ANEXO1 130
A1- Cálculo de la Viga Postensada 30 m: Pretensado limitadoPara las combinaciones frecuentes de acciones, es respetado
1- Predimensionamiento de la altura de la Viga: el estado limite de formación de fisuras (NBR 7197/89)
H = ( L / 18 )L = longitud de la viga.hp = altura predimensionado de la viga.
L (m) hp (m) hpadop (m)30,00 1,67 1,60
hpadop = 1,60Eficiencia de la sección (Pfeil)
Eficiencia de la sección 0,13Varía de 0 a 0.25 siendo optimo 0.13
bw = 0,204 mbi = 0,712 m
Área del Concreto ( Ac ):
Ac = 0,6553 m2
Momento de Inercia del Concreto ( Ic ):
Ic = 0,2173 m4
Módulo de Resistencia del Concreto ( W ):
Ic/y1 = W1 = 0,268 m3 y1= 0,81 mIc/y2 = W2 = 0,276 m3 y2= 0,79 m
long. bloques en la extremidad de la viga 1,2 m
2- Viga Transversal (25 x 119 cm.):ht = 1,19 m
Área del Concreto ( At ):
At = 0,30 m2
Momento de Inercia del Concreto en viga transversal ( It ):
It = 0,035 m4
3- Análisis de Cargas: 1 t ≈ 10 KN
3.1- Cálculo de Carga de Peso propio ( g1 ):
Peso Propio de la Viga Pretensada ( g1 ):
gH° (t/m3) Ac (m2) g1 (t/m)2,5 0,6553 1,64
g1 = 1,64 t/m
==²hA
I
c
ρ
Area = 0.6553 m²Inercia = 0.2173 m4
=≥ adoph43
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ANEXO1 131
3.2- Cálculo de Cargas Permanentes ( g ):
Losa = 0.19 m x 2.5 t/m³ = 0.48 t/mAsfalto = 0.06 m x 2.45 t/m³ = 0.147 t/mGuarda rueda = 0.30 m² x 2.5 t/m³ = 0.75 t/mCarga de pasamano = 0.16 t/mCarga Horizontal en pasamano = 0.08 t/m
En el programa Amses 2d al lado izquierdo (simétrico) del puente
Reacciones en KN en Viga 1 y 2
Reacción ( gr ), en la viga externa:
gr = 1,54 t/m
Carga Total Permanente sobre la viga ( g ):
g1 (t/m) gr (t/m) g (t/m)1,638 1,540 3,178
g = 3,18 t/m
3.2.1- Esquema para la Carga permanente en la Viga Principal:
g = 3,18 t/m
L = 30,00
GR= 0.75 Tn/m
CARGA PERMANENTE LONGITUDINALMENTE EN TODO EL PUENTE
Losa = 0.48 Tn/m
Asfalto = 0.147 Tn/mGR= 0.75 Tn/m
GC = 0.16TnGC = 0.16Tn
0.08 Tn/m 0.08 Tn/m
1 261 27
7.5 kN/m
1.6 kN
6.27 kN/m7.5 kN/m-0.8
kN
0.96 kNmAll l d
0.001
-0.0001054
-0.0002781
-0.0001079
Fz:-15.36
-7.19E-5
Fz:-14.95
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ANEXO1 132
3.3- Cálculo de la Carga de Tráfico:
3.3.1- Cálculo del Coeficiente de Impacto ( ffff ):
Según la Norma Brasilera, NBR 7187 (1987), la consideración del Impacto Vertical se debe tener en cuenta dela siguiente manera:La Carga Móvil debe ser multiplicada por el Coeficiente de Impacto ( f ).
Para Puentes Carreteros la NBR 7187, calcula el Coeficiente de impacto de la siguiente manera;
f = 1,4 - 0,007xL
f debe ser mayor o igual a 1,00L = Longitud de la Viga Principal
L (m) f 30,00 1,19
f = 1,19
3.3.2- Carga Móvil de Tráfico ( Tren de Cargas ):
El Tren de Cargas a ser adoptado es el de la Norma Brasilera NBR 7188, Clase 45 ( de 45 toneladas - 3 ejes de 15 toneladas cada uno ) que se detalla a continuación:
PesVeh. p(t/m²) p'(t/m²) CargxRueda45 0,5 0,3 7,5
Carga por Rueda = Peso Vehículo / 6 = 7.5 t.
3.3.3 - Conclusión:
De los diferentes Tren - Tipos hallados para cada una de las Vigas Longitudinales Principales, en diferentesposiciones transversales de la carga móvil, llegamos a la conclusión que las vigas más solicitadas son las laterales o de borde, es decir las Vigas 1 y 4.Luego, para estas vigas se debe hallar la posición más desfavorable longitudinalmente haciendo pasar sobreellas el Tren de Carga Tipo calculado transversalmente, hallando de esta manera el Máximo Momento parala Viga Principal que para vigas simplemente apoyadas está en el medio del vano.
4 - Cálculo de los Momentos para la Viga Principal:
4.1 - Cálculo de los Momentos debido al Peso Propio de la Viga:
El Momento Máximo debido al Peso Propio se encuentra en el punto medio de la viga y su valor se calculapor la siguiente fórmula; Mg1 = g1 x L² / 8
L(m) g1(t.m) Mg1(t.m)30,00 1,6383 184,30
Mg1 = 184,30 t.m
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ANEXO1 133
4.2 - Cálculo de los Momentos debido a la Carga Permanente para la Viga Principal
El Momento Máximo para la Carga Permanente se encuentra en el punto medio de la viga, es decir parax = L/2 = 15 metros y su valor es; Mg = g x L² / 8+Mgtraviesa
Mg traviesa = Momento producido por el peso propio de la traviesa peso gtrav = 0,30m² x 2,5 t/m³ = 0,74 t/m
L(m) g(t/m) Mgtraviesa(t.m) Mg(t.m)30,00 3,1783 9,90 367,45
Mg = 367,45 t.m
4.3- Cálculo de los Momentos provocados por la Carga Móvil:
El Momento Máximo para la Carga de Tráfico se encuentra en el punto medio de la viga y su valor sacamos de Ram Advanse
M(q+Q) sin impacto = 245,50con impacto M(q+Q) = 292,15 t.m
4.4 - Cálculo del Momento debido a la Carga Permanente más la Carga Móvil de Tráfico:
Mg(t.m) M(q+Q) (t.m) Mtotal(t.m)367,45 292,15 659,60
Mtotal = 659,60 t.m
La alternancia máxima de tensiones se sitúa por debajo de la resistencia a fatiga con seguridad suficiente cuandoM (q+Q) < 0.67 Mg 0.67 Mg = 246,19
Debemos verificar a la fatiga
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ANEXO1 134
4.5- Calculo del Momento Mayorado ( Md ):
La fórmula que permite calcular el Momento Mayorado es la siguiente:
Md = gg x Mg + gq x M(q+Q)
Según la C.E.B./ 78, los valores de los Coeficientes de Seguridad gg y gq son iguales a:
gg = 1,35
gq = 1,50
Luego el valor del Momento Mayorado ( Md ) será igual a:
gg gq Mg(t.m) M(q+Q) (t.m) Md(t.m)1,35 1,50 367,45 292,15 934,29
Md = 934,29 t.m
5 - Cálculo de la Fuerza de Pretensado necesario ( P∞ ):
5.1- Determinación de la Excentricidad de la Fuerza de Pretensado referida al C.G.C.:
ep = Excentricidad de la Fuerza de Pretensado referida al Centro de Gravedad del Concreto.
