02/05/2013

PROBABILIDAD

RENATO A LLENDE OLIVARESHUMBERTO VILLALOBOS TORRESUNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Y ESTADÍSTICA

02/05/2013

Familias de Distribuciones• DEFINICIÓN 1: Familias de Distribuciones. Sea

X una variable aleatoria, tal que su funciónde masa,f(x / θθθθ), depende de un parámetro,llámese θθθθ, para un conjunto de posiblesvalores deθθθθ, f(x / θθθθ), satisface las condicionespara ser función de masa, y sus valoresesperados, de existir, dependen deθθθθ.

• Es posible queθθθθ, sea un vector paramétrico,es decir, que existan más de un parámetroasociado af(x / θθθθ). En este caso, se tendráque los valores esperados asociados de lavariable aleatoria, de existir, dependen de uno más de los parámetros.

02/05/2013

Distribución Bernoulli• DEFINICIÓN 2: Distribución Bernoulli. Sea X

una variable aleatoria, tal que toma sólo dosposibles resultados:Éxito, cuando cumple conla característica que se mide;Fracaso, cuandono cumple con la característica que se mide.

– Considere la probabilidad de éxito por ‘p’.

Si: Éxito x = 1, y fracasox = 0:1[X ] (1 ) , 0,1.x xx p p x−= = − =P

Donde: „[X] = p; •[X] = p(1 –p) = pq,

0 < p < 1.

02/05/2013

Distribución Bernoulli• APLICACIÓN 1: La Compañía GULOP Ltda. planea

realizar visitar publicitarias a clientes potencialesmediante presentaciones del producto, hasta que serealice un venta considerable, el visitar a los cliente setiene un costo por traslados de $ 4.000[US]. Además,cada montaje para la presentación de venta delproducto cuesta la suma de $ 1.000[US]. Sobre la basede datos históricos de la compañía se ha logradodeterminar diez de cada cien clientes visitados hanrealizado una compra. ¿Cuál es la probabilidad queun visita a un cliente cualquiera resulte una compra?.Ci: La visita del cliente i-ésimoresulta en una compra.⇒ Ci ∼∼∼∼ B(0,10)

p = �[Cliente visitado realice una compra] = 0,10

02/05/2013

Proceso de Bernoulli• DEFINICIÓN 3: Proceso de bernoulli. Sean Xi una

variable aleatoria con distribución bernoulli.Entonces un proceso de bernoulli, es una colección deéstas variables que muestran un comportamientoindependiente entre si, tal que:

1 1 2 2[X , X , ..., X ]k kx x x= = =P

1 1 2 2 11 11 1 2 2(1 ) (1 ) ... (1 )

, 0,1.

k kx xx x x xk k

i

p p p p p p

x

−− −= − − −=

11 1(1 ) ,

, 0,1.

k k

ii i

x k x

i

i

p p p p i

x

= =−∑ ∑

= − = ∀=

02/05/2013

Proceso de Bernoulli• APLICACIÓN 1: La Compañía GULOP Ltda. planea

realizar visitar, … Si visita 15 clientes, ¿Cuál es laprobabilidad que en la primera visita se realice unacompra mientras que en la tercera visita no seconcrete la compra?.

Ci: La visita del cliente i-ésimoresulta en una compra.

⇒ Ci ∼∼∼∼ B(0,10)

�[C1 = 1 ∩∩∩∩ (C2 = 1 ∪∪∪∪ C2 = 0) ∩∩∩∩ C3 = 0 ∩∩∩∩(C4 = 1 ∪∪∪∪ C4 = 0) ∩∩∩∩ ... ∩∩∩∩ (C15 = 1 ∪∪∪∪ C15 = 0)].

�[C1 = 1 ∩∩∩∩ C3 = 0] = 0,10×××× 0,90 = 0,0900.

02/05/2013

Distribución Binomial• Esta es una de las distribuciones más útiles, pues

sus áreas de aplicación incluyen: medicina,ventas, investigaciones de mercado, inspeccionesde calidad, etc.

• Consideremos nuevamente una población quecumple con características dicotómicas, es decir,un grupo de la población cumple con tener lacaracterística y otro no, ‘éxito’ y ‘fracaso’, que laprobabilidad de éxito ‘p’ se mantiene constate enel curso de los ensayos.

02/05/2013

a a[X a] (1 )a

a 0, 1, 2, ...,

nnp p

n

− = = −

=

P

Distribución Binomial• Si se Extiende ahora el problema para obtener

‘a’ éxitos en ‘n’ ensayos sin restricción. Como sepuede apreciar en la figura anterior, esta muestrasólo un orden donde se cumple con el requisito ‘a’éxitos, pero no todos los posibles, ya que los éxitospueden presentarse en distintas combinaciones enlos ‘n’ ensayos. Luego probabilidad de obtener‘a’ éxitos en ‘n’ ensayos, está dada por:

„[X] = np; •[X] = npq.

02/05/2013

Distribución Binomial• APLICACIÓ N 1: La Compañía GULOP Ltda.

planea realizar visitar, … Si el presupuestopara publicidad es de sólo $ 100.000[US],¿Cuál es la probabilidad de que la sumapresupuestada sea suficiente para que se logrealgún pedido?

X: Nº de viajes donde se logra una venta.

⇒ X ∼∼∼∼ B(20; 0,10)

�[X ≥≥≥≥ 1] = 1 – �[X ≤ 0] = 1 – �[X = 0]

= 1 – 0,1216 = 0,8784

02/05/2013

Distribución Binomial• APLICACIÓ N 1: La Compañía GULOP Ltda.

planea realizar visitar, … Si la gananciaesperada de la venta de un producto es de$ 15.000 [US], ¿deben efectuarse los viajes?.Justifique con argumentos estadísticos.

V: Utilidad por venta de producto.

„[V] = 15.000 x 0,1 – 5.000 x 0,9

= – 4.500 [US]

02/05/2013

Distribución Binomial• APLICACIÓN 2: En una caja hay 100

artículos, de los cuales 10 tienen una marcaque los identifica. Se extrae una muestra detamaño 5 y se observa si aparecen marcadosy luego, se devuelven a la caja. Después de untiempo se repite el proceso de muestreo.(Suponga que se repite 20 veces el proceso demuestreo).¿Cuántas muestras se debería esperar conalgún artículo marcado?.X: N° de muestreos con algún artículomarcado.

⇒ X ∼∼∼∼ B(20; p)

02/05/2013

Distribución Binomial• APLICACIÓN 2: En una caja hay 100

artículos, … ¿Cuántas muestras se deberíaesperar con algún artículo marcado?.

p = �[Y ≥≥≥≥ 1] = 1 –�[Y = 0] =

= 1 – 0,5838 = 0,4162

⇒ „[X] = 20 ×××× 0,4162 = 8,324

10 90

0 51

100

5

×

−

02/05/2013

Distribución Binomial• APLICACIÓN 2: En una caja hay 100

artículos, … ¿Cuál es la probabilidad que 10 deestas muestras no tengan artículos marcados?.

