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91
GEOMETRÍAS
DEFINICIÓN
Figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales
mediante segmentos de recta.
Elemplos:Vértices: A, B, C Lados: AB, BC, AC
Notación: ABC : triángulo de vértices A, B y C
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Los triángulos se clasifican de acuerdo a la medida de sus
ángulos o la longitud de sus lados.
I. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS
a. Triángulo rectángulo.- Es aquel triángulo que tiene un án-
gulo recto
b = a + c2 2 2
A
B
C
+
AB y BC: catetos
AC: hipotenusa
b. Triángulo Oblicuángulo.- Es aquel triángulo que no tiene
un ángulo recto y puede ser:
b.1.Triángulo acutángulo.- Es aquel triángulo que tiene sus
ángulos interiores agudos.
A
B
C
< 90° < 90° < 90°
En el ABC:
b.2.Triángulo Obtusángulo.- Es aquel triángulo que tiene
un ángulo interior obtuso.B
AC
En el ABC:
TRIÁNGULOSSemana 01
II. SEGÚN LA LONGITUD DE SUS LADOS
a. Triángulo Escaleno.- Es aquel triángulo cuyos lados tienen
diferente longitud.
AB BC AC
B
A C
En el ABC:
b. Triángulo Isósceles.- Es aquel triángulo que tiene dos la-
dos de igual longitud.
B
A C
AB=BC
AC: Base del ABC
En el ABC:
c. Triángulo Equilátero.- Es aquel triángulo cuyos lados son
de igual longitud.
60°
60°
A
B
C
AB=BC=AC60°
En el ABC:
Práctica
1. Del gráfico, calcula: "x"
120°x60°
a) 50° c) 70° e) 95°
b) 68° d) 90°
2. Del gráfico, calcula: x + 20
130°
x 3x
150°
92
INGENIERÍAS
a) 10° c) 30° e) 150°b) 20° d) 40°
3. En la figura, ¿entre qué valores puede variar la longitud de
segmento AC?
B
CA
D
4 9
x
6 8
a) 5<x<13 b) 5<x<14 c) 2<x<13d) 3<x<16 e) 2<x<14
4. Del gráfico mostrado, calcula: x, si: AB=AD=DC
B
C
D
A
x
60º70º
a) 100° c) 120° e) 180°b) 110° d) 130°
5. De la figura mostrada, calcula: "x"
a) 30°
b) 45°
c) 50°50°
x
30°80°
20°30°10°
B
C
DA
d) 60°
e) 80°
6. De la figura mostrada, calcula R.
Rx
a) 90° – x b) 90° + x c) x – 90°
d) 180° – x e) 3x
7. Si en un triángulo rectángulo un ángulo externo mide 120°,
¿cuál es la medida del ángulo externo del otro ángulo agudo?
