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7/23/2019 10-Problemas de campo.docx
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Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Delta
Teórico deCÁLCULO AVANZADO
20!
Te"a# $RO%L&'A( D& CA'$O
O)*etivos de a+rendi,a*e•
Germán BRESCIANO
7/23/2019 10-Problemas de campo.docx
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10 PROBLEMAS DE CAMPO......................................................................................................10-1
10.1 SISTEMAS DISCRETOS. MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ........................................................10-110.1.1 Sistemas discretos................................................................................................ ......... ...10-1
10.1.2 Ecuaciones elementales............................................................................................... ....10-1
10.1.3 Ensamblado del sistema global........................................................................................10-2
10.1.4 Elementos discretos usuales.............................................................................................10-2
10.1.4.1 Elemento barra...................................................................................................................... 10-210.1.4.2 Elemento v!a....................................................................................................................... 10-"
10.2 SISTEMAS CO#TI#$OS. %ORM$LACI&# 'ARIACIO#AL............................................................10-1010.2.1 Variación de un funcional (unidimensional)............................................................. .....10-11
10.2.2 Variación de un funcional (vectorial).................................................................... ........10-13
10.2.3 Variación de un funcional (orden suerior)...................................................................10-13
10.2.4 !ondiciones de contorno...................................................................................... .........10-13
10.2." Variación de un funcional (varias variables).................................................................10-14
10.2.# Variación de un funcional (varias variables sin cond. de $iric%let en arte de Γ ).......10-1"
10.2.& 'todos de resolución........................................................................................ .......... .10-1# 10.2.(.1 M)to*o *e *+eren,a +nta...............................................................................................10-110.2.(.2 M)to*o *e elemento +nto................................................................................................10-1(
10./ I #TEROLACI&# OR %$#CIO#ES OLI#OMIALES A TROZOS...................................................10-1(
10.3.1 ormas...........................................................................................................................10-1& 10.3.2 !aso una variable * grado 1 (oligonales)...................................................................10-1&
10.3.3 !aso una variable grado +.............................................................................................10-1,10././.1 Interola,n *e La!ran!e...................................................................................................10-1"10././.2 Interola,n a tro3o..........................................................................................................10-1
10.3.4 roiedades de la interolación.................................................................................. ..10-1
10.3." Error de interolación............................................................................................. ......10-1
10.3.# asa/e a norma 2..........................................................................................................10-2010./..1 Teorema *e Sobolev 5en 6na varable7.................................................................................10-2010./..2 roe*a* / ara norma L2..................................................................................................10-2010./../ roe*a* 2 ara norma L2 5Lema 8ramble 9lbert7...........................................................10-2110./..4 Error *e nterola,n en norma L2......................................................................................10-21
10.3.& !aso 2 variables - interolación en el lano.................................................................10-2210./.(.1 art,one tran!6lare.......................................................................................................10-2210./.(.2 art,one re,tan!6lare.....................................................................................................10-24
10.3., !aso 3 variables - interolación en el esacio..............................................................10-24
10.3. Error de interolación............................................................................................. ......10-2"10./..1 Teorema *e Sobolev............................................................................................................10-2:10./..2 Lema 8ramble 9lbert.........................................................................................................10-2:10./../ roe*a* /......................................................................................................................... 10-2:10./..4 A,ota,n *el error..............................................................................................................10-2
10.4 MÉTODOS DE ELEME#TOS %I#ITOS.........................................................................................10-2"10.4.1 roiedades de .................................................................................................... .......10-2
10.4.1.1 E;emlo 51 varable7............................................................................................................10-210.4.2 !lculo de la matri ....................................................................................................10-31
10.4.2.1 Matr,e elementale...........................................................................................................10-/110.4.3 !lculo del vector f........................................................................................................10-32
10.4./.1 'e,tore elementale...........................................................................................................10-//10.4.4 Ensamblado del sistema global......................................................................................10-33
10.: CO#DICIO#ES DE CO#TOR#O..................................................................................................10-/410.".1 !ondiciones de $iric%let...................................................................................... .........10-34
10.".2 !ondiciones de emann............................................................................................. .10-3410.:.2.1 E;emlo 52 'arable7..........................................................................................................10-/4
10. ELEME#TOS $S$ALES.............................................................................................................10-/"10.#.1 Elementos unidimensionales..........................................................................................10-3
10..1.1 %6n,one *e +orma lo,ale < !lobale................................................................................10-/10.#.2 Elementos bidimensionales............................................................................................10-40
10..2.1 Elemento tran!6lare........................................................................................................10-4010..2.2 Elemento ,6a*rl=tero.......................................................................................................10-4010..2./ %6n,one *e +orma lo,ale < !lobale................................................................................10-40
10.#.3 Elementos tridimensionales................................................................................... ........10-41
10.( I #TEGRACI&# #$MÉRICA........................................................................................................10-4110." CO#'ERGE#CIA DEL MÉTODO DE ELEME#TOS %I#ITOS..........................................................10-42
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10.,.1 !aso 1 variable..............................................................................................................10-4210.".1.1 A,ota,n *e ∥6-6>∥............................................................................................................ 10-4/
10.,.2 !aso varias variables.....................................................................................................10-44
10. MÉTODO DE LOS RESID$OS O#DERADOS..............................................................................10-4410.10 MÉTODOS #O CO#%ORMES..................................................................................................10-4:
10.10.1 E/emlo (1 variable)..................................................................................................10-4"
10.10.2 E/emlo (varias variables).........................................................................................10-4# 10.10.3 atc% test....................................................................................................................10-4&
10.10.4 !onvergencia.............................................................................................................10-4&
10.11 MÉTODOS MI?TOS...............................................................................................................10-4"10.11.1 E/emlo - Ecuaciones de avier-So+es......................................................................10-4,
10.11.1.1 Aro@ma,n or elemento +nto *e 1............................................................................10-:010.11.1.2 Cao ,onver!en,a *e or*en 1.............................................................................................10-:1
10.12 I #TEGRACI&# RED$CIDA....................................................................................................10-:/10.1/ SISTEMAS #O E# RÉGIME#..................................................................................................10-:/
10.13.1 roblemas arabólicos..............................................................................................10-"310.1/.1.1 E;emlo - E,6a,n *el ,alor...............................................................................................10-:/
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$ro)le"as de ca"+o
10 Problemas de campo
10.1 Sistemas discretos. Método directo de la rigidez
Antes de estudiar los +ro)le"as de ca"+o vere"os un "-todo de resolución +ara siste"as
discretos cu.a "etodolog/a de clculo es la )ase del "-todo de ele"entos 1initos
0 (iste"as discretosLos siste"as discretos son siste"as 1/sicos co"+uestos +or ele"entos discretos )ien de1inidosinterconectados entre s/Dos e*e"+los de siste"as discretos son las estructuras de )arras . circuitos el-ctricos&l estado de cada uno de estos ele"entos +uede re+resentarse +or el valor de varia)les deestado en una cantidad 1inita de nodos . estos valores se relacionan entre s/ . con lascondiciones del entorno o de aco+le con los otros ele"entos "ediante un siste"a deecuaciones conocido lla"ado ley de gobierno del elemento&n una estructura de )arras la le. de go)ierno de cada )arra relaciona el des+la,a"iento desus e3tre"os con la tensión en la )arra&n un circuito el-ctrico la le. de go)ierno de cada co"+onente el-ctrico relaciona el volta*e ensus e3tre"os con la corriente 4ue +asa +or el co"+onente&n cada nodo se cu"+le una condición de compatibilidad 5 4ue i"+lica 4ue ciertas varia)les deestado de todos los ele"entos conectados a ese nodo de)en tener el "is"o valor 6escalar ovectorial7&n una estructura de )arras la condición de co"+ati)ilidad en un nodo es 4ue losdes+la,a"ientos de todas las )arras conectadas sean iguales&n un circuito el-ctrico la condición de co"+ati)ilidad en un nodo es 4ue los volta*es de todoslos co"+onentes conectados sean iguales en ese nodoTa")i-n de cu"+le una condición de equilibrio5 4ue +uede ser una ecuación escalar o vectorial4ue relaciona las varia)les de cada ele"ento conectado a ese nodo con cargas e3ternasa+licadas al nodo La condición de e4uili)rio suele ser 4ue la su"a 6escalar o vectorial7 de lasvaria)les de)e ser nula&n una estructura de )arras la condición de e4uili)rio en un nodo es 4ue la su"a de todas lastensiones "s las cargas e3ternas a+licadas al nodo de)e ser nula&n un circuito el-ctrico la condición de co"+ati)ilidad en un nodo es 4ue la su"a alge)raica delas corrientes entrantes de los co"+onentes conectados es igual a la corriente e3terna 4ueingresa al nodo
02 &cuaciones ele"entalesUsual"ente la le. de go)ierno de cada ele"ento +uede e3+resarse co"o un siste"a deecuaciones lineales de la 1or"a
A( e )
u( e )= F
( e )
(e de1ine un vector glo)al de varia)les u con una o "s co"+onente +or nodo6de+endiendo del ti+o de +ro)le"a7 . las condiciones de co"+ati)ilidad i"+lican 4ue ciertas
co"+onentes del vector u(e )
6
7 de cada ele"ento conectado a un nodo son iguales entre s/. su valores co"unes de1inen a las co"+onentes de u corres+ondientes a ese nodoTa")i-n se de1ine un vector glo)al F con una o "s co"+onentes +or nodo co"o la su"a
6alge)raica o vectorial seg8n el +ro)le"a7 de las co"+onentes del vector F ( e ) 627
6corres+ondientes a ese nodo7 de cada ele"ento conectado al nodo . la condición de e4uili)rioi"+lica 4ue de)e ser igual a la carga e3terna a+licada al nodo
Cuando las co"+onentes de u(e ) corres+onden a "agnitudes vectoriales en el siste"a de
re1erencia estndar del ele"ento5 de)en +asarse al siste"a de re1erencia glo)al "ediantetrans1or"aciones de rotación de coordenadas +ara o)tener las varia)les 4ue de)en ser iguales+or la condición de co"+ati)ilidad2 Cuando las co"+onentes de F
( e ) corres+onden a "agnitudes vectoriales en el siste"a de re1erencia estndar
del ele"ento5 de)en +asarse al siste"a de re1erencia glo)al "ediante trans1or"aciones de rotación de coordenadas+ara o)tener las varia)les 4ue de)en su"arse en la condición de e4uili)rio
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$ro)le"as de ca"+o 9
(e +uede as/ esta)lecer 4ue los vectores glo)ales u . F se relacionan seg8n unsiste"a glo)al de la 1or"a
A u= F :ue resu"e las ecuaciones ele"entales5 las condiciones de co"+ati)ilidad . las de e4uili)rio&l siste"a tiene tantas varia)les . ecuaciones co"o la cantidad de nodos +or los grados delibertad por nodo5 4ue es la cantidad de varia)les de estado inde+endientes en cada nodo
&n un circuito el-ctrico ;a. un solo grado de li)ertad +or nodo 6el volta*e7&n un siste"a de )arras 2D ;a. 2 grados de li)ertad +or nodo 6des+la,a"iento a3ial . lateral7&n un siste"a de vigas 2D ;a. 9 grados de li)ertad +or nodo 6des+la,a"iento a3ial . lateral .ngulo de 1le3ión7
09 &nsa")lado del siste"a glo)al&l +roceso de o)tener la "atri, A . el vector F a +artir de las "atrices . vectores ele"entalesde cada ele"ento5 su"ando cada coe1iciente en la 1ila . colu"na corres+ondiente de la matri global y el !ector global se lla"a ensa")lado del siste"a glo)alUsual"ente los nodos de un ele"ento tienen una nu"eración local 64ue indica su n8"erodentro del ele"ento7 . una nu"eración glo)al 64ue indica su n8"ero 8nico en el siste"aglo)al7
Las "atrices ele"entales tienen tantas 1ilas . colu"nas co"o grados de li)ertad tenga elele"entoUna ve, o)tenidas las "atricesele"entales5 +ara ensa")lar la"atri, glo)al de)e"os su"ar cadacoe1iciente 6cu.os su)/ndices ennu"eración local5 i . *5corres+onden a un +ar de nodosdel ele"ento7 en la 1ilacorres+ondiente a la nu"eraciónglo)al del nodo i . la colu"nacorres+ondiente a la nu"eraciónglo)al del nodo *
$ara ensa")lar el vector F se +rocede en 1or"a si"ilar5 su"ando +ara cada coe1iciente delvector F ( e ) de cada ele"ento 64ue corres+onde a un nodo del ele"ento7 en la 1ila
corres+ondiente a la nu"eración glo)al del nodo Luego se de)e tener en cuenta la condiciónde e4uili)rio del nodo 4ue usual"ente i"+lica 4ue la su"a es igual a la carga e3terna a+licadaal nodo
0< &le"entos discretos usuales&ste "-todo suele a+licarse a ele"entos con geo"etr/a unidi"ensional +ero 4ue 1or"anestructuras )idi"ensionales o tridi"ensionales
"#$"$%$" Elemento barra
&n estos ele"entos ;a. un solo gradoio de li)ertad +or nodo $uede tratarse de
• %arras con carga a3ial• Resortes con carga a3ial• &le"entos de circuito el-ctrico• Tra"o de ca=er/a de circuito ;idrulico• Conductor de calor unidi"ensional
&l estado de cada ele"ento 4ueda de1inido +or el des+la,a"iento en cada e3tre"o Las"atrices ele"entales en coordenadas locales son de 232&n el caso de las )arras . resortes la varia)le de estado es el des+la,a"iento5 4ue esunidi"ensional en el siste"a de coordenadas local5 +ero es vectorial en el siste"a decoordenadas glo)al .a 4ue el alarga"iento tendr la dirección del ele"ento La ecuación dee4uili)rio en cada nodo ser vectorial 62D o 9D7 +ues de+ende de la geo"etr/a en la 4ue estndis+uestos los ele"entos
Las "atrices ele"entales en coordenadas glo)ales son de <3< 62D7 o >3> 69D7&n los otros casos la geo"etr/a es irrelevante +ues la condición de e4uili)rio de cada nodo esescalar 6su"a de 1lu*os nula7
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$ro)le"as de ca"+o !
Ejemplo
Deter"inar los volta*es en cada nodo del circuitoR ? 0 Ω
R2 ? 9 Ω
R9 ? 2 Ω
R< ? @ ΩR! ? 2 Ω
R> ? ! Ω
R@ ? < Ω
R ? B Ω
V> ? 2V2 ? 0A
Cada nodo tiene una nu"eración glo)al 6en verde7 . unanu"eración local 6en a"arillo7 4ue indica su n8"ero dentro
del ele"ento
$ri"ero de)e"os de1inir cada ele"ento5
indicando cules son sus nodos5 es decir lacorres+ondencia entre la nu"eración local desus nodos . la nu"eración glo)al
Elemento Nodo 1 Nodo 2 Resistencia1 1 2 0 Ω
2 2 3 9 Ω
3 3 4 2 Ω
4 5 4 @ Ω
5 6 5 2 Ω
6 3 5 ! Ω
7 2 5 < Ω8 1 6 B Ω
Las ecuaciones de go)ierno de cada ele"ento relacionan los valores nodales de las varia)lesde estado &stas ecuaciones se e3+resan nor"al"ente en la nu"eración local5 +ues seconsidera al ele"ento en 1or"a aislada
$ara cada resistencia su ecuación ele"ental es
V 1(e)−V 2
(e)
R(e) = I 1
(e)
V 2(e)−V 1
(e)
R(e) = I 2
(e)
o sea1
R(e) [ 1 −1
−1 1 ][V 1(e)
V 2(e)]=[ I 1
(e)
I 2(e)]
Donde I 1(e) . I 2
(e) son las intensidades entrante del ele"ento e en su nodo . 2 .