�[X = 10] =

= 0,1312

¿Cuál es la probabilidad que se tengan a lo másseis muestras con artículos marcados?.

�[X ≤≤≤≤ 6] = 0,2056 (TABLA : 0,2500)

10 10200,4162 0,5838

10

× ×

02/05/2013

Distribución Binomial• APLICACIÓN 3: Una investigación a nivel nacional,

llevada a cabo por una universidad extranjera(Michigan), de 17.000 estudiantes de último año revelaque el 70% desaprueba las medidas tomadas para elcontrol del consumo de drogas adictivas, de acuerdocon un reporte de la revista ‘Parade’ de septiembre 14de 1.980. Si 18 de estos estudiantes se seleccionan alazar y se les pregunta su opinión, ¿Cuál es laprobabilidad de que más de nueve pero no más decatorce desaprueben esa medida?Y: Número de alumnos que desaprueban las medidas

tomadas para el consumo de marihuana.⇒ Y ∼∼∼∼ B(18; 0,70)

�[9 < Y ≤≤≤≤ 14] =�[Y ≤≤≤≤ 14] –�[Y ≤≤≤≤ 9]= 0,8354 – 0,0596 = 0,7758

02/05/2013

Distribución Binomial• APLICACIÓN 3: Una investigación a nivel

nacional, llevada a cabo por una universidadextranjera (Michican), … ¿Cuál es laprobabilidad de que exactamente 5 alumnosaprueben las medidas tomadas para elcontrol del consumo de drogas adictivas?

�[Y = 13] =

= �[Y ≤≤≤≤ 13] –�[Y ≤≤≤≤ 12]

= 0,6673 – 0,4656 = 0,2017

13 5180,70 0,30

13

× ×

= 0,2017

02/05/2013

Distribución Hipergeométrica• Es una distribución cuya característica a

medir es discreta, útil para poblacionesfinitas (pequeñas).

• Supongamos que se tiene una poblacióndonde:– N, es el número de elementos de la población.– N1, es el numero de elementos de la población que

cumplen con cierta cualidad observable (N1 < N).– Es posible observar que la población de N

elementos ha sido dividida en dos grupos:Aquellos que pertenecen al grupo 1, ‘E1’, poseenla cualidad, y aquellos que pertenecen al grupo 2,‘E2’, como los que no poseen la cualidad.

– Se extrae una muestra aleatoria den elementos dela población.

02/05/2013

Distribución Hipergeométrica

• Entonces si se considera la variable aleatoria.

X:= Número de artículos en la muestra que

cumplen con la cualidad.

1 1

1

a a[X a]

a 0, 1, . .. , { , }

N N N

n

N

n

min N n

− − = =

=

P

n

1 1 1[X] = ; [X] = 11

N N N N nn n

N N N N

− − − E V

02/05/2013

Distribución Hipergeométrica• APLICACIÓN 4: Considere un fabricante de

lanchas que compra motores a una compañíadonde se fabrican bajo estrictas normas deespecificación. El fabricante recibe un lote de 40motores. Su plan de muestreo para aceptar el loteconsiste en seleccionar ocho motores al azar ysometerlos a prueba. Si encuentra que ningunode los motores presenta serios defectos, elfabricante acepta el lote, de otra forma lorechaza. Si el lote contiene dos motores con seriosdefectos, ¿Cuál es la probabilidad de que el lotesea aceptado?.

02/05/2013

Distribución Hipergeométrica• APLICACIÓN 4: Considere un fabricante

de lanchas que compra motores …X: El número de motores que presentandefectos en la muestra.

⇒ X ∼∼∼∼ H(40; 2; 8)

�[X = 0] = = 0,6359

2 38

0 8

40

8

02/05/2013

Distribución Hipergeométrica• APLICACIÓN 5: El ingeniero de control de

calidad (ICC) de la empresa H&H hadiseñado el siguiente plan de muestreo deaceptación de lotes:– Rechaza el lote si encuentra más de 2 artículos

defectuosos en una muestra de 5 artículos.– Se acepta el lote si se encuentran menos de 2

artículos defectuosos en la muestra de 5 artículos.

– Si se encuentran dos artículos defectuosos en la muestra, se toma una segunda muestra de tres artículos, y se rechaza el lote si se encuentra algún defectuoso.

02/05/2013

Distribución Hipergeométrica• APLICACIÓN 5: El ingeniero … Si se envían

lotes de 40 artículos de los cuales el 10% esdefectuoso, Determine:¿Cuál es la probabilidad de rechazo del lote?.

X i : Número de artículos defectuosos en el lote en lai-esimamuestra ⇒ X ∼∼∼∼ H (N i; N1i; ni)

e : {El lote se rechaza}

�[e] = �[X1 > 2 ∪∪∪∪ (X2 ≥≥≥≥ 1 ∩∩∩∩ X1 = 2)]= �[X1 > 2] + �[ X2 ≥≥≥≥ 1 ∩∩∩∩ X1 = 2]= �[X1 > 2] + �[ X2 ≥≥≥≥ 1 / X1 = 2] �[X1 = 2]

= 0,0039 + 0,1663 0,0651 = 0,0147

02/05/2013

Distribución Hipergeométrica• APLICACIÓN 6: Se sabe que en una partida de 40

artículos hay 2 deteriorados. Determinar cuantosartículos deben ser inspeccionados (selecciónaleatoria), para que con una probabilidad de al menos0,9 se encuentre por lo menos uno de los dosdeteriorados:

R: N° de estufas que no cumplirán con el nuevoperíodo de garantía. R∼∼∼∼ H(40; 2; n)

�[R ≥≥≥≥ 1] ≥≥≥≥ 0,9

�[R = 0] ≤≤≤≤ 0,1 ⇔⇔⇔⇔ ≤≤≤≤ 0,1

≤≤≤≤ 0,1

2 38

0

40

n

n

(40 )(39 )

40 39

n n− −×

n = 27

02/05/2013

Distribución Hipergeométrica• DEFINICIÓN 4: Aproximación de la distribución

Hipergeométrica por la Binomial. Cuando eltamaño de una población (N) es grande, y elcuociente entre el tamaño de la muestra (n), y eltamaño de la población (N) es menor al 5%, entoncesse acepta que la aproximación es buena a través de:

X ∼∼∼∼ H(N; N1; n) ≈≈≈≈ B(n, N1/N).

A modo desimulaciónconsidere:

N = 100

N1 = 20

n = 10

02/05/2013

Distribución Geométrica• Considere un proceso de bernoulli, con

probabilidad de éxito ‘p’. Suponga que elproceso se repite hasta la ocurrencia delprimer éxito, entonces si se define:X: N° de ensayos bernoulli necesarios hasta

la ocurrencia del primer éxito.RecX : {1, 2, 3, 4, … }

Infinito• N° de días hasta la primera lluvia.

• N° de derrotas hasta el primer triunfo.