a) 100° b) 140° c) 110°
d) 150° e) 120°
8. Según el gráfico señala la relación correcta.
H
B
CA
a) = 2 b) = c) 2
d) 2
= e) 2= 3
9. De la figura, calcula: "x"
60°
22
x
B
CA
a) 10° c) 15° e) 30°b) 20° d) 25°
10. Determina el mínimo y el máximo valor entero que toma "x"
B
A C
10
x+2
8
a) 2 y 15 b) 0 y 16 c) 2 y 18
d) 0 y 18 e) 1 y 15
11. Del gráfico, calcula: x/y
20°
60° 20°
y
x
a) 0,5 b) 2 c) 3
d) 1 e) 0,3
12. Del gráfico, calcula "x"
40°40° x
70°
B C
DA
a) 5° b) 15° c) 25°
d) 10° e) 20°
13. En la figura, AB = BC y BP=BQ, calcula: "x"
a) 10°
b) 30°
c) 50°
20°
x
B
CPQ
A
d) 20°
e) 40°
14. De la figura, si BC=QC y mQCA = 48, calcula "x"
x
B
CR
Q
A
93
GEOMETRÍAS
a) 28° c) 40° e) 60°
b) 30° d) 48°
15. En la figura, calcula x + y
x
y
54°
a) 234 c) 240 e) 252
b) 210 d) 126
16. Calcular el mayor valor entero de la longitud de un lado, si el
perímetro de su región es 40
a) 20 c) 22 e) 18
b) 21 d) 19
17. Del gráfico, calcula: "x"
x
60°50°
a) 100° c) 80° e) 120°
b) 85° d) 110°
18. De la figura mostrada, ¿cuál es el menor segmento?
60°
50° 40°
75°C
A
B
D
a) AC c) CD e) AC
b) BC d) DB
19. En la figura, AB=BC, PQ=QC y BQ=7, calcula: AB
Q
B
CA
P
2x
a) 7 c) 14 e) 30
b) 12 d) 20
20. En la figura, calcula la relación entre "x" e "y"
Si AB=BC=CD
xy
B
DCA
a) 1/2 c) 1/4 e) 3
b) 1/3 d) 2
21. En la figura, AC // PQ . Calcule x.
45°
2
2
xA
B
P
A) 105ºB) 75ºC) 120ºD) 90ºE) 60º
22. En la figura, AP = PQ ; NM = NB ; FE = FC. Calcule x.
A C
B
P E
NM
x
y
z
A) 18ºB) 450ºC) 270ºD) 540ºE) 360º
23. En la figura calcule x ya b
x
b
y
a
A) 1B) 2C) 3
D) 41E) 2
24. En la figura, AB = 8 y AD = AB + CD. Calcule x.
60°A
B
C
D
A) 3B) 4C) 6D) 8E) 10
25. En la figura, calcule: a + b + c + d
a
b
160°
10°
d
c
A) 150ºB) 160ºC) 170ºD) 200ºE) 180º
26. Las medidas d elos ángulos interiores de un triángulo son (x +
y); (x – y) y (2y – x). Calcule x cuando y toma su menor valor
entero.
94
INGENIERÍAS
A) 83º B) 86º C) 88º
D) 90º E) 87º
27. En un triángulo ABC, m A 2m C , AB = 2. Calcule BC si sesabe que es entero.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
28. En la figura, PC = 12. Calcule el valor entero de AB.
A
B
CP2
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
29. En la figura, calcule x si: AB = BC y CD = DE y + – = 70º.
2
A
B
C
D
E
x
A) 110ºB) 100ºC) 130ºD) 160ºE) 170º
30. En la figura, calcule x.
x
x
A) 30º B) 45º C) 60º D) 37º E) 53º
31. Si EC = CD y FB = BP, calcule «x».
A) 80° B) 70° C) 60°
D) 50° E) 40°
32. Si 250º , , calcula «x».
A) 10° B) 20° C) 30°
D) 40° E) 50°
33. Si m/ /n, calcula la medida del ángulo formado entre las rectas
L1 y L2.
A) 40º B) 35º C) 30º
D) 25º E) 20º
34. En un triángulo ABC, se ubica el punto interior P tal que los trián-gulos APB y PBC son obtusos en P.Si AP=16, BP=12 y PC=9, calcular el menor perímetro deltriángulo ABC si se sabe que es un valor entero.A) 42º B) 43º C) 44ºD) 45º E) 41º
35. Calcula «x» si el triángulo AEB es equilátero y 140º.
A) 10º B) 40º C) 15ºD) 30º E) 20º
36. Según el gráfico, calcula (x + y).
A) 110º B) 150º C) 170º
D) 210º E) 220º
37. En la figura, calcula el valor de si a + b + c + d = 420º.
A) 10° B) 15° C) 20°
D) 25° E) 30°
95
GEOMETRÍAS
38. Se prolongan los lados AC y BC de un triángulo ABC hasta P
y Q, res-pectivamente. Calcula la m BPA s i
m BAC m APQ 60º y m BCA –m APQ 60º. Además: AB = BQ.
A) 10° B) 15° C) 20°
D) 25° E) 30°
39. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se toman los puntos E y
F sobre AB y BC, respectivamente, tal que el triángulo CEF es
equilátero. Halla m FEB si m ACE .A) B) 3 C) 2D) 90 – E) 45 –
40. En un triángulo dos de sus lados miden x y 3x; el tercer lado
mide 24 cm. Halla la suma de los valores que puede tomar x.
A) 18 cm B) 24 cm C) 30 cm
D) 36 cm E) 48 cm
41. El perímetro de un triángulo rec-tángulo es 30. ¿Cuántos
valores enteros puede tomar la longitud de la hipotenusa?
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) 2
42. Según la figura BC//DE, m–n = 36º, calcula el valor de si AD
= DE.
A) 36º B) 48º C) 32º
D) 44º E) 46º
43. Un triángulo tiene como perímetro 26 m y uno de sus lados
mide 9 m. Halla la diferencia de las medidas de los otros dos
lados si el producto es 70 m2.
A) 3 m B) 4 m C) 2 m
D) 1 m E) 5 m
44. En el interior de un triángulo ABC, se toma el punto «Q» tal que
BQ=AC, m QAC 48º y m ACQ 18º. Halla la
m QBC; además m BAQ y m ABQ 60º –.
A) 36º B) 18º C) 24º
D) 12º E) 32º
45. En un triángulo acutángulo ABC, se ubica el punto «L» exterior
relativo a BC tal que m BAL 2m LAC; m BCE 3m LCE («E»
se encuentra en la prolongación de AC ). Halla el máximo
valor entero de ALC.A) 24º B) 29º C) 19º
D) 59º E) 89º
96
INGENIERÍAS
LÍNEAS NOTABLESSemana 02
1. CEVIANA
Segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto
o de su prolongación.
