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El problema de una carga puntual actuando en
un medio elástico, es un caso teórico límite de
un gran interés. Muchos casos reales pueden
asimilarse con gran aproximación a una carga
aislada, o a una suma de ellas aplicadas a un
medio elástico. Por otra parte, muchos otros
casos teóricos de cargas repartidas han sido
resueltos por integración de las fórmulas
correspondientes a los casos de cargas
aisladas.
MECANICA DE MEDIOS CONTINUOS
TEMA: ANALISIS DEL
COMPORTAMIENTO DE UN
SUELO DEBIDO A UNA CARGA
APLICADA
INTEGRANTES: Ing. Palomino Zegarra Liz Margot Ing. Enciso Navarro Eriber Washington Ing. Zedano Cornejo Julio César Ing. Ibarcena Lajo Carlos Ing. García Mucha Andrés Alfredo
DOCENTE: Dr. Luis Mosquera Leiva
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CONTENIDO
I. INTRODUCCIÓN
II. OBJETIVOS
III. MARCO TEORICO
3.1 Teoría del medio continuo
3.2 Modelos constitutivos
3.2.1 Elasticidad
3.2.2 Mohr Coulomb
3.3 Espacio de Boussinesq
3.3.1 Cálculo del incremento de tensiones debido a una carga concentrada
(teoría de Boussinesq, suelos homogéneos elásticos e isótropos)
IV. EJEMPLOS APLICATIVOS
4.1 Carga puntual analítico
4.1.1 Carga puntual en el interior de un semiespacio elástico infinito
4.2 Modelamiento usando software computacional
4.2.1 Modelo constitutivo lineal elástico (SAP2000)
4.2.2 Modelamiento con PLAXIS
4.2.3 Modelo constitutivo de Mohr Coulomb
4.3 Comparación de resultados
V. CONCLUSIONES
VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
2
ANALISIS DEL COMPORTAMIENTO DE UN SUELO DEBIDO A UNA CARGA
APLICADA
I. INTRODUCCIÓN
La Mecánica del Suelo como parte de las ciencias físicas que tratan de explicar el mundo
real, estudia o debe estudiar su comportamiento mediante la creación de modelos
matemáticos que sea capaces de predecir las reacciones del terreno frente a unas
determinadas solicitaciones. Debido a la complejidad de la realidad física del terreno se
han elaborado diferentes modelos matemáticos que puedan explicar los variados
comportamientos que presenta el terreno.
Para los primeros estudios de la Mecánica de Suelo se creó un modelo matemático
llamado la teoría de la elasticidad, este modelo fue aplicable para un extenso grupo de
fenómenos presentados en el suelo.
Cuando un esfuerzo es aplicado a un suelo produce en éste un cierto nivel de
deformación, la magnitud de la deformación una vez superado este nivel no está ligado
al esfuerzo aplicado, sino que crece con el tiempo sin precisar para ello ningún
incremento e dicha fuerza. Se dice entonces que el suelo se halla en rotura y no es
aplicable el método elástico. Sin embargo en muchos suelos antes de llegar a este punto
presenta estados en donde se puede suponer la existencia de una correspondencia
entre las deformaciones y las fuerzas aplicadas, esta hipótesis permite establecer una
relación biunívoca entre las tensiones del terreno y las deformaciones producidas,
permitiendo la aplicación de una de las definiciones del comportamiento elástico.
Para aplicar la teoría de la elasticidad se necesitan distintos modelos que se ciñan a las
condiciones particulares de cada problema real.
En la figura 1.1 se muestra la clasificación de los modelos elásticos:
3
Fig. 1.- Clasificación de los modelos elásticos
Dentro de la elasticidad isotrópica, el modelo más desarrollado ha sido el modelo más
simple llamado espacio de Boussinesq.