• etc…

02/05/2013

Distribución Geométrica

• Sobre la base de una probabilidadde éxitoconstante se puede determinar que sufunción de masa está dadpor:

1[X ] (1 ) , 1,2,...xx p p x−= = − =P

Su nombre se debe a que la verificación de lapropiedad de función de masa se debe al aportede la serie geométrica, es decir:

2

1

[X ] ...x

x p qp q p∞

== = + + +∑P

2(1 ... )p q q= + + + 11

1p

q

= = −

02/05/2013

Distribución Geométrica

• De la misma forma se puede determinar laesperanza en términos de la sucesión:

1

1

[X]= x

x

x q p∞

−

=∑E

1

1

x

x

p x q∞

−

== ∑

Consideremos a:

1[X]

p=E

2 2 1

1

[X ]= x

x

x q p∞

−

=∑E

2 1

1

x

x

p x q∞

−

== ∑

2

1[X]

p

p

−=V

02/05/2013

Distribución Geométrica• PROPIEDAD 1: Relación Familia Geométrica y

Familia Binomial. Considere una variablealeatoria X, que tiene una distribucióngeométrica, digamos X ∼∼∼∼ G(p), y Sea Y unavariable aleatoria con distribución binomial,digamos Y∼∼∼∼ b(n; p). Entonces se tiene que:

[X > ] [Y = 0] (1 ) nn p= = −P P

Si tienen que ocurrir más den ensayos bernoullipara la llegada del primer éxito, ¿Cuántoséxitoshay enn ensayos?

XF ( ) [X ] 1 (1 )nx n p= ≤ = − −P

02/05/2013

Distribución Geométrica• APLICACIÓN 7: Un jefe de proyectos ha

comprobado que un subcontratista no falla enentregar a tiempo las ordenes corrientes detrabajos a realizar, en aproximadamente el20% de las ocasiones. ¿Cuál es la probabilidadde que tengan que llegar 15 ordenes hasta quellegue la primera a tiempo?

X:= N° de ordenes entregadas al subcontratista hasta la primera que entrega a tiempo.

RecX : {1, 2 , 3, … }

Infinito X ∼∼∼∼ G(0,20)

02/05/2013

Distribución Geométrica

• APLICACIÓN 6: Un jefe de proyectos hacomprobado … ¿Cuál es la probabilidad deque tengan que llegar 15 ordenes para quellegue la primera orden a tiempo?

14[X = 15] (1 0,2) 0,2= − ×P

¿Cuál es la probabilidad de que tengan quellegar dentro 10 y 17 ordenes hasta que lleguela primera a tiempo?

[X 16] [X 10] ≤ − ≤P P[10 < X < 17]=P

0,0088 =

10 16(1 0,2) (1 0,2)= − − − 0,0792=

02/05/2013

Distribución Geométrica

• De la distribución geométrica tambiénesconocida una transformaciónútil de ésta,como lo es, ensayos …hasta antes, … :

X ∼∼∼∼ G(p) ⇒ RecX: {1, 2, 3, … },Y = X – 1 ⇒ RecY: {0, 1, 2, … },

1 1[X 1 ] [X 1]=(1 ) yy y p p+ −− = = = + −P P

1[Y]

p

p

−=E

[Y ] (1 ) , 0,1,...yy p p y= = − =P

2

1[Y]

p

p

−=V[Y]

[Y]p=E

V

02/05/2013

Distribución Binomial Negativa• La Familia de distribuciones Binomial Negativa,

es una extensión razonables de la familia dedistribuciones geométricas, en donde se tiene unproceso de bernoulli, con probabilidad deéxito‘p’. Ahora se suponga que el proceso se repitehasta la ocurrencia delk-ésimoéxito, entonces sise define:X:N° de ensayos bernoulli necesarios hasta

la ocurrencia delk-ésimoéxito.RecX : { k, k +1, k + 2, … }

Infinito X ∼∼∼∼ BN(k; p)

02/05/2013

Distribución Binomial Negativa• Es posible deducir la función de masa de

probabilidad como en el caso de la familiabinomial, sólo con el detalle, con el detalle que elultimo ensayo tiene que ser éxito, es decir:

1 1 ( 1)1[X ] (1 )

1

, , 1, 2

k n knn p p p

k

n k k k

− − − −− = = − −

= + +

P

02/05/2013

Distribución Binomial Negativa• Entonces de las definiciones anteriores se pueden

observar que:X: N° de ensayos bernoulli necesarios hasta

la ocurrencia delk-ésimoéxito.

1

X Xk

ii=

=∑1

[X] Xk

ii=

=

∑E E

2

(1 )[X]

k p

p

−=V

[X]k

p=E

1

[X ]k

ii=

=∑E

1

[X] Xk

ii=

=

∑V V

1

[X ]k

ii=

=∑V

X i ∼∼∼∼ G(p)

02/05/2013

Distribución Binomial Negativa• PROPIEDAD 2: Relación Familia Binomial

Negativa y Familia Binomial. Considere unavariable aleatoria X, que tiene una distribuciónbinomial negativa, digamos X∼∼∼∼ BN(k; p), y Sea Yuna variable aleatoria con distribución binomial,digamos Y∼∼∼∼ b(n; p). Entonces se tiene que:

[X > ] [Y 1] n k= ≤ −P P

Si tienen que ocurrir más den ensayos bernoullipara la llegada delk-ésimo éxito, ¿Cuántoséxitoshay enn ensayos?

XF ( ) [X ] 1 [Y 1]n n k= ≤ = − ≤ −P P

02/05/2013

Distribución Binomial Negativa• APLICACIÓN 7: Un jefe de proyectos ha

comprobado … ¿Cuál es la probabilidad deque tengan que llegar 15 ordenes para quellegue lacuartaorden a tiempo?X:= N° de ordenes entregadas al subcontratista

hasta la cuarta que entrega a tiempo.RecX : {4, 5 , 6, … }

11 415 1[X = 15] (1 0,2) 0,2

4 1

− = − × −

P 0,0500 =

Infinito

02/05/2013

Distribución Binomial Negativa• APLICACIÓN 7: Un jefe de proyectos ha

comprobado … ¿Cuántos proyectos esperaríaque sean necesarios entregar al contratistahasta encontrar el cuarto que llega a tiempo?

4[X]

0,2=E

¿Cuál es la probabilidad de que tengan quellegar dentro 10 y 17 ordenes hasta que lleguela cuarta a tiempo?

[X 16] [X 10] ≤ − ≤P P[10 < X < 17]=P

20 ordenes =

10 16[Y 3] [Y 3] = ≤ − ≤P PYn ∼∼∼∼ B(n; 0,2)

0,281=

02/05/2013

Distribución Binomial Negativa

• De la distribución Binomial Negativa seconoce una transformación útil de ésta,como lo es, ensayos …hasta antes, … :

X ∼∼∼∼ BN(k; p) ⇒ RecX: { k, k + 1, … },Y = X – k ⇒ RecY: {0, 1, 2, … },

(1 )[Y]

k p

p

−=E

2

(1 )[Y]

k p

p

−=V

[Y]

[Y]p=E

V

Además del efecto en la función de masa, setienen relaciones que se pueden deducir a partirde los valores esperados, es decir:

2( [X])

[X] [X]k =

−E

V E

02/05/2013

Distribución Binomial Negativa• APLICACIÓN 8: Un sistema proyectado de

control de tráfico, incluye un nuevo tipo decarril para girar a la izquierda, concapacidad de espera de carril de tresvehículos (‘ver Figura’), vigilado por uninstrumento.

