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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
“ANÁLISIS DE LA INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓN EN LA RESPUESTA TOTAL DE ESTRUCTURAS DE
HORMIGÓN ARMADO”
TRABAJO DE GRADUACIÓN PREVIO LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL
AUTORES:
AMAGUAÑA AMAGUA DANIEL ERNESTO
YUMBAY AGUALONGO EDWIN PATRICIO
TUTOR :
MSc. PAOLA XIMENA VILLALBA NIETO
QUITO, 28 DE JULIO
2016
ii
DEDICATORIA
A mis padres, Beatriz y Ernesto, por sus bendiciones y por ser el apoyo
incondicional durante todo el trayecto de mi vida.
A Gabriela Manosalvas, aquella compañera de estudios, amiga y novia que siempre
incentivó en mí las ganas de salir adelante a pesar de todas las adversidades.
Daniel Ernesto Amaguaña Amagua
iii
DEDICATORIA
A mis padres, Carlos y Dora, quienes me han formado para saber cómo luchar y
salir victorioso ante las adversidades de la vida.
A mi familia y amigas/os que con su entusiasmo y cariño me dieron el valor para
caminar durante este proceso.
“Y a todos aquellos que son movidos por un gran amor a la vida y la madre tierra,
quienes están convencidos que un mundo mejor es posible si se tienen los
conocimientos para ayudar y el corazón para vencer”.
Edwin Patricio Yumbay Agualongo
iv
AGRADECIMIENTOS
A todas las personas que supieron atender las inquietudes sobre nuestro tema de
investigación, pero en especial a mi tutor de tesis, la Ingeniera Paola Villalba MSc,
por haber compartido su tiempo y sus conocimientos para con nosotros, teniendo la
mayor de las paciencias para guiar nuestro trabajo, inculcando seriedad,
responsabilidad y rigor académico durante todo el proceso investigativo. Persona
por quien siento mucho respeto y admiración a más de significar para mí, un
ejemplo a seguir.
A mi amigo y compañero de tesis “Edwin” Yumbay, quien ha dedicado todo su
esfuerzo, tiempo y perseverancia en este proyecto. Gracias a sus ideas y aportes fue
posible la culminación de un proyecto intelectual y de jerarquía.
A Dios. El ser omnipotente que ilumina mi camino y que cuida de mí.
Daniel Ernesto Amaguaña Amagua
v
AGRADECIMIENTOS
A Dios, por estar conmigo en cada paso que doy, por haber puesto en mi camino a
aquellas personas que han sido mi soporte y compañía durante todo el período de
estudio.
A la Carrera de Ingeniería Civil de la Universidad Central del Ecuador y a sus
catedráticos que me impartieron todos sus conocimientos y mostraron sus valores
permitiendo así una formación integral en mí.
A mi Tutor de tesis, Ing. Paola Villalba, por su empeño y constancia, quien
gracias a su experiencia, conocimientos, paciencia y motivación continua, me ha
ayudado para culminar de manera exitosa mi tesis.
A mi amigo y compañero de tesis, Daniel Amaguaña por su confianza, apoyo y
por haber formado un equipo de trabajo para lograr esta meta.
A mis amigas y amigos, especialmente a “Los Chamos” ya que con todos ellos
compartí momentos únicos y me enseñaron lo importante que es la amistad.
Y desde luego, llego al final de este proyecto, gracias a mis padres y en general a
toda mi familia que siempre me brindan el apoyo, alegría y fortaleza necesaria
para seguir adelante.
Edwin Patricio Yumbay Agualongo
vi
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL
Nosotros, DANIEL ERNESTO AMAGUAÑA AMAGUA y EDWIN
PATRICIO YUMBAY AGUALONGO , en calidad de autores del Trabajo de
Investigación o Proyecto de Titulación, que versa sobre el tema: “ANÁLISIS DE
LA INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓN EN L A
RESPUESTA TOTAL DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO” ,
por la presente autorizamos a la UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR,
hacer uso de todos los contenidos que nos pertenecen o parte de los que contiene
esta obra, con fines estrictamente académicos o de investigación.
Los derechos que como autores nos corresponden, con excepción de la presente
autorización, seguirán vigentes a nuestro favor, de conformidad con lo establecido
en los artículos 5, 6, 8; 19 y demás pertinentes de la Ley de Propiedad Intelectual y
su Reglamento.
También, autorizamos a la Universidad Central del Ecuador a realizar la
digitalización y publicación de este trabajo de investigación en el repositorio
virtual, de conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Orgánica de
Educación Superior.
Quito, 15 de julio del 2016
Daniel Ernesto Amaguaña Amagua
C.C. Nº 172103847-7
Edwin Patricio Yumbay Agualongo
C.C. Nº 020213192-6
Telf: 0998763511 Telf: 0988337691
E-mail: danico.amagua@gmail.com E-mail: patoymaras@hotmail.com
vii
CERTIFICACIÓN DEL TUTOR
Yo, Ing. Paola Ximena Villalba Nieto MSc, en calidad de tutor del trabajo de
titulación: “ANÁLISIS DE LA INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS
DE VIBRACIÓN EN LA RESPUESTA TOTAL DE ESTRUCTURAS D E
HORMIGÓN ARMADO”, elaborado por los estudiantes Daniel Ernesto
Amaguaña Amagua y Edwin Patricio Yumbay Agualongo, estudiantes de la
Carrera de Ingeniería Civil, Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática
de la Universidad Central del Ecuador, considero que el mismo reúne los requisitos
y méritos necesarios en el campo metodológico y en el campo epistemológico, para
ser sometido a la evaluación por parte del jurado examinador que se designe, por lo
que lo APRUEBO, a fin de que el trabajo investigativo sea habilitado para
continuar con el proceso de titulación determinado por la Universidad Central del
Ecuador.
En la ciudad de Quito a los 30 días del mes de mayo del año 2016.
Ing. Paola Ximena Villalba Nieto MSc.
CC. Nº 171637461-4
viii
CERTIFICACIÓN DE CALIFICACIÓN
ix
RESULTADO DEL TRABAJO DE GRADUACIÓN
x
CERTIFICACIÓN DE CALIFICACIÓN
xi
RESULTADO DEL TRABAJO DE GRADUACIÓN
xii
CONTENIDO
pág.
DEDICATORIA ................................................................................................. ii
AGRADECIMIENTOS ..................................................................................... iv
AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL ................................. vi
CERTIFICACIÓN DEL TUTOR ..................................................................... vii
CERTIFICACIÓN DE CALIFICACIÓN ........................................................ viii
RESULTADO DEL TRABAJO DE GRADUACIÓN ...................................... ix
CONTENIDO ................................................................................................... xii
LISTA DE GRÁFICOS .................................................................................. xvii
LISTA DE TABLAS ......................................................................................... xx
RESUMEN ..................................................................................................... xxiii
ABSTRACT ................................................................................................... xxiv
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN ................................................................................................. 1
1.1 PROBLEMA ............................................................................................. 1
1.2 OBJETIVOS .............................................................................................. 2
1.2.1 Objetivo General ................................................................................ 2
1.2.2 Objetivos Específicos ......................................................................... 3
1.3 JUSTIFICACIÓN ...................................................................................... 3
1.4 HIPÓTESIS O IDEA A DEFENDER ....................................................... 3
1.5 MARCO LEGAL ...................................................................................... 4
1.6 METODOLOGÍA ..................................................................................... 4
1.6.1 Delimitación Espacial ........................................................................ 5
1.6.2 Temporización.................................................................................... 5
1.6.3 Diagnostico o Análisis Situacional (FODA) ...................................... 5
1.6.4 Tipo de Investigación ......................................................................... 5
1.6.5 Métodos de Investigación .................................................................. 5
1.6.6 Técnica e instrumentos de Investigación ........................................... 5
xiii
CAPÍTULO II
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ....................................................................... 6
2.1 GRADOS DE LIBERTAD ....................................................................... 6
2.1.1 Grados de libertad en Pórticos Planos ................................................ 6
2.1.2 Grados de libertad en pórticos espaciales .......................................... 8
2.2 MODOS DE VIBRACIÓN ....................................................................... 9
2.2.1 Modos de Vibración en edificaciones ................................................ 9
2.2.2 Número de Modos de Vibración ...................................................... 11
2.2.3 Ecuación de Movimiento ................................................................. 11
2.2.4 Cálculo de los modos de vibración .................................................. 13
2.2.5 Período de Vibración en edificaciones ............................................. 16
2.3 ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO ................................................. 19
2.3.1 Análisis Estático Lineal.................................................................... 20
2.3.2 Análisis Dinámico Lineal. ................................................................ 20
2.3.3 Análisis Modal Espectral ................................................................. 21
2.3.4 Espectro de Respuesta ...................................................................... 21
2.3.5 Espectro Elástico de Respuesta ........................................................ 24
2.3.6 Espectro Inelástico de Respuesta ..................................................... 24
2.3.7 Espectro de Diseño ........................................................................... 25
2.3.8 Espectro elástico de diseño en desplazamientos según la NEC ....... 25
2.3.9 Espectro elástico de Diseño en aceleraciones según la NEC ........... 27
2.3.10 Cortante Basal de diseño “V” .......................................................... 33
2.4 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL ......................................... 41
2.4.1 Criterio de la Combinación Cuadrática Completa (CQC) ............... 41
2.4.2 Criterio del Máximo Valor Probable (SRSS) .................................. 42
2.4.3 Criterio de la Suma absoluta (Absolute) .......................................... 42
2.4.4 Criterio Combinación Modal General (GMC) ................................. 43
2.4.5 Criterio del NRC 10 % ..................................................................... 43
2.4.6 Criterio de la Doble suma ................................................................ 43
2.4.7 Criterio propuesto de Alejandro Gómez .......................................... 44
2.4.8 Combinación propuesta por el Laboratorio de Investigación Naval
(NRL) 45
xiv
2.4.9 Combinación de la Norma Técnica de Guatemala ........................... 45
2.4.10 Combinación Grouping Method (GRP) ........................................... 45
2.5 NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓN Y COMBINACIONES
MODALES ........................................................................................................ 47
2.5.1 Número de modos de vibración según la NEC-15 ........................... 47
2.5.2 Número de modos de vibración según el CEC-2000 ....................... 47
2.6 NORMAS INTERNACIONALES, REFERENTES A LOS MODOS DE
VIBRACIÓN Y COMBINACIONES MODALES. .......................................... 49
2.6.1 Norma Colombiana. (Norma Sismo-Resistente NSR-10) ............... 49
2.6.2 Norma Peruana (Norma E.030 Diseño Sismo-Resistente) .............. 50
2.6.3 Norma Chilena (Nch433) ................................................................. 51
2.6.4 Norma Mexicana (Norma Técnicas Complementarias para Diseño
por Sismo) ....................................................................................................... 53
2.6.5 Norma Venezolana (Comisión Venezolana de Normas Industriales -
Edificaciones Sismo resistentes) ..................................................................... 54
2.6.6 Norma Brasileña (Asociación Brasileña de Normas Técnicas) ....... 55
CAPÍTULO III
ANÁLISIS Y DISEÑO DE LAS ESTRUCTURAS .......................................... 58
3.1 PREDISEÑO DE LAS ESTRUCTURAS ............................................... 58
3.1.1 Geometría y Uso .............................................................................. 58
3.1.2 Materiales ......................................................................................... 59
3.1.3 Espesor de Losa................................................................................ 60
3.1.4 Columnas ......................................................................................... 61
3.1.5 Vigas ................................................................................................ 62
3.2 CARGAS ................................................................................................. 64
3.2.1 Carga Muerta .................................................................................... 64
3.2.2 Carga Permanente ............................................................................ 64
3.2.3 Carga Viva ....................................................................................... 65
3.2.4 Carga Sísmica................................................................................... 65
3.2.5 Combinaciones de carga .................................................................. 66
3.3 MODELACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS .......................................... 67
xv
3.4 CORTANTE BASAL .............................................................................. 77
3.4.1 Tipo de Suelo ................................................................................... 77
3.4.2 Factor de Zona “Z”........................................................................... 78
3.4.3 Relación de Amplificación Espectral ............................................... 78
3.4.4 Factor Exponencial........................................................................... 78
3.4.5 Factores de Sitio ............................................................................... 79
3.4.6 Coeficiente de Reducción Estructural “R” ....................................... 79
3.4.7 Categoría del edificio y Factor de importancia ................................ 79
3.4.8 Coeficiente de Irregularidad en planta “ɸp” .................................... 80
3.4.9 Coeficiente de Irregularidad en elevación “ɸe” ............................... 80
3.4.10 Período de vibración “T” de la estructura ........................................ 81
3.4.11 Aceleración de la Gravedad “Sa” ..................................................... 82
3.4.12 Carga Sísmica Reactiva (W) ............................................................ 82
3.4.13 Cálculo del Cortante Basal Estático y Dinámico ............................. 83
3.4.14 Corrección del cortante basal estático .............................................. 84
3.4.15 Corrección del cortante basal dinámico ........................................... 84
3.5 ESPECTRO DE DISEÑO EN ACELERACIONES ............................... 89
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS DE RESULTADOS .......................................................................... 91
4.1 ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL ........................................................ 92
4.1.1 Período de vibración (T) .................................................................. 92
4.1.2 Participación modal de masas .......................................................... 97
4.2 COMBINACIONES MODALES ......................................................... 108
4.2.1 Derivas de piso en Estructuras de 3 Pisos ...................................... 109
4.2.2 Derivas de piso en Estructuras de 6 Pisos ...................................... 115
4.2.1 Derivas de piso en Estructuras de 12 Pisos .................................... 120
4.3 ANÁLISIS DE LA INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE
VIBRACIÓN ................................................................................................... 126
4.3.1 Derivas de piso ............................................................................... 126
xvi
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................... 137
5.1 CONCLUSIONES ................................................................................. 137
5.1.1 Conclusiones Generales ................................................................. 137
5.1.2 Conclusiones Específicas ............................................................... 138
5.2 RECOMENDACIONES ....................................................................... 141
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................ 142
xvii
LISTA DE GRÁFICOS
Pág.
Gráfico 1. Grados de libertad en Pórticos .............................................................. 7
Gráfico 2. Grados de libertad estáticos y dinámicos .............................................. 7
Gráfico 3. Grados de libertad en estructuras .......................................................... 8
Gráfico 4. Modos de vibración en pórticos planos .............................................. 10
Gráfico 5. Número de modos de vibración de una estructura .............................. 11
Gráfico 6. Sistema de un grado de libertad .......................................................... 11
Gráfico 7. (a) Fuerza aplicada p (t); (b) movimiento del terreno inducido por un
sismo ..................................................................................................................... 12
Gráfico 8. Obtención de la ecuación de movimiento ........................................... 12
Gráfico 9. Período de vibración largo y corto ...................................................... 17
Gráfico 10. Resonancia de ondas ......................................................................... 18
Gráfico 11. Esquema del Análisis Estático Lineal ............................................... 20
Gráfico 12. Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta .......................... 22
Gráfico 13. Espectro de respuesta, en términos de aceleración. .......................... 23
Gráfico 14. Espectro elástico de diseño en desplazamientos según la NEC ........ 26
Gráfico 15. Espectro elástico de aceleraciones que representa el sismo de diseño
............................................................................................................................... 27
Gráfico 16. Mapa de zonificación sísmica de Ecuador. ....................................... 30
Gráfico 17. Criterios de combinación modal y combinación direccional ............ 46
Gráfico 18. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 1 ............. 68
Gráfico 19. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 2 ............. 69
Gráfico 20. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 3 ............. 70
Gráfico 21. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 4 ............. 71
Gráfico 22. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 5 ............. 72
Gráfico 23. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 6 ............. 73
Gráfico 24. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 7 ............. 74
Gráfico 25. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 8 ............. 75
Gráfico 26. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 9 ............. 76
Gráfico 27. Espectro de Diseño en aceleraciones – Estructuras regulares ........... 89
xviii
Gráfico 28. Espectro Inelástico de Diseño (Autores vs. Etabs) ........................... 90
Gráfico 29. Período de vibración (3 Pisos) .......................................................... 94
Gráfico 30. Período de vibración (6 Pisos) .......................................................... 95
Gráfico 31. Período de vibración (12 Pisos) ........................................................ 97
Gráfico 32. Cambio del número de modos de vibración en ETABS ................... 98
Gráfico 33. Participación de masas – Estructura de 3 Pisos .............................. 100
Gráfico 34. Participación de masas – Estructura de 6 Pisos .............................. 103
Gráfico 35. Participación de masas – Estructura de 12 Pisos ............................ 107
Gráfico 36. Participación de masas – (12 Pisos con subsuelo) .......................... 107
Gráfico 37. Combinaciones Modales ................................................................. 108
Gráfico 38. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 1 .............................. 109
Gráfico 39. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 1 .............................. 109
Gráfico 40. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 1 .............................. 110
Gráfico 41. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 2 .............................. 111
Gráfico 42. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 2 .............................. 111
Gráfico 43. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 2 .............................. 112
Gráfico 44. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 3 .............................. 112
Gráfico 45. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 3 .............................. 113
Gráfico 46. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 3 .............................. 113
Gráfico 47. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 4 .............................. 115
Gráfico 48. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 4 .............................. 115
Gráfico 49. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 4 .............................. 116
Gráfico 50. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 5 .............................. 116
Gráfico 51. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 5 .............................. 117
Gráfico 52. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 5 .............................. 117
Gráfico 53. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 6 .............................. 118
Gráfico 54. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 6 .............................. 118
Gráfico 55. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 6 .............................. 119
Gráfico 56. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 7 .............................. 120
Gráfico 57. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 7 .............................. 121
Gráfico 58. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 7 .............................. 121
Gráfico 59. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 8 .............................. 122
xix
Gráfico 60. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 8 .............................. 122
Gráfico 61. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 8 .............................. 123
Gráfico 62. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 9 .............................. 123
Gráfico 63. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 9 .............................. 124
Gráfico 64. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 9 .............................. 124
Gráfico 65. Influencia del Nº modos de vibración – E2 .................................... 127
Gráfico 66. Influencia del Nº modos de vibración – E3 .................................... 128
Gráfico 67. Influencia del Nº modos de vibración – E4 .................................... 129
Gráfico 68. Influencia del Nº modos de vibración – E5 .................................... 130
Gráfico 69. Influencia del Nº modos de vibración – E6 .................................... 131
Gráfico 70. Influencia del Nº modos de vibración – E7 .................................... 133
Gráfico 71. Influencia del Nº modos de vibración – E8 .................................... 134
Gráfico 72. Influencia del Nº modos de vibración – E9 .................................... 136
xx
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 1. Valores de la relación de amplificación espectral, η ............................. 29
Tabla 2. Valores del factor de zona sísmica Z. ..................................................... 30
Tabla 3. Tipo de Perfil del suelo ........................................................................... 31
Tabla 4. Factores de sitio Fa. ............................................................................... 31
Tabla 5. Factores de sitio Fd. ............................................................................... 32
Tabla 6. Factores de sitio Fs. ............................................................................... 32
Tabla 7. Tipo de uso, destino e importancia de la estructura .............................. 34
Tabla 8. Coeficiente R para sistemas estructurales.............................................. 34
Tabla 9. Coeficientes de irregularidad en planta ................................................. 36
Tabla 10. Coeficientes de irregularidad en elevación .......................................... 36
Tabla 11. Valores para Ct y α............................................................................... 38
Tabla 12. Deriva máxima inelástica ..................................................................... 40
Tabla 13. Deriva máxima inelástica ..................................................................... 40
Tabla 14. Características de los elementos estructurales .................................... 58
Tabla 15. Materiales de las estructuras ............................................................... 59
Tabla 15. Espesores de losa maciza equivalente .................................................. 60
Tabla 16. Espesores de losa de modelos estructurales ........................................ 60
Tabla 17. Dimensiones columnas de la estructura de 3 pisos .............................. 61
Tabla 18. Dimensiones columnas de la estructura de 6 pisos .............................. 61
Tabla 19. Dimensiones columnas de la estructura de 12 pisos ............................ 62
Tabla 20. Dimensiones de vigas estructura de 3 Pisos ........................................ 63
Tabla 21. Dimensiones de vigas estructura de 6 Pisos ........................................ 63
Tabla 22. Dimensiones de vigas estructura de 12 Pisos ...................................... 63
Tabla 23. Carga Permanente ................................................................................ 64
Tabla 24. Carga Viva ............................................................................................ 65
Tabla 25. Cargas consideradas en el análisis ...................................................... 65
Tabla 26. Identificación de estructuras consideradas en el análisis .................... 67
Tabla 27. Tipo de Suelo ........................................................................................ 77
Tabla 28. Factor de Zona “Z” .............................................................................. 78
xxi
Tabla 29. Relación de Amplificación Espectral “ŋ” ............................................ 78
Tabla 30. Factor exponencial “r” ........................................................................ 78
Tabla 31. Factores de Sitio ................................................................................... 79
Tabla 32. Coeficiente de Reducción Estructural “R” .......................................... 79
Tabla 33. Categoría del edificio y Factor de importancia ................................... 79
Tabla 34. Irregularidad en planta ........................................................................ 80
Tabla 35. Irregularidad en elevación ................................................................... 81
Tabla 36. Coeficientes “Ct” y “ɑ” para el Período de vibración ....................... 81
Tabla 37. Período de vibración “T” .................................................................... 82
Tabla 38. Aceleración de la Gravedad “Sa”........................................................ 82
Tabla 39. Cortante Basal de las Estructuras ........................................................ 82
Tabla 40. Cortante Basal de las Estructuras ........................................................ 83
Tabla 41. Corrección del VEST. – Estructura Nº 3, Nº 4, Nº 7 .............................. 84
Tabla 42. Corrección del VDIN – Estructura Nº 3 ................................................. 85
Tabla 43. Corrección del VDIN – Estructura Nº 4 ................................................. 86
Tabla 44. Corrección del VDIN – Estructura Nº 7 ................................................. 87
Tabla 45. Período de Vibración – Estructura de 3 Pisos ..................................... 92
Tabla 46. Período de Vibración – Estructura de 6 Pisos ..................................... 95
Tabla 47. Período de Vibración – Estructura de 12 Pisos ................................... 96
Tabla 48. Participación Modal - Estructura Nº 1 ................................................ 99
Tabla 49. Participación Modal - Estructura Nº 2 ................................................ 99
Tabla 50. Participación Modal - Estructura Nº 3 ................................................ 99
Tabla 51. Participación Modal - Estructura Nº 4 .............................................. 100
Tabla 52. Participación Modal - Estructura Nº 5 .............................................. 101
Tabla 53. Participación Modal - Estructura Nº 6 .............................................. 102
Tabla 54. Participación Modal - Estructura Nº 7 .............................................. 103
Tabla 55. Participación Modal - Estructura Nº 8 .............................................. 104
Tabla 56. Participación Modal - Estructura Nº 9 .............................................. 105
Tabla 57. Deriva Máxima de piso....................................................................... 108
Tabla 58. Derivas con diferentes combinaciones modales – 3 Pisos ................. 114
Tabla 59. Derivas con diferentes combinaciones modales - 6 Pisos .................. 120
Tabla 60. Derivas con diferentes combinaciones modales – 12 Pisos ............... 125
xxii
Tabla 61. Influencia del Nº modos de vibración – E2 ........................................ 126
Tabla 62. Influencia del Nº modos de vibración – E3 ........................................ 127
Tabla 63. Influencia del Nº modos de vibración – E4 ........................................ 129
Tabla 64. Influencia del Nº modos de vibración – E5 ........................................ 130
Tabla 65. Influencia del Nº modos de vibración – E6 ........................................ 131
Tabla 66. Influencia del Nº modos de vibración – E7 ........................................ 132
Tabla 67. Influencia del Nº modos de vibración – E8 ........................................ 133
Tabla 68. Influencia del Nº modos de vibración – E9 ........................................ 134
xxiii
RESUMEN
“ANÁLISIS DE LA INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE
VIBRACIÓN EN LA RESPUESTA TOTAL DE ESTRUCTURAS DE
HORMIGÓN ARMADO”
Autores: Daniel Ernesto Amaguaña Amagua Edwin Patricio Yumbay Agualongo
Tutor : Ing. Paola Ximena Villalba Nieto
El presente proyecto de investigación trata del análisis de la influencia del número de modos de vibración en la respuesta total de estructuras de hormigón armado, Como caso de estudio se consideran estructuras regulares e irregulares de 3, 6 y 12 pisos, en el que son básicos un prediseño y definición de cargas; para dichas edificaciones se corre un Análisis Modal Espectral ejecutado mediante el programa ETABS V15. Posteriormente, se analizan las respuestas máximas de cada estructura considerando tres grados de libertad por piso, determinándose el número de modos de vibración a fin de que cumpla con lo estipulado en la NEC; asimismo se verifica el cumplimiento de exigencias como: período de vibración, participación modal de masas, número de modos, torsión y derivas. Se demuestra que el número de modos de vibración de una estructura no siempre corresponde al número de plantas por los grados de libertad considerados; además de que el número de modos de vibración si influye en las respuestas máximas de estructuras de hormigón armado. En lo concerniente a derivas de piso generadas por aceleraciones espectrales se aplican diferentes combinaciones modales, destacando que el método de combinación doble suma presenta resultados más críticos, mientras que el método absoluto alcanza resultados más conservadores. Además de enfatizar en el análisis modal de una estructura, éste trabajo de titulación es un aporte a la actualización y conocimiento de la normativa vigente hacia los profesionales de la construcción.
PALABRAS CLAVES: MODOS DE VIBRACIÓN / ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO / ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL / COMBINACIÓN MODAL / PELIGRO SÍSMICO / DISEÑO SISMO-RESISTENTE.
xxiv
ABSTRACT
"ANALYSIS OF THE INFLUENCE FROM THE NUMBER OF VIBRATION
MODES IN THE TOTAL RESPONSE OF REINFORCED CONCRETE
STRUCTURES."
Author : Daniel Ernesto Amaguaña Amagua Edwin Patricio Yumbay Agualongo
Tutor : Ing. Paola Ximena Villalba Nieto
This research project deals with the analysis of the influence of the number of vibration modes in the overall response of reinforced concrete structures, as a case of study are considered regular and irregular structures 3, 6 and 12 floors, in which are basic a predesign and definition of loads; for such buildings a spectral Modal Analysis executed by V15 ETABS program is run. Subsequently, the maximum responses of each structure are analyzed considering three degrees of freedom per floor, determining the number of modes of vibration to comply with the provisions of the NEC; vibration period, modal participation mass, number of modes, torsional and drifts: compliance requirements also as verified. It is shown that the number of vibration modes of a structure does not always correspond to the number of floors considered degrees of freedom; also the number of vibrational modes if it influences the maximal responses of reinforced concrete structures. Regarding floor drifts generated by spectral accelerations different modal combinations are applied, noting that the double sum method combination presents more critical results, while the absolute method reaches more conservative results. In addition to emphasizing the modal analysis of a structure, this research of qualification degree is a contribution to updating and knowledge of current legislation towards construction professionals.
KEY WORDS : VIBRATION MODES / REINFORCED CONCRETE STRUCTURES / SPECTRAL MODAL ANALYSIS / MODAL COMBINATION/ SEISMIC RISK / SEISMIC RESISTANT DESIGN.
1
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN
1. jklkñlk
1.1 PROBLEMA
Como es de conocimiento general, el Ecuador se encuentra situado en un territorio
sísmicamente activo, pues esto se evidencia en la cantidad de terremotos que se han
dado en los últimos años. En Esmeraldas (1906), considerado como el de mayor
magnitud, con una escala de 8.8; Ambato (1949) con una escala de 6.8, dejando
alrededor de 5050 fallecidos; Bahía de Caráquez (1998) con una escala de 7.2 y el
último acontecido el 16 de abril de 2016 en la costa ecuatoriana, con epicentro en
el cantón Pedernales con una magnitud de 7.8 en la escala de Richter, registrándose
múltiples daños en viviendas, edificaciones, infraestructura vial y centros
comerciales, así como la pérdida de 661 vidas humanas, 12 desaparecidos y un sin
número de réplicas.
Además de tener en cuenta que el país presenta una gran cantidad de volcanes,
varios de ellos activos; como también la presencia de fallas geológicas que pueden
producir grandes desplazamientos de masas de tierra, lo que significaría mayor
vulnerabilidad sísmica del país.
Por lo mencionado anteriormente y a causa del acontecimiento sísmico en la ciudad
de Quito registrado el 12 de agosto del 2014 con una magnitud de 5.1 en la escala
de Richter, el Municipio del Distrito Metropolitano de Quito (DMQ), a través de la
Entidad Colaboradora del Colegio de Arquitectos del Ecuador (CAE) ha
incrementado su rigurosidad durante la revisión y aprobación de proyectos,
rigiéndose a lo establecido en la Norma Ecuatoriana de la Construcción (NEC).
La NEC, en el capítulo de Peligro Sísmico y Diseño Sismo Resistente (NEC-SE-
DS), dentro del análisis dinámico espectral, establece que el número de modos de
vibración y en la manera de combinarlos se debe considerar:
2
• “Todos los modos de vibración que contribuyan significativamente a la
respuesta total de la estructura, mediante los varios períodos de vibración”.
• “Todos los modos que involucren la participación de una masa modal
acumulada de al menos el 90% de la masa total de la estructura, en cada una
de las direcciones horizontales principales consideradas”.
