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FLUJO
POTENCIAL
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FLUJO POTENCIAL
Superponer varios flujos potenciales simples para construir unflujo.
El flujo potencial representa a los flujos sin viscosidad
Es posible estudiarlos tericamente
Proporciona las condiciones de frontera a utilizarse en la solucinde la capa lmite.
Objetivo
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CONCIDERACIONES BSICAS
- Flujo bidimensional, permanente, incompresible e
irrotacional.- Condiciones de contorno para flujo no viscoso.- Conservacin de masa- Fsica y matemticas necesarias para la mecnica de
fluidos
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FISICA Y MATEMATICAS NECESARIAS PARA LA MECANICA DEFLUIDOS
DERIVADAS PARCIALES
2( , ) 2 cos(3 )
2 2 cos(3 )
???
F x y yx x y
Fxy y
x
Fy
REGLA DE LA CADENA( , )
( , )
( , )
???
F F A B
A x y
B x y
F F A F B
x A x B x
F
y
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r
X
Y
Z
r xi yj zk
V ui vj wk
dr dx dy dzV i j k
dt dt dt dt
, ,dx dy dz
u v wdt dt dt
VECTORES
Considere el movimiento de una partcula. Denotando como r el vector posicin(desplazamiento) de la partcula, y los vectoresi, j, y k denotan alos vectores unitarriosen la direccin X, Y y Z, respectivamente. Luego
El vector velocidad V del movimientode un punto es dado por:
donde por definicin
Por lo tanto:
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Gradiente
Divergencia
Rotacional
Laplaciano
OPERADOR NABLA
Es un operador diferencial representado por el smbolo V (nabla).
Este operador puede aplicarse a campo escalares o a camposvectoriales
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Lneas de Corriente
Es un lugar geomtrico de los puntos tangentes al vector velocidadde las partculas de fluido en instante t .
v
y
u
x
Ecuacin de la lnea de corriente en formavectorial
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CAPA LMITE
Prandtl 1904: Explica la resistencia de los cuerpos currentilineos, placas
planas paralelas al flujo y similares en flujo de pequea viscosidad
Los efectos friccionantes del flujo se confinan a la capa limite y quiz a unaestela detrs de un cuerpo pero fuera de la capa limite la viscosidad del fluidono tiene efecto el fluido es sin friccin e irrotacional
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V=0 en A y C Punto de estancamiento
En A y C V=0 Punto de estancamiento
En A y C la presin es mximo
En B la velocidad es mximo y la presin es mnimo
a) Flujo inviscido
b) Flujo existente
Flujo alrededor de una esfera
Regin separada
Capa lmite
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FUNCIN CORRIENTE
Se basa en el principio de la continuidad y las propiedades de lalnea de corriente.
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)........(1udyvdx
:estoralderivadala),(:Si yx
.....(2)dyy
d xx
d
Comparando ambas expresiones se tiene :
.......(3)y
ux
v
El flujo entre las lineas de corriente puede ser cuantificado por:
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La ecuacin de Vorticidad:
yuv
x
expresados en trminos de :
2
2
2
2
x y
Para flujos irrotacionales z =0
0x
2
2
2
2
2
y
Ecuacin deLaplace
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POTENCIAL DE VELOCIDADEs una funcin (x,y) cuya derivada negativa con respecto a la distancia
en cualquier direccin proporciona la velocidad en dicha direccin.
),(),(
vuVyx
y-v
dxu
gradV
Solo los campos irrotacionales pueden ser representado por una funcinpotencial
Es perpendicular a la funcin de corriente
De la definicin:
La funcin escalar se llama Potencial de Velocidad
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Si el flujo es considerado incompresible y estable, introduciendo en
la ecuacin de continuidad.
0y
v
dx
u
Se obtiene:
02
2
2
22
yx
La ecuacin
de Laplace.
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RELACIN ENTRE LA FUNCIN DE LA CORRIENTE Y ELPOTENCIAL DE VELOCIDAD
xyv
dxu
y
Ecuacin de Cauchy-Riemann
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RELACIN ENTRE LAS LNEAS DE CORRIENTES YLAS LNEAS EQUIPOTENCIALES
Las lneas son constantes forman una familia de lneas de corrientes, ahora se veraque las lneas de son constantes o lneas equipotenciales constituyendo otra familia delneas ortogonales a la lneas de corrientes, las dos familias de curvas constituyen unamalla ortogonal conocida como red de flujo.
u
v
dx
dy
udyvdxdyy
dxx
c
0Lnea de corrientes cte:
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COORDENADAS POLARES
Es un sistema de coordenadas bidimensionales en el cual cadapunto (posicin) en el plano esta determinado por una ngulo yuna distancia
(1)
(2)
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Las componentes radial y tangencial de la velocidad en coordenadaspolares.
......(3)
ry
yrx
xr
De (1) y (2) en (3):
sencos
yxr
Componentes radiales de velocidad:
rVrVr
Sustituyendo las derivadas parciales del Potencial de Velocidad porlas componentes de la velocidad.
)sencos( VyVxr
Vx y Vy componentes de la velocidad
en la direccin radial
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En funcin de la funcin corriente:
rrVr
V
Relaciones polares en funcin de corrientes y en potencial de
velocidad
rr
rr
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FLUJOS BSICOS
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Un Flujo Uniforme es aquel que tiene magnitud constante. (V0)
Flujo rectilneo
1c
1k 2k 3ky
x
2c
3c
4c
0V
en una misma direccin.