02/05/2013

Distribución Binomial Negativa• APLICACIÓN 8: Un sistema proyec ... Si en

promedio el número de vehículos necesariosque van al norte, hasta antes que llegue eltercer vehículos con desvío hacia el este es de6,4 con una varianza de 18,2 ¿Cuál es laprobabilidad de que tenga que esperar másde veinte vehículos con dirección Norte, paraobtener ocho que se desvíen hacia el Este?.Y: N° de vehículos con dirección norte hasta

antes del tercero que se desvía al este.RecY : {0, 1 , 2, … }

[X]

[X]p = E

V 2

6,4

18,2

x

s≈ = 0,3516p ≈

02/05/2013

Distribución Binomial Negativa• APLICACIÓN 8: Un sistema proyectado ...

¿Cuál es la probabilidad de que tenga queesperar más de veinte vehículos con direcciónNorte, para obtener ocho que se desvíen haciael Este?.X: N° de vehículos con dirección norte hasta

del octavo que se desvía al este.RecX : {8, 9 , 10, … }

X ∼∼∼∼ BN(8; 0,35)

20[X > 20] [Y 7]= ≤P P

Y20 ∼∼∼∼ B(20; 0,35)

0,6010=

02/05/2013

Proceso de Poisson• DEFINICIÓN 5: Proceso de Poisson. Un

proceso de conteo {N(t), t > 0}, es un Procesode Poisson, si:

– Cumple propiedad de incrementosindependientes.

– Cumple propiedad de incrementosestacionarios.

– Cumple propiedad de orden.

Sea N(t): Número de eventos que ocurren por unidad de tiempo. Entonces:

{ } ( )[N( ) ] , 0,1,2,...

!

nexp t tt n n

n

λ λ−= = =P

02/05/2013

Proceso de Poisson• Los cambios en las unidades de tiempo, área

o volumen tienen su efecto en la tasa ‘-’, lacual, en ciertos procesos, y bajo ciertascondiciones se asume constante en elperíodo de estudio.

• El la única distribución donde su tiempomedio esperado y su varianza son iguales.– „[N(t)] = -t ; •[N(t)] = -t.

• Posee un amplio uso en control estadísticosde la calidad, particularmente en muestreode aceptación.

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 9: Suponga que el número de

defectos en láminas de 1 metro por 2 metros sedistribuyen aleatoriamente en las láminas, conuna media de 6 defectos por lámina.¿Cuál es la probabilidad de que en una láminaescogida al azar se encuentren ocho defectos?.

X(t):= Número de defectos ent láminas, luegoX(1) ∼∼∼∼ c(6××××1)

�[X(1) = 8] = = 0,1033

• Probabilidades acumuladas se obtienen a travésde tablas.

8{ 6} 6

8!

exp − ×

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 9: Suponga que el número de defectos

en láminas de 1 metro …¿Cuál es la probabilidad de que en una láminaescogida al azar se encuentren no más de seisdefectos?.

�[X(1) ≤≤≤≤ 6] = = 0,6063

• ¿Cuál es la probabilidad de que en media láminaescogida al azar se encuentren no más de tresdefectos?.

X(1/2) ∼∼∼∼ c(6 ×××× 1/2 = 3)

⇒ �[X ≤≤≤≤ 3] = = 0,6472

6

0

{ 6} 6

!

x

x

exp

x=

− ×∑

3

0

{ 3} 3

!

x

x

exp

x=

− ×∑

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 9: Suponga que el número de

defectos en láminas de 1 metro …¿Cuál es la probabilidad de que sea necesarioescoger más de 15 láminas hasta encontrar laoctava con a lo más seis defectos?.

Y: N° de láminas hasta encontrar la octavacon a lo más seis defectos.Y ∼∼∼∼ BN(8; p) ⇒ p =�[X(1) ≤≤≤≤ 6] = 0,6063

�[Y > 15] =�[S15 ≤≤≤≤ 7] = 0,2131(S15 ∼∼∼∼ B(15; 0,60))

02/05/2013

Proceso de Poisson• PROPIEDAD 3: Considerando un Proceso de

Poisson {N(t), t > 0}, el cual se basa en laspropiedades de incrementos independientes yestacionarios, entonces para 0 <s < t, sepuede establecer:

[N( ) / N( ) ]s r t n= =P 1r n rn s s

r t t

− = × × −

n

r

02/05/2013

Proceso de Poisson• PROPIEDAD 4: Considerando un Proceso de

Poisson {N(t), t > 0}, el cual se basa en laspropiedades de incrementos independientes yestacionarios, entonces para 0 <s < t, sepuede establecer:

[N( ) / N( ) ]t n s r= =P

n

r

[N( ) ]t s n r= − = −P

n – r

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 10: El número de pasajes aéreos

vendidos por día con dirección a la Isla de Pascua esuna variable aleatoria bien modelada por unadistribución Poisson, con un promedio de ventas de 5pasajes al día, considerando que se trabaja seis díasa la semana en turnos de ocho horas. ¿Cuál es laprobabilidad de que en dos días se vendan al menos6 pasajes?.N(t) : N° de pasajes aéreos vendidos ent días.

⇒ N(1) ∼∼∼∼ c(5)�[N(2) ≥≥≥≥ 6] = 1 –�[N(2) ≤≤≤≤ 5] = 1 – 0,0671 = 0,9329⇒ N(2) ∼∼∼∼ c(5 ×××× 2 = 10)

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 10: El número de pasajes

aéreos vendidos por día … Si después demedio día de trabajo no se han vendidopasajes. ¿Cuál es la probabilidad que duranteese día se vendan no más de tres pasajes?.

�[N(0,5 + 0,5)≤≤≤≤ 3 / N(0,5) = 0]

= �[N(0,5) ≤≤≤≤ 3] = 0,7576

⇒ N(0,5) ∼∼∼∼ c(5 ×××× 0,5 = 2,5)

Pérdida de memoria

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 10: El número de pasajes aéreos

vendidos por día … ¿Cuantos días esperaría quefuesen necesarios hasta encontrar el cuarto día consólo dos pasajes vendidos?.

Y: N° de días hasta encontrar el cuarto con sólo dospasajes vendidos.

⇒ Y ∼∼∼∼ BN(4; p2)

p2 = �[N(1) = 2] = = 0,0842

„[Y] = = 47,5 [días]

2( 5) 5

2!

exp −

4

0,0842

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 8: Un sistema proyectado … El

instrumento cede el paso para girar a la izquierdaen el momento que la capacidad del carril estacompleta o si el tiempo de espera es de 10 minutosdesde la última vez que el instrumento cedió elpaso. Se supone que la interrupción en el tráficoO ⇔⇔⇔⇔ E es lo bastante grande para que al menosTres vehículos puedanrealizar su giro. Además,la probabilidad de que seocupe el carril justocuando han transcurrido10 minutos desde laúltima vez que elinstrumento cedió el pasoes insignificante.