• “Cuando se utilicen modelos tri-dimensionales, los efectos de interacción
modal deben ser considerados cuando se combinen los valores modales
máximos”.
Partiendo del análisis de fuerzas externas actuantes y generadoras de
desplazamientos y deformaciones en una edificación, es decir, del estudio dinámico
estructural, se indica que hay que definir tantos grados de libertad como sean
necesarios. Aguiar R. (2012), señala que durante el estudio sísmico en coordenadas
de piso se deben considerar tres grados de libertad por planta (dos componentes de
desplazamiento horizontal y un componente de rotación).
Ahora bien, uno de los problemas reales que se presenta en el cálculo y diseño de
edificaciones es que los profesionales a menudo pasan por alto el número mínimo
de modos de vibración, lo que se traduce en un efecto adverso en la respuesta total
del edificio, resultando edificaciones con mayor tendencia a sufrir daños
estructurales e inclusive un colapso.
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo General
Realizar el análisis de la influencia del número de modos de vibración en la
respuesta total de estructuras de hormigón armado, utilizando el espectro de
aceleraciones de la NEC en un análisis modal espectral.
3
1.2.2 Objetivos Específicos
• Analizar y comparar las respuestas máximas de estructuras de 3, 6 y 12 pisos
regulares e irregulares considerando varios grados de libertad.
• Evaluar el comportamiento de las estructuras mediante el método espectral,
aplicando varios métodos de combinación modal para encontrar la
combinación más crítica.
• Analizar los valores de períodos fundamentales de vibración, participación
modal de masas, derivas y desplazamientos de las estructuras.
1.3 JUSTIFICACIÓN
Hoy en día, la mayoría de los profesionales de arquitectura e ingeniería estructural
no están al tanto de las actualizaciones que se han realizado en la Norma
Ecuatoriana de la Construcción o dan por ignoradas las recomendaciones y
exigencias que ésta impone, especialmente en el método de análisis más utilizado
el Método Modal Espectral, en la determinación del período fundamental,
porcentaje de participación de masas (número mínimo de modos de vibración),
cortante basal, criterio de combinación modal, entre otros; por lo que, es importante
analizar estos requerimientos y su influencia en las respuestas estructurales.
Además de enfatizar en el análisis modal de una estructura, éste trabajo de titulación
será un aporte a la actualización y conocimiento de la normativa vigente hacia los
profesionales de la construcción.
1.4 HIPÓTESIS O IDEA A DEFENDER
• El número de modos de vibración influye en las respuestas máximas de
estructuras de hormigón armado.
• El número de modos de vibración de una estructura no siempre corresponde
al número de plantas por los grados de libertad considerados, a fin de que
cumpla con lo dispuesto en las normativas de diseño sismo-resistente.
4
• La manera de combinar los modos de vibración influye en la respuesta total
de una estructura.
1.5 MARCO LEGAL
La presente Investigación se sujeta a los siguientes códigos:
• NORMA ECUATORIANA DE LA CONSTRUCCIÓN (NEC-15)
- Capítulo NEC-SE-HM. Estructuras de Hormigón Armado
- Capítulo NEC-SE-DS Peligro Sísmico y Diseño Sismo-resistente
- Capítulo NEC-SE-CG Cargas No Sísmicas
• A.C.I. 318 -2014 (AMERICAN CONCRETE INSTITUTE)
Building Code Requirements for Structural Concrete.
1.6 METODOLOGÍA
El presente trabajo de graduación será de carácter teórico:
La investigación sobre el “Análisis de la Influencia del número de Modos de
Vibración en la Respuesta Total de Estructuras de Hormigón Armado”, se realiza a
través de informes, libros, modelaciones, trabajos, tesis, e internet.
Se usan programas de Microsoft Office (Word, Excel, PowerPoint) y AutoCAD
para las distintas presentaciones que se necesitan a lo largo del desarrollo del trabajo
de Grado.
Para el presente análisis se toma, como punto de partida, el pre diseño de estructuras
de 3, 6 y 12 pisos de hormigón armado, utilizando como software de análisis el
programa ETABS versión 2015; en el cual se analizan las respuestas máximas de
las estructuras considerando varios números de modos de vibración, a fin de que
cumplan con la normativa vigente y posteriormente para la evaluación del
comportamiento de éstas mediante el método espectral, aplicando varios métodos
de combinación modal.
5
Para la modelación y análisis se aplica la norma NEC-15 Capítulo NEC-SE-HM.
Estructuras de Hormigón Armado, Capítulo NEC-SE-DS Peligro Sísmico y Diseño
Sismo-resistente y el Capítulo NEC-SE-CG Cargas No Sísmicas.
1.6.1 Delimitación Espacial
El proyecto de estudio hace referencia a edificios de Hormigón Armado de 3, 6 y
12 pisos ubicados en la ciudad de Quito, Provincia de Pichincha.
1.6.2 Temporización
El presente estudio tiene una duración aproximada de 20 semanas, para el
cumplimiento de los objetivos propuestos.
1.6.3 Diagnostico o Análisis Situacional (FODA)
Fortalezas. Procura conocimientos para investigar y afianza habilidades sobre el
uso de técnicas de investigación.
Oportunidades. Permite aplicación de conocimientos para futuras investigaciones.
Debilidades. Limitación de recursos para construcción de modelos físicos.
Amenazas. El tiempo es breve para profundizar el tema.
1.6.4 Tipo de Investigación
Bibliográfica - Documental. Para el sustento del presente proyecto se toman como
referencia libros, investigaciones, documentos técnicos y tesis realizadas, que
puedan servir como apoyo para el tema a desarrollar.
1.6.5 Métodos de Investigación
Método cuantitativo. Por la aplicación de leyes y principios ya establecidos y
porque el proyecto está direccionado al análisis y comparación de resultados.
1.6.6 Técnica e instrumentos de Investigación
Técnicas: Entrevista, Observación directa.
Instrumentos: Microsoft Office (Word, Excel, PowerPoint), Software (Etabs,
AutoCAD), NEC.
6
CAPÍTULO II
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
2. xxxxx
2.1 GRADOS DE LIBERTAD
Se define a los grados de libertad (G.D.L.) como los desplazamientos (rotaciones y
traslaciones) que se dan lugar en todos y cada uno de los nudos o juntas que
conforman un sistema, cuando a la misma, se le aplica cualquier sistema de cargas.
En otras palabras son las coordenadas partícipes en la definición de la posición de
los nudos cuando son sometidas a fuerzas externas.
Paz M. (1992) expresa que un grado de libertad es la capacidad que tiene un punto
en trasladarse o rotar. Las estructuras tienen infinito número de grados de libertad,
por lo tanto, para simplificar los cálculos se reduce el número de grados de libertad
según lo que se desea analizar, ya sea posición o giros.
El número de grados de libertad varía de acuerdo al tipo de estructura analizada,
pudiendo ser esta un mecanismo plano o espacial, en la que se considera el tipo de
apoyo o restricciones que existen entre uno y otro elemento que están conformando
el sistema estructural. Además, es necesario considerar la flexibilidad o rigidez que
presentan estos elementos, ya que un cuerpo rígido minimiza el número de grados
de libertad.
2.1.1 Grados de libertad en Pórticos Planos
Para obtener el número de grados de libertad de un pórtico se debe dibujar una
deformada lo más general posible. Si se asume que la base de la estructura es fija,
que la losa es indeformable y que la losa sólo puede desplazarse horizontalmente,
se dice que el sistema tiene un grado de libertad (Gráfico 1.a). Si se asume que la
base de la estructura es fija y que la losa es deformable, se dice que el sistema tiene
tres grados de libertad (Gráfico 1.b).
7
Gráfico 1. Grados de libertad en Pórticos Fuente. Elaborado por Autores
El gráfico 2.a, muestra una vista en elevación de un pórtico de 3 niveles con 15
GDL estáticos, pero cuando el pórtico recibe un movimiento en su base, éste oscila
lateralmente y las masas m1, m2 y m3 de cada nivel se aceleran, produciendo tres
fuerzas de inercia horizontales importantes; por tanto el pórtico sólo tiene tres
grados de libertad dinámicos que son los desplazamientos 1, 2 y 3, mostrados en el
gráfico 2.b.
Gráfico 2. Grados de libertad estáticos y dinámicos
Fuente. Elaboración por Autores
Cuando se trate de sistemas rígidos, en los cuales no puede haber desplazamiento
relativo entre las partículas de masa, las propiedades de la masa se pueden describir
referidas a su centro de masa; en el sistema dinámico de un marco su masa se
simplifica a un punto (Gráfico 2.b). Esto conduce a lo que se conoce como sistemas
de masa concentrada.
3 GDL1 GDL
1
23
1
a) b)
3 GDL15 GDL
1
3
1
45
2
89
67
1011
m1
3
1213
1415
2m2
a) b)
m3
8
2.1.2 Grados de libertad en pórticos espaciales
“Las bases conceptuales del análisis dinámico para estructuras tridimensionales,
son las mismas que las empleadas en el análisis de estructuras planas. De esta
forma, las masas se concentran a nivel de cada piso, el cual se considera
infinitamente rígido en su plano. Así, los grados de libertad por piso son tres,
siendo éstos, dos traslaciones ortogonales y una rotación en torno al eje vertical.
Por lo tanto, un edificio tridimensional de N pisos presentará 3N grados de
libertad”. (Ríos H., 2006).
Gráfico 3. Grados de libertad en estructuras
Fuente. Perfil Bío-Sísmico de Edificios (Ríos H., 2006)
Aguiar R. (2012), menciona además que los grados de libertad, conjuntamente con
el número de niveles de una estructura, definen el número mínimo de modos de
vibración que deberán ser partícipes del sistema.
9
2.2 MODOS DE VIBRACIÓN
Es necesario tener muy claro el significado de ciertos términos que se relacionan
con los modos de vibración. A continuación, definimos los más relevantes:
• Vibración: Es el movimiento repetido de un punto que se desplaza de forma
variada en un sentido y en otro, atravesando siempre la posición de
equilibrio.
• Período: Es el tiempo que demora una oscilación completa.
• Frecuencia: Número de oscilaciones por unidad de tiempo. La frecuencia
es inversamente proporcional al período.
• Amplitud : Máximo valor que alcanza un punto durante una oscilación, el
cual puede corresponder a un desplazamiento, una velocidad o una
aceleración.
Para entender el concepto de modos de vibración, se puede partir de lo expuesto
por Aguiar R. (2012) en el libro Dinámica de Estructuras, en el que manifiesta que:
“los modos de vibración indican la forma como va a responder la estructura durante
un sismo... el primer modo de vibración nos puede estar indicando que la estructura
va a tener un buen o mal comportamiento sísmico”. Entonces, si se dice que los
modos de vibración son los indicadores de la respuesta estructural, sería de mucha
importancia conocer sus valores, y posteriormente establecer una diferencia
numérica entre todos los modos para comprobar que el primero puede ser el más
influyente al momento de puntualizarse un adecuado comportamiento estructural
bajo la acción de un sismo.
Un modo representa la forma natural de vibración de la estructura, a cada uno le
corresponderá una frecuencia o un período diferente. Los modos son
adimensionales.
2.2.1 Modos de Vibración en edificaciones
Ante la eventualidad de un sismo, una edificación, al igual que todos los cuerpos
materiales, responderá vibrando u oscilando de varios modos o formas; estas
10
formas de vibrar se conocen como modos de vibración. Los modos de vibración se
producen a diferentes períodos, por lo que durante un acontecimiento sísmico,
pueden afectar en mayor o menor porcentaje a la edificación, dependiendo de la
frecuencia del sismo.
Gráfico 4. Modos de vibración en pórticos planos Fuente. Elaborado por Autores
En el modo 1, la edificación oscila de un lado hacia otro, teniendo todos los
desplazamientos de un mismo lado (gráfico 4), denominándose por esa razón Modo
Fundamental. El modo fundamental de vibración coincide con la frecuencia natural
o propia del edificio, es decir, aquella a la que se supone que responderá de forma
prioritaria e influyente, que junto con el segundo modo de vibración generalmente
son los predominantes en el análisis dinámico de la estructura.
La vibración de una estructura es siempre una combinación de todos los modos de
vibración, la mayoría de los sistemas tienen muchos modos de vibración y es la
tarea del análisis modal determinar la forma de estos modos.
“Para encontrar los modos de vibración, con sus correspondientes períodos o
frecuencias, hay que resolver el problema de análisis modal de las ecuaciones
dinámicas de movimiento para un sistema de múltiples grados de libertad en el caso
de oscilación libre. El análisis modal se reduce a un problema de autovalores
(también conocidos como valores propios o eigenvalues) y autovectores (también
conocidos como vectores propios o eigenvectors). La interpretación física de los
autovalores y autovectores representan las frecuencias y modos de vibración,
respectivamente.” (Montserrat, 2013)
11
2.2.2 Número de Modos de Vibración
“El número de modos de vibrar que posee una estructura corresponde al mismo
número de grados de libertad de ésta.” (Ríos H., 2006). Así, un edificio de 4 pisos
le corresponderán 12 modos de vibrar: cuatro modos de vibración al movimiento
traslacional en dirección “X” (gráfico 5), cuatro modos al movimiento traslacional
en dirección “Y” y cuatro modos al movimiento rotacional.
Primer Modo Segundo Modo Tercer Modo Cuarto Modo
Gráfico 5. Número de modos de vibración de una estructura Fuente. ETABS. Elaborado por autores
2.2.3 Ecuación de Movimiento
El sistema considerado en el Gráfico 6, para la obtención de la ecuación de
movimiento de una estructura, se compone de una masa m concentrada en el nivel
del techo, un pórtico sin masa que proporciona rigidez k al sistema, y un
amortiguador viscoso que disipa la energía de vibración del sistema; la viga y las
columnas son axialmente indeformables.
Gráfico 6. Sistema de un grado de libertad Fuente. Elaborado por autores
Masa
Pórticosin masa
Amortiguadorviscoso
12
El sistema puede ser perturbado por dos tipos de excitación dinámica: una carga
lateral p(t) o por un movimiento del terreno inducido por un sismo.
Gráfico 7. (a) Fuerza aplicada p (t); (b) movimiento del terreno inducido por un sismo Fuente. Elaborado por autores
Al ser sometido el pórtico a una fuerza dinámica p (t) aplicada de manera externa
en la dirección X, se generan fuerzas internas iguales y opuestas a la carga p (t); así
la fuerza interna fs es la que se opone al desplazamiento u y fD es la fuerza interna
en el amortiguador que se opone a la velocidad �� . Así se tiene:
�� = �. � (1) � = �� (2)
Donde: ��, �: Fuerzas internas �: Rigidez lateral del sistema : Coeficiente de amortiguamiento viscoso �: Desplazamiento �� : Velocidad
Se considera que la fuerza externa es positiva en la dirección del eje x y las fuerzas
elástica y de amortiguamiento negativas en la dirección del eje x.
Gráfico 8. Obtención de la ecuación de movimiento Fuente. Elaborado por autores
Masa
Pórticosin masa
Amortiguadorviscoso
(a)
u
p(t)
(b)
u
u'
ug
mu
p(t) p(t)m
fDf S
p(t)m
fDf S
f I
13
La fuerza resultante a lo largo del eje x es: � − �� − � y a partir de la segunda ley
del movimiento de Newton se tiene:
� − �� − � = ��� ó ��� + � + �� = �(�)
Sustituyendo las ecuaciones 1 y 2, esta ecuación se convierte en:
��� + �� + �� = �(�) (3)
Ésta es la ecuación de movimiento que controla el desplazamiento u (t) de la
estructura idealizada en el gráfico 6, correspondiente a 1GDL, que se supone
elástica lineal y sometida a una fuerza externa dinámica p(t).
Para el caso de pórticos espaciales, es decir, para sistemas de varios grados de
libertad las propiedades m, c, k se colocan en forma de matrices:
��� + ��� + �� = � (4)
Donde:
M, C, K: Matrices de masa, amortiguamiento y rigidez.
u, u� , u� : Vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración.
P: Vector de Cargas
2.2.4 Cálculo de los modos de vibración
Los modos de vibración se obtienen considerando a la estructura en vibración libre
no amortiguada, ya que la influencia del amortiguamiento en dicha determinación
es mínima.
Así, para encontrar los modos de vibrar, de la ecuación (4) se elimina el efecto del
amortiguamiento y carga externa, transformándose en:
��� + �� = 0 (5)
Se plantea la solución de (5) de la siguiente manera:
�(�) = � �(�) (6)
14
Donde el vector �, no depende del tiempo y contiene los amplitudes de la estructura
en sus grados de libertad y �(�) es una función del tiempo.
La primera y segunda derivada con respecto al tiempo de u, son:
�� (�) = � ��(�) �� (�) = � ��(�)
Remplazando �(�), �� (�), �� (�) en la ecuación (6) se tiene:
� � ��(�) + � � �(�) = 0 De donde:
�� + ��(�)�(�) �� � = 0 Se denomina:
��(�)�(�) = −� ⇒ � (!) + � (!) = " (7)
Luego se tiene: (# − � $)� = " (8)
La ecuación (8), representa un problema de valores y vectores propios, donde � es
el valor propio y � es el vector propio. Una vez calculado � se obtiene de la
ecuación (7) el valor de f (t).
Para que existan soluciones no triviales, es decir, para que los valores de � sean
distintos de cero, es necesario que el determinante de la matriz de coeficientes sea
nulo.
%&�|# − � $| = 0 (9)
Al resolver la ecuación (9) se obtiene un polinomio característico; si se tiene una
matriz de rigidez y de masas de orden n x n, este polinomio será de orden n.
15
De la solución de este polinomio se encuentran “n” raíces de � . Si las matrices K
y M son reales, simétricas y definidas positivas; los valores de � son reales y
positivos.
Una vez que se ha resuelto el problema de valores propios, y se ha obtenido las
raíces del polinomio característico, se pasa a calcular las frecuencias de vibración.
El subíndice i representa el modo i.
()* = √� = , �� (10)
Con cada una de las frecuencias de vibración, se obtienen los períodos de vibración
(Ti).
-* = 2/()* (11)
Los períodos de vibración de la estructura son ordenados en forma descendente. Se
designa como T* al período del modo con mayor masa equivalente traslacional en
cada dirección de análisis X e Y.
Al resolver la ecuación (8) para cada valor Wn se obtiene su vector asociado �0.
Este vector representa la forma adoptada por la estructura, al encontrarse vibrando
libremente con una frecuencia Wn.
Cada elemento del vector �0 se encuentra en función de los demás. Por lo tanto,
dando un valor arbitrario, generalmente 1 al primer elemento, se obtienen los
restantes. El vector �0 queda representado de la siguiente forma:
(1 ⇒ 2341 =56768 39,1...3:;,1<6=
6>
Agrupando los vectores � de todos los modos se ensambla finalmente la matriz
modal ?�@.
16
?�@ =ABBBBBBBBC
566676668 39,9∙3;,93;E9 ,9∙3F; ,93F;E9 ,9∙3:;,9 <66
6=666>
… . . …566676668 39,1∙3;,13;E9 ,1∙3F; ,13F;E9 ,1∙3:;,1 <66
6=666>
… . . …566676668 39,:;∙3;,:;3;E9 ,:;∙3F;,:;3F;E9 ,:;∙3:;,:; <66
6=666>
HIIIIIIIIJ
→ �LMN 1 %LP Q∙�LMN R %LP Q�LMN 1 %LP S∙�LMN R %LP S�LMN 1 %LP T∙�LMN R %LP T
↓ ↓ ↓ 2349 2341 234:;
2.2.5 Período de Vibración en edificaciones
Ante la eventualidad de un sismo, todos los edificios tienen un período natural o
fundamental de vibración, el mismo que depende de las características geométricas
y físicas de los elementos estructurales, es decir, se pueden modificar y variar
secciones para obtener períodos de vibración deseados. El período de vibración es
independiente de la intensidad del sismo.
Entre las características físicas más importantes de las cuales depende el período de
vibración de una edificación tenemos:
• La altura del edificio, pues a mayor altura, mayor período de vibración.
• La densidad de muros, pues a mayor densidad, menor período de vibración.
• La longitud del edificio en la dirección considerada, pues a mayor longitud,
menor período de vibración.
• La rigidez del edificio, pues a mayor rigidez, menor período de vibración.
2.2.5.1 Período de vibración largo y corto
La liberación de energía originada, ya sea por el choque entre las placas tectónicas,
por eventualidades volcánicas, o por el desplazamiento de las fallas geológicas,
genera ondas de vibración por debajo de la superficie terrestre. Estas ondas
atraviesan las diferentes capas de suelo hasta llegar a la estructura, y dependiendo
de la cantidad de energía liberada se genera inestabilidad en las construcciones e
inclusive su colapso.
17
Ahora bien, si períodos cortos son producto de estructuras rígidas o estructuras de
menor altura, y períodos largos son producto de estructuras flexibles o estructuras
de gran altura (Gráfico 9), una y otra presentan problemas ante una acción sísmica,
ya que al tratarse de períodos cortos existe la probabilidad de amplificaciones muy
grandes en aceleración (resonancia), y por otro lado, deformaciones muy grandes
en el caso de períodos largos.
Gráfico 9. Período de vibración largo y corto Fuente. Elaborado por autores.
2.2.5.2 Efecto de resonancia
La resonancia en un edificio sucede cuando las fuerzas externas que actúan sobre
él, derivadas de la acción sísmica, tienen un período de vibración similar al período
fundamental de la estructura, traduciéndose en desplazamientos cada vez mayores.
Este efecto puede resultar ser muy destructivo en los edificios, y la opción más
acertada para contrarrestar este fenómeno es la consideración de un
amortiguamiento, el cual se encargará de disminuir la amplitud de la vibración.
SISMO CONPERIODO CORTO
SISMO CONPERIODO LARGO
Desplazamiento Desplazamiento
Periodo Corto Periodo Largo
18
Gráfico 10. Resonancia de ondas Fuente. Elaborado por autores.
Onda 1
Onda 2
Resultante Onda 1
Onda 2 Resultante
19
2.3 ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO
El diseño sismo-resistente constituye un componente indispensable para el análisis,
diseño y construcción de cualquier estructura, por lo que, en el país la Norma
Ecuatoriana de la Construcción establece dos métodos de análisis y diseño sísmico:
el Diseño Basado en Fuerzas (DBF), y el Diseño Directo Basado en
Desplazamientos (DDBD).
“Tanto el Diseño Basado en Fuerzas y el Diseño Directo Basado en
Desplazamientos analizan aspectos importantes que se deben considerar para un
buen diseño sismo-resistente. Mientras que el DBF se enfoca en satisfacer
condiciones de desempeño establecidas para diferentes niveles de excitación
sísmica, el DDBD se enfoca en restringir deformaciones, desplazamientos,
ductilidad e índices de daño”. (Rubinstein, Giuliano, & Moller, 2006).
De esta forma el DBF de la NEC presenta tres métodos de análisis: el Análisis
Estático, Análisis Dinámico Espectral y el Análisis Dinámico paso a paso en el
tiempo; el primero se realiza a través de un modelo con cargas estáticas equivalentes
que no varían en el tiempo y la estructura no excede el rango elástico, el segundo
es el método a utilizar en el presente trabajo de titulación, por lo que se detallará
más adelante y el análisis dinámico paso a paso en el tiempo constituye un cálculo
de la respuesta dinámica de la estructura en cada incremento de tiempo y es
realizado mediante dos formas:
• Utilizando las dos componentes horizontales de registros de acelerogramas
apropiadamente seleccionados y escalados a partir de los registros de no
menos de 3 eventos sísmicos. Y,
• Cuando no se disponga de al menos 3 eventos sísmicos, se utilizaran
acelerogramas artificiales apropiadamente simulados para generar el
número de registros y de componentes requeridos.
Por otra parte, el DBF obedece a procedimientos lineales diseñados para producir
una estimación conservadora de la respuesta y desempeño sísmico, los mismos que
resultan no siempre exactos.
20
2.3.1 Análisis Estático Lineal.
El análisis estático lineal consiste en esquematizar la acción del sismo mediante
cargas laterales estáticas equivalentes que se aplican en cada piso de la edificación
(Gráfico 11), para lo cual se calcula el cortante basal tomando en consideración un
comportamiento lineal de los materiales constituyentes. La NEC indica que el
método de análisis estático lineal se aplicará como mínimo para todo tipo de
estructuras, resultando suficiente para estructuras de configuración regular.
V = Σ Fi
Gráfico 11. Esquema del Análisis Estático Lineal
Fuente: Elaborado por autores
2.3.2 Análisis Dinámico Lineal.
“Al aplicar un análisis dinámico lineal, la estructura se modela como un sistema de
Múltiples Grados de Libertad (MGDL) con una matriz de rigidez elástica lineal. La
acción sísmica se modela utilizando un análisis espectral modal o un análisis
temporal. El análisis espectral modal supone que la respuesta dinámica de una
estructura se puede determinar considerando de forma independiente, la respuesta
de cada modo natural de vibración utilizando un espectro de respuesta elástico. Sólo
se consideran los modos que contribuyen considerablemente a la respuesta de la
estructura.”. (Bonett Díaz, 2003).
Dicho de otra manera, el análisis dinámico lineal considera múltiples grados de
libertad. Adicionalmente al cortante basal se utiliza un espectro de diseño en
aceleraciones encontrando la respuesta estructural y la información de los modos
Cortante Basal
F1
F2
F3
F4
21
de vibración; además de considerar a los materiales con un comportamiento lineal
(dentro del rango elástico).
2.3.3 Análisis Modal Espectral
En la mayoría de las normas de construcción, uno de los métodos más utilizado en
el análisis dinámico es el Análisis Modal Espectral, esto dado a su simplicidad de
aplicación y buenos resultados que proporciona.
El análisis modal espectral obtiene la respuesta máxima de la estructura por medio
de la separación del sistema en sus formas o modos de vibrar, combinando las
respuestas máximas de cada uno de sus modos mediante la aplicación de un
espectro de respuesta; es decir, obtiene las respuestas máximas mediante una
superposición de todos los modos. Las respuestas máximas de cada modo se
encuentran afectadas por un coeficiente de participación modal, factor que indica
el porcentaje en que cada modo contribuye a la respuesta total de la estructura.
El análisis modal espectral al ser un procedimiento de análisis dinámico
aproximado presenta ciertas limitaciones, mostrándose las principales:
• El Análisis Modal Espectral es aplicable a sistemas lineales, es decir, los
materiales se comportan dentro del rango elástico.
• El Análisis Modal Espectral da como resultado el valor máximo de
respuesta sin señalar en que instante de tiempo se produce dicho máximo,
es por ello que surge la necesidad de establecer suposiciones sobre la suma
de los máximos de los distintos modos obtenidos.
2.3.4 Espectro de Respuesta
La variación de la respuesta de un sistema en el tiempo bajo varios tipos de
excitaciones es un tema de interés para propósito de análisis y diseño estructural,
los valores máximos de la respuesta estructural contienen información
determinante, dado que dichos valores están relacionados con las fuerzas y
desplazamientos máximos que la estructura debe resistir. En consecuencia, es de
22
gran interés la obtención de estos valores de respuesta máxima, los cuales se
encuentran condensados en gráficos llamados espectros de respuesta.
El espectro de respuesta se define como una gráfica que proporciona información
de las respuestas máximas (aceleraciones, desplazamientos, velocidades) que
sucede en una determinada estructura a causa de una acción dinámica.
En el gráfico 12 se muestra el esquema de cálculo de un espectro de respuesta; a la
izquierda aparece un conjunto de osciladores de 1 GDL, que representan a
estructuras de un piso, que van a ser sometidos a un sismo X cuyo acelerograma se
indica en la parte inferior izquierda.
Gráfico 12. Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta
Fuente. Análisis Sísmico de Edificios, Aguiar (2008)
En la parte central del gráfico 12, se tiene la respuesta en el tiempo de
desplazamiento de dos osciladores, con períodos de 1s y 2s respectivamente. Se ha
identificado las respuestas máximas en cada uno de ellos, como Sd1 para el sistema
con T = 1s, y Sd2 para el sistema con T = 2s; para hallar el espectro Sd1 y Sd2 se
consideran en valor absoluto.
En la parte derecha se han colocado los valores de Sd1 y Sd2 asociados a períodos
de 1 y 2 s, se han colocado además los desplazamientos máximos correspondientes
a los restantes períodos del conjunto de osciladores de un grado de libertad, la
gráfica que resulta de unir las respuestas máximas es el Espectro de Respuesta de
desplazamientos.
23
0 1.5 3
2
4
Sa ξ=0%
g
Sa ξ=2%
g
Sa ξ=5%
g
Sa ξ=10%
g
Sa ξ=20%
g
Tn
Se pudo haber colocado las respuestas máximas de velocidades o de aceleraciones
(en valor absoluto), obteniéndose los espectros de respuesta de velocidad y
aceleración, respectivamente.
En general la construcción de un espectro de respuesta consiste en la graficación de
los valores máximos de la respuesta de un sistema sometido a un acelerograma
versus el período natural. Cada período corresponde a un sistema con frecuencia y
rigidez particular, es decir, representa a una estructura en específico (una
edificación, una cubierta, un puente peatonal, un puente vehicular, etc.). Se pueden
considerar varios valores de amortiguamiento.
En el gráfico 13, se muestra un espectro de respuesta en aceleraciones, en el cual el
eje de las abscisas corresponde al período natural, mientras que en el eje de las
ordenadas se muestran las respuestas máximas de aceleración calculadas para
distintos factores de amortiguamiento.