Recibe el nombre de espacio de Boussinesq un ente que sustituye en primera
aproximación al terreno. Para las aplicaciones prácticas dicho espacio está limitado
únicamente por un plano horizontal, constituyendo entonces el semiespacio de
Boussinesq. Este es elástico, homogéneo e isótropo. Al decir elástico lo entendemos en
el sentido restringido, es decir, se supone que se cumpla la ley de Hooke y que el
coeficiente de elasticidad es el mismo en tracción que en compresión. Se supone
también que la materia que constituye el semiespacio tiene resistencia suficiente para
seguir respondiendo elásticamente bajo las tensiones que se produzca en todos y en
cada uno de los puntos del semiespacio.
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II. OBJETIVOS
Obtención y análisis de la deformación, desplazamiento y esfuerzo en un punto
del suelo sometido a una carga aplicada.
Ilustrar modelos constitutivos que puedan idealizar el problema tratado, haciendo
uso de la mecánica de medios continuos.
Simular la cimentación de una estructura que ejerce una carga puntual sobre el
terreno mediante programas computacionales como el sap2000 y Plaxis.
Comparar y analizar los resultados obtenidos analíticamente con los obtenidos
mediante software.
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III. MARCO TEORICO
3.1 Teoría del medio continuo
Un medio continuo es aquel material que puede ser subdividido continuamente
en elementos infinitesimales que conserven las mismas propiedades del
conjunto.
Se asume que el material se distribuye uniformemente y rellena completamente
el espacio que ocupa.
Habrá continuidad durante la deformación o el movimiento de un cuerpo continuo
si:
Todos los puntos del material que en un momento dado forman una curva
cerrada también la formarán en cualquier momento posterior.
Todos los puntos del material que en un momento dado forman una superficie
cerrada también la formarán en cualquier momento posterior, y la materia que
allí estaba incluida, también continuará estando incluida.
La hipótesis de los medios continuos consiste a considerar que las propiedades
características que nos interesan contínuas.
Densidad: (x,t) 1 incógnita
Deformación/velocidad: (x,t) 3 incógnitas 13 incógnitas
Tensiones: (x,t) 9 incógnitas
En un problema mecánico, las ecuaciones de conservación-balance de las leyes
físicas fundamentales proporcionan:
- Conservación de la masa (ecuación de continuidad): 1 ecuación
- Balance de la cuantidad de movimiento (eq. de Cauchy): 3 ecuaciones
- Balance del momento angular (simetría del tensor de tensiones): 3 ecuaciones
Teniendo así 7 ecuaciones, faltando 6 ecuaciones para completar la solución de
un problema.
6
3.2 Modelos Constitutivos
Las ecuaciones que son específicas para determinar materiales reciben el
nombre de ecuaciones constitutivas:
Los suelos están formados por partículas sólidas, agua y gas.
Las hipótesis de medio continuo con ecuaciones constitutivas para suelos, y
valores de parámetros obtenidos empíricamente, permiten calcular gran parte de
los problemas de ingeniería geotécnica con tiempos de cálculo razonables.
La mecánica de suelos clásica y las ecuaciones para obtener soluciones
analíticas han asumido siempre estas hipótesis.
3.2.1 Elasticidad
Las leyes de comportamiento son ecuaciones constitutivas que relacionan
tensiones con deformaciones.
Una ley de comportamiento sencillo que caracteriza en primera aproximación el
comportamiento de muchos sólidos deformables es la teoría de la elasticidad.