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En el campo de Flujo: u=V v=0
CUydxVdy )0(
La funcin corriente se obtiene:
Para = 0 la lnea de corriente coincide con el eje x
Funcin de corriente
Potencial de velocidad
Vy
Vx
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En coordenadas polares donde: y = rsen
= Vrsen
Vy
x
r
0
0
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Fuente y sumidero
Fuente y sumidero son dos conceptos
matemticos. Son dos puntos singulares enmedio del fluido, en el cual la materia (sale) o
es extrada (Sumidero)
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El componente radial y tangencial de la velocidad.
0
2
rV
r
q
rVr
r = mdulo del vector posicinq = Caudal (Intensidad) a travs de cualquier
banda
A travs de todos los crculos de radio r pasara el mismo rgimen deflujo q.
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Fuente :
2
q
Funcin de corriente
q= caudal por unidadde profundidad
= arc tang. (y/x)
Potencial de velocidad
rq
ln2
= fuerza de la fuente2
q
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Sumidero :
2
q
Funcin de corriente
= arc tang. (y/x)q= caudal por unidad de
profundidad
Potencial de velocidad
rq
ln2
= fuerza de la fuente2
q
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Vrtice libre o irrotacionalEl vrtice libre esta descrito por lneas de corriente circulares
concntricas y con distribuciones de velocidades tal que elcampo de flujo es irrotacional.
Las componentes radiales de velocidad
en todas partes es igual a 0.
tVr 2CiculacinLa
r
Se obtiene un vrtice bidimensional si se toma la funcin de corrientede la fuente como funcin potencial
La circulacin es la magnitud delvrtice
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Funcin de corriente
dextrgiroVrticeln2
VoticedelFuerza,ln2
02
0,2
r
r
cddrr
Vrr
Vrt
Funcin potencial
2
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La circulacin a lo largo de cualquier curvacerrada coincidente con cualquier lnea decorriente se calcula:
2
ln2
VelocidaddePotencial
rCorrienteFuncin
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SUPERPOSICIN DEFLUJOS
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Fuente en un Flujo Rectilneo
La superposicin de una fuente y un flujo rectilneo
s
Xs
V
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2
2
VelocidaddePotencial
qVrsenCorrienteFuncin
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La distancia entre el punto de estancamiento s y el origen es x
q
vxs2
Donde q es la intensidad de la fuenteY v la velocidad del flujo
Contorno de Cuerpo 22qq
senVr
Componente de Velocidad Vr y Vt
rqVqsenV
rrV rr
2cos
21
Vsen
qsenV
rrV rt
2
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FUENTE Y SUMIDERO DE IGUAL FUERZA
El campo de flujo producido por una fuente y un sumiderode igual fuerza, el rgimen de flujo total pasa de uno a otro
y se caracteriza por una familia de lneas de corrientesoriginadas en la fuente y que terminan en el sumidero.
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La Funcin Corriente del campo de flujo es
12
2121
2
2
22
donde
qqqqt
La Funcin de Corriente en coordenadas cartesianas
ax
y
ax
yqarctanarctan
2
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FUENTE Y SUMIDERO DE IGUAL FUERZA ENUN FLUJO RECTILINEO
De la combinacin de un fujo rectilneo con una fuente y unsumidero de igual fuerza resulta el ovalo de Rankine.
V
f s
1 22
b
1r
2r
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Funcin de Corriente 1.........arctanarctan
2
ax
y
ax
yqVy
El contorno del cuerpo
Va
qa
l
1
2
b\2 se obtiene para x=0; y=b\2 y =0 en (1)
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Potencial de Velocidad
3........2
senVq
rsft
Funcin de Corriente
senVrrq rsft lnln2
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Doblete
Un doblete se define como el resultado de la sumade la fuente y un sumidero de igual intensidad cuandoSe aproximan uno al otro.
21
22
0
0
:
rrr
sen
a
Como
asensenrAB 22
a a
1 2
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Funcin de Corriente
r
asenq
2
2
Sea 2qa=m fuerza del doblete
r
mseny
2
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DOBLETE EN FLUJO RECTILINEO
Cuando se combina el doblete con el flujo rectilneo resulta uncaso limite del ovalo de Rankine.
S S
V
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Funcin de Corriente
r
msensenVr
2
En contorno 0
senr
RrV
V
mR
2
2dobletedelfuerza,VR2mdonde
cte.R2
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Componente Radial de la Velocidad:
Componente tangencial de la Velocidad:
cos)1(
2
2
r
RV
r
vr
senr
RVrv
t )1( 2
2
Potencial de Velocidad:
Funcin de Corriente:
r
qvr
cos
cos
r
senqsenvr
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EL DOBLETE EN EL FLUJO RECTILINEO CONCIRCULACIN
Se puede construir otro campo de flujo til por superposicin de:Vrtice libre, un doblete y un flujo rectilneo uniforme.
Obtenindose la Funcin de corriente:
cos2
)(2 sen
r
RrV
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Las Componentes de Velocidad
cos)1(
2
2
r
RV
r
vr
rsen
rRV
rvt
2)1(
2
2
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En el contorno del cuerpo r=R vr=0
RVsenvt
22
En el punto de estancamiento: 0tv
VRsen
4
Fx, Fy = Fuerzas ejercidas
por el fluido sobre el circulo.
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1.senntoestancamiedepuntosdoslosonconfundierse,
esd''degrandeamsvalorelPara
2
vertical.ejesusobreycrculodeldebajolugaralgunenencontrarasentoestancamiedepuntoel,1VR4Para
VR41
R
14
VR
R
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Conociendo u y v la funcin corriente es:
Cdy
ydx
x
La ecuacin de continuidad:
......(4)0x
y
vu
Sustituyendo el (3):
xyyxx
22o)
x(
y)
y(
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