Date post: | 11-Jan-2019 |
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TEMA 2. ÁLGEBRA.
1 Polinomios. Raíces de un polinomio. Factorización.
1. Factoriza los siguientes polinomios:
a) 3x4 + 3x3 � 33x2 + 3x� 36 b) x6 � 15x4 � 42x3 � 40x2 c) x6 � 9x5 + 24x4 � 20x3d) x6 � 3x5 � 3x4 � 5x3 + 2x2 + 8x e) x6 + 6x5 + 9x4 � x2 � 6x� 9 f) x6 � 4x5 + 3x4 + 4x3 � 5x2 + 1g) � 3x3 + 3x2 + x� 1 h) x5 � 3x4 + x3 + 5x2 � 6x+ 2 i) 3x6 � 18x5 + 45x4 � 60x3 + 45x2 � 18x+ 3
2. Dados los polinomios
(a) A (x) = x6 + x5 + x4 + 9x3 + x2 � 11x� 2B (x) = x6 + x5 � 7x4 � x3 + 7x2 + x� 6C (x) = x6 � 8x4 + 3x3 � 8x2 � 27x� 9D (x) = x6 + 4x5 + 2x4 � 3x3 � 9x2 � 37x� 30
(b) Calcula sus raíces enteras y factorízalos a partir de ellas.
(c) Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de B (x) y C (x) :
(d) Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de C (x) y D (x) :
3. Factoriza el polinomio x4 + 4x3 + 8x2 + 7x+ 4 sabiendo que es divisible por x2 + x+ 1
4. Factoriza el polinomio 6x4 + 7x3 + 6x2 � 1 sabiendo que 13y�12son raíces del polinomio.
5. Determina la expresión de un polinomio de cuarto grado que cumpla cada una de las siguientes condiciones:
(a) Su coe�ciente principal es 1 y sus raíces son a; �a; b y �b:(b) Su coe�ciente principal es 3 y sus raíces son a (doble) y b (doble).
(c) Su coe�ciente principal es �2, tiene por raíces a y �a y es divisible por x2 + b2
(d) Su coe�ciente principal es �1 y es divisible por x2 + a2 y por x2 + b2
6. Halla un polinomio de quinto grado sabiendo que sus raíces son 1; �2; 4; 5 y 7 y que al dividirlo por x � 3 da deresto 240:
7. Utiliza la regla de Ru¢ ni para factorizar el polinomio P (x) = x5 � ax4 � 2x3 + 2ax2 + x� a
8. Utiliza la regla de Ru¢ ni para factorizar el polinomio P (x) = x3 + (1� a� b)x2 + (ab� a� b)x+ ab
9. Calcula el valor de a para que el polinomio ax5 � 6x3 + 5x+ 6 sea divisible entre x� 2:
10. Calcula los valores de a y b para que el polinomio x5 + x4 + ax3 + x2 + x+ b sea divisible por x� 2 y por x+ 3
11. Calcula los valores de a y b para que el resto de la división del polinomio�x2 + a
�(x+ b) entre x� 1 y entre x+ 1
sea, respectivamente, �4 y �12:
2 Fracciones algebraicas.
1. Simpli�ca las siguientes fracciones algebraicas:
a)x2 � 4x+ 2
b)x3 � 19x� 30x3 � 3x2 � 10x c)
x3 � 2x2 + xx3 � 3x2 + 3x� 1 d)
x3 � 27x2 � 9
e)x5 + 3x2 � x� 3
2x3 + 10x2 + 14x+ 6f)
x2 � y2ax� ay + bx� by g)
16a3b� 12a2b36a3b
h)x4 � y4
(x+ y)2(x� y)2
2. Reduce a común denominador las siguientes fracciones algebraicas:
a)x
x� 1 ;1
x+ 1b)
x
x2 � 1 ;x� 1
x2 + 3x+ 2c)
x
x3 � 1 ;2x
x2 + x+ 1;
x2
x� 1
d)x+ 2
x� 2 ;2
x+ 2;
4x
x2 � 4 e)x
x� 2 ;x3 � x2 + 1x� 1 ;
x+ 1
x+ 2f)3x� 24x
;x� 12x2
;2x+ 3
8x
g)2x
x2 � 4 ;x+ 2
x2 � 4x+ 4 h)1
x+ 1;
x� 4x2 � x+ 1 ;
x2 � 3x+ 2x3 + 1
3. Realiza las siguientes sumas de fracciones algebraicas:
a)x+ 7
x+x� 2x2 + x
� 2x+ 1x+ 1
b)1
x2 � 1 +2x
x+ 1� x
x� 1 c)2x
x2 � 5x+ 6 �2
x� 2 +3
x� 3
d)x+ 2
x2 � x� 6 �x+ 3
x2 � 4x+ 3 e)2x
x2 � 4 +2x+ 4
x2 � 4x+ 4 f)x� 1
x2 � 5x+ 6 +3x� 6
x2 � 4x+ 3 �x2 � 4
x2 � 3x+ 2
g)4x
x+ 1� x+ 1x� 1 +
2x
x2 + 1h)x2 � 2x+ 1x2 + 1
� x2
x2 � 1 i)x2 + x+ 6
x2 � 4x+ 4 � 2 �x+ 1
x� 2 +x� 5
x2 � x� 2
4. Realiza las siguientes operaciones:
a)x2 � 3x+ 1
� x� 1x� 3 b)
x2 � 2x+ 2x� 1 :
3x� 2x2
c)x2
2:
�1
x+ 1:x� 13
�d)x+ 2
x:
�x� 13
� x
2x+ 1
�
e)x4 � x2x2 + 1
� x4 + x2
x4f)6x� 24x� 3 �
3x+ 4
x2 � 9 g)5x� 1x2 � 1 �
x+ 1
x� 3 h)a2
ab+ab2
b4� a
i)a+ x
x2 � a2 �x� ax+ a
j)�x2 � y2
�:
�1
x+1
y
�
5. Simpli�ca las siguientes expresiones:
a)x+
2x
x� 21 +
4
x2 � 4
b)
x
1� x +1 + x
xx
1� x �1 + x
x
c)
x� 1x+ 1
� x2 + 1
x2 � 1x+ 1
x� 1 +x2 + 1
x2 � 1
d)
x+ 1
x� 1 �x3 + 1
x3 � 1x� 1x+ 1
� x2 + 1
x2 � 1
e)
x+ 1
x� 1 �x2 + 1
x2 � 1x� 1x+ 1
+x2 + 1
x2 � 1
f)
6. Simpli�ca las siguientes expresiones:
a)1
1 +1
1 +1
x
b)x� 1
x� 1� x
1� x
x� 1
c) 1� 1
2� 1
3� 2x� 12x+ 1
d)1
1� 1
1 +1
x
e)1 + x
1 + x+1
1� x +x2
1 + x
f) 1 +1
2 +1
3 +2x� 12x+ 1
g)x
1� 1� x1 + x
h)1� x
x+ 1
1 +x
1� xi)
1� xy
1 +x
y
�1 +
y
x
1� y
x
j)1 +
1
x2+1
x3+1
x4
1� 1
x2+1
x3� 1
x4
3 Ecuaciones.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones reducibles a ecuaciones de segundo grado:
a) x4 � x2 � 12 = 0 b) x4 � 8x2 � 9 = 0 c) x4 + 10x2 + 9 = 0 d) x10 + 15x5 + 50 = 0 e) x6 � 28x3 + 27 = 0
2. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) x3 � 4x = 0 b) x3 + x2 � 6x = 0 c) x3 + 2x2 � x� 2 = 0
d) x3 � x2 � x� 2 = 0 e) x3 � x2 � 5x� 3 = 0 f) 3x3 � 10x2 + 9x� 2 = 0
g) x4 � 4x3 + 6x2 � 4x+ 1 = 0 h) x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x+ 32 = 0
3. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:
a)x+ 1
x� 1 � 3 =2� xx
b)3x+ 1
