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Unidad 4 – Lección 4.1
La Integral Indefinida
01/11/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 15
Actividades 4.1
• Referencia del Texto: Sección 14.21: The Indefinite Integral; 1-16, 23-
33 (impares), 41-43 . 14.3 – Integration with Initial Conditions 13-15
• Math2me Integral de una constante
Integral con exponente positivo│ej 1, 2 y 3
Integral con exponente negativo│ej 1 y 2
Integral de la suma o resta de funciones
Integral indefinida│comprobación
Integral de una función algebraica│ejercicio 1
Integral de una función algebraica│ejercicio 3
• Khan Academy. Bajo el tema "Integrales indefinidas como
antiderivadas" vea: Video "Las antiderivadas e integrales indefinidas"
Video "Integrales indefinidas de x elevada a una potencia"
Video "La antiderivada de una expresión todavía más peliaguda"
Video "La antiderivada de x^-1"
Video "Antiderivadas trigonométricas y exponenciales básicas"
Hacer los ejercicios de "Antiderivadas"
Hacer los ejercicios de "Integrales Indefinidos"
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Antiderivada
• Una función F es la antiderivada de f sobre un
intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x en I.
• Ejemplo:
• es una antiderivada de
• Otras son:
• En general, si F es una función antiderivada de f
sobre un intervalo I, cualquier otra antiderivada de f
será de la forma F(x) + c donde c es una constante.
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5)( 2 xxxF
12)( xxf
1)( 2
1 xxxF xxxF 2
2 )( xxxF 2
3 )(
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Integral indefinida
• La integral indefinida de f(x) se define como el
conjunto de todas las antiderivadas F de f(x).
donde c es una constante.
• Ejemplos:
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cxFdxxf )()(
dxx 12 xx 2c
dxx3
4
4x c
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Reglas básicas de antiderivadas
• Recuerde
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ckxdxk
xndx xn1
n 1 c , n 1
dx 5 cx 5
dxx 3 cx
4
4
Ejemplos:
dx cx
Ejemplos:
dxx 21
cx
2
3
23
cx
3
2 23
cxx
3
2
dx cx
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Reglas básicas de antiderivadas …
• Si f, g son las funciones antiderivables en un
intervalo y k una constante. Entonces:
• Ejemplos:
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dxfkdxkf (x) (x)
dxx26 cx
36
3
dxx26 cx 32
dxx33- dxx 3 3
1
cx
13
13
13
1
cx
3
43
3
4
cx
4
93 4
cxx
4
9 3
6 de 15
Reglas básicas de antiderivadas …
• Si f, g son las funciones antiderivables. Entonces:
• Ejemplos:
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dxgdxfdxf (x) (x) g(x)](x)[
dxxx 122
dxxdxdxx 122
3
3x
22
2x x
cxxx 23
31
c
dx
x
21
cx
x
2
12
2
1
dxxdx 2
1
2 1
cxx 4
dxxdx 2
1
2 1
321 cccc
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Ejercicio #1
1.
2.
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dxxx 121 53
dxx 4 3
dxxdxxdx 53 12
cxxx 64 24
1
dxx 43
cx
4
7
47
cxx
7
4 4 3
cx
7
4 4
7
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Antiderivadas para recordar ..
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dxx
1
dxe xcex
dxa x número,un es a Si ca
a x
ln
cx ||ln
dx 3- x dxx 3 cx
ln3 c
x
ln
3
Ejemplos:
dx
x
61 xdxdx
x
16 ||ln6 x c
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Ejercicio #2
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2ex dx
2ex c
dxx 32 cx
2ln
32
dxx
x
23
dx
xx
x 23
dxxx 2
1
2
1
23
dxxdxx 2 3 2
1
2
1
cxx
2
12
2
33
2
1
2
3
cxxx 42
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Ejemplo 3
• Encuentre f si si f(1) = 3
• Solución: f es una antiderivada de f’(x)
• si f(1) = 3, entonces
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225)(' xxxf
dxxxf 225 dxxxdxdx 225
x52
22x
3
3x
cxxx 32
3
15
c
3)1(3
1)1()1(5)1( 32 cf
33
115 c
3
4c
3
4
3
15)( 32 xxxxf
11 de 15
Ejemplo 4
• El costo marginal de cierta empresa está dada por
𝐶′ 𝑥 = 18 − 0.05𝑥 + 0.005𝑥2. Si el costo de producir
200 unidades es de $25,400, encuentre
a) La función costo
b) Los costos fijos de la empresa
c) El costo de producir 450 unidades
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Ejemplo 4 (a)…
• 𝐶 𝑥 = 𝐶′ 𝑥 𝑑𝑥
Si el costo de producir 200 unidades es de $25,400,
Por tanto la función costo es:
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0.05𝑥2
2+
0.005𝑥3
3+ 𝑐
25400 = 18 200 −0.05(200)2
2+0.005(200)3
3+ 𝑐
25400 = 3600 − 1000 +40,000
3+ 𝑐
25400 ≈ 15,933 + 𝑐
9,467 ≈ 𝑐
= (18 −0.05𝑥 + 0.005𝑥2)𝑑𝑥
= 18𝑥 −
C 𝑥 = 18𝑥 −0.05𝑥2
2+0.005𝑥3
3+ 9,467
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Ejemplo 4 (b) y (c) …
• Si la función costo es:
• Los costos fijos son:
• El costo de producir 450 unidades es aproximadamente:
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C 𝑥 = 18𝑥 −0.05𝑥2
2+0.005𝑥3
3+ 9,467
$9,467
C 450 = 18 450 −0.05 450 2
2+0.005 450 3
3+ 9,467
= 8,100 − 5,062.50 + 151,875 + 9,467
≈ $164,379
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Ejercicios del Texto
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 15 de 1501/11/2016