V 1(e) . V 2
(e) son los volta*es en el nodo . 2 del ele"ento e
$or tanto las ecuaciones ele"entales 6en nu"eración local7 son
1
10 [ 1 −1
−1 1 ][V 1(1)
V 2(1)]=[ I 1
(1)
I 2(1)] 1
3 [ 1 −1
−1 1 ][V 1(2)
V 2(2)]=[ I 1
(2)
I 2(2)]
1
2 [ 1 −1−1 1 ] [V 1
(3)
V 2(3)]=[ I 1
(3)
I 2(3)] 1
7 [ 1 −1−1 1 ][V 1
(4 )
V 2(4 )]=[ I 1
(4)
I 2(4)]
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$ro)le"as de ca"+o @
1
12 [ 1 −1
−1 1 ] [V 1(5)
V 2(5)]=[ I 1
(5)
I 2(5)] 1
5 [ 1 −1
−1 1 ][V 1(6)
V 2(6)]=[ I 1
(6 )
I 2(6 )]
1
4 [ 1 −1
−1 1 ][
V 1(7)
V 2
(7)
]=
[
I 1(7)
I 2
(7)
]
1
9 [ 1 −1
−1 1 ][
V 1(8 )
V 2
(8 )
]=
[
I 1(8 )
I 2
(8 )
]&n cada nodo de)e cu"+lirse la ecuación de e4uili)rio &n este caso la su"a de lasintensidades 6de los ele"entos 4ue lo inclu.en7 de)e ser igual a la intensidad e3terna entrante$or tanto va"os a ensa")lar el siste"a glo)al su"ando los coe1icientes de cada "atri,ele"ental en la 1ila . colu"na corres+ondientes a la nu"eración glo)al de sus nodosDel lado derec;o tendre"os la su"a de las intensidades5 4ue de)e ser igual a la intensidade3terna entrante
[1
10+
1
9
−1
100 0 0
−1
9
−1
10
1
10 +1
3+1
4
−1
3 0 −1
4 0
0 −1
3
1
3+
1
2+
1
5
−1
2
−1
50
0 0 −1
2
1
2+
1
7
−1
70
0 −1
4
−1
5
−1
7
1
7+
1
12+
1
5+
1
4
−1
12
−1
90 0 0
−1
12
1
12+
1
9
] [V 1V 2V 3V 4V 5V 6
]=[0
0.1
0
0
0
I 6]
Co"o sa)e"os 4ue V 6=12 sustitui"os su valor en cada ecuación . +asa"os restando elt-r"ino al lado derec;o Ade"s eli"ina"os la ecuación corres+ondiente al este nodo5o)teniendo el siguiente sistema reducido#
[1
10+
1
9
−1
100 0 0
−1
10
1
10+
1
3+
1
4
−1
30
−1
4
0 −1
3
1
3+
1
2+
1
5
−1
2
−1
5
0 0 −1
2
1
2+
1
7
−1
7
0 −1
4
−1
5
−1
7
1
7+
1
12+
1
5+
1
4
] [V 1V 2V 3
V 4V 5
]=
[
12
9
0.1
0
0
1
] Al resolver este siste"a o)tene"os
[
V 1V 2V 3
V 4V 5
]=
[
12,3885
12,8202
12,7535
12,737612,6819
]
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$ro)le"as de ca"+o B
(ustitu.endo estos valores . el conocido de V 6 en la ecuación 4ue ;a)/a"os eli"inado del
siste"a sin reducir5 o)tene"os el valor de I 6 I 6=−0,1
Lo 4ue ;ici"os +uede +rogra"arse en (cila)#
//CIRCUITO ELECTRICO
mode(0) // Sólo muestra resultados si no se pone ; en la línea
clc // Borra la consola
//DATOS EO!ETRICOS
Coor=[0 0;
0 1;
0 2;
1 2;
1 1;
1 0]; //Coordenadas nodos "para el di#u$o%
//DATOS ELECTRICOS R=[10 3 2 7 12 5 4 9]; // &o'm( Resistencia de los elementos
//TABLA DE CO)ECTI*IDAD
TC=[1 2;
2 3;
3 4;
5 4;
6 5;
3 5;
2 5;
1 6];
nn=size(Coor,r); //)umero de nodosnne=size(TC,c); //)umero de nodos por elemento
ne=size(TC,r); //)umero de elementos
//RADOS DE LIBERTAD +RESCRITOS "*olta$es%
!dl"=[6];
n!dl"=size(!dl",c);
#"=zeros(nn,1);
#"(!dl",1)=12;
//RADOS DE LIBERTAD LIBRES
!dll=zeros(nn $n!dl",1);
!dll=[1 2 3 4 5];
//Corrientes A+LICADAS
%&"=zeros(nn,1);
%&"(2)=0'10;
//!ATRICES DE RIIDE,
=zeros(nne,nne);
=[1 $1;
$1,1];
//!ATRICES - *ECTORES LOBALES
*!=zeros(nn,nn);
#!=zeros(nn,1);
+or i=1ne
e=1-R(i).; //!atri. de riide. elemental
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$ro)le"as de ca"+o
//Ensam#la$e de la matri. de riide.
ind=[TC(i,1) TC(i,2)];
*!(ind,ind)=*!(ind,ind)/e;
end
//REDUCCIO) DEL SISTE!A DE ECUACIO)ES *red=zeros(nn$n!dl", nn$n!dl");
%red=zeros(nn$n!dl",1);
red=zeros(nn$n!dl",1);
*red=*!(!dll,!dll);
%red=%&"(!dll,1)$*!(!dll,!dl").#"(!dl"); //Resta al 0ector las
columnas de los
//rados prescritos por los 0alores
prescritos1
//SOLUCIO) DEL SISTE!A REDUCIDO
#red=*red%red;
//CALCULO DE LOS *olta$es - LAS Intensidades )ODALES
#!(!dll)=#red;
#!(!dl")=#"(!dl");
//CALCULO DE LAS Intensidades entrantes en los nodos
%=*!.#!;
//SALIDA DE RESULTADOS
dis"(#ol&es "rescrios)
dis"([ odo #ol])
dis"([!dl" #"(!dl")])
dis"(%nens &"lic&d&s)
dis"([ mero %nen])
dis"([!dll %&"(!dll)])
*!
%&"
*red
dis"([ %red #red])
dis"([%red #red])
dis"([ #! % %&"])
dis"([#! % %&"])
//ra2ica elementos delee(!c+());
m=min(Coor(,1));
8=m&(Coor(,1));
m=min(Coor(,2));
8=m&(Coor(,2));
d=8$m;
d=8$m;
m=m$d-10;
8=8/d-10;
m=m$d-10;
8=8/d-10;
"lo([m 8],[m 8],:);
"lo(Coor(,1),Coor(,2),o)
+or e=1ne
=[Coor(TC(e,1),1) Coor(TC(e,2),1)];
=[Coor(TC(e,1),2) Coor(TC(e,2),2)];
"lo(,,$)end
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$ro)le"as de ca"+o 9
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$ro)le"as de ca"+o !
#ol&es "rescrios
odo #ol
6' 12'
%nens &"lic&d&s
odo %nen
1' 0'
2' 0'1
3' 0'
4' 0'
5' 0'
*! =
0'2111111 $ 0'1 0' 0' 0' $ 0'1111111
$ 0'1 0'633333 $ 0'3333333 0' $ 0'25 0' 0' $ 0'3333333 1'0333333 $ 0'5 $ 0'2 0'
0' 0' $ 0'5 0'642571 $ 0'142571 0'
0' $ 0'25 $ 0'2 $ 0'142571 0'6761905 $ 0'033333
$ 0'1111111 0' 0' 0' $ 0'033333 0'1944444
%&" =
0'
0'1
0'
0'
0'
0'
*red =
0'2111111 $ 0'1 0' 0' 0'
$ 0'1 0'633333 $ 0'3333333 0' $ 0'25
0' $ 0'3333333 1'0333333 $ 0'5 $ 0'2
0' 0' $ 0'5 0'642571 $ 0'142571
0' $ 0'25 $ 0'2 $ 0'142571 0'6761905
%red #red
1'3333333 12'353
0'1 12'20247
0' 12'75343
0' 12'73756
1' 12'61949
#! % %&"
12'353 2'220<$16 0'
12'20247 0'1 0'1
12'75343 $ 2'220<$15 0'
12'73756 $ 2'220<$16 0'
12'61949 0' 0'
12' $ 0'1 0'
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$ro)le"as de ca"+o @
&ste circuito +uede "odelarse ta")i-n en un so1tare de &le"entos Finitos usando ele"entosunidi"ensionales de dos nodos
(e de1inen +ri"ero los nodos . luego los ele"entos(e de1inen las caracter/sticas de cada ele"ento . 1inal"ente las cargas . restricciones
(e resuelve el "odelo o)teni-ndose el valor del volta*e en cada nodo . la corriente en cadaele"ento
Node Electric Potential1 12.38853796276932 12.82024681029073 12.75348253503454 12.73758627902115 12.68194938297436 12
Material Element Current
10_Ohm 1 0.04317088475214473_Ohm 2 -0.0222547584187402
2_Ohm 3 -0.007948128006693097_Ohm 4 -0.0079481280066937212_Ohm 5 0.05682911524785725_Ohm 6 -0.01430663041204844_Ohm 7 -0.03457435682911579_Ohm 8 -0.0431708847521447
"#$"$%$& Elemento !iga
&n estos ele"entos la carga en el e3tre"o tiene co"+onente a3ial . transversal . ta")i-n ;a."o"entos 1lectores &l estado de cada ele"ento 4ueda de1inido +or el des+la,a"ientolongitudinal . transversal . los ngulos de 1le3ión en cada e3tre"o Las "atrices ele"entalesson de >3> 62D7 o 030 69D7Ejemplo
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$ro)le"as de ca"+o B
Deter"inar los des+la,a"ientos . giros no +rescritos . las 1uer,as . "o"entos de reacción enlos e"+otra"ientos
A=1,000 mm2 I Z =20,000 mm4 E=200,000 MPa
&n este caso ta")i-n se +uede usar un so1tare de &le"entos Finitos +ara "odelar el siste"a
Node X Y Z
Displacementin X
Displacement
in Y
Rotation about
Z
Tensile
Force
ShearForce
V
endin!Momentabout "
1 0 0 0 0 0 0 -4.119 147 -49.158
275
075
0 0010962
3
-041858
5
-000757
4 -5.981 211 -18.716
3 075
0 0 0 0 0 29.233 276 62.928
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$ro)le"as de ca"+o 2
10.2 Sistemas continos. Formlaci!n "ariacional
Los +ro)le"as de ca"+o son +ro)le"as en los 4ue se tiene un siste"a 1/sico 4ue ocu+a unaregión lla"ada ca"+o5 donde en cada +unto . "o"ento el estado del siste"a +uededescri)irse con una serie de E!ariables de campo Los valores de estas varia)les de ca"+o .sus derivadas es+aciales . te"+orales cu"+len ciertas le.es naturales5 es decir5 se relacionan
entre s/ +or ecuaciones lla"adas ecuaciones de gobierno del sistemaGeneral"ente el entorno del siste"a i"+one ciertas restricciones so)re las varia)les de ca"+oen la 1rontera del siste"a 6condiciones de contorno7 o el +ro)le"a +arte de un estado inicialconocido 6condiciones iniciales7 Algunos e*e"+los de varia)les de ca"+o son# te"+eratura5 des+la,a"ientos5 1lu*o de calor5velocidad del 1luido5 +resión5 tensión5 concentración de sustancias 4u/"icas5 etcGeneral"ente los +ro)le"as de ca"+o +ueden 1or"ularse de dos "aneras&n la +ri"era de ellas el +ro)le"a se +lantea co"o una ecuación diferencial3 La ecuacióndi1erencial descri)e el comportamiento local de las !ariables5 o sea5 en una región in1initesi"alCo"o tiene "uc;as soluciones5 se usan condiciones iniciales .Ho de contorno +ara deter"inar la solución +articular de la ecuación di1erencial 4ue descri)e la solución del +ro)le"a&n la segunda 1or"ulación se +lantea el +ro)le"a co"o uno de minimización de unfuncional J5 4ue se de1ine +or una adecuada integración so)re toda la región ocu+ada +or elca"+o de las incógnitas en el do"inio< A")as 1or"ulaciones son "ate"tica"ente e4uivalentes &n la 1or"ulación de "ini"i,acióntoda la in1or"ación necesaria est contenida en una sola ecuación . no ;a. necesidad decondiciones au3iliaresLa 1or"ulación de "ini"i,ación ser de la 1or"a#Iallar u∈' ( )*u+,)*!+ ∀ ! ∈' siendo
' el con*unto de 1unciones ad"isi)les)-'.R un 1uncional!
Las 1unciones ! ∈' re+resentan varia)les de ca"+o5 co"o des+la,a"ientos de un cuer+oelstico5 te"+eratura5 etc5 en 1unción de las coordenadas es+aciales o te"+orales&l 1uncional ) usual"ente tiene alg8n signi1icado 1/sico5 co"o la energ/a +otencial de un cuer+oelstico5 o la entro+/a en un siste"a ter"odin"ico aislado
7 Ejemplo# Tra.ectoria de tie"+o "/ni"o 6)ra4uistócrona7Dados dos +untos A . % desea"os ;allar la tra.ectoria entre A . % 4ue "ini"ice eltie"+o de ca/da sin ro,a"iento de una +art/cula$ara si"+li1icar el +ro)le"a considerare"os la aceleración de la gravedad en ladirección del e*e 35 4ue A es el origen de coordenadas . % est en el +ri"er cuadrante
(ea s*t+ la distancia recorrida +or la +art/cula
v ( t )=ds
dt ⇒T =∫
0
T
dt =∫0
T ds
v =∫
x1
x2 √ 1+ y ' 2
v dx
$ero
v=√ 2 gx⇒T =∫ x1
x2
√1+ y '
2
2 g x dx=
1
√ 2 g∫ x1
x2
√1+ y '
2
x dx
⇒√ 2 g T =∫ x1
x2
√ 1+ y ' 2
x dx≡J ( y)
el +ro)le"a es "ini"i,ar el 1uncional ) en el con*unto
9 &n "uc;os casos esta ecuación di1erencial se deriva de a+licar un +rinci+io de conservaciónde alguna de las varia)les de ca"+o en una +orción in1initesi"al del ca"+o5 de donde seo)tiene una relación entre unas varia)les . el gradiente de otra . luego se introduce una le.natural 4ue suele relacionar esta varia)le con el gradiente de otra (e o)tiene as/ una relaciónentre derivadas segundas de esta 8lti"a varia)le con los valores de otras varia)les5 es decir
una ecuación di1erencial de segundo orden< Un e*e"+lo es cuando se a+lica el +rinci+io de "/ni"a energ/a +otencial! Un /uncional es una 1unción de un es+acio de 1unciones en R$
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$ro)le"as de ca"+o 29
y : [ x1, x2 ] → R∨ y derivable∧ y (0 )=0∧ y ( x2 )= y2 27 Ejemplo# Catenaria
(e desea sa)er 4u- 1or"a to"ar una cuerda uni1or"e5 1le3i)le+ero inelstica5 de largo 0 colgada entre dos +untos A . %La cuerda to"ar la 1or"a 4ue "ini"ice la energ/a +otencial
E=∫0
L
yds=∫ x1
x2
y√ 1+ y ' 2 dx≡J ( y)
&l +ro)le"a es "ini"i,ar el 1uncional ) en el con*unto
y : [ x1, x2 ] → R∨ y derivable , y ( x1 )= y1∧ y ( x2)= y2∧∫ x1
x2
√ 1+ y' 2
dx= L02 Variación de un 1uncional 6unidi"ensional7Considere"os el 1uncional
Ec. 10-1
x , u , u' , u ) dx
F ¿J (u ) ≡∫
x1
x2
¿
Con F di1erencia)le:uere"os "ini"i,ar ) en
V = u: [ x1 , x2 ] → R conderivada segunda∨u ( x1 )=u1∧u ( x2 )=u2 (i u# 1uera solución entonces )*u# + , )*u+ ∀u∈'
(ean# φϵ V 0=φ : [ x1 , x2 ] → R conderivada segunda∨φ ( x1 )=φ ( x2 )=0 Rϵ
Considere"os u1u# 234 con 4∈' # entonces )*u# + , )*u# 234+ ∀3 ∈R ∧ ∀4∈' #
$ara 4 1i*a de1ina"os g-R.R J g*3+ 5 )*u# 234+ entonces g*#+ , g*3+ ∀3 ∈R entonces g tiene"/ni"o en # . g es deriva)le5 +or tanto de)e ser g6*#+1# Co"o
+ εφ
x , u0+φ,u0
' +φ' ,u0
¿dx
F ¿
g ( )≡∫ x1
x2
¿
+ εφ + εφ
x , u0+φ,u0
'
+φ' ,u0
¿
φ ' + F u ( x , u rsub 0 + εφ , u rsub 0 rsup ' + εφ ', u rsub 0 rsup +φ ) φ x , u0+φ,u0
' + φ ' , u0¿
φ+ F u ' ¿dx¿
F u¿¿
! g' ( )=∫
x1
x2
¿
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$ro)le"as de ca"+o 2!
