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8/4/2019 20862314-mecanica-de-fluidos

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FLUJO

POTENCIAL


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FLUJO POTENCIAL

Superponer varios flujos potenciales simples para construir unflujo.

El flujo potencial representa a los flujos sin viscosidad

Es posible estudiarlos tericamente

Proporciona las condiciones de frontera a utilizarse en la solucinde la capa lmite.

Objetivo


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CONCIDERACIONES BSICAS

- Flujo bidimensional, permanente, incompresible e

irrotacional.- Condiciones de contorno para flujo no viscoso.- Conservacin de masa- Fsica y matemticas necesarias para la mecnica de

fluidos


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FISICA Y MATEMATICAS NECESARIAS PARA LA MECANICA DEFLUIDOS

DERIVADAS PARCIALES

2( , ) 2 cos(3 )

2 2 cos(3 )

???

F x y yx x y

Fxy y

x

Fy

REGLA DE LA CADENA( , )

( , )

( , )

???

F F A B

A x y

B x y

F F A F B

x A x B x

F

y


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r

X

Y

Z

r xi yj zk

V ui vj wk

dr dx dy dzV i j k

dt dt dt dt

, ,dx dy dz

u v wdt dt dt

VECTORES

Considere el movimiento de una partcula. Denotando como r el vector posicin(desplazamiento) de la partcula, y los vectoresi, j, y k denotan alos vectores unitarriosen la direccin X, Y y Z, respectivamente. Luego

El vector velocidad V del movimientode un punto es dado por:

donde por definicin

Por lo tanto:


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Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

OPERADOR NABLA

Es un operador diferencial representado por el smbolo V (nabla).

Este operador puede aplicarse a campo escalares o a camposvectoriales


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Lneas de Corriente

Es un lugar geomtrico de los puntos tangentes al vector velocidadde las partculas de fluido en instante t .

v

y

u

x

Ecuacin de la lnea de corriente en formavectorial


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CAPA LMITE

Prandtl 1904: Explica la resistencia de los cuerpos currentilineos, placas

planas paralelas al flujo y similares en flujo de pequea viscosidad

Los efectos friccionantes del flujo se confinan a la capa limite y quiz a unaestela detrs de un cuerpo pero fuera de la capa limite la viscosidad del fluidono tiene efecto el fluido es sin friccin e irrotacional


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V=0 en A y C Punto de estancamiento

En A y C V=0 Punto de estancamiento

En A y C la presin es mximo

En B la velocidad es mximo y la presin es mnimo

a) Flujo inviscido

b) Flujo existente

Flujo alrededor de una esfera

Regin separada

Capa lmite


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FUNCIN CORRIENTE

Se basa en el principio de la continuidad y las propiedades de lalnea de corriente.


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)........(1udyvdx

:estoralderivadala),(:Si yx

.....(2)dyy

d xx

d

Comparando ambas expresiones se tiene :

.......(3)y

ux

v

El flujo entre las lineas de corriente puede ser cuantificado por:


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La ecuacin de Vorticidad:

yuv

x

expresados en trminos de :

2

2

2

2

x y

Para flujos irrotacionales z =0

0x

2

2

2

2

2

y

Ecuacin deLaplace


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POTENCIAL DE VELOCIDADEs una funcin (x,y) cuya derivada negativa con respecto a la distancia

en cualquier direccin proporciona la velocidad en dicha direccin.

),(),(

vuVyx

y-v

dxu

gradV

Solo los campos irrotacionales pueden ser representado por una funcinpotencial

Es perpendicular a la funcin de corriente

De la definicin:

La funcin escalar se llama Potencial de Velocidad


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Si el flujo es considerado incompresible y estable, introduciendo en

la ecuacin de continuidad.

0y

v

dx

u

Se obtiene:

02

2

2

22

yx

La ecuacin

de Laplace.


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RELACIN ENTRE LA FUNCIN DE LA CORRIENTE Y ELPOTENCIAL DE VELOCIDAD

xyv

dxu

y

Ecuacin de Cauchy-Riemann


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RELACIN ENTRE LAS LNEAS DE CORRIENTES YLAS LNEAS EQUIPOTENCIALES

Las lneas son constantes forman una familia de lneas de corrientes, ahora se veraque las lneas de son constantes o lneas equipotenciales constituyendo otra familia delneas ortogonales a la lneas de corrientes, las dos familias de curvas constituyen unamalla ortogonal conocida como red de flujo.

u

v

dx

dy

udyvdxdyy

dxx

c

0Lnea de corrientes cte:


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COORDENADAS POLARES

Es un sistema de coordenadas bidimensionales en el cual cadapunto (posicin) en el plano esta determinado por una ngulo yuna distancia

(1)

(2)


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Las componentes radial y tangencial de la velocidad en coordenadaspolares.

......(3)

ry

yrx

xr

De (1) y (2) en (3):

sencos

yxr

Componentes radiales de velocidad:

rVrVr

Sustituyendo las derivadas parciales del Potencial de Velocidad porlas componentes de la velocidad.

)sencos( VyVxr

Vx y Vy componentes de la velocidad

en la direccin radial


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En funcin de la funcin corriente:

rrVr

V

Relaciones polares en funcin de corrientes y en potencial de

velocidad

rr

rr


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FLUJOS BSICOS


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Un Flujo Uniforme es aquel que tiene magnitud constante. (V0)

Flujo rectilneo

1c

1k 2k 3ky

x

2c

3c

4c

0V

en una misma direccin.