Gráfico 13. Espectro de respuesta, en términos de aceleración.
Fuente. Math Cad – Elaborado por autores
___ ξ = 0,5 %
___ ξ = 2 %
___ ξ = 5 %
___ ξ = 10 %
___ ξ = 20 %
Periodo T (s)
A
cele
raci
ón (
g)
24
2.3.5 Espectro Elástico de Respuesta
Los espectros elásticos de respuesta proporcionan las bases para calcular la fuerza
de diseño y deformación de una estructura para permanecer dentro del rango
elástico.
Crisafulli F. & Villafañe E. (2002), establecen que los espectros elásticos de
respuesta representan parámetros de respuesta máxima para un terremoto
determinado que usualmente incluyen varias curvas considerando distintos factores
de amortiguamiento. Se utilizan fundamentalmente para estudiar las características
del terremoto y su efecto sobre las estructuras. Las curvas de los espectros de
respuesta presentan variaciones bruscas, con numerosos picos y valles, que resultan
de la complejidad del registro de aceleraciones del terremoto.
2.3.6 Espectro Inelástico de Respuesta
El cálculo de estructuras para que presenten un comportamiento elástico lineal,
suelen ser caras y muchas veces solo están destinadas a estructuras muy
importantes. Normalmente se diseñan estructuras que no tienen un comportamiento
elástico, es decir, la deformación que pueda presentar la estructura durante una
ocurrencia sísmica estará dentro del rango plástico. El campo plástico es el intervalo
en donde los elementos además de alargarse notablemente sin que la carga varíe,
conservan un alargamiento remanente al retirarse la carga.
Los espectros inelásticos se obtienen dividiendo los espectros elásticos para el
producto V ∅X∅Y. Donde R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido
al comportamiento inelástico de las estructuras y ∅X , ∅Y son factores con los cuales
se penaliza las irregularidades en planta y elevación.
Este tipo de espectros son muy utilizados en el diseño sismo-resistente, puesto que,
por cuestiones económicas y prácticas, muchas de las construcciones se calculan
considerando la hipótesis del campo plástico.
25
2.3.7 Espectro de Diseño
Una estructura no puede diseñarse para el espectro de un sismo en particular, ya
que en el siguiente sismo, el espectro será diferente. Es por ello que para el cálculo
de las estructuras se utilizan los espectros de diseño.
El espectro de diseño se basa en el análisis estadístico y probabilístico de los
espectros de respuesta de un conjunto de registros sísmicos de una región,
previamente los acelerogramas se normalizan a un valor determinado, obteniéndose
una sola respuesta típica de la zona (espectro de diseño). “El espectro de diseño
debe satisfacer ciertos requisitos, ya que está pensado para diseñar nuevas
estructuras o para evaluar la seguridad sísmica de las estructuras existentes, a fin de
que puedan resistir a sismos futuros”. (Chopra, 2014)
Si no se dispone de una suficiente cantidad de registros sísmicos, se pueden generar
registros sísmicos artificiales que sean compatibles con la sismicidad local de la
región.
2.3.8 Espectro elástico de diseño en desplazamientos según la NEC
En los últimos años se ha venido desarrollando un nuevo concepto de diseño para
construcciones sismo-resistentes basado en desplazamientos, es decir, que en lugar
de evaluar la demanda sísmica de la estructura en términos de fuerzas laterales, se
realiza el diseño a partir de la demanda de desplazamiento lateral provocada por la
acción sísmica. El método basado en desplazamientos requiere, de un espectro de
diseño de desplazamientos.
El diseño basado en desplazamientos desarrollado por la NEC presenta el siguiente
espectro elástico de diseño de desplazamientos Sd, definido a partir del espectro de
aceleraciones, mediante las siguientes fórmulas:
Z[ = Z\(]). ^ -2/_F �`P` 0 ≤ - ≤ -b (12)
Z[ = Z\(]). ^ -b2/_F �`P` - > -b (13)
26
-b = 2.4 e[ (14) Donde:
Sd: Es el espectro elástico de diseño de desplazamientos (definido para
una fracción del amortiguamiento respecto al crítico igual a 5%).
Depende del período o modo de vibración de la estructura.
Sa: Espectro de respuesta elástico de aceleraciones (expresado como
fracción de la aceleración de la gravedad g). Depende del período o
modo de vibración de la estructura.
g: Aceleración de la gravedad.
T: Período fundamental de vibración de la estructura.
TL: Límite de período de vibración.
Fd: Coeficiente de amplificación de suelo. Amplifica las ordenadas del
espectro elástico de respuesta de desplazamientos para diseño en
roca, considerando los efectos de sitio.
Gráfico 14. Espectro elástico de diseño en desplazamientos según la NEC
Fuente. Norma Ecuatoriana de la Construcción (2015).
27
2.3.9 Espectro elástico de Diseño en aceleraciones según la NEC
Actualmente la Norma Ecuatoriana de la Construcción (NEC-15), pone al alcance
de los profesionales de la construcción un espectro elástico de diseño, el cual
depende básicamente de la zona sísmica y del tipo de suelo del emplazamiento de
la estructura.
A continuación se muestra el espectro elástico que representa el sismo de diseño,
sismo que obedece a una fracción de amortiguamiento respecto al crítico de 5%.
Este sismo de diseño se construye a partir de las ordenadas normalizadas de los
espectros de peligro sísmico en roca, considerando un 10% de probabilidad de
excedencia en 50 años o un período de retorno de 475 años. Además se considera
el factor de amplificación máxima η (Sa/Z, en roca), que cambia según la región
del Ecuador que se esté analizando.
Gráfico 15. Espectro elástico de aceleraciones que representa el sismo de diseño
Fuente: Norma Ecuatoriana de la Construcción (NEC-15).
Dicho espectro se obtiene mediante las siguientes ecuaciones:
fg = h. i. jg kglg " ≤ m ≤ mn (15)
fg = h. i. jg ^mnm _l kglg m > mn (16)
Donde el período límite de vibración en el espectro sísmico elástico de
aceleraciones que representa el sismo de diseño (Tc) se calcula por medio de la
siguiente expresión:
28
mn = ". oojp jqjg (17)
Donde:
η: Razón entre la aceleración espectral Sa (T = 0.1 s) y el PGA (Peak
Ground Acceleration) para el período de retorno seleccionado.
Fa: Coeficiente de amplificación de suelo en la zona de período corto.
Amplifica las ordenadas del espectro elástico de respuesta de
aceleraciones para diseño en roca, considerando los efectos de sitio.
Fd: Coeficiente de amplificación de suelo. Amplifica las ordenadas del
espectro elástico de respuesta de desplazamientos para diseño en
roca, considerando los efectos de sitio.
Fs: Coeficiente de amplificación de suelo. Considera el comportamiento
no lineal de los suelos, la degradación del período del sitio que
depende de la intensidad y contenido de frecuencia de la excitación
sísmica y los desplazamientos relativos del suelo, para los espectros
de aceleraciones y desplazamientos.
Sa: Espectro de respuesta elástico de aceleraciones (expresado como
fracción de la aceleración de la gravedad g). Depende del período o
modo de vibración de la estructura.
T: Período fundamental de vibración de la estructura.
To: Período límite de vibración en el espectro sísmico elástico de
aceleraciones que representa el sismo de diseño.
Tc: Período límite de vibración en el espectro sísmico elástico de
aceleraciones que representa el sismo de diseño.
Z: Aceleración máxima en roca esperada para el sismo de diseño,
expresada como fracción de la aceleración de la gravedad g.
r: Factor usado en el espectro de diseño elástico, cuyos valores
dependen de la ubicación geográfica del proyecto.
r = 1 para todos los suelos, con excepción del suelo tipo E
r = 1.5 para tipo de suelo E.
29
La normativa NEC-SE-DS-(Peligro sísmico), indica los valores de la relación de
amplificación espectral, η (S/Z, en roca), que varían en función de la región,
adoptando los siguientes valores:
Tabla 1. Valores de la relación de amplificación espectral, η
Región Valor η
Provincias de la Costa (excepto Esmeraldas) 1.80
Provincias de la Sierra, Esmeraldas y Galápagos 2.48
Provincias del Oriente 2.60
Fuente: Norma NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).
En el capítulo de Componentes horizontales de la carga sísmica de la NEC-SE-DS,
se menciona que: “El espectro de respuesta elástico de aceleraciones (Sa),
expresado como fracción de la aceleración de la gravedad, para el nivel del sismo
de diseño” está emparentado con los siguientes coeficientes:
a. Factor de zona sísmica.
b. Tipo de perfil del suelo de la zona.
c. Coeficientes de amplificación del suelo.
d. Factor de amortiguamiento.
a. Factor de zona sísmica (Z)
Los estudios realizados de microzonificación sísmica han hecho posible la
elaboración de mapas, en donde se pueden visualizar las zonas con mayor peligro
sísmico en todo el territorio ecuatoriano. Estas investigaciones han catalogado
al país como un lugar con alta amenaza sísmica.
Un estudio de microzonificación sísmica consiste en la identificación de zonas
geográficas, que muestren una respuesta semejante frente a un suceso sísmico,
valorando su peligrosidad para realizar recomendaciones de diseño sismo
resistente durante una planificación urbana.
30
Gráfico 16. Mapa de zonificación sísmica de Ecuador.
Fuente: NEC-SE-DS-Peligro Sísmico (2015).
Tabla 2. Valores del factor de zona sísmica Z.
Zona Sísmica I II III IV V VI
Valor Factor Z 0.15 0.25 0.30 0.35 0.40 > 0.50
Caracterización del Peligro Sísmico Intermedia Alta Alta Alta Alta Muy alta
Fuente: NEC-SE-DE-Peligro Sísmico.
El gráfico muestra las zonas del territorio ecuatoriano que están sujetas a una igual
aceleración sísmica (% g) mientras que, el cuadro detalla la caracterización del
peligro sísmico de cada zona. Cabe mencionar que, para la realización del mapa,
los investigadores consideran un período de retorno de 475 años.
b. Tipo de perfil del suelo de la zona
El perfil del suelo muestra un conjunto de cualidades físicas, químicas y mecánicas
propias de un suelo, que se clasifican en función de la estabilidad del depósito, de
su cohesión, de la velocidad media de la onda de cortante, entre otros parámetros.
La NEC ha clasificado a los suelos en función de las velocidades de ondas de corte,
en la tabla siguiente se indican los valores:
31
Tabla 3. Tipo de Perfil del suelo
Tipo de Perfil Descripción Definición
A Perfil de roca competente Vs ≥ 1500 [m/s]
B Perfil de roca de rigidez media 1500 > Vs ≥ 760 [m/s]
C Perfiles de suelos muy densos o roca blanda 760 > Vs ≥ 360 [m/s]
D Perfiles de suelos rígidos 360 > Vs ≥ 180 [m/s]
E Perfil que contiene un espesor total H mayor de 3m de
arcillas blandas Vs < 180 [m/s]
F Suelos licuables, arcillas sensitivas, suelos dispersivos,
Turbas y arcillas orgánicas, Arcillas de muy alta plasticidad. IP > 75
Fuente: NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).
c. Coeficientes de amplificación del suelo
Las ondas sísmicas que emergen del hipocentro de un terremoto se propagan por
todos los estratos de suelo, y en su recorrido sufren modificaciones en su amplitud,
duración y frecuencia. A este fenómeno se le da el nombre de Efecto de sitio o
Efecto local del suelo y tiende a amplificarse cuando la capa de suelo es blanda, lo
que involucra un mayor daño en las construcciones.
Para minimizar los perjuicios que ocasionare el fenómeno, se tomar en cuenta a los
coeficientes de amplificación del suelo:
• Coeficiente de amplificación del suelo en la zona de período corto (Fa).
- Incrementa las ordenadas del espectro de respuesta elástico de
aceleraciones, considerando los efectos de sitio.
Tabla 4. Factores de sitio Fa.
Tipo de Perfil del Subsuelo
Zona Sísmica Y Factor Z
I II III IV V VI
0.15 0.25 0.30 0.35 0.40 > 0.50 A 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 B 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 C 1.4 1.3 1.25 1.23 1.2 1.18 D 1.6 1.4 1.3 1.25 1.2 1.12 E 1.8 1.4 1.25 1.1 1.0 0.85
F Revisar norma NEC-SE-DS- Clasificación de los perfiles de suelo
Fuente: NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).
32
• Coeficiente de amplificación del suelo (Fd). - Incrementa las ordenadas
del espectro de respuesta elástico de desplazamiento, considerando los
efectos de sitio.
Tabla 5. Factores de sitio Fd.
Tipo de Perfil del Subsuelo
Zona Sísmica y Factor Z
I II III IV V VI
0.15 0.25 0.30 0.35 0.40 > 0.50 A 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 B 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 C 1.36 1.28 1.19 1.15 1.11 1.06 D 1.62 1.45 1.36 1.28 1.19 1.11 E 2.1 1.75 1.7 1.65 1.6 1.5
F Revisar norma NEC-SE-DS- Clasificación de los perfiles de suelo
Fuente: NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).
• Comportamiento no lineal del suelo (Fs). – El valor del coeficiente es
dependiente de la velocidad de propagación de ondas en el suelo y que
consideran el comportamiento no lineal de los suelos.
Tabla 6. Factores de sitio Fs.
Tipo de Perfil del Subsuelo
Zona Sísmica y Factor Z
I II III IV V VI
0.15 0.25 0.30 0.35 0.40 > 0.50
A 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 B 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 C 0.85 0.94 1.02 1.06 1.11 1.23 D 1.02 1.06 1.11 1.19 1.28 1.40 E 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
F Revisar norma NEC-SE-DS- Clasificación de los perfiles de suelo
Fuente: NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).
d. Factor de amortiguamiento
Se entiende al amortiguamiento como una fuerza contraria al movimiento para que
un cuerpo no vibre indefinidamente, reduciendo la intensidad de vibración de forma
progresiva hasta llegar a un estado estático.
33
En el caso de las edificaciones, las fuerzas de amortiguamiento se oponen a las
fuerzas laterales externas que causan los sismos o vientos fuertes, produciéndose
una reducción de su vibración. Las formas de disipación de energía son:
• Generación de calor: debido a cargas y descargas cíclicas de los elementos
estructurales o a causa de la fricción interna por deformación.
• Fricción entre las conexiones de los elementos.
• Apertura y cierre de micro grietas en el concreto.
• Fricción entre los elementos no estructurales.
Es un hecho que en el estado actual de conocimientos resulta muy complejo
modelar matemáticamente todos los mecanismos de disipación de energía de
vibración actuantes en un sistema, razón por la cual se recomienda adoptar un valor
de amortiguamiento del 5 % respecto al crítico.
2.3.10 Cortante Basal de diseño “V”
La NEC lo define como la “fuerza total de diseño por cargas laterales, aplicada en
la base de la estructura, resultado de la acción del sismo de diseño con o sin
reducción, de acuerdo con las especificaciones de la presente norma”. El cortante
basal es igual al producto del coeficiente de diseño sísmico por el peso reactivo de
la estructura. La expresión utilizada en la determinación del cortante basal es:
r = s ∗ fg(mg)u ∗ vw ∗ vx ∗ y (18)
Donde:
I = Coeficiente de Importancia
Sa (Ta) = Espectro de diseño en aceleración
R = Factor de Reducción de resistencia sísmica
Øp = Coeficiente de Configuración Estructural en planta
Øe = Coeficiente de Configuración Estructural en elevación
W = Carga Sísmica Reactiva
V = Cortante Basal Total de Diseño
Ta = Período de Vibración
34
2.3.10.1 Coeficiente de Importancia “I”
Aumenta la solicitud sísmica en el diseño de estructuras, con el objeto de que
permanezcan resguardadas o que sufran daños menores durante y después de la
ocurrencia del sismo de diseño. Se clasifican en categorías correspondiéndoles
diferentes factores de importancia.
Tabla 7. Tipo de uso, destino e importancia de la estructura
Categoría Tipo de uso, destino e importancia “I”
Edificaciones esenciales
Hospitales, clínicas, Centros de salud o de emergencia sanitaria. Instalaciones militares, de
policía, bomberos, defensa civil. 1.5
Estructuras de ocupación especial
Museos, iglesias, escuelas y centros de educación o deportivos que
albergan más de trescientas personas 1.3
Otras estructuras Todas las estructuras de edificación y otras que no clasifican dentro de las categorías anteriores
1.0
Fuente: NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).
2.3.10.2 Factor de Reducción de resistencia sísmica “R”
Reduce la ordenada elástica espectral, disponiendo un buen comportamiento
inelástico durante el sismo de diseño. De esta manera, se logra una ductilidad y
disipación de energía adecuada que impidan el colapso de la estructura.
Tabla 8. Coeficiente R para sistemas estructurales
Sistemas Estructurales Dúctiles “R”
Sistemas Duales
- Pórticos especiales sismo resistentes, de hormigón armado con vigas descolgadas y con muros estructurales de hormigón armado o con diagonales rigidizadoras (sistemas duales).
8
- Pórticos especiales sismo resistentes de acero laminado en caliente, sea con diagonales rigidizadoras (excéntricas o concéntricas) o con muros estructurales de hormigón armado.
8
- Pórticos con columnas de hormigón armado y vigas de acero laminado en caliente con diagonales rigidizadoras (excéntricas o concéntricas).
8
35
- Pórticos especiales sismo resistentes, de hormigón armado con vigas banda, con muros estructurales de hormigón armado o con diagonales rigidizadoras.
7
Pórticos Resistentes a Momentos
- Pórticos especiales sismo resistentes, de hormigón armado con vigas descolgadas.
8
- Pórticos especiales sismo resistentes, de acero laminado en caliente o con elementos armados de placas.
8
- Pórticos con columnas de hormigón armado y vigas de acero laminado en caliente.
8
Otros Sistemas Estructurales para Edificaciones
- Sistemas de muros estructurales dúctiles de hormigón armado. 5
- Pórticos especiales sismo resistentes de hormigón armado con vigas banda. 5
Fuente: NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).
Sistemas Estructurales de Ductilidad Limitada “R”
Pórticos Resistentes a Momentos
- Hormigón Armado con secciones de dimensión menor a la especificada en la NEC-SE-HM, limitados a viviendas de hasta 2 pisos con luces de hasta 5metros.
3
- Hormigón Armado con secciones de dimensión menor a la especificada en la NEC-SE-HM con armadura electro soldada de alta resistencia
2,5
- Estructuras de acero conformado en frío, aluminio, madera, limitados a 2 pisos.
2,5
Muros Estructurales Portantes
- Mampostería no reforzada, limitada a un piso. 1
- Mampostería reforzada, limitada a 2 pisos. 3
- Mampostería confinada, limitada a 2 pisos. 3
- Muros de hormigón armado, limitados a 4 pisos. 3
Fuente: NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).
36
2.3.10.3 Coeficiente de configuración estructural en planta “ Øp” y en elevación “Øe”
El valor de los coeficientes se adopta en función de los tipos de irregularidades que
presente la edificación tanto en planta como en elevación. Cuando una estructura
no contempla ninguno de los tipos de irregularidades descritos, se toma el valor de
1.
Tabla 9. Coeficientes de irregularidad en planta
Tipo Configuración Estructural en planta “Øp”
1 Irregularidad Torsional 0.9
2 Retrocesos excesivos en las esquinas 0.9
3 Discontinuidades en el sistema de piso 0.9
4 Ejes estructurales no paralelos 0.9
Fuente: Norma NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).
Tabla 10. Coeficientes de irregularidad en elevación
Tipo Configuración Estructural en elevación “Øe”
1 Piso flexible 0.9
2 Distribución de masa 0.9
3 Irregularidad Geométrica 0.9
Fuente: Norma NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).
2.3.10.4 Carga sísmica reactiva “W”
La sumatoria del peso propio y peso permanente de una estructura da como
resultado la carga muerta total, que se la puede definir como la carga sísmica
reactiva. Así se tiene:
• Para el caso general se utiliza:
W = D (19)
37
• En casos especiales como son las bodegas y almacenajes se utiliza:
W = D + 0.25 Li (20)
Donde:
W: Carga Sísmica Reactiva
D: Carga muerta total de la estructura.
Li: Carga viva del piso i.
2.3.10.5 Ajuste del corte basal de los resultados obtenidos por el análisis dinámico
Se restringe el valor del cortante dinámico total en la base, definida mediante
cualquier método de análisis dinámico, con las siguientes disposiciones:
• Para estructuras regulares: El valor del cortante basal dinámico total no será
menor que el 80 % del cortante basal estático.
• Para estructuras irregulares: El valor del cortante basal dinámico total no
será menor que el 85 % del cortante basal estático.
2.3.10.6 Determinación del período de vibración “T”
Siguiendo el procedimiento de cálculo de fuerzas sísmicas estáticas de la sección
6.3.3 del Capítulo Peligro Sísmico de la NEC, el cálculo del período de vibración
de la estructura, puede realizarse mediante 2 métodos:
a. Método 1
Utilizando la siguiente expresión: m = z!{0| (21)
Donde:
T = Período de vibración aproximado
Ct = Coeficiente dependiente del tipo de edificio
38
hn = Altura máxima de la edificación de n pisos, medida desde la base de la
estructura, en metros
ɑ = Impedancia del semi espacio α = ρsVs / ρ0V0
Los coeficientes “Ct” y “α”, dispuestos en el cálculo del cortante basal de diseño se
indican a continuación:
Tabla 11. Valores para Ct y α.
Tipo de Estructura C α
Estructuras de Acero
• Sin arriostramientos 0.072 0.80
• Con arriostramientos 0.073 0.75
Pórticos Especiales de Hormigón Armado
• Sin muros estructurales ni diagonales rigidizadoras. 0.055 0.90
• Con muros estructurales o diagonales rigidizadoras y para otras estructuras basadas en muros estructurales y mampostería estructural.
0.055 0.75
Fuente: Norma NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).
b. Método 2
Se puede calcular el período de vibración teniendo en cuenta las propiedades
estructurales y las características de deformación de los elementos resistentes,
llevando a cabo un análisis apropiado y sustentado. Se plantea la siguiente
expresión:
mg = }~, ∑ ����}0���� ∑ ���0��� (22)
Donde: �*: Representa cualquier distribución aproximada de las fuerzas
laterales en el piso i, de acuerdo con los principios descritos en el
presente capítulo, o cualquiera otra distribución racional. �*: Deflexión elástica del piso i, calculada utilizando las fuerzas
laterales fi
39
�*: Peso aginado al piso o nivel i de la estructura, siendo una fracción de
la carga reactiva W (incluye la fracción de la carga viva
correspondiente) peso: w / cargas: W
En este punto se debe aclarar que el valor de T obtenido mediante el método 2, no
debe superar en un 30% al valor de T calculado con el método 1.
2.3.10.7 Control de la deriva de piso
Reyes (1999), establece que “la deriva de piso se define como el cociente entre el
desplazamiento relativo del piso en cuestión con respecto al piso inferior
consecutivo y la altura de entrepiso”. En otras palabras, la deriva de piso se calcula
mediante la resta del desplazamiento del extremo superior de un piso con el
desplazamiento del extremo inferior.
La deriva es un indicador muy utilizado en el diseño y control de edificios, tal es el
caso que la NEC establece cumplir con un control de deformaciones, llevando a
cabo el cálculo de derivas inelásticas máximas de piso, proponiendo la siguiente
expresión:
∆$= ". �o u ∆x (23)
Donde: ∆�: Deriva máxima inelástica. ∆�: Desplazamiento obtenido en aplicación de las fuerzas laterales de
diseño reducidas.
R: Factor de reducción de resistencia.
El valor que se obtenga del cálculo de ∆�, no debe superar a los valores que se
indican en la siguiente tabla, los mismos que deben satisfacerse para cada nivel del
edificio.
40
Tabla 12. Deriva máxima inelástica
Estructura ∆M (adimensional)
Hormigón armado, estructuras metálicas y de madera. 0.02
De mampostería 0.01
Fuente: Norma NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).
En caso de no cumplir con el requisito establecido, el diseñador debe modificar la
modelación, aumentando o disminuyendo las secciones de los elementos
estructurales, utilizando el criterio más acertado para satisfacer todas las
condiciones establecidas en la norma.
La tabla 13 actualizada de Aguiar (2008), detalla las ecuaciones utilizadas en países
vecinos, donde se muestran además los valores del factor R para el caso específico
de pórticos resistentes a momentos conformado por columnas y vigas descolgadas
de hormigón armado. Se considera que si el tipo de espectro es último, no requiere
la mayoración de la acción sísmica en las combinaciones de carga.
Tabla 13. Deriva máxima inelástica
País Norma Factor “R”
Tipo de Espectro
Deriva de piso
máxima
Tipo de análisis
Deriva Máxima
Inelástica
Ecuador NEC-15 6 Servicio 0,020 Inelástico 0.75 V ∆�
Perú E.030 8 Servicio 0,007 Inelástico 0.75 V ∆�
Colombia NSR-10 5 Último 0,010 Inelástico V ∆�
Venezuela COVENIN 6 Último 0,018 Inelástico 0.8 V ∆�
Chile NCh 433-96 11 Servicio 0,001 Elástico -
Fuente: Aguiar (2008) - Actualizado.
Si se compara la exigencia de derivas inelásticas máximas de normativas de países
vecinos, se puede evidenciar que la NEC es más tolerante durante el cumplimiento
del control de deformaciones.
41
2.4 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL
Debido a una de las limitaciones del Análisis Modal Espectral señaladas en la
sección 2.3.3, que indica que el método espectral únicamente obtiene el valor
máximo de respuesta sin considerar en qué instante de tiempo se produce, se da la
necesidad de plantear ciertas hipótesis sobre la suma de los máximos de los distintos
modos obtenidos. A continuación se presentan las metodologías más empleadas en
la actualidad:
2.4.1 Criterio de la Combinación Cuadrática Completa (CQC)
El método C.Q.C. por sus siglas en ingles Complete Quadratic Combination fue
desarrollado por Wilson, Der Kioreghian y Bayo (1981). Este método toma en
cuenta la posibilidad de acoplamiento entre los modos de vibración utilizando
coeficientes de correlación �*�, que son funciones de la duración y del contenido de
la frecuencia, así como del amortiguamiento modal de la estructura.
PF = � � �*� ∗ P* ∗ P�;
��9;
*�9 (24)
�*� = 8 �F(1 + `)`9.�(1 − `F)F + 4 �F`(1 + `)F
` = (1�(1* �*� = 8��*����* + `���`9.�(1 − `F)F + 4 �*�� ` (1 + `)F + 4 �*F + ��F�`F
Donde: �*�: Coeficientes de acoplamiento modal PL, P�: Respuestas máximas para los modos i y j `: Relación entre las frecuencias de vibración de los modos i, j.
ξ: Coeficiente de amortiguamiento de los modos i y j
Cuando las frecuencias de los n modos de vibración están bastante separados, el
criterio de la combinación cuadrática completa, proporciona valores similares al
criterio del máximo valor probable.
42
2.4.2 Criterio del Máximo Valor Probable (SRSS)
La segunda regla de combinación modal (SRSS - Square Root Sum of Squares),
por su simplicidad de cálculo es uno de los más utilizados; obteniendo la respuesta
total del sistema al calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las
respuestas máximas de cada modo.
El criterio del valor máximo probable fue desarrollado por E. Rosenblueth en su
tesis doctoral (Rosenblueth, 1951) y se obtiene a través de:
l = ��(l�)}���� (25)
Donde:
r = Respuesta total del sistema
ri = Máxima respuesta del modo i
N = Número de modos que se consideran en la respuesta.
El SSRS proporciona resultados confiables siempre y cuando los períodos de los n
modos de vibración considerados difieran entre si más de un 10%. Utilizar este
criterio cuando no se cumple esta condición, puede llevar a subestimar la respuesta.
2.4.3 Criterio de la Suma absoluta (Absolute)
El método de combinación modal conocida como Valor Absoluto (ABS), realiza la
suma directa de las respuestas máximas de cada modo de vibrar entregando un valor
muy alto y conservador.
l = �|l�|���� (26)
Donde:
r = Respuesta total del sistema.
ri = Máxima respuesta del modo i.
43
2.4.4 Criterio Combinación Modal General (GMC)
El método de combinación modal general (GMC) fue desarrollado por Gupta
(1990). Este método toma en cuenta el acoplamiento estadístico entre modos
espaciados-cercanos similar al método CQC, pero también incluye la correlación
entre modos con contenido respuesta-rígida. El método GMC, requiere que se
especifiquen dos frecuencias f1 y f2 las cuales definen la respuesta rígida contenida
en el movimiento del suelo.
Estos deben satisfacer 0 < f1 < f2. Las partes de la respuesta-rígida de todos los
modos son asumidos siendo perfectamente correlativos. El método GMC asume
una respuesta no rígida debajo de la frecuencia f1, completamente rígido encima la
frecuencia f2, y una interpolación de porcentaje de respuesta rígida para frecuencias
f1 y f2.
2.4.5 Criterio del NRC 10 %
El método fue presentado por la Comisión de Regulación Nuclear estadounidense
(Nuclear Regulation Commission), el cual toma un acoplamiento positivo entre
todos los modos de cuyas frecuencias difieren entre sí, en un 10% o menos de la
más pequeña de las dos frecuencias.