F u( x , u0 ,u0' , u0
) φ + F rsub u ^ ' ( x , u rsub 0 , u rsub 0 rsup ' , u rsub 0 rsup )φ ' + F u ( x , u rsub 0 , u rsub 0 rsup ' , u
¿¿
0=g' (0 )=∫
x1
x2
¿
Donde J (u ,φ )≡ "
" J (u+φ)|=0
es la K!ariación del /uncional ) K
&ste nuevo 1uncional 4ue ;e"os de1inido es anlogo al conce+to de di1erencialO)s-rvese 4ue
" J (u , φ )≡ "
" J (u+φ )|
=0
=!" → 0
J (u+φ )−J (u)
Nótese 4ue la condición necesaria +ara 4ue u# sea la solución 4ue "ini"i,a ) es 4ue
Ec. 10-2 " J (u0 , φ)=0 ! φ ! V 0
&n el caso 4ue est)a"os considerando esta es la formulación variacional del +ro)le"a de
minimización de un funcional F u φ
" J ( u0 , φ )=∫ x1
x2
F u φ+∫ x1
x2
F u' φ ' +∫
x1
x2
¿ ntegrando +or +artes el 2 . 9 su"ando#
∫ x1
x2
F u
' φ ' = F u
' φ| x1
x2−∫ x1
x2
"
" x F
u'
φ=−∫ x1
x2
( "
" x F
u' )φ
F u φ ' r!#$% r!& rsub x rsub 1 rsup x rsub 2 !&% r*" x rsub 1 %* x rsub 2 *r x F rsub u φ'
¿ F u φ ^ ' r!#$% r!& rsub x rsub 1 rsup x rsub 2 % &*& % ( *r x F rsub u ) φ
¿¿¿u r!#$% ) φ
"2
" x2 F
¿¿
F u φ=¿
∫ x
1
x2
¿
! " J (u0 , φ )=∫ x1
x2
( F u−
"
" x
F u'
+ "
2
" x2 F
u r!#$% ) φ + % &*& F rsub u
φ'
| x1
x2
Co"o de)e ser 7)*u#84+1# ∀4∈' # eso i"+lica 4ue
Ec. 10-3
u -0 & % x rsub 1 / x rsub 2 r!#$%
F u− "
" x F
u'
+ "
2
" x2 F
¿
Ec. 10-4 (! F u % (x rsub 1 r!#$% ) - F rsub u ( x2 )=0
&c 0M9 . &c 0M< son las ecuaciones de &uler Lagrange del 1uncional ) 6&c 0M7 .corres+onden a la formulación del problema como ecuación diferencial
> A "enos 4ue se e3i*a 46*9 " +146*9 & +1# 5 +or e*e"+lo si ;a. condiciones de Ne"ann 6u6*9 " +1u6 ". u6*9 & +1u6 & 75 en cu.o caso esta ecuación no es necesaria
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$ro)le"as de ca"+o 2@
Co"o la condición 7)*u# +1# es una condición necesaria +ero no su1iciente de "ini"i,ación de) 5 entonces la solución de las ecuaciones de &uler Lagrange no necesaria"ente "ini"i,a ) 5+ues +odr/a ser un "3i"o o +unto de in1le3ión
Ejemplo# Catenaria&n el +ro)le"a de catenaria de)/a"os "ini"i,ar
J ( y )=∫ x1
x2
y √ 1+ y ' 2
dx
en y∨ y ( x1 )= y1, y ( x2 )= y2 ,∫ x1
x2
y √ 1+ y ' 2dx= L
$ara este 1uncional#
F ( x , y , y' )= y √ 1+ y '
2
y -0
F ¿ F y=√ 1+ y '
2
F y' = yy ' √ 1+ y '
2
y ' 4+ y '
2+ yy *r % (1+ ' ^ 2 r!#$% ) ^ 3 2
!" F y '
" x =
"
" x
yy '
√ 1+ y ' 2=¿
&n este caso &c 0M9 4ueda#
y' 4+ y
' 2+ yy *r % (1+ ^ '2 r!#$% ) ^ 3 2 -0 % (1+ ^ '2 r!#$% ) ^ 2⟺
⇒√ 1+ y ' 2−¿¿=0⟺
1+2 y' 2+ y
' 4− y' 4− y
' 2− yy -0 1+ ^ '2 ⟺ =0⟺ y - 1+ ^ '2 *r 2. Ejemplo
(ea J ( y )=∫ x1
x2
y ' 2
dx
y -0
F ¿ F y=0
F y' =2 y' ⇒
" F y '
" x =2 y
&n este caso la ecuación de &uler Lagrange &c 0M9 4ueda# y -0 02 ⇒ +0-0 ⇒ y -0
F y−
"
" x F y' +
"2
" x2 F ¿
022 Variación de un 1uncional 6vectorial7(i la 1unción incógnita es vectorial
J (u )≡∫ x1
x2
F ( x ,u1, u2 , # , un, u ' 1 , u' 2 , # , u ' n)dx
con las condiciones
u1 ( x1 )=u11, u2 ( x2 )=u12, # , un ( x1 )=un 1 ,u n ( x1 )=un 2
$ode"os de1inir la variación del 1uncional en cada una de las 1unciones incógnitas . todos
de)en ser cero en el "/ni"o# " J u1=" J u2=#=" J un=0 Las ecuaciones de &uler Lagrange 4ue se o)tienen son iguales +ero vectoriales
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$ro)le"as de ca"+o 2B
Ec. 10-" F ui−
"
" x F
u'
i
=0 ∀ i=1,2, # , n
Ejemplo# longitud "/ni"a entre dos +untos
Iallar la curva de longitud "/ni"a entre los +untos 6 9 "8 y "8 "7 . 6 9 & 8 y & 8 & 7(i +ara"etri,ra"os la curva en #8 " 6 9*t+8 y*t+8 *t+7 9*#+19 "8 9*"+19 & y*#+1y "8 y*&+1y & *#+1 "8 *&+1 &
Ia. 4ue "ini"i,ar J ( x , y , $ )=∫0
1
√ x ' 2+ y '
2+ $ ' 2
dt
Las ecuaciones de &uler Lagrange &c 0M! sern#
F x−
"
" t F x ' =0⇒0
−
"
" t
2 x'
√ x' 2+ y ' 2+ $ ' 2=0⇒
x
'
=% x√ x '
2
+ y '
2
+ $ '
2
F y− "
"t F
y'
=0⇒0− "
" t
2 y'
√ x' 2+ y' 2+ $ ' 2=0⇒ y
' =% x√ x' 2+ y
' 2+ $' 2
F $− "
" t F
$'
=0⇒0− "
"t
2 $'
√ x ' 2+ y ' 2+ $ ' 2=0⇒ $
' =% x√ x ' 2+ y '
2+ $ ' 2
⇒ ( x ' , y
' , $ ' )=√ x '
2+ y ' 2+ $ '
2 (% x , % y , % $ )=& (t )(% x , % y , % $ )O sea 4ue la dirección de *968 y68 6+ no var/a con t 5 entonces la curva es una recta
029 Variación de un 1uncional 6orden su+erior7(i se desea "ini"i,ar
x , u , u' , u , , u ^ ( & ) ) dx
F ¿
J (u )≡∫ x1
x2
¿
con condiciones de contorno +ara u8 u68 u:8 ;8 u*n<"+ se o)tiene la ecuación de &uler Lagrange
Ec. 10-
u + (1) ^ & ^ ( & ) *r x ^ & F rsub u ^ ( & ) -0
F u− "
" x F
u'
+ "
2
" x2 F
¿
02< Condiciones de contornoIasta a;ora ;e"os usado condiciones de contorno en la 1rontera 6+ro)le"a de Diric;let7(i en +arte de la 1rontera no se 1i*a condición de contorno5 la ecuación de &uler Lagrangeca")ia
(i desea"os "ini"i,ar J (u )≡∫ x1
x2
F ( x ,u ,u' )dx en u : [ x1, x2 ] → R∨u ( x1 )=u1
(ean
φ : [ x1 , x2 ] → R∨φ ( x1 )=0
∈
R
(i )*u# + es "/ni"o entonces )*u# + , )*u# 234+ ∀3 ∈R ∧ ∀4
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$ro)le"as de ca"+o 9
⇒0=" J (u0 ,φ )= "
" J (u0+φ )=∫
x1
x2
[ F u( x , u0 , u0' )φ+ F
u' ( x , u0 , u0
' )φ ' ] dx=¿∫ x1
x2
F u φ+∫ x1
x2
F u
' φ ' =∫ x1
x2
F uφ+ F u
' φ|
$ues 4*9 " +1# &sto se cu"+le ∀4 ( 4*9 " +1# &n +articular ∀4 ( 4*9 " +14*9 & +1# se veri1ica
∫ x1
x2
( F u− "
" x F
u' )φ=0⇒ F u−
"
" x F
u'
=0 en [ x1 , x2 ]
&ntonces ∀4 ( 4*9 " +1# se cu"+le = u6 *9 & + 4*9 & +1# +or tanto de)e ser = u6 *9 & +1#
O)s-rvese 4ue en 9 " 1i*a"os la condición u*9 " +1u" . en 9 & como no fijamos #$ 2 %, sur#e solala condición F & #$ 2 %=0 como 2$ condición de con%orno
02! Variación de un 1uncional 6varias varia)les7&o%ación
u ( x )=u ( x1 , x2 , x3) : → R
( ≡ "()
) ≡ " u" x1
, * ≡ "u" x2
,r ≡ " u" x3
Desea"os "ini"i,ar J (u )≡∫
F ( x1 , x2 , x3 , u , ) , * , r )d x
en el con*unto V = u : → R∨u=g e n ( (ean#
φ : → R∨φ=0 en (
∈ R
u0∈V soluci+n
v ≡u0+φϵV ⇒ J (u0 ) J (v )∀ ∈ R
⇒0=" J (u0 ,φ )= "
" J (u0+φ)|=0
es condición necesaria5 entonces
0=" J (u0, φ )= "
" ∫
F ( x1 , x2, x3, u0+φ ,"u0
" x1
+ " φ
" x1
," u0
" x2
+ " φ
" x2
," u0
" x3
+ " φ
" x3
)d x|=0
=¿
F
F u φ+∇ φ -(¿¿ ) , F * , F r)⇒
¿∫
F u φ+ F )" φ
" x1
+ F *" φ
" x2
+ F r" φ
" x3
=∫
¿
Ec. 10-'
F F u φ+∇φ -(¿¿ ) , F * , F r)
0=" J (u0 , φ )=∫
¿
(eg8n el Teore"a de Green
∫
∇ - F =∫"
( F -n )d. Ade"s ∇ - ( v / )=∇v -/+v∇ - /
⇒∫
(∇ v -
/+v∇ -
/ )=∫
∇ - (v
/ )=∫"
( v
/ - n ) d. ⇒
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$ro)le"as de ca"+o 99
Ec. 10- ∫
∇v -/=−∫
v∇ -/+∫"
v / - n d.
A+licando &c 0M a &c 0M@ #&c 0MB
F
∇ φ-(¿¿ ) , F * , F r)=∫
F uφ−∫
φ∇ - ( F ) , F * , F r )+∫ (
φ ( F ) , F * , F r ) -n d. ⇒
0=∫
F u φ+∫
¿
Ec. 10-10 0=∫
F u φ−∫
φ∇ - ( F ) , F *, F r )
+ues 41# en >
⇒
∫
φ [ F u−∇
-( F ) , F * , F r ) ]=0∀
φ∨φ=0 en (
⇒ F u−∇ - ( F ) , F * , F r )=0 en ⇒
Ec. 10-11 F u+" F )
" x1
+" F *
" x2
+" F r
" x3
=0 en es la ecuación de Euler
)a#ran#e.
Ejemplo
J (u )≡∫
|∇u|2
&n este caso F ( x1 , x2 , x3 , u , ) , * , r )= )2+*
2+r2 ⇒ F u=0, F )=2 ) , F *=2 * , F r=2 r
La ecuación de &uler Lagrange 4ueda#
0−( " 2 )
" x1
+"2 *
" x2
+" 2 r
" x3 )=−2( "
2u
" x1
2+
"2
u
" x2
2+
"2
u
" x3
2 )=0
⇒∇2u=0 o )ien 0 u=0 6@7
02> Variación de un 1uncional 6varias varia)les sin cond de Diric;let en +artede Γ 7
&l caso es co"o el anterior +ero la condición de contorno solo se e3ige en > " 6>1> " ∪> & 7
6Condición de Diric;let en > "7&n este caso a 4 solo le e3igi"os 41# en > " +ara 4ue !1 µ # 234∈' $
Usando el teore"a de Green 6&c 0M7 llega"os a &c 0MB co"o antes#
0=∫
F u φ−∫
φ∇ - ( F ) , F *, F r )+∫ (
φ ( F ) , F * , F r ) - n d.
$ero a;ora el tercer t-r"ino no es nulo sino 4ue
∫ (
φ ( F ) , F * , F r ) - n d. =∫ (
2
φ ( F ) , F *, F r ) - n d.
+ues φ1# en Γ 1
⇒0=
∫
φ
[ F
u
−∇ -
( F
)
, F *
, F r ) ]+
∫ ( 2
φ
( F
)
, F *
, F r )
-n d. ∀φ∨φ=0 en (
1
@ !"La+laciano? #2? #$#
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$ro)le"as de ca"+o 9!
$ero en +articular ∀4 ( 41# en > se cu"+le
0=∫
φ [ F u−∇ - ( F ) , F * , F r ) ]⇒ F u−∇ - ( F ) , F * , F r )=0 en
:ue es lo "is"o 4ue &c 0M
⇒∫ (
2
φ ( F ) , F * , F r ) - n d. =0∀φ∨φ=0 en ( 1⇒
Ec. 10-12 ( F ), F * , F r ) - n=0 en ( 2
O)s-rvese 4ue al no %ener condición de *iric+le% para en ' 2 sur#e es%a condición de&e,mann para F en ' 2
1. Ejemplo
gual 4ue la ve, anterior ;a. 4ue "ini"i,ar J (u )≡∫
|∇u|2 en
V = u : → R∨u( =g e n ( 1 F )=2 ) , F *=2 * , F r=2 r
&cuación &uler Lagrange# 0 u=0 en Condición de Diric;let u=g e n ( 1Condición de Ne"ann ( F ), F * , F r ) - n=0 en ( 2
( F ), F * , F r ) - n=(2 ) ,2 * , 2 r ) - n=2 ( ) , * , r ) - n=2∇u - n=0 en ( 2
⇒∇u - n=0 en ( 2 o "u
"n=0 en ( 2
2. Ejemplo
gual al anterior con J (u )≡∫
(|∇u|2− &u )
A;ora = u1</ en ? ⇒ 0 u=−& en
u=g e n ( 1du
d n=0 en ( 2
bservación
&n los e*e"+los 4ue ;e"os visto usa"os 1uncionales cuadrticos 4ue son 1uncionalesconve3os &stos 1uncionales no tienen "3i"os ni +untos de in1le3ión5 +or lo tanto lasecuaciones de &uler Lagrange 4ue son sie"+re condición necesaria de "ini"i,ación5 en estecaso son ta")i-n condición su1iciente
02@ '-todos de resoluciónIe"os visto la e4uivalencia entre los +ro)le"as de "ini"i,ación de un 1uncional . lasecuaciones de &uler Lagrange 64ue son &cuaciones Di1erenciales $arciales7La resolución anal/tica de estas ecuaciones di1erenciales +arciales es en general i"+osi)le5 +or lo 4ue de)e"os recurrir a "-todos nu"-ricos
"#$&$@$" todo de di/erencias /initas
&ste "-todo re+resenta el continuo ? con una "alla de +untos 4ue se su+er+one a ? Lasecuaciones di1erenciales son sustituidas +or ecuaciones alge)raicas ree"+la,ando lasderivadas +or 1ór"ulas en di1erencias 1initas
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$ro)le"as de ca"+o 9@
La solución del siste"a de ecuaciones alge)raicas resultante de esta Ediscreti,aciónre+resentar una a+ro3i"ación a la solución verdadera en los +untos de la "alla
"#$&$@$& todo de elementos /initos
&ste "-todo se )asa en la 1or"ulación variacional de los +ro)le"as 1/sicos (e divide a ? en+e4ue=os ele"entos 6ele"entos 1initos7 . en lugar de "ini"i,ar ) entre todas las u 4ue
veri1i4uen las condiciones de contorno5 se restringe a las u 4ue sean5 +or e*e"+lo5 lineales encada ele"ento O sea 4ue en lugar de "ini"i,ar ) en ' se "ini"i,a en un su)es+acio de ' dedi"ensión 1inita(e o)tiene un +ro)le"a de o+ti"i,ación con una cantidad 1inita de varia)les5 +or lo 4ue enlugar de las ecuaciones de &uler Lagrange5 se llega a un siste"as de ecuaciones alge)raicas
10.( Inter)olaci!n )or *nciones )olinomiales a trozos
09 Nor"asUsare"os varias nor"as en es+acios de 1unciones‖ x‖
L1( 2)≡
¿ x∈ 2| x|
‖ x‖ L1 ( 2)≡∫ 2
| x|
‖ x‖ L2 ( 2)≡(∫
2
| x|2)
1/2
la nor"a 0& *+ es la nor"a inducida so)re el +roducto interno
⟨ x , y ⟩ ≡∫ 2
xy
092 Caso una varia)le . grado 6+oligonales7Considere"os u##8"PR
Va"os a a+ro3i"arla +or una +oligonalDividi"os I ?#8" con una +artición D9 F$sean# I 1*9 <"89 +
1má9(9 <9 <"((ea uI la +oligonal tal 4ue uI *9 +1u*9 + ∀ 1#8"8;8n
Cun )uena sea la a+ro3i"ación de+ender de la+artición 67 . las +ro+iedades de u
Nos interesa acotar el error ‖u−u I ‖ L
1( 2) . sa)er
si !"3 → 0
‖u−u I ‖ L1( 2)=0
Va"os a +edir la condición de 4ue u tenga derivadaacotada
(ean
L=‖u' ‖ L
1( 2)
ω 5u<uI
9 ∈I
⇒
|4 ' ( x)|=|u'
( x )−u
I
' ( x)||u
'
( x )|+|u I
' ( x )| L+|u I
' ( x )|=¿
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$ro)le"as de ca"+o 9B
¿ L+|u ( x 5 )−u ( x 5−1 ) x 5− x 5−1
| L+ L=2 L
+ues u es LMli+sc;it,iana
|u' ( x )−u I
' ( x )|=|4 ( x )−0|=|4 ( x )−4( x 5−1)|=
|∫
x 5−1
x
4 '
|2 L| x 5− x 5−1| 2 L3⇒
Ec. 10-13 ‖u−u I ‖ L
1( I )2‖u ' ‖ L1( I )3
O sea 4ue si & es aco%ada la conver#encia es de orden 1 en +.Vea"os 4u- +asa si u es acotada(ean
ω 5u<uI
9 ∈I ⇒ ω *9 <" +1ω *9 +1# ⇒ ∃ θ ∈I H ω 6* θ +1#
Considere"os el intervalo * θ 89+ o *98θ + ⇒ ∃ de ese intervalo tal 4ue
4 (6)= 4 ' % ( x r!#$% ) −4 ' % ( 7 r!#$% ) *r x −7 = 4 8( x ) *r x −7 ⇒ ∀ x∈ I 5 ∃ ,6ϵ I 5 '(x )-(x) % ( r!#$% )
⇒ |4 ' ( x )|-| x−7||4 % ( r!#$% ) r!#$% r!& $ % d!& ‖¿ L
1( I )
Co"o uI lineal en I ⇒ uI :1# ⇒ ω :1u:
u r!#$% rd!& rsub ^ ( ; )¿
⇒ |4 ' ( x )| 3¿ Ade"s
|4 ( x )|=|4 ( x )−4 ( x 5−1)|=|∫ x 5−1
x
4 ' |3‖4 ' ‖ L
1( I )
u r!#$%rd!&rsub%(;r!#$%) x;rsub<∀ ∈⇒
¿⇒ |4( x )| 32 ¿
Ec. 10-14
u r!#$% rd!& rsub ^ % (; r!#$% )¿
‖u−u I ‖ L
1 ( I ) 32 ¿
O sea 4ue si es aco%ada la in%erpolación con funciones lineales a %rozos conver#e conorden 2 en +$ara +oder "e*orar este orden & de)e"os inter+olar con +olino"ios de "a.or orden Vere"os4ue usando +olino"ios se grado J . si u*J2"+ est acotada5 entonces la convergencia es deorden J2"$
099 Caso una varia)le grado QDados y # 8 y "8 ;8 y J ∈ I ∃ un 8nico +olino"io de grado J H K J *y i +1u*y i + ∀ i1#8"8&8;8J
"#$L$L$" Interpolación de 0agrange