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 8: Un sistema proyectado … Si

las llegadas al carril gobernado por elinstrumento están siendo modeladas por unproceso de Poisson con una media de cuatrovehículos cada veinte y cinco minutos. ¿Cuáles la probabilidad que el instrumento ceda elpaso de virar a la izquierda 5 minutos antesdel tiempo estipulado?.

N(t) : N° de vehículos que llega al carril entminutos.⇒ N(1) ∼∼∼∼ c(4/25)

�[N(5) = 3] = = 0,0383

34 45 5

25 253!

exp − × × ×

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 8: Un sistema proyectado … Si

un vehículo ha esperado sólo, durante cincominutos el pase del instrumento y este llegójusto antes que le instrumento negará el pase,¿cuál es la probabilidad que deba esperar tresminutos para que el instrumento ceda el pasode virar?.

�[N(3) > 1] = 1 –�[N(3) ≤≤≤≤ 1]= 1 – (�[N(3) = 0] + �[N(3) = 1])= 1 – 0,6188 – 0,2970 = 0,0842

�[N(3) = 2] = = 0,0713

24 43 3

25 252!

exp − × × ×

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 8: Un sistema proyectado …

¿Cuál es la probabilidad que se debe esperarmenos de ocho minutos para la llegada delprimer vehículo al carril?.

T: Tiempo necesario hasta la llegada delprimer vehículo al carril.

�[T > 8 ] = �[N(8) = 0]

= 0,2780

04 48 8

25 250!

exp − × × × =

= 0,7220

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 11: El número de vehículos que

pasan por cierta intersección es una variablealeatoria bien modelada por una DistribuciónPoisson, donde el tiempo medio entre llegadasde vehículos es de 4 minutos. Suponga que se hainstalado un contador automático para evaluarla cantidad de vehículos que pasa por el sector,sin embargo, este contador no está funcionandode manera apropiada, y cada vehículo tiene unaprobabilidad 9 de no ser contabilizado.

9

1 –9

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 11: El número ... ¿Cuál es la

probabilidad que pasen más de 10 vehículos en 30minutos?.

N(t) : Nº de vehículos que pasan por la intersecciónen t minutos. ⇒ N(1) ∼∼∼∼ c((1/4)××××1)

N1(t) : Nº de vehículos que pasan por la intersecciónno contabilizados ent minutos.

⇒ N1(1) ∼∼∼∼ c((1/4)××××9××××1)

�[N(30) > 10] = 1 –�[N(30) ≤≤≤≤ 10]

= 1 – 0,8622 = 0,1378

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 11: El número ... ¿Cuál es la

probabilidad que tengan que pasar más de 20minutos para la llegada de 6 vehículo a laintersección?.T: Tiempo necesario hasta la llegada del sexto

vehículo a la intersección.

�[T > 20] = �[N(20) ≤≤≤≤ 5] = 0,6160

¿Cuántos vehículos, como mínimo, esnecesario que pasen por la intersección en2160 segundos para tener una probabilidadde al menos 0,85?.

�[N(36) ≥≥≥≥ n] = 0,85 ⇒ n = 6(Probar iterativamente ó Ver Tabla)

02/05/2013

Proceso de Poisson• APLICACIÓN 11: El número ... Determine 9 si

se sabe que la probabilidad de que algúnvehículo no sea contabilizado por el contadoren ocho minutos es de 0,01.

�[N1(8) ≥≥≥≥ 1] = 0,01

�[N1(8) = 0] = 0,99

02/05/2013

Distribución Poisson• DEFINICIÓN 6: Aproximación de la distribución

Hipergeométrica por la Poisson. Cuando el tamañode una población (N) es grande, y el cuociente entreel tamaño de la muestra (n), y el tamaño de lapoblación (N) es menor al 5%, entonces se aceptaque la aproximación es buena a través de:

X ∼∼∼∼ H(N; N1; n) ≈≈≈≈ c(n ×××× N1/N).

A modo desimulaciónconsidere:

N = 100

N1 = 20

n = 10

02/05/2013

Distribución Exponencial• DEFINICIÓN 7: Considere una variable

aleatoria Continua, tal que su función dedensidad de probabilidad, sea expresada por:

1( / ) , 0, 0

xf x exp xθ θ

θ θ = − > >

X ∼∼∼∼ exp(1/θθθθ). ⇒ „[X] = θθθθ; •[X] = θθθθ 2.

02/05/2013

Distribución Exponencial• Su función de Distribución es explicita y permite

determinar cualquier probabilidad y cuantilasociado a esta distribución:

Función de Distribución (x > 0)

FX(x) = �[X ≤≤≤≤ x] = = 1 – exp{- x/θθθθ}

Determinación de Cuantiles

Pj ≈≈≈≈ FX(j) ⇒ 1 – exp{- x/θθθθ} = j

x = ln((1 – j)-θθθθ)

T0

( )x

f t dt∫

02/05/2013

Distribución Exponencial• APLICACIÓN 12: Suponga que la duración de

cierto componente electrónico, en horas, esuna variable aleatoria definida por T. Sepiensa que la función que modelaadecuadamente la duración del componente,en horas, está dada por:

fT (t) = ββββ exp{– ββββ t} ˆ[0; ∞∞∞∞[ (t),

Calcule la probabilidad de que la duración delcomponente, sobrepase su duración esperada.

�[T > ββββ-1] = exp{-1} = 0,3679 (SIEMPRE )

02/05/2013

• Posee una estrecha relación con la distribuciónPoisson:

N(t): Número de eventos en el intervalo (0,t)

Tiempo hasta la ocurrencia del primer evento.T

Tiempo entre eventos

T ∼∼∼∼ exp(-)

Distribución Exponencial

02/05/2013

Distribución Exponencial• APLICACIÓN 13: En una planta industrial de cátodos de

cobre, se han dado cuenta que el chancador es unelemento de vital importancia para la fabricación deéstos. Así, por estadísticas del equipo, se ha encontradoque posee un tiempo promedio entre fallas de 100 [días].Por condiciones del proceso de fabricación del chancador,producto del desgaste de las partes interiores, elchancador debe funcionar a intervalos de 250 [días]. Si sepuede suponer que el tiempo de vida del chancador, seencuentra modelada por una distribución exponencial.Determine el valor esperado de fallas que ocurre en unintervalo de tiempo:T: Tiempo de vida del chancador [días]. T∼∼∼∼ exp(0,01)N(t) : Número de fallas en intervalos de t días de

funcionamiento„[N(250)] = 250×××× 0,01 = 2,5 [fallas/int. de funcionamiento]

02/05/2013

Distribución Exponencial• APLICACIÓN 13: En una planta industrial de cátodos

de cobre, se han dado cuenta … ¿Cuál es laprobabilidad que tenga que esperar menos de 200[horas] para la ocurrencia de alguna falla?.