y1(m) d'(m) ep(m)0,81 0,10 0,71
ep = 0,71 m5.2 -Grado de pretensado (k)
Se considera económico un valor de k = 0.5 (Leonhardt)Tomamos 0,6
donde:
P∞ = 353,33 tMDo: momento de descompresión debido a P∞MDo: 395,76 t m
5.3 - Cálculo de la Fuerza de Pretensado requerido durante la Transferencia ( Po ):
5.3.1 - Pérdida debido al Pretensado:
Consideramos una pérdida de Pretensado del 25%.
5.3.2 - Cálculo de Po:
Considerando la pérdida de Pretensado del 25%, la fuerza de Pretensado durante la Transferencia esta dada por la siguiente expresión:
Po = ( P∞ / 0,75 )
P∞(t) Po(t)353,33 471,11
Po tentativo = 471,11 t
==TotalMMDk =
+∞
TotalM
epAcWP )1(
60.060.659
)71.0655.02678.0(
=+∞P
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ANEXO1 135
5.4 - Cálculo de los Cables del Pretensado:
5.4.1 - Resistencia del cabo:De la NBR
fptk = 19.000 kg/cm²spmax = 0.82 fptk = 15.580 kg/cm² tensión admisible antes del anclaje
De la Tabla N° 3 ( Tensiones Admisibles en Aceros de Pretensado ), que se encuentra en la página 233de la bibliografía "Concreto Protendido 3, Dimensionamiento a la Flexión" por Walter Pfeil, obtenemospara cabos del tipo CP-190-RB la Tensión Inicial Admisible Instalada;
fp = spo = 0.75 fptk = 14.250 kg/cm² tensión admisible al inicio del pretensadosp∞ = 0.66 fptk = 12.540 kg/cm² tensión admisible después de las perdidas
Probaremos con Armaduras de Pretensado formadas por 36 cabos de F ½" cada uno compuesto de 7 alambres,del tipo CP-190-RBDe la Tabla N° 3.5 del W. Pfeil "Concreto Protendido" pág 366, obtenemos para CP-190-RB el área de cada cabo:
Ap(cm²) nº de cabos Pmax(t) p/1 cabo Poinst.(t) p/1 cabo P∞(t) p/1cabo0,99 33,39 15,42 14,11 12,41
N° vainas N° Cabos/vaina3,00 12,00
Luego, para nuestro Predimensionamiento, probamos con 3 vainas de 12 cabos, el cual nos proporciona una Fuerzade Pretensado inicial igual a (3 x 14.11 x 12 = 507,87 t )
Po = 507,87 t5.4.2 - Cálculo de la posición posible de los cabos
La envolvente muestra la ubicación posible de los cabos para que; amin (no se produzca tensiones de tracción arriba de la viga) y amáx (nose produzca tensiones de tracción abajo de la misma), NAWY (2003)ks y ki son las distancias superiores e inferiores respectivamente, de la línea baricéntrica al borde del núcleo central
epmax = amin + kiepmin = amx - ks
d' = y1 - epmax
ks (m) ki (m) Mg1(t.m) Mtotal(t.m) Po (Ton) P∞ (Ton) fctj (t/m²)0,41 0,42 184,30 659,60 507,870 380,9 170,70
amin (m) amax (m) epmáx (m) epmin (m) y1 (m)0,36 1,73 0,78 1,32 0,81
En este caso se utilizó d' = 0,10 m, para permitir la ubicación de las armaduras pasivas con un recubrimiento de por lo menos 5 cmEn el extremo la posición del cable inferior debe estar como mínimo 0,39 m del borde inferiorEn el extremo la posición del cable superior debe estar máximo a 1,22 m del borde inferiorEn el extremoSe permite una variación de la posición inferior hasta menos,∆i = 0,16 m ∆i = fctj.Ac.ki / PoSe permite una variación de la posición superior hasta más,∆s = 0,20 m ∆s = fctj.Ac.ks / P∞fctj es la resistencia a la tracción del hormigón y sacamos de la sección 5.6
5.4.3 - Cálculo de la Sección de Acero al limite ( Ap ):
Ap total = ( Po / σpo ) cm²
Ap total = 35,64 cm² no puede ser menor a esta área
5.4.4 - Tipos de cabos adoptados:
Basándonos en la Norma Brasilera, NBR 7483(1991), utilizaremos cabos de Acero del tipo CP-190-RB de F½'' (12,7 mm, Acerode Relajación Baja).
d' debe ser > en (m)0,028
1yAcIk c
s ×=
2yAcIk c
i ×=
o
g
PM
a 1min =∞
=PM
a Tmax
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ANEXO1 136
5.4.5 - Cálculo del Área de cada cable ( A ):
Ap(cm²) n A(cm²)0,99 12,00 11,88
A = 11,88 cm²5.4.6 - Número de cables requeridos ( N ):
N = (Ap/A)
Ap total(cm²) A(cm²) N35,64 11,88 3,000
N = 3 cablesAp total real 35,64 cm²
Otra fórmula para dimensionamiento según Nawy (2003)
38,15 cm² hv = altura total de la viga con la losa
5.4.7 - Cables de Pretensado:
Adoptamos, 3 cables de 12 cabos de 12,7mm., de diámetro cada uno del tipo CP-190-RB.compuestos a su vez de 7 alambres
5.4.8 - Área de vaina
para vainas,su diámetro no debe ser menor a 2.5 del área de cabos 6,15 cm. W. PfeilÁrea de cabos/área de vaina entre 0.37 y 0.4 6,15 cm. Leonhardt
Tomamos 6.7 cm. 67 mm
5.5 - Cálculo de las Tensiones Normales iniciales en el hormigón durante el pretensado
En la etapa de Pretensado, sólo actúa el Peso Propio de la Viga ( g1 ), y con esta consideración deestado de carga se procede a la obtención de las Tensiones de borde:
Propiedades de la sección liquida de la viga
A' = 0,645 m²I' = 0,212 m4
ys = 0,773 myi = 0,827 m
ep' = 0,73 m
5.5.1 - Ubicación de la línea neutra con relación al C.G.