En un material Isótropo:
7
E = módulo de elasticidad (N/m2)
Solo 2
Parámetros
v = coeficiente de Poisson
A veces se utiliza el módulo de corte: 𝐺 =𝐸
2(1+𝑣)
Las ecuaciones constitutivas se pueden invertir, dando lugar a la Ley de Hooke
inversa:
𝜀𝑥 =1
𝐸∗ [𝜎𝑥 − 𝑣 ∗ (𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)] 𝛾𝑥𝑦 =
1
𝐺∗ 𝜏𝑥𝑦
𝜀𝑦 =1
𝐸∗ [𝜎𝑦 − 𝑣 ∗ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)] 𝛾𝑥𝑧 =
1
𝐺∗ 𝜏𝑥𝑧
𝜀𝑧 =1
𝐸∗ [𝜎𝑧 − 𝑣 ∗ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)] 𝛾𝑦𝑧 =
1
𝐺∗ 𝜏𝑦𝑧
Significado de los parámetros elásticos E y v:
𝜎𝑦 = 𝜎𝑧 = 0
Si estiramos la pieza en la dirección ‘x’ con una tensión σx observamos
contradicciones en las direcciones ‘y’ y ‘z’
𝜀𝑥 =𝜎𝑥
𝐸
𝜀𝑦 = −𝑣 ∗𝜎𝑥
𝐸 0 ≤ v ≤ 0.5
8
Algunos modelos geotécnicos se pueden simplificar a 2d mediante la hipótesis
de deformación plana:
Otras formas de pares de parámetros elásticos:
Módulo confinado (o módulo edométrico): 𝑀 = 𝜎11
𝜀11 𝑎𝑚𝑏 𝜀22 = 𝜀33 = 0
Módulo volumétrico: 𝐾 =𝑝
𝜀11+𝜀22+𝜀33 𝑎𝑚𝑏 𝜎11 = 𝜎22 = 𝜎33 = 𝑝
Constante de Lamé: 𝜆 𝜎 = 𝜆 ∗ (𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33) ∗ 𝐼𝑑 + 2𝜇 ∗ 𝜀 𝑎𝑚𝑏 𝜇 = 𝐺
Otras formas de pares de parámetros elásticos:
Módulo de Módulo de Módulo Módulo Constante de Coeficiente de
Corte Young confinado volumétrico Lamé Poisson
G = µ E M K λ v
G,E G E 𝐺(4𝐺−𝐸)
3𝐺−𝐸
𝐺𝐸
9𝐺−3𝐸
𝐺(𝐸−2𝐺)
3𝐺−𝐸
𝐸−2𝐺
2𝐺
G,M G 𝐺(3𝑀−4𝐺)
𝑀−𝐺 M 𝑀 −
4
3𝐺 𝑀 − 2𝐺
𝑀−2𝐺
2(𝑀−𝐺)
G,K G 9𝐺𝐾
3𝐾+𝐺 𝐾 +
4
3𝐺 K 𝐾 −
2
3𝐺
3𝐾−2𝐺
2(3𝐾+𝐺)
G,λ G 𝐺(3𝜆+2𝐺)
𝜆+𝐺 𝜆 + 2𝐺 𝜆 +
2
3𝐺 λ
𝜆
2(𝜆+𝐺)
G,v G 2𝐺(1 + 𝑣) 2𝐺(1−𝑣)
1−2𝑣
2𝐺(1+𝑣)
3(1−2𝑣)
2𝐺𝑣
1−2𝑣 v
E,K 3𝐾𝐸
9𝐾−𝐸 E
𝐾(9𝐾+3𝐸)
9𝐾−𝐸 K
𝐾(9𝐾−𝐸)
9𝐾−𝐸
3𝐾−𝐸
6𝐾
E,v 𝐸
2(1+𝑣) E
𝐸(1−𝑣)
(1+𝑣)(1−2𝑣)
𝐸
3(1−2𝑣)
𝑣𝐸
(1+𝑣)(1−2𝑣) v
K,λ 3(𝐾−𝜆)
2
9𝐾(𝐾−𝜆)
3𝐾−𝜆 3𝐾 − 2𝜆 K λ
𝜆
3𝐾−𝜆
K,M 3(𝑀−𝐾)
4
9𝐾(𝑀−𝐾)
3𝐾+𝑀 M K
3𝐾−𝑀
2 3𝐾(2𝑀 − 1) + 𝑀
K,v 3𝐾(1−2𝑣)
2(1+𝑣) 3𝐾(1 − 2𝑣)
3𝐾(1−𝑣)
1+𝑣 K
3𝐾𝑣
1+𝑣 v
9
3.2.2 Mohr Coulomb El primer concepto a definir en un modelo elastoplástico es la superficie de
fluencia (F):
Se dice que un material elastoplástico presenta plasticidad perfecta si sea cual
sea el valor de las tensiones en un punto, la superficie de fluencia no cambia ni
de forma ni de posición en el espacio abstracto de tensiones.
