Post on 03-Jul-2015
transcript
Tema VIIPolinomios
Precálculo
Polinomios
• Un monomio es un número o un producto de números y variables con exponentes enteros positivos.
• Un polinomio es un monomio o la suma o resta de monomios.
• Los polinomios no tienen variables en los denominadores o exponentes, no raíces o valores absolutos de variables y todas las variables tienen exponentes enteros positivos.
• El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables.
Identificando el Grado de un Monomio
• Identifica el grado de cada monomio.1. x4
2. 12
3. 4a2b
4. x3y4z
5. z6
6. 5.6
7. 8xy3
8. a2bc3
Polinomios
• El grado de un polinomio está dado por el término con el grado mayor.
• Un polinomio está escrito en forma estándar cuando sus términos se escriben en orden de mayor a menor de acuerdo a su grado.
• El coeficiente líder de un polinomio es el coeficiente del primer término de un polinomio cuando está escrito en forma estándar.
Clasificación de un Polinomio
• Un polinomio puede ser clasificado por su cantidad de términos.– Un polinomio con un término se conoce como un
monomio.
– Un polinomio con dos términos se conoce como un binomio.
– Un polinomio con tres términos se conoce como un trinomio.
– Un polinomio con cuatro términos o más se le conoce simplemente como un polinomio.
Clasificación de un Polinomio
• Un polinomio también puede ser clasificado por su grado.
Nombre Grado
Constante 0
Lineal 1
Cuadrático 2
Cúbico 3
Cuártico 4
Quíntico 5
Clasificando Polinomios
• Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.
32 4 1x x
Clasificando Polinomios
• Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.
3 57 11 2x x x
Clasificando Polinomios
• Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.
24 2 2x x
Clasificando Polinomios
• Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.
2 318 5 2x x x
Clasificando Polinomios
• Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.
23 5 4x x
Clasificando Polinomios
• Reescribe cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente líder, grado y número de términos. Nombra el polinomio.
2 43 4 8x x
Sumando y Restando Polinomios
• Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.
2 3 23 7 14 2x x x x x
Sumando y Restando Polinomios
• Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.
2 21 3 2 5x x x
Sumando y Restando Polinomios
• Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.
3 2 32 9 5 4 7x x x x x
Sumando y Restando Polinomios
• Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.
2 23 2 6x x x x
Multiplicando un Monomio y un Polinomio
• Encuentra cada producto.
1. 3x2(x3 + 4)
2. ab(a3 + 3ab2 – b3)
3. 3cd2(4c2d – 6cd + 14cd2)
4. x2y(6y3 + y2 – 28y + 30)
5. 4y2(y2 + 3)
6. fg(f4 + 2f3g – 3f2g2 + fg3)
Multiplicando Polinomios
• Encuentra cada producto.
1. (x – 2)(1 + 3x – x2)
2. (x2 + 3x – 5)(x2 – x + 1)
3. (3b – 2c)(3b2 – bc – 2c2)
4. (x2 – 4x + 1)(x2 + 5x – 2)
5. (a – 3)(2 – 5a + a2)
6. (y2 – 7y + 5)(y2 – y – 3)
Expandiendo una Potencia de un Binomio
• Encuentra el producto.
1. (x + y)3
2. (x + 4)4
3. (2x – 1)3
4. (a + 2b)3
Triángulo de Pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Utilizando el Triángulo de Pascal Para Expandir Expresiones Binomiales
• Expande cada expresión.
1. (y – 3)4
2. (4z + 5)3
3. (x + 2)3
4. (x – 4)5
5. (k – 5)3
6. (6m – 8)3
Utilizando División Larga para Dividir Polinomios
2 3
2
2
D ivide utilizando división larga.
1) 4 3 10 2
2) 15 8 12 3 1
3) 5 28 3
x x x
x x x
x x x
2 34 3 10 2x x x
2
3 2
3 2
2
2
3 10 20
2 3 4 0 10
3 6
10 0
10 20
20 10
20 40
50
x x
x x x x
x x
x x
x x
x
x
División Sintética
• Para que funcione la división sintética, el polinomio debe estar escrito en forma estándar, utilizando 0 como coeficiente para cualquier término perdido y el divisor tiene que ser de la forma x – a.
• Divide (2x2 + 7x + 9) (x + 2) utilizando división sintética.
Utilizando División Sintética para Dividir Binomios Lineales
2
4 3
2
4 3
D ivide utilizando división sintética.
14 12 9
2
2 3 1 3
6 5 6 3
3 5 1 2
x x x
x x x x
x x x
x x x x
Teorema del Residuo
• Si la función polinomial P(x) es dividida por x –a, entonces el residuo r es P(a).
Utilizando Sustitución Sintética
• Utiliza sustitución sintética para evaluar el polinomio para el valor dado.
1. P(x) = x3 – 4x2 + 3x – 5 para x = 4
2. P(x) = 4x4 + 2x3 + 3x + 5 para x = - ½
3. P(x) = x3 + 3x2 + 4 para x = -3
4. P(x) = 5x2 + 9x + 3 para x = 1/5
5. P(x) = 2x3 + 5x2 – x + 7 para x = 2
Aplicaciones a Física
• Un generador Van de Graaff es una máquina que produce voltajes muy altos utilizando niveles pequeños y seguros de corriente eléctrica. Una máquina tiene una corriente que puede ser modelada por I(t)= t + 2, donde t > 0 representa el tiempo en segundos. La potencia del sistema puede ser modelada por P(t) = 0.5t3 + 6t2 + 10t. Escribe una expresión que represente el voltaje del sistema.– Nota: el voltaje V esta relacionada a la corriente I y
potencia P por la ecuación V = P/I.