yLN 0,90 mEs decir se encuentra fuera de la sección por lo tanto las tensiones serán todas de compresión
''
''0 1
IyepP
APy
IM LNoo
LNg ××+−×−=
=××
=vptk
dp hf
MA72.0
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ANEXO1 137
5.5.2 - Hallamos las tensiones en los bordes
ys = 0,773 myi = -0,827 m
ep'(m) A'(m2) I'(m4) Po(t) Mg1(t.m)0,73 0,645 0,212 507,87 184,3031
tensión superior en ys Compresión scs = -704,60 t/m²
tensión inferior Compresión sci = -1509,12 t/m²
5.6 - Cálculo de la Tensión Admisible del Concreto durante el Pretensado ( sssscadm.):
Las Tensiones del Hormigón Pretensado adoptadas para el proyecto son:
fck = 300 kg/cm²
fckj = 232 kg/cm²
fck = Resistencia característica del Hormigón a la Compresión a los 28 días de edad.
fckj = Resistencia característica del Hormigón a la Compresión en la época de Pretensado según ACI a 9 días
Según la Norma Brasilera NB116 (1962), la Tensión Admisible del Hormigón durante el Pretensado es:
scoAdm. = 0,66 x fckj ( Compresión )
scoAdm. = -152,96 kg/cm²
Según NBR 7187/1987 stoAdm. = ( Tracción )
stoAdm. = 17,07 kg/cm²El postensado se podrá efectuar al adquirir el Hº la resistencia de : 77 %
5.6.1 - Verificación de las Tensiones normales iniciales con la Admisible:
5.6.1.1- Para la Compresión:
tensión inferior sci = -150,91 kg/cm²
scoAdm. = -152,96 kg/cm²
scoAdm. > sci ( Verifica )
5.6.1.2- Para la Tracción:
tensión superior scs = -70,46 kg/cm² compresión
stoAdm. = 17,07 kg/cm²
stoAdm. > scs ( Verifica )
)485.0(dias
ckck j
j
ff+
=
)(21.0 3/2 MPaff ckjctkj =
''
''1
IyepP
APy
IM soo
sg
s××+−×−=σ
''
''1
IyepP
APy
IM ioo
ig
i××+−×−=σ
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ANEXO1 138 5.6.11- Cálculo de las Tensiones normales, antes de la Pérdidas Retardadas de Pretensado:
Ancho efectivo de la viga externa, considerando la losa
bw = ancho del alma
Según DIN 1075 b1+b2 1,77 m(b1+b2)/L 0,06b 0,98 cuadro 3.6.1 Walter Pfeil (Concreto Protendido 3)
bw+b(b1+b2) = be = 1,94 mbe debe ser < a 2.45 (sep de vigas)
be adoptado 1,94 m
como la losa tiene un fck diferente a la vigafck = 240 kg/cm²
Según la NBR 6118:2000 fck está en MPa
fck está en MPa
Eclosa = 274.342,85 kg/cm² a 28 díasEcviga = 306.724,63 kg/cm² a 28 días
al = Eclosa/Ecviga al = 0,89
be real = be adoptado x Eclosa/Ecvigabe real = 1,74 m
Modulo de elasticidad de los cabosEp 1.950.000,00 kg/cm²
ap = Ep/Ecviga ap = 6,36Apt = 0.000099 x 12 x 3 Área eq. de hº = Apt . (ap-1) = 0,019 m²
ancho eq. Hº 0,191 m c/lado espesor 5 cm.En la etapa posterior al postensado, actúa la carga permanente ( g ), y con esta consideración deestado de carga se procede a la obtención de las Tensiones de borde:
Propiedades de la sección homogeneizada de la viga
A'' = 1,01 m²I'' = 0,4089 m4
ys'' = 0,702 myi'' = 1,09 m
ep'' = 0,99 md' = 0,10 mhf = 0,19 m
hv = 1,79 m
hv: altura total de la viga y losa
2/15600 fckEcviga ×=
2/15600 fckEclosa ×=
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ANEXO1 139
Ubicación de la línea neutra con relación al C.G.
yLN 1,54 mEs decir se encuentra fuera del a sección por lo tanto las tensiones serán todas de compresión
Hallamos las tensiones en los bordes
ys'' = 0,702 myi'' = -1,088 m
ep''(m) A''(m2) I''(m4) Po(t) Mg(t.m)0,99 1,005 0,409 507,87 367,45
tensión superior en ys" Compresión al x scs' = -245,73 t/m²tensión superior en (ys"-hf) Compresión scs2' = -337,15 t/m²
tensión inferior Compresión sci' = -862,75 t/m²
Como las Tensiones son de Compresión, entonces se verifica que para las Cargas Permanentes hay un pretensado Total
5.6.12- Cálculo de las Pérdidas de Pretensado:k coeficiente de fricción por serpenteo 0,0066 rad/m p/vainas mayores a 60 mm.m coeficiente de fricción en curva 0,3 (W. Pfeil, Concreto protendido)
Pedidas debidas al rozamiento en el gato hidráulico y los anclajes
p es la presión manométrica en el cilindro del gato de postensadoAcil es el área del cilindro del gato Po/3 es la fuerza aplicada a un cable de 12 cabosN es el numero de cables
Para el cable 1 (el postensado se hace en ambas extremidades de la viga para los 3 cables
a) Perdidas instantáneassi las perdidas por rozamiento y anclajes son grandes, se puede tomar Pmax envés de Po1-Perdidas por rozamiento a lo largo del cableformula para hallar a sacada del W. Pfeil Vol. 2 Pág.. 156 Px es la fuerza en uno de los cables en el medio de la viga
e = 2,718282ángulo de salida del cable con la horizontal a = 0,13286 radflecha de la parábola f = 0,93 m
Dx= 14 mlargo del cable en la parábola x 14,041 m
Px 158,21 Ton
DDDDPx 11,08 Ton
cil
o
ANPp×
= 05.1
)( kxox e
Npp +−×= αµ
''''''0
IyepP
APy
IM LNoo
LNg ××+−×−=
CABLE 1CABLE 2CABLE 3
X =
xf
∆≅
24α
xfxx
∆××+∆=
3²2
"""
""
"'
IyepP
AP
yIM ioo
ig
ci××
+−×−=σ
''""
""
"'
IyepP
AP
yIM soo
sg
cs××
+−×−=σ
xo
x PNP
p −=∆
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ANEXO1 140
Alargamiento total del cabo durante el pretensadoLc = 2x+ 2m.