2. ALTURA
Ceviana perpendicular al lado al que es relativo.
– Triángulo acutángulo
– Triángulo obtusángulo
– Triángulo rectángulo
3. BISECTRIZ
Ceviana que biseca a un ángulo interior o exterior.
– Bisectriz interior
– Bisectriz exterior
Práctica
1. Según la figura mostrada, calcula "x".
100°
x
a) 10° c) 30° e) 80°
b) 20° d) 50°
2. Según la figura mostrada, calcula "x" si se sabe que "I" es el
incentro del ABC.
Ix
B
C
A
a) 125° c) 150° e) 145°
b) 135° d) 120°
3. Según el gráfico mostrado, calcula "x".
110°
x
a) 110° c) 130° e) 145°
b) 140° d) 135°
4. Según la figura, calcula "x".
80°
x
B
CA
a) 100° d) 140°
b) 120° e) 150°
c) 130°
5. En un triángulo ABC se traza por B una paralela al lado AC que
corta a las prolongaciones de las bisectrices interiores de A y
C en M y N. Calcula MN si AB = 8u y BC = 9 u.
a) 17 u d) 16 u
b) 15 u e) 17/2 u
c) 18 u
97
GEOMETRÍAS
6. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices de A y C que seintersectan formando un ángulo que es el triple de B.Calcula "A + C".
a) 14° b) 360° c) 18°d) 100° e) 144°
7. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD de tal forma queAB = BD = DC y mBAC = 80°. Calcula mABC.
a) 20° c) 60° e) 80°b) 50° d) 70°
8. En un triángulo ABC, el ángulo "A" mide 70° y el ángulo "C", 92°.Calcula el ángulo que forma la bisectriz exterior del ángulo Bcon la prolongación del lado AC.
a) 8° c) 10° e) 12°b) 9° d) 11°
9. En un triángulo rectángulo ABC de hipotenusa BC, la bisectrizAM mide igual que el cateto AB. Calcula la medida del ángu-lo "C".
a) 30° c) 22°30' e) N.A.b) 32°30' d) 18°30'
10. En un triángulo isósceles MNP (NM = MP) se prolonga NP hastaQ, de tal forma que MP es bisectriz del ángulo NMQ. Calculala medida del ángulo PMQ si el ángulo Q mide 30°.
a) 30° c) 40° e) 70°b) 60° d) 50°
11. Según la figura, calcula la medida del ángulo ADB.
a) 50°
b) 80°
c) 100°
B
CA100°
50°
D
E
d) 150°
e) 180°
12. Según la figura mostrada, calcula "x".
a) 115°
b) 125°
c) 130°
50°
x
B
CA
d) 150°
e) 155°
13. Según la figura, calcula el valor del ángulo "x", si AD y BC son
bisectrices de los ángulos A y C respectivamente.
a) 30°
b) 60°
c) 90°
20°
60°x
B
CA
D
d) 120°
e) 150°
14. En la figura, BH es la altura y BM es la mediana. Calcula la
medida del ángulo "".
a) 10°
b) 20°
c) 28°
B
50°A CH M
d) 30°
e) 40°
15. Si en un triángulo ABC, el ángulo A mide 58°, ¿cuánto mide el
ángulo BDC, donde D es el punto de intersección de las bi-
sectrices de los ángulos B y C?
a) 125° c) 110° e) 102°
b) 119° d) 95°
16. En la figura, EF es la mediatriz de DC . Si AB // DE y AJ = 20
cm, calcula BE.
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cmE
G
CA D F
BJ
d) 8 cm
e) 10 cm
17. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la mediana rela-
tiva a BC mide 2 2 m que interseca perpendicularmente
con la mediana relativa a la hipotenusa. Calcula AB .
a) 2 2 m c) 4 m e) 3 m
b) 2 m d) 4 2 m
18. En un triángulo rectángulo ABC la hipotensua mide "2a" unida-des, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes delas medianas relativas a los catetos es _______.
a) 3a2 c) 7a2 e) 11a2
b) 5a2 d) 9a2
19. En la figura mostrada, el ABC es isósceles, AM y CN son
medianas que se intersectan perpendicularmente. Calcu-
la ABa) a 10b) a 5c) 2a 10
MN
B
CA H
d) 10e) 2 10
20. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), en el lado AC se
ubica el punto P de manera que el ángulo PBC mide 40°. Si
las bisectrices de los ángulos BAC y BPC se intersectan en E,
calcula mAEP.
a) 25° c) 40° e) 60°
b) 35° d) 50°
21. En la figura, calcula «x».
98
INGENIERÍAS
A) 60º B) 40° C) 30°
D) 20° E) 10°
22. Se tiene un triángulo ABC en el que se traza la ceviana interior
BD tal que BD = 4,BC = 6; mABD = 3, BCA = 2 y MBAD= .Calcula AD.