2.4.6 Criterio de la Doble suma
Este criterio considera las frecuencias de vibración en los modos i, j y el porcentaje
de amortiguamiento ξ:
PF = �(P*)F;*�9 + � � P* P�1 + �*�F
;��9
;*�9 (27)
�*� = �1 − �� ∗ (1* − (1�(1* + (1�
Donde:
Wni, Wnj: Frecuencias de vibración de los modos i, j.
ξ : P Porcentaje de amortiguamiento para cada modo de vibración.
44
El criterio de la doble suma también presenta una ecuación en función del tiempo
de duración del sismo que se ha denominado s. En este caso, se tiene:
�*� = (\* − (\��*́(\* + ��́(\�
(\* = (1*�1 − �*F
�*́ = 2M ∗ ()L (28)
Este criterio considera la proximidad entre los valores de las frecuencias de los
modos que contribuyen a la respuesta, la fracción del amortiguamiento y la duración
del sismo. Este criterio es adecuado para el análisis sísmico de Presas.
Las seis combinaciones modales antes descritas son las que aparecen definidas en
el software ETABS V 15.0.0, que es el programa a utilizar para el desarrollo de éste
análisis; sin embargo, existen otras formas de combinación modal propuestas por
varios autores. A continuación se presentan algunas de ellas:
2.4.7 Criterio propuesto de Alejandro Gómez
La combinación propuesta por Alejandro Gómez en 2002 integra los criterios de la
combinación del máximo probable y de la suma de absolutos, con la siguiente
ecuación:
P = �� P*F + ��(P*);*�9 �F;
*�9 (29)
Donde:
r = Respuesta total del sistema.
ri = Máxima respuesta del modo i.
45
2.4.8 Combinación propuesta por el Laboratorio de Investigación Naval
(NRL)
El NRL (Naval Research Laboratory) igualmente combina el criterio del máximo
absoluto con el del máximo probable, pero solamente toma en consideración el
valor absoluto del primer modo, en vista de ser el más crítico:
P = |P*| + �� P*F;
*�F − P9F (30)
Donde:
r = Respuesta total del sistema.
ri = Máxima respuesta del modo i.
2.4.9 Combinación de la Norma Técnica de Guatemala
La Norma Técnica del Guatemala (1996) combina un 50% del criterio de la suma
directa y 50% del criterio del valor máximo probable.
P = 0.50 �|P*|;*�9 + 0.50�� P*F
;*�9 (31)
Donde:
r = Respuesta total del sistema.
ri = Máxima respuesta del modo i.
2.4.10 Combinación Grouping Method (GRP)
Fue presentado en 1976 por la U.S. Nuclear Regulatory Comission en USNRC
Regulatory Guide dentro del estudio “Combining Modal Responses and Spatial
Components in Seismic Response Analysis”:
P = �� � �*� P*P� ;��9
;*�9
(32)
46
�*� = ¡1.0 ML ¢(1� − (1*(1* ¢ ≤ 1 0.0 ML ¢(1� − (1*(1* ¢ > 1 £
Ahora bien, el software Etabs en su versión 15.0.0 facilita seis criterios de
combinación modal sin poner limitación alguna para emplear cualquiera de ellas.
Las combinaciones modales que contiene el programa son:
• Criterio de la Combinación Cuadrática Completa (CQC)
• Criterio del Máximo Valor Probable (SRSS)
• Criterio de la Suma absoluta (ABSOLUTE)
• Criterio Combinación Modal General (GMC)
• Criterio del NRC 10 %
• Criterio de la Doble suma
Gráfico 17. Criterios de combinación modal y combinación direccional Fuente: Etabs V 15.0.0
47
2.5 NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓN Y COMBINACIONES
MODALES
2.5.1 Número de modos de vibración según la NEC-15
Según la NEC-SE-DS-(Peligro Sísmico), sección 6.2.2 Procedimientos dinámicos
de cálculos de las fuerzas sísmicas, en el literal e) Procedimiento 1. Análisis
Espectral, con referencia al número de modos expresa:
Número de Modos
Se deben considerar en el análisis:
• Todos los modos de vibración que contribuyan significativamente a la
respuesta total de la estructura, mediante los varios períodos de vibración,
• Todos los modos que involucren la participación de una masa modal
acumulada de al menos el 90% de la masa total de la estructura, en cada
una de las direcciones horizontales principales consideradas.
Combinación de modos
Cuando se utilicen modelos tri-dimensionales, los efectos de interacción modal
deben ser considerados cuando se combinen los valores modales máximos.
2.5.2 Número de modos de vibración según el CEC-2000
Según el Código Ecuatoriano de la Construcción (CEC-2000), sección 6.11.5
Análisis Dinámico Espectral, en el numeral 6.11.5.2 y 6.115.3 con referencia al
número de modos de vibración expresaba:
Número de modos:
El requerimiento de que se utilicen en el análisis todos los modos de vibración que
contribuyan significativamente a la respuesta total de la estructura, puede
satisfacerse al utilizar todos los modos que involucren la participación de una masa
modal acumulada de al menos el 90% de la masa total de la estructura, en cada
una de las direcciones horizontales principales consideradas.
48
Combinación de modos:
Las fuerzas máximas en elementos, los desplazamientos, cortantes de piso, fuerzas
cortantes y reacciones máximas para cada modo, se combinarán utilizando
métodos reconocidos por la dinámica estructural. Cuando se utilicen modelos tri-
dimensionales, los efectos de interacción modal deben ser considerados cuando se
combinen los valores modales máximos.
Dicho esto, en referencia al número de modos de vibración se observa que tanto la
NEC-15 como el CEC-2000 expresan exactamente lo mismo, es decir, que en el
análisis se debe considerar todos los modos de vibración que contribuyan
significativamente a la respuesta total de la estructura hasta que involucren la
participación de una masa modal acumulada de al menos el 90% de la masa total
de la estructura, en cada una de las direcciones horizontales principales
consideradas.
Esto da a conocer que desde años anteriores (año 2000 aproximadamente) ya se
disponía de una normativa que indicaba las especificaciones básicas para el
cálculo y diseño sismo-resistente de edificaciones, pero que no era aplicada en su
totalidad por los profesionales de la construcción, debido a la inexistencia de un
control en la revisión y aprobación de proyectos por parte de entidades
correspondientes.
A partir del sismo ocurrido en la ciudad de Quito, el 12 de agosto de 2014 con una
magnitud de 5.1 grados en la escala de Richter, el Municipio del DMQ a través de
la Entidad Colaboradora del Colegio de Arquitectos del Ecuador (CAE) ha
incrementado la rigurosidad en la revisión y aprobación de proyectos, rigiéndose a
lo establecido en la normativa vigente NEC-15.
Con respecto a los criterios de combinación modal, la CEC-2000 establecía que se
utilicen métodos reconocidos por la dinámica estructural y la NEC-15 indica que
cuando se utilicen modelos tridimensionales se combinen los valores máximos
modales; en ambos casos, no se define el criterio de combinación a utilizar,
dejando a libre elección del diseñador el criterio que crea más conveniente.
49
2.6 NORMAS INTERNACIONALES, REFERENTES A LOS MODOS DE
VIBRACIÓN Y COMBINACIONES MODALES.
2.6.1 Norma Colombiana. (Norma Sismo-Resistente NSR-10)
A.5.4.2 Número de Modos de Vibración.
Deben incluirse en el análisis dinámico todos los modos de vibración que
contribuyan de
una manera significativa a la respuesta dinámica de la estructura. Se considera
que se ha cumplido este requisito cuando se demuestra que, con el número de
modos empleados, p, se ha incluido en el cálculo de la respuesta, de cada una de
las direcciones horizontales de análisis, j, por lo menos el 90% de la masa
participante de la estructura. La masa participante, $¤¥¥¥¥ en cada una de las
direcciones de análisis, j, para el número de modos empleados, p, se determina por
medio de las siguientes ecuaciones:
$¦ § = � $¦ ¨§ ≥ ". ª" $k¨��
$¦ ¨§ = �∑ ¨���§̈0��� �}∑ ¨����§̈ �}0��� (33)
Donde:
p = Número total de modos utilizado en el análisis modal de la estructura.
j = Índice de una de las direcciones ortogonales principales en planta, (x o
y). �¦�= Masa actuante total de la edificación en la dirección j. �¦«�= Masa efectiva modal del modo m en la dirección j. 3*�« = Amplitud de desplazamiento del nivel i de la edificación, en la
dirección j, cuando está vibrando en el modo m.
50
A.5.4.4 Combinación de los modos.
Las respuestas máximas obtenidas para cada modo, m, de las deflexiones, derivas,
fuerzas en los pisos, cortantes de piso, cortante en la base y fuerzas en los
elementos, deben combinarse utilizando métodos apropiados y debidamente
sustentados, tales como el de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados u otros.
Debe tenerse especial cuidado cuando se calculen las combinaciones de las
derivas, calculando la respuesta máxima de la deriva causada por cada modo
independientemente y combinándolas posteriormente. No es permitido obtener las
derivas totales a partir de deflexiones horizontales que ya han sido combinadas.
Cuando se utilicen modelos matemáticos de análisis tridimensional deben tenerse
en cuenta los efectos de interacción modal, tales como la combinación cuadrática
total.
2.6.2 Norma Peruana (Norma E.030 Diseño Sismo-Resistente)
18.2. Análisis por combinación modal espectral.
Modos de Vibración
Los períodos naturales y modos de vibración podrán determinarse por un
procedimiento de análisis que considere apropiadamente las características de
rigidez y la distribución de las masas de la estructura.
Criterios de Combinación
Mediante los criterios de combinación que se indican, se podrá obtener la
respuesta máxima esperada r tanto para las fuerzas internas en los elementos
componentes de la estructura, corno para los parámetros globales del edificio
como fuerza cortante en la base, cortantes de entrepiso, momentos de volteo,
desplazamientos totales y relativos de entrepiso.
La respuesta máxima elástica esperada r correspondiente al efecto conjunto de los
diferentes modos de vibración empleados (ri ) podrá determinarse usando la
siguiente expresión:
51
l = ". }o ∗ �|l�| + ". �o�� l�}¨
���¨
��� (34)
Alternativamente, la respuesta máxima podrá estimarse mediante la combinación
cuadrática completa de los valores calculados para cada modo.
En cada dirección se considerarán aquellos modos de vibración cuya suma de
masas efectivas sea por lo menos el 90% de la masa de la estructura, pero deberá
tornarse en cuenta por lo menos los tres primeros modos predominantes en la
dirección de análisis.
2.6.3 Norma Chilena (Nch433)
6.3 Análisis modal espectral
6.3.1 Este método se puede aplicar a las estructuras que presenten modos
normales de vibración clásicos, con amortiguamientos modales del orden de 5%
del amortiguamiento crítico.
6.3.2 Una vez determinados los períodos naturales y modos de vibrar, las masas
equivalentes para cada modo n están dadas por las siguientes expresiones:
�1¬ = 1¬F�1
�1® = 1®F�1
�1¯ = 1¯F�1
(35)
En que: 1¬ = 2∅14°?�@2P¬4 1® = 2∅14°?�@±P®² 1¯ = 2∅14°?�@2P̄ 4
(36)
52
�1 = 2∅14°?�@2∅14
6.3.3 Se debe incluir en el análisis todos los modos normales ordenados según
valores crecientes de las frecuencias propias, que sean necesarios para que la suma
de las masas equivalentes para cada una de las dos acciones sísmicas sea mayor o
igual a un 90% de la masa total.
• Criterios de Combinación Modal
6.3.6.2 La superposición de los valores máximos modales se debe hacer mediante
la expresión:
³ = �� � � § ´�§³� ³§ (37)
En que las sumas µ* S µ� son sobre todos los modos considerados; los coeficientes
de acoplamiento modal �*� se deben determinar por uno de los métodos
alternativos siguientes:
a) El Método CQC
�*� = 8�FP:/F(1 + P)(1 − P)F + 4�FP(1 + P) (38)
En que:
P = -*-�
� = Razón de amortiguamiento, uniforme para todos los modos de
vibrar, que se debe tomar igual a 0.05.
53
b) El Método CQC con ruido blanco filtrado por un suelo con característica
To.
�· = �∗ ML °¸°¹ ≥ 1,35
�· = 1 − 0,22(1 − �∗) »¼N] ^-*-·_ + 2½F ML -*-· < 1,35 (39)
En que ́ ∗ está dado por:
�∗ = 0 ML °¸°¿ ≥ 1,25
�· = 1 + 4 �1 − -*-�� ML -*-� < 1,25 (40)
En las expresiones (40) y (41) se debe tomar m� > m§.
2.6.4 Norma Mexicana (Norma Técnicas Complementarias para Diseño
por Sismo)
9.1 Análisis modal
Cuando en el análisis modal se desprecie el acoplamiento entre los grados de
libertad de traslación horizontal y de rotación con respecto a un eje vertical, deberá
incluirse el efecto de todos los modos naturales de vibración con período mayor o
igual a 0.4 segundos (T ≥ 0.4s), pero en ningún caso podrán considerarse menos
de los tres primeros modos de vibrar en cada dirección de análisis, excepto para
estructuras de uno o dos niveles.
Si en el análisis modal se reconoce explícitamente el acoplamiento mencionado,
deberá incluirse el efecto de los modos naturales que, ordenados según valores
decrecientes de sus períodos de vibración, sean necesarios para que la suma de los
pesos efectivos en cada dirección de análisis sea mayor o igual a 90 % del peso
total de la estructura. Los pesos modales efectivos, Wei, se determinarán como:
yÀ� = (2∅�4m?y@2Á4)}2∅�4m?y@2∅�4 (41)
54
Donde:
{ϕi} es el vector de amplitudes del i–ésimo modo natural de vibrar de la
estructura,
[W] la matriz de pesos de las masas de la estructura
{J} un vector formado con “unos” en las posiciones correspondientes a los
grados de libertad de traslación en la dirección de análisis y “ceros” en las
otras posiciones.
• Criterios de Combinación Modal
Las respuestas modales Si (donde Si puede ser fuerza cortante, desplazamiento
lateral, momento de volteo, u otras), se combinarán para calcular las respuestas
totales S de acuerdo con la expresión:
f = �� f�} (42)
Siempre que los períodos de los modos naturales en cuestión difieran al menos 10%
entre sí. Para las respuestas en modos naturales que no cumplen esta condición se
tendrá en cuenta el acoplamiento entre ellos.
2.6.5 Norma Venezolana (Comisión Venezolana de Normas Industriales
- Edificaciones Sismo resistentes)
9.4.4 Número de Modos de Vibración
En cada dirección, el análisis debe por lo menos incorporar el número de modos
N1 que se indica a continuación:
a. para edificios con menos de 20 pisos:
R9 = 12 ^ -9- ∗ − 1.5_ + 3 ≥ 3 (43)
b. para edificios con 20 pisos o más:
R9 = 23 ^ -9- ∗ − 1.5_ + 4 ≥ 4 (44)
55
Donde:
T1 = Período del modo fundamental.
T* = Valor máximo del período en el intervalo donde los espectros
normalizados tienen un valor constante, en segundos.
Los valores N1 deben redondearse al entero inmediato superior. Para estructuras
de menos de 3 pisos, el número de modos a incorporar es igual al número de pisos.
9.4.5 Criterios de Combinación Modal
El corte basal y la fuerza cortante en cada nivel se determinarán por combinación
de los respectivos valores modales. La combinación se llevará a cabo tomando la
raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada valor modal o por la
combinación cuadrática completa. A partir de las fuerzas cortantes se obtendrán
las fuerzas concentradas en cada nivel, las cuales se aplicarán en los respectivos
centros de masa.
2.6.6 Norma Brasileña (Asociación Brasileña de Normas Técnicas)
10 Análisis sísmico por el método espectral
10.1 Número de modos a ser considerado
El número de modos para ser consideradas en el análisis espectral debe ser
suficiente para capturar al menos 90 % de la masa total en cada una de las
direcciones ortogonales consideradas en el análisis.
10.3 Combinación de respuestas modales
Las respuestas elásticas finales se pueden combinar por la regla de la raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados de respuestas obtenidas en cada modo de
vibración. En el caso de la proximidad entre las frecuencias de los modos Vibración
(aparte propias frecuencias de menos de 10 % del mismo valor), debe aplicarse la
regla de combinación más precisa, para considerar los efectos de la proximidad
entre los modos.
56
En cuanto a las respuestas elásticas debido a terremotos aplicadas en diferentes
direcciones ortogonales, las respuestas finales también deben ser obtenidas de la
raíz cuadrada de la regla de la suma de los cuadrados de respuestas obtenidas en
cada dirección.
Resumen
Con excepción de la normativa venezolana, se evidencia que el requerimiento en
cuanto al número de modos de vibración planteado por las normas de países vecinos
es similar a la NEC; todas ellas concuerdan que el número de modos de vibración
se define cuando la masa participativa en cada uno de las direcciones analizadas
“X” e “Y” alcanza el 90% del total de la masa estructural, inclusive la norma de
Brasil que es considerada como un territorio de bajo riesgo sísmico. Donde la
actividad sísmica es menor.
En lo que respecta al criterio de combinación modal, haciendo un balance entre
todas las implicadas en la investigación, la combinación modal más empleada es la
que sugiere el método del máximo valor probable “SRSS” tomando la raíz cuadrada
de la suma de los cuadrados de cada valor modal.
La NEC no especifica ningún tipo de combinación modal, la más sugerida por los
profesionales ha sido la que viene definida por defecto en el software de modelación
Etabs y que hace referencia al método CQC. Otros han mencionado que durante
una modelación, en la que se incluya mampostería, se recomienda utilizar el método
de Doble Suma ya que este arroja resultados más acertados de cada valor modal, lo
cual es influyente en la determinación y aceptación de las derivas inelásticas.
En los foros de ingeniería se aconseja utilizar el método CQC para estructuras con
irregularidades en planta y en elevación, mientras que el método SRSS se utilice en
edificaciones simétricas.
Dicho esto, queda abierto el debate entre profesionales para establecer la
combinación modal que se tiene que utilizar en el país, recordando que Chile, Perú,
Colombia, Venezuela, México y Brasil son naciones que tienen definido su método
de combinación modal, motivo suficiente para establecer una propia.
57
Más adelante en la investigación emplearemos en los mismos modelos, diferentes
combinaciones modales para determinar cuáles de ellos desarrolla valores más
críticos y proponer la utilización de alguno de ellos, pero nuevamente se deja a
criterio del profesional el elegir la combinación más eficiente.
58
CAPÍTULO III
ANÁLISIS Y DISEÑO DE LAS ESTRUCTURAS
3. Xxxxx
3.1 PREDISEÑO DE LAS ESTRUCTURAS
Se analizan estructuras regulares e irregulares de hormigón armado de tres, seis y
doce pisos (tres de cada una, nueve en total), todas ellas destinadas a viviendas y
tomando como referencia de emplazamiento el Distrito Metropolitano de Quito.
Para el estudio se emplea el método modal espectral.
3.1.1 Geometría y Uso
Se detallan las características geométricas de los elementos estructurales y el uso
de cada edificación.
Tabla 14. Características de los elementos estructurales
Elemento estructural Estructura
3 Pisos 6 Pisos 12 Pisos
Hormigón
Columnas Rectangulares Rectangulares Rectangulares
Vigas Descolgadas Descolgadas Descolgadas
Losas Alivianadas Alivianadas Alivianadas
Uso estructural Vivienda Vivienda Vivienda
Fuente: Elaborado por autores
En este punto, es muy importante señalar la finalidad o uso de las estructuras, con
el objeto de definir apropiadamente las cargas actuantes (carga viva y carga
permanente). Los valores de cargas se pueden verificar en la norma NEC-SE-CG
(2015), cargas no sísmicas.
59
3.1.2 Materiales
En cuanto al valor del módulo de elasticidad del hormigón “Ec”, en el capítulo
Propiedades Mecánicas del Hormigón Armado de la NEC se establece que “En los
modelos elásticos de estructuras que se diseñan para acciones sísmicas de acuerdo
a los métodos de la NEC-SE-DS, el módulo de elasticidad del hormigón Ec (GPa),
será calculado para hormigones de densidad normal tal como sigue”:
 = 4.7 ��´ (45)
Donde:
Ec = Módulo de Elasticidad para el hormigón [GPa]
f´c = Resistencia a la compresión del hormigón [MPa]
Sin embargo, para la ciudad de Quito estudios realizados con agregados de la ciudad
y sus alrededores recomiendan utilizar la ecuación:
xn = �}��o � ´n (46)
Donde:
Ec = Módulo de Elasticidad para el hormigón [kg/cm2]
f´c = Resistencia a la compresión del hormigón [kg/cm2]
Para la modelación de las estructuras se utilizará la ecuación (46), ya que el análisis
está direccionado a edificaciones ubicadas en el Distrito Metropolitano de Quito
(DMQ). En la siguiente tabla, se muestra las propiedades del hormigón y del acero:
Tabla 15. Materiales de las estructuras
Material Propiedad Unidad Estructura
3 Pisos 6 Pisos 12 Pisos
Hormigón Resistencia a la
compresión [kg/cm2] 210 240 280
Acero
Límite de Fluencia [kg/cm2] 4218 4218 4218
Módulo de elasticidad [kg/cm2] 2038902 2038902 2038902
Fuente: Elaborado por autores
60
3.1.3 Espesor de Losa
Refiriéndonos a la norma ACI, se muestra la fórmula reducida, derivada de la
ecuación genérica, para la determinación de la altura mínima “t mín.” de la losa
alivianada:
� �í). = ) (800 + 0,0712�S)36000 ?m@ (47)
Donde:
Ln = Luz máxima entre columnas consecutivas [m]
Fy = Esfuerzo de fluencia del acero [kg/cm²]
Al valor de t mín. calculado, se le sumará la altura de la loseta de compresión, valor
que generalmente es de 5 cm.
La tabla 15 especifica distintas alturas de losas alivianadas y su equivalente a losas
macizas, con una modulación de nervios de 10 cm y bloques de 40 cm de longitud.
La tabla 16 muestra la luz máxima de los modelos estructurales y el valor
equivalente de losa maciza.
Tabla 16. Espesores de losa maciza equivalente
Altura losa alivianada [cm]
Equivalente losa maciza [cm]
15 10,88 20 14,50 25 18,06 30 21,54 35 24,96
Fuente: Análisis y Diseño de estructuras con ETABS – CAMICON (2009)
Tabla 17. Espesores de losa de modelos estructurales
Estructura 3 pisos 6 pisos 12 pisos
Luz máxima [m] 5,50 5,50 6,00
T mín. + 0.05 [cm] 22,00 22,00 23,00
Losa alivianada asumida [cm] 25,00 25,00 25,00
Equivalente losa maciza [cm] 18,06 18,06 18,06
Fuente: Elaborado por autores.
61
3.1.4 Columnas
Para el pre dimensionamiento de columnas se considerará lo siguiente:
• La sección de las columnas se puede estimar de acuerdo al número de pisos,
en otras palabras, en una estructura de 4 pisos se asume una sección de
40x40 [cm], en una de 7 pisos se asume una sección de 70x70 [cm]; teniendo
en consideración que el área de una columna no debe ser menor a 900 cm2
(30x30 cm).
• Las dimensiones de las columnas cuadradas (ancho y espesor) pueden
reducirse en máximo 10 cm por piso a medida que asciende de piso, es decir,
un edificio con 5 niveles tendrá en su primera planta columnas de 50x50
[cm]; en su segunda planta la sección no será menor de 40x40 cm.
Tabla 18. Dimensiones columnas de la estructura de 3 pisos
Nivel [m] Estructura de 3 pisos
Perimetrales [cm]
Centrales [cm]
Esquineras [cm]
N+2,70 45 * 45
N+5,40 45 * 45
N+8,10 45 * 45
Fuente: Elaborado por autores
Tabla 19. Dimensiones columnas de la estructura de 6 pisos
Nivel [m] Estructura de 6 pisos
Perimetrales [cm]
Centrales [cm]
Esquineras [cm]
N+2,70 50 * 50
N+5,40 50 * 50
N+8,10 40 * 40
N+10,80 40 * 40
N+13,50 35 * 35
N+16,20 35 * 35
Fuente: Elaborado por autores
62
Tabla 20. Dimensiones columnas de la estructura de 12 pisos
Nivel [m] Estructura de 12 pisos
Perimetrales [cm]
Centrales [cm]
Esquineras [cm]
N+3,00 65 * 65 80 * 80 65 * 65
N+6,00 65 * 65 75 * 75 65 * 65
N+9,00 65 * 65 70 * 75 65 * 65
N+12,00 60 * 60 70 * 70 60 * 60
N+15,00 60 * 60 65 * 65 60 * 60
N+18,00 60 * 60 60 * 60 60 * 60
N+21,00 50 * 50 50 * 60 50 * 50
N+24,00 50 * 50 50 * 60 50 * 50
N+27,00 50 * 50 50 * 50 50 * 50
N+30,00 40 * 40 50 * 50 40 * 40
N+33,00 40 * 40 4 0 *45 40 * 40
N+36,00 40 * 40 40 * 40 40 * 40
Fuente: Elaborado por autores
3.1.5 Vigas
Durante el pre-dimensionamiento de vigas, se determina previamente el peso de la
estructura, para ello se utiliza la siguiente ecuación:
( = 1,2 Æ + 1,6 ?Ton/m²@ (48)
Con el valor del peso de la estructura, se puede aplicar la fórmula empírica sugerida
por el Ing. Edison Chávez (calculista, consultor e instructor de la CAMICON) para
la determinación del momento máximo de la viga.
� = 0,07 ∗ ( ∗ 1F ∗ 2 ?Ton − m@ (49)
Para elegir los valores de L1 y L2, se analiza cuál es la losa de mayor área
delimitada por columnas consecutivas. Así, L1 será el lado mayor del área y L2 será
el lado menor. Posteriormente, se determina la altura de viga aplicando la siguiente
fórmula:
% = , �0,145 ∗ �Ë ∗ Ì ?cm@ (50)
El valor de la base de viga “b” se considera por lo general de 30 cm.
63
En los siguientes cuadros se particulariza las vigas utilizadas en los modelos
estructurales.
Tabla 21. Dimensiones de vigas estructura de 3 Pisos
Nivel [m] Estructura de 3 pisos
Base * Altura [cm]
N+2,70 30 * 40
N+5,40 30 * 40
N+8,10 30 * 40
Fuente: Elaborado por autores
Tabla 22. Dimensiones de vigas estructura de 6 Pisos
Nivel [m] Estructura de 6 pisos
Base * Altura [cm]
N+2,70 30 * 45
N+5,40 30 * 45
N+8,10 30 * 45
N+10,80 30 * 40
N+13,50 30 * 40
N+16,20 30 * 40
Fuente: Elaborado por autores
Tabla 23. Dimensiones de vigas estructura de 12 Pisos
Nivel [m] Estructura de 12 pisos
Base * Altura [cm]
N+3,00 40 * 60
N+6,00 40 * 60
N+9,00 35 * 60
N+12,00 35 * 60
N+15,00 35 * 55
N+18,00 35 * 55
N+21,00 35 * 50
N+24,00 35 * 50
N+27,00 35 * 40
N+30,00 35 * 40
N+33,00 30 * 40
N+36,00 30 * 40
Fuente: Elaborado por autores
64
3.2 CARGAS
La NEC en su capítulo Cargas No Sísmicas, exhibe varios valores de carga muerta
y viva, en función del material y uso respectivamente. Por otra parte, la estimación
de cargas queda a criterio y experiencia del profesional.
3.2.1 Carga Muerta
La carga muerta (D) se debe al peso propio de la estructura (PP) y al peso de los
elementos secundarios de la edificación (Permanente).
Peso propio (PP).- Corresponde únicamente al peso de los elementos estructurales.
Para la modelación de las estructuras no se considerará el peso propio, dado a que
el programa a utilizar ETABS lo calcula automáticamente.
3.2.2 Carga Permanente
Se hace relación a la carga permanente con el peso de los elementos secundarios de
la edificación, tales como: instalaciones eléctricas, mampostería, contrapisos,
recubrimientos, cielos y cubiertas. Para la modelación considerará un valor de 300
kg/m2.
Tabla 24. Carga Permanente
Carga Permanente
Material Valor Unidad
Masillado 30 [kg/m²]
Baldosa 20 [kg/m²]
Mampostería 200 [kg/m²]
Cielo raso 20 [kg/m²]
Instalaciones 30 [kg/m²]
Total 300 [kg/m²]
Fuente: Elaborado por autores
65
3.2.3 Carga Viva
La Norma Ecuatoriana de la Construcción en su capítulo Cargas No Sísmicas,
establece que para residencias el valor de carga viva es de 200 [kg/m²].
Tabla 25. Carga Viva
Carga Viva
Estructura Uso Carga Viva [kg/m²]
3 Pisos Vivienda 200
6 Pisos Vivienda 200
12 Pisos Vivienda 200
Fuente: Elaborado por autores
La carga viva y la carga permanente colocadas en la última planta son de 50 kg/m²,
por considerarse como losa inaccesible.
3.2.4 Carga Sísmica
Las cargas sísmicas están definidas por medio del cortante basal, el mismo que se
lo determinará más adelante, en el literal 3.4.12.
Resumen de cargas estáticas consideradas:
A continuación, se muestra las cargas consideradas en la investigación:
Tabla 26. Cargas consideradas en el análisis
Cargas Estructura
3 Pisos 6 Pisos 12 Pisos
Peso Propio (PP) Calculado por el Software ETABS
Carga Permanente [kg/m²] 300 300 300
Carga Viva [kg/m²] 200 200 200
Fuente: Elaborado por autores
66
3.2.5 Combinaciones de carga
Se detallan las combinaciones de cargas ingresadas en el programa para el análisis,
que son combinaciones para el diseño por última resistencia descritas en NEC-SE-
CG (NEC-15).