4x+ 3� 1
x= 3 c)
3x+ 4
x+ 3� 12=x+ 19
2x+ 6
d)1
x+ 3� 2
x=2� 5xx2 + 3x
e)2x
x2 � 1 = 2 +x
x� 1 f)3x
x2 � 9 �x
2x� 6 = 1
g)x� 2x� 1 =
x2
(x� 2) (x� 1) +x� 1x� 2 h)
x� 3x2 � x �
x+ 3
x2 + x=2� 3xx2 � 1 i)
4� xx2 + 2x+ 1
� 2� xx+ 1
= 2
4. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:
a)1
x+
1
x+ 3=3
10b)4
x+2 (x+ 1)
3 (x� 2) = 4 c)1
x+1
x2=3
4d)
x
x� 1 +2x
x+ 1= 3
e)5
x+ 2+
x
x+ 3=3
2f)x+ 3
x� 1 �x2 + 1
x2 � 1 =26
35
5. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
a) x+p25� x2 = 2x+ 1 b) 3x+
p6x+ 10 = 35 c) x+ 1�
p5x+ 1 = 0 d)
p4x2 + 7x� 2 = x+ 2
e)px2 + 3�
p3� x = 0 f)
px+ 5 +
px = 5 g)
px+
p3x� 2 = 2 h)
p2x+
p5x� 6 = 4
i)p5x+ 1�
px+ 1 = 2 j)
p2x+ 3 +
px+ 1 = 1 k)
p2x+ 3�
px+ 1 = 1 l)
px+ 1�
p2x+ 3 = 1
6. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
a) 1�p2x� 3 = x b)
p2x� 3�
px+ 7 = 4 c) 1 +
px = x d) 2�
px = x e)
p3x+ 3� 1 =
p8� 2x
7. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) 31�x2
=1
27b) 5x
2�5x+6 = 1 c) 31�x2
= 2 d) 2x + 2x+1 = 12
e) 34�x2
=1
9f)4x�1
2x+2= 186 g) 7x+2 = 5764801 h) 3x + 3x+2 = 30
i) 2x + 2x+1 = 12 j) 4x � 2x = 2 k) 9x � 2 � 3x+1 + 9 = 0 l) 32(x+1) � 28 � 3x = �3
m) 3x + 32�x = 10 n) 4x+1 + 2x+3 = 320 ~n) 72x+3 � 8 � 7x+1 = �1 o) 4x + 16 = 10 � 2x
p) 23x = 0053x+2 q) 5x+1 + 5x + 5x�1 =31
5r) 2x+1 + 4x�1 = 96 s) 33x + 6 � 3x�1 = 32x+1
8. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales utilizando la suma de los términos de una progresión geométrica:
a) 1 + 2 + 4 + 8 + � � �+ 2x = 1023 b) 1 + 3 + 9 + 27 + � � �+ 3x = 1023 c) 1 + 5 + 25 + 125 + � � �+ 5x�1 = 3906d) 1 + 7 + 49 + � � �+ 7x+2 = 137257
9. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) log x+ log 50 = 3 b) 5 log2 (x+ 3) = log2 32 c) 2 log x = log (10� 3x)
d) 4 ln�x2 + 1
�= ln 625 e) log x+ log 4 = log (x+ 1) + 3 f) 2 log x� log (x+ 6) = 3 log 2
g) 2 log x = 3 + logx
10h) 3 log2 x� log2 32 = log2
x
2i) log (x� 53) + log (x� 5) = 2 + log (4� x)
j) 2 log x� log (x� 16) = 2 k)�x2 � x� 3
�log 4 = 3 log
1
4l) log
p3x+ 1 + log 5 = 1 + log
p2x� 3
10. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) log x+ log 20 = 3 b) log x3 = log 6 + 2 log x c) 2 log x = log (10� 3x)
d) log x2 = log (10� 3x) e) log x+ log 50 = log 1000 f) log x = 1 + log (22� x)
g) 2 log x� log (x� 16) = 2 h) logpx+ 4 + log 2 = log (5x+ 4) i) log2 (x+ 14) + log2 (x+ 2) = 6
j) log�x2 � 9x+ 18
�= log (2x� 9) + log 2 k) log (x+ 2) + log (10x+ 20) = 3 l) log x = log 2 + 2 log (x� 3)