&l +olino"io inter+olador5 K J 5 +uede e3+resarse co"o#
9: (t )=∑;=0
:
u ( y; ) l;(t )
&l error se +uede acotar +or
|u ( t )− 9: (t )|| < (t )|‖u
(: +1)‖ L1 ( I )
(: +1 ) =
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$ro)le"as de ca"+o <
siendo
< (t )=∏;=0
:
(t − y;)
$ero ∀ t ∈ I
| < (t )
|
3
2- 3
2- 2 3- ⋯- :3=
1
4 3
: +1
: =⟹
Ec. 10-1"‖u− 9: ‖ L1 ( I )
1
4 3
: +1
‖u(: +1)‖ L
1 ( I )
(: +1 )
"#$L$L$& Interpolación a troos
Dada una +artición de I8 9 # 8 9 "8 ;8 9 n 5 +ara cada I to"a"os J2" +untos y # 8 y "8 ;8 y J de I einter+ola"os a u +or esos +untos(ea uI *9+1K J *9+ siendo K J el +olino"io inter+olador en I si 9 ∈I
09< $ro+iedades de la inter+olación (i u es un +olino"io de grado "enor o igual a J ⇒ uI 1u en I
*emos%ración&n cada intervalo el K J es 8nico . co"o u es +olino"io de grado J ⇒ K J 1u en I ⇒ uI 1u en I ⇒ uI
1u en I
2 Dado u5 en cada I e3iste un +olino"io de grado J 5 q*9+ H
‖u−*‖ L
1 ( I 5)
3: +1‖u
(: +1)‖ L1 ( I 5)
( : +1 )=*emos%ración
(ea q el +olino"io de Ta.lor de grado J de u desarrollado en ´ x∈ I 5
* ( x )=∑i=0
:
u(i)(´ x)
( x−´ x )i
i =
∃6∈ I 5∨u ( x )−* ( x )=u(: +1)(´ x)
( x−´ x): +1
(: +1)=
⟹‖u−*‖ L1 ( I 5)
3
: +1‖u(: +1 )‖ L
1 ( I )
(: +1 ) =9
∃% : ∨‖u I ‖ L
1 ( I 5) % : ‖u‖ L1 ( I 5 )
*emos%ración
|u I ( x )|=| 9: ( x )|∑;=0
:
|u ( y; ) l; ( x )|‖u‖ L1 ( I 5)∑
;=0
:
|l; ( x )|∀ x∈ I 5
(i los y m se eligen e4uidistantes en I entonces
¿ I 5 ∑;=0
:
|l; ( x )|=% :
no de+ende de 6C J 1& J 7
⇒|u I ( x )| % : ‖u‖ L1 ( I 5) ∀
x∈ I 5
⇒‖u I ‖ L
1 ( I 5) % : ‖u‖ L1 ( I 5 )
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$ro)le"as de ca"+o <9
09! &rror de inter+olación A +artir de 5 2 . 9 de"ostrare"os 4ue
Ec. 10-1 ‖u−u I ‖ L1 ( I ) % ' : 3
: +1‖u(: +1)‖ L
1 ( I )
*emos%ración
Dado I to"o el q de la +ro+iedad 2 . su inter+olador qI
4ue +or la +ro+iedad es igual a q ‖u−u
I ‖ L1 ( I
5)=‖u−*+* I −u
I ‖ L1 ( I
5)=‖(u−* )+( * I −u
I )‖ L1 ( I 5 )
‖u−*‖ L 1 ( I 5)+‖(u−* ) I ‖ L1 ( I
5 )(3 )‖u−*‖ L1 ( I
5)+% : ‖u−*‖ L 1 ( I
5)=¿
¿ (1+% : )‖u−*‖ L1 ( I 5 )
(2 )
(1+% : ) 3
: +1
(: +1 ) =‖(u−*)(: +1)‖ L
1 ( I )⇒
⇒‖u−u I ‖ L1 ( I
5 ) % '
: 3: +1‖u
(: +1 )−*(: +1 )‖ L
1 ( I 5)=% '
: 3: +1‖u
(: +1 )‖ L1 ( I 5)∀ I 5
⇒‖u−u I ‖ L1 ( I ) % ' : 3
: +1‖u( : +1)‖ L
1 ( I )
&ste a teore"a a +uede e3tenderse al caso varias varia)les . a la nor"a 0&
09> $asa*e a nor"a 0&
$ara la nor"a 0& la +ro+iedad 9 no se cu"+le
"#$L$M$" eorema de Sobole! *en una !ariable+
‖u‖ L
1 ( I ) ‖u‖ L
2 ( I )+‖u' ‖ L
2 ( I )
*emos%raciónLo de"ostrare"os +ara I ?#8"5 +ara otros intervalo se ;ace ca")io de varia)le
u ( x)−∫0
1
u=∫0
1
(u ( x )−u ( y ) ) dy=∫0
1
(∫ y
x
u' )dy⇒
⇒u ( x )=∫0
1
u+∫0
1
(∫ y x
u'
)dy⇒
|u ( x )|∫0
1
|u|+∫0
1
|∫ y
x
|u' ||dy ∫0
1
|u|+∫0
1
∫0
1
|u' |=∫0
1
|u|+∫0
1
|u' |
Co"o la nor"a 0& es inducida so)re el +roducto interno5
+or Cauc;. (c;art, ⟨ & , g ⟩ ‖& ‖ L
2‖& ‖ L
2 5 en +articular si g5
∫0
1
& ‖& ‖ L
2 [0,1 ]
A+licando esto
|u ( x )|‖u‖ L2 [0,1 ]+‖u
' ‖ L2 [0,1 ]∀ xϵ [ 0,1 ]
⇒‖u‖ L1 [ 0,1] ‖u‖ L
2 [0,1 ]+‖u' ‖ L2 [0,1 ]
"#$L$M$& Kropiedad L para norma 0&
6I ?#8"5 +ara otros intervalo se ;ace ca")io de varia)le7
$uede verse +or4ue ‖& ‖ L
2 [0,1 ] ‖& ‖ L
1 [ 0,1]
(a)e"os 4ue ‖u I ‖ L
1 [0,1] % : ‖u‖ L1 [0,1 ]
⟹|u I ( x )|‖u
I ‖ L1 [0,1 ] % : (‖u‖ L
2 [0,1 ]+‖u ' ‖ L2 [0,1] )
⟹(∫0
1
|u I ( x)|2
dx)1
2(∫
0
1
[% : (‖u‖ L
2[ 0,1]+‖u' ‖ L
2 [ 0,1] )]2
dx)1
2=¿
¿(1 > [% : (‖u‖ L2 [0,1 ]+‖u
' ‖ L2 [0,1 ]) ]
2
)12
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$ro)le"as de ca"+o <!
⇒‖u I ‖ L2[ 0,1] % : (‖u‖ L2 [0,1 ]+‖u
' ‖ L2 [0,1 ])
10.3.#.2.1 56
‖u‖
L2
( I )+‖u
'
‖ L
2
( I ) ≡‖
u‖
? 1
( I )Nor"a de (o)olev
"#$L$M$L Kropiedad & para norma 0& *0ema Bramble ilbert+
Dada u e3iste q5 un +olino"io de grado J tal 4ue
‖u−*‖ L2 ( I )+‖u ' −* ' ‖ L
2 ( I )+⋯+‖u( : +1 )−*
( : +1 )‖ L2 ( I ) % ' :
‖u(: +1)‖ L
2 ( I )
No lo de"ostra"os
"#$L$M$% Error de interpolación en norma 0&
Para /01
‖u−u I ‖ L
2 ( I )=‖u−*+* I −u
I ‖ L2( I )=‖(u−* )+ (* I −u
I )‖ L2( I )
‖u−*‖ L2 ( I )+‖(u−* ) I
‖ L2 ( I ) (3 ) ‖u−*‖ L2 ( I )+% : (‖u−*‖ L2 ( I )+‖(u−* ) ' ‖ L2 ( I ) )
( 1+% : ) (‖u−*‖ L2 ( I )+‖(u−* ) ' ‖ L2( I ))
(2 )
(1+% : ) % : ‖u
(: +1 )‖ L2 ( I )⇒
% rsub = % d!& u ^ % (=+1 r!#$% ) r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!#$% )
⇒‖u−u I ‖
L2 ( I ) ¿
+ara I ?#8"
Para / j( j-1 j!
Ia. 4ue usar el ca")io de varia)le x= x 5−1+ y ( x 5− x 5−1 ) con y I ϵ , xϵ I 5
Dada u en I le asocia"os u en I H u ( x )=u ( y )(e cu"+le 4ue u
I ( x )=u I ( y )=u
I ( y ) Ade"s
‖u‖ L2( I )=(∫
0
1
|u ( y )|2
dy)1
2=(∫
0
1 |u ( x )|2
x 5− x 5−1
dx)1
2=
‖u‖ L
2 ( I 5)
√ x 5− x 5−1
⇒‖u‖ L2 ( I )=( x 5− x 5−1 )
−1
2 ‖u‖ L2 ( I 5)
$ara las derivadas
u' ( x )=
u ' ( y ) x
5− x
5−1
u % (x r!#$% ) - >?u% u ( y )
( x 5− x 5−1 )
2 ⋯ u
(: +1) ( x )= u
( : +1 ) ( y )
( x 5− x 5−1 )
: +1
! ‖u(: + 1)‖ L
2 ( I )=( x 5− x 5−1 ): + 1
2‖u(: +1)‖ L
2( I 5)
A+licando esto a la desigualdad del caso I % rsub = % d!& >?u% u ^ % (=+1 r!#$% ) r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!#$% )⇒
‖ ´u−u I ‖
L2 ( I ) ¿
% rsub = % (x rsub < x rsub <1 r!#$% ) ^ =+ 1 *r 2 % d!& u ^ % (=+
( x 5− x 5−1 )−1
2 ‖u−u I ‖
L2 ( I 5 )
¿
‖u−u I ‖ L2 ( I
5 ) % rsub = % (x rsub < x rsub <1 r!#$% ) ^ =+1 % d!& u ^ % (=+
(u"ando los cuadrados ∀I * . ;aciendo ra/, cuadrada5 o)tene"os 4ue +ara cual4uier I con
+artición de 1inura #
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$ro)le"as de ca"+o <@
Ec. 10-1'
% rsub = $ ^ = +1 % d!& u ^ % (=+1 r!#$% ) r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!#$% )
‖u−u I ‖
L2 ( I ) ¿
Anloga"ente +uede de"ostrarse +ara las derivadas#
Ec. 10-1
% rsub = $ ^ = % d!& u ^ % (=+1 r!#$% ) r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!#$% )
‖u' −u I
' ‖ L2 ( I ) ¿
sea ue la conver#encia es de orden -1 en + para 5 de orden - en + para & siendo- el #rado de la in%erpolación usada.
09@ Caso 2 varia)les M inter+olación en el +lano
"#$L$@$" Karticiones triangulares
(ea ?⊂R & acotado5 si ? no es +ol/gono+ode"os a+ro3i"arlo +or uno
Dividi"os ? "ediante una +artición entringulos tales 4ue#
=T :
∀ i @ 5 T i T 5= ϕ
unv B rtice
unlado
o sea 4ue un v-rtice de un tringulo no +uede estar en el "edio de unlado de otro
$ara cada tringulo J de1ini"os J co"o el di"etrodel "enor c/rculo 4ue lo contenga
De1ini"os +ara la +artición 3≡;ax∀:
3: Va"os a estudiar la inter+olación de u en cadatringulo +or +olino"ios de grado total J en las dosvaria)les
9: = )olin o;ios de gradototal : = )∨ ) ( x , y )= ∑0 i + 5 :
ai5 xi y
5$ara 4ue e3ista +olino"io inter+olador . sea 8nico5 los +untos +or los 4ue se inter+ola no+ueden elegirse de cual4uier "anera
6rado 1
$or e*e"+lo +ara J1" si 4uere"os inter+olar +or tres +untosalineados5 el +olino"io inter+olador de grado total " en 9 e y +or estos tres +untos no es 8nico5 a +esar de 4ue dim*K " +1L (i los +untos no estn alineados entonces s/ ;a. unicidad(e dice 4ue ' "8 ' & 8 ' LS es un con*unto EunisolventeK5 +ues ∃ p∈K "
8nico tal 4ue ) (V 1 )=u(V 1)
) (V 2 )=u(V 2)
) (V 3 )=u(V 3)
$ara de"ostrarlo )asta ver 4ue -ste es un siste"a de ecuaciones lineales cu.a "atri, es
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$ro)le"as de ca"+o <B
A=[1 x1 y1
1 x2 y2
1 x3 y3] . det 7 0
6rado 2
$ri"ero vere"os co"o e*e"+lo 4ue to"ra"os en un tringuloe4uiltero co"o +untos de inter+olación los 4ue dividen los lados entercios &stos +untos estn so)re un c/rculo cu.a ecuación es de la1or"a p*98 y+1# (iendo p de grado total & . p*98 y+ no id-ntica"entenulo&sto de"uestra 4ue no es 8nico el +olino"io inter+olador de grado & +or ' "8 ' & 8 ' L8 ' %8 ' P 8 ' M S a +esar 4ue dim*K & +1M To"e"os a;ora co"o +untos de inter+olación los v-rtices de untringulo . los +untos "edios de sus lados &l +olino"io inter+olador degrado & +or ' "8$$$8 ' M es 8nico si . solo si p*' " +1p*' & +1;1p*' M +1# i"+lica
p5# 6O)s-rvese 4ue dim*K & +1M 7*emos%ración(ea p∈K & ( p*' " +1p*' & +1;1p*' M +1# Co"o p*' " +1p*' & +1p*' L +1# 5 siendo p cuadrtica . nula en L +untosalineados entonces p es nulo en toda la recta 4ue contiene a ' "8 ' & . ' L (ea l*98y+1# la ecuación de esa recta 6 l ∈K "75 entonces p*98y+1l*98y+q*98y+ con q∈K " +ero
0= 9 (V 4 )=l (V 4 ) * (V 4 ) y l (V 4)@ 0
0= 9 (V 5 )=l ( V 5 ) * (V 5 ) y l(V 5)@ 0
0= 9 (V 6 )=l (V 6 ) * (V 6 ) y l(V 6)@0
⇒* (V 4 )=0
* ( V 5 )=0
* (V 6 )=0
. co"o ' % 8 ' P . ' M no alineados entonces q5# +or tanto p5#
$or lo tanto ' "8 ' & 8 ' L8 ' %8 ' P 8 ' M S es unisolvente en K & &s 1cil ver 4ue el inter+olador so)re un tringulo ad.acente coincide con -ste en el ladoco"8n5 .a 4ue son de grado & . coinciden en L +untos de una recta
6rado 3
&n este caso di; 9: =(: +1)(: +2)
2 =
(3+1)(3+2)2
=10
(ea p∈K L H p*' i +1# ∀i 5 co"o en cada lado del tringulo + es c8)ico .se anula en % +untos entonces p1# en los tres lados⇒ p*98 y+1l "*98 y+l & *98 y+l L*98 y+q*98 y+(iendo
l "*98 y+1# l & *98 y+1# l L*98 y+1#
las ecuaciones de los tres ladosCo"o l "∈K "8 l & ∈K " y l & ∈K " ⇒ q es de grado # ⇒ #1p*' "# +1l "*' "# + l & *' "# + l L*' "# + q*' "# +. l "*' "# + Q #8 l & *' "# + Q #8 l L*' "# + Q # ⇒ q*' "# +1# ⇒ q5# +ues es de grado # &s 1cil de"ostrar 4ue el +olino"io inter+olador so)re un tringulo ad.acente coincide en -steen el lado co"8n5 .a son de grado L . coinciden en % +untos de una recta
Polinomios base
&n cada caso la )ase de K J 4ue conviene usar est 1or"ada +or +olino"ios Lagrangianos5 4ue
valen " en un nodo . # en los de"s10.3.&.1.1 78$5 1
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$ro)le"as de ca"+o !
(i l i *'+1# es la ecuación del lado i
⇒ sea C i∨ C i (V )=1
li(V i)li(V )
siendo ' i el v-rtice o+uesto al lado i
⇒ C i (V 5 )=
0 si i@ 5
1 sii= 5
10.3.&.1.2 78$5 2
&n este caso dado un nodo cual4uiera5 e3isten dosrectas tales 4ue no +asan +or ese nodo . +asan +or todos los de"s
(ean l "*'+1# . l & *'+1# las ecuaciones de esas rectas
⇒ sea C 1∨ C 1 (V )= l1 (V ) l2 (V )
l1 (V 1 ) l2 (V 1 )
⇒ C 1 (V 5 )=0 sii@ 11 si i=1
"#$L$@$& Karticiones rectangulares
D: = )olino;iosde gdo : en cada variable= )∨ ) ( x , y )=∑i=0
:
∑ 5=0
:
a i5 xi y
5dim*J +1*J2"+&
6rado 1
&n el caso de rectngulos5 si elegi"os los % v-rtices co"o nodos
+ode"os inter+olar con 1unciones )ilineales 6de "7 si los ladosson +aralelos a los e*es coordenados ' "8 ' & 8 ' L8 ' %S es unisolvente en " .a 4ue si q∈" (q*' " +1q*' & +1q*' L +1q*' % +1# entonces co"o q*' " +1q*' & +?# . qlineal en el lado ' "' & 6+ues 4ueda . constante7 entonces q ≡# en ese lado$or lo "is"o q≡# en el lado ' L' %
&ntonces +ara cual4uier +unto ' to"o la recta vertical 4ue +asa +or -l . q se anula en laintersección con los lados ' "' & . ' L' % . co"o q lineal en esa recta6+ues 91cte7 entonces q*'+1# +or tanto q≡# (i los lados no son +aralelos a los e*es 6si se rota7 a+arecer/ant-r"inos cuadrticos
(i to"a"os ' "8 ' & 8 ' L8 ' %S en los centros de los lados5 no esunisolvente en "
6rado 2
&ste con*unto de nodos es unisolvente en & 6dim*& +1T7(i se eli"ina el +unto central . eli"ina"os el t-r"ino en 9 & y & tene"osun con*unto unisolvente en &
Polinomios base
Lo "s conveniente es to"ar co"o 1unciones )ase los +roductos delos +olino"ios de Lagrange en 9 . en y +or las coordenadas 9 i e y i de los nodos
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$ro)le"as de ca"+o !9
Ejempo - 6rado 2
Ni*635.7?l i3637l *.6.7(iendo
l i3637 el i Msi"o +olino"io de Lagrange +or 9 # 8 9 " . 9 &
l *.637 el Msi"o +olino"io de Lagrange +or y # 8 y " e y &
09 Caso 9 varia)les M inter+olación en el es+acioLas +articiones +ueden ;acerse en tetraedros o en ;e3aedrosLos casos son si"ilares al +lano5 +or e*e"+lo5 to"ado co"o nodos los v-rtices de un tetraedrose +uede inter+olar con +olino"ios de grado total "To"ando los v-rtices de un +ris"a cu.as aristas sean +aralelas a los e*es se +ueden usar 1unciones trilineales
09B &rror de inter+olaciónNos interesa sa)er el orden de convergencia con →# Va"os a tener 4ue +edir 4ue las +articiones sean regulares5 o sea 4ue cuando →# las+ro+orciones de los ele"entos se "antengan$ara un ele"ento 6tringulo5 rectngulo5 tetraedro5 etc7(ean
e el di"etro de la "enor )ola 6c/rculos o es1era7 4ue locontieneρe el di"etro de la "a.or )ola contenida
&ntonces va"os a +edir 4ue ∃ U inde+endiente de tal 4ue3e
e
cuando .# o sea 4ue no se ac;aten de"asiado
Va"os a de"ostrar 4ue en cual4uier tringulo de la +artición5 5se cu"+le
‖u−u I ‖ L
2 (T ) %3: +1‖ 2
: +1u‖ L
2( T )
siendo C inde+endiente de 6de+ender de J . U 7 .