�[T < 200/24] = 1 –�[T > 200/24]= 1 –�[N(200/24) = 0] = 0,07996

¿Cuál es la probabilidad que en al menos 7 de 10intervalos no ocurran más de dos fallas?

Y:Número de Intervalos en que no ocurran más dedos fallas. Y∼∼∼∼ B(10; p)

p = �[N(250) ≤≤≤≤ 2] = 0,5438≈≈≈≈ 0,55 ⇒ �[Y ≥≥≥≥ 7] = 0,2660

02/05/2013

Familia Gamma• DEFINICIÓN 8: La distribución Gamma se presenta en

múltiples formas, dependiendo de dos parámetros:λλλλ,denominado parámetro de escala; yηηηη, denominadoparámetro de forma. Su función de densidad es:

donde:„[X] = ηηηη --1; •[X] = ηηηη --2.

• La distribución Gamma es un modelo muy popularen aplicaciones de ingeniería de: Teoría de colas ólíneas de espera, Confiabilidad, Energía Eólica,Hidrología, etc.

X (0, )

( ) { } ( )( )

1xf x exp x x

η ηλ λη

−

∞= −Γ

I

02/05/2013

Familia Gamma• Las formas asociadas a esta distribución van

desde distribuciones totalmente asimétricashasta distribuciones completamente simétricas

02/05/2013

Familia Gamma

• Su función de Distribución es no es explicita,salvo cuando su parámetro de forma es unnatural, lo cual permite determinar cualquierprobabilidad a través de una distribución dePoisson de forma exacta:

Función de Distribución (x > 0)

FX(x) = �[X ≤≤≤≤ x] = 1 –

= 1 –�[N(x) ≤≤≤≤ ηηηη – 1]

1

0

{ }( )

!

j

j

exp x x

j

η λ λ−

=

−∑

02/05/2013

• La relación que existe en el calculo deprobabilidades antes señalada, se debe a:

N(t): Número de eventos en el intervalo (0,t)

Tiempo hasta la ocurrencia del primer evento.T

Tiempo entre eventos

T i ∼∼∼∼ exp(-) ⇒ ΣΣΣΣ T i ∼∼∼∼ G(ηηηη; -)

Familia Gamma

02/05/2013

Familia Gamma• APLICACIÓN 13: En una planta industrial de

cátodos de cobre, se han dado cuenta … ¿Cuál es laprobabilidad que tenga que esperar al menos de 200[días] para la ocurrencia de la quinta falla?.

T: Tiempo de vida del chancador hasta laquinta falla [días]. T ∼∼∼∼ G(5; 0,01)

�[T > 200] = �[N(200) ≤≤≤≤ 4] = 0,9473

= 1 –

Naturalmente, el desarrollo de la integral es máscomplejo.

200 54

0

0,01{ 0,01 }

(5)t exp t dt−

Γ∫

02/05/2013

Familia Weibull• DEFINICIÓN 9: La distribución Weibull, al igual

que la Gamma se presenta en múltiples formas,dependiendo de dos parámetros:λλλλ, denominadoparámetro de escala; yαααα, denominado parámetro deforma. Su función de densidad es:

donde:„[X] =

•[X] =

X (0, )( ) { ( ) } ( )1f x x exp x xα α ααλ λ−∞= − I

1 1 1

λ α Γ +

2

2

1 2 1 1 1

α αλ

Γ + − Γ +

02/05/2013

Familia Weibull• Las formas asociadas a esta distribución van

desde distribuciones totalmente asimétricashasta distribuciones completamente simétricas,al igual que la distribución Gamma, solamenteque la Weibull decae rápidamente en el tiempo.

02/05/2013

Familia Weibull• Su función de Distribución es explicita y permite

determinar cualquier probabilidad y cuantilasociado a esta distribución:

Función de Distribución (x > 0)

FX(x) = �[X ≤≤≤≤ x] = = 1 – exp{–(-x)αααα}

Determinación de Cuantiles

Pj ≈≈≈≈ FX(j) ⇒ 1 – exp{–(-x)αααα} = j

x = --1 (ln((1 – j)-1))1/αααα

T0

( )x

f t dt∫

02/05/2013

Familia Weibull• APLICACIÓN 14: Un fabricante ofrece una

garantía de un año para su producto. Si elproducto llega a fallar durante ese período, sereemplaza. El tiempo (años) hasta la falla semodela aceptablemente con laf.d.p.dada por:

2

T ( ) exp{ }, 08 16

t tt tf = − >

¿Qué porcentaje de productos se espera usen lagarantía?

T ∼∼∼∼ W(αααα = 2; - = 0,25)

�[T ≤≤≤≤ 1] = 1 –exp{–(0,25××××1)2} = 0,0606≈≈≈≈ 6%

02/05/2013

Familia Weibull• APLICACIÓN 14: Un fabricante ofrece una

garantía de un año para …. El costo deproducción de un artículo es de $500 (dólares), y lautilidad por venta de una unidad es de $250(dólares). ¿Cuál es el efecto sobre las utilidadesesperadas en la fabricación de 100 productos, queprovocan las reposiciones debido al uso de lagarantía?

„[V(T)] = 250 �[T > 1] – 250�[T ≤≤≤≤ 1] = 220[dólares]

Utilidad esperada de 100 productos :220 ×××× 100 = 22.000 dólares

⇒ Efecto Neto 3.000 dólares

V(T) : Utilidad del producto 250 Si T 1

250 Si T 1

>− ≤

02/05/2013

Familia Weibull• APLICACIÓN 14: Un fabricante ofrece una

garantía de un año para …. ¿Cuál es laprobabilidad de que de 20 productos fabricadasfallen no más de 3?Y : Número de productos que fallan de los 20.⇒ Y ∼∼∼∼ B(20; 0,06)

�[Y ≤≤≤≤ 3] = 0,9710

¿Cuántos años se requieren como garantía tal que sesatisfaga la garantía en el 90% de las veces?

�[T > t] = 0,90 ⇒ t = 0,25-1 (ln((1 – 0,1 )-1))1/2

t = 1,30[años]

02/05/2013

Familia Uniforme

• DEFINICIÓN 10: La distribución Uniforme. Esun caso particular de la distribución Beta,cuando sus parámetros de forma toman losvalores! = ββββ = 1, en donde se tiene:

donde: „[X] = ; •[X] =

X ( , )1

( ) ( )a bf x xb a

=−

I

2

a b+ 2( )

12

b a−

02/05/2013

Familia Uniforme• Su función de Distribución es explicita y permite

determinar cualquier probabilidad y cuantilasociado a esta distribución: m

Función de Distribución (x > a)

FX(x) = �[X ≤≤≤≤ x] = =T ( )x

a

f t dt∫

Determinación de Cuantiles

Pj ≈≈≈≈ FX(j) ⇒ = j

x = j (b – a) + a

x a

b a

−−

x a

b a

−−

02/05/2013

Familia Normal• DEFINICIÓN 11: La distribución Normal, es una

distribución absolutamente simétrica, que dependede dos parámetros: µµµµ, denominado parámetro delocalización; y σσσσ, denominado parámetro de escala. Sufunción de densidad es:

donde:„[X] = µµµµ; •[X] = σσσσ 2.