m) log (3x+ 1)� log (2x� 3) = 1� log 5 n) log�x2 + 1
�� log (3x� 8) = 1 ~n) log4
�x2 � 2
�=1
2
4 Sistemas de ecuaciones.
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
a)
�x2 + y2 = 41x2 � y2 = 9 b)
�3x2 + 2y2 = 35x2 � 2y2 = 1 c)
�x2 + y2 + x+ y = 32x2 � y2 + x� y = 28 d)
�x2 + 2y2 + x+ 1 = 0x2 � 2y2 + 3x+ 1 = 0
Soluciones:
a)
8>><>>:x1 = 5; y1 = 4x2 = 5; y2 = �4x3 = �5; y3 = 4x4 = �5; y4 = �4
b)
8>><>>:x1 = 3; y1 = 2x2 = 3; y2 = �2x3 = �3; y3 = 2x4 = �3; y4 = �2
c)
8>><>>:x1 = �6; y1 = �2x2 = �6; y2 = 1x3 = 5; y3 = �2x4 = 5; y4 = 1
d) Sistema incompatible
4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
Solución: a) x1 = 4; y1 = 7; x2 = �2; y2 = �5 b) x1 = 2; y1 = 3; x2 = 3; y2 = 2 c) x = 17; y = 8
5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
Solución: a) x1 = 5; y1 = 3; x2 = �5; y2 = �3 b) Incompatible c) x1 = 3; y1 = 4 x2 = 3; y2 = 1 x3 =2; y3 = 4 x4 = 2; y4 = 1 d) x1 = 4; y1 = 3; x2 = �4; y2 = �3
6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
Soluciones: a) x = 4; y = 3 b) x1 = �1; y1 = �1; x2 = 8; y2 = 5 c) x = 6; y = 6 d) x1 = 2;y1 = �1; x2 = 3; y2 = 1
7. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones escalonados:
Soluciones: a) x = 7; y = 2; z = 11 b) x = 4; y = �5; z = 0 c) x = �1; y = 4; z = 4 d) x = 8; y = 4; z = �3
8. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones escalonados:
Soluciones: a) x = 1; y = �5; z = 4 b) x = �1; y = �2; z = �2 c) x = 15; y = 2; z = 1 d) x = 3; y = 4; z = 9
9. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de Gauss:
Soluciones: a) x = 1; y = �2; z = 3 b) x = 4; y = 2; z = �3
10. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss:
Soluciones: a) x = 1; y = �1; z = 0 b) x = 2; y =1
5; z = �1
11. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss:
Soluciones: a) Sistema incompatible b) Sistema indeterminado c) Sistema incompatible d) Sistema indeterminado
12. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss:
Soluciones:
a) x =3
2; y =
1
2; z = 2 b) Sistema incompatible c) Sistema compatible indeterminado
d) x = 2; y =1
2; z =
3
2e) Sistema incompatible
13. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss:
14. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:
15. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:
16. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas:
17. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
Solución: a) x1 = �4; y1 = 5; x2 = 5; y2 = �4 b) x = 30; y = 3 c) x1 = 13; y1 = 1; x2 =�72; y2 =
�94
5 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones.
1. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a)x� 32
� x� 28
� x
2b) x+ 2 (x+ 1) + 3 (x+ 2) <
x+ 38
2c)5x� 166
+x+ 12
8<x+ 1
3d)x+ 4