A) 6 B) 8 C) 7
D) 5 E) 10
23. Calcula «x».
A) 40º B) 30° C) 60º
D) 50° E) 45º
24. En la figura, hallar «x».
A) 10° B) 20° C) 15°
D) 30° E) 18°
25. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la ceviana AD tal que
AB = BD y mA–mC 60º. Halla mDAC.A) 28º B) 22º 30' C) 25º
D) 35º E) 30º
26. En la figura, halla «x» en función de .
A) 45° + 4
B) 60° + 5
C) 30° + 3
D) 45° + 2
E) 90° – 4
27. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior CP, de tal
manera que PB = AC. Calcula mA si mB = 3mA.A) 18° B) 24° C) 30°
D) 36° E) 45°
28. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en C, de modo
que mC–mA 32. Calcula la medida del ángulo que forman
la bisectriz exterior BE y la altura BH.A) 64º B) 69° C) 90°
D) 72º E) 74°
29. Se tiene el triángulo ABC, de incentro «I», de tal manera que
mBAI mBCA, AB = C y BC = a. Halla AI.
A)ac
a cB)
a c2
C) ac
D) a – c E) 2 2a c
30. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura
BH. Calcula la medida del ángulo formado por las bisectrices
de los ángulos BAC y HBC.
A) 60º B) 75º C) 90º
D) 100º E) 120º
31. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AN y
CM, de tal manera que mAMC mNMB y mANC mMNB.Halla mABC.A) 18º B) 24º C) 30º
D) 36º E) 45º
32. En un triángulo rectángulo ABC, mA 4mC. Halla la medida
del menor ángulo formado por la bisectriz de B y la mediatriz
de AC al interceptarse.
A) 17º B) 23º C) 27º
D) 18º E) 36º
33. En un triángulo ABC, donde AB = 8u y BC = 11u, se traza por B
una paralela al lado AC, que corta a la prolongación de la
bisectriz interior de A en P y a la bisectriz exterior de C en Q.
Halla PQ.
A) 7,5 u B) 1,5 u C) 2 u
D) 3 u E) 5 u
34. Sea ABC un triángulo obtusángulo, obtuso en «B». Se trazan las
alturas AH y CQ . Determina la medida del ángulo formado
por las bisec-trices de los ángulos HAB y BCQ.
A) 60° B) 75° C) 45°
D) 90° E) 30°
35. En un triángulo ABC (AB > BC), se traza la bisectriz exterior BDy se ubica el punto «E» en AB tal que AE = EC. Calcula la
m ECB si la m ADB 27º. .
A) 27° B) 18° C) 36°
D) 40° E) 54°
36. En la figura, I es incentro del ABC. Calcule x.
80°
70°
A C
B
I
x
A) 20ºB) 30ºC) 36ºD) 40ºE) 45º
99
GEOMETRÍAS
37. En la figura calcule x.
80°
70°
x
A) 50º B) 55º C) 60º D) 65º E) 70º
38. En la figura calcule x.
50°
x
A) 50ºB) 55ºC) 60ºD) 65ºE) 70º
39. En la figura calcule x.
100°
2
xA) 40ºB) 30ºC) 25ºD) 50ºE) 80º
40. En la figura calcule x + y.
x
y
A) 60ºB) 90ºC) 80ºD) 100ºE) 110º
41. En la figura: m + n = 220º. Calcule x.
m
n
x
A) 30ºB) 35ºC) 40ºD) 45ºE) 36º
42. En la figura, P y Q son incentros de los triángulos ABC y PDC
respectivamente. Calcule x.
D
CA
P
B
Qx
A) 30ºB) 36ºC) 45ºD) 60ºE) 80º
43. En la figura, calcule x + y + z.
140° x
yz
A) 180ºB) 280ºC) 140ºD) 200ºE) 220º
44. En un triángulo ABC se trazan la bisectriz interior del A y la
bisectriz exterior del C , las cuales se intersectan en. Por “E” se
traza la paralela a AC que corta en Q y P a BC y AB respectiva-mente. Si: AP = 15 y QC = 12, calcule PQ.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
45. Dado el triángulo isósceles ABC, m B=100º , sobre los lados
BC y AC se ubican los puntos P y Q respectivamente, tal que:
m BAP m CBQ 30º .
Calcule la m BAP m CBQ 30º A) 15º B) 30º C) 40º D) 50º E) 60º
100
INGENIERÍAS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOSSemana 03
B
A C
c
b
Q
P R
c
b
B
A C
c
b
Q
P R
c
b
B
A C
c
b
a
Q
P R
c
b
a
2DO CASO: ÁNGULO – LADO – ÁNGULO
(L.A.L.)