21 1

( ) ( )22

xf x exp x

µσπσ

− = −

RI

02/05/2013

Familia Normal• Su función de distribución es no es explicita, sin

embargo, mediante una transformación, llamadaestandarización, permite determinar cualquierprobabilidad y cuantil asociada a una distribuciónnormal, es decir:

X ∼∼∼∼ N(µµµµ, σσσσ2), entonces:

Z ∼∼∼∼ N(0, 1), cuyas probabilidades están tabuladas ose encuentran disponible encalculadoras o excel.

XZ

µσ−=

02/05/2013

Familia Normal• Se establecen probabilidades en torno a la

distancia de la media con su desviaciónestándar, de gran aplicación en control deprocesos.

0,9973

02/05/2013

Distribución Normal• APLICACIÓN 15: El diámetro de un eje metálico

empleado en la unidad de disco de una computadorase supone tiene distribución normal. La media actualdel proceso de fabricación de 0,1505[plg.] ycoeficiente de variación de 0,004. Se handeterminado los límites de especificación para eldiámetro del eje como 0,1500… 0,0015[plg.]. Calculela fracción de ejes producidos que cumplen con lasespecificaciones.

X: Diámetro de un eje metálico[plg.]

X ∼∼∼∼ N (0,1505,σσσσ2);CV = 0,004⇔⇔⇔⇔ σσσσ = 0,004µµµµ ⇒ σσσσ = 0,000602

�[X < 0,1485] =�[Z ≤≤≤≤ -3,32] = 0,0005�[X < 0,1515] =�[Z ≤≤≤≤ 1,66] = 0,9515 0,9515

02/05/2013

Familia Normal• APLICACIÓN 16: Las bandas de plástico que se

utilizan en un dispositivo electrónico para detección,se fabrican de manera que satisfagan unaespecificación de valor máximo de 305,28 mm. y unaespecificación mínima de 304,55 mm. Si la dimensiónde las bandas es menor que la especificación mínima,se desechan, si son más grandes que la especificaciónmáximas, se reelaboran. Se ha probado que lasdimensiones de estas piezas están distribuidasnormalmente con una desviación estándar de 0,25mm. y que sólo el 5% de las bandas se desechan.¿Cuál es el tamaño medio de las bandas de plástico?.

X: Dimensión de las bandas de plástico [en mm.]

⇒ X ∼∼∼∼ N (µµµµ, (0,25)2)

�[X < 304,55] = 0,05 Estandarizar es la clave

02/05/2013

Familia Normal• APLICACIÓN 16: Las bandas de plástico que se

utilizan en un dispositivo electrónico … ¿Cuál es eltamaño medio de las bandas de plástico?.X: Dimensión de las … ⇒ X ∼∼∼∼ N (µµµµ, (0,25)2)

�[X < 304,55] = 0,05

µ = 304,96 [mm]

¿Qué porcentaje de bandas se reelabora?

�[X > 305,28] = 1 –�[Z ≤≤≤≤ 1,28] = 0,1003

304,550,05

0,25Z

µ− ≤ =

P304,55

1,6450,25

µ− = −

02/05/2013

Familia Normal• APLICACIÓN 17: El tiempo requerido, en

minutos, para reparar una máquinaautomática de carga en una operación deempaque de alimentos de un proceso deproducción, se encuentra bien ajustada por unmodelo normal, donde el 2,28% de lasreparaciones tiene un tiempo inferior a 112,00minutos, mientras que un 5% de las veces estetiempo es superior a 126,58 minutos.X : Tiempo en reparación de

las máquinas[en minutos]⇒ X∼∼∼∼ N(µµµµ, σσσσ2)

�[X > 126,58] = 0,05�[X ≤≤≤≤ 112,00] = 0,0228

02/05/2013

Familia Normal• APLICACIÓ N 17: El tiempo requerido, en

minutos, ... . Determine el tiempo medio en lareparación de la máquina y su varianza.

X 1120,0228

µ µσ σ− − ≤ =

P112

2,00µ

σ− = −

X 126,580,95

µ µσ σ− − ≤ =

P

126,581,645

µσ

− = 112

2

µ−−126,58

1,645

µ−=

µ= 120 [min.]

σσσσ = 4 [min.]

02/05/2013

p = �[ X > 125] = 1 –�[Z ≤≤≤≤ 1,25] = 0,1056

�[Y > 20] = �[S20 ≤≤≤≤ 2] = 0,6769

S20 ∼∼∼∼ b(20; 0,10)

Familia Normal• APLICACIÓN 17: El tiempo requerido, en

minutos, ... . Si el proceso se interrumpe por másde 125 minutos, todo el equipo debe ajustarse.¿Cuál es la probabilidad que se requiera iniciarmás de 20 veces el proceso para encontrar reciénla tercera que el equipo deba ajustarse?.Y: N° de veces que se inicia el proceso hasta

encontrar la tercera en que el equipo deba serajustado. ⇒ Y ∼∼∼∼ bN(3; p)

125 120

4

−

02/05/2013

„[C(X)] = CR �[ X ≤≤≤≤ 125] + (10.000 + CR) �[ X > 125]

= 0,8944 CR + 0,1056 (10.000 + CR)

= CR + 1.056

Familia Normal• APLICACIÓN 17: El tiempo requerido, en

minutos, ... . Si el costo de reparación de lamáquina es CR [US], y el costo adicionalcuando debe ajustarse el equipo es de $ 10.000[US]. Calcule el costo total esperado dereparación de una máquina.

C(X): Costo total en reparación …

X 125(X)

10.000 X > 125R

R

CC

C

≤ +

02/05/2013

„[C(X)] = CR’ �[ X ≤≤≤≤ 125] + (10.000 + CR’) �[ X > 125]

= CR’ �[Z ≤≤≤≤ 2,5] + (10.000 + CR’)

(1 –�[Z ≤≤≤≤ 2,5])

Familia Normal• APLICACIÓN 17: El tiempo requerido, en

minutos, ... . La Gerencia se compromete a untiempo medio en reparación de la máquina de115 [minutos], utilizando más personal demantenimiento, lo que conlleva a queCRaumente a CR’. ¿Cuál es el monto esperadomáximo requerido para aceptar este aumentode personal?.

X ∼∼∼∼ N(115; 42)

02/05/2013

„[C(X)] = 0,9938 CR’ + 0,0062 (10.000 + CR’)

= CR’ + 62

⇒ CR’ + 62 < CR + 1.056

⇒ CR’ – CR < 994

Familia Normal• APLICACIÓN 17: El tiempo requerido, en

minutos, ... . La Gerencia se compromete a untiempo medio en reparación de la máquina de115 [minutos], …

02/05/2013

Aplicaciones en Confiabilidad• DEFINICIÓN 12: La confiabilidad de un

sistema, sea simple o compuesto, en el tiempot, Simbolizada pore(t), está definida como:

e(t) = �[T > t],

donde T es la duración del sistema ye(t) sedenomina función de confiabilidad. Ademásse puede expresar en:

e(t) = 1 –�[T ≤≤≤≤ t] = 1 – FT(t), derivando

e’( t) = – fT(t).

