos

Sea f : R2 −→ R definida por f (x , y) = sin2(x + y) cos(x − ey ). Entonces, festa acotada, pues

|f (x , y)| ≤ 1 ∀(x , y) ∈ R2.

Si g : R3 −→ R esta definida por g(x , y , z) = ex+y + z , entonces g no estaacotada.

Curvas de nivel

Funciones escalaresPara representar funciones escalares f : Rn −→ R, necesitamos “n+1”dimensiones. Por ello, analizaremos principalmente funciones f : R2 −→ R. Dadauna funcion f : R2 −→ R, el conjunto de puntos de la forma (x , y , z) conz = f (x , y) (grafo de una funcion), es una superficie en R3 que denominaremosrepresentacion grafica de f .

Definicion

Curvas de nivel Dada la funcion f : A ⊂ R2 −→ R y una constante c, la curva denivel c de la superficie z = f (x , y) es el conjunto

Tc = {(x , y) ∈ A : f (x , y) = c}

Curvas de nivel

Estructuras en Rn

Lımite de una funcion de dos variables

Definicion

Sea f : R2 → R. Entonces,

lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) = L

si y solo si para cada ε > 0 existe un correspondiente δ > 0 tal que

|f (x , y)− L| < ε, siempre que 0 <√

(x − a)2 + (y − b)2 < δ

Significado

El lımite de una funcion en un punto P = (a, b) es L si los valores que toma lafuncion en los alrededores de P = (a, b) estan tan cerca de L como queramos. Esimportante tener en cuenta que el valor que la funcion tome en P no interesa a lahora de calcular el lımite.

El estudio de los lımites de funciones de dos variables es mucho mas complejo queel de funciones de una variable, pues en este unicamente se tienen dos caminospara acercarse a un punto, por la derecha o por la izquierda. Sin embargo, en elcaso de dos variables, existe una infinidad de caminos para acercarnos al punto(a, b), como muestra la siguiente figura.

Propiedades

Sean f : Rn → R, g : Rn → R tales que los lımites limx→x0

f (x) y limx→x0

g(x) existen y

valen L y M, respectivamente. Entonces:

1 limx→x0

(f + g)(x) existe y vale L + M.

2 limx→x0

λf (x) existe y vale λL, ∀λ ∈ R.

3 limx→x0

|f (x)| existe y vale L. limx→x0

g(x)existe y vale

M, si M 6= 0.

4 limx−x0→0

f (x) = L.

5 limx→x0

(f · g)(x) exixste y vale L ·M.

6 limx→x0

|f (x)| = 0⇐⇒ limx→x0

f (x) = 0

Lımites iterados o reiterados

Definicion

Dada una funcion f : R2 → R, los lımites iterados de f en (a, b) se definen, siexisten, como

limx→a

(limy→b

f (x , y)

)= L1 y lim

(limx→a

f (x , y))

Para calcular el lımite iterado limy→b

(limx→a

f (x , y))

= L2, en primer lugar fijamos la

variable y , y hacemos que la variable x se aproxime al punto a. Al hacer estelımite, obtenemos una funcion de una variable, que depende unicamente de y .Calculamos entonces el lımite de dicha funcion cuando y se acerca a b.

Definicion

limx→a

(limy→b

f (x , y)

)= L1 y lim

(limx→a

f (x , y))

Ejemplos

Los lımites reiterados de f (x , y) =xy

x + yen (1, 2) son:

limx→1

(limy→2

)= lim

x + 2=

limy→2

(limx→1

)= lim

1 + y=

Definicion

limx→a

(limy→b

f (x , y)

)= L1 y lim

(limx→a

f (x , y))

Ejemplos

Los lımites reiterados de f (x , y) =x2 + y 3

x2 + y 2en (0, 0) son:

limx→0

(limy→0

x2 + y 3

x2 + y 2

)= lim

x→01 = 1

limy→0

(limx→0

x2 + y 3

x2 + y 2

)= lim

y→0y = 0

Sea f : R2 → R. Si existe el lımite doble lim(x,y)→(a,b)

f (x , y) = L, y existen los

lımites reiterados,

limx→a

(limy→b

f (x , y)

)= L1 y lim

(limx→a

f (x , y))

entonces los tres lımites deben ser iguales, es decir, L = L1 = L2.