ABC PQR
ABC PQR
1ER CASO: LADO – ÁNGULO – LADO
(L.A.L.)
3ER CASO: LADO – LADO – LADO
(L.L.L.)
ABC PQR
Práctica
1. En la figura mostrada, calcula ST si QP = 8 m y PT = 12 m.Q
S
TRPa) 3 m c) 4 m e) 5 m
b) 6 m d) 8 m
2. De la figura, calcula el valor de "3x + 2y".
5y
50°
x+10°
2x
a) 90° c) 60° e) 85°
b) 89° d) 73°
3. De la figura mostrada, calcula "".
20°- C
D
3 -20°
B
A
a) 10° c) 20° e) 30°
b) 15° d) 16°
4. En la figura, calcula "x", sabiendo que AB = DC y DB = DE.
2x
5x3x
C
D
E
AB
a) 10° c) 15° e) 20°
b) 12° d) 18°
5. Según la figura, calcula "x".
4x 60° CA
a) 30° c) 15° e) 37°
b) 27° d) 20°
6. Según las figuras que se presentan, calcula " – ".
a b
c
N
M P a
bc
R
Q S70°
30°
a) 40° c) 60° e) 70°
b) 30° d) 50°
7. Del gráfico mostrado, calcula "x".
30°+
ba
A
BC
x+D
E
P
b
a
101
GEOMETRÍAS
a) 15° c) 30° e) 2 –
b) 20° d) –
8. En la figura que se presenta, calcula "x"; si AB = 16u y DE = x + 4.
B
EC
D
A
a) 8 u c) 13 u e) 20 u
b) 12 u d) 16 u
9. En la figura mostrada, calcula "x".
A Dx2+1
17u CE
B
a) 2 u c) 4 u e) 8 u
b) 3 u d) 5 u
10. De la figura mostrada calcula "x", si ABCD es un cuadrado y BH
= 3 u, PH = 7 u.
a) 5 u
b) 2 u
c) 3 u
C
D
PAH
B
x
d) 4 u
e) 7 u
11. Del gráfico, calcula AB, si AM = 8 u y CN = 6 u.
a) 8 u
b) 10 u
c) 7 u
45°A
C
NBM
d) 5 u
e) 2 u
12. En el gráf ico adjunto, calcula "x "; s i BC = BE y
AE = DC.
a) 60°
b) 50°
c) 45°x3x
xD C
B
A
E
d) 70°
e) 75°
13. Según la figura, calcula "x".
a) 22°30'
b) 15°
c) 18°
2
B
CA
d) 40°
e) 30°
14. Según la figura, calcula "x".
a) 46°
b) 56°
c) 134°134°
A
B
CDF
E
b
a
xab
d) 57°
e) 60°
15. Si ABC y PQR son dos triángulos de tal forma que AC = PR, AB
= QR; mA = mR; BC = 12 cm y PQ = x2 – 4. Calcula "x".
a) 2 cm d) 5 cm b) 4 cm
e) 6 cm c) 3 cm
16. En la figura adjunta, calcula "x".
a) 30°
b) 45°
c) 10°
2x +10°
x
B
CA
d) 20°
e) 60°
17. En la figura, ABCD es un cuadrado. Calcula "2x".
a) 200°
b) 219°
c) 220°
20°
20°
x
d) 210°
e) 205°
18. En la figura mostrada, calcula "x" si AP = BC.
a) 25°
b) 30°
c) 35°
70° x
40°
B
CPA
d) 40°
e) 45°
19. Sea ABCD un cuadrado cuyos lados tienen longitud "L". Por el
vértice B pasa una recta que no es paralela a ninguno de los
lados. Si las distancias de los puntos A y C a la recta que pasa
por B son 12 m y 9 m respectivamente. Calcula el valor de "L".
a) 20 m d) 25 m b) 12 m
e) 18 m c) 15 m
20. En un triángulo ABC se traza la mediana BR , de tal manera
que AB = AR, y mRBC = 14°. Calcula mABC.
a) 14° d) 51° b) 57°
e) 60° c) 37°
21. De la figura adjutna, calcula el valor de "x".
a) 12°
b) 10°
c) 9°
2x 24°-xB
CNMA
d) 8°
e) 6°
102
INGENIERÍAS
22. En la figura adjunta AD ED. Si BC = 5 cm, calcula DF.
a) 4 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
E
B
FD
C
A
d) 5 cm
e) 6 cm
23. De la figura adjunta, calcula BM, si se sabe que BD = 6 cm.
a) 3 cm
b) 4 cm
c) 4,5 cm M
D
E
B
CAd) 5 cm
e) 6 cm
24. En la figura que se presenta, calcula "x" si AB = 25 u y DE = x2 +
9.