‖ 2: +1
u‖ L2 (T )= ∑
i+ 5=: +1‖ "i
" x1
i
" 5
" x2
5 u‖
L2 (T )
Va"os a tra)a*ar en un tringulo de re1erencia5 T 5 dev-rtices 6#8# 75 6"8# 7 . 6#8"7
"#$L$T$" eorema de Sobole!
‖u‖ L
1 (T ) % (‖u‖ L
2 (T )+‖∇u‖ L
2( T )+‖ 22u‖ L
2 (T ) )(e de"uestra si"ilar al caso di"ensión
"#$L$T$& 0ema Bramble ilbert
Dada u ∃ q∈K J tal 4ue
‖u−*‖ L2 (T )+‖∇ (u−*)‖ L
2 ( T )+‖ 22(u−*)‖ L
2 (T )+⋯+‖ 2: +1 (u−* )‖ L
2 (T ) % ' ‖ 2: +1
u‖ L2 ( T )
C6 de+ende solo de J &n el caso general5 de n M di"ensiones5 de)e ser JVnH&
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$ro)le"as de ca"+o !!
"#$L$T$L Kropiedad L
∀ y∈T |u I ( y )|=|∑ 5=1
di;9:
u (V 5 ) C 5 ( y )|‖u‖ L1 ( T ) ∑ 5=1
di;9:
| C 5( y )|
Co"o esta"os en T ⇒ ∑ 5=1
di;9:
‖ C 5‖=% no de+ende de ning8n 5 sólo de+ende de J
⇒|u I ( y )| % % d!& u r!#$% rd!& rsub ^ % (A!d$>% B r!#$% ) @ % (‖u‖ L
2( T )+‖∇u‖ L
$or el teore"a de (o)olev ntegrando los cuadrados . ;aciendo ra/, . co"o el rea de T es "H& #
‖u I ‖ L
2(T )≡(∫T
|u I |
2)1 /2
√1
2 % @ % (% d!& u r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (A!d$>% B r!#$% )
⇒∃ C:6 4ue sólo de+ende de J tal 4ue
‖u I ‖ L
2(T )% ' % (% d!& u r!#$% rd!& rsub 2 % (A!d$>% B r!#$% ) + % d!& u∇
"#$L$T$% Acotación del error
8aso T
q . qI son iguales5 entonces
‖u−u I ‖ L
2(T )=‖u−*+* I −u
I ‖ L2(T )‖u−*‖ L2 ( T )+‖(u−*) I ‖ L2(T )
$or +ro+iedad 9‖u−*‖
L2 ( T )+% ' % (% d!& u D r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (A!d$>% B r!#$% ) + % d!
1+% ') % (% d!& u D r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (A!d$>% B r!#$% ) + % d!& ( u ∇
$or le"a %MI
1+% ') @ ' % d!& C ^ = +1 u r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (A!d$>% B r!#$% ) - @ ( = ) ¿
Ec. 10-19 ‖u−u I ‖ L
2(T ) % (: )‖ 2: +1
u‖ L2 (T )
8aso #eneral :
Va"os a usar una trans1or"ación a1/n 4ue trans1or"a a T en
∃ / . c tales 4ue ∀ y∈T x= F ( y )=Gy+c∈T OO $ara 4ue no se invierta el sentido del tringulo de)e ser det BV#
Ade"s a u en le asocia"os u en T tal 4ue
∀ y∈^T u ( y )=u ( x )=u(Gy+c)
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$ro)le"as de ca"+o !@
10.3..4.1 roiedad
‖u‖ L
2(T )=|det G|−1
2 ‖u‖ L
2(T )
*emos%ración
‖u‖ L2(T )=(∫T
|u ( y )|2d y)1 /2
=(∫T
|u ( x )|2|det G|−1 d x )1/2
=¿
¿|det G|−1
2 (∫T
|u ( x )|2
d x )1/2
=|det G|−1
2 ‖u‖ L
2(T )
10.3..4.2 roiedad 9
‖∇ u‖ L2 (T )
‖G‖ E
|det G|1
2‖∇u‖ L2(T )
‖G‖ E=√ ∑ bi5
2 es la nor"a &uclidea
*emos%ración#
‖∇ u‖ L2 (T )=(∫
T
|∇ u ( y )|2d y)
1 /2
=(∫T
|∇ (u∘ F )|2d y )
1/2
=¿
¿(∫T
|(∇u ) ∘ F ⋅ J F |2d y)
1 /2
=(∫T
|∇u( x )⋅G|2|det G|
−1d x )
1/2
¿|det G|−1
2
(∫T
|∇u( x )|2‖G‖ E2 d x
)1/2
= ‖G‖ E
|det G|1
2 (∫T
|∇u|2)1 /2
=¿
¿ ‖G‖ E
|det G|1
2
‖∇u‖ L
2(T )
10.3..4.3 roiedad !
+ara derivadas su+eriores
‖ 2: +1
u‖ L2(T )
‖G‖ E
: +1
|det G|
1
2
‖ 2: +1
u‖ L2(T )
Va"os a ca")iar la Nor"a euclidea ‖G‖ E +or otra nor"a5 4ue es e4uivalente a "enos deuna constante#
‖G‖≡¿
v∨|v|=1 |G v|= 1
^ E¿ v∨|v|=^ E |G v|
10.3..4.4 roiedad $
Va"os a ver 4u- relación ;a. entre ‖G‖ 5 det % . ;TWρT
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$ro)le"as de ca"+o !B
sean y1, y2∈T 4ue estn en los e3tre"os de un di"etro del c/rculo de di"etro ^ E
⇒| y1− y2|=^
sus trans1or"ados seg8n = son x1 , x2∈T
(ea
|v|=| y1− y2|=^
y
y¿
F (¿¿ ¿)− F (¿¿ 2)= x1− x2
G v=G ( y1− y2 )=G y1−G y2=¿
v= y1− y2⇒¿⇒|G v|=| x1− x2| 3T +ues 35 32%T
⇒‖G‖≡1
^ ¿ v∨|v|=^ |G v| 1
^ 3T ⇒ ‖G‖
3T
^
10.3..4." roiedad E
det G ¿|T ||T |
=2|T | 6J J?rea de 7
*emos%ración
|T |=∫T
1 dx=∫T
1|det G|dy=|det G|∫T
1 dy=|det G||T |
Acotaci!n del error
(a)/a"os 4ue +ara^T
‖u−u I ‖ L
2(T ) % (: )‖ 2: +1
u‖ L2 (T )
&ntonces +or +ro+iedad A#
‖u−u I ‖
L2(T )=|det G|
1
2‖u−u I ‖
L2 (T )|det G|
1
2 % (: )‖ 2: +1
u‖ L2 (T )
6+or +ro+iedad C7
|det G|1
2 % (: ) ‖G‖ E
: +1
|det G|1
2
‖ 2: +1
u‖ L2 (T )=% (: )‖G‖ E
: +1‖ 2: +1
u‖ L2 (T )
+ero la nor"a euclidea de / es e4uivalente a la otra a "enos una constante
‖u−u I ‖ L2(T ) % (: )‖G‖ E: +1‖ 2: +1u‖ L
2 (T ) % ' (: )‖G‖: +1‖ 2: +1u‖ L2 (T )
6+or +ro+iedad D7
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$ro)le"as de ca"+o >
% ' (: )( 3T
^ E ): +1
‖ 2: +1
u‖ L2 (T )=
% ' (: )
^ E: +1
3: +1‖ 2
: +1u‖ L
2 (T )=% ( = ) $ ^ = +1 % d!& C ^ = +1 u r!#$
(u"ando los cuadrados ∀ tene"os
Ec. 10-20
‖u−u
I
‖ L2
() % ( = ) $ ^ = +1 % d!& C ^ = +1 u r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (E r!#$% )Ta")i-n se +uede +ro)ar 4ue
‖∇ (u−u I )‖ L
2(T ) %
T
3T
: +1‖ 2: +1
u‖ L2 (T )
. si la +artición es regular53T
T
. XC?CY
⇒‖∇ (u−u I )‖ L
2(T ) % ' 3T
: ‖ 2: +1
u‖ L2( T ) %
' 3
: ‖ 2: +1
u‖ L2( T )
(u"ando
Ec. 10-21 ‖∇ (u−u I )‖ L
2() % ' 3
: ‖ 2: +1
u‖ L2 ( )
O sea 4ue la convergencia es de orden J2" en +ara u . de orden J en +ara #u siendo J elgrado de la inter+olación usada
10.4 Métodos de Elementos Finitos
Tratare"os de ;allar una 1unción5 u 5 4ue a+ro3i"e a la solución de +ro)le"a5 u5 tan )ien co"ola inter+olante de u8 uI Co"o e*e"+lo va"os a ver el +ro)le"a de "ini"i,ar
J (u )≡ 1
2∫
|∇u|2−∫
&u
en V = u : → R∨u=0 en ( =" (i +lantea"os 4ue la variación de ) de)e ser nula5 llega"os a
∫
∇u⋅∇φ=∫
& φ ∀φ∨φ=0 en (
&n lugar de "ini"i,ar ) en ' 5 va"os a to"ar una +artición de ? . "ini"i,a"os ) enV 3= v∨v es de grado: encadatri H ngulo, v continuaen y v=0 en (
&n este caso al +lantear 7)*u +1# llega"os a#
∫
∇u3⋅∇φ3=∫
& φ3∀φ3ϵV 3
(i N "8 N & 8 $$$8 N N S es una )ase de '
⇒
φ3 ( x )=∑
5
φ 5 C 5( x)
u3 ( x )=∑i
u i C i( x )
&ntonces
Ec. 10-22
∫
∇(∑i
u i C i( x )) ⋅∇(∑ 5
φ 5 C 5( x))=∫
& (∑ 5
φ 5 C 5( x ))∀ (φ1 , φ2 ,⋯ , φ C )ϵ R C
&n +articular si to"a"os co"o 4 las 1unciones de la )ase5 o sea 64"8 4& 8 ;8 4N 7 de la )asecanónica R N
∫
∇(∑i
u i C i( x )) ⋅∇ C 5( x)=∫
& C 5( x )∀ 5=1,2, # , C
Ec. 10-23
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$ro)le"as de ca"+o >9
⇒∑i
ui∫
∇ C i( x )⋅∇ C 5( x )=∫
& C 5( x)∀ 5=1,2, # , C
(i de1ini"os
Ec. 10-24 A=
[a
i5 ]∨a
i5
=
∫
∇ C i
( x) ⋅∇ C 5
( x)
Ec. 10-2" F =[ F 5 ]∨ F 5=∫
& C 5( x )
u= [u 5 ] entonces A u= F da la solución del +ro)le"aCon otros 1uncionales se +uede llegar a siste"as de ecuaciones no lineales
0< $ro+iedades de A
7 A si"-trica . de1inida +ositiva5 o sea A= A
T
y v
T
A v>0∀v
o )ien
ai5=a 5i y∑ 5
a i5 v i v 5>0
27 La "a.or/a de los ai son nulos5 a "enos 4ue los nodos i . sean cercanos 6deele"entos ad.acentes7
Co"o A es si"-trica . de1inida +ositiva entonces el siste"a de ecuaciones es co"+ati)ledeter"inado entonces +ode"os ;allar u . +or tanto +ode"os ;allar uLuego vere"os 4ue u a+ro3i"a a u con el "is"o orden de convergencia 4ue uI
"#$%$"$" Eemplo *" !ariable+
'ini"i,ar
J (u )=1
2∫
0
1
: |u ' |2−∫
0
1
&u
con u*#+1α . u*"+1 β
" J (u )=0⇔ d
d J (u+φ )|
=0
=0 ∀φ∨φ(0)=φ(1)=0
d
d [1
2∫0
1
: (u ' +φ ' )2−∫0
1
& ( u+φ )]=∫0
1
: (u ' +φ ' )φ ' −∫0
1
& φ
en 31#
∫0
1
: u ' φ ' −∫0
1
& φ=0∀φ∨φ(0)=φ(1)=0
Va"os a tra)a*ar con Kele"entos linealesK O sea to"aros una +artición de #8" 9 i H 9 i 1i8 1"HN 8 i1#8 "8$$8 N S . usare"os
φ V ϵ 3= φ∨φ de grado 1 encada I 5 ,φ continuaen [0,1 ] y φ(0)=φ (1)=0
la )ase canónica de ' es N "8 N & 8 $$$8 N N<"S H N i *9 +1W i . N i +oligonal 6continua . lineal en cada I 7
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$ro)le"as de ca"+o >!