En suelos es apropiado utilizar la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb,
porque considera que el efecto dominante que produce cambio irrecuperables
en la organización de las partículas es la friccion movilizada, y depende la
presión media p:
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Superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en 3D
El segundo concepto a definir en un modelo elastoplástico es el potencial
plástico: G(σ1, σ2, σ3).
Ley de fluencia: 𝑑𝜀𝑖𝑗𝑃 = 𝑑𝜆
𝜕𝐺
𝜕𝜎𝑖𝑗
En el espacio las tensiones (σ1, σ2, σ3):
La dirección de la deformación plástica es paralela a gradiente de G.
La magnitud de la deformación plástica viene dada por el escalar dλ
Determinar la dirección y magnitud
que tendrá la deformación plástica.
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E suelos es apropiado utilizar el potencial plástico de Mohr-Coulomb:
𝐺 =1
2(𝜎1 − 𝜎3) +
1
2(𝜎1 + 𝜎3)𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
La dilatancia (ψ≥0) da una resistencia al rozamiento suplementaria, provocando una
deformación más realista en suelo 𝜓 ≅ 𝜙 − 30.
Si ψ = ϕ F = G (“plasticidad asociada”)
Este es un comportamiento más propio de los metales.
Los suelos tiene plasticidad no asociada: las deformaciones volumétricas son menores
𝑑𝜀𝑖𝑗𝑝
= 𝑑𝜆𝜕𝐺
𝜕𝜎𝑖𝑗
La magnitud dλ viene dada por la condición de consistencia:
Durante la deformación plástica, el punto (σ1, σ2, σ3) debe de estar siempre sobre la
superficie de fluencia.
5 parámetros definen el modelo de comportamiento de Mohr-Coulomb:
E [KN/m2] Módulo elástico
V [-] Coeficiente de Poisson
Φ [°] Ángulo de rozamiento
Ψ [°] Ángulo de dilatancia
C [KN/m2] Cohesión
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PRINCIPALES LIMITACIONES DEL MODELO M.C.
Tensiones de fluencia y rotura coinciden:
El modulo elástico de carga no es igual al módulo elástico de descarga, por lo tanto se
sobreestiman la ascensión de fondos de excavación y pantallas.
Sobreestimación de la resistencia a tensiones bajas.
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3.3 Espacio de Boussinesq
Según este modelo se analiza la distribución de esfuerzos considerando que el
suelo es un espacio semi-infinito, homogéneo linealmente elástico e isotrópico.
Isótropo: Propiedad de los cuerpos que al ejercer compresión los mismos
reaccionan igual internamente en todas direcciones.
Una masa semi-infinita es la que está limitada por una superficie horizontal y se
extiende al infinito verticalmente hacia abajo, y horizontalmente en todas las
direcciones.
La teoría de la capa elástica sobre base rígida admite que la capa elástica es
homogénea en todos sus puntos, así como la base rígida. Sin embargo es
también un hecho de experiencia que las propiedades del suelo varían en
profundidad. En general cuando ésta aumenta, el terreno es más compacto más
resistente y menos deformable. Es decir, que para simularlo por un modelo
elástico habría que ir aumentando su módulo de Young con la profundidad (Fig.
3.1). Del coeficiente de Poisson no podemos decir nada, en general se le supone
constante. “La hipótesis de un coeficiente de Poisson v constante significa, que
ambos, el módulo de rigidez transversal G, y el módulo de compresibilidad K
varían en la misma proporción en profundidad, lo cual se comprende fácilmente
que en general no debe ser cierto, ya que no hay ninguna razón para que en un
medio físicamente discontinuo la rigidez a la distorsión varíe de la misma manera
que la rigidez a la variación volumétrica, siendo ambos fenómenos de naturaleza
distinta”, José A. Jiménez Salas 1976. Ese es uno de los dos inconvenientes,
que ya hemos señalado, de la desacertada y rutinaria elección de parámetros
básicos.
Fig. 3.1.- Semiespacio heterogéneo general.
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Fig. 3.2.- Semiespacio heterogéneo lineal.
La ley que regirá el módulo de Young sería:
𝐸𝑧 = 𝐸(𝑧) (3.1)
De donde E (z) fuese una función monótona creciente.