3+ 3 � x+ 10
6
e)7� 3x2
< x+ 1 f)2� x4
� 2 + x2
>2x+ 7
4� 2x+ 5
3g) 2x� 2 (3x� 5) < x h) x� 1� x� 1
2< 0
Soluciones:
a) [�10;1) b) (�1; 2) c)
��1; 12
5
�d) [�16;1) e) (1;1) f) (�1;�1) g) (2;1) h) (�1; 1)
2. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) (x+ 1)2 � (x� 1)2 + 12 � 0 b) 2 (x� 11)� 3x (1� 3x) � (3x+ 2)2
Soluciones: a) [�3;1) b) [�2;1)
3. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
a) x2 � 4 � 0 b) x2 � 9 � 0 c) x2 � 4x < 0 d) x2 + 3x > 0
e) (x� 1) (x� 5) < 0 f) (x+ 2) (x� 3) > 0 g) (4� x) (2 + x) � 0 h) 2x (3� x) � 0
Soluciones:
a) [�2; 2] b) (�1;�3] [ [3;1) c) (0; 4) d) (�1;�3) [ (0;1)
e) (1; 5) f) (�1;�2) [ (3;1) g) [�2; 4] h) (�1; 0] [ [3;1)
4. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
a) 2x2 � 3x� 2 � 0 b)x2
2� 34x <
5
4x2 +
x
2c) x2 + 2x� 3 > 0 d) x2 � 3x� 10 � 0 e) x2 � 4x� 5 < 0
f) 2x2 + 9x� 5 � 0 g) � x2 + 3x� 2 � 0 h) � x2 + 2x+ 3 � 0 i) x2 � 2x� 7 > 5� x j) x2 <x+ 7
6Soluciones:
a)
��12; 2
�b)
��1;�5
3
�[ (0;1) c) (�1;�3) [ (1;1) d) (�1;�2] [ [5;1) e) (�1; 5)
f) (�1;�5] [�1
2;1�
g) [1; 2] h) (�1;�1] [ [3;1) i) (�1;�3) [ (4;1) j)
��1; 7
6
�5. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
a) 3x (x+ 4)� x (x� 1) < 15 b) 2x (x+ 3)� 2 (3x+ 5) + x > 0 c)x2 � 95
� x2 � 415
<1� 2x3
d) x2 � 6x+ 9 < 0 e) x2 + 3x+ 6 � 0 f) � x2 + 3x� 4 < 0
Soluciones: a)��152; 1
�b)
��1;�5
2
�[ (2;1) c) (�7; 2) d) ? e) ? f) R
6. Resuelve las siguientes inecuaciones de grado superior a 2:
a) x3 � 7x2 + 7x+ 15 � 0 b) x4 � 17x2 + 16 � 0 c) x5 � 8x4 + 25x3 � 38x2 + 28x� 8 � 0
d) x5 � 8x4 + 25x3 � 38x2 + 28x� 8 < 0 e) x3 � 3x2 + 3x� 1 > 0 f) � x6 � x5 + 7x4 + x3 � 6x2 < 0
g) x4 � 10x3 + 35x2 � 50x+ 24 � 0 h) � 6x3 + 11x2 � 6x+ 1 > 0 i) � x7 + 5x5 � 4x3 > 0Soluciones:a) [�1; 3] [ [5;1) b) [�4;�1] [ [1; 4] c) f1g [ [2;1)
d) (�1; 1) [ (1; 2) e) (1;1) f) (�1;�3) [ (�1; 0) [ (0; 1) [ (2;1)
g) [1; 2] [ [3; 4] h)
��1; 1
3
�[�1
2; 1
�i) (�1;�2) [ (�1; 0) [ (1; 2)
7. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:
a)3x+ 6
2x� 1 � 0 b)x2 � x� 2x2 + x� 2 � 0 c)
3x� 21� x � 0 d)
x2 � 5x+ 6x2 � 5x+ 4 < 0 e)
(x� 1) (x� 2) (x� 3)(x+ 1) (x+ 2) (x+ 3)
� 0 f)1� x2� x � 0
Soluciones:
a) (�1;�2] [�1
2;1�
b) (�1;�2) [ [�1; 1) [ [2;1) c)
��1; 2
3
�[ (1;1)
d) (1; 2) [ (3; 4) e) (�1;�3) [ (�2;�1) [ [1; 2] [ [3;1) f) [1; 2)
8. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:
a)
�2x+ 1 < x+ 23x� 1 � 4x c)
�2� x > 02 + x > 0
e)
8>><>>:2x+ 5
3< x� 1
x
3� 1 < 2x� 1
5
g)
8>><>>:x+ 2
4<x
2� 3
8� x3
� 1 + x
2� 1
b)
�3x� 4 > xx � 2x� 1 d)
�5x� 3 � x+ 12x+ 6 � x+ 2 f)
8>><>>:x+ 13
6<39� 2x18
3x� 54
< �1h)
8>><>>:x� 12
+2x+ 2
3>3x� 76
2x� 14
+ 2x <2x� 94
Soluciones:
a) (�1; 1) \ [�1;1) = [�1; 1) d) (�1; 1] \ [�4;1) = [�4; 1] g) (14;1) \��1; 19
5
�= ?