O)s-rvese 4ue si no tuvi-ra"os alguna de las condiciones de contorno u*#+1X u*"+1Y5entonces no +edir/a"os 4ue 4*#+14*"+1# . +or lo tanto ' tendr/a di"ensión "a.or +ues;a)r/a ele"entos en la )ase de la 1or"a
+or a;ora no considerare"os las condiciones de contorno5 +or lo 4ue incluire"os estosele"entos en la )ase
Co"o de)e ser ∫0
1
: u' φ
' =∫0
1
& φ∀ φϵV 3 en +articular de)e cu"+lirse +ara los ele"entos
de la )ase5 con lo cual
∫0
1
: u' C ' i=∫
0
1
& C i ∀ i=0,1,2, # , C
+ero +ode"os sustituir
u ( x)=∑ 5=0
C
u 5 C 5( x)Nótese 4ue ac inclui"os N # . N N +ues u*9+ no se anula en # ni en " sino 4ue vale X . Y5 +or tanto u# 1α . uN 1 β entonces
∫0
1
: (∑ 5=0
C
u 5 C ' 5( x)) C ' i=∫0
1
& C i∀ i=0,1,2, # , C
⇒∑ 5=0
C
u 5(∫0
1
:C ' 5 C ' i)=∫0
1
& C i∀ i=0,1,2,# , C
4ue es un siste"a de la 1or"a A u=& con
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$ro)le"as de ca"+o >@
A= [ ai5 ]∨ai5=∫0
1
: C '
5 C '
i∀ i , 5=0,1,2,# , C
& =[ & i ]∨& i=∫0
1
& C i∀ i=0,1,2, # , C
0<2 Clculo de la "atri, ACo"o el intervalo 05 est dividido en N intervalos 6ele"entos7 e?3eM53e +ode"os escri)ir
ai5=∫0
1
: C '
5 C '
i=∑e=1
C
∫ I
e
: C '
5 C '
i=∑e=1
C
a i5
e
(iendo
Ae=[ ai5
e ]∨ai5
e=∫ I
e
: C '
5 C '
i
&ntonces
A=∑e=1
C
A e
7e se lla"a matri de rigide elemental del ele"ento e5Cuando son varias di"ensiones ;a. 4ue tener o*o de no con1undir la nu"eración de los nodoscon la nu"eración de los ele"entos
"#$%$&$" atrices elementales
O)servando la 1or"a de N i *9+ . N i 6*9+ ve"os 4ue de una 1unción)ase . su derivada solo son no nulas en los ele"entos 4uecontienen a su nodo asociado
$or lo tanto ai5e=∫
xe−1
xe
: C ' 5 C
' i ser nulo e3ce+to +ara 6 i1e ó
i1e<"7 . 6 1e ó 1e<"7 o sea 4ue la 1ila . colu"na corres+ondan anodos del ele"ento I e
$or lo tanto la "atri, Ae ser de la 1or"a#
Lo 4ue se ;ace es calcular sólo la su)"atri, de 232 no nula e irlas su"ado 6 &e7 en la "atri, Aen la +osición correcta 61ila . colu"na i?e<" . *?e7
ae−1,e=∫ xe−1
xe
: C ' e C
' e−1=∫
x e−1
xe
: ( 1
3 )(−1
3 )=−1
32 ∫
I e
:
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$ro)le"as de ca"+o >B
ae−1,e−1=∫ xe−1
xe
: C ' e−1 C
' e−1=∫
x e−1
x e
: (−1
3 )(−1
3 )= 1
32∫
I e
:
ae , e−1=ae−1, e=−1
32 ∫ I
e
:
ae , e=∫ xe−1
xe
: C ' e C
' e=
1
32∫
I e
:
entonces la su)"atri,5 es1
32 (∫
I e
: ) [ 1 −1
−1 1 ] en la +rctica ∫
I e
: de)e calcularse nu"-rica"ente
$or la regla del +unto "edio +ode"os a+ro3i"ar
∫ I e
: 3 :
(
xe−1+ xe−1
2
)≡3 : e
La su)"atri, 4ueda#: e
3 [ 1 −1
−1 1 ] en las 1ilas . colu"nas e<" . e
(u"ando ∀e1"8 &8$$8 N
A=1
3
[
: 1 −: 1 0 ⋯ 0 0
−: 1 : 1+: 2 −: 2 ⋯ 0 0
0 −: 2 : 2+: 3 ⋯ 0 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ : C −1+: C −: C
0 0 0 ⋯ −: C : C
]0<9 Clculo del vector 1
& i=∫0
1
& C i=∑e=1
C
∫ I
e
& C i=∑e=1
C
& ie
(i
& e=[ & ie]∨& i
e=∫ I
e
& C i∀ i=0, .. , C
entonces
& =∑e=1
C
& e
* e se lla"a !ector elemental de /ueras equi!alentes del ele"ento e
"#$%$L$" 'ectores elementales
Co"o N i es nulo e3ce+to en los ele"entos e<" . e entonces los / i e son todos nulos e3ce+to +ara
i1e ó i1e<"5 los cuales valen5 +or la regla del +unto "edio#
& e−1
e =∫ I e
& C e−1≅3& ( xe−1+ xe−1
2 ) C e−1( x e−1+ xe−1
2 )=3 & e1
2=
3
2 & e
& ee=∫
I e
& C e≅3& ( x e−1+ xe−1
2 ) C e( xe−1+ xe−1
2 )=3 & e12=3
2 & e
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$ro)le"as de ca"+o @
⇒ & ee=& e−1
e≅
3
2 & e
& ie=0∀ i@ e−1, e
&l su)vector no nulo es3
2
& e
[1
1
] en las colu"nas e<" . e
(u"ando ∀e1"8 &8$$8 N
& =3
2 [ & 1& 1+ & 2& 2+ & 3
⋮
& C −1+ & C
& C
] A;ora +ode"os +lantear A 1* con u=[
u0
u1
u2
⋮
u C −1
u C ]Nótese 4ue la J Msi"a ecuación 4ueda
1
3[−: e ue−1+( : e+: e+1 ) ue−: e+1ue+1 ]=3
2( & e+ & e+1)
O sea1
32 [: e (ue−ue−1 )−: e+1 (ue+1−ue) ]=
& e+& e+1
2O sea
: e (ue−ue−1
3 )−: e+1( ue+1−ue
3 )3
=& e+& e+1
2
4ue es igual al es4ue"a de di1erencias 1initas +ara *Ju Z+Z1/
0<< &nsa")lado del siste"a glo)al
$ara ensa")lar el siste"a glo)al se calcula la "atri, A . el vector 1 en 1or"a si"ilar a co"o sedescri)ió en +ara siste"as discretos5 su"ando los coe1icientes de las "atrices ele"entales enla 1ila . colu"na corres+ondiente a la nu"eración glo)al de los nodos corres+ondientes .su"ando los coe1icientes de los vectores 1 ele"entales en la 1ila corres+ondiente a lanu"eración glo)al de los nodos
10. ondiciones de contorno
0! Condiciones de Diric;let&s cuando se 1i*a el valor de u en la 1ronteraCo"o vi"os en este caso las 4 de)en anularse en el nodo corres+ondiente5 entonces la1unción )ase de ese nodo no va . de)e eli"inarse la ecuación de ese nodo Ade"s la
incógnita ui de ese nodo es conocida5 entonces se +asa la colu"na +or ui restando al 2"ie")ro
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$ro)le"as de ca"+o @9
La eli"inación de las colu"nas . 1ilas corres+ondientes a los nodos con condición de Diric;letse lla"a reducción del sistema
0!2 Condiciones de Ne"ann(i 4uere"os 4ue J*9+uZ*9+1 β en 91"8 al no 1i*ar u*"+ entonces de)e ser = u6 *"+1#$&n nuestro e*e"+lo esta condición 4ueda J*9+u6*"+1# 5 +ero 4uere"os 4ue sea J*9+uZ*9+1 β
$ara ello de)e"os ca")iar F de 1or"a 4ue = u6 *"+1 J*9+uZ*9+< β$$ara ello resta"os βuZ*9+ de F5 4uedando el 1uncional
J (u )=1
2∫
0
1
: |u ' |2−∫
0
1
&u− K u' =
1
2∫0
1
: |u' |2
−∫0
1
&u−∫0
1
K u' =¿
¿1
2∫0
1
: |u' |2
−∫0
1
&u− Ku (1 )+ Ku (0)
Co"o u607 est 1i*ada +or la otra condición de contorno5 su"arla al 1uncional no ca")ia el"/ni"o $ara si"+li1icar entonces "ini"i,a"os
J (u )=1
2∫
0
1
: |u ' |2−∫
0
1
&u− Ku (1 ) . al +lantear la variación de ) nula en 31# 4ueda
∫0
1
: u ' φ ' −∫0
1
& φ− K φ(1)=0 ∀φ∨φ(0)=0 la "atri, A 4ueda igual5 +ero al vector F se le
su"a el vector [ K C 0(1)
K C 1(1)⋮
K C C (1)]=[
0
0
⋮
K]
Co"o ;a. condición de Diric;let en # 5 eli"ina"os la +ri"era ecuación . ;ace"os u# 1X La 8lti"a ecuación 4ueda . se su"a Y en el 2 "ie")ro(i ;u)iera condición de Neu"ann en # . en "5 entonces 4uedar/an todas las ecuaciones5su"ando X en el 2 "ie")ro de la . Y en el 2 "ie")ro de la 8lti"a $ara +oder resolver elsiste"a se de)er 1i*ar u en alg8n nodo5 +ues la solución +uede variar en una constante .seguir siendo solución Fi*ando alg8n ul entonces deter"ina"os una soluciónLa resolución del siste"a de ecuaciones5 cuando se o)tienen "atrices grandes5 si"-tricas .de1inidas +ositivas5 conviene ;acerla +or "-todos iterativos
"#$P$&$" Eemplo *& 'ariables+
&n este e*e"+lo vere"os 4ue con una "alla uni1or"e se llega a un es4ue"a e4uivalente al"-todo de di1erencias 1initas
−u=& en [0,1 ] > [ 0,1 ]u=g1en ( 1
" u" n=g2 en ( 2
( u ≡÷(∇u )=∇2u)
&4uivale a "ini"i,ar
J (u )=1
2∫
|∇u|2−∫
&u−∫ (
2
g2u
con u1g " en Γ "La variación del 1uncional es
" J (u )=∫
∇u∇φ−∫
&φ−∫ (
2
g2 φ
de)e ser " J (u )=0∀φ∨φ(0)=0 en ( 1
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$ro)le"as de ca"+o @!
⇒∫
∇u∇φ=∫
&φ+∫ (
2
g2 φ∀φ∨φ (0)=0 en ( 1
&n este e*e"+lo ??#8"3#8"
$articiona"os en tringulos seg8n el di)u*o . nu"era"os +or un lado los nodos . +or otro ladolos tringulos de e1" a *1@&+ en un +rogra"a se de)er guardar una "ati, de conectividadde L9 4ue en cada colu"na tiene los n8"eros de nodos 4ue tiene el tringulo
corres+ondiente a esa colu"naele; 1 2 3 4 ⋯ e ⋯ 71 72
[1 1 2 2 ⋯ i ⋯ 41 41
9 2 10 3 ⋯ 5 ⋯ 49 42
8 9 9 10 ⋯ : ⋯ 48 49](e anotan en sentido anti;orario&n un +rogra"a +ara calcular cada integral se ;ace un ca")o de varia)le a T . se calcula
la integral en T con las 1unciones )ase en T Nosotros ac va"os a calcular directa"ente en e&n e la 1unción )ase asociada al nodo i es
Ni J C i( xi , yi)=1
C i( x 5 , y 5)=0
C i( x: , y: )=0
. C i ( x , y )=M ie+ Ki
e x+N i
e y
$or lo tanto [1 xi yi
1 x 5 y 5
1 x: y: ][∝i
e
Ki
e
N ie ]=[100]
:ue +uede resolverse con la regla de Cra"er dando
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$ro)le"as de ca"+o @@
∝ie=
|1 x i yi
0 x 5 y 5
0 x: y : |
|1 x i y i
1 x 5 y 5
1 x: y: |=
x 5 y : − x: y 5
2 e
K ie=
|1 1 y i
1 0 y 5
1 0 y: |
|1 x i yi
1 x 5 y 5
1 x: y: |=
y 5− y:
2 e
N ie=
|1 x i 1
1 x 5 0
1 x: 0||1 x i yi
1 x 5 y 5
1 x: y: |=
x: − x 5
2 e
si los nodos i8 . J esta)an en sentido anti;orario
e=
1
2|1 x i yi
1 x 5 y 5
1 x: y: |=|T e|>0
Anloga"ente se calculan ∝ 5e
, K 5e
, N 5e y∝:
e, K:
e, N :
e
8;lculo de 7
Ia. 4ue calcular las "atrices ele"entales
Ae=[ al;
e ]∨al;
e =∫T e
∇ C l ⋅∇ C ; ∀ l , ;=1,2, # , 49
+ero los 8nicos ele"entos no nulos son a4uellos 4ue corres+onden a l . m5 nodos v-rtices de e5 o sea l . m %i8 8 J S &n ese caso
al;
e =∫T e
( " C l
" x
" C ;
" x +
" C l
" y
" C ;
" y )=∫T e
( Kl
e K;
e +N le
N ;e )=
e ( K l
e K;
e +N le
N ;e )
⇒al;
e =e ( K l
e K;
e +N le
N ;e ) sil,;ϵ i , 5 , :
La su)"atri, la Ae no nula es
&ila i 5 :
e
[ Ki
2
+N i2
K i K 5+N i N 5 K i K : +N i N :
K 5 Ki+N 5 N i K 5
2+N 52
Ki K : +N i N 5
K: Ki+N : N i K: Ki+N 5 N i K:
2+N :
2 ]colu;na
i 5
:
$or conveniencia de clculo de)e tratarse de 4ue estos ele"entos se ale*en lo "enos +osi)lede la diagonal +rinci+al5 o sea 4ue las di1erencias entre i8 . J de)en ser "/ni"as &llo se logranu"erando los nodos en un orden tal 4ue en cada ele"ento los /ndices de sus nodos di1ieran+oco(i considera"os +or e*e"+lo el ele"ento 2
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$ro)le"as de ca"+o @B
2=
32
2
K1= −3
2(3
2
2 )
=−1
3 N 1=0
K2= 3
2(3
2
2 )
=1
3 N 2=
−3
2(3
2
2 )
=−1
3
K9=0 N 9= 3
2(3
2
2 )
=1
3
entonces 4ueda
&ila 1 2 9
32
2 [1
32+0
−1
32 +0 0+0
−1
32 +0
1
32+
1
32
0+−1
32
0+0 0+−1
32
0+1
32 ]
colu;na
¿1¿2
¿9
O sea
&ila 1 2 9
A2=
1
2 [1 −1 0
−1 2 −1
0 −1 1 ]colu;na
1
2
9
$ara el ele"ento
1=
32
2
K1=0 N 1=−1
3
K9=1
3 N 9=0
K8=−1
3
N 8=1
3&ila 1 9 8
A1=
1
2 [ 1 0 −10 1 −1
−1 −1 2 ]colu;na
1
9
8
&stas "atrices ele"entales las va"os su"ando +ara o)tener A
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$ro)le"as de ca"+o
A1=
1
2
[2 −1 0 0 0 0 0 −1 0 0 ⋯
−1 4 −1 0 0 0 0 0 −2 0 ⋯
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 0 −1 4 −1 0 0 0 ⋯
0 0 0 0 0 −
1 2 0 0 0 ⋯
−1 0 0 0 0 0 0 4 −2 0 ⋯
0 −2 0 0 0 0 0 −2 8 −2 ⋯
0 0 −2 0 0 0 0 0 −2 8 ⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱]8;lculo de <
Ia. 4ue calcular los vectores ele"entales F e
F e=[ & l
e ]∨& le=∫
T e
& C l
estos ele"entos son nulos e3ce+to el su)vector corres+ondiente a los nodos del tringulo5 osea +ara l % i8 8 J S 4ue +ode"os calcular +or la regla del tra+ecio +ara tringulos#
∫T e
&C i≅|T e|
3 ( & i+0+0 )=
32
6 & i⇒ F
e=3
2
6
& i& 5& :
i 5
:
$ara los ele"entos " . & F 1=3
2
6 [& 10
00
00
0
& 8& 9⋮
] F 2=3
2
6 [& 1& 2
00
0
0
0
0
& 9⋮
]&stos vectores se van su"ando +ara o)tener F
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$ro)le"as de ca"+o 9
F =32[
& 1/3
& 2/2& 3/2
& 4/2
& 5/2& 6/2& 7 /6
& 8/2& 9& 10
⋮
](i se co"+letan todas las cuentas se llega a un siste"a igual al 4ue se o)tiene +or di1erencias1initas
10. Elementos sales
&n el "-todo +lanteado en 0< suelen usarse +ara ' )ases co"o la 4ue se usa en 0< .en 0!25 es decir 1unciones de 1or"a Lagrangianas5 4ue valen en un nodo . son nulas enlos de"s nodos del ele"ento's adelante en 0 vere"os 4ue cuando se usa inter+olación con +olino"ios de grado totalJ la convergencia es de orden J2" en u&sto signi1ica 4ue lo 4ue i"+orta es el "a.or grado +ara el cual el +olino"io es de gradoco"+leto La inclusión de t-r"inos de grado su+erior no "e*ora la convergencia si no seco"+leta el grado su+eriorDe)ido a eso vere"os 4ue en ele"entos 2D . 9D a veces se descartan nodos de losele"entos +ara dis"inuir la cantidad total de nodos 6. +or tanto el ta"a=o del siste"a deecuaciones7 sin sacri1icar convergencia5 +ues con esto se eli"inan t-r"inos del grado
inco"+leto sin a1ectar el grado co"+leto
0> &le"entos unidi"ensionalesLos ele"entos "s usuales son seg"entos lineales de dos nodos 6uno en cada e3tre"o delele"ento7 . cuadrticos de tres nodos 6uno en cada e3tre"o . otro en el centro del ele"ento7La )ase de ' 4ue se utili,a es la 4ue contiene a las 1unciones de 1or"a usadas +arainter+olación a tro,os
=e#men%o lineal (2 nodos!
( )
( )75
1
75
2
75175
2
75
2
75
1
75
275
1
ee
ee
ee
ee
: : : : : )
: :
: : : )
−
−=
−
−=
=e#men%o cuadr;%ico (3 nodos!
( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )
( )( )75
2
75
/
75
1
75
/
75
2
75
175
/
75
/
75
2
75
1
75
2
75
/
75
175
2
75
/
75
2
75
2
75
1
75
/
75
275
1
eeee
eee
eeee
eee
eeee
eee
: : : :
: : : : : )
: : : :
: : : : : )
: : : :
: : : : : )
−−
−−
=
−−
−−
=
−−
−−
=
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$ro)le"as de ca"+o !
"#$M$"$" =unciones de /orma locales y globales
Las 1unciones de 1or"a 4ue ;e"os de1inido dentro de cada ele"ento son lla"adas /uncionesde /orma locales . las usare"os cuando calcule"os las integrales dentro de un ele"ento +aracalcular la "atri, de rigide, ele"ental(in e")argo en ecuaciones co"o &c 0M22 o &c 0M29 4ue involucran integrales en todo elca"+o5 +ara cada nodo considera"os una /unción de /orma global Eti+o so")rero 6ta")i-nlla"ada /unción base +or ser +arte de la )ase de '75 de1inida en todo el ca"+o . 4ue es igual alas 1unciones de 1or"a locales corres+ondiente al nodo en los ele"entos 4ue lo contienen .nula en los de"s ele"entos$ara ele"entos unidi"ensionales lineales5 las gr1icas de las 1unciones )ase tienen 1or"astriangulares co"o se "uestra en la 1igura
0>2 &le"entos )idi"ensionales
"#$M$&$" Elementos triangulares
Al igual 4ue en la inter+olación a tro,os5 en el '&F se ;ace un ca")io de varia)le en lasintegrales +ara llevar los ele"entos triangulares a un tringulo estndar&n ese tringulo estndar la )ase de ' 4ue se utili,a es la 4ue contiene a las 1unciones de1or"a usadas +ara inter+olación a tro,os:ri;n#ulos lineales (3 modos!
( )
( )
( ) %% g )
g % g )
% g % g )
=
=
−−=
A
A
1A
/
2
1
:ri;n#ulos cuadr;%icos ( nodos!
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )% g %% g )
g%% g )
% g g % g )
%%% g )
g g % g )
% g % g % g )
−−=
=
−−=
−=
−=
−−−−=
14A
4A
14A
2A
2A
12A
.
:
4
21
/
21
2
21
1
Nótese 4ue los +olino"ios son de grado co"+leto en el caso de tringulos
"#$M$&$& Elementos cuadriláteros
&n 1or"a anloga5 ta")i-n se ;ace un ca")io de varia)le +ara llevarlo al cuadrado estndar .se usan las "is"as 1unciones de 1or"a 4ue en inter+olación en el cuadrado estndar#8uadril;%eros lineales (4 nodos!
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$ro)le"as de ca"+o @
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )% g % g )
% g % g )
% g % g )
% g % g )
+−=
++=
−+=
−−=
11A
11A
11A
11A
41
4
41
/
41
2
41
1
8uadril;%ero cuadr;%ico serend>pi%o ( nodos!