Carga Muerta (D): PP + Permanente
Combinación 1: 1.4 D
Combinación 2: 1.2 D + 1.0 E + L
Combinación 3: 0.9 D + 1.0 E
Donde:
D: Carga muerta total de la estructura.
PP: Peso Propio (elementos estructurales)
E: Efectos de las fuerzas sísmicas.
L: Sobrecarga (carga viva).
67
3.3 MODELACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS
Para la modelación de las estructuras se empleó el programa automatizado de
análisis y diseño estructural ETABS V.15.0.0 elaborado por la empresa Computers
and Structures, Inc. Berkeley, California, Estados Unidos, el cual es ampliamente
usado en el país.
Conocidas las longitudes entre ejes de columnas y alturas de entrepiso, la geometría
de los miembros estructurales y las cargas actuantes, se procede a realizar los
modelos tridimensionales de cada estructura (3, 6 y 12 pisos).
A fin de obtener una variación en los resultados y consecuentemente efectuar un
análisis más amplio, se proponen tres modelos para cada estructura
correspondiendo a edificaciones regulares, irregulares y con presencia de subsuelos.
A continuación se muestran los diferentes modelos considerados en el análisis:
Tabla 27. Identificación de estructuras consideradas en el análisis
Edificación Nº Estructura Característica
3 Pisos
Estructura Nº 1 Regular
Estructura Nº 2 Regular
Estructura Nº 3 Irregular
6 Pisos
Estructura Nº 4 Regular
Estructura Nº 5 Irregular
Estructura Nº 6 Irregular con 1 subsuelo
12 Pisos
Estructura Nº 7 Regular
Estructura Nº 8 Regular con 2 subsuelos
Estructura Nº 9 Regular con 4 subsuelos
Fuente: Elaborado por autores
Durante la modelación, se considera una geometría estructural idéntica en las dos
primeras edificaciones (Estructuras N° 1 y N° 2), difiriendo una de otra solamente
en las dimensiones de columnas, esto con el objeto de estudiar la influencia de la
sección del elemento en las respuestas de períodos, modos de vibración, y derivas.
68
• Estructura Nº 1: Regular - 3 Pisos (Columnas de 40x40)
Vista en planta Vista en elevación
Vista en 3D
Gráfico 18. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 1
Fuente: Etabs - Elaborado por autores
69
• Estructura Nº 2: Regular - 3 Pisos (Columnas de 45x45)
Vista en planta Vista en elevación
Vista en 3D
Gráfico 19. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 2
Fuente: Etabs - Elaborado por autores
70
• Estructura Nº 3: Irregular - 3 Pisos
Vista en planta Vista en elevación
Vista en 3D
Gráfico 20. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 3
Fuente: Etabs - Elaborado por autores
71
• Estructura Nº 4: Regular - 6 Pisos
Vista en planta Vista en elevación
Vista en 3D
Gráfico 21. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 4
Fuente: Etabs - Elaborado por autores
72
• Estructura Nº 5: Irregular - 6 Pisos
Vista en planta Vista en elevación
Vista en 3D
Gráfico 22. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 5
Fuente: Etabs - Elaborado por autores
73
• Estructura Nº 6: Irregular - 6 Pisos – Con subsuelo
Vista en planta Vista en elevación
Vista en 3D
Gráfico 23. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 6
Fuente: Etabs - Elaborado por autores
74
• Estructura Nº 7: Regular - 12 Pisos
Vista en planta Vista en elevación
Vista en 3D
Gráfico 24. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 7
Fuente: Etabs - Elaborado por autores
75
• Estructura Nº 8: Regular - 12 Pisos – Con 2 subsuelos
Vista en planta Vista en elevación
Vista en 3D
Gráfico 25. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 8
Fuente: Etabs - Elaborado por autores
76
• Estructura Nº 9: Regular - 12 Pisos – Con 4 subsuelos
Vista en planta Vista en elevación
Vista en 3D
Gráfico 26. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 9
Fuente: Etabs - Elaborado por autores
77
3.4 CORTANTE BASAL
El cortante basal de diseño es la fuerza de reacción aplicada en la base del edificio
que por medio de la inercia participará durante un evento sísmico, el mismo que
representa un porcentaje del peso reactivo. El cortante basal se obtiene con la
siguiente expresión:
Î = Ï ∗ Z\V ∗ ÐÑ ∗ Ð� ∗ ( = % ∗ ( (51)
Para efectos de modelación y acogiéndonos a lo estipulado en la norma NEC-SE-
DS, la descripción, ubicación y valores para cada parámetro considerado para el
cálculo del cortante basal, se indican a continuación:
3.4.1 Tipo de Suelo
En el marco de estudios para el metro de Quito, se determinó que más del 99% de
la línea de metro atravesará suelos entre compactos y sueltos, teniendo la
posibilidad de encontrar roca del 1%. En el sector norte, a partir del Panecillo en el
perfil de la línea del metro predomina la presencia de la formación Cangahua. Desde
El Ejido hacia el norte, sobre la cangahua se presentan depósitos de origen fluvio –
lacustre. En el sector sur, se encontraron depósitos fluvio – lacustres desde
Chillogallo hasta el sector de El Calzado. (Villalba, 2015).
Además, se verifica que la mayoría de los suelos de acuerdo a la NEC-15 son tipo
“D” (180 y 360 m/s), mientras que algunos suelos comprendidos entre las
estaciones de El Recreo y La Alameda son suelos tipo “C”.
Tabla 28. Tipo de Suelo
Tipo de Suelo Descripción Definición
D Perfiles de suelos rígidos que cumplan con el criterio de velocidad de la onda de cortante
360 m/s > Vs ≥ 180 m/s
Fuente: Elaborado por autores
78
3.4.2 Factor de Zona “Z”
De acuerdo al mapa de zonificación sísmica del Ecuador, la provincia de Pichincha
estará ubicado en la zona V.
Tabla 29. Factor de Zona “Z”
Zona Sísmica Característica del peligro Factor de Zona “Z”
Zona V Alto peligro Sísmico 0.40
Fuente: Elaborado por autores
3.4.3 Relación de Amplificación Espectral
Es el factor que relaciona a la aceleración espectral “Sa” con la aceleración máxima
en roca esperada para el sismo de diseño “Z”, adoptando diferentes valores en
función del lugar en el que se vaya a emplazar la construcción.
Tabla 30. Relación de Amplificación Espectral “ŋ”
Provincia Factor “ŋ”
Provincias de la Sierra, Esmeraldas, Galápagos 2.48
Fuente: Elaborado por autores
3.4.4 Factor Exponencial
Es el valor que participa en el espectro de respuesta y depende del espacio
geográfico.
Tabla 31. Factor exponencial “r”
Tipo de Suelo Factor “r”
Suelo A, B, C y D 1.00
Fuente: Elaborado por autores
79
3.4.5 Factores de Sitio
Definido el factor de zona y tipo de suelo, se elige los coeficientes de sitio
correspondientes:
Tabla 32. Factores de Sitio
Factor de zona
Tipo de perfil del suelo
Factores de Sitio
Fa Fd Fs
0,40 D 1,20 1,19 1,28
Fuente: Elaborado por autores
3.4.6 Coeficiente de Reducción Estructural “R”
Es el coeficiente que disminuye de manera significativa la fuerza sísmica de diseño
o cortante basal, por lo que se recomienda ser reservados al momento de adoptar su
valor, sin embargo, el problema para asumir su valor radica en el incumplimiento
de las especificaciones técnicas cuando se lleva a cabo la construcción.
Tabla 33. Coeficiente de Reducción Estructural “R”
Sistema Estructural Coeficiente de Reducción “R”
Pórticos especiales sismo resistentes, de hormigón armado con vigas descolgadas
8
Fuente: Elaborado por autores
3.4.7 Categoría del edificio y Factor de importancia
Este coeficiente tiene como finalidad, incrementar la fuerza sísmica de diseño en
función del uso o destino de la estructura, considerándose el nivel de operación del
edificio después de suscitarse un evento sísmico.
Tabla 34. Categoría del edificio y Factor de importancia
Categoría Tipo de Uso Coeficiente “I”
Otras estructuras
Todas las estructuras de edificación y otras que no clasifican dentro de las categorías anteriores
1
Fuente: Elaborado por autores
80
3.4.8 Coeficiente de Irregularidad en planta “ɸp”
La no continuidad o irregularidad de una construcción afecta de manera notoria a
su estabilidad, razón por la cual se debe mayorar la fuerza de cortante basal,
procurando que ante un acontecimiento sísmico el comportamiento estructural sea
eficiente. En este sentido, es recomendable que los profesionales estructurales
eviten al máximo la presencia de irregularidades durante su diseño.
La norma NEC-SE-DS, en el capítulo de Regularidad/Configuración Estructural,
muestra ciertas condiciones que debe cumplir la edificación para considerarse como
irregular, y el valor de los coeficientes a adoptar si cumple con esta característica.
Tabla 35. Irregularidad en planta
Nº de Pisos
Nº de estructura Tipo Descripción de las Irregularidades ɸp
3 pisos
Estructura Nº 1 - Estructura Regular 1
Estructura Nº 2 - Estructura Regular 1
Estructura Nº 3 3 Discontinuidades en el sistema de piso 0,9
6 pisos
Estructura Nº 4 - Estructura Regular 1
Estructura Nº 5 3 Discontinuidades en el sistema de piso 0,9
Estructura Nº 6 3 Discontinuidades en el sistema de piso 0,9
12 pisos
Estructura Nº 7 - Estructura Regular 1
Estructura Nº 8 - Estructura Regular 1
Estructura Nº 9 - Estructura Regular 1
Fuente: Elaborado por autores
3.4.9 Coeficiente de Irregularidad en elevación “ɸe”
De igual forma el detalle de los coeficientes por irregularidad en elevación es más
explícito en la norma ya mencionada.
No está por demás mencionar que, si se detecta más de una irregularidad en
elevación, los coeficientes deberán multiplicarse para generar un solo valor “ɸe”;
este concepto también se aplica para el coeficiente de irregularidad en planta.
81
Tabla 36. Irregularidad en elevación
Nº de Pisos
Nº de estructura Tipo Descripción de las
Irregularidades ɸe
3 pisos
Estructura Nº 1 - Estructura Regular 1
Estructura Nº 2 - Estructura Regular 1
Estructura Nº 3 3 Irregularidad geométrica 0,9
6 pisos
Estructura Nº 4 - Estructura Regular 1
Estructura Nº 5 3 Irregularidad geométrica 0,9
Estructura Nº 6 3 Irregularidad geométrica 0,9
12 pisos
Estructura Nº 7 - Estructura Regular 1
Estructura Nº 8 - Estructura Regular 1
Estructura Nº 9 - Estructura Regular 1
Fuente: Elaborado por autores
3.4.10 Período de vibración “T” de la estructura
Previo al cálculo aproximado del período de vibración (T1), deben elegirse los
coeficientes que participan en su determinación y que depende del tipo de
estructura. -1 = �� ∗ ℎɑ (52)
El valor de h es la altura máxima de la edificación medida desde su base, y T es el
período de vibración aproximado de la estructura.
Tabla 37. Coeficientes “Ct” y “ɑ” para el Período de vibración
Fuente: Elaborado por autores
Al período “T1” calculado se le debe sumar el 30% de su propio valor, y compararlo
con el período de vibración “T2” obtenido con el programa Etabs (por medio de un
Tipo de estructura Ct ɑ h [m]
Pórticos especiales de hormigón armado:
Sin muros estructurales ni diagonales rigidizadoras
0,055 0,9 Máxima altura
del edificio
82
análisis modal) estableciéndose una condición: que el valor de T2 no sea mayor en
un 30% al valor de T1, entonces:
�. Õm� < m} (53)
Tabla 38. Período de vibración “T”
Estructura Altura total T1 T2 = 1,3 T1
3 pisos 8,1 0,3614 0.46983
6 pisos 16,2 0,6744 0,8767
12 pisos 36,0 1,3837 1,7988
Fuente: Elaborado por autores
3.4.11 Aceleración de la Gravedad “Sa”
Se muestran los valores de la aceleración espectral Sa correspondiente al espectro
de respuesta elástico para el diseño y T que es el período fundamental de la
estructura.
Tabla 39. Aceleración de la Gravedad “Sa”
Estructura T Tc Sa [g]
3 pisos 0,3614
0,6981
1,1904
6 pisos 0,6744 1,16760
12 pisos 1,3837 0,58885
Fuente: Elaborado por autores
3.4.12 Carga Sísmica Reactiva (W)
La carga sísmica reactiva corresponde a la carga muerta total de la estructura, es
decir, al peso propio de los elementos estructurales (PP) y al peso de los elementos
secundarios (Peso Permanente).
Tabla 40. Cortante Basal de las Estructuras
Pisos Nº de estructura Carga Sísmica W (Ton)
3 pisos Estructura Nº 1 605,9473
Estructura Nº 2 619,6251
83
Estructura Nº 3 485,5897
6 pisos
Estructura Nº 4 2892,4408
Estructura Nº 5 2644,8504
Estructura Nº 6 2017,1876
12 pisos
Estructura Nº 7 7753,9196
Estructura Nº 8 7753,9196
Estructura Nº 9 7753,9196
Fuente: Modelación ETABS - Elaborado por autores
3.4.13 Cálculo del Cortante Basal Estático y Dinámico
Con los coeficientes y parámetros ya señalados, se obtiene el cortante basal de cada
estructura:
Tabla 41. Cortante Basal de las Estructuras
Pisos Estructura Cortante Basal Estático “V EST.” (Ton)
Cortante Basal Estático “V DIN.” (Ton)
3 pisos
Estructura Nº 1 90,16496 72,13197
Estructura Nº 2 92,20021 73,76017
Estructura Nº 3 89,20463 755,82393
6 pisos
Estructura Nº 4 430,39519 344,31615
Estructura Nº 5 437,28193 371,68964
Estructura Nº 6 501,36187 426,15759
12 pisos
Estructura Nº 7 582,14029 465,71223
Estructura Nº 8 582,14029 465,71223
Estructura Nº 9 582,14029 465,71223
Fuente: Modelación ETABS - Elaborado por autores
Es importante observar que el cortante basal es diferente para cada edificio ya que
el mismo está en función de la importancia de la estructura, configuración y del
coeficiente de aceleración espectral.
84
3.4.14 Corrección del cortante basal estático
Las fuerzas de corte obtenidas en primera instancia por el programa en el nivel base,
deben ser corregidas ya que éste tiende a obtener valores menores. La corrección se
realiza modificando el valor del coeficiente basal para que las cargas laterales
actuantes sean más acertadas en el momento de expresar su resultado.
El proceso de corrección no implica mayor dificultad, por lo que se detalla
únicamente el cálculo de tres estructuras, la tabla 41 muestra los valores de cortante
basal en “X” e “Y” que arroja el programa antes y después de la corrección.
Tabla 42. Corrección del VEST. – Estructura Nº 3, Nº 4, Nº 7
Parámetro 3 Pisos Irregular
6 Pisos Regular
12 Pisos Regular
V EST. [Ton] 89,20463 430,39519 582,14029
SX - VX [Ton] 87,03080 425,20170 577,11260
SY - VY [Ton] 87,03080 425,20170 577,11260
Fc1 (V EST./ SX) 1,02498 1,01221 1,00871
Fc2 (VEST./ SY) 1,02498 1,01221 1,00871
%X corregido (%*Fc1) 0,18829 0,15062 0,07573
%Y corregido (%*Fc2) 0,18829 0,15062 0,07573
SX - VX corregido [Ton] 89,20540 430,40240 582,10890
SY - VY corregido [Ton] 89,20540 430,40240 582,10890
Fuente: Elaborado por autores
3.4.15 Corrección del cortante basal dinámico
En las tablas siguientes, se observa que inicialmente los valores del cortante basal
dinámico difieren notoriamente del 80% del cortante basal estático, razón por la
cual también deben ser corregidos, modificando el factor de escala inicial (9806,65)
en cada caso de carga.
El programa Etabs para el análisis dinámico propone seis combinaciones modales
para ser utilizados en el espectro de respuestas. La corrección es realizada
aprovechando todos los casos, con el objeto de idealizar en qué cantidad difiere los
factores de corrección respecto al factor de escala inicial adoptado. El proceso es
85
llevado a cabo solamente en tres estructuras (las mismas analizadas en la corrección
de cortante basal estático).
Estructura Nº 3: Irregular de 3 pisos
Tabla 43. Corrección del VDIN – Estructura Nº 3
DO
BLE
SU
MA
-
SR
SS
75
,823
93
73
,709
2
72
,201
1
1,0
286
9
1,0
501
8
10
088
10
298,
72
75
,823
9
75
,823
9
NR
C 1
0% -
S
RS
S
75
,823
93
73
,700
5
71
,285
4
1,0
288
1
1,0
636
7
10
089,
2
10
431,
01
75
,823
9
75
,823
9
GM
C -
SR
SS
75
,823
93
73
,708
9
72
,156
9
1,0
286
9
1,0
508
2
10
088,
05
10
305,
03
75
,823
9
75
,824
AB
SO
LUT
O -
S
RS
S
75
,823
93
74
,481
82
,032
6
1,0
180
3
0,9
243
1
99
83,4
7
90
64,4
3
75
,823
9
75
,823
9
SR
SS
- S
RS
S
75
,823
93
73
,700
5
70
,975
3
1,0
288
1
1,0
683
1
10
089,
2
10
476,
59
75
,823
9
75
,824
CQ
C -
SR
SS
75
,823
93
73
,706
1
72
,121
2
1,0
287
3
1,0
513
4
10
088,
43
10
310,
13
75
,824
75
,823
9
Par
ámet
ro
V D
IN. →
80%
V ES
T. [
Ton
]
ES
PE
CT
RO
X -
VX
[Ton
]
ES
PE
CT
RO
Y -
VY
[Ton
]
Fc3
(V
DIN
./ E
SP
EC
TR
OX
)
Fc4
(V
DIN
./ E
SP
EC
TR
OY
)
U1
CO
RR
. (9
806
,65
* F
c3)
U2
CO
RR
. (9
806
,65
* F
c4)
ES
PE
CT
RO
X -
VX
COR
R. [
Ton
]
ES
PE
CT
RO
Y -
VY
COR
R. [
Ton
]
Fuente: Elaborado por autores
86
Estructura Nº 4: Regular de 6 pisos
Tabla 44. Corrección del VDIN – Estructura Nº 4
DO
BLE
SU
MA
-
SR
SS
34
4,31
615
29
3,21
18
31
3,15
91
1,1
742
9
1,0
994
9
11
515,
8667
10
782,
3404
34
4,31
62
34
4,31
62
NR
C 1
0% -
S
RS
S
34
4,31
615
29
2,11
98
31
2,06
3
1,1
786
8
1,1
033
5
11
558,
9152
10
820,
2126
34
4,31
61
34
4,31
61
GM
C -
SR
SS
34
4,31
615
29
3,14
24
31
3,09
15
1,1
745
7
1,0
997
3
11
518,
593
10
784,
6684
34
4,31
62
34
4,31
62
AB
SO
LUT
O -
S
RS
S
34
4,31
615
38
3,76
22
40
3,27
87
0,8
972
1
0,8
537
9
87
98,6
467
83
72,8
399
34
4,31
62
34
4,31
62
SR
SS
- S
RS
S
34
4,31
615
29
2,11
98
31
2,06
3
1,1
786
8
1,1
033
5
11
558,
9152
10
820,
2126
34
4,31
63
34
4,31
63
CQ
C -
SR
SS
34
4,31
615
29
2,79
12
31
2,74
4
1,1
759
8
1,1
009
5
11
532,
4094
10
796,
6516
34
4,31
62
34
4,31
62
Par
ámet
ro
V D
IN. →
80%
V ES
T. [
Ton
]
ES
PE
CT
RO
X -
VX
[Ton
]
ES
PE
CT
RO
Y -
VY
[Ton
]
Fc3
(V
DIN
./ E
SP
EC
TR
OX
)
Fc4
(V
DIN
./ E
SP
EC
TR
OY
)
U1
CO
RR
. (9
806
,65
* F
c3)
U2
CO
RR
. (9
806
,65
* F
c4)
ES
PE
CT
RO
X -
VX
COR
R. [
Ton
]
ES
PE
CT
RO
Y -
VY
COR
R. [
Ton
]
Fuente: Elaborado por autores
87
Estructura Nº 7: Regular de 12 pisos
Tabla 45. Corrección del VDIN – Estructura Nº 7
DO
BLE
SU
MA
-
SR
SS
46
5,71
223
40
6,18
33
40
2,92
56
1,1
465
6
1,1
558
3
11
243,
88
11
334,
79
46
5,71
21
46
5,71
22
NR
C 1
0% -
S
RS
S
46
5,71
223
40
0,93
83
39
7,53
2
1,1
615
6
1,1
715
1
11
390,
97
11
488,
58
46
5,71
21
46
5,71
24
GM
C -
SR
SS
46
5,71
223
40
5,67
1
40
2,39
53
1,1
48
1,1
573
5
11
258,
08
11
349,
73
46
5,71
22
46
5,71
24
AB
SO
LUT
O -
S
RS
S
46
5,71
223
68
8,69
37
68
8,05
0,6
762
3
0,6
768
6
66
31,5
1
66
37,7
1
46
5,71
24
46
5,71
22
SR
SS
- S
RS
S
46
5,71
223
40
0,93
83
39
7,53
2
1,1
615
6
1,1
715
1
11
390,
97
11
488,
58
46
5,71
21
46
5,71
24
CQ
C -
SR
SS
46
5,71
223
40
4,39
79
40
1,10
4
1,1
516
2
1,1
610
8
11
293,
52
11
386,
27
46
5,71
21
46
5,71
23
Par
ámet
ro
V D
IN. →
80%
V ES
T. [
Ton
]
ES
PE
CT
RO
X -
VX
[Ton
]
ES
PE
CT
RO
Y -
VY
[Ton
]
Fc3
(V
DIN
./ E
SP
EC
TR
OX
)
Fc4
(V
DIN
./ E
SP
EC
TR
OY
)
U1
CO
RR
. (9
806
,65
* F
c3)
U2
CO
RR
. (9
806
,65
* F
c4)
ES
PE
CT
RO
X -
VX
COR
R. [
Ton
]
ES
PE
CT
RO
Y -
VY
COR
R. [
Ton
]
Fuente: Elaborado por autores
Es notoria la importancia de la corrección del cortante basal, ya que al no realizarse
se limita al diseño a resistir menores o mayores fuerzas producidas por la actividad
sísmica.
88
En el caso del cortante basal dinámico, la combinación modal Absoluto es la que
obtiene valores mayores al establecido (80% del Vs), resultando factores de
corrección por debajo de 1,00; es decir, sin la corrección se obtendría un diseño
sobrevalorado. Para el resto de combinaciones modales se obtienen cortantes
dinámicos menores al establecido, marcando factores de corrección superiores a
1,00.
89
3.5 ESPECTRO DE DISEÑO EN ACELERACIONES
La incorporación del Espectro de Diseño obedece estrictamente a la aplicación de
las siguientes fórmulas:
fg = h. i. jg kglg " ≤ m ≤ mn (54) fg = h. i. jg ^mnm _l kglg m > mn (55)
mn = ". oo jp jqjg (56)
El espectro de diseño de aceleraciones para las estructuras regulares en análisis, se
muestra en el gráfico 27, con intervalos de período de 0,1 s.
Gráfico 27. Espectro de Diseño en aceleraciones – Estructuras regulares
Fuente: Elaborado por autores
Por otra parte, el programa ETABS (Versión 15.0.0) para la definición del espectro
de respuesta posee una opción que permite elegir la Norma de Construcción a la
cual se rige cada país, en este caso se selecciona la “NEC-11 Capítulo 2” .
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00
Sa (
g)
T (s)
ESPECTRO DE DISEÑO EN ACELERACIONESEstructuras Regulares
Espectro Inelástico
Espectro Elástico
3 pisos T1
6 pisos T2
12 pisos T3
T2 T3T1
90
Gráfico 28. Espectro Inelástico de Diseño (Autores vs. Etabs)
Fuente: Elaborado por autores
En el gráfico 28 se observa que los valores de la aceleración de la gravedad Sa (g)
calculados por el software son menores a los calculados por los autores,
específicamente cuando los valores del período T superan al período límite de
vibración Tc; esto debido a que el software Etabs se rige a la Norma Ecuatoriana de
la Construcción del año 2011 “NEC-11 Capítulo 2” , la cual establece diferentes
valores en los coeficientes de perfil de suelo (Fa, Fd, Fs).
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00
Sa (
g)
T (s)
ESPECTRO INELÁSTICO DE DISEÑO EN ACELERACIONESAutores vs. ETABS
Estructuras Regulares
Espectro Inelástico AUTORES
Espectro Inelástico ETABS
Tc
91
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS DE RESULTADOS
4. xxxxx
El análisis de las estructuras tridimensionales (3, 6 y 12 pisos) se llevó a cabo en el
software de modelación estructural Etabs V 15.0.0, modificando el número de
modos de vibración que por defecto señala el programa, rigiéndose a las siguientes
condiciones:
• Un grado de libertad por planta.
• Tres grados de libertad por planta (recomendado).
• 12 modos de vibración (valor sugerido por defecto del programa Etabs).
• Hasta alcanzar por lo menos el 90 % de masas participativas (NEC-15).
Las modelaciones estructurales fueron desarrolladas, aplicando los seis criterios de
combinación modal que Etabs presenta (CQC, SRSS, ABSOLUTO, GMC, NRC
10 %, DOBLE SUMA). Adicionalmente, el espectro de diseño empleado es el que
se muestra en el gráfico 28 de este informe (Espectro Inelástico AUTORES).
Para el análisis de los literales de PERÍODO DE VIBRACIÓN y
PARTICIPACIÓN MODAL DE MASAS, se tendrá en cuenta solo la
recomendación citada por la NEC-15 (cumplimiento del 90 % de participación de
masas). En el literal de INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE
VIBRACIÓN se analiza las derivas elásticas de cada estructura con las cuatro
condiciones sugeridas.
92
4.1 ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL
El método modal espectral se centra en la obtención de las respuestas máximas de
la estructura (fuerzas y desplazamientos) mediante la superposición de efectos, sin
adentrarse en el tiempo en que suscita el fenómeno.
A continuación se tabulan las respuestas máximas en lo que corresponde al período
de vibración, modos de vibración y derivas de las edificaciones, los cuales son entre
otras exigencias, las más priorizadas durante la revisión y aprobación de planos
estructurales.
4.1.1 Período de vibración (T)
Se tiene claro que el período de vibración está en función de la altura total de la
estructura y de los elementos que la constituyen (masa estructural), es por esto que
en las tablas siguientes se observa diferentes valores de T para una misma altura de
edificio.
Estructuras de 3 pisos
Tabla 46. Período de Vibración – Estructura de 3 Pisos
Altura [m] T1 [s] T2 = 1,3 T1 [s]
8,1 0,36141 0.46983
Modos de Vibración
Período de vibración T [s]
Estructura Nº 1 Estructura Nº 2 Estructura Nº 3
Regular Regular Irregular
Modo 1 0,52 0,469 0,416
Modo 2 0,491 0,44 0,382
Modo 3 0,441 0,398 0,369
Modo 4 0,165 0,143 0,162
Modo 5 0,159 0,137 0,150
Modo 6 0,141 0,122 0,145
Modo 7 0,099 0,081 0,134
Modo 8 0,097 0,08 0,133
Modo 9 0,084 0,069 0,131
Fuente: Modelación ETABS, elaborado por autores.
En la tabla 45 se observa que el valor del período natural de la estructura Nº 1
sobrepasa al valor T2 (0,52 > 0,4698) y pese a tener un adecuado dimensionamiento
93
de sus elementos estructurales no cumple con lo estipulado por la NEC, obligando
a un incremento de los mismos para la rigidización del edificio y consecuentemente
la reducción de T. Y, aunque suene ilógico un aumento “innecesario” de secciones,
muchos de los profesionales dan constancia que esto sucede frecuentemente en
estructuras pequeñas. (Ej. Viviendas de tres pisos con columnas de 45x45).
Para rigidizar a la edificación se recomienda incrementar las secciones de vigas y
columnas, dado que a más de reducir T, se lograría también minimizar el efecto de
derivas de piso. Este incremento debe ser tal que no incumpla con el concepto de
columna fuerte – viga débil, es decir que en la metodología de diseño se procure
tener resultados de columnas con mayor capacidad resistente y disipación de
energía, a comparación de las vigas.
Con el incumplimiento de la condición de período (Tn < T2) de la estructura N° 1,
se propone el redimensionamiento de la misma aumentando solamente las
secciones de columnas de 40*40 [cm] a 45*45 [cm], generando así la estructura Nº
2. Esta estructura alcanza un valor de período menor que el límite [0,469 ≈ 0,46983]
y con este resultado se afirma lo siguiente:
• Una mayor rigidez, obedece a un menor período de vibración.