Pmed = 1/2(Po/3+Px) = 163,75 tLc = longitud total del cable 30,082 m
A = Área del cable 11,88 cm²Modulo de elasticidad 1.950.000,00 kg/cm²
21,26 cm.
2- Perdidas en los anclajesSe tienen 2 casos posibles según la perdida sea absorbida antes o después de la mitad del vano
Caso 1 La perdida es absorbida en un tramo parabólico antes de llegar a la mitad de la viga x<l/2A (cm²) Ep (t/cm²) N Po/N (t) Px (t) Dp (t/m)11,88 1.950 3,00 169,29 158,21 0,74
4 mm0,004 m
L 30,00 m
xr 11,20 mverifica, la perdida es absorbida antes de la mitad de la viga < 15 m.en el primer tramo de la parábola
DDDDPanc 16,54 tPanc 152,75 t
DDDDP1 0 t no llega la perdida al medio
Caso 2 Sería utilizado si la perdida es absorbida en un tramo parabólico después de llegar a la mitad de la viga x > 15 m.
xr2 x<L/2 m
otra formula
DDDDPanc x<L/2 tPanc x<L/2 t
DDDDP1 x<L/2 t
p
cmed
EALP
L××
=∆
=∆ L
δδ
anco
anc PNPP ∆−=
pEA
xrAExrP
AEadaareasombre p
p
anc
p ∆××
=⇒
×××∆
=×
=δ
δ2
L
PNP
px
o 2)( ×−=∆
xrpPanc ..2 ∆=∆
)2
(.21LpPP anc ∆−∆=∆
2..2 xrpPanc ∆=∆L
PNP
px
o 2)( ×−=∆
22
4)2(
4)( 1 Lp
LEA
PAE
LpLPAELPP
AEadaareasombre p
ancp
anc
p
anc
p
×∆+××
=∆⇒
×××∆−∆
=××
×∆+∆=
×=
δδ
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ANEXO1 141
Tensiones Normales al nivel del Cabo:
d'(m) yi (m)-d'(m) yi" (m)-d'(m) sci (Ton/m²) sci' (Ton/m²)0,10 -0,73 -0,99 -1509,12 -862,75
Tensión al nivel del cabo debido al peso propio sc,(g1+po) = -1421,89 t/m²
Tensión al nivel del cabo debido a la carga total permane sc,(g+po) = -829,90 t/m²
3- Perdidas por el acortamiento elástico del hormigón
Como se hace el pretensado en dos operaciones para cada cable (12 cabos), tendremos 2 tensados por cable
Para el caso que se hiciese primeramente el cable 1n = 1 numero de cable considerado
Dsel 301,32 kg/cm² para el cable 1
sc,(g1+po) = es la tensión producida por la fuerza Po y el peso propio g1 en el nivel del cabo
b) Perdidas diferidas1- Perdidas de pretensado causadas por la retracción y la fluencia del Hº Debido a la retracción (Ver Walter Pfeil Concreto protendido 2)
Ep = 1.950.000,00 kg/cm²Ac'' = 1,005 Área de la sección homogénea (m²)l = 1,5 coeficiente que depende del medio ambiente (para 70 % de humedad relativa)u = 8,74 perímetro (m) en contacto con la atmósfera
ho = 34,50 espesor ficticio de la pieza en cm.p/ho = 34,50 cm. se tiene Del cuadro de la pág. 207, valores finales
de retracción, W. Pfeil (Concreto protendido)
0,0002656 retracción del Hº en el tiempo t, contado a partir del pretensado
Dsre 517,92 kg/cm²
Debido a la fluencia
deformación unitaria retardada provocada por la fluencia del Hº
deformación elástica del Hº
2,85 coeficiente de fluencia medio para ho = 34.50 Del cuadro de la pág. 216, valores medios decoeficiente de fluencia, W. Pfeil (Concreto protendido)
sc,(g+po) = tensión debida a la carga permanente g y el postensado en el nivel del cabo
Dsfl 1503,68 kg/cm²
Tensión Inicial en la Armadura de Pretensado ( sssspo ):
Según la NBR 2000 no > 14.250 kg/cm²spo 14.250 kg/cm² tensión inicial instalada
spo/fptk = 0,75
)1()(2)(
pogcpel NnN
+××−=∆ σασ
=csε
2" ××=uAcho λ
)( pogccel
ccpfl +××=∆ σ
εεασ
ccε
celε
=celcc
εε
=∞ϕ
5103283.0 −××=csε
csre Ep εσ ×=∆
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ANEXO1 142
2- Perdidas debidas a la relajación relativa del acero de pretensado
Para acero de RB a 20ºC la perdida es 4,7 % de spo, para σpo/fptk=0,75so 14.250,00 kg/cm² tensión inicial luego del anclajeDsrel 669,75 kg/cm²
Perdidas totales (la perdida por anclaje no llega al centro de la viga)
ap σc,(g+po) (kg/cm²) km φ∞6,36 82,99 0,85 2,85
ksc = 1,13 coeficiente de interaccion entreretracción y fluencia
3.697,55 kg/cm² DP1 solo se usa si xr>l/2
10.552,45 kg/cm²
Para el cable 1 0,741 spo
Probamos con la formula simplificada excluyendo las perdidas por rozamiento y anclaje
5.6.12.3- Pérdida de Tensión en la Armadura de Pretensado ( DsT2DsT2DsT2DsT2 ):
Aplicando la Fórmula del Cuadro 3.11.2 del Walter Pfeil "Concreto Protendido 2, Procesos ConstructivosPérdidas de Pretensado" para el valor de ho entre 20 cm. y 40 cm., tenemos;
Dsp = 3 x sc,(g1+po) + 400 + 15 x sc,(g+po) + 4,5% x spo
sc,(g1+po) kg/cm² sc,(g+po) kgcm² spo kg/cm² Dsp 142,19 82,99 14250 2712,67
Incluyendo rozamiento y no anclaje Dsp = 2.712,67 kg/cm²
3.644,91 kg/cm² DP1 solo se usa si xr>l/2
10.605,09 kg/cm²
Para el cable 1 0,744 spo
5.6.12.4- Verificación de las Pérdidas de Pretensado con la Admisible:
spd = ( spo / 1,15 )
Con la formula 2 que dio menor perdida sp∞1 = (spo - DsT2)
spo DsT2 sp∞1 spd 14.250,00 3.644,91 10.605,09 12.391,30
sp∞1 = 10605,09 kg/cm²
spd = 12391,30 kg/cm²
La tensión admisible de calculo debe ser mayor spd > sp∞ 1 ( Verifica )
=∆+∆+∆+∆+∆
+∆=∆AP
AP
kx
relsc
flreelT
1σσσ
σσ
=∆+∆
+∆=∆AP
APx
pT1
2 σσ
=∞1pσ
=∞1pσ
=∞ 0pσ
=∞ 0pσ
⇒−=∆ ∞12 σσσ poT
⇒−=∆ ∞ 0σσσ poT
po
mPgpsc
kk o
σϕσα )1(
1 )( ∞+ ++=
Ing. Hermann Pankow VIGA30
ANEXO1 143
Para el cable 2a) Perdidas instantáneas1- Perdidas por rozamiento a lo largo del cable
Px es la fuerza en uno de los cables en el medio de la vigae = 2,718282
ángulo de salida del cable con la horizontal a = 0,08286 radflecha de la parábola f = 0,58 m
Dx= 14 mlargo del cable en la parábola x 14,016 m
Px 160,61 TonDDDDPx 8,68 Ton
Alargamiento total del cabo durante el pretensadoLc = 2x+ 2m.