a) 1
b) 2
c) 3
B
CF
A
D
d) 4
e) 5
25. En la figura mostrada, calcula "x".
a) 6
b) 7
c) 8
3x+2
2x+10
d) 9
e) 10
26. De la figura mostrada, calcula el lado del cuadrado ABCD si
BH = 5 cm y PH = 17 cm.
a) 5 cm
b) 7 cm
c) 10 cm
C
D
PAH
B
d) 12 cm
e) 13 cm
27. De la figura AM + MB = 14 cm. Calcula CM + MD.
a) 10 cm
b) 12 cm
c) 14 cm
B
C
D
Ad) 16 cm
e) 20 cm
28. Los lados AB y AC de un triángulo ABC miden "c" y "b"
respectivamente con c < b. La longitud de la mediana BM
relativa al lado BC se encuentra entre:
a)b c b cBM
2 2 d)
b c BM 2b c2
b) b – c < BM < b + c e)a c a cBM
2 2
c) a + b < BM < b + c
29. Según la figura, calcula "x".
a) 20°
b) 30°
c) 40°
20°
B
CAx
Ex
D
d) 50°
e) 60°
30. Según la figura, calcula "x".
a) 38°
b) 40°
c) 58° x
38°
a
a
b
b
d) 142°
e) 70°
31. Sean ABC y PQR dos triángulos congruentes de modo que: AC
= QR, mA = mQ, mC = mR, AB = x + 1; PQ = 7 – x; PR =
6; BC = 2y. Calcula "x + y".
a) 1 u c) 3 u e) 7 u
b) 2 u d) 6 u
32. En el cuadrado ABCD; CM = 2. Calcula AN, si el lado del
cuadrado mide 6 cm.
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 3 cm M
N
B C
DA
d) 4 cm
e) 5 cm
33. En la figura se muestran los triángulos ABC y PQC congruentes.
Calcula "x".
20°
x
P
C
A
Ba) 50° d) 55° b) 60°
e) 65° c) 70°
34. En la figura AB = FC. Calcula "".
2
B
CA F
a) 15° b) 30° c) 18°
d) 36° e) 22°30'
103
GEOMETRÍAS
35. Según la figura, ABCD es un cuadrado. Calcula la medida de su
lado si las distancias de los puntos A y C a la recta L es 4 m
y 3 m respectivamente.
a) 3,5
b) 5
c) 6
B
C
D
A
d) 7
e) 12
36. En un triángulo ABC se traza la mediana BR de tal forma que
AB = AR, y mRBC = 14°. Calcula mBAC.
a) 104° c) 106° e) 108°
b) 105° d) 107°
37. En un triángulo ABC, se traza la altura BH , en la cual se ubicael punto P; de tal modo que AB = PC. Si mPAC = mBCA,calcula mAPH.
a) 30° c) 45° e) 75°
b) 37° d) 53°
38. En la figura, calcule si:
A
M
B
C
N
37ºA) 2
55ºB) 2
45ºC) 2
D) 30ºE) 18º
39. En la figura, AB = PC y AC = 10. Calcule AP.
A C
P
B
2
5
A) 4 B) 5 C) 5,5 D) 6 E) 7,5
40. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD de modo que AD= BC
y m ABDm BAD m CBD2
.
Calcule la m ABC.A) 90º B) 72º C) 120º
D) 105º E) 108º
41. En la figura, AB = MC. Calcule x.
30°
75°75°
A CM
B
N
A) 45º B) 30º C) 37º
D) 50º E) 60º
42. En la figura, los triángulos ABC y PQC son equiláteros. Calcule
.
100º
A
C
B
Q
A) 30ºB) 35ºC) 40ºD) 20ºE) 50º
43. En la figura, AB = BC, DC = 7 y DE = 3. Calcule AE.
AE
D C
B
A) 3B) 3,5C) 4D) 5,5E) 6
44. En la figura, EL TF, TE = LF. Calcule
T F
L
E
45°2
A) 10ºB) 12ºC) 15ºD) 18ºE) 20º
45. En la figura los triángulos ABC y CDE son equiláteros. Calcule
x.
A CE
B
D
x
A) 30ºB) 50ºC) 45ºD) 60ºE) 53º
46. En la figura, CD = 2 (AB). Calcule .
A C
D
B
2
A) 10º B) 18º30’ C) 22º30’
D) 26º30’ E) 28º
104
INGENIERÍAS
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIASemana 04
TEOREMA DE LABISECTRIZ
PM
Q
R
O
a
a
b
A
B
b
TEOREMA DE LAMEDIATRIZ
A BM
P
a a
MEDIANA RELATIVA BASE MEDIA
A
B
CMa a
a
2a
M N
B
A C
m
2ma
a b
b
Práctica
1. De acuerdo con la figura, calcula AD si AB = 4 m.
a) 4 2 m
b) 6 2 m
c) 8 2 m
45°
D
C
B
A 30°d) 10 2 m
e) 8 m
2. En un triángulo ABC, se traza la mediana AM y la ceviana BD,
que se cortan en E. Calcula DC si AE = EM y AD = 1u.