No obstante, al incrementar las cargas en la losa inaccesible (carga viva y
permanente: 200 y 300 kg/m²), el nuevo período fue de [0,512 > 0,46983] dejando
claro que, cuando se recomienda el incremento de masa estructural, nos referimos
al aumento de los elementos viga, columna, más no al incremento de cargas que
actúan en la losa; afirmándose que:
• Una mayor carga, obedece a un mayor período de vibración.
La estructura Nº 3, cuya modelación fue basada en la estructura Nº 2 pero con cierta
irregularidad en planta y en elevación, alcanza un valor similar al “T” esperado,
evidenciando que al existir irregularidad el valor del período estructural disminuye.
94
El gráfico 29 indica una excedencia del período de la estructura Nº 1 (Modo 1 y
Modo 2) con respecto al valor permitido T2 (período determinado por el método 2
establecido en la NEC); además se observa que en las tres estructuras, los tres
primeros modos de vibración alcanzan mayores valores de T.
Gráfico 29. Período de vibración (3 Pisos)
Fuente: Elaborado por autores
Estructuras de 6 pisos
Las estructuras Nº 4 y Nº 5 presentan un período dentro de los valores de T
permisibles [T1 < 0,799; 0,727 < T2], considerándose como estructuras
medianamente rígidas.
Se acepta los valores de T obtenidos por el software en función de que, durante el
análisis de una edificación alta, no es conveniente diseñar una estructura demasiado
flexible por las exigencias de derivas.
La estructura Nº 6 ostenta un valor de T muy por debajo al recomendado [0,646 <<
T2], número esperado por la presencia del subsuelo, ya que éste rigidiza a la
estructura.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7 Modo 8 Modo 9
Pe
rio
do
T [
s]
PERIODO DE VIBRACIÓNEstructura de 3 Pisos
T2 = 1.3 T1
___ Estructura N° 1
___ Estructura N° 2
___ Estructura N° 3
95
Tabla 47. Período de Vibración – Estructura de 6 Pisos
Altura [m] T1 [s] T2 = 1,3 T1 [s]
16,20 0,67441 0,87674
Modos de Vibración
Período de vibración [s]
Estructura Nº 4 Estructura Nº 5 Estructura Nº 6
Regular Irregular Irregular con
muros
Modo 1 0,799 0,727 0,646
Modo 2 0,751 0,683 0,593
Modo 3 0,711 0,679 0,581
Modo 4 0,286 0,314 0,314
Modo 5 0,273 0,314 0,314
Modo 6 0,255 0,309 0,309
Modo 7 0,157 0,301 0,301
Modo 8 0,151 0,301 0,300
Modo 9 0,142 0,278 0,258
Modo 10 0,108 0,268 0,252
Modo 11 0,106 0,264 0,246
Modo 12 0,098 0,246 0,245
Modo 13 0,08 0,245 0,245
Modo 14 0,079 0,245 0,234
Modo 15 0,074 0,239 0,215
Modo 16 0,056 0,154 0,136
Modo 17 0,056 0,148 0,127
Modo 18 0,054 0,142 0,119
Fuente: Modelación ETABS, elaborado por autores.
En el gráfico 30, se aprecia nuevamente la predominación del período de los tres
primeros modos en las tres estructuras.
Gráfico 30. Período de vibración (6 Pisos) Fuente: Elaborado por autores
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 M13 M14 M15 M16 M17 M18
Pe
rio
do
T [
s]
Modos de vibración
PERIODO DE VIBRACIÓNEstructura de 6 Pisos
T2 = 1.3 T1
___ Estructura N° 4
___ Estructura N° 5
___ Estructura N° 6
96
Estructuras de 12 pisos
Tabla 48. Período de Vibración – Estructura de 12 Pisos
Altura [m] T1 [s] T2 = 1,3 T1 [s]
36,00 1,38368 1,79878
Modos de Vibración
Período de vibración [s]
Estructura 7 Estructura 8 Estructura 9
Regular Regular con 2 subsuelo Regular con 4 subsuelo
Modo 1 1,582 1,619 1,631
Modo 2 1,570 1,607 1,619
Modo 3 1,464 1,475 1,477
Modo 4 0,596 0,611 0,615
Modo 5 0,590 0,605 0,608
Modo 6 0,565 0,569 0,570
Modo 7 0,357 0,366 0,368
Modo 8 0,350 0,359 0,361
Modo 9 0,337 0,340 0,341
Modo 10 0,244 0,251 0,253
Modo 11 0,241 0,247 0,249
Modo 12 0,230 0,232 0,233
Modo 13 0,183 0,188 0,190
Modo 14 0,180 0,186 0,188
Modo 15 0,174 0,176 0,176
Modo 16 0,143 0,147 0,149
Modo 17 0,140 0,144 0,147
Modo 18 0,134 0,136 0,136
Modo 19 0,119 0,122 0,125
Modo 20 0,115 0,118 0,122
Modo 21 0,111 0,112 0,113
Modo 22 0,100 0,103 0,108
Modo 23 0,097 0,100 0,105
Modo 24 0,095 0,096 0,097
Modo 25 0,082 0,086 0,095
Modo 26 0,080 0,084 0,094
Modo 27 0,078 0,079 0,082
Modo 28 0,070 0,075 0,080
Modo 29 0,068 0,072 0,080
Modo 30 0,066 0,067 0,071
Modo 31 0,056 0,063 0,069
Modo 32 0,055 0,061 0,069
Modo 33 0,054 0,055 0,060
Modo 34 0,045 0,054 0,059
Modo 35 0,044 0,053 0,058
Modo 36 0,044 0,045 0,053
Fuente: Modelación ETABS, elaborado por autores.
97
Se expresó anteriormente que el período de vibración está en función de la altura
del edificio medida desde la base (N+0,00) y de la masa estructural, motivo por el
cual las tres estructuras de 12 pisos tienen valores similares de T,
independientemente del número de subsuelos presentes en dos de ellas.
Gráfico 31. Período de vibración (12 Pisos)
Fuente: Elaborado por autores
Los valores de los períodos de las estructuras están por debajo del valor máximo
recomendado T2 (Ti < 1,79878). Se ratifica que los valores más significativos de T
se producen en los tres primeros modos de vibración.
4.1.2 Participación modal de masas
Para el análisis de la participación modal de masas se contemplan tres modos de
vibración por piso (los dos primeros traslacionales y el tercero rotacional) o de darse
el caso, tantos modos necesarios a fin de incorporar una masa participativa superior
al 90% de la masa total de la estructura en cada una de las direcciones horizontales
principales.
En la actualidad muchos profesionales de diseño estructural que utilizan el software
Etabs, pasan por alto la corrección del número de modos de vibración, adoptando
como valor referente el sugerido por el programa (12 MODOS DE VIBRACIÓN),
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
Pe
rio
do
T [
s]
Modos de vibración
PERIODO DE VIBRACIÓNEstructura de 12 Pisos
___ Estructura N° 7
___ Estructura N° 8
___ Estructura N° 9
T2 = 1.3 T1
98
resultando respuestas erradas y consecuentemente un posible rechazo del proyecto
por parte de la entidad encargada de la revisión y aprobación de planos
estructurales.
A continuación se muestran los pasos a seguir para el cambio del número de modos
vibración en el Etabs: Define – Modal Cases – Modify/Show Case
Gráfico 32. Cambio del número de modos de vibración en ETABS
Fuente: ETABS V15.0.0
Estructuras de 3 pisos
Empleando 3 GDL por planta, la estructura de tres pisos cuenta con 9 modos de
vibración, predominando los tres primeros modos en cada dirección de análisis
(UY, UX, RZ) respectivamente, por la contribución mayoritaria del porcentaje de
masas. A continuación se detalla en tablas, la participación modal de masas para las
estructuras:
Nº de modos de vibración a considerar en el análisis.
99
Tabla 49. Participación Modal - Estructura Nº 1
Modo de Vibración
Período (s)
UX UY Sum UX Sum UY RX RY RZ Sum RX Sum RY Sum RZ
Modo 1 0,520 0,000 0,853 0,000 0,853 0,165 0,000 0,005 0,165 0,000 0,005
Modo 2 0,491 0,865 0,000 0,865 0,853 0,000 0,158 0,000 0,165 0,158 0,005
Modo 3 0,441 0,000 0,005 0,865 0,857 0,001 0,000 0,854 0,166 0,158 0,860
Modo 4 0,165 0,000 0,111 0,865 0,968 0,748 0,000 0,001 0,914 0,158 0,861
Modo 5 0,159 0,108 0,000 0,973 0,968 0,000 0,776 0,000 0,914 0,933 0,861
Modo 6 0,141 0,000 0,002 0,973 0,970 0,010 0,000 0,110 0,924 0,933 0,971
Modo 7 0,099 0,000 0,029 0,973 0,999 0,073 0,000 0,001 0,997 0,933 0,971
Modo 8 0,097 0,027 0,000 1,000 0,999 0,000 0,067 0,000 0,997 1,000 0,971
Modo 9 0,084 0,000 0,001 1,000 1,000 0,003 0,000 0,029 1,000 1,000 1,000
Fuente: Modelación ETABS, elaborado por autores.
Tabla 50. Participación Modal - Estructura Nº 2
Modo de Vibración
Período (s)
UX UY Sum UX Sum UY RX RY RZ Sum RX Sum RY Sum RZ
Modo 1 0,469 0,000 0,838 0,000 0,838 0,190 0,000 0,004 0,190 0,000 0,004
Modo 2 0,440 0,850 0,000 0,850 0,838 0,000 0,181 0,000 0,190 0,181 0,004
Modo 3 0,398 0,000 0,003 0,850 0,841 0,001 0,000 0,840 0,191 0,181 0,844
Modo 4 0,143 0,000 0,121 0,850 0,963 0,707 0,000 0,001 0,897 0,181 0,845
Modo 5 0,137 0,118 0,000 0,967 0,963 0,000 0,735 0,000 0,897 0,916 0,845
Modo 6 0,122 0,000 0,002 0,967 0,964 0,008 0,000 0,120 0,906 0,916 0,965
Modo 7 0,081 0,000 0,034 0,967 0,999 0,091 0,000 0,001 0,996 0,916 0,966
Modo 8 0,080 0,033 0,000 1,000 0,999 0,000 0,084 0,000 0,996 1,000 0,966
Modo 9 0,069 0,000 0,001 1,000 1,000 0,004 0,000 0,034 1,000 1,000 1,000
Fuente: Modelación ETABS, elaborado por autores.
Tabla 51. Participación Modal - Estructura Nº 3
Modo de Vibración
Período (s)
UX UY Sum UX Sum UY RX RY RZ Sum RX Sum RY Sum RZ
Modo 1 0,416 0 0,812 0,000 0,812 0,199 0 0,026 0,199 0 0,026
Modo 2 0,382 0,847 0 0,847 0,812 0 0,194 0 0,199 0,194 0,026
Modo 3 0,369 0 0,022 0,847 0,834 0,011 0 0,811 0,209 0,194 0,836
Modo 4 0,162 0 0 0,847 0,834 0 0 0 0,209 0,194 0,836
Modo 5 0,150 0 0 0,847 0,834 0 0 0 0,209 0,194 0,836
Modo 6 0,145 0 0,008 0,847 0,843 0,046 0 0,003 0,255 0,194 0,839
Modo 7 0,134 0 0,058 0,847 0,900 0,324 0 0,013 0,579 0,194 0,851
Modo 8 0,133 0,009 0 0,856 0,900 0 0,058 0 0,579 0,253 0,851
Modo 9 0,131 0 0,042 0,856 0,943 0,225 0 0 0,804 0,253 0,852
Modo 10 0,123 0,103 0 0,959 0,943 0 0,616 0 0,804 0,869 0,852
Fuente: Modelación ETABS, elaborado por autores.
100
Las estructuras Nº 1 y Nº 2 únicamente necesitan de 5 modos de vibración para
satisfacer los requerimientos de la NEC (participación modal superior al 90% de la
masa total de la estructura); sin embargo, la estructura Nº 3 necesita de 10 modos;
demostrándose que:
El número de modos de vibración de una estructura no siempre corresponde al
número de plantas por los grados de libertad considerados, a fin de cumplir con
lo dispuesto en la NEC-15.
En lo que refiere al comportamiento rotacional, ninguna de ellas presenta problema
alguno ya que el porcentaje predominante se da en el tercer modo.
Gráfico 33. Participación de masas – Estructura de 3 Pisos
Fuente: Elaborado por autores
Estructuras de 6 pisos
Al considerar tres grados de libertad por planta, las estructuras de seis pisos
contarán con 18 modos de vibración y en forma similar que las estructuras
anteriores, los tres primeros modos resultan ser los de mayor contribución modal.
A continuación se detalla en tablas, la participación modal de masas para las
estructuras:
Tabla 52. Participación Modal - Estructura Nº 4
Modo de Vibración
Período (s)
UX UY Sum UX
Sum UY
RX RY RZ Sum UX
Sum UY
Sum UZ
Modo 1 0,799 0,7715 0 0,7715 0 0 0,2474 0 0 0,2474 0
Modo 2 0,751 0 0,7733 0,7715 0,7733 0,2457 0 0 0,2457 0,2474 0
5 5
9
1
0
2
4
6
8
10
N° 1 (Regular) N° 2 (Regular) N° 3 (Irregular)
Nú
me
ro d
e m
od
os
Cumplimiento de participación ModalEstructura de 3 pisos
101
Modo 3 0,711 0 0 0,7715 0,7733 0 0 0,779 0,2457 0,2474 0,779
Modo 4 0,286 0,1171 0 0,8886 0,7733 0 0,4441 0 0,2457 0,6915 0,779
Modo 5 0,273 0 0,1186 0,8886 0,8918 0,4479 0 0 0,6937 0,6915 0,779
Modo 6 0,255 0 0 0,8886 0,8918 0 0 0,1148 0,6937 0,6915 0,8937
Modo 7 0,157 0,0515 0 0,9402 0,8918 0 0,1181 0 0,6937 0,8096 0,8937
Modo 8 0,151 0 0,0503 0,9402 0,9422 0,1186 0 0 0,8123 0,8096 0,8937
Modo 9 0,143 0 0 0,9402 0,9422 0 0 0,0518 0,8123 0,8096 0,9455
Modo 10 0,108 0,0228 0 0,963 0,9422 0 0,0835 0 0,8123 0,8931 0,9455
Modo 11 0,106 0 0,0215 0,963 0,9637 0,082 0 0 0,8942 0,8931 0,9455
Modo 12 0,098 0 0 0,963 0,9637 0 0 0,022 0,8942 0,8931 0,9676
Modo 13 0,08 0,0225 0 0,9855 0,9637 0 0,0616 0 0,8942 0,9547 0,9676
Modo 14 0,079 0 0,0223 0,9855 0,986 0,0617 0 0 0,956 0,9547 0,9676
Modo 15 0,074 0 0 0,9855 0,986 0 0 0,0182 0,956 0,9547 0,9857
Modo 16 0,056 0,0145 0 1 0,986 0 0,0453 0 0,956 1 0,9857
Modo 17 0,056 0 0,014 1 1 0,044 0 0 1 1 0,9857
Modo 18 0,054 0 0 1 1 0 0 0,0143 1 1 1
Fuente: Modelación ETABS, elaborado por autores.
Tabla 53. Participación Modal - Estructura Nº 5
Modo de Vibración
Período (s)
UX UY Sum UX
Sum UY
RX RY RZ Sum UX
Sum UY
Sum UZ
Modo 1 0,727 0,7674 0 0,7674 0 0 0,2532 0 0 0,2532 0
Modo 2 0,683 0 0,7702 0,7674 0,7702 0,2503 0 0 0,2503 0,2532 0
Modo 3 0,679 0 0 0,7674 0,7702 0 0 0,7728 0,2503 0,2532 0,7728
Modo 4 0,314 0 0 0,7674 0,7702 0 0 0 0,2503 0,2532 0,7728
Modo 5 0,314 0 5,09E-06 0,7674 0,7702 1,02E-05 0 0 0,2503 0,2532 0,7728
Modo 6 0,309 0 0 0,7674 0,7702 0 0 0,0017 0,2503 0,2532 0,7745
Modo 7 0,301 0 0 0,7674 0,7702 0 0 0 0,2503 0,2532 0,7745
Modo 8 0,301 1,08E-05 0 0,7674 0,7702 0 2,87E-05 0 0,2503 0,2532 0,7745
Modo 9 0,278 0,1112 0 0,8786 0,7702 0 0,424 0 0,2503 0,6772 0,7745
Modo 10 0,268 0 0 0,8786 0,7702 0 0 0,0609 0,2503 0,6772 0,8354
Modo 11 0,264 0 0,1118 0,8786 0,8821 0,4289 0 0 0,6792 0,6772 0,8354
Modo 12 0,246 0 0,0002 0,8786 0,8823 0,0009 0 0 0,6801 0,6772 0,8354
Modo 13 0,245 0 0 0,8786 0,8823 0 0 0 0,6801 0,6772 0,8354
Modo 14 0,245 3,39E-05 0 0,8786 0,8823 0 0,0002 0 0,6801 0,6774 0,8354
Modo 15 0,239 0 0 0,8786 0,8823 0 0 0,0529 0,6801 0,6774 0,8883
Modo 16 0,154 0,0617 0 0,9403 0,8823 0 0,1476 0 0,6801 0,825 0,8883
Modo 17 0,148 0 0,0603 0,9403 0,9426 0,1486 0 0 0,8287 0,825 0,8883
Modo 18 0,142 0 0 0,9403 0,9426 0 0 0,0563 0,8287 0,825 0,9446
Fuente: Modelación ETABS, elaborado por autores.
102
Tabla 54. Participación Modal - Estructura Nº 6
Modo de Vibración
Período (s)
UX UY Sum UX
Sum UY
RX RY RZ Sum UX
Sum UY
Sum UZ
Modo 1 0,646 0,643 0,000 0,643 0,000 0,000 0,384 0,019 0,000 0,384 0,019
Modo 2 0,593 0,000 0,634 0,643 0,634 0,418 0,000 0,000 0,418 0,384 0,019
Modo 3 0,581 0,013 0,000 0,656 0,634 0,000 0,012 0,590 0,418 0,395 0,609
Modo 4 0,314 0,000 0,000 0,656 0,634 0,000 0,000 0,000 0,418 0,395 0,609
Modo 5 0,314 0,000 0,000 0,656 0,634 0,000 0,000 0,000 0,418 0,395 0,609
Modo 6 0,309 0,000 0,000 0,656 0,634 0,000 0,000 0,001 0,418 0,395 0,610
Modo 7 0,301 0,000 0,000 0,656 0,634 0,000 0,000 0,000 0,418 0,395 0,610
Modo 8 0,300 0,000 0,000 0,656 0,634 0,000 0,000 0,000 0,418 0,395 0,610
Modo 9 0,258 0,006 0,000 0,662 0,634 0,000 0,013 0,019 0,418 0,409 0,629
Modo 10 0,252 0,107 0,000 0,769 0,634 0,000 0,200 0,000 0,418 0,609 0,629
Modo 11 0,246 0,000 0,001 0,769 0,635 0,001 0,000 0,000 0,419 0,609 0,629
Modo 12 0,245 0,000 0,000 0,769 0,635 0,000 0,000 0,000 0,419 0,609 0,629
Modo 13 0,245 0,001 0,000 0,770 0,635 0,000 0,002 0,000 0,419 0,610 0,629
Modo 14 0,234 0,000 0,111 0,770 0,745 0,179 0,000 0,000 0,598 0,610 0,629
Modo 15 0,215 0,001 0,000 0,770 0,745 0,000 0,000 0,086 0,598 0,610 0,714
Modo 16 0,136 0,068 0,000 0,839 0,745 0,000 0,089 0,002 0,598 0,700 0,716
Modo 17 0,127 0,000 0,062 0,839 0,807 0,068 0,000 0,000 0,665 0,700 0,716
Modo 18 0,119 0,001 0 0,839 0,807 0,000 0,000 0,046 0,665 0,700 0,762
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Modo 31 0,071 0,044 0 0,912 0,829 0,000 0,074 0,002 0,707 0,834 0,788
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Modo 35 0,044 0,000 0,089 0,968 0,958 0,166 0,000 0,000 0,932 0,947 0,816
Fuente: Modelación ETABS, elaborado por autores.
Para las edificaciones de 6 pisos, en referencia al cumplimiento del porcentaje de
participación de masas según la NEC, la estructura Nº 4 necesita de 8 modos de
vibración, la estructura Nº 5 debido a su irregularidad en planta y elevación necesita
de 17 modos y la estructura Nº 6 correspondiente a un edificio irregular con
subsuelo necesita 35 modos.
Nótese que en la estructura Nº 6 los tres modos de vibración por planta resultan
insuficientes para el cumplimiento del porcentaje de participación de masas; esto
da a entender que la presencia del subsuelo incrementa en gran medida el número
de modos de vibración.
103
Referente al comportamiento rotacional, ninguna de las edificaciones presenta
inconveniente alguno, ya que el porcentaje predominante se da en el tercer modo.
Gráfico 34. Participación de masas – Estructura de 6 Pisos
Fuente: Elaborado por autores
Estructura de 12 pisos
Tomando la referencia de los 3 GDL por piso, las estructuras con doce niveles
cuentan con 36 modos de vibración. Los tres primeros modos de vibración resultan
ser los de mayor aporte en la participación modal. Las siguientes tablas puntualiza
la participación modal de masas para las estructuras de doce pisos:
Tabla 55. Participación Modal - Estructura Nº 7
Modo de Vibración
Período (s)
UX UY Sum UX
Sum UY
RX RY RZ Sum RX
Sum RY
Sum RZ
Modo 1 1,582 0 0,714 0,000 0,714 0,300 0 0 0,300 0 0
Modo 2 1,570 0,717 0 0,717 0,714 0 0,296 0 0,300 0,296 0
Modo 3 1,464 0 0 0,717 0,714 0 0 0,717 0,300 0,296 0,717
Modo 4 0,596 0 0,132 0,717 0,845 0,339 0 0 0,638 0,296 0,717
Modo 5 0,590 0,130 0 0,847 0,845 0 0,345 0 0,638 0,640 0,717
Modo 6 0,565 0 0 0,847 0,845 0 0 0,131 0,638 0,640 0,848
Modo 7 0,357 0 0,050 0,847 0,895 0,083 0 0 0,721 0,640 0,848
Modo 8 0,350 0,050 0 0,897 0,895 0 0,086 0 0,721 0,726 0,848
Modo 9 0,337 0 0 0,897 0,895 0 0 0,051 0,721 0,726 0,900
Modo 10 0,244 0 0,029 0,897 0,924 0,080 0 0 0,801 0,726 0,900
Modo 11 0,241 0,028 0 0,925 0,924 0 0,078 0 0,801 0,805 0,900
Modo 12 0,230 0 0 0,925 0,924 0 0 0,029 0,801 0,805 0,928
8
17 18
17
0
9
18
27
36
N° 4 (Regular) N° 5 (Irregular) N° 6 (Irregular con
muros)
Nú
me
ro d
e m
od
os
Cumplimiento de Participación ModalEstructura de 6 pisos
104
Modo 13 0,183 0 0,019 0,925 0,943 0,045 0 0 0,847 0,805 0,928
Modo 14 0,180 0,019 0 0,944 0,943 0 0,043 0 0,847 0,848 0,928
Modo 15 0,174 0 0 0,944 0,943 0 0 0,019 0,847 0,848 0,947
Modo 16 0,143 0 0,012 0,944 0,955 0,035 0 0 0,881 0,848 0,947
Modo 17 0,140 0,013 0 0,957 0,955 0 0,036 0 0,881 0,884 0,947
Modo 18 0,134 0 0 0,957 0,955 0 0 0,013 0,881 0,884 0,960
Modo 19 0,119 0 0,010 0,957 0,965 0,023 0 0 0,904 0,884 0,960
Modo 20 0,115 0,010 0 0,967 0,965 0 0,025 0 0,904 0,909 0,960
Modo 21 0,111 0 0 0,967 0,965 0 0 0,008 0,904 0,909 0,968
Modo 22 0,100 0 0,008 0,967 0,973 0,021 0 0 0,925 0,909 0,968
Modo 23 0,097 0,007 0 0,973 0,973 0 0,018 0 0,925 0,927 0,968
Modo 24 0,095 0 0 0,973 0,973 0 0 0,007 0,925 0,927 0,976
Modo 25 0,082 0 0,006 0,973 0,979 0,017 0 0 0,942 0,927 0,976
Modo 26 0,080 0,007 0 0,981 0,979 0 0,020 0 0,942 0,947 0,976
Modo 27 0,078 0 0 0,981 0,979 0 0 0,007 0,942 0,947 0,983
Modo 28 0,070 0 0,008 0,981 0,987 0,021 0 0 0,963 0,947 0,983
Modo 29 0,068 0,007 0 0,988 0,987 0 0,019 0 0,963 0,966 0,983
Modo 30 0,066 0 0 0,988 0,987 0 0 0,007 0,963 0,966 0,990
Modo 31 0,056 0 0,007 0,988 0,994 0,020 0 0 0,983 0,966 0,990
Modo 32 0,055 0,007 0 0,994 0,994 0 0,019 0 0,983 0,984 0,990
Modo 33 0,054 0 0 0,994 0,994 0 0 0,006 0,983 0,984 0,995
Modo 34 0,045 0 0,006 0,994 1,000 0,017 0 0 1,000 0,984 0,995
Modo 35 0,044 0,006 0 1,000 1,000 0 0,016 0 1,000 1,000 0,995
Modo 36 0,044 0 0 1,000 1,000 0 0 0,005 1,000 1,000 1,000
Fuente: Modelación ETABS, elaborado por autores.
Tabla 56. Participación Modal - Estructura Nº 8
Modo de Vibración
Período (s)
UX UY Sum UX
Sum UY
RX RY RZ Sum RX
Sum RY
Sum RZ
Modo 1 1,619 0,0003 0,6066 0,0003 0,6066 0,4193 0,0002 1,412E-06 0,4193 0,0002 1,412E-06
Modo 2 1,607 0,6092 0,0003 0,6095 0,607 0,0002 0,417 8,895E-07 0,4196 0,4173 2,302E-06
Modo 3 1,475 8,353E-07 5,307E-06 0,6095 0,607 5,57E-06 5,691E-07 0,581 0,4196 0,4173 0,581
Modo 4 0,611 2,54E-05 0,1143 0,6095 0,7212 0,1448 3,61E-05 1,194E-06 0,5644 0,4173 0,581
Modo 5 0,605 0,1123 2,394E-05 0,7218 0,7213 2,77E-05 0,1478 0 0,5644 0,5651 0,581
Modo 6 0,569 5,19E-07 2,329E-06 0,7218 0,7213 1,76E-06 5,06E-07 0,1071 0,5644 0,5651 0,6881
Modo 7 0,366 2,85E-06 0,044 0,7218 0,7653 0,0337 2,30E-06 0 0,5981 0,5651 0,6881
Modo 8 0,359 0,0444 2,003E-06 0,7663 0,7653 7,57E-07 0,0348 0 0,5981 0,5999 0,6881
Modo 9 0,34 0 7,465E-07 0,7663 0,7653 0 0 0,0422 0,5981 0,5999 0,7303
Modo 10 0,251 2,90E-06 0,0276 0,7663 0,7928 0,0391 4,57E-06 0 0,6373 0,5999 0,7303
Modo 11 0,247 0,0261 1,901E-06 0,7924 0,7928 2,06E-06 0,0376 0 0,6373 0,6376 0,7303
Modo 12 0,232 0 0 0,7924 0,7928 0 5,144E-07 0,0243 0,6373 0,6376 0,7547
Modo 13 0,188 3,00E-06 0,0191 0,7924 0,8119 0,0232 3,39E-06 0 0,6605 0,6376 0,7547
Modo 14 0,186 0,0186 1,464E-06 0,811 0,8119 9,7E-07 0,0219 0 0,6605 0,6594 0,7547
105
Modo 15 0,176 5,531E-07 0 0,811 0,8119 0 7,475E-07 0,0158 0,6605 0,6594 0,7704
Modo 16 0,147 1,50E-06 0,0146 0,811 0,8266 0,0217 2,20E-06 0 0,6822 0,6594 0,7704
Modo 17 0,144 0,0151 0 0,8261 0,8266 0 0,022 0 0,6822 0,6814 0,7704
Modo 18 0,136 8,721E-07 0 0,8261 0,8266 0 1,32E-06 0,012 0,6822 0,6814 0,7824
Modo 19 0,122 0 0,0125 0,8261 0,839 0,0162 0 0 0,6984 0,6814 0,7824
Modo 20 0,118 0,0125 1,656E-06 0,8386 0,839 4,06E-06 0,0171 0 0,6984 0,6985 0,7824
Modo 21 0,112 1,10E-06 0 0,8386 0,839 0 1,76E-06 0,0078 0,6984 0,6985 0,7903
Modo 22 0,103 0 0,0121 0,8386 0,8512 0,0182 0 0 0,7166 0,6985 0,7903
Modo 23 0,1 0,0107 3,927E-06 0,8494 0,8512 8,4E-06 0,016 0 0,7166 0,7145 0,7903
Modo 24 0,096 1,61E-06 0 0,8494 0,8512 0 2,71E-06 0,0072 0,7166 0,7145 0,7975
Modo 25 0,086 1,07E-05 0,0183 0,8494 0,8695 0,029 1,63E-05 0 0,7456 0,7145 0,7975
Modo 26 0,084 0,018 0 0,8674 0,8695 8,54E-07 0,0282 0 0,7456 0,7427 0,7975
Modo 27 0,079 5,60E-06 1,055E-06 0,8675 0,8695 2,85E-06 9,91E-06 0,0085 0,7456 0,7427 0,806
Modo 28 0,075 0 0,0209 0,8675 0,8905 0,0352 0 6,132E-06 0,7808 0,7427 0,806
Modo 29 0,072 0,0216 1,784E-05 0,8891 0,8905 3,95E-05 0,0362 0 0,7808 0,779 0,806
Modo 30 0,067 9,46E-06 0 0,8891 0,8905 6,27E-07 1,77E-05 0,0086 0,7808 0,779 0,8146
Modo 31 0,063 0,0001 0,0408 0,8892 0,9313 0,0733 0,0002 0,00001773 0,8542 0,7792 0,8146
Modo 32 0,061 0,0394 0,0001 0,9286 0,9313 0,0001 0,0704 5,179E-07 0,8542 0,8496 0,8146
Modo 33 0,055 0,0001 5,461E-06 0,9287 0,9313 6,29E-06 0,0001 0,0104 0,8543 0,8497 0,825
Modo 34 0,054 0,0007 0,0306 0,9294 0,9619 0,0611 0,0015 0,00003615 0,9153 0,8512 0,8251
Modo 35 0,053 0,0384 0,0009 0,9678 0,9628 0,0017 0,0751 6,399E-06 0,917 0,9262 0,8251
Modo 36 0,045 0,0001 0,0007 0,9679 0,9635 0,0015 0,0002 0,0134 0,9186 0,9264 0,8384
Fuente: Modelación ETABS, elaborado por autores.