8uadril;%ero cuadr;%ico )a#ran#iano (9 nodos!No suele utili,arse +or4ue el agregado del nodo central no ca")ia el grado total . +or tanto no"e*ora la convergencia5 "ientras 4ue au"enta la cantidad de varia)les en el siste"a
"#$M$&$L =unciones de /orma locales y globalesTa")i-n de)e"os distinguir entre las /unciones de /orma locales 4ue aca)a"os de ver 6de1inidas dentro de un ele"ento7 . las /unciones de /orma globales Eti+o so")rero o/unciones base 6de1inidas en todo el ca"+o7$ara ele"entos triangulares lineales las gr1icas de las 1unciones )ase tienen 1or"as+ira"idales co"o se "uestra en la 1igura
0>9 &le"entos tridi"ensionalesTa")i-n se ;ace un ca")io de varia)le en las integrales +ara llevar los ele"entos estndar .se usan las "is"as 1unciones de 1or"a 4ue en inter+olación a tro,osLos ele"entos tetra-dricos tendrn +olino"ios de grado co"+leto "ientras 4ue las cu=as .;e3a-dricos van a tener algunos t-r"inos de grado su+erior inco"+leto De)ido a esto suelen
usarse ele"entos serend/+itos 4ue tienen "enos nodos . el "is"o grado total
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$ro)le"as de ca"+o B
10.3 Integraci!n nmérica
&n general las integrales involucradas en el clculo de A . F de)en calcularse +or "-todos nu"-ricos Cuando se usan ele"entos de grado J 5 +ara 4ue no se a1ecte el orden deconvergencia con res+ecto a la integración e3acta5 se de)en usar 1ór"ulas de integraciónnu"-rica 4ue sean e3actas +ara +olino"ios de grado &J<& en cada varia)le +ara ele"entostriangulares o tetra-dricos5 . de grado &J<" en cada varia)le +ara ele"entos rectangulares o
;e3a-dricos$or tanto5 +ara tringulos lineales se +uede usar la regla del +unto "edio 64ue usa el +untocentral7 . +ara tringulos cuadrticos la regla +ara grado total 2 64ue usa los +untos "edios decada lado75 sin e")argo suelen usarse 1ór"ulas de 9 . > +untos +ara "e*orar la +recisión
$ara tetraedros lineales se +uede usar la regla del +unto "edio 64ue usa el +unto central7 .+ara tetraedros cuadrticos la 1ór"ula +ara grado 2 64ue usa cuatro +untos interiores75 +ero+ara "a.or +recisión suelen usarse 1ór"ulas de < . ! +untos
$ara cuadrilteros lineales se +uede usar la regla del +unto "edio 64ue usa el +unto central7 .+ara cuadrilteros cuadrticos la 1ór"ula +ara Gauss con < +untos
(in e")argo5 +ara o)tener "e*or +recisión suelen usarse 1ór"ulas con < +untos +aracuadrilteros lineales . nueve +ara cuadrilteros cuadrticos
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$ro)le"as de ca"+o B
$ara ;e3aedros lineales se +uede usar la regla del +unto "edio 64ue usa el +unto central7 .+ara ;e3aedros cuadrticos la 1ór"ula +ara Gauss con +untos5 +ero suelen usarse 1ór"ulasde +untos . 2@ +untos +ara "e*orar la +recisión
10. on"ergencia del método de elementos Finitos
0 Caso varia)le(ean#u la solución e3actauI su inter+olada de grado Q en cada * u a+ro3i"ación de ele"entos 1initos de grado Q en cada *(a)e"os 4ue ' C8 C6 tales 4ue
‖u−u I ‖ L2 ( I ) % 3
: +1‖u( : +1)‖ L
2 ( I )
‖(u−u I )' ‖ L
2 ( I ) % ' 3: ‖u
( : +1 )‖ L2( I )
Va"os a ver 4ue ‖u−u3‖ . ‖(u−u3 ) ' ‖ ta")i-n +uede acotarse as/
De"ostraciónVa"os a considerar a "odo de e*e"+lo el +ro)le"a
¿u - & ;- % >,b r!#$% u % (> r!#$% ) -u % (b r!#$% ) -0 r!#$% &*&
¿ 4ue e4uivale a
67 ∫a
b
u ' φ ' =∫a
b
&φ∀ φ V ϵ ≡ φ∨φ (a )=φ (b)=0
&n el '&F en lugar de resolver esto restringi"os a las 4 4ue son de grado J en cada ele"ento. ;alla"os u
∫a
b
u3
' φ3
' =
∫a
b
& φ3
∀φ3
ϵV 3
≡
φ de grado: en cada I
5
∨φ (a )=φ (b)=0
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$ro)le"as de ca"+o B9
co"o u cu"+le &4∈' 5 en +articular ta")i-n cu"+le +ara las 4
∫a
b
u ' φ 3' =∫a
b
& φ3∀φ3ϵV 3
Restando con la ecuación de u tene"os la ecuación del error 5
∫a
b
(u−u3 ) ' φ3 ' =0 ∀φ3ϵV 3
O sea 4ue el error de uZ es ortogonal al su)es+acio V;5 entonces uZ es la +ro.ección de u
ortogonal a ' con ⟨ u , v ⟩=∫u' v'
&n +articular elegi"os φ3=u I −u3 5 4ue es de grado J en cada I 5 entonces
∫a
b
(u−u3 ) ' (u I −u3 ) ' =0
Considere"os a;ora
‖(u−u3 ) ' ‖ L2( I )
2=∫
a
b
|(u−u3 ) ' |2=∫
a
b
(u−u3 ) ' (u−u3 )' =¿
¿∫a
b
(u−u3 )' [u−u I +u
I −u3 ] ' =∫a
b
(u−u3 ) ' [ (u−u I )' +(u I −u3 ) ' ]=¿
¿∫a
b
(u−u3 )' (u−u I ) ' +∫
a
b
(u−u3 ) ' (u I −u3 )=∫a
b
(u−u3 )' (u−u I ) ' (%O)
(%O) ‖(u−u3 )' ‖ L2 ( I )‖(u−u
I ) ' ‖ L2 ( I )
⇒‖( u−u3) ' ‖ L2 ( I ) ‖(u−u I ) ' ‖ L
2 ( I ) % ' 3: ‖u
(: +1)‖ L2 ( I )⇒
⇒∃% '
∨‖(u−u3 ) ' ‖ L2 ( I ) % ' 3:
‖u(: +1)
‖ L2 ( I )
Nótese 4ue el error de u (con‖u‖=‖u ' ‖ L
2 ( I ) ) es "enor 4ue el de la inter+olada 6en realidad
+udo usarse ! +olino"ial cual4uiera en lugar de uI 7 Anloga"ente se de"uestra +ara varias varia)les 4ue
∃% ' ∨‖∇ (u−u3 )‖ L
2 ( ) % ' 3: ‖ 2
: +1u‖ L
2 ( )
"#$[$"$" Acotación de ∥u<u∥
(ea 4 ( 4*a+14*b+1# y \4:1u<u
‖u−u3‖ L2 ( I )
2=∫
a
b
(u−u3 )2=∫a
b
(u−u3 ) (u−u3 )=¿
ntegrando +or +artes−φ r!#$% ) - % &*& % (u u rsub $ r!#$% ) % (φ' r!#$% ) r!#$% r!& rsub > rsup b + !&% r
(u−u
¿∫a
b
$ues u1u en a . en b
⇒‖u−u3‖ L2( I )
2=∫
a
b
(u−u3 ) ' φ '
$ero seg8n la ecuación del error
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$ro)le"as de ca"+o B!
∫a
b
(u−u3 ) ' φ3 ' =0 ∀φ3ϵV 3
en +articular +ara 414I 5 entonces
‖u−u3‖ L2 ( I )
2=∫
a
b
(u−u3 )' φ ' −∫a
b
(u−u3 ) ' φ I
' =∫a
b
(u−u3 )' ( φ−φ I )'
(%O)
φ r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!#$% ) ⇒
¿‖( u−u3) ' ‖ L
2 ( I )‖(φ−φ
I ) ' ‖ L2 ( I ) %
' 3: ‖u
(: +1)‖ L
2( I ) %3 ¿
‖u−u3‖ L2 ( I )
2% $ ^ =+1 % d!& u ^ % (=+1 r!#$% ) r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!#$
⇒‖u−u3‖ L2( I )
% $ ^ =+1 % d!& u ^ % (=+1 r!#$% ) r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!
02 Caso varias varia)lesCo"o e*e"+lo considere"os
−u=& en
u=0 en ( &s +arecido a la de"ostración anterior
(ea φ∨− 0 φ=u−u3 en
φ=0 en (
‖u−u3‖ L2 ( )
2=∫
(u−u3 ) (u−u3 )=∫
(u−u3 ) (− 0 φ )=¿
¿−∫
( u−u3 )∇ -∇φ¿(¿)∫
∇ (u−u3 ) -∇φ−∫ (
(u−u3 )∇φ- n=¿
¿∫
∇ (u−u3 ) -∇φ
$ues u1u en >
+ode"os restarle la ecuación del error con 414I #
∫
∇ (u−u3 )-∇ φ I =0
∫
∇ (u−u3 )-∇ ( φ−φ I )∫
∇ ( u−u3) -∇φ−∫
∇ (u−u3 )-∇φ I =¿
¿∫
∇ (u−u3 ) -∇ (φ−φ I )
(%O)‖∇ (u−u3 )‖ L2 ( )
‖∇ ( φ−φ I )‖ L
2 ( )
% ' 3: ‖ 2
: +1u‖ L
2 ( ) % $ % d!& C ^ 2 φ r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (E r!#$% )
$ero si ? es conve3o entonces
‖ 22
φ‖ L2 ( ) % ' % d!& Gφ r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (E r!#$% )
⇒‖u−u3‖ L2( )
2 % 3
: +1‖ 2: +1
u‖ L2 ( )‖ φ‖
L2 ( )=%
¿3
: +1‖ 2: +1
u‖ L2 ( )‖u−u3‖ L
2 ( )
⇒‖u−u3‖ L2( ) %
¿3
: +1‖ 2: +1
u‖ L2( )
O sea 4ue la convergencia es de orden J2" +ara u . orden J +ara #u
10.5 Método de los residos )onderados
Va"os a ver 4ue a +artir de la 1or"ulación di1erencial del +ro)le"a 6lla"ada /orma /uerte7+ode"os llegar al "is"o es4ue"a de ele"entos 1initos 4ue lleg)a"os a +artir de la
1or"ulación variacionalConsidere"os el +ro)le"a de $oisson#
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$ro)le"as de ca"+o B@
−u=& en
u=0 en ( este +ro)le"a e4uivale a ;allar u tal 4ue
∫
(− u−& )φ=0 ∀φ
u=0 en ( [sta es la 1or"a d-)il del +ro)le"a original&n +articular se va a veri1icar +ara 4 del es+acio de ele"entos 1initos 67
∫
(− u−& ) φ3=0∀ φ3∈V 3
O sea
∫
& φ3=−∫
( u ) φ3=−∫
(∇ -∇u ) φ3 ∀φ3∈V 3
Usando el teore"a de Green
∫
& φ3=∫
∇u -∇φ3−∫ (
(∇u φ3 ) - n=∫
∇u -∇φ3∀φ3∈V 3
$ues \ en nula en ]Iace"os la a+ro3i"ación de )uscar un u%' 4ue veri1i4ue esa igualdad
∫
∇u3 -∇φ3=∫
& φ3∀ φ3∈V 3
4ue es la "is"a 4ue ten/a"os en el "-todo de ele"entos 1initos 6B7&n este caso5 al igual 4ue antes5 ;e"os usado el "is"o es+acio de ele"entos 1initos5 ' 5 +aralas 4 . +ara las u &ste es el "-todo de GalerQinLos "-todos de $etrov M GalerQin to"an distintos es+acios +ara las 4 . +ara las u&l "-todo de los Residuos $onderados tiene la venta*a de 4ue ;a. ecuaciones di1erenciales4ue no tienen una 1or"ulación variacional e4uivalente A estas ecuaciones igual +uedea+licarse el "-todo de residuos +onderados
10.10 Métodos no con*ormes
&stos "-todos usan 1unciones 4 4ue sean continuas en cada ele"ento +ero +ueden ser discontinuas en la 1rontera entre ele"entos &n este caso .a no se +uede usar el teore"a deGreen en ? +ues 4 discontinua en ?
00 &*e"+lo 6 varia)le7 <u]1/ en a8b e4uivale a−u φ - !&% r*" > %* b φ φ !&> > %r*H*s∀
∫a
b
¿
⇒∫a
b
&φ=∫a
b
−u φ - su" r*" <-1 %* I+1 % (!&% r*" x rsub <1 %* x rsub < u φ ¿¿
6M!u</ 7 se lla"a Eresiduo de la ecuaciónB Las 4 se lla"an 1unciones de +eso . se to"an de una )ase de '
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$ro)le"as de ca"+o BB
−¿ x 5
¿
¿+¿
x 5−1
¿
u'
( x
5 )φ¿¿
¿∑ 5=1
C +1
(∫ x
5−1
x 5
u' φ' )−∑ 5=1
C +1
u' φ| x 5−1
x 5
=∫a
b
u' φ
' −∑ 5=1
C +1
¿
+¿ x 5
¿
¿−¿ x 5
¿
φ¿u
' ( x 5 )¿
¿∫a
b
u' φ
' −u' (b ) φ (b )+u
' ( a ) φ (a )−∑ 5=1
C +1
¿
La su"atoria ser/a nula si 4 1uera continua
002 &*e"+lo 6varias varia)les7&n varias varia)les +ode"os a+licar Green en cada ele"ento +ero luego al su"ar5 lasintegrales en las 1ronteras entre ele"entos no se ven a cancelar
−u=& en
u=0 en ( e4uivale a
∫
(− u )φ=∫
&φ∀ φ lineal encada ele;ento
u=0 en (
⇒∫
&φ=∫
(−u ) φ=∑T (∫
T
(− u ) φ)=∑T (∫
T
∇u -∇φ−∫" T
"u
" nT
φ d. )=¿
¿∫
∇u -∇φ−∑T (∫
" T
" u
" nT
φ d. )Donde
" u
"nT
=∇ u- n
−¿+¿−φ
¿
φ¿d. ¿
"u
"nT
¿
⇒∫
&φ=∫
∇u -∇φ−∫ (
" u
"nT
φ d. −∫ (
¿
¿
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$ro)le"as de ca"+o 0
−¿+¿−φ
¿
φ¿d.
" u
" nT
¿
⇒∫
&φ=∫
∇u -∇φ−∫ (
¿
¿
$ues
∫ (
" u
" nT
φ d. =0
(iendo ( =" ( )
¿ (
¿=(¿T " ( ))−" ( )
+¿−φ−¿=saltode discontinuidad en( ¿
φ¿
o sea 4ue la solución de la ecuación di1erencia5 si 4 es discontinua5 no cu"+le
∫
∇u3 -∇φ3=∫
&φ
$ues−¿
+¿−φ¿
φ¿
d. ¿
" u
"
nT
¿
∫ (
¿
¿
$ero los "-todos no con1or"es consisten en )uscar u lineal en cada ele"ento 4ue cu"+la
∑T (∫
T
∇u3-∇φ)=∫
&φ∀φ lineal encada ele;ento
As/ +lanteado el +ro)le"a no tiene solución 8nica5 lo cual +uede verse5 +or e*e"+lo5 si /1# 5
+ues cual4uier u constante en cada ele"ento cu"+le ∑T (∫
T
∇u3-∇φ)=0 +ues
∇u3=0 aun4ue no sea la 1unción nula
$ara tener unicidad lo 4ue se ;ace es )uscaru lineal en cada tringulo . continua en el +unto "edio de cada lado de
∑T (∫
T
∇u3-∇φ)=∫
&φ
&4 lineal en cada . continua en los +untos "edios de los lados de . 41# en ∂6^7
A;ora ;a. unicidad de solución5 +ues +ara el siste"a ;o"og-neo#
(i ∑T (∫
T
∇u3-∇φ)=0 &4 lineal en cada . continua en los +untos "edios de los lados
de T . 41# en ∂6^7 entonces #u1# en cada
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$ro)le"as de ca"+o 09
&ntonces u constante en cada .5 co"o de)e ser continuaen los +untos "edios de los lados5 ese valor constante de)eser el "is"o +ara todos los tringulos5 +or tanto u esconstante en ? . co"o es nula en ∂6?7 entonces es nula entodo ?Co"o 1unciones )ase se usan las "is"as de antes +ero
co"o nodos se to"an los +untos "edios de los lados A;ora tendre"os "s nodos 4ue antes5 +ues cada tringuloa+orta dos nodos nuevos (e usan las )ases asociadas aestos nodos tanto +ara las 4 co"o +ara inter+olar u en cada
009 $atc; test(i u es lineal en cada . continua en los +untos "edios entonces
∑T
∫T
∇u-∇ φ=∫
& φ ∀φ linealen cada T y continuaen los )untos ;edios
*emos%ración−¿
+¿−φ¿
φ¿
d. ¿−¿
+¿−φ¿
φ¿
d. ¿
" u
" nT
¿
∫l
¿
" u
" nT
¿
∫ (
¿
¿
Co"o u lineal en cada tringulo su derivada es constante" u
"nT
=: l
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$ro)le"as de ca"+o 0!