La ley más sencilla que se puede proponer es la lineal (Fig. 3.2).
𝐸 = 𝐸0 + 𝑚𝑧 (3.2)
Que también podría escribirse en la forma:
𝐸 = 𝐸0 [1 +𝑧
𝛽] (3.3)
Con:
𝛽 =𝐸0
𝑚
Esta ley para el caso en que m = 0 o que β = ∞ nos da el ya conocido espacio de
Boussinesq.
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Cuando se transmite un esfuerzo al suelo por medio de la cimentación, este se distribuye
en todas direcciones, pero conforme se aleja de la cimentación, el incremento de
esfuerzo tiende a cero.
El primer análisis que realiza Boussinesq es considerar la acción de una carga
puntual, con lo anterior obtuvo las ecuaciones siguientes:
∆𝜎 = 𝑃
𝑍2 𝐼 𝐼 = 3
2𝜋(
1
1+(𝑟
𝑧))
3/2
Donde:
Δσ: Incremento de esfuerzo
P: carga puntual
I: Valor de influencia
z: Profundidad a la cual se desea conocer el incremento de esfuerzo
r: Tiene el mismo concepto que z pero se mide en un plano horizontal
P
Δσ = 0
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3.3.1 Cálculo del incremento de tensiones debido a una carga concentrada
(teoría de Boussinesq, suelos homogéneos elásticos e isótropos)
Distribución de presiones aproximadas:
Valores aproximados:
Una primera aproximación de las tensiones inducidas, es suponer que las mismas se
propagan en el sentido de “z” con la forma de una pirámide trunca con una pendiente
de sus planos laterales intermedios entre 0 y “z” las tensiones son constantes.
Otro dato importante a considerar en el momento de evaluar fundaciones, es que si
tenemos una base de ancho “B”, que soporta una carga “Q” y transfiere al terreno una
tensión “q”, se puede estimar que el 10% de ésta tensión “q” se transmite hasta una
profundidad de aproximadamente 2.B, si el suelo es elástico isótropo y homogéneo.
17
18
Para el cálculo del incremento de tensiones debido a una carga concentrada (teoría de
Boussinesq, suelos homogéneos elásticos e isótropos)
Podemos hacer:
Se puede entonces representar el valor de I1 para distintos valores de r/z y obtenemos
los siguientes valores:
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r/z I1 r/z I1
0 0.4775 0.75 0.1565
0.02 0.4770 0.80 0.1386
0.04 0.4765 0.85 0.1226
0.06 0.4723 0.90 0.1083
0.08 0.4699 0.95 0.0956
0.10 0.4657 1.00 0.0844
0.12 0.4607 1.20 0.0513
0.14 0.4548 1.40 0.0317
0.16 0.4482 1.60 0.0200
0.18 0.4409 1.80 0.0129
0.20 0.4329 2.00 0.0085
0.22 0.4242 2.20 0.0058
0.24 0.4151 2.40 0.0040
0.26 0.4050 2.60 0.0029
0.28 0.3954 2.80 0.0021
0.30 0.3849 3.00 0.0015
0.32 0.3742 3.20 0.0011
0.34 0.3632 3.40 0.00085
0.36 0.3521 3.60 0.00066
0.38 0.3408 3.80 0.00051
0.40 0.3294 4.00 0.00040
0.45 0.3011 4.20 0.00032
0.50 0.2733 4.40 0.00026
0.55 0.2466 4.60 0.00021
0.60 0.2214 4.80 0.00017
0.65 0.1978 5.00 0.00014
0.70 0.1762
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IV. EJEMPLOS APLICATIVOS
4.1 Carga puntual analítico
4.1.1 Carga puntual en el interior de un Semiespacio elástico infinito
El caso de cargas verticales o inclinadas sobre la superficie del semiespacio es
el que se presenta más frecuentemente, correspondiendo a la forma de actuar
de las cimentaciones superficiales. Sin embargo, existen otras maneras de
aplicar las cargas, entre las cuales están, por ejemplo, situar fuerzas en el interior
del Semiespacio, como puede ser el caso de las cimentaciones profundas y,
especialmente, de los pilotes.