Pmed = 1/2(Po/N+Px) = 164,95 tLc = longitud total del cable 30,032 m
A = Área del cable 11,88 cm²Modulo de elasticidad 1.950.000,00 kg/cm²
21,38 cm.2- Perdidas en los anclajes
Caso 1 La perdida es absorbida en un tramo parabólico antes de llegar a la mitad de la viga x<l/2A (cm²) Ep (kg/cm²) N Po/N (t) Px (t) Dp (t/m)11,88 1.950.000,00 3,00 169,29 160,61 0,58
4 mm0,004 m
L 30,00 m
xr 12,66 mverifica, la perdida es absorbida antes de la mitad de la viga < 15 m.en el primer tramo de la parábola
DDDDPanc 14,64 tPanc 154,65 t
DDDDP1 0 t no llega la perdida al medio
Caso 2 Sería utilizado si la perdida es absorbida en un tramo parabólico después de llegar a la mitad de la viga x > 15 m.
xr2 x<L/2 m
otra formula
DDDDPanc x<L/2 tPanc x<L/2 t
DDDDP1 x<L/2 t
=∆ L
p
cmed
EALP
L××
=∆
)( kxox e
Npp +−×= αµ
xf
∆≅
24α
δδ
anco
anc PNPP ∆−=
xrpPanc ..2 ∆=∆
)2
(.21lpPP anc ∆−∆=∆
2..2 xrpPanc ∆=∆
xfxx
∆××+∆=
3²2
xo
x PNP
p −=∆
pEA
xrAExrP
AEadaareasombre p
p
anc
p ∆××
=⇒
×××∆
=×
=δ
δ2
22
4)2(
4)( 1 Lp
LEA
PAE
LpLPAELPP
AEadaareasombre p
ancp
anc
p
anc
p
×∆+××
=∆⇒
×××∆−∆
=××
×∆+∆=
×=
δδ
L
PNP
px
o 2)( ×−=∆
L
PNP
px
o 2)( ×−=∆
Ing. Hermann Pankow VIGA30
ANEXO1 144
Con la formula simplificada excluyendo las perdidas por rozamiento y anclaje
Dsp = 3 x sc,(g1+po) + 400 + 15 x sc,(g+po) + 4,5% x spo
sc,(g1+po) kg/cm² sc,(g+po) kgcm² spo kg/cm² Dsp 142,19 82,99 14.250,00 2.712,67
Dsp = 2.712,67 kg/cm²Incluyendo rozamiento y no el anclaje
3.442,96 kg/cm² DP1 solo se usa si xr>l/2
10.807,04 kg/cm²
Para el cable 2 0,758 spo
5.6.13- Verificación de las Pérdidas de Pretensado con la Admisible:spd = ( spo / 1,15 )
Acá ya se uso nada mas que la formula simplificada sp∞2 = (spo - DsT2)
spo DsT2 sp∞2 spd 14.250,00 3.442,96 10.807,04 12.391,30
sp∞2 = 10807,04 kg/cm²
spd = 12391,30 kg/cm²
La tensión admisible de calculo debe ser mayor spd > sp∞ 2 ( Verifica )Para el cable 3a) Perdidas instantáneas1- Perdidas por rozamiento a lo largo del cable
Px es la fuerza en uno de los cables en el medio de la vigae = 2,718282
ángulo de salida del cable con la horizontal a = 0,03000 radflecha de la parábola f = 0,21 m
Dx= 14 mlargo del cable en la parábola x 14,002 m
Px 163,19 tDDDDPx 6,10 t
Alargamiento total del cabo durante el pretensadoLc = 2x+ 2m.
Pmed = 1/2(Po/N+Px) = 166,24 tLc = longitud total del cable 30,004 m
A = Área del cable 11,88 cm²Modulo de elasticidad 1.950.000,00 kg/cm²
21,53 cm.
=∞ 2pσ
=∆ L
�−=∆ ∞ 22 σσσ poT =∞ 2pσ
p
cmed
EALP
L××
=∆
)( kxox e
Npp +−×= αµ
xf
∆≅
24α
=∆+∆+∆=∆AP
APx
pT1
2 σσ
xfxx
∆××+∆=
3²2
xo
x PNP
p −=∆
Ing. Hermann Pankow VIGA30
ANEXO1 145
2- Perdidas en los anclajes
Caso 1 La perdida es absorbida en un tramo parabólico antes de llegar a la mitad de la viga x<l/2A (cm²) Ep (kg/cm²) N Po/N (t) Px (t) Dp (t/m)11,88 1.950.000,00 3,00 169,29 163,19 0,41
4 mm0,004 m
L 30,00 m
xr 15,09 mverifica, la perdida es absorbida antes de la mitad de la viga < 15 m.en el primer tramo de la parábola
DDDDPanc x>L/2 tPanc x>L/2 t
DDDDP1 x>L/2 t no llega la perdida al medio
Caso 2 Sería utilizado si la perdida es absorbida en un tramo parabólico después de llegar a la mitad de la viga x > 15 m.