Importante

Aunque f : R2 → R tenga los lımites iterados iguales

limx→a

(limy→b

f (x , y)

)= L1 = L2 = lim

(limx→a

f (x , y))

eso no significa que exista lim(x,y)→(a,b)

f (x , y).

Importante

Si f : R2 → R verifica que

limx→a

(limy→b

f (x , y)

)= L1 6= L2 = lim

(limx→a

f (x , y))

entonces no existe el lımite doble lim(x,y)→(a,b)

f (x , y).

EjemploComo los lımites reiterados de

f (x , y) =x + y

x − y

son distintos,

6 ∃ lim(x,y)→(0,0)

x − y

Importante

limx→a

(limy→b

f (x , y)

)= L1 6= L2 = lim

(limx→a

f (x , y))

f (x , y).

Ejemplos

Como los lımites reiterados de f (x , y) =x2 + y 3

x2 + y 2en (0, 0) son distintos,

limx→0

(limy→0

x2 + y 3

x2 + y 2

)= lim

x→01 = 1 6= lim

(limx→0

x2 + y 3

x2 + y 2

)= lim

y→0y = 0

tenemos que no existe lim(x,y)→(0,0)

x2 + y 3

x2 + y 2.

Importante

limx→a

(limy→b

f (x , y)

)= L1 6= L2 = lim

(limx→a

f (x , y))

f (x , y).

Ejemplos

Como los lımites reiterados de f (x , y) =x − y

x + yen (0, 0) son distintos,

limx→0

(limy→0

x − y

)= lim

x→01 = 1 6= lim

(limx→0

x − y

)= lim

y→0−1 = −1

tenemos que no existe lim(x,y)→(0,0)

x − y

x + y.

Lımites direccionales

Teorema

Sea f : R2 → R. Si lim(x,y)→(x0,y0)

f (x , y) = L , entonces para toda funcion continua

y = g(x) tal que g(x0) = y0, se tiene:

lim(x , y)→ (x0, y0)

y = g(x)

f (x , y) = limx→x0

f (x , g(x)) = L

Similarmente, para toda funcion continua x = h(y) tal que h(y0) = x0, se tiene:

lim(x , y)→ (x0, y0)

x = h(y)

f (x , y) = limy→y0

f (h(y), y) = L

Lımites direccionales

Ejemplos

Vamos a probar que el lımite lim(x,y)→(0,0)

x2 + y 2no existe.

Si nos acercamos al origen a traves de la recta y = mx , obtenemos que

lim(x , y)→ (0, 0)

y = mx

x2 + y 2= lim

x2 + (mx)2=

1 + m2

Como el lımite a traves de la recta y = mx , depende de la pendiente de esta,tenemos que

6 ∃ lim(x,y)→(0,0)

x2 + y 2

Teorema del Sandwich o de compresion

TeoremaSean f , g , h : A ⊆ Rn → R y a ∈ Rn, verificando

g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) ∀x ∈ A

y limx→a

g(x) = limx→a

h(x) = L. Entonces,

limx→a

f (x) = L

Ejemplo

Estudiar la existencia del lımite en el origen para la funcion

f (x , y) =x2y

x2 + y 2

Como|x | =

√x2 ≤

√x2 + y 2

|y | =√

y 2 ≤√

x2 + y 2

entonces:

|f (x , y)| =|x |2|y |

x2 + y 2≤ (x2 + y 2)

√x2 + y 2

x2 + y 2=√

x2 + y 2

Ahora bien, como lim(x,y)→(0,0)