a) 1u c) 3u e) 5u
b) 2u d) 4u
3. De acuerdo con la figura, calcula "x" .
6x
x+4
B
CA
a) 2 c) 4 e) 6b) 3 d) 5
4. Calcula MN si BC = 6 cm.
37°
C
B
M
NA
a) 3 cm c) 5 cm e) 7 cm
b) 4 cm d) 6 cm
5. Si mBAC – mBCA = 30 y
AB = MC, calcula el valor de "x", L es mediatriz de AC .
Mx
B
CA
a) 60 c) 65 e) 55
b) 75 d) 70
6. Calcula PM si BM MC .
xP
M
B
CA
6cm
10cma) 2 cm c) 4 cm e) 6 cm
b) 3 cm d) 5 cm
7. De acuerdo con la figura, DC = 8m. Calcula AB.
2
B
CDA
a) 1 m c) 4 m e) 8 m
b) 2 m d) 6 m
8. De acierdo con la figura, la relación entre los perímetros de los
triángulos PQR y RST es de 1 : 2. Calcula: QS.
4 5u
30° 60°
PT
SRQa) 5 u b) (2 + 2 3 ) u c) (2 3 + 4) u
d) 2( 5 + 2) u e) (2 – 3 ) u
9. De acuerdo con la figura mostrada, calcula HQ si AC = 36m.
BQ
20°CHA
105
GEOMETRÍAS
a) 13,5 u b) 9 u c) 6 3 u
d) 18 u e) 9 3 u
10. Se tiene un cuadrado ABCD. CED es un triángulo equilátero y BP
es perpendicular. Calcula EP.
E1u
P
BA
CD
a) 1/2 u b) 312
u c) 3/2 u
d) 322
u e)
312
u
11. De acuerdo con la figura, ¿cuál es el valor de «a»?.
4 3m BA C
a
D
60° 30°
a) 6 m b) 24 3 m c) 12 3 m
d) 24 m e) 12 m
12. De acuerdo con la figura, calcula RC si el ABC es equilátero.
a) 2 u
b) 1 u
B
RP
A Q C
1u
2uc) 3 u
d) 2 u
e) 1,5 u
13. De acuerdo con la figura, calcula "x"
30°
50m
C
D
B
A
x
a) 200 3 m b)400
3 c) 3/3 m
d) 3200 3m e) 250 3 m
14. De acuerdo con los datos de la figura, calcula el valor de "x"
10m
8m
C
BAx
a) 9 m b) 18 m c) 25 m
d) 12 m e) 24 m
15. De acuerdo con la figura mostrada, calcula PQ si AB = 8m y
AC = 12m.
PQ
B
CAa) 1 m b) 3 m c) 5 m
d) 2 m e) 4 m
16. De acuerdo con la figura AB = CD y AC = BE. Calcula x + 23.
B
C
D
A
35°50°
45°x
Ea) 23° c) 35° e) 48°
b) 47° d) 38°
17. En un triángulo ABC, se traza la mediana BR de tal manera
que AB = AR y mRBC = 14. Calcula mABC.
a) 14° c) 53° e) 64°
b) 37° d) 51°
18. De acuerdo con la figura calcula "x", si mBAH=mECA=30°
23°
x16
B
E
CA
H
a) 2 u c) 6 u e) 4 u
b) 8 u d) 5 u
19.
b 2a a
2ab
A
CB
a) /12 c) /4 e) 5/2
b) /6 d) /3
106
INGENIERÍAS
20. En un triángulo escaleno ABC, se traza la mediana CM ; en el
triángulo BMC, se traza la mediana BN , BN = 9 m; sobre AC
se toma un punto "F" de modo que MF//BN . Calcula: MF..UNI 1985 – I
a) 6 m c) 5 m e) 8 m
b) 4 m d) 10 m
21. De acuerdo con la figura mostrada, calcula «x».
45°CB
A
x6
M
a) 2 2 c) 4 e) 4 2b) 3 2 d) 3
22. De acuerdo con la figura mostrada, calcula "".
10°10°
B
C
A D
m
2m
a) 10º c) 30º e) 60º
b) 20º d) 40º
23. De acuerdo con la figura, calcula: MN.
B
N
C
M
A 10cma) 4 cm c) 6 cm e) 10 cm
b) 5 cm d) 8 cm
EJERCICIOS PUCP24. Según la figura, calcula QS.