xr2 15,09 m
otra formula
DDDDPanc 12,28 TonPanc 157,01 Ton
DDDDP1 0,07 Ton
Con la formula simplificada excluyendo las perdidas por rozamiento y anclaje
Dsp = 3 x sc,(g1+po) + 400 + 15 x sc,(g+po) + 4,5% x spo
sc,(g1+po) kg/cm² sc,(g+po) kgcm² spo kg/cm² Dsp 142,19 82,99 14.250,00 2.712,67
Dsp = 2.712,67 kg/cm²Incluyendo rozamiento y anclaje
3.232,65 kg/cm² DP1 solo se usa si xr>l/2
11.017,35 kg/cm²
Para el cable 3 0,773 spo
=∞3pσ
=∞3pσ
⇒−=∆ ∞ 32 σσσ poT
δδ
anco
anc PNPP ∆−=
xrpPanc ..2 ∆=∆
)2
(.21lpPP anc ∆−∆=∆
pEA
xrAExrP
AEadaareasombre p
p
anc
p ∆××
=⇒
×××∆
=×
=δ
δ2
22
4)2(
4)( 1 Lp
LEA
PAE
LpLPAELPP
AEadaareasombre p
ancp
anc
p
anc
p
×∆+××
=∆⇒
×××∆−∆
=××
×∆+∆=
×=
δδ
L
PNP
px
o 2)( ×−=∆
2..2 xrpPanc ∆=∆
L
PNP
px
o 2)( ×−=∆
=∆+∆
+∆=∆AP
APx
pT1
2 σσ
Ing. Hermann Pankow VIGA30
ANEXO1 146 5.6.14- Verificación de las Pérdidas de Pretensado con la Admisible:
spd = ( spo / 1,15 )
Acá ya se uso nada mas que la formula simplificada sp∞3 = (spo - DsT2)
spo DsT2 sp∞3 spd 14.250,00 3.232,65 11.017,35 12.391,30
sp∞3 = 11.017,35 kg/cm²
spd = 12.391,30 kg/cm²
La tensión admisible de calculo debe ser mayor spd > sp∞ 3 ( Verifica )
Promediamos los coeficientes de perdidas del cable 1, del cable 2 y el del cable 3 hallados estos últimos por el método simplificado
Tenemos pues 0,757 spo como promedio para los 3 cables
5.6.15- Cálculo de las Tensiones Normales después de las Perdidas Retardadas:
P∞ = 0.757 x Po
P∞ = 384,64 t
Md real = momento de descompresión = 523,86 t.m
5.6.16- Cálculo de las Tensiones Normales para la Carga Permanente:
Ubicación de la línea neutra con relación al C.G.
yLN 12,45 mHallamos las tensiones en los bordes
ys'' = 0,702 myi'' = -1,088 m
ep''(m) A''(m2) I''(m4) P∞ (t) Mg(t.m)0,99 1,01 0,409 384,64 367,45
tensión superior en ys" Compresión al x scspe = -323,02 t/m²tensión superior en (ys"-hf) Compresión scspe = -366,99 t/m²
tensión inferior Compresión scipe = -416,16 t/m²
''''''0
IyepP
APy
IM LN
LNg ××+−×−= ∞∞
'''''' IyepP
APy
IM i
ig
cipe××
+−×−= ∞∞σ
'''''' IyepP
APy
IM s
sg
cspe××+−×−= ∞∞σ
=+×∞ )''
''''''( epAyi
IP
=∞pσ
Ing. Hermann Pankow VIGA30
ANEXO1 147
5.6.17- Cálculo de la Tensión Admisible del Concreto durante la Carga frecuente.
Mg(t.m) + 0,8 M(q+Q) (t.m) = Mfrecuente = 601,17 t.m
Ubicación de la línea neutra con relación al C.G.
yLN -0,71 mHallamos las tensiones en los bordes
ys'' = 0,702 myi'' = -1,088 m
ep''(m) A''(m2) I''(m4) P∞ (t) Mfrecuente(t.m)0,99 1,01 0,409 384,64 601,1731
tensión superior en ys" Compresión al x scsf = -681,91 t/m²tensión superior en (ys"-hf) Compresión scsf = -659,64 t/m²
tensión inferior Tracción scif = 205,72 t/m²
5.6.18- Cálculo de la Tensión Admisible del Concreto durante la Carga de Servicio.
Ubicación de la línea neutra con relación al C.G.
yLN -0,56 mHallamos las tensiones en los bordes
ys'' = 0,702 myi'' = -1,088 m
ep''(m) A''(m2) I''(m4) P∞ (t) MTotal(t.m)0,99 1,01 0,41 384,64 659,60
tensión superior en ys" Compresión al x scss = -771,63 t/m²tensión superior en (ys"-hf) Compresión scss = -732,80 t/m²
tensión inferior Tracción scis = 361,19 t/m²
5.6.19- Verificación de las Tensiones normales con la Admisible:
5.6.19.1- Para la Compresión:Según la Norma CEB, la Tensión Admisible del Hormigón durante la carga de servicio es:
scAdm. = 0,60 x fck ( Compresión )
scAdm. = -1800 t/m²
( Verifica )cssadm σσ ⟩
"""
"" IyepP
APy
IM i
ifrecuente
cif××+−×−= ∞∞σ
""
""0
IyepP
APy
IM LN
LNfrecuente ××+−×−= ∞∞
"""
"" IyepP
APy
IM s
sfrecuente
csf××+−×−= ∞∞σ
"""
"" IyepP
APy
IM i
iTotal
cis××+−×−= ∞∞σ
""
""0
IyepP
AP
yIM LN
LNTotal ××
+−×−= ∞∞
"""
"" IyepP
APy
IM s
sTotal
css××
+−×−= ∞∞σ
Ing. Hermann Pankow VIGA30
ANEXO1 148
5.6.19.2- Para la Tracción:resistencia a la tracción media dada por NBR 2000 = 0.3xfck^(2/3), fck en Mpa
sssstoAdm.28 = 28,96 kg/cm²
( no Verifica para cargas de servicio)Tensión inferior en servicio
scis = 36,12 kg/cm²
(Verifica para cargas frecuentes)Tensión inferior en combinación frecuente
scif = 20,57 kg/cm²Por lo tanto se cumple que para cargas frecuentes la viga está en el estado I, es decir sin fisuración.Para cargas de servicio la viga está en el estado II, es decir se fisura.
El momento de fisuración será:ep''(m) A''(m2) I''(m4) P∞ (Ton) yi'' (m)0,99 1,01 0,41 384,64 1,09
Mcr = 632,72 t m
5.7- Cálculo de la Tensión Admisible del Concreto durante la Carga Ultima:
5.7.1- Análisis de la Seguridad a la Ruptura ( Estado Límite de Proyecto ):
En vigas subarmadas la ruptura se da con la deformación excesiva de las armaduras provocando la elevación de la línea neutra,reducción del área comprimida para que luego el Hº en esta zona se rompa. La viga tendría así un comportamiento dúctil.