El problema de las cargas concentradas en el interior del Semiespacio, pero lo
suficientemente próxima a la superficie para que se note la influencia de ésta, no
fue resuelto hasta el año 1936 por Mindlin. Las formulas resultantes pueden
verse en la figura 3.3, donde queda indicada la notación empleada. En la figura
3.4 se incluye un gráfico que indica la variación de la tensión vertical σz para tres
valores de z/c, suponiendo que el módulo de Poisson es igual a 0.3. Las
tensiones de tracción se consideran positivas.
Fig. 3.3.- Carga aislada vertical en el interior del Semiespacio de Boussinesq.
Distribución de tensiones.
21
𝜀𝑖𝑗 = (
𝜏11 𝜏12 𝜏13
𝜏21 𝜏22 𝜏23
𝜏31 𝜏32 𝜏33
)
𝜏21 = 𝜏12 𝜏32 = 𝜏23 𝜏31 = 𝜏13
𝝉𝟏𝟏 = 𝝈𝒙 =−𝑃
8𝜋(1 − 𝜈)[(1 − 2𝜈)(𝑧 − 𝑐)
𝑅13 −
3𝑥2(𝑧 − 𝑐)
𝑅15 +
+(1 − 2𝜈)[3(𝑧 − 𝑐) − 4𝜈(𝑧 + 𝑐)]
𝑅23 −
−3(3 − 4𝜈)𝑥2(𝑧 − 𝑐) − 6𝑐(𝑧 + 𝑐)[(1 − 2𝜈)𝑧 − 2𝜈𝑐]
𝑅25 −
−30𝑐𝑥2𝑧(𝑧 + 𝑐)
𝑅27 −
4(1 − 𝜈)(1 − 2𝜈)
𝑅2(𝑅2 + 𝑧 + 𝑐)∗
∗ {1 −𝑥2
𝑅2(𝑅2 + 𝑧 + 𝑐)−
𝑥2
𝑅22}]
𝝉𝟐𝟐 = 𝝈𝒚 =−𝑃
8𝜋(1 − 𝜈)[(1 − 2𝜈)(𝑧 − 𝑐)
𝑅13 −
3𝑦2(𝑧 − 𝑐)
𝑅15 +
+(1 − 2𝜈)[3(𝑧 − 𝑐) − 4𝜈(𝑧 + 𝑐)]
𝑅23 −
−3(3 − 4𝜈)𝑦2(𝑧 − 𝑐) − 6𝑐(𝑧 + 𝑐)[(1 − 2𝜈)𝑧 − 2𝜈𝑐]
𝑅25 −
−30𝑐𝑦2𝑧(𝑧 + 𝑐)
𝑅27 −
4(1 − 𝜈)(1 − 2𝜈)
𝑅2(𝑅2 + 𝑧 + 𝑐)∗
∗ {1 −𝑦2
𝑅2(𝑅2 + 𝑧 + 𝑐)−
𝑦2
𝑅22}]
𝝉𝟑𝟑 = 𝝈𝒛 =−𝑃
8𝜋(1 − 𝜈)[−
(1 − 2𝜈)(𝑧 − 𝑐)
𝑅13 +
(1 − 2𝑣)(𝑧 − 𝑐)
𝑅23 −
−3(𝑧 − 𝑐)3
𝑅15 −
3(3 − 4𝜈)𝑧(𝑧 + 𝑐)2 − 3𝑐(𝑧 + 𝑐)(5𝑧 − 𝑐)
𝑅25 −
−30𝑐𝑧(𝑧 + 𝑐)3
𝑅27 ]
3.1-a
3.1-b
3.1-c
22
𝝉𝟐𝟑 = 𝝉𝒚𝒛 =−𝑃𝑦
8𝜋(1 − 𝜈)[−
(1 − 2𝜈)
𝑅13 +
1 − 2𝑣
𝑅23 −
3(𝑧 − 𝑐)2
𝑅15 −
−3(3 − 4𝑣)𝑧(𝑧 + 𝑐) − 3𝑐(3𝑧 + 𝑐)
𝑅25 −
30𝑐𝑧(𝑧 + 𝑐)2
𝑅27 ]
𝝉𝟑𝟏 = 𝝉𝒛𝒙 =−𝑃𝑦
8𝜋(1 − 𝜈)[−
1 − 2𝑣
𝑅13 +
1 − 2𝑣
𝑅23 −
3(𝑧 − 𝑐)2
𝑅15 −
−3(3 − 4𝑣)𝑧(𝑧 + 𝑐) − 3𝑐(3𝑧 + 𝑐)
𝑅25 −
30𝑐𝑧(𝑧 + 𝑐)2
𝑅27 ]
𝝉𝟏𝟐 = 𝝉𝒙𝒚 =−𝑃𝑥𝑦
8𝜋(1 − 𝜈)[−
3(𝑧 − 𝑐)
𝑅15 −
3(3 − 4𝑣)(𝑧 − 𝑐)
𝑅25 +
+4(1 − 𝑣)(1 − 2𝑣)
𝑅22(𝑅2 + 𝑧 + 𝑐)
{1
𝑅2 + 𝑧 + 𝑐+
1
𝑅2
} −30𝑐𝑧(𝑧 + 𝑐)
𝑅27 ]
Desarrollo analítico de los parámetros en un suelo sometido a una carga puntual:
Parámetros S(r): Asentamiento que ocurre en distintos puntos de una línea horizontal