−¿+¿−φ
¿
φ¿
d. ¿−¿
+¿−φ¿
φ¿ d. ¿−¿
+¿−φ¿
φ¿ ( ;l )¿
|: l|¿¿
: l∫l
¿
" u
" nT ¿
∫ (
¿
¿
$ues la regla del +unto "edio es e3acta +ara 42<4< 4ue es lineal . co"o 4 es continua en los+untos "edios5 642<4<76ml 7?0&ntonces
−¿+¿−φ
¿
φ¿
d. ¿
" u
" nT ¿
∫
&φ=∫
∇u -∇φ−∫ (
¿
¿
$or lo tanto
∑T
∫T
∇u-∇ φ=∫
& φ ∀φ linealen cada T y continuaen los )untos ;edios
(e +uede de"ostrar 4ue +ara u no lineales la igualdad no se cu"+le +ero la di1erencia es deorden 2 en &sto i"+lica 4ue el es4ue"a es consistente 607 .a 4ue la solución e3acta satis1ace el es4ue"ade clculo salvo un t-r"ino de orden su+erior
00< Convergencia
∑T
‖∇ (u I −u3 )‖ L2(T )
2
=∑T
∫T
∇ (u I −u3 ) -∇ (u
I −u3 )=¿
¿∑T
∫T
∇ (u I −u+u−u3 ) -∇ (u I −u3 )=¿
¿∑T (∫
T
∇ (u I −u )-∇ (u I −u3 )+∫
T
∇ (u−u3 ) -∇ (u I −u3))=¿¿∑
T
∫T
∇ (u I −u ) -∇ (u I −u3)+∑T
∫T
∇u -∇ (u I −u3 )−∑
T
∫T
∇u3-∇ (u I −u3 )
0 Consistencia no i"+lica convergencia 4ue es 4ue la solución tienda a la e3acta cuando;P0
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$ro)le"as de ca"+o 0@
$or Cauc;. (c;uart, . to"ando 41uI <u
∑T
‖∇ ( u I −u)‖ L
2(T )‖∇ (u I −u3 )‖ L2 (T )+∑
T
∫T
∇u-∇φ−∑T
∫T
∇u3 -∇φ
$or Cauc;. (c;art, +ara el +roducto escalar
(∑T
‖∇ (u I −u )‖ L
2 (T
)
2
)
1
2
(∑T ‖
∇
(u
I −u3 )‖
L2
(T )
2
)
1
2+
∑T ∫T
∇u -∇φ−
∑T ∫T
∇u3
-∇φ
¿(∑T
‖∇ ( u I −u )‖ L
2 ( T )
2
)1
2 (∑T
‖∇ (u I −u3 )‖ L2 ( T )
2
)1
2+∑T
∫T
∇u -∇φ−∫
&φ
$ues las u se )uscaron de "odo 4ue ∑T
∫T
∇u3-∇ φ=∫
&φ &4 lineal en cada .
continua en los +untos "edios5 cosa 4ue cu"+le en +articular 41uI <u
⇒∑T
‖∇ (u I −u3 )‖ L2(T )
2
(∑T
‖∇ (u I −u)‖ L2 (T )
2
)1
2 (∑T
‖∇ (u I −u3 )‖ L
2 (T )
2
)1
2+|∑T
∫T
∇u -∇φ−∫
&φ|Dividiendo +or la segunda su"atoria
⇒(∑T
‖∇ (u I −u3)‖ L2 (T )
2
)1
2 (∑T
‖∇ (u I −u )‖ L2 (T )
2
)1
2+|∑T ∫T
∇u -∇φ−∫
& φ
|(∑
T
‖∇ (u I −u3 )‖ L2 (T )
2
)1
2
$ero co"o uI lineal en cada T# ‖∇ (u−u I )‖ L
2() % ' 3‖ 2
2u‖ L
2 ( )
⇒‖∇ (u I −u3 )‖ L2 ( ) %
' 3‖ 2
2u‖ L
2 ( )+|∑
T
∫T
∇u -∇φ−∫
& φ|‖∇ (u I −u3)‖ L2 ( )
Co"o vi"os en el $atc; Test5 el nu"erador del 8lti"o t-r"ino se anula cuando u es lineal encada tringulo . es de orden 2 en en otro caso Con lo cual 4uedar/a# $ % d!& C ^ 2 u r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (E r!#$% )
‖∇ (u I −u3 )‖ L2 ( )
% ¿
Co"o
‖∇ (u−u3 )‖ L2 ( )=‖∇ (u−u
I +u I −u3 )‖ L2 ( ) ‖∇ (u−u
I )‖ L2 ( )+‖∇ (u
I −u3 )‖ L2 ( )
&ntonces
‖∇ (u−u3 )‖ L2 ( ) %
¿3‖ 2
2u‖ L
2 ( )
O sea 4ue la convergencia de #u es de orden ;
10.11 Métodos mi$tos(e usan en siste"as de ecuaciones di1erenciales +arciales . consiste en usar +ara unas1unciones incógnita distintas 1unciones )ase 4ue +ara otras 1unciones incógnitas
0 &*e"+lo - &cuaciones de NavierM(oQes
− u+ (u -∇ ) u+∇ )=& Donde#
u ( x)=(u1 ( x , y , $ ) ,u2 ( x , y , $ ) , u3 ( x , y , $ ) ) es la velocidad
) ( x )= ) ( x , y , $ ) es la +resión
& ( x )= & ( x , y , $ ) es la 1uer,a a+licada so)re el 1luido
$ara 1luidos inco"+resi)les la ecuación de continuidad es¿u=0
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$ro)le"as de ca"+o 0B
_ la condición de contorno +uede ser u=0 en " ( )&stas ecuaciones vectoriales dan < escalares#
−u i+ (u -∇ )ui+" )
" x i
=& i eni=1,2,3
∇ - u=0 en
u=0 en " ( )
La ecuación de (toQes no lleva el t-r"ino (u -∇ ) u . 4ueda
−u i+" )
" x i
=& i eni=1,2,3
∇ -u=0 en
u=0 en " ( )
&ste +ro)le"a no corres+onde a la "ini"i,ación5 de un 1uncional sino a un +unto deensilladura
$ode"os derivar el "-todo de ele"entos 1initos directa"ente de las ecuaciones di1erenciales+or el "-todo de residuos +onderadosUsa"os co"o 1unciones de +eso φ=(v , * )'ulti+lica"os cada ecuación +or una co"+onente de φ e integra"os en ( 67
∫
(− ui+" )
" x i )φ vi=∫
& i v i∀ vi∨v i=0 en " ( ) i=1,2,3
∫
(∇ - u ) *=0 ∀*
usando el teore"a de Green en las as ecuaciones
∫
∇ui -∇vi−∫
) " v i
" x i
=∫
& i vi∀ vi∨vi=0 en " ( ) i=1,2,3
∫
(∇ -u )*=0∀ *
O sea 627
(1 )∫
∇u - ∇ v−∫
)∇ - v=∫
& v ∀ v∨v=0 en " ( )
∫
(∇ - u ) *=0∀ *
&ste +ro)le"a corres+onde al +unto de ensilladura de
J (u , ) )=1
2∫
|∇u|2−∫
) (∇ -u )−∫
& - u
+ues es "/ni"o en unas varia)les . "3i"o en otrasLa variación res+ecto a u es
0="u J (u , ) )=∫
∇u- ∇ v−∫
)∇ - v−∫
& v∀ v∨v=0 en " ( )
4ue es la +ri"er ecuaciónLa variación res+ecto a + es
∇ - u=¿ (u )2 ∇u es la *aco)iana de u
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$ro)le"as de ca"+o
0=" ) J (u , ) )=∫
(∇ -u )*=0∀*
4ue es la segunda ecuaciónta")i-n +uede verse co"o un "/ni"o condicionado a ∇ - u=0
to"ando v∨∇
- v=0⇒
∫
)∇
- v=0
⇒ (2 ) ∫
∇u- ∇ v−∫
& v=0 ∀ v∨v=0 en " ( ) y ∇ - v=0 en
∇ - u=0&s "s 1cil resolver 4ue 2 +ues no se i"+onen restricciones a u 6+ero en 2 no a+arece laincógnita p7&stos +ro)le"as +ueden resolverse +or un "-todo "i3to5 4ue usa una )ases +ara u3 .
v . otra )ase +ara p . q
"#$""$"$" Apro9imación por elementos /initos de "
%usca"osu
. p
Hu
. p
+olino"iales a tro,os .
∫
∇u3 - ∇v3−∫
)3∇ - v3=∫
& v3∀ v3enel es)acio de EF ∨v3=0 en " ( )
∫
(∇ - u ) *3=0∀ *3 enel es)acio de EF
Va"os a ver en 4u- condiciones tene"os esta)ilidadCo"o el +ro)le"a es lineal5 +ara 4ue ;a.a esta)ilidad )asta 4ue
‖∇ u3‖ L2 ( )+‖ )3‖ L
2( ) % ‖& ‖
L2 ( )
To"e"os
v3=u3
*3= )3
∫
‖∇u3‖2−0=∫
& - u3 (%O )‖& ‖ L
2 ( )‖u3‖ L2 ( )
∫
(∇ -u ) )3=0
‖∇ u3‖ L2 ( )
2‖& ‖
L2( )‖u3‖ L
2 ( )
. co"o u3=0 en " ( ) . ? acotado entonces ∃% ' ∨‖u3‖ L
2 ( ) % ' ‖∇u3‖ L2 ( )
∃% ' ∨‖∇ u3‖ L
2 ( )
2‖& ‖
L2( )% ' ‖∇u3‖ L
2( )⇒‖∇u3‖ L
2( ) % ' ‖& ‖
L2 ( )
&ntonces ;a. esta)ilidad +ara la u$ara de"ostrar la esta)ilidad +ara la p de)e"os +edir 4ue se cu"+la la condición deesta)ilidad le %a)usQa %re,,i 6%%7 4ue es 4ue ∃ `W0 inde+endiente de tal 4ue
M ‖ )3‖ L2 ( )
¿v3
∫
(∇ - v3 ) )3
‖∇v3‖ L2 ( )
∀ )3ϵV 3
si esa condición se cu"+le
⇒∃ v3∨M ‖ )3‖ L2 ( )
∫
(∇ - v3 ) )3
‖∇v3‖ L2 ( )
∀ )3ϵV 3
+ero
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$ro)le"as de ca"+o 9
∫
∇u3 - ∇ v3−∫
)3∇ - v3=∫
& v3∀ v3 enel es)acio de EF ∨v3=0 en " ( )
⇒∫
)3∇ - v3=∫
∇u3 - ∇v3−∫
& v3
⇒M ‖ )3‖ L2 ( )
∫
∇u3 - ∇ v3
‖∇ v3‖ L2 ( )
−∫
& v3
‖∇v 3‖ L2 ( )
(%O)
‖∇u3‖ L2 ( )+ ‖v3‖ L
2 ( )
‖∇ v3‖ L2 ( )
‖& ‖ L
2 ( ) ‖∇u3‖ L2 ( )+% ‖& ‖
L2 ( )
⇒‖ )3‖ L2 ( )
1
M ‖∇u3‖ L
2 ( )+
%
M ‖& ‖
L2 ( )
_ co"o ‖∇ u3‖ L2 ( ) % ' ‖& ‖ L
2 ( )
∃% % d!& p rsub $ r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (E r!#$% ) @‖& ‖ L
2 ( )
⇒¿en estas condiciones se +uede +ro)ar 4ue
‖∇ (u−u3 )‖ L2 ( )+‖ )− )3‖ L
2 ( )
%
M [‖∇ (u−u
I )‖ L2 ( )+‖ )− )
I ‖ L2 ( ) ]
o sea 4ue si 4uere"os 4ue ;a.a convergencia de orden J de)e"os usar +ara u inter+olaciónde grado J . +ara p inter+olación de grado J<"$$ero esto es as/ si se cu"+le la condición de %% Va"os a ver en 4u- condiciones se cu"+leCo"o en la ecuación sólo est # p5 entonces p +uede variar en una constante5 +or tanto
+ode"os elegir los p +ara 4ue ∫
)3=0 . +ara esas p se +uede +ro)ar 4ue e3iste vsolución del +ro)le"a
∇ - v3= )3
v3=0 en " ( ) tal 4ue ‖∇ v‖
L2 ( ) % ‖ )3‖ L
2 ( ) con C inde+endiente de p . v
&ntonces
∫
)3∇ - v3=∫
( )3 )2=‖ )3‖ L2 ( )
2P‖ )3‖ L
2 ( )
‖∇v‖ L
2 ( )
%
⇒∃ v y M = 1
% >0∨M ‖ )3‖ L
2 ( )∫
)3∇
-
v3
‖∇ v‖ L
2 ( )
&sta no es la condición de %% a "enos 4ue +oda"os sustituir ! +or una ! del es+acio de &F$ode"os ;acerlo si to"a"os una inter+olación de ! 5 ! I tal 4ue
(1 )∫
)3∇ - v=∫
)3∇ - v I ∀ )3
.
(2 )‖∇ v I ‖ L
2( ) % ‖∇v‖ L2 ( )con% inde)endiente de3
"#$""$"$& Caso con!ergencia de orden "
_a ;a)/a"os visto 4ue si se cu"+l/a la condición de %%5 +ara tener convergencia de orden ;a)/a 4ue to"ar# +ara p +olino"ios de grado )0+ara ! +olino"ios de grado )
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$ro)le"as de ca"+o !
6Notar 4ue las p +ueden ser discontinuas +ero las ! no +ues a+arece ∇ - v 7
+ero si to"a"os u +olino"ial de grado entonces ∇ - u3 es +olino"ial de grado 0 . co"o
de)e cu"+lirse ∫
(∇ -u3 ) *3=0∀ *3 )olino;ial de grado0 entonces
+ara *3=∇ -
u3⇒∫
(∇ -
u3 )2
=0⇒∇ -
u3=0 en entonces no se cu"+le 67
$ara solucionar este +ro)le"a to"are"os +ara ! +olino"ios de grado 2 . construire"os unainter+olación 4ue cu"+la . 2Co"o en cada T p es constante entonces +ara 4ue se cul+a
∫
)3∇ - v I = )3∫
∇ - v I = )3∫
∇ - v=∫
)3∇ - v
(i
∫
∇ - v I =∫
∇ - v⇔(¿ )∫
"T
v
I -nT d. =∫
" T
v - nT d.
&ntonces de)e"os construir una inter+olación 4ue cu"+la#
∫" T
v I - nT d. =∫" T
v - nT d.
/n%erpolacion (caso 2 variables!
Co"o ! I ser de 2 grado5 tene"os 4ue 1i*ar > coe1icientes +ara cadaco"+onente5 total 2 coe1icientes7 Deter"ina"os los valores en los v-rtices
v 5 I ( )i )=v 5 ( ) i )i=1,2,3 5=1,2
son5 > condiciones27 Deter"ina"os ! I en los +untos "edios de los lados +ara 4ue
∫l
v 5
I d. =∫
l
v 5 d. l=1,2 5=1,2,3⇒∫"T
v
I - nT d. =∫
" T
v - nT d.
&ntonces se veri1ica 67&l orden de convergencia es +or4ue los p son de grado 0 (i4uere"os orden de convergencia 2 tendre"os 4ue usar p de grado . +ara 4ue se cu"+la la condición de %%5 ! de)e sr de grado 2 "suna 1unción )ur)u*a 6de grado 97La 1unción )ur)u*a )637 es de grado 9 . vale 0 en los lados deltringulob*9+1λ "*9+λ & *9+λ L*9+
(iendoλ "*9+1# la ecuación del lado λ & *9+1# la ecuación del lado 2
λ L*9+1# la ecuación del lado 9
la +arte de 2 grado se constru.e igual 4ue antes . se le su"a a cada co"+onente la 1unción)ur)u*a +or un coe1iciente a deter"inarCo"o p es de er grado5 la igualdad 67 4ueda
∫T
( a+b x1+c x2 )∇ - v=∫T
( a+b x1+c x2 )∇ - v I
4ue se cu"+lir si se cu"+len#
∫T
∇ - v=∫T
∇ - v I
∫T
x1∇ - v=∫T
x1∇ - v I
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$ro)le"as de ca"+o @
∫T
x2∇ - v=∫T
x2∇ - v I
La +ri"er igualdad se cu"+le +ues b*9+1# en ∂ 5 entonces en ∂ sólo 4ueda la +arte de 2grado 4ue .a vi"os 4ue cu"+le
∫" T
v I
- nT d.
=∫" T
v - nT
d.
_ se eligen los coe1icientes de la 1unción )ur)u*a en cada co"+onente de v I +ara 4ue se
cu"+lan las otras igualdades(/ se usaran solo +resiones continuas entonces se +ueden to"ar ! e grado 2 . p de grado .se cu"+le la condición de %%6&n este caso en lugar de au"entar el es+acio de las ! ;e"os ac;icado el de las p7 (e +uede de"ostrar 4ue e3iste la inter+olación ! I +ero no se sa)e cul es
10.12 Integraci!n redcida
&l uso de 1unciones con divergencia nula se lla"a )lo4ueo
∫
(∇ -u3 )2=0⇔∇ -u3=0 en
La integración reducida re"+la,a la integral +or una regla de integración 4ue no es e3acta +arael grado usado &ntonces
∫a)rox
(∇ - u3 )2=0 no i"+lica ∇ - u3=0 en
As/ ;a)r "s 1unciones 4ue cu"+lan ∫a)rox
(∇ - u3 )2=0
Algunos "-todos "i3tos se +ueden ver co"o "-todos de integración reducida5 4ue se usan+ara evitar el )lo4ueo
10.1( Sistemas no en régimen
09 $ro)le"as +ara)ólicos
"#$"L$"$" Eemplo < Ecuación del calor$
" u
"t −u=& en > (0,T )
u=0 e n " > ( 0,T )u=u0 en> 0
Donde u1u*98t+ es la te"+eratura . 9 es la distanciat es el tie"+o
Lo usual es usar un "-todo de &F +ara las varia)les es+aciales . ree"+la,ar"u
" t +or un
cociente incre"ental6Otra +osi)ilidad es usar ele"entos 1initos en todas las varia)les7Usando residuos +onderados5 +ara cada t "ulti+lica"os +or la 1unción de +eso 4 e integra"os
∫
" u
" t φ−∫
( u ) φ=∫
&φ
. usando Teore"a de Green
∫
" u
" t φ+∫
∇u -∇φ=∫
&φ )ues∫"
∇u - φ=0 ya*ueφ=0 en"
$articiona"os ? . usa"os &F sustitu.endo u . 4 +or u . 4&l +ro)le"a es ;allar u tal 4ue
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$ro)le"as de ca"+o B
∫
" u3
"t φ3+∫
∇u3 -∇φ3=∫
& φ3∀φ3 del es)acio de EF ∨φ3=0 en"
Co"o
u3 ( x ,t )=∑i=1
C +1
ui (t ) C i( x)
φ3 ( x )=∑i=1
C +1
φi C i( x)
∫
(∑i=1
C +1 " ui ( t )
" t C i( x )) C 5( x )+∫
(∑i=1
C +1
u i (t )∇ C i( x))-∇ C 5( x )=∫
& C 5( x)∀ 5=1,⋯, C
∑i=1
C +1
( "ui ( t )
" t ∫
C i( x) C 5( x ))+∑i=1
C +1
(ui ( t )∫
∇ C i( x)-∇ C 5( x ))=∫
& C 5( x )∀ 5=1,⋯ , C
De1iniendo#
G=[ bi5 ]∨bi5=∫
C i( x) C 5( x )
F =[ & 5 ]∨& 5=∫
&C 5( x )
A= [ ai5 ]∨ai5=∫
∇ C i( x) -∇ C 5( x )
&ntonces
G " u ( t )
" t + A u (t )= &
4ue es un siste"a de ecuaciones di1erenciales ordinarias con valor inicial u ( x , 0 )=u0
( x ) .se +uede resolver +or alg8n "-todo de RungeMXutta +or e*e"+lo usando di1erencias ;aciaatrs o)tene"os un "-todo i"+l/cito
1
0 t G (un−u
n−1 )+ A un= &
( 1
0 t G+ A )u
n=& +1
0t G u
n−1
Usando di1erencias ;acia adelante tene"os un "-todo e3+l/cito +ero re4uiere ∆t "enores1
0 t G (u
n+1−un )+ A u
n= &
1
0 t
G un+1=& +
(1
0 t
G− A
)u
n