Mas Aplicaciones
• Escribe una expresión para el largo de un rectángulo con ancho x – 9 y área x2 – 14x + 45.
• Escribe una expresión que represente el área de la cara de arriba de un prisma rectangular cuando su altura es x + 2 y el volumen del prisma es x3 – x2 – 6x.
Teorema del Factor
• Teorema
– Para cualquier polinomio P(x), (x – a) es un factor de P(x) si y solamente si P(a) = 0.
• Ejemplo
– Como P(1) = 12 – 1 = 0, (x – 1) es un factor de P(x) = x2 – 1.
Determinando Cuando un Binomio Lineal es un Factor
• Determina cuando el binomio dado es un factor del polinomio P(x).
1. (x – 3); P(x) = x2 + 2x – 3
2. (x + 4); P(x) = 2 x4 + 8 x3 + 2x + 8
3. (x + 1); P(x) = x2 – 3x + 1
4. (x + 2); P(x) = 3 x4 + 6 x3 – 5x – 10
Factorizando por Agrupación
• Factoriza cada expresión.
1. x3 + 3 x2 – 4x – 12
2. x3 – 2 x2 – 9x + 18
3. 2 x3 + x2 + 8x + 4
4. x3 – x2 – 25x + 25
Factorizando la Suma y la Diferencia de Dos Cubos
• Suma de dos cubos
– a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
• Diferencia de dos cubos
– a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Factorizando la Suma o Diferencia de Dos Cubos
• Factoriza cada expresión.
1. 5x4 + 40x
2. 8y3 – 27
3. 8 + z6
4. 2x5 – 16x2
5. 4x4 + 108x
6. 125d3 – 8
Utilizando Factorización para Resolver Ecuaciones Polinomiales
• Resuelve cada ecuación polinomial por factorización.
1. 3x5 + 18x4 + 27x3 = 0
2. x4 – 13x2 = -36
3. 2x6 – 10x5 – 12x4 = 0
4. x3 – 2x2 – 25x = -50
Multiplicidad de una Raíz
• La multiplicidad de la raíz r es la cantidad de veces que x – r es un factor de P(x).
• Cuando una raíz real tiene multiplicidad par, la gráfica de y = P(x) toca el eje de x pero no lo cruza.
• Cuando una raíz real tiene multiplicidad impar mayor que 1, la gráfica de y = P(x) se dobla a la vez que cruza el eje de x.
Teorema de las Raíces Racionales
Si el polinom io ( ) tiene coeficientes
enteros, entonces toda raíz racional de
la ecuación polinom ial ( ) 0 puede
ser escrito en la form a , donde es un
factor del térm ino constante de ( ) y
es un
P x
P x
pp
q
P x q
factor del coeficiente lider de ( ).P x
Teorema de las Raíces Irracionales
Si el polinom io ( ) tiene coeficientes racionales
y es una raíz de la ecuación polinom ial
( ) 0, donde y son racionales y es
irracional, entonces es tam bién una raiz
de ( ) 0.
P x
a b c
P x a b c
a b c
P x
Identificando Todas las Raíces Reales de una Ecuación Polinomial
• Identifica todas las raíces reales de:
1. x3 + 3x2 – 10x – 24 = 0
2. 4x4 – 21x3 + 18x2 + 19x – 6 = 0
3. x3 + 3x2 – 4x – 12 = 0
4. 2x3 – 3x2 – 10x – 4 = 0
5. 2x3 – 9x2 + 2 = 0
Las siguientes aseveraciones son equivalentes:
• Un número real r es una raíz de la ecuación polinomial P(x) = 0.
• P(r) = 0
• r es un intercepto en x de la gráfica de P(x).
• x – r es un factor de P(x).
• Cuando divides el polinomio P(x) por x – r, el residuo es 0.
• r es un cero de P(x).
Escribiendo Funciones Polinomiales Dados los Ceros
• Escribe la función polinomial más simple con los siguientes ceros dados.
1. -3, ½ y 1
2. -2, 2 y 4
3. 0, 2/3 y 3
4. -1, 2/3 y 4
Teorema Fundamental del Álgebra
• Toda función polinomial de grado n ≥ 1 tiene por lo menos un cero, donde este puede ser complejo.
• Corolario:
– Toda función polinomial de grado n ≥ 1 tiene exactamente n ceros, incluyendo las multiplicidades.
Encontrando Todas las Raíces de una Ecuación Polinomial
• Resuelve x4 + x3 + 2x2 + 4x – 8 = 0 encontrando todas las raíces.
• Resuelve x4 + 4x3 – x2 + 16x – 20 = 0 encontrando todas las raíces.
• Resuelve x4 – 3x3 + 5x2 – 27x – 36 = 0 encontrando todas las raíces.
Teorema de las Raíces Conjugadas Complejas
Si es una raíz de la ecuación polinomia l
con coeficientes que sean números reales , enton-
ces también es una raíz.
a bi
a bi
Escribiendo una Función Polinomial con Ceros Complejos
Escribe la función polinom ial m ás sim ple con ceros 2 ,1 2 y 3.i
Escribe la función polinom ial m ás sim ple con ceros 1 , 2 y 3.i
Escribe la función polinom ial m ás sim ple con ceros 2 , 3 y 1.i