Tabla 57. Participación Modal - Estructura Nº 9
Modo de Vibración
Período (s)
UX UY Sum UX
Sum UY
RX RY RZ Sum RX
Sum RY
Sum RZ
Modo 1 1,631 0,0003 0,5168 0,0003 0,5168 0,4888 0,0003 0 0,4888 0,0003 0
Modo 2 1,619 0,5191 0,0003 0,5194 0,5171 0,0003 0,4871 6,27E-07 0,4891 0,4874 6,37E-07
Modo 3 1,477 5,848E-07 3,87E-06 0,5194 0,5171 4,65E-06 0 0,479 0,4891 0,4874 0,479
Modo 4 0,615 1,94E-05 0,1007 0,5195 0,6178 0,0566 1,23E-05 0 0,5457 0,4874 0,479
Modo 5 0,608 0,0993 1,736E-05 0,6187 0,6178 7,8E-06 0,0587 0 0,5457 0,5462 0,479
Modo 6 0,57 0 1,973E-06 0,6187 0,6178 6,13E-07 0 0,0898 0,5457 0,5462 0,5688
Modo 7 0,368 1,75E-06 0,042 0,6188 0,6598 0,0131 0 0 0,5589 0,5462 0,5688
Modo 8 0,361 0,0429 6,858E-07 0,6616 0,6598 0 0,0139 0 0,5589 0,5601 0,5688
Modo 9 0,341 0 9,346E-07 0,6616 0,6598 0 0 0,0367 0,5589 0,5601 0,6055
Modo 10 0,253 1,74E-06 0,0305 0,6616 0,6903 0,0216 1,09E-06 0 0,5804 0,5601 0,6055
Modo 11 0,249 0,0295 0 0,6911 0,6903 0 0,0213 0 0,5804 0,5814 0,6055
Modo 12 0,233 7,11E-07 9,378E-07 0,6911 0,6903 5,35E-07 5,512E-07 0,0226 0,5804 0,5814 0,6281
Modo 13 0,19 3,05E-06 0,0266 0,6911 0,7169 0,0175 1,12E-06 7,65E-07 0,598 0,5814 0,6281
Modo 14 0,188 0,0269 0 0,7181 0,7169 5,11E-07 0,0175 0 0,598 0,5989 0,6281
Modo 15 0,176 1,35E-06 1,655E-06 0,7181 0,7169 1,13E-06 1,24E-06 0,016 0,598 0,5989 0,6441
106
Modo 16 0,149 7,11E-06 0,0305 0,7181 0,7474 0,0265 4,63E-06 3,37E-06 0,6245 0,5989 0,6441
Modo 17 0,147 0,0336 0 0,7517 0,7474 3,44E-06 0,0294 0 0,6245 0,6283 0,6441
Modo 18 0,136 4,30E-06 2,715E-06 0,7517 0,7474 2,73E-06 4,53E-06 0,0143 0,6245 0,6283 0,6584
Modo 19 0,125 0 0,0401 0,7517 0,7875 0,0362 0 0,00001 0,6607 0,6283 0,6584
Modo 20 0,122 0,0482 2,978E-05 0,7999 0,7875 0,0001 0,0463 0 0,6608 0,6746 0,6584
Modo 21 0,113 1,12E-05 9,653E-06 0,7999 0,7875 1,1E-05 1,37E-05 0,0114 0,6608 0,6746 0,6698
Modo 22 0,108 6,32E-06 0,0642 0,7999 0,8517 0,0715 5,62E-06 0,00003
604 0,7323 0,6746 0,6699
Modo 23 0,105 0,0737 1,376E-05 0,8736 0,8517 4,23E-05 0,0847 0 0,7324 0,7593 0,6699
Modo 24 0,097 2,24E-05 0,0002 0,8737 0,8519 0,0002 3,19E-05 0,0134 0,7326 0,7594 0,6832
Modo 25 0,095 0 0,067 0,8737 0,9189 0,0855 0 9,64E-06 0,8181 0,7594 0,6832
Modo 26 0,094 0,0534 0,0001 0,9271 0,919 0,0001 0,0701 0,0000 0,8182 0,8294 0,6832
Modo 27 0,082 0,0001 0,0203 0,9272 0,9393 0,0316 0,0001 0,0002 0,8498 0,8296 0,6835
Modo 28 0,08 0,0185 2,674E-05 0,9457 0,9393 0,0001 0,0299 0,001 0,8498 0,8595 0,6844
Modo 29 0,08 0,0006 0,0001 0,9462 0,9393 0,0001 0,0009 0,0278 0,8499 0,8604 0,7122
Modo 30 0,071 0,0002 0,0116 0,9464 0,951 0,0219 0,0003 0,0002 0,8718 0,8607 0,7124
Modo 31 0,069 0,0032 0 0,9496 0,951 1,23E-06 0,0065 0,0332 0,8718 0,8672 0,7456
Modo 32 0,069 0,0048 0,0002 0,9544 0,9512 0,0003 0,0096 0,0202 0,8721 0,8768 0,7658
Modo 33 0,06 0,0001 3,742E-05 0,9545 0,9512 0,0001 0,0003 0,1377 0,8722 0,877 0,9036
Modo 34 0,059 0,0003 0,0086 0,9548 0,9598 0,0218 0,0005 0,0019 0,894 0,8776 0,9055
Modo 35 0,058 0,0058 0,0002 0,9606 0,96 0,0004 0,0154 0,0015 0,8944 0,8929 0,907
Modo 36 0,053 0,0001 4,256E-06 0,9608 0,96 7,93E-06 0,0003 0,0428 0,8944 0,8933 0,9499
Fuente: Modelación ETABS, elaborado por autores.
Para las edificaciones de 12 pisos con respecto a la participación de masas
estipulado en la NEC, la estructura Nº 7 requiere de 11 modos de vibración, la
estructura Nº 8 debido a la presencia de dos subsuelos demanda de 32 modos y la
estructura Nº 9 correspondiente a un edificio regular con cuatro subsuelos necesita
35 modos. Gráfico 35.
Al tratarse de estructuras regulares y simétricas, ninguna de ellas presenta
inconvenientes con el requisito torsional, ya que el porcentaje mayoritario se da en
el tercer modo de vibración.
107
Gráfico 35. Participación de masas – Estructura de 12 Pisos Fuente: Elaborado por autores
Evidenciando la influencia de subsuelos en el incremento del número de modos de
vibración, se presenta un breve análisis del mismo.
Gráfico 36. Participación de masas – (12 Pisos con subsuelo) Fuente: Elaborado por autores
El Gráfico 36 muestra el número de modos requerido para una misma estructura
pero con diferente número de subsuelos.; pues se creía que un edificio con más
subsuelos requiere de un número mayor de modos de vibración para el
cumplimiento modal, pero se observa que esta condición no siempre se cumple.
11
3226
0
5
10
15
20
25
30
35
N° 7 (Regular) N° 8 (Regular con 2 sub.) N° 9 (Regular con 4 sub.)
Nú
me
ro d
e m
od
os
Cumplimiento de Participación ModalEstructura de 12 pisos
11
20
3229
2623 22
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6
Nº
de
Mo
do
s
Nº de Subsuelos
Cumplimiento de Participación ModalEstructura de 12 Pisos
108
4.2 COMBINACIONES MODALES
• Para todas las estructuras se emplea las seis combinaciones modales que
presenta el software Etabs. Se tabulan los resultados de derivas inelásticas
para posteriormente graficarlas y especificar con cuál de las combinaciones
modales se logran valores más críticos. El siguiente gráfico idealiza la
aplicación de las combinaciones.
Gráfico 37. Combinaciones Modales
Fuente: Elaborado por autores
• Los resultados de derivas obtenidos por el software Etabs en manera de
tablas se presentan en el Anexo Nº 1.
• Para la aprobación de la deriva inelástica se debe cumplir con lo siguiente:
Deriva inelástica (ΔM) < Deriva máxima permitida (ΔM máx)
Donde: Deriva inelástica (ΔM) = 0,75*R*ΔE
Deriva elástica (ΔE) → Valor obtenido del software
Etabs.
Tabla 58. Deriva Máxima de piso
Estructura ΔM máx. [sin unidad]
Hormigón armado, estructuras metálicas y de madera 0,02
Fuente: Norma Ecuatoriana de la Construcción (NEC-15)
DER
IVA
S IN
ELÁ
STIC
AS
SISMO EN "X"
SISMO EN "Y"
ESPECTRO EN "X"
ESPECTRO EN "Y"
CO
MB
INA
CIO
NES
M
OD
ALE
S
Absoluto
Doble Suma
CQC
GMC
NRC 10%
SRSS
109
4.2.1 Derivas de piso en Estructuras de 3 Pisos
Las derivas inelásticas máximas para las estructuras de tres pisos, se ilustran en los
siguientes gráficos:
Estructura Nº 1: Regular - 3 pisos
Gráfico 38. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 1
Fuente: Elaborado por autores
Gráfico 39. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 1
Fuente: Elaborado por autores
2,7
5,4
8,1
0,007 0,008 0,009 0,01 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMAS Combos Estáticos
SX+ SX- SY+ SY-
2,7
5,4
8,1
0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMAS Combinaciones Modales - Espectro en "X"
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
110
Gráfico 40. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 1
Fuente: Elaborado por autores
Como se aprecia en los gráficos 38-40, las derivas máximas ocurren en el 2º piso,
con valores menores al límite máximo establecido por la NEC (0,02); siendo
mínimos en el último piso. Las derivas generadas por las cargas SX y SY son
mayores a las generadas por las aceleraciones espectrales aplicadas con diferente
combinación modal.
Hay que señalar también que, la estructura Nº 1 cumple sin inconvenientes la
demanda de derivas; no obstante, su período natural excede al valor T2 establecido
por la NEC (0,52 > T2); demostrándose que un adecuado dimensionamiento
estructural no siempre satisface los requerimientos de la normativa vigente.
2,7
5,4
8,1
0,007 0,008 0,009 0,01 0,011 0,012 0,013
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMAS Combinaciones Modales - Espectro en "Y"
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
111
Estructura Nº 2: Regular - 3 pisos
Gráfico 41. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 2
Fuente: Elaborado por autores
Gráfico 42. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 2
Fuente: Elaborado por autores
2,7
5,4
8,1
0,0065 0,0075 0,0085 0,0095 0,0105 0,0115 0,0125
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombos Estáticos
SX+ SX- SY+ SY-
2,7
5,4
8,1
0,005 0,0055 0,006 0,0065 0,007 0,0075 0,008 0,0085
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales (Espectro en "X")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
112
Gráfico 43. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 2
Fuente: Elaborado por autores
Estructura Nº 3: Irregular - 3 pisos
Gráfico 44. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 3
Fuente: Elaborado por autores
2,7
5,4
8,1
0,006 0,0065 0,007 0,0075 0,008 0,0085 0,009 0,0095 0,01 0,0105
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales (Espectro en "Y")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
2,7
5,4
8,1
0,0065 0,0075 0,0085 0,0095 0,0105 0,0115 0,0125
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMAS Combos Estáticos
SX+ SX- SY+ SY-
113
Gráfico 45. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 3
Fuente: Elaborado por autores
Gráfico 46. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 3
Fuente: Elaborado por autores
En las estructuras Nº 2 y Nº 3 las derivas máximas ocurren en el 2º piso (gráficos
41-46), con valores muy por debajo al límite máximo establecido por la NEC (0,02);
las derivas máximas generadas por las cargas SX y SY son mayores a las generadas
por aceleraciones espectrales aplicadas con diferentes combinaciones modales.
La estructura con irregularidad en planta y elevación (Nº3), resulta ser más flexible
que la estructura de configuración regular(Nº2), pero logra satisfacer los límites
máximos de la NEC.
2,7
5,4
8,1
0,0055 0,006 0,0065 0,007 0,0075 0,008 0,0085 0,009
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMAS Combinaciones modales (Espectro en "X")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
2,7
5,4
8,1
0,008 0,009 0,01 0,011 0,012 0,013
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones modales (Espectro en "Y")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC10% DOBLE SUMA
114
En los gráficos anteriores, se aprecia la variación de derivas producidas por
aceleraciones espectrales utilizando diferentes combinaciones modales. En la
siguiente tabla se muestra dicha variación definida en porcentajes, tomando como
referencia aquella que genera mayores derivas, para este caso la combinación modal
Doble Suma.
Tabla 59. Derivas con diferentes combinaciones modales – 3 Pisos
Nº Combinación
Modal
Derivas Espectro 3 Pisos
Estructura Nº 1 Estructura Nº 2 Estructura Nº 3
1 Doble Suma 100,00% 100,00% 100,00%
2 NRC 10% 99,29% 99,41% 98,72%
3 SRSS 99,29% 99,41% 98,72%
4 CQC 98,36% 98,64% 98,27%
5 GMC 98,30% 98,59% 96,26%
6 Absoluto 95,57% 96,91% 96,23%
Fuente: Elaborado por autores.
Claramente se identifica que los criterios de combinación modal Doble Suma, NRC
10% y SRSS alcanzan respuestas más críticas de derivas; mientras que el Absoluto
logra valores más conservadores, estableciendo una diferencia aproximada de un
4% entre una y otra.
115
4.2.2 Derivas de piso en Estructuras de 6 Pisos
Las derivas inelásticas máximas para las estructuras de seis pisos se ilustran en los
siguientes gráficos:
Estructura Nº 4: Regular - 6 pisos
Gráfico 47. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 4
Fuente: Elaborado por autores
Gráfico 48. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 4
Fuente: Elaborado por autores
0
2,7
5,4
8,1
10,8
13,5
16,2
0 0,005 0,01 0,015 0,02
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombos Estáticos
SX+ SX- SY+ SY-
0
2,7
5,4
8,1
10,8
13,5
16,2
0,007 0,009 0,011 0,013 0,015 0,017
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales Espectro en "X"
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
116
Gráfico 49. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 4
Fuente: Elaborado por autores
Estructura Nº 5: Irregular - 6 pisos
Gráfico 50. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 5
Fuente: Elaborado por autores
0
2,7
5,4
8,1
10,8
13,5
16,2
0,007 0,009 0,011 0,013 0,015 0,017
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones modales (Espectro en "Y")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
0
2,7
5,4
8,1
10,8
13,5
16,2
0 0,005 0,01 0,015 0,02
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombos Estáticos
SX+ SY+ SX- SY-
117
Gráfico 51. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 5
Fuente: Elaborado por autores
Gráfico 52. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 5
Fuente: Elaborado por autores
Las derivas máximas por cargas SX y SY son mayores a las generadas por
aceleraciones espectrales aplicadas con diferentes combinaciones modales;
obteniéndose valores máximos en el 3º piso y mínimos en el 1º y 6º piso. (Gráficos
47 al 52).
La estructura Nº 5 con irregularidad en elevación, resulta ser más flexible que la de
configuración regular, pero logra satisfacer los límites máximos de la NEC.
0
2,7
5,4
8,1
10,8
13,5
16,2
0,008 0,009 0,01 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,016 0,017
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones modales (Espectro en "X")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC10% DOBLE SUMA
0
2,7
5,4
8,1
10,8
13,5
16,2
0,008 0,009 0,01 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,016 0,017
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones modales (Espectro en "Y")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
118
Estructura Nº 6: Irregular - 6 pisos – Con subsuelo
Gráfico 53. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 6
Fuente: Elaborado por autores
Gráfico 54. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 6
Fuente: Elaborado por autores
0
2,7
5,4
8,1
10,8
13,5
16,2
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombos Estáticos
SX+ SY+ SX- SY-
0
2,7
5,4
8,1
10,8
13,5
16,2
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales (Espectro en "X")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
119
Gráfico 55. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 6
Fuente: Elaborado por autores
En la estructura Nº 6 correspondiente a una edificación irregular de seis pisos con
presencia de un subsuelo, las derivas máximas producidas por las aceleraciones
espectrales son mayores a las generadas por el sismo estático (SX y SY).
En el gráfico 54 se observa que las derivas generadas por las aceleraciones
espectrales con combinaciones modales ABS, CQC y GMC son las únicas que
satisfacen lo dispuesto en la NEC, a diferencia de las restantes (Doble Suma, NRC
10% y SRSS) que superan el límite permisible (0,02).
La Norma Ecuatoriana de la Construcción no especifica el criterio de combinación
modal a utilizarse, dejando a criterio y experiencia de cada profesional la elección
de la combinación modal que crea más conveniente.
La siguiente tabla muestra la variación de derivas producidas por aceleraciones
espectrales utilizando diferentes combinaciones modales, tomando como referencia
aquella que genera mayor deriva, para este caso la combinación modal Doble Suma.
0
2,7
5,4
8,1
10,8
13,5
16,2
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales (Espectro en "Y")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
120
Tabla 60. Derivas con diferentes combinaciones modales - 6 Pisos
Nº Combinación
Modal
Derivas Espectro 6 Pisos
Estructura Nº 4 Estructura Nº 5 Estructura Nº 6
1 Doble Suma 99,92% 100,00% 100,00%
2 NRC 10% 100,00% 100,00% 98,94%
3 SRSS 99,94% 99,92% 98,77%
4 CQC 99,71% 99,60% 96,09%
5 GMC 99,57% 99,50% 95,92%
6 Absoluto 94,12% 92,46% 88,56%
Fuente: Elaborado por autores.
Se ratifica que los criterios de combinación modal Doble Suma, NRC 10% y SRSS
logran respuestas más críticas de derivas; mientras que el Absoluto alcanza valores
más reservados, estableciendo una diferencia aproximada de un 8% entre la primera
y última.
4.2.1 Derivas de piso en Estructuras de 12 Pisos
Las derivas inelásticas máximas para las estructuras de doce pisos se ilustran en los
siguientes gráficos:
Estructura Nº 7: Regular - 12 pisos
Gráfico 56. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 7
Fuente: Elaborado por autores
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
0,005 0,007 0,009 0,011 0,013 0,015 0,017 0,019 0,021
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombos Estáticos
SX+ SY+ SX- SY-
121
Gráfico 57. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 7
Fuente: Elaborado por autores
Gráfico 58. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 7
Fuente: Elaborado por autores
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales (Espectro en "X")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales (Espectro en "Y")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
122
Estructura Nº 8: Regular - 12 pisos – Con 2 Subsuelos
Gráfico 59. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 8
Fuente: Elaborado por autores
Gráfico 60. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 8
Fuente: Elaborado por autores
-6
-3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
0 0,003 0,006 0,009 0,012 0,015 0,018 0,021
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombos Estáticos
SX+ SY+ SX- SY-
-6
-3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales (Espectro en "X")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
123
Gráfico 61. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 8
Fuente: Elaborado por autores
Estructura Nº 9: Regular - 12 pisos – Con 4 Subsuelos
Gráfico 62. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 9
Fuente: Elaborado por autores
-6
-3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales (Espectro en "Y")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
-12
-9
-6
-3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
0 0,003 0,006 0,009 0,012 0,015 0,018 0,021
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombos Estáticos
SX+ SY+ SX- SY-
124
Gráfico 63. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 9
Fuente: Elaborado por autores
Gráfico 64. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 9
Fuente: Elaborado por autores
-12
-9
-6
-3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales (Espectro en "X")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
-12
-9
-6
-3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016
ALT
UR
A D
EL E
DIF
ICIO
(m
)
DERIVA
DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales (Espectro en "Y")
CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA
125
Los gráficos 56-64 muestran que las derivas máximas ocurren en el 6º piso, siendo
mayores las derivas generadas por las cargas SX y SY que por las aceleraciones
espectrales (Espectro X, Espectro Y).
Las tres estructuras de doce pisos presentan valores similares de derivas,
independientemente del número de subsuelos presentado en dos de ellas. Esto tiene
trascendencia por la aplicación del cortante basal a nivel de calzada (N+0,00 m),
es decir, no se considera el peso de los subsuelos en la determinación de la fuerza
lateral de diseño, manteniéndose constante en todas ellas.
La siguiente tabla muestra la variación de derivas generadas por las aceleraciones
espectrales utilizando diferentes combinaciones modales; se toma como referencia
aquella que genera mayor deriva, para este caso la combinación modal NRC 10%.
Tabla 61. Derivas con diferentes combinaciones modales – 12 Pisos
Nº Combinación
Modal
Derivas Espectro 12 Pisos
Estructura Nº 7 Estructura Nº 8 Estructura Nº 9
1 NRC 10% 100,00% 100,00% 100,00%
2 SRSS 100,00% 99,80% 99,90%
3 Doble Suma 99,68% 99,64% 99,76%
4 CQC 98,94% 98,59% 98,53%
5 GMC 98,60% 98,28% 98,24%
6 Absoluto 87,91% 89,19% 90,53%
Fuente: Elaborado por autores.
En este caso, la combinación modal NRC 10% es la que predomina, seguida por las
combinaciones SRSS y Doble Suma. El criterio de combinación modal Absoluto
sigue respondiendo con valores reservados, estableciéndose una diferencia
aproximada de un 12% entre el ABS y la NRC 10%.
De forma general, los métodos de combinación modal empleados en el análisis han
involucrado una variación en los resultados de derivas, logrando respuestas más
críticas con las combinaciones modales “SRSS”, “NRC 10%” y “Doble Suma”, no
así con las combinaciones CQC, GMC y ABS que arrojan derivas menores. El
criterio de combinación menos crítico es el ABSOLUTO.
126
4.3 ANÁLISIS DE LA INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE
VIBRACIÓN
Para el proceso de estudio, se emplea en todos los casos el criterio de combinación
modal Doble Suma, por ser considerada como una de las más críticas.
Se toma en cuenta únicamente los resultados obtenidos por las condiciones
dinámicas, es decir, los datos derivados de los espectros en cada dirección
horizontal principal para posteriormente realizar una comparación entre las mismas.
Para la comparación de resultados, se toma como referencia las derivas elásticas
que consideran el 90 % de masas participativas (NEC-15), es decir, estos valores
serán el 100% y con relación a ellos se obtendrá los porcentajes de afectación de
los demás criterios.
4.3.1 Derivas de piso
Estructura Nº 2: Regular - 3 pisos
Tabla 62. Influencia del Nº modos de vibración – E2
1gdl/piso 90% NEC 3gdl/piso Default 1gdl/piso 90% NEC 3gdl/piso Default
3 Modos 5 Modos 9 Modos 12 Modos 3 Modos 5 Modos 9 Modos 12 Modos
Piso Combo/
Dirección Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
P3 (8,1 m) ESPECTRO X 0,000861 0,000867 0,000867 0,000867 99,31% 100,00% 100,00% 100,00%
P3 (8,1 m) ESPECTRO Y 0,001104 0,001112 0,001112 0,001112 99,28% 100,00% 100,00% 100,00%
P2 (5,4 m) ESPECTRO X 0,001399 0,001385 0,001384 0,001384 101,01% 100,00% 99,93% 99,93%
P2 (5,4 m) ESPECTRO Y 0,001754 0,001734 0,001733 0,001733 101,15% 100,00% 99,94% 99,94%
P1 (2,7 m) ESPECTRO X 0,001061 0,001055 0,001054 0,001054 100,57% 100,00% 99,91% 99,91%
P1 (2,7 m) ESPECTRO Y 0,001292 0,001283 0,001282 0,001282 100,70% 100,00% 99,92% 99,92%
Fuente: Etabs - Elaborado por autores.
127
Gráfico 65. Influencia del Nº modos de vibración – E2
Fuente: Elaborado por autores
Estructura Nº 3: Irregular – 3 pisos
Tabla 63. Influencia del Nº modos de vibración – E3
1gdl/piso 3gdl/piso 90% NEC Default 1gdl/piso 3gdl/piso 90% NEC Default
3 Modos 9 Modos 10 Modos 12 Modos 3 Modos 9 Modos 10 Modos 12 Modos
Piso Combo/
Dirección Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
P3 (8,1 m) ESPECTRO X 0,000937 0,000941 0,000952 0,000955 98,42% 98,84% 100,00% 100,32%
P3 (8,1 m) ESPECTRO Y 0,001462 0,001482 0,001482 0,001481 98,65% 100,00% 100,00% 99,93%
P2 (5,4 m) ESPECTRO X 0,001458 0,001458 0,001445 0,001445 100,90% 100,90% 100,00% 100,00%
P2 (5,4 m) ESPECTRO Y 0,002125 0,002107 0,002107 0,002105 100,85% 100,00% 100,00% 99,91%
P1 (2,7 m) ESPECTRO X 0,001117 0,001117 0,001111 0,001111 100,54% 100,54% 100,00% 100,00%
P1 (2,7 m) ESPECTRO Y 0,001592 0,001584 0,001584 0,001583 100,51% 100,00% 100,00% 99,94%
Fuente: Etabs - Elaborado por autores.
1
2
3
99,00% 99,50% 100,00% 100,50% 101,00% 101,50%
Nº
de
Pis
os
Variación Deriva Elástica (%)
INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓNEstructura de 3 pisos "E2"
3 Modos (1gdl/piso)
5 Modos (90% NEC)
9 Modos (3gdl/piso)
12 Modos (Default)
128
Gráfico 66. Influencia del Nº modos de vibración – E3
Fuente: Elaborado por autores
Los gráficos 65 y 66 ponen en manifiesto la variación porcentual de derivas
elásticas, cuando se consideran diferentes números de modos de vibración,
alcanzando valores más significativos con 3 modos de vibración (1gdl/piso).
En la estructura regular de tres pisos “E2”, la consideración de los 9 modos de
vibración (3gdl/piso) y los 12 modos de vibración (default) no representan mayor
afectación en la respuesta de derivas, pero estas mismas consideraciones aplicadas
en la estructura “E3” que se caracteriza por tener una geometría irregular, revelan
valores más notorios de derivas, dejando muy en claro que el número de modos de
vibración si influye en las respuestas estructurales y más aún, cuando la
estructura está sujeta a características de irregularidad.
1
2
3
98,50% 99,00% 99,50% 100,00% 100,50% 101,00%
Nº
de
Pis
os
Variación Deriva Elástica (%)
INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓNEstructura de 3 pisos "E3"
3 Modos (1gdl/piso)
9 Modos (3gdl/piso)
10 Modos (90% NEC)
12 Modos (Default)
129
Estructura Nº 4: Regular - 6 pisos
Tabla 64. Influencia del Nº modos de vibración – E4
1gdl/piso 90% NEC Default 3gdl/piso 1gdl/piso 90% NEC Default 3gdl/piso
6 Modos 8 Modos 12 Modos 18 Modos 6 Modos 8 Modos 12 Modos 18 Modos
Piso Combo/
Dirección Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
P6 (16,2 m) ESPECTRO X 0,001398 0,001411 0,001413 0,001411 99,08% 100,00% 100,14% 100,00%
P6 (16,2 m) ESPECTRO Y 0,001239 0,00125 0,001252 0,001251 99,12% 100,00% 100,16% 100,08%
P5 (13,5 m) ESPECTRO X 0,002365 0,002357 0,002357 0,002354 100,34% 100,00% 100,00% 99,87%
P5 (13,5 m) ESPECTRO Y 0,002124 0,002118 0,002118 0,002116 100,28% 100,00% 100,00% 99,91%
P4 (10,8 m) ESPECTRO X 0,002416 0,002413 0,00241 0,002408 100,12% 100,00% 99,88% 99,79%
P4 (10,8 m) ESPECTRO Y 0,002117 0,002115 0,002113 0,002112 100,09% 100,00% 99,91% 99,86%
P3 (8,1 m) ESPECTRO X 0,002581 0,002574 0,002572 0,002569 100,27% 100,00% 99,92% 99,81%
P3 (8,1 m) ESPECTRO Y 0,002251 0,002245 0,002244 0,002242 100,27% 100,00% 99,96% 99,87%
P2 (5,4 m) ESPECTRO X 0,002489 0,002481 0,002479 0,002476 100,32% 100,00% 99,92% 99,80%
P2 (5,4 m) ESPECTRO Y 0,00219 0,002184 0,002182 0,00218 100,27% 100,00% 99,91% 99,82%
P1 (2,7 m) ESPECTRO X 0,001446 0,001444 0,001443 0,001441 100,14% 100,00% 99,93% 99,79%
P1 (2,7 m) ESPECTRO Y 0,001317 0,001315 0,001315 0,001313 100,15% 100,00% 100,00% 99,85%
Fuente: Etabs - Elaborado por autores.