En vigas superarmadas se da el rompimiento del Hº, antes que la armadura empiece a deformarse.En este caso el comportamiento sería de un material frágil.Utilizamos acero de dureza natural CA-50
Para evitar fisuracion debidas a temperatura, As mínimo 2% del Acmin y Ap mínimo 1,5% del Acmin (Walter PfeilAsmin = 20,90 cm² Acmin = 1045 cm²Apmin = 15,68 cm²
5.7.2- Predimensionamiento de la armadura suplementaria a la ruptura
fyk = 5000 kg/cm²
bereal(m) 0.85 fcd(t/m²) fyd(t/cm²) fp(t/cm²) Ap(cm²) bw(m)1,74 1700 4,35 14,25 35,64 0,204
fp utilizado 15,74 Ton/cm² esto se obtiene de la mayor tensión entre fp y la nominalσpnom obtenida con las ecuacionesde compatibilidad de deformaciones en 5.7.6
Acmin = 0.1045 m²
cisadm σσ <28
cifadm σσ >28
)""
""("
"28
ii
tadmcr yA
IepPy
IM×
++×
= ∞σ
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ANEXO1 149
Ecuaciones de equilibrioPara hallar la profundidad de la línea neutra x se arbitra AsSumatoria de fuerzas horizontales = 0 considerando que la LN esta en el alma de la viga de una viga T equivalente
nº 9 F 20x = 0,68 debe cumplirse el Asmin < Asnec1 28,28 cm²
x > 1.25hf separación F 20 5,4 cm.1.25 hf = 0,24
armadura longitudinal de la losa F 8 c/17 As' 5,64 cm² verificar con As'cant 12,00 mínimo
Vemos que Asnec1 es admisible, es mayor a Asmin, y la armadura puede situarse bien espaciada, es decir la línea neutra puede situarseen la zona del alma pero antes probamos cuando la LN está en la losa (lleva menos armadura) y usamos, si verifica As/Act > 0,5%
Sumatoria de fuerzas horizontales = 0 considerando que la LN esta en el la zona de la losa
nº 8 F 20x = 0,27 debe cumplirse el Asmin < Asnec2 25,14 cm²
x < 1.25hf = 0,24 separación F 20 6,5 cm.
armadura longitudinal de la losa F 8 c/20 As' 5,64 cm²cant 12,00
no verifica x no es menor a 1,25 hf, por lo tanto usamos x > a 1.25hf
A1= 0,331 m²AeqT = 0,430 m²
A1+A2>AeqT > A1 por tantoLa LN esta en A2
∆A = 0,100 m²x = ∆A/1,068+hfx = 0,283 m²
5.7.3- Profundidad de la Zona Comprimida (Diagrama Rectangular de Tensiones):
Usamos x = 0,283 m( 0,8 x X ) = 0,230 m
As' mínimoPara As' mínimo 0.15% del Acc
As' = 5,60 cm² Acc = 0,3730 m² verificar si x utilizado es mayor a hf, entonces se saca del grafico
12 F 8 si es menor la fla. Acc es (be.0,8x)
cdw
yds
w
fwereal
cdw
pp
fbfA
bhbb
fbfA
x85.08.08.0
)(85.08.0 ×
+−
−××
=
cdereal
ydsyds
cdereal
pp
fbfAfA
fbfA
x85.08.085.08.0'
×−
+××
=
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ANEXO1 150
Diagrama en el estado limite ultimo
5.7.4- Brazo de Palanca interno en el Estado Límite ( z ):
d1 = 0,108 m zp = 1,58 md = 1,73 m zs = 1,62 mc = 0,05 m
5.7.5- Pre-alargamiento del Cabo de Pretensado calculado en el tiempo t∞:
sp∞ (kg/cm²) Ep (kg/cm²) sp∞/Ep 10.792 1.950.000 0,0055
εp1 = sp∞/Ep = 0,55 % 5.7.6- Pre-alargamiento del Cabo de Pretensado debido al momento de descompresión:
ep2 =
Tensión al nivel del cabo
A''(cm²) Ecviga (kg/cm²) P∞ (kg) I''(cm4) ep''(cm.) ep210050 306.725 384.636,81 40890000 98,80 0,00042
ep2 = 0,042 %
5.7.7- Pre-alargamiento del Cabo de Pretensado al llegar a la carga ultima:
El incremento debido a la carga ultima sin superar la deformación de 1 % en el As, será:
ec no puede ser mas que 0,35 % según NBRes no puede ser mas que 1 % según NBR
ep3 = 0,97 %ec = 0,20 % ok< 0,35%
)""
"²1(" I
Aep
EAP
cviga
×+∞
)()( 1
3 ×−×−+
=ddz p
sp εε)(
%1×−
×=dcε
Ing. Hermann Pankow VIGA30
ANEXO1 151 5.7.8- Alargamiento Total del Cabo de Pretensado en el Estado Límite de Proyecto:
eptotal = ( 0.55% + 0.042% + 0,97% )
eptotal = 1,57 %De la tabla 4.3.3 del Walter Pfeil - Concreto Protendido 1 σpnom (Ton/cm²)Para el valor de 1,57% tenemos el valor de σpnom = 15.75 Ton/cm², para el Acero CP-190-RB. 15,74
Por lo tanto el área mayor es 28,28 cm² cuando x = 28,3 cm.
5.7.9- Porcentaje Geométrico de la Armadura Suplementaria:
El cálculo del porcentaje geométrico de la armadura suplementaria esta referida con relación a la sección traccionada del Hormigón y se puede obtener según la Norma CEB / 72 de la siguiente manera;
rs = ( Asnec / Act )
Asnec(cm²) Act(cm²) rs rs (%) 28,28 5706 0,00496 0,496
Según la Norma CEB / 72, el porcentaje geométrico mínimo de las Armaduras convencionalesadherentes referidos al área de la sección traccionada de la viga es de 0,50%, luego;
rs = 0.496 % ≈ 0,50 % ( Verifica )Para la zona extrema de la viga 0.50%Act 28,53 cm² armadura principal mínima
5.7.10- Condición de ductibilidad:condición para que sea subarmada
Ap (cm²) fcd (kg/cm²) fyd (kg/cm²) σpnom (kg/cm²) As (cm²) As' (cm²) bereal(cm)35,64 200 4347,83 15740 28,28 5,64 173,52
dp(cm) d (cm.)169,00 173
ρp = 0,001ρs = 0,001ρs' = 0,000
ωp ωs ωs' ωT0,10 0,02 0,00 0,11
ωT < 0,33 por lo tanto la viga es subarmadaSi la linea neutra está en el alma, los valores de cuantía son tomados con:
5.7.11- Momento resistente de proyecto disponible
Se debe verificar que el Momento Resistente del Proyecto ( Mdres ) debe ser mayor al Momento Actuante de Proyecto ( Md ), es decir se debe cumplir; Mdres > Md.