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En el campo de Flujo: u=V v=0

CUydxVdy )0(

La funcin corriente se obtiene:

Para = 0 la lnea de corriente coincide con el eje x

Funcin de corriente

Potencial de velocidad

Vy

Vx


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En coordenadas polares donde: y = rsen

= Vrsen

Vy

x

r

0

0


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Fuente y sumidero

Fuente y sumidero son dos conceptos

matemticos. Son dos puntos singulares enmedio del fluido, en el cual la materia (sale) o

es extrada (Sumidero)


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El componente radial y tangencial de la velocidad.

0

2

rV

r

q

rVr

r = mdulo del vector posicinq = Caudal (Intensidad) a travs de cualquier

banda

A travs de todos los crculos de radio r pasara el mismo rgimen deflujo q.


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Fuente :

2

q

Funcin de corriente

q= caudal por unidadde profundidad

= arc tang. (y/x)


rq

ln2

= fuerza de la fuente2

q


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Sumidero :

2

q

Funcin de corriente

= arc tang. (y/x)q= caudal por unidad de

profundidad


rq

ln2

= fuerza de la fuente2

q


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Vrtice libre o irrotacionalEl vrtice libre esta descrito por lneas de corriente circulares

concntricas y con distribuciones de velocidades tal que elcampo de flujo es irrotacional.

Las componentes radiales de velocidad

en todas partes es igual a 0.

tVr 2CiculacinLa

r

Se obtiene un vrtice bidimensional si se toma la funcin de corrientede la fuente como funcin potencial

La circulacin es la magnitud delvrtice


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Funcin de corriente

dextrgiroVrticeln2

VoticedelFuerza,ln2

02

0,2

r

r

cddrr

Vrr

Vrt

Funcin potencial

2


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La circulacin a lo largo de cualquier curvacerrada coincidente con cualquier lnea decorriente se calcula:

2

ln2

VelocidaddePotencial

rCorrienteFuncin


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SUPERPOSICIN DEFLUJOS


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Fuente en un Flujo Rectilneo

La superposicin de una fuente y un flujo rectilneo

s

Xs

V


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2

2

VelocidaddePotencial

qVrsenCorrienteFuncin


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La distancia entre el punto de estancamiento s y el origen es x

q

vxs2

Donde q es la intensidad de la fuenteY v la velocidad del flujo

Contorno de Cuerpo 22qq

senVr

Componente de Velocidad Vr y Vt

rqVqsenV

rrV rr

2cos

21

Vsen

qsenV

rrV rt

2


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FUENTE Y SUMIDERO DE IGUAL FUERZA

El campo de flujo producido por una fuente y un sumiderode igual fuerza, el rgimen de flujo total pasa de uno a otro

y se caracteriza por una familia de lneas de corrientesoriginadas en la fuente y que terminan en el sumidero.


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La Funcin Corriente del campo de flujo es

12

2121

2

2

22

donde

qqqqt

La Funcin de Corriente en coordenadas cartesianas

ax

y

ax

yqarctanarctan

2


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FUENTE Y SUMIDERO DE IGUAL FUERZA ENUN FLUJO RECTILINEO

De la combinacin de un fujo rectilneo con una fuente y unsumidero de igual fuerza resulta el ovalo de Rankine.

V

f s

1 22

b

1r

2r


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Funcin de Corriente 1.........arctanarctan

2

ax

y

ax

yqVy

El contorno del cuerpo

Va

qa

l

1

2

b\2 se obtiene para x=0; y=b\2 y =0 en (1)


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Potencial de Velocidad

3........2

senVq

rsft

Funcin de Corriente

senVrrq rsft lnln2


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Doblete

Un doblete se define como el resultado de la sumade la fuente y un sumidero de igual intensidad cuandoSe aproximan uno al otro.

21

22

0

0

:

rrr

sen

a

Como

asensenrAB 22

a a

1 2


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Funcin de Corriente

r

asenq

2

2

Sea 2qa=m fuerza del doblete

r

mseny

2


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DOBLETE EN FLUJO RECTILINEO

Cuando se combina el doblete con el flujo rectilneo resulta uncaso limite del ovalo de Rankine.

S S

V


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Funcin de Corriente

r

msensenVr

2

En contorno 0

senr

RrV

V

mR

2

2dobletedelfuerza,VR2mdonde

cte.R2


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Componente Radial de la Velocidad:

Componente tangencial de la Velocidad:

cos)1(

2

2

r

RV

r

vr

senr

RVrv

t )1( 2

2

Potencial de Velocidad:

Funcin de Corriente:

r

qvr

cos

cos

r

senqsenvr


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EL DOBLETE EN EL FLUJO RECTILINEO CONCIRCULACIN

Se puede construir otro campo de flujo til por superposicin de:Vrtice libre, un doblete y un flujo rectilneo uniforme.

Obtenindose la Funcin de corriente:

cos2

)(2 sen

r

RrV


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Las Componentes de Velocidad

cos)1(

2

2

r

RV

r

vr

rsen

rRV

rvt

2)1(

2

2


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En el contorno del cuerpo r=R vr=0

RVsenvt

22

En el punto de estancamiento: 0tv

VRsen

4

Fx, Fy = Fuerzas ejercidas

por el fluido sobre el circulo.


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1.senntoestancamiedepuntosdoslosonconfundierse,

esd''degrandeamsvalorelPara

2

vertical.ejesusobreycrculodeldebajolugaralgunenencontrarasentoestancamiedepuntoel,1VR4Para

VR41

R

14

VR

R


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Conociendo u y v la funcin corriente es:

Cdy

ydx

x

La ecuacin de continuidad:

......(4)0x

y

vu

Sustituyendo el (3):

xyyxx

22o)

x(

y)

y(


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