b) (2;1) \ (�1; 1] = ? e) (8;1) \ (�12;1) = (8;1) h) (�2;1) \ (�1;�1) = (�2;�1)
c) (�1; 2) \ (�2;1) = (�2; 2) f) (�1; 0) \��1; 1
3
�= (�1; 0)
SOLUCIONES
1 Polinomios. Raíces de un polinomio. Factorización.
1. Factoriza los siguientes polinomios:
a) 3 (x� 3) (x+ 4)�x2 + 1
�b) x2 (x+ 2) (x� 5)
�3x+ x2 + 4
�c) x3 (x� 5) (x� 2)2
d) x (x� 1) (x� 4) (x+ 1)�x+ x2 + 2
�e) (x� 1) (x+ 1)
�x2 + 1
�(x+ 3)
2
f) (x+ 1)�x� 1�
p2� �x� 1 +
p2�(x� 1)3 g) � 3x3 + 3x2 + x� 1 h)
�x�
p2� �x+
p2�(x� 1)3
i) 3 (x� 1)6
2. Dados los polinomios
A (x) = (x� 1) (x+ 2)�x4 + 3x2 + 6x+ 1
�B (x) = (x� 2) (x+ 3)
�x4 � x2 + 1
�C (x) = (x+ 3) (x� 3) (x+ 1)
�x3 � x2 + 2x+ 1
�D (x) = (x+ 1) (x+ 2) (x+ 3)
�x3 � 2x2 + 3x� 5
�m.c.d. (B (x) ; C (x)) = x+ 3 m.c.d. (C (x) ; D (x)) = (x+ 1) (x+ 3)
3.�x2 + x+ 1
� �3x+ x2 + 4
�4. (2x+ 1) (3x� 1)
�x2 + x+ 1
�5. a)
�x2 � a2
� �x2 � b2
�b) 3 (x� a)2 (x� b)2 c) � 2
�x2 � a2
� �x2 + b2
�d) �
�x2 + a2
� �x2 + b2
�6. �3 (x� 1) (x+ 2) (x� 4) (x� 5) (x� 7)
7. P (x) = � (x� 1)2 (x+ 1)2 (x� a)
8. P (x) = (x+ 1) (x� a) (x� b)
9. a = 1 10: a =�28219
; b =1230
1911: a = 3; b = �2
2 Fracciones algebraicas.
1. a) x� 2 b)x+ 3
xc)
x
x� 1 d)x2 + 3x+ 9
x+ 3e)x4 � x3 + x2 + 2x� 32 (x+ 3) (x+ 1)
f)x+ y
a+ bg)8a� 6b23a
h)x2 + y2
x2 � y2
2. Reduce a común denominador las siguientes fracciones algebraicas:
a)x2 + x
x2 � 1 ;x� 1x2 � 1 b)
x2 + 2x
(x+ 1) (x� 1) (x+ 2) ;(x� 1)2
x2 + 3x+ 2
c)x
x3 � 1 ;2x (x� 1)x2 + x+ 1
;x2�x2 + x+ 1
�x� 1 d)
(x+ 2)2
x� 2 ;2x� 4x+ 2
;4x
x2 � 4
e)x (x� 1) (x+ 2)
x� 2 ;
�x3 � x2 + 1
� �x2 � 4
�x� 1 ;
�x2 � 1
�(x� 2)
x+ 2f)6x2 � 4x4x
;4x� 42x2
;2x2 + 3x
8x
g)2x2 � 4xx2 � 4 ;
x2 + 4x+ 4
x2 � 4x+ 4 h)x2 � x+ 1x+ 1
;(x� 4) (x+ 1)x2 � x+ 1 ;
x2 � 3x+ 2x3 + 1
3. Realiza las siguientes sumas de fracciones algebraicas:
a)�x2 + 8x+ 5x2 + x
b)x2 � 3x+ 1x2 � 1 c)
3x
x2 � 5x+ 6 d)�4
x2 � 4x+ 3
e)4�x2 + x+ 2
�(x� 2)2 (x+ 2)
f)�x3 + 7x2 � 10x+ 1(x� 3) (x� 1) (x� 2) g)
3x4 � 4x3 + 2x2 � 8x� 1x4 � 1 h)
�2x3 � x2 + 2x� 1x4 � 1
i)�x3 + 3x2 + 6x+ 20(x+ 1) (x� 2)2
4. Realiza las siguientes operaciones:
a)x3 � x2 � 3x+ 3x2 � 2x� 3 b)
x4 � 2x3 + 2x23x2 � 5x+ 2 c)
3x2
2x� 2 d)6x2 + 15x+ 6
x3 � x2 e) x2 � 1
f)18x2 + 18x� 8
4x3 � 3x2 � 36x+ 27 f)5x� 1