02/05/2013

Aplicaciones en Confiabilidad• DEFINICIÓN 13: La tasa de falla de un sistema,

sea simple o compuesto, en el tiempot,Simbolizada por r(t), está definida como laproporción de unidades que fallan en el intervalode tiempo (t, t + ∆∆∆∆t). cuyo cálculo matemáticoesta dado por:

• DEFINICIÓN 14: El tiempo Medio hasta la falla(MTTF, Mean time to failure) o vida esperada deun producto se define por la cantidad:

T ( ) '( )( )

( ) ( )

f t tr t

t t

−= = ee e

( ) ( )

Inf Inf

tf t dt t dtµ∞ ∞

= =∫ ∫ e

02/05/2013

Aplicaciones en Confiabilidad• Las tasas de falla de un componente simple,

en el tiempo t, Simbolizada por r(t), para lasdistribuciones más usuales en la bibliografíade confiabilidad

0,01,02,03,04,05,0r(x)

x

Caso Exponencial

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0r(t)

t

Caso Weibull (αααα < 1)

02/05/2013

Aplicaciones en Confiabilidad• DEFINICIÓN 15: Sistemas con Componentes en

Paralelo, Suponga que un sistema está compuestopor n componentes, que funcionan de maneraindependiente, entonces un configuración enparalelo es aquella que se representa por lasiguiente figura:

es(t)= �[T > t]

= �[C1 > t ∪∪∪∪ ... ∪∪∪∪ Cn > t]

=1 –�[(C1 > t ∪∪∪∪ ... ∪∪∪∪ Cn > t)c]

= 1 – �[C1 < t ∩∩∩∩ ... ∩∩∩∩ Cn < t]

= 1 – (1 –e(t))n

02/05/2013

Aplicaciones en Confiabilidad• DEFINICIÓN 16: Sistemas con Componentes en

Serie, Suponga que un sistema está compuestopor n componentes, que funcionan de maneraindependiente, entonces una configuración enserie es aquella que se representa por la siguientefigura :

es(t)= �[T > t] = �[C1 > t ∩∩∩∩ ... ∩∩∩∩ Cn > t]

= �[C1 > t] ×××× ... ×××× �[ Cn > t]

= (e(t))n

02/05/2013

Aplicaciones en Confiabilidad• DEFINICIÓN 17: Sistemas Mixtos, Suponga que

un sistema está compuesto por ncomponentes, que funcionan de maneraindependiente, entonces una configuraciónmixta es aquella donde un conjunto decomponentes están configurados enparalelos, mientras que otro conjunto seencuentra en serie.

• Este tipo de sistemas, deben ser reducidos asubsistemas que entre ellos trabajen conalguna de las dos configuraciones clásicas, esdecir, en paralelo o en serie.

02/05/2013

Aplicaciones en Confiabilidad• APLICACIÓN 18: Suponga que el tiempo de vida T

(en días) de un componente electrónico estamodelado en forma independiente por lasiguiente función de densidad:

Suponga que un sistema esta compuesto porcuatro componentes del mismo tipo quefuncionan independientemente, con unaconfiguración mixta. Determine e interprete latasa de falla del segundo componente y realiceun bosquejo aproximado de ella.

( 1)T ( ) 20 , 20, 0f t t tα αα α− += > >

02/05/2013

Aplicaciones en Confiabilidad• APLICACIÓN 18: Suponga que el tiempo de …

T T

20

F ( ) ( )

t

t f t dt= ∫ α ( 1)

20

α 20

t

t dtα− += ∫( 1) 1

α

20

= α 20(α 1) 1

tt α− + +

− + +

201

t

α = −

T ( )( )

( )

f tr t

t=e

(α 1)

α

α 20

20

t

t

α

α

− +

−=α

t=

02/05/2013

Aplicaciones en Confiabilidad• APLICACIÓN 18: Suponga que el tiempo de …

Determine la función de confiabilidad del sistema ydetermine la probabilidad de que el sistema duremás de 80 días siαααα = 0,8.

es(t) = �[C1 > t ∩∩∩∩ ((C3 > t ∩∩∩∩ C4 > t) ∪∪∪∪ C2 > t)]= �[C1 > t] (1 –�[(C3 < t ∪∪∪∪ C4 < t) ∩∩∩∩ C2 < t])= �[C1 > t] (1 – (�[C3 < t ∪∪∪∪ C4 < t] �[C2 < t]))= �[C1 > t] (1 – (1 –�[C3 > t ∩∩∩∩ C4 > t])

(1 –�[C2 > t])))= �[C1 > t] (1 – (1 –�[C3 > t] �[C4 > t])

(1 –�[C2 > t])))= e(t) (1 – (1 –e2(t)) (1 –e(t)))

e(80) = = 0,13290,8 1,6 0,8

20 20 201 1 1

80 80 80

− − × −

02/05/2013

Aplicaciones en Confiabilidad• APLICACIÓN 19: Suponga que el tiempo de vida T (en

decenas de años) de un componente electrónico estamodelado en forma independiente por la siguientefunción de densidad:

Suponga que un sistema esta compuesto por cuatrocomponentes del mismo tipo que funcionan en formaindependientes, con la siguiente configuración:

{ }

2T ( ) 8 4 , 0f t t exp t t= − >

02/05/2013

Aplicaciones en Confiabilidad• APLICACIÓN 18: Suponga que el tiempo de vida T (en

decenas … Determine la confiabilidad de sistema yevalúela a los tres años.

T : Tiempo de vida de un componente. T ~ W(2, 2)⇒ e(t) = exp{–4 t 2}

es(t) = �[C1 > t ∩∩∩∩ C2 > t ∩∩∩∩ (C3 > t ∪∪∪∪ C4 > t)]= �[C1 > t] �[C2 > t]) (1 – (1 –�[C3 > t])

(1 –�[C4 > t]))

= e2(t) ×××× (1 – (1 –e(t))2)

= exp{–8 t2} (1 – (1 –exp{–4 t2})2)= 2 exp{–12 t2} – exp{–16 t2} ⇒es(3/10) = 0,4423

02/05/2013

Aplicaciones en Confiabilidad• APLICACIÓN 19: Suponga que el tiempo de vida T (en

decenas … ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo devida del sistema se encuentre entre los dos y cuatroaños?.

Ts : Tiempo de vida del sistema.

�[2/10 < Ts < 4/10]=�[T s < 4/10] –�[T s < 2/10]= 1 –es(4/10) – (1 –es(2/10))= 0,7103 – 0,2159 = 0,4944

Realice un bosquejo aproximado de la tasa de falladel sistema