E: Módulo de elasticidad del suelo
ν: Coeficiente de Poisson
Datos para el cálculo del asentamiento según las siguientes consideraciones
Q = 10 Ton
ν= 0.3
E = 1000 Ton/m2
z = 1
3.1-d
3.1-e
3.1-f
23
Consideraciones
z = 1 (condición) ψ = 45º
r = 0.1, 0.2, ..... 10 (variación de r)
r S(z)
0.1 0.00043234
0.2 0.00042605
0.3 0.00041617
0.4 0.00040342
0.5 0.00038862
0.6 0.00037257
0.7 0.00035595
0.8 0.00033928
0.9 0.00032296
1 0.00030723
1.1 0.00029227
1.2 0.00027815
1.3 0.00026491
1.4 0.00025254
1.5 0.00024101
1.6 0.00023028
1.7 0.0002203
1.8 0.00021101
1.9 0.00020236
2 0.00019431
2.1 0.0001868
2.2 0.00017979
2.3 0.00017324
2.4 0.00016711
2.5 0.00016137
2.6 0.00015597
2.7 0.00015091
2.8 0.00014614
2.9 0.00014164
3 0.0001374
3.1 0.00013339
3.2 0.0001296
3.3 0.00012601
3.4 0.0001226
3.5 0.00011936
3.6 0.00011629
3.7 0.00011336
24
3.8 0.00011058
3.9 0.00010792
4 0.00010538
4.1 0.00010296
4.2 0.00010064
4.3 9.8418E-05
4.4 9.6293E-05
4.5 9.4255E-05
4.6 9.2299E-05
4.7 9.0421E-05
4.8 8.8616E-05
4.9 8.6881E-05
5 8.5211E-05
4.2. Modelamiento usando software computacional
En este capítulo utilizaremos el modelo planteado de una carga puntual en el interior de
un semi-espacio elástico infinito, resuelto analíticamente en el capítulo anterior, en este
caso utilizaremos 2 programas conocidos para realizar cálculos que son el programa
PLAXIS y SAP2000.
0
0.00005
0.0001
0.00015
0.0002
0.00025
0.0003
0.00035
0.0004
0.00045
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5
1.7
1.9
2.1
2.3
2.5
2.7
2.9
3.1
3.3
3.5
3.7
3.9
4.1
4.3
4.5
4.7
4.9
Ase
nta
mie
nto
ve
rtic
al
Desplazamiento horizontal
25
4.2.1. Modelo constitutivo lineal elástico (SAP2000)
Imagen 1: interfaz de usuario del programa SAP2000, modelando solido cubo con una
carga puntual vertical en dirección “Z” negativo.
Imagen 2: Características mecánicas del solido a aplicar la carga puntual.