√x2 + y 2 = 0, entonces, aplicando el Teorema del

Sandwich:

lim(x,y)→(0,0)

x2 + y 2= 0

CorolarioSean f , g : A ⊆ Rn → R y a ∈ Rn, verificando

f (x) acotada y limx→a

g(x) = 0

Entonces,limx→a

f (x)g(x) = 0

Ejemplos

lim(x,y)→(0,0)

xy sin(1

xy) = 0, ya que

−1 ≤ sin(1

xy) ≤ 1 y lim

(x,y)→(0,0)xy = 0

CorolarioSean f , g : A ⊆ Rn → R y a ∈ Rn, verificando

f (x) acotada y limx→a

g(x) = 0

Entonces,limx→a

f (x)g(x) = 0

Ejemplos

lim(x,y)→(0,0)

x2 + y 2cos(x − y 2) = 0, ya que

−1 ≤ cos(x − y 2) ≤ 1 y lim(x,y)→(0,0)

x2 + y 2= 0

Infinitesimos equivalentes

Definicion

Sea f : Rn → R. Diremos que f (x) es un infinitesimo en a ∈ Rn si

limx→a

f (x) = 0

Definicion

Sean f , g : Rn → R infinitesimos en a. Diremos que f (x) es de orden superior,

igual o inferior a g en x = a si limx→a

g(x)= l con l = 0, l ∈ R− {0} o ∞,

respectivamente.

Infinitesimos equivalentes

Definicion

Sean f , g : Rn → R infinitesimos en a. Diremos que f (x) y g(x) son infinitesimos

equivalentes en a si limx→a

g(x)= 1. En este caso, escribiremos f (x) ∼ g(x) si

x → a.

Tabla de infinitesimos equivalentes

Si ε(x) es un infinitesimo en a (es decir, limx→a

ε(x) = 0, entonces:

ε(x) ∼ sin ε(x) ∼ tan ε(x)

ε(x) ∼ arcsin ε(x) ∼ arctan ε(x)

ln(1 + ε(x)) ∼ ε(x)

1− cos(ε(x)) ∼ 12 (ε(x))2

(1 + ε(x))p − 1 ∼ pε(x)

aε(x) − 1 ∼ ε(x) ln a

Princinpio de sustitucion

Principio de sustitucion

Sean f , g : Rn → R infinitesimos en a y ψ : R→ R. Entonces

limx→a

ψ(x)f (x) = limx→a

ψ(x)g(x)

limx→a

f (x)= lim

Ejemplos

lim(x,y)→(0,0)

sin2(xy)

1− cos(x)= lim

(x,y)→(0,0)

= lim(x,y)→(0,0)

y 2 = 0

lim(x,y)→(1,1)

ln(1 + (x − y))

tan(x − y)= lim

(x,y)→(1,1)

x − y

x − y= 1

lim(x,y)→(2,1)

x − 2y

(1 + (x − 2y))3 − 1= lim

(x,y)→(2,1)

x − 2y

3(x − 2y)=

Cambio a coordenadas polares

Teorema

lim(x,y)→(0,0)

f (x , y) = L si y solo si exixte una funcion G (ρ) ≥ 0 tal que

limρ→0

G (ρ) = 0 y de forma que:

|f (ρ cos θ, ρ sin θ)− L| ≤ G (ρ)

Importante

Si limρ→0

f (ρ sin θ, ρ cos θ) = L depende del angulo θ, entonces el lımite doble

lim(x,y)→(0,0)

f (x , y) no existe.

El cambio a coordenadas polares se emplea unicamente cuando calculamoslımites para (x , y)→ (0, 0).

Cambio a coordenadas polares

Ejemplos

lim(x,y)→(0,0)

x2 + y 2= 0

Pasando a coordenadas polares:

limρ→0

(ρ cos θ)2(ρ sin θ)

(ρ cos θ)2 + (ρ sin θ)2= limρ→0

ρ3 cos2 θ sin θ

ρ2= limρ→0

ρ cos2 θ sin θ = 0

lim(x,y)→(0,0)

x2 + y 2no existe.

Pasando a coordenadas polares:

limρ→0

(ρ cos θ)(ρ sin θ)

(ρ cos θ)2 + (ρ sin θ)2= limρ→0

ρ2 cos θ sin θ

ρ2= limρ→0

cos θ sin θ = cos θ sin θ

EL LIMITE DEPENDE DEL ANGULO!!, luego no existe el lımite doble

Caracterizacion sucesional del lımite

TeoremaSea f : A ⊆ Rn → R. Entonces, son equivalentes:

limx→a

f (x) = L

Para cualquier sucesion {xn}n∈N ⊆ A ∼ {a} convergente a a, se tiene que lasucesion {f (xn)} converge a L.