2 10u
30° 60°
P T
SRQ
2
a) ( 3 6)u d) (3 3)ub) ( 3 3)u e) ( 3 4)uc) ( 3 2)u
25. De acuerdo con la figura, calcula "x".
x
4u
30°
B
E
A D C
a) 1 u c) 3 u e) 0,5 u
b) 2 u d) 1,5 u
26. Si en el cuadrado mostrado ABCD trazamos DF de tal mane-
ra que pase por el vértice E del triángulo equilátero AEB,
¿cuál es el valor de FC?
EF
BA
CD
a
a) a 32
b)a3 c) a 2
d) a(2 3) e) 3a 12
27. Se tiene un triángulo ABC recto en B, donde A = 60º. La bisectriz del
vértice "A" cae en el lado BC en el punto "D". Calcula DC si BD = 2 u.
a) 1 u c) 2 3 u e) 4 u
b) 2 u d) 3 u
28. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, BF es perpendi-
cular a BC. Si FC = 30 u, y además, mFCB = 29º y mA BF =
3º, calcula AB.
FA
B
C29°
3°
a) 22,5 u c) 10 u e) 15 u
b) 30 u d) 20 u
29. De acuerdo con la figura, calcula "x".
a) 32403
m
b)300
3m
30°
100m
C
D
B
A
x
c) 4003
m
d) 32502
m
e) 175 m
107
GEOMETRÍAS
30. De acuerdo con la figura, calcula "x".
4m
2m
C
BAx
a) 2 m c) 2 3 m e) 4 3 m
b) 4 m d) 6 m
31. De acuerdo con la figura, calcula «PM» si AB = 7 m y AC = 15
m.
P M
B
CA
a) 3 m c) 6 m e) 8 m
b) 4 m d) 7 m
32. En la figura, AB+AM=12 cm y EM = 5cm. Halla: MB.
E
M C
B
A
D
a) 7,5 cm c) 7 cm e) 6,5 cm
b) 8 cm d) 6 cm
33. En el cuadrilátero PQRS, si PQ=12 3 u y QR=8 3 u, calcu-
la PS + RS.
120°R
QP
S
a) 20 u c) 50 u e) 80 u
b) 40 u d) 60 u
34. De acuerdo con la figura, si mBAH=mECA=30º y =23º,
calcula: HE + BE.
H
E
B
CA
12cm
a) 6 cm c) 12 cm e) 20 cm
b) 8 cm d) 16 cm
35. De acuerdo con la figura mostrada, calcula CD si AB=16 cm.
A
EB30° 45° 53°
C Da) 1 cm c) 3 cm e) 1,5 cm
b) 2 cm d) 4 cm
36. Si AD y BM son medianas del ABC y AC=30 cm, calcula
las longitudes x e y en ese orden.
My
x
A
CDBa) 11 y 4 b) 8 y 9 c) 9 y 6
d) 9,5 y 5,5 e) 10 y 5
37. En el interior de un triángulo ABC (AB=BC), se toma el punto
«p» de tal manera que mPBA = 10º, PB = AC y mPBC =
30º. Calcula mPAB.
a) 10º b) 25º c) 20º
d) 30º e) 15º
38. En la figura, AD = 2 (DB). Calcule la m FPE .
A CF
B
E
A) 15º B) 30º C) 45º
D) 60º E) 75º
39. En la figura, AB si AC – PQ = 8. Calcule AB.
A C
Q
B
P
D
2
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
40. En la figura, AH = HQ, 1 2L y L
son mediatrices de BD y QC
respectivamente,
m ABC=100º . Calcule x.
A
B
CH
M
Q N
D
L1
L2
108
INGENIERÍAS
A) 10º B) 12º C) 15º D) 18º E) 20º
41. En la figura, AB = 7, AC = 15 y BM = MC. Calcule PM.
A C
B
MP
A) 3B) 4C) 6D) 7E) 8
42. En la figura AM = MC = MP. Calcule x.
A
B
CM
x
P
A) 53ºB) 60ºC) 45ºD) 30º
53ºE) 2
43. En la figura AC = BD y BC = CD. Calcule x.
C
A
x
D
B
A) 30ºB) 45ºC) 37ºD) 53ºE) 60º
44. Se tiene un triángulo ABC donde se traza la mediana BM ,
luego la perpendicular AH a dicha mediana H en BM ,
BC = 2 (AH). Calcule la m MBC .A) 10º B) 30º C) 15º
D) 20º E) 45º
45. Según el gráfico: AB = BC y 6AD CD AB5
, calcule x .
A D
CB
53º
x
A) 135º B) 120º C) 115º
D) 127º E) 118º
46. En la figura, AB = BC = CD. Calcule la m CDA
A7x
D
B C
5x
10xA) 8ºB) 10ºC) 12ºD) 15ºE) 20º
47. En la figura calcule x.
x 7º
A) 45º B) 30º C) 37º
D) 53º E) 60º