26
Imagen 3: Verificación de los desplazamientos en un punto a una distancia y
profundidad de1m.
4.2.2. Modelamiento con PLAXIS
Ingreso de datos:
MODELO
CONSTITUTIVO
E
(KN/M2)
v c (KN/M2) ᶲ (°)
ELASTICO
PERFECTO
21000000 0.2 - -
MOHR COULUMB 21000000 0.2 5 33
DIAGRAMA DEL MODELO
27
28
PROPIEDADES DEL SUELO ELÁSTICO (MODELO LINEAL ELÁSTICO)
MODELO INGRESADO EN PLAXIS
MODELO DE LA DEFORMACIÓN DEL MODELO
29
GRÁFICO QUE MUESTRA PASOS VS DESPLAZAMIENTO (Se puede apreciar
que el ordenador hace menos iteraciones para hallar el desplazamiento que es
0.361 m.m.)
4.2.3. Modelo constitutivo de Mohr Coulomb
30
31
Gráfico que muestra los desplazamientos ocasionados por la carga aplicada.
GRÁFICO QUE MUESTRA PASOS VS DESPLAZAMIENTO (Se puede apreciar
que el ordenador hace menos iteraciones para hallar el desplazamiento que es
0.693 m.m.)
.
32
Se aprecia en el gráfico los puntos plastificados, que en modelo elástico lineal
no existen, ello muestra
Se ha demostrado que modelo constitutivo de Mohr-Coulomb, para suelos que están
sometidos a presiones de confinamiento mayores a alturas de 30 metros, sufren
disminuciones en el ángulo de fricción y se puede apreciar que en casos reales (LEPS)
muestra un gráfico donde se ve cómo va disminuyendo el ángulo de fricción con
respecto a la presión de confinamiento.
33
34
4.3. Comparación de resultados
Analíticamente SAP2000 (Elástico
Lineal)
PLAXIS (Elástico
Lineal)
PLAXIS (Mohr
Coulomb)
0.307 mm. 0.349 mm. 0.361 mm. 0.639
35
V. CONCLUSIONES
1. La mecánica de medios continuos nos ayuda a calcular valores de esfuerzos,
deformaciones, desplazamientos, etc. Con cierta exactitud hasta un rango usando
algunas constantes.
2. El modelo constitutivo elástico tiene muchas limitaciones que no se acercan a la realidad
de los sólidos.
3. El modelo constitutivo plástico (Mohr Coulomb), se acerca más a la realidad aunque
sigue teniendo limitaciones, es por eso que existen otros métodos más exactos aunque
más complejos.
4. Los resultados que brindan el software computacional (SAP2000 y PLAXIS), son similares
para el rango elástico.
5. Se pudo verificar que existe una gran variación en los resultados obtenidos usando un
modelo lineal elástico y el Mohr Coulomb, puesto que el primero es un modelo ideal y
el segundo se aproxima más a la realidad.
6. Se debe investigar más acerca de otros modelos constitutivos más complejos que
modelen situaciones que se asemejen a la realidad.
36
VI. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
BRAJA M. DAS. “Fundamentos de Ingeniería Geotécnica”. Traducción del
libro Fundamentals of Geotechnical engineering. COPYRIGHT 2001 por
International Thomsons Editores.
Escuela de Ingenierías Industriales 2011. “Resistencia de Materiales”.
Universidad de Valladolid (España).
George E. Mase. “Mecánica del Medio Continuo”.
José Antonio Jiménez Salas 1975. “Geotecnia y Cimientos II”. Editorial
Rueda. Madrid (España).
Silvio Rojas 2006. “Material de apoyo de Fundaciones Parte II Teoría de la
Elasticidad para la Estimación de Asentamiento y Esfuerzos”. Universidad
Los Andes (Venezuela).
“Proceeding of the Fifth International Conference on Soil Mechanics and
Foundation Engineering” 1961. Volume I – Division 1-3A. DUNOD Paris.
Sokolnikoff. “Mathematical Theory of Elasticity”
Xavier Oliver Olivella 2000. “Mecánica de Medios Continuos para
Ingenieros”. EDICIONS UPC.