si 0,8x < hf o si 0,8x = hf ........1
si 0,8x > hf ......2
Si es superarmada p/ 0,8x < hf p/ 0,8x > hf
Ap real(m²) σpnom (Ton/cm²) zp(m) As nec(m²) zs(m) fyd(Ton/m²) As' (m²)0,00356 157.400 1,58 0,00283 1,62 43.478,26 0,00056
hf(m) bereal(m) bw(m) 0.85 fcd(Ton/m²)0,19 1,74 0,20 1700
p/ 0,8x > hf Mdres = 1.086,88 Ton m1.086,88 Ton m > 934,29 Ton.m ( Verifica ) 1,16 Mdres/Md
)03.0( 1' −++= dfAzfAzAM ydssydspnompdres σ
sydspnompdres zfAzAM += σ
33.0' <−+= sspT ωωωω
cd
nompp fσρω =
cd
ydss ff
'' ρω =cd
ydss ff
ρω =
sereal
ss db
A×
=ρdb
A
ereal
sp ×
='ρ
pereal
pp db
A×
=ρ
228.0 perealcddres dbfM ××= )5.0()(85.028.0 2fpfwerealcdpwcddres hdhbbfdbfM −×−×+××=
pw
pp db
A×
=ρsw
ss db
A×
=ρdb
A
w
sp ×
='ρ
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ANEXO1 152
6- Verificación de la abertura de fisuras en servicio para combinaciones frecuentes
Por ser postensado limitado para combinaciones frecuentes las tensiones de tracción del hormigónestán por debajo de las tensiones admisibles por norma, es decir el hormigón no se fisura
7- Porcentaje Geométrico de la Armadura Pretensada:
El cálculo del porcentaje geométrico de la armadura pretensada esta referida con relación a la sección bruta del Hormigón y se puede obtener según la Norma CEB / 78 de la siguiente manera;
rp = ( Ap / A'' )
Ap(cm²) A''(cm²) rp rp (%) 35,64 10050 0,004 0,4
Según la Norma CEB / 72, el porcentaje geométrico mínimo de las Armaduras convencionales o pretensadas adherentes referidos al área total de la sección transversal de la viga es de 0,15%, luego;
rp = 0,4% > 0,15 % ( Verifica )
8- Verificación de la fatiga en el Hormigón:para dos millones de ciclos
Dsc = (scif - scipe)
scif(Ton/m²) scipe(Ton/m²) Dsc(kg/cm²) Dscad(kg/cm²) NBR 7187-1987205,72 -416,16 62,19 150 ( Verifica )
8.1 - Verificación de la fatiga en el Acero Pretensado:para dos millones de ciclos
Dsp = (scif - scipe) x ap ap = 6,36
scif(Ton/m²) scipe(Ton/m²) Dsp(kg/cm²) Dspad(kg/cm²) NBR 7187-1987205,72 -416,16 395,36 2.000 ( Verifica )
8.2 Verificación de la fatiga en el Acero CA-50:para dos millones de ciclos Es (Kg/cm²)= 2.000.000
Dss = (scif - scipe) x as as = 6,52
scif(Ton/m²) scipe(Ton/m²) Dss(kg/cm²) Dssad(kg/cm²) NBR 7187-1987205,72 -416,16 405,50 1.000 ( Verifica )
9- En el Alma de la Viga ( Armadura longitudinal de piel ):
Aslpiel = 0,10% x bw x 100
bw(cm) Aslp(cm²)20,4 2,04
Aslpiel = 2,04 cm² c/cara Pos3
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ANEXO1 153
10- Resumen de armaduras suplementarias
Parte Inferior de la Viga ( base ) :
Hierros = 10 F 20 Asnec = 28,53 cm² Pos1Usamos solo 9 armaduras ya que estas nos dan28,28 cm²
Parte Superior de la Viga :
Hierros = 12 F 8 en la zona de la losa
Parte Lateral de la Viga ( base ):
Por Cara: Hierros = 1 F 12 Pos2 por diseño AASHTO
Total: Hierros = 2 F 12
Parte Lateral Inclinada de la Viga ( base ) :
Por Cara: Hierros = 1 F 12 Pos2
Total: Hierros = 2 F 12
Parte Lateral del Alma de la Viga: Pos3
Por cara: Hierros = 6 F 8 Aslpiel = 2,04 cm²/m c/cara
Total: Hierros = 12 F 8 mm. s = 16,74 cm 20 cm máx.
Parte Superior de la Viga ( Parte Rectángular ):
En la parte superior de la viga, más específicamente en las cuatro esquinas de la zona Rectángular, secolocan 4 varillas de 16 mm como refuerzo para evitar que la misma se rompa durante el proceso de izado y colocación en obra, es decir se refuerza con;
Hierros = 4 F 16 Pos4
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ANEXO1 154
11- Análisis de los Esfuerzos Cortantes:
11.1- Estudios de las Cargas Permanentes y Móviles:
11.1.1- Cargas Permanentes:
a) Esquema para la Carga permanente en la Viga Principal:
g = 3,178 Ton/m
L = 30,00 m
Cortante debido a peso de traviesa
b) Cálculo de los Esfuerzos Cortantes Máximos para la Carga Permanente:
La reacción en el apoyo esta dada por la expresión, Vo = (g x L / 2), y para el cálculo de las Reaccionesen los distintos puntos de la viga entre los apoyos se procede de la siguiente manera, siguiendo la Bibliografia del Walter Pfeil "Pontes em Concreto Armado", Tomo 1, Item 4.4.1.Página 142, V = k x Vo
g(t/m) L(m) Vg(t)3,178 30,00 47,67
Punto k Vg (t) Vdebidotrav.(t) V (t)extremo 0 -1,00 -47,67 -0,66 -48,33
1 -0,92 -43,86 -0,66 -44,522 -0,82 -39,09 -0,66 -39,753 -0,72 -34,33 -0,66 -34,994 -0,62 -29,56 -0,66 -30,22
centro de viga 5 0,52 24,79 0,66 25,456 0,62 29,56 0,66 30,227 0,72 34,33 0,66 34,998 0,82 39,09 0,66 39,759 0,92 43,86 0,66 44,52
extremo 10 1,00 47,67 0,66 48,33
11.1.2- Cargas de Tráfico:En el extremo A una distancia d = 1.73 m del extremo A la mitad de la distancia L/2Cortante Cortante
fV(q+Q) 36,21 t fV(q+Q) 30,29 fV(q+Q) 8,97
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ANEXO1 155
11.2- Cálculo de los Esfuerzos Cortantes Mayorados ( Vd ):
Vdmax = 1,35 x Vg + 1,50 x fV(q+Q)
Vdmáx = 119,57 t
a) En la sección del Apoyo:
Según el codigo modelo