Ejemplo

Demostrar que 6 ∃ limx→0

En efecto, consideremos las siguientes sucesiones convergentes a 0:

{xn}n∈N = {1

nπ}n∈N e {yn}n∈N = {

2+ 2nπ

}n∈N

Entonces,

limn→∞

xn) = lim

n→∞sin(nπ) = 0

mientras que

limn→∞

yn) = lim

n→∞sin(

2+ 2nπ) = 1

TeoremaSea f : A ⊆ Rn → Rm. Sean f1, f2, . . . , fm las funciones coordenadas de f , esto es,f (x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)) y L = (L1, L2, . . . , Lm) ∈ Rm. Entonces, sonequivalentes:

limx→a

f (x) = L

limx→a

fi (x) = Li ∈ R ∀i

Importante

Para calcular el lımite de una funcion vectorial en un punto a ∈ Rn, basta concalcular por separado el lımite de cada una de sus funciones coordenadas ena ∈ Rn.

TeoremaSea f : A ⊆ Rn → Rm. Sean f1, f2, . . . , fm las funciones coordenadas de f , esto es,f (x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x)) y L = (L1, L2, . . . , Lm) ∈ Rm. Entonces, sonequivalentes:

limx→a

f (x) = L

limx→a

fi (x) = Li ∈ R ∀i

Ejemplo

Sea F : R2 → R3 definida por F (x , y) = (1 + y sin( xy ),

x2 + y 2, xy). Entonces,

lim(x,y)→(0,0)

F (x , y) = (1, 0, 0)

Estructuras en Rn

Funciones continuas

Definicion

Decimos que f : A ⊆ Rn → Rm es una funcion continua en el punto a ∈ Dom(f )si existe el lımite de f cuando x tiende a a y ademas coincide con f (a),

∃ limx→a

f (x) = f (a).

DefinicionDecimos que f : A ⊆ Rn → Rm es una funcion continua en A si es continua encualquier punto a ∈ A

Funciones continuas

Las siguientes funciones son continuas en su dominio:

Funciones constantes. (Ej: f (x , y) = 2)

Polinomios. (Ej: f (x , y) = x2 + xy + 2)

Exponenciales. (Ej: f (x , y) = ex−y )

Seno, coseno, tangente... (Ej: f (x , y) = sin(x2 + y))

Logaritmos. (Ej: f (x , y) = ln(x2 + y 2))

Propiedades de las funciones continuas

TeoremaSean f , g : A ⊆ Rn → Rm. Sea h : A ⊆ Rn → R. Sea a ∈ A. Si f , g y h soncontinuas en a, entonces:

1 ||f || es continua en a.

2 αf + βg , f · g y hf son continuas en a.

3 Si h(x) 6= 0 ∀x ∈ A, entonces1

hes continua en a.

Composicion de funciones continuas

TeoremaConsideremos las funciones f : Rn → Rm, g : Rm → Rp y seaa ∈ Dom(g ◦ f ) 6= ∅. Si f es continua en a y g es continua en f (a) ∈ Dom(g),entonces g ◦ f : f : Rn → Rp es continua en a.

Ejemplos

f (x , y) =sin(x − y)

x2 + y 2es continua en R2 ∼ {(0, 0)}.

g(x , y) = ln(x + y 2) es continua en {(x , y) ∈ R2 | x + y 2 > 0}.h(x , y) = etan(xy) es continua en {(x , y) ∈ R2 | cos(xy) 6= 0}.

Funciones continuas en compactos

Teorema de Weierstrass

Sea f : Rn → Rm una funcion continua y K ⊂ Dom(f ) un conjunto compacto.Entonces, f tiene un maximo absoluto y un mınimo absoluto en K .

TEMA 3: Funciones de varias variables: límites y continuidad · PDF fileC alculo pr...

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