Gráfico 67. Influencia del Nº modos de vibración – E4
Fuente: Elaborado por autores
1
2
3
4
5
6
99,00% 99,20% 99,40% 99,60% 99,80% 100,00% 100,20% 100,40%
Nº
de
Pis
os
Variación Deriva Elástica (%)
INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓNEstructura de 6 pisos "E4"
6 Modos (1gdl/piso)
8 Modos (90% NEC)
12 Modos (Default)
18 Modos (3gdl/piso)
130
Estructura Nº 5: Irregular - 6 pisos
Tabla 65. Influencia del Nº modos de vibración – E5
1gdl/piso Default 90% NEC 3gdl/piso 1gdl/piso Default 90% NEC 3gdl/piso
6 Modos 12 Modos 17 Modos 18 Modos 6 Modos 12 Modos 17 Modos 18 Modos
Piso Combo/
Dirección Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
P6 (16,2 m) ESPECTRO X 0,001445 0,001543 0,001556 0,001556 92,87% 99,16% 100,00% 100,00%
P6 (16,2 m) ESPECTRO Y 0,001273 0,001367 0,001377 0,001377 92,45% 99,27% 100,00% 100,00%
P5 (13,5 m) ESPECTRO X 0,002283 0,002351 0,002344 0,002344 97,40% 100,30% 100,00% 100,00%
P5 (13,5 m) ESPECTRO Y 0,002035 0,002105 0,002099 0,002099 96,95% 100,29% 100,00% 100,00%
P4 (10,8 m) ESPECTRO X 0,00244 0,002422 0,002418 0,002418 100,91% 100,17% 100,00% 100,00%
P4 (10,8 m) ESPECTRO Y 0,002128 0,002114 0,002112 0,002112 100,76% 100,09% 100,00% 100,00%
P3 (8,1 m) ESPECTRO X 0,002729 0,002695 0,002686 0,002686 101,60% 100,34% 100,00% 100,00%
P3 (8,1 m) ESPECTRO Y 0,002374 0,002346 0,00234 0,00234 101,45% 100,26% 100,00% 100,00%
P2 (5,4 m) ESPECTRO X 0,002672 0,002652 0,002641 0,002641 101,17% 100,42% 100,00% 100,00%
P2 (5,4 m) ESPECTRO Y 0,002349 0,002333 0,002324 0,002324 101,08% 100,39% 100,00% 100,00%
P1 (2,7 m) ESPECTRO X 0,001559 0,001553 0,00155 0,00155 100,58% 100,19% 100,00% 100,00%
P1 (2,7 m) ESPECTRO Y 0,001419 0,001415 0,001412 0,001412 100,50% 100,21% 100,00% 100,00%
Fuente: Etabs - Elaborado por autores.
Gráfico 68. Influencia del Nº modos de vibración – E5
Fuente: Elaborado por autores
1
2
3
4
5
6
92,00% 94,00% 96,00% 98,00% 100,00% 102,00%
Nº
de
Pis
os
Variación Deriva Elástica (%)
INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓNEstructura de 6 pisos "E5"
6 Modos (1gdl/piso)
12 Modos (Default)
17 Modos (90% NEC)
18 Modos (3gdl/piso)
131
Estructura Nº 6: Irregular - 6 pisos – Con Subsuelo
Tabla 66. Influencia del Nº modos de vibración – E6
1gdl/piso Default 3gdl/piso 90% NEC 1gdl/piso Default 3gdl/piso 90% NEC
6 Modos 12 Modos 18 Modos 35 Modos 6 Modos 12 Modos 18 Modos 35 Modos
Piso Combo/
Dirección Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
P6 (16,2 m) ESPECTRO X 0,002208 0,002325 0,002353 0,002338 94,44% 99,44% 100,64% 100,00%
P6 (16,2 m) ESPECTRO Y 0,001735 0,001737 0,001865 0,001842 94,19% 94,30% 101,25% 100,00%
P5 (13,5 m) ESPECTRO X 0,003439 0,003496 0,003488 0,00346 99,39% 101,04% 100,81% 100,00%
P5 (13,5 m) ESPECTRO Y 0,002726 0,002727 0,00275 0,002713 100,48% 100,52% 101,36% 100,00%
P4 (10,8 m) ESPECTRO X 0,00354 0,003487 0,003473 0,003443 102,82% 101,28% 100,87% 100,00%
P4 (10,8 m) ESPECTRO Y 0,00271 0,00271 0,002659 0,002623 103,32% 103,32% 101,37% 100,00%
P3 (8,1 m) ESPECTRO X 0,003689 0,003635 0,003613 0,003582 102,99% 101,48% 100,87% 100,00%
P3 (8,1 m) ESPECTRO Y 0,002796 0,002796 0,002745 0,002708 103,25% 103,25% 101,37% 100,00%
P2 (5,4 m) ESPECTRO X 0,002795 0,002771 0,002756 0,002733 102,27% 101,39% 100,84% 100,00%
P2 (5,4 m) ESPECTRO Y 0,002077 0,002077 0,002057 0,002029 102,37% 102,37% 101,38% 100,00%
P1 (2,7 m) ESPECTRO X 0,000699 0,000697 0,000696 0,000692 101,01% 100,72% 100,58% 100,00%
P1 (2,7 m) ESPECTRO Y 0,000309 0,000309 0,000309 0,000308 100,32% 100,32% 100,32% 100,00%
Fuente: Etabs - Elaborado por autores.
Gráfico 69. Influencia del Nº modos de vibración – E6
Fuente: Elaborado por autores
Nuevamente la mayor diferencia porcentual de derivas elásticas suscita cuando se
considera 1gdl/piso (6 modos), corroborando que en una estructura con geometría
1
2
3
4
5
6
94,00% 96,00% 98,00% 100,00% 102,00% 104,00%
Nº
de
Pis
os
Variación Deriva Elástica (%)
INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓNEstructura de 6 pisos "E6"
6 Modos (1gdl/piso)
12 Modos (Default)
18 Modos (3gdl/piso)
35 Modos (90% NEC)
132
irregular “E5” y “E6” tiene mayor influencia en las respuestas totales de estructuras
a comparación de una estructura regular “E4”
Estructura Nº 7: Regular - 12 pisos
Tabla 67. Influencia del Nº modos de vibración – E7
90% NEC 1gdl/piso 3gdl/piso 90% NEC 1gdl/piso 3gdl/piso
11 Modos 12 Modos 36 Modos 11 Modos 12 Modos 36 Modos
Piso Combo/
Dirección Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
P12 [36,0 m] ESPECTRO X 0,001387 0,001387 0,001405 100,00% 100,00% 101,30%
P12 [36,0 m] ESPECTRO Y 0,001405 0,001405 0,001423 100,00% 100,00% 101,28%
P11 [33,0 m] ESPECTRO X 0,001974 0,001974 0,001965 100,00% 100,00% 99,54%
P11 [33,0 m] ESPECTRO Y 0,00218 0,00218 0,00217 100,00% 100,00% 99,54%
P10 [30,0 m] ESPECTRO X 0,002342 0,002342 0,002334 100,00% 100,00% 99,66%
P10 [30,0 m] ESPECTRO Y 0,002357 0,002357 0,002349 100,00% 100,00% 99,66%
P9 [27,0 m] ESPECTRO X 0,002422 0,002422 0,002409 100,00% 100,00% 99,46%
P9 [27,0 m] ESPECTRO Y 0,002428 0,002428 0,002415 100,00% 100,00% 99,46%
P8 [24,0 m] ESPECTRO X 0,00243 0,00243 0,002417 100,00% 100,00% 99,47%
P8 [24,0 m] ESPECTRO Y 0,002562 0,002562 0,002548 100,00% 100,00% 99,45%
P7 [21,0 m] ESPECTRO X 0,002508 0,002508 0,002494 100,00% 100,00% 99,44%
P7 [21,0 m] ESPECTRO Y 0,002646 0,002646 0,002631 100,00% 100,00% 99,43%
P6 [18,0 m] ESPECTRO X 0,002333 0,002333 0,002319 100,00% 100,00% 99,40%
P6 [18,0 m] ESPECTRO Y 0,00233 0,00233 0,002315 100,00% 100,00% 99,36%
P5 [15,0 m] ESPECTRO X 0,002265 0,002265 0,002252 100,00% 100,00% 99,43%
P5 [15,0 m] ESPECTRO Y 0,002262 0,002262 0,002249 100,00% 100,00% 99,43%
P4 [12,0 m] ESPECTRO X 0,002181 0,002181 0,002169 100,00% 100,00% 99,45%
P4 [12,0 m] ESPECTRO Y 0,002183 0,002183 0,00217 100,00% 100,00% 99,40%
P3 [9,0 m] ESPECTRO X 0,00204 0,00204 0,002028 100,00% 100,00% 99,41%
P3 [9,0 m] ESPECTRO Y 0,002065 0,002065 0,002052 100,00% 100,00% 99,37%
P2 [6,0 m] ESPECTRO X 0,001767 0,001767 0,001757 100,00% 100,00% 99,43%
P2 [6,0 m] ESPECTRO Y 0,001765 0,001765 0,001754 100,00% 100,00% 99,38%
P1 [3,0 m] ESPECTRO X 0,000912 0,000912 0,000908 100,00% 100,00% 99,56%
P1 [3,0 m] ESPECTRO Y 0,000911 0,000911 0,000907 100,00% 100,00% 99,56%
Fuente: Etabs - Elaborado por autores.
133
Gráfico 70. Influencia del Nº modos de vibración – E7
Fuente: Elaborado por autores
Estructura Nº 8: Regular - 12 pisos – Con 2 Subsuelos
Tabla 68. Influencia del Nº modos de vibración – E8
1gdl/piso 90% NEC 3gdl/piso 1gdl/piso 90% NEC 3gdl/piso
12 Modos 32 Modos 36 Modos 12 Modos 32 Modos 36 Modos
Piso Combo/
Dirección Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
P12 [36,0 m] ESPECTRO X 0,001385 0,001413 0,001411 98,02% 100,00% 99,86%
P12 [36,0 m] ESPECTRO Y 0,001412 0,001441 0,001439 97,99% 100,00% 99,86%
P11 [33,0 m] ESPECTRO X 0,00197 0,001964 0,001962 100,31% 100,00% 99,90%
P11 [33,0 m] ESPECTRO Y 0,002175 0,002168 0,002166 100,32% 100,00% 99,91%
P10 [30,0 m] ESPECTRO X 0,002331 0,002327 0,002324 100,17% 100,00% 99,87%
P10 [30,0 m] ESPECTRO Y 0,002356 0,002352 0,002349 100,17% 100,00% 99,87%
P9 [27,0 m] ESPECTRO X 0,0024 0,00239 0,002387 100,42% 100,00% 99,87%
P9 [27,0 m] ESPECTRO Y 0,002407 0,002398 0,002395 100,38% 100,00% 99,87%
P8 [24,0 m] ESPECTRO X 0,002407 0,002397 0,002394 100,42% 100,00% 99,87%
P8 [24,0 m] ESPECTRO Y 0,002546 0,002535 0,002532 100,43% 100,00% 99,88%
P7 [21,0 m] ESPECTRO X 0,002477 0,002467 0,002464 100,41% 100,00% 99,88%
P7 [21,0 m] ESPECTRO Y 0,00262 0,002609 0,002606 100,42% 100,00% 99,89%
P6 [18,0 m] ESPECTRO X 0,002297 0,002286 0,002283 100,48% 100,00% 99,87%
P6 [18,0 m] ESPECTRO Y 0,002299 0,002287 0,002285 100,52% 100,00% 99,91%
P5 [15,0 m] ESPECTRO X 0,002234 0,002223 0,00222 100,49% 100,00% 99,87%
P5 [15,0 m] ESPECTRO Y 0,002237 0,002225 0,002223 100,54% 100,00% 99,91%
P4 [12,0 m] ESPECTRO X 0,00216 0,00215 0,002148 100,47% 100,00% 99,91%
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11
12
99,00% 99,50% 100,00% 100,50% 101,00% 101,50%
Nº
de
Pis
os
Variación Deriva Elástica (%)
INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓNEstructura de 12 pisos "E7"
11 Modos (90% NEC)
12 Modos (1gdl/piso)-(Default)
36 Modos (3gdl/piso)
134
P4 [12,0 m] ESPECTRO Y 0,002167 0,002157 0,002155 100,46% 100,00% 99,91%
P3 [9,0 m] ESPECTRO X 0,002047 0,002036 0,002033 100,54% 100,00% 99,85%
P3 [9,0 m] ESPECTRO Y 0,002071 0,00206 0,002058 100,53% 100,00% 99,90%
P2 [6,0 m] ESPECTRO X 0,001895 0,001885 0,001882 100,53% 100,00% 99,84%
P2 [6,0 m] ESPECTRO Y 0,001909 0,001898 0,001896 100,58% 100,00% 99,89%
P1 [3,0 m] ESPECTRO X 0,00133 0,001325 0,001324 100,38% 100,00% 99,92%
P1 [3,0 m] ESPECTRO Y 0,001385 0,001379 0,001378 100,44% 100,00% 99,93%
BASE [0,0 m] ESPECTRO X 0,000358 0,000358 0,000358 100,00% 100,00% 100,00%
BASE [0,0 m] ESPECTRO Y 0,0003 0,000301 0,0003 99,67% 100,00% 99,67%
Sub1 [-3,0 m] ESPECTRO X 6,20E-05 6,50E-05 6,70E-05 95,38% 100,00% 103,08%
Sub1 [-3,0 m] ESPECTRO Y 5,90E-05 6,00E-05 6,00E-05 98,33% 100,00% 100,00%
Fuente: Etabs - Elaborado por autores.
Gráfico 71. Influencia del Nº modos de vibración – E8
Fuente: Elaborado por autores
Estructura Nº 9: Regular - 12 pisos – Con 4 Subsuelos
Tabla 69. Influencia del Nº modos de vibración – E9
1gdl/piso 90% NEC 3gdl/piso 1gdl/piso 90% NEC 3gdl/piso
12 Modos 26 Modos 36 Modos 12 Modos 26 Modos 36 Modos
Piso Combo/
Dirección Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
Deriva Elástica
P12 [36,0 m] ESPECTRO X 0,001417 0,001483 0,00148 95,55% 100,00% 99,80%
P12 [36,0 m] ESPECTRO Y 0,00144 0,001507 0,001503 95,55% 100,00% 99,73%
P11 [33,0 m] ESPECTRO X 0,001994 0,002001 0,001998 99,65% 100,00% 99,85%
P11 [33,0 m] ESPECTRO Y 0,002198 0,002204 0,002199 99,73% 100,00% 99,77%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
97,00% 98,00% 99,00% 100,00% 101,00%
Nº
de
Pis
os
Variación Deriva Elástica (%)
INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓNEstructura de 12 pisos "E8"
12 Modos (1gdl/piso)-(Default)
32 Modos (90% NEC)
36 Modos (3gdl/piso)
135
P10 [30,0 m] ESPECTRO X 0,002341 0,002342 0,002338 99,96% 100,00% 99,83%
P10 [30,0 m] ESPECTRO Y 0,002364 0,002367 0,002363 99,87% 100,00% 99,83%
P9 [27,0 m] ESPECTRO X 0,002404 0,002392 0,002388 100,50% 100,00% 99,83%
P9 [27,0 m] ESPECTRO Y 0,002411 0,0024 0,002396 100,46% 100,00% 99,83%
P8 [24,0 m] ESPECTRO X 0,002406 0,002392 0,002388 100,59% 100,00% 99,83%
P8 [24,0 m] ESPECTRO Y 0,002544 0,002529 0,002524 100,59% 100,00% 99,80%
P7 [21,0 m] ESPECTRO X 0,002471 0,002457 0,002453 100,57% 100,00% 99,84%
P7 [21,0 m] ESPECTRO Y 0,002612 0,002599 0,002594 100,50% 100,00% 99,81%
P6 [18,0 m] ESPECTRO X 0,002291 0,002275 0,002271 100,70% 100,00% 99,82%
P6 [18,0 m] ESPECTRO Y 0,002292 0,002276 0,002272 100,70% 100,00% 99,82%
P5 [15,0 m] ESPECTRO X 0,002227 0,002211 0,002207 100,72% 100,00% 99,82%
P5 [15,0 m] ESPECTRO Y 0,00223 0,002214 0,00221 100,72% 100,00% 99,82%
P4 [12,0 m] ESPECTRO X 0,002154 0,00214 0,002136 100,65% 100,00% 99,81%
P4 [12,0 m] ESPECTRO Y 0,002161 0,002147 0,002142 100,65% 100,00% 99,77%
P3 [9,0 m] ESPECTRO X 0,002043 0,002029 0,002025 100,69% 100,00% 99,80%
P3 [9,0 m] ESPECTRO Y 0,002068 0,002054 0,00205 100,68% 100,00% 99,81%
P2 [6,0 m] ESPECTRO X 0,001899 0,001884 0,00188 100,80% 100,00% 99,79%
P2 [6,0 m] ESPECTRO Y 0,001914 0,001899 0,001895 100,79% 100,00% 99,79%
P1 [3,0 m] ESPECTRO X 0,001347 0,001339 0,001337 100,60% 100,00% 99,85%
P1 [3,0 m] ESPECTRO Y 0,001408 0,0014 0,001398 100,57% 100,00% 99,86%
BASE [0,0 m] ESPECTRO X 0,00037 0,00037 0,00037 100,00% 100,00% 100,00%
BASE [0,0 m] ESPECTRO Y 0,000321 0,000321 0,000321 100,00% 100,00% 100,00%
Sub1 [-3,0 m] ESPECTRO X 0,000103 0,000109 0,000109 94,50% 100,00% 100,00%
Sub1 [-3,0 m] ESPECTRO Y 7,60E-05 7,90E-05 7,90E-05 96,20% 100,00% 100,00%
Sub2 [-6,0 m] ESPECTRO X 6,90E-05 7,90E-05 8,00E-05 87,34% 100,00% 101,27%
Sub2 [-6,0 m] ESPECTRO Y 6,60E-05 7,40E-05 7,50E-05 89,19% 100,00% 101,35%
Sub3 [-9,0 m] ESPECTRO X 5,60E-05 6,40E-05 6,50E-05 87,50% 100,00% 101,56%
Sub3 [-9,0 m] ESPECTRO Y 5,70E-05 6,30E-05 6,50E-05 90,48% 100,00% 103,17%
Fuente: Etabs - Elaborado por autores.
136
Gráfico 72. Influencia del Nº modos de vibración – E9
Fuente: Elaborado por autores
Para el caso de estructuras de doce pisos, se identifica una mayor variación
porcentual de derivas cuando se considera 12 modos de vibración (1gdl/piso –
Default) siendo más notorio en la última planta.
En las estructuras con subsuelos, la consideración de los 36 modos de vibración
(3gdl/piso) y el número de modos que indica la NEC, no representan mayor
afectación en la respuesta de derivas.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
95,00% 96,00% 97,00% 98,00% 99,00% 100,00% 101,00%
Nº
de
Pis
os
Variación Deriva Elástica (%)
INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓNEstructura de 12 pisos "E9"
12 Modos (1gdl/piso)-(Default)
22 Modos (90% NEC)
36 Modos (3gdl/piso)
137
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5. xxxx
5.1 CONCLUSIONES
5.1.1 Conclusiones Generales
• El número de modos de vibración influye en las respuestas máximas de
derivas en estructuras de hormigón armado, desarrollando una mayor
afectación al considerar un menor número de modos.
• El número de modos de vibración de una estructura no siempre corresponde
al número de plantas por los grados de libertad considerados, a fin de que
cumpla lo dispuesto en la normativa de diseño sismo-resistente.
• La influencia del número de modos de vibración, está en función del número
de pisos y configuración de la estructura, resultando un mayor porcentaje de
influencia en una edificación con configuración irregular.
• Los métodos de combinación modal involucran una variación en los
resultados de derivas, logrando respuestas más críticas con las
combinaciones modales “SRSS”, “NRC 10%” y “Doble Suma” y menos
críticas con el criterio de combinación modal “Absoluto”.
138
5.1.2 Conclusiones Específicas
Período de Vibración
• En el análisis del período de vibración, se observó que la estructura regular
de 3 pisos cumple sin inconvenientes la demanda de derivas, participación
modal de masas y torsión; no obstante, su período natural sobrepasa al valor
máximo de período establecido por la NEC (T > T2); con ello se demuestra
que un adecuado dimensionamiento no siempre satisface las exigencias de
diseño sismo resistente, induciendo a un sobredimensionamiento
estructural.
Modos de Vibración
• Respecto al número de modos de vibración, entre la Norma Ecuatoriana de
la Construcción (NEC-15) y el Código Ecuatoriano de la Construcción
(CEC-2000) no se observa ninguna diferencia, ya que ambas indican que
deben considerarse todos los modos que involucren la participación de una
masa modal acumulada de al menos el 90% de la masa total de la estructura.
Por otro lado, a excepción de la normativa venezolana, las normas de países
vecinos concuerdan con lo dispuesto en la NEC.
• En el análisis de la estructura irregular de tres pisos, fue necesario agregar
un modo más de vibración, para cumplir con la demanda del 90 % de
participación de masas en las direcciones principales; concluyendo que el
número de modos de vibración de una estructura no siempre corresponde
al número de pisos por los grados de libertad considerados.
• La estructura de 6 pisos con un subsuelo necesitó de 35 modos de vibración
(17 modos más que los correspondientes) para cumplir con la participación
modal. El mismo edificio modelado sin el subsuelo demandó de 17 modos
de vibración, siendo evidente la influencia del subsuelo en la definición del
número de modos de vibración que conciernen a una edificación.
Nuevamente se demuestra que el número de modos de vibración no siempre
está sujeto a la condición de estimar tres grados de libertad por cada planta
estructural.
139
• Se obtuvo el número de modos de vibración requerido para una estructura
de 12 pisos con diferente número de subsuelos (de 0 a 6 subsuelos), con la
aplicación del cortante basal en el mismo nivel para todos los edificios
(N+0,00 m), con el objeto de comprobar si un edificio con más subsuelos
requiere de un número mayor de modos de vibración, lo cual resultó ser una
suposición errada; ya que el edificio con dos subsuelos alcanza un mayor
número de modos (32), reduciéndose este conforme aumenta el número de
subsuelos.
Criterios de Combinación Modal
• El CEC-2000 establece que se utilizarán métodos de combinación modal
reconocidos por la dinámica estructural y la NEC indica que cuando se
utilicen modelos tridimensionales se combinarán los valores máximos
modales; en ambos casos, no se define el criterio de combinación a utilizar,
dejando a libre elección del diseñador el criterio que crea más conveniente.
• Haciendo un balance entre las normativas de países vecinos, la combinación
modal más empleada es la que sugiere el método del máximo valor probable
“SRSS” tomando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada valor
modal.
• Los métodos de combinación modal empleados en el análisis involucran una
variación en los resultados de derivas, logrando respuestas más críticas con
las combinaciones modales “SRSS”, “NRC 10%” y “Doble Suma” y menos
críticas con el criterio de combinación modal “Absoluto”.
La NEC no especifica restricción alguna en el uso de combinaciones
modales, es decir, no existe ninguna objeción si se emplea el método
“Absoluto” a fin de obtener valores más bajos de derivas máximas para
satisfacer la exigencia del 2 %, pero si se desea optar por un diseño más
conservador, definitivamente el método “SRSS” o “Doble Suma” serían los
recomendados. Dicho esto, queda abierto el debate entre profesionales para
establecer la combinación modal que se tiene que utilizar en el país.
140
En cuanto a la utilización de los espectros de aceleración conforme a la NEC,
en el caso de estudio se puede manifestar lo siguiente:
• El programa ETABS (Versión 15.0.0) para la definición del espectro de
respuesta tiene una opción que permite elegir la Norma de Construcción a
la cual se rige cada país; no obstante, al seleccionar la opción “Ecuador
NEC-15”, los valores de la aceleración de la gravedad Sa (g) obtenidos por
el programa difieren a los obtenidos por los autores, específicamente cuando
los valores del período natural T superan al período límite de vibración Tc.
Cortante Basal
• Un punto de discusión fue el lugar de actuación de la fuerza de cortante
basal, pues la norma hace mención que será aplicada en la base de la
estructura, pero no especifica si se refiere a base de calzada (Nivel+0,00 m)
o a nivel de cimentación, es decir, tomando en cuenta los subsuelos en caso
de existir. Esta mención es trascendental, pues el lugar en donde esté
ubicada la fuerza de corte será el punto de partida para estimar el peso
reactivo (W), ya que a mayor peso reactivo, mayor cortante basal y mayor
número de modos de vibración para cumplir con la cuantificación de masas;
además, de garantizar la estabilidad estructural a grandes fuerzas externas,
disminuyendo el período fundamental por el sobredimensionamiento
estructural. Por otra parte, si el cortante basal es colocado a nivel 0,00 m. el
peso reactivo es menor, lo que conlleva a tener estructuras más flexibles,
más económicas pero menos resistentes a eventos sísmicos de gran
magnitud.
Influencia del número de modos de vibración
• Se ratifica que el número de modos de vibración influye en la respuesta total
de derivas; resultando un mayor valor de deriva y desplazamiento al emplear
un número menor de modos de vibración.
• La variación entre derivas empleando diferentes modos de vibración, varía
según el número de pisos y la configuración de la edificación, resultando un
mayor porcentaje de variación en una edificación con mayor número de
plantas.
141
5.2 RECOMENDACIONES
• Ante un redimensionamiento estructural para el cumplimiento de las
exigencias de período de vibración, se recomienda realizar el incremento en
vigas dado que a más de lograr la reducción de T ayuda también a minimizar
el efecto de derivas de piso; el incremento de secciones debe ir a la par con
el concepto de columna fuerte – viga débil.
• Al usar el software Etabs para un análisis dinámico de estructuras, en lo
referente al espectro de diseño, se recomienda usar un espectro calculado
por el propio diseñador, ya que el programa arroja un espectro con menores
ordenadas que el indicado por la normativa vigente, esto debido a que
EtabsV15 se rige a la “NEC-11 Capítulo 2”, la cual establece diferentes
valores en los coeficientes de perfil de suelo (Fa, Fd, Fs).
• En base al análisis modal espectral realizado se recomienda el uso de los
criterios de combinación modal Doble Suma, NRC 10% y SRSS, dado a que
alcanzan respuestas más críticas de derivas; no así resultando la menos
recomendable la combinación Absoluto.
• Previo a la entrega de un informe técnico estructural en la Entidad
Colaboradora (CAE), cerciorarse del cumplimiento del período, número de
modos de vibración, torsiones y derivas máximas, pues estos parámetros
son de mayor relevancia en la aprobación del proyecto.
142
BIBLIOGRAFÍA
1. AGUIAR, R. (2012). Dinámica de Estructuras con CEINCI-LAB. Centro
de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, Quito. 9 –
325.
2. CHOPRA, A. (2014). Dinámica de Estructuras. Cuarta edición. Pearson
Educación, México.
3. PAZ, M. (1992). Dinámica Estructural. Teoría y Cálculo. Barcelona,
España: Editorial Reverté S.A. 1. pág. 3.
4. RÍOS, H. (2006). Perfil Bío-sísmico de edificios representativos de la
construcción en altura de la ciudad de Antofagasta. Universidad Católica
del Norte. 2 – 7.
5. MONTSERRAT, N. (2013). Relación entre el período fundamental de
vibración y el índice de daño de un edificio de Hormigón Armado.
Universidad Politécnica de Cataluña. 3 – pág. 37.
6. RUBINSTEIN, M., GIULIANO, A., MOLLER, O. (2006). Diseño
preliminar de estructuras sismo resistentes: un tratamiento unificado de los
efectos traslacionales y rotacionales. Rosario, Argentina.
7. BONNET, R. (2003). Vulnerabilidad y riesgo sísmico de edificios -
Aplicación a entornos urbanos en zonas de amenaza alta y moderada. Tesis
Doctoral. Universidad Politécnica de Cataluña.
8. AGUIAR, R. (2013). Microzonificación Sísmica de Quito, primera edición.
Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército,
Quito.
9. VILLALBA, P. (2015). Comparación del Análisis Modal Espectral, Lineal
y No lineal. Trabajo de grado. Maestría en Estructuras y Ciencias de los
Materiales. Universidad Central del Ecuador. Quito.
10. NORMA ECUATORIANA DE LA CONSTRUCCIÓN, 2015. Código
NEC-SE-DS. Peligro sísmico, diseño sismo resistente.
11. NORMA ECUATORIANA DE LA CONSTRUCCIÓN, 2015. Código
NEC-SE-HM. Estructuras de hormigón armado.
12. NORMA ECUATORIANA DE LA CONSTRUCCIÓN, 2015. Código
NEC-SE-CG. Cargas (no sísmicas).
143
13. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. (2005). Requisitos de reglamento
para concreto estructural (ACI 318S-05). Versión en español y en sistema
métrico. Farmington Hills, Michigan. USA.