x2 � 4x+ 3 h)a��b2 + b+ 1
�b2
i)1
x+ aj) xy (x� y)
i)a+ x
x2 � a2 �x� ax+ a
j)�x2 � y2
���1
x+1
y
�
5. Simpli�ca las siguientes expresiones:
a) x+ 2 b)1
2x2 � 1 c)�x
x2 + x+ 1d) � (x+ 1)
2
x2 + x+ 1e)
x
x2 � x+ 1
6. Simpli�ca las siguientes expresiones:
a)x+ 1
2x+ 1b)
1
x+ 1c)2x+ 3
6x+ 7d) x+ 1 e)
(x� 1) (x+ 1)2
2x3 � 2x� 2
f)26x+ 7
18x+ 5g)x+ 1
2h)�x+ 1x+ 1
i) � 1 j)x4 + x2 + x+ 1
x4 � x2 + x� 1
3 Ecuaciones.
1. a) x1 = 2; x2 = �2 b) x1 = 3; x2 = �3 c) @x 2 R d) x1 =5p�5; x2 = 5
p�10 e) x1 = 1; x2 = 3
2. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) x1 = 0; x2 = 2; x3 = �2 b) x1 = 0; x2 = 2; x3 = �3 c) x1 = 1; x2 = �1; x3 = �2 d) x = 2
e) x1 = �1 (doble), x2 = 3 f) x1 = 1; x2 = 2; x3 =1
3g) x = 1 (cuádruple) h) x = �2 (quíntuple)
3. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:
a) x1 = �1; x2 = 2 b) x1 = �1; x2 = �1
3c) x =
7
2d) x = 2 e) x = �2
3
f) x = �2 g) x = �3 h) x = 2 i) x1 = 0; x2 = �6
4. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:
a) x1;2 =11�
p481
6b) x1 = 3; x2 =
4
5c) x1 = 2; x2 =
�23
d) x = 3 e) x1 = 3; x2 = �4 f) x1 = 6; x2 =�813
5. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
a) x = 3 b) x = 9 c) x1 = 3; x2 = 0 d) x1 = 1; x2 = �2 e) x1 = 0; x2 = �1 f) x = 4
g) x = 1 h) x = 2 i) x = 3 j) x = �1 k) x = �2 l) @x 2 R
6. a) @x 2 R b) x = 114 c) x =3 +
p5
2d) x = 1 e) x = 2
7. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) x1 = 2; x2 = �2 b) x1 = 2; x2 = 3 c) @x 2 R d) x = 2 e) x1 =p6; x2 = �
p6
f) x = log2 2976 g) x = 6 h) x = 1 i) x = 2 j) x = 1
k) x = 1 (doble) l) x1 = 1; x2 = �2 m) x = log3 6 n) x = 3 ~n) x1 = �1; x2 = �2
o) x1 = 1; x2 = 3 p) x = �13
q) x = 0 r) x = 4 s) x1 = 0; x2 = log3 2
8. a) x = 9 b) x = log3 2047� 1 c) x = 6 d) x = 4
9. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) x = 20 b) x = �1 c) x = 2 d) x1 = 2; x2 = �2 e) @x 2 R f) x = 12
g) x = 100 h) x = 4 i) @x 2 R j) x =1600
99k) x1 = 1; x2 = 0 l) x =
1201
797
10. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) x = 50 b) x = 6 c) x = 2 d) x1 = 2; x2 = �5 e) x = 20
f) x = 20 g) x1 = 20; x2 = 80 h) x = 0 i) x = 2 j) x = 9
k) x = 8 l) x =9
2m) x = 7 n) x1 = 3; x2 = 27 ~n) x1 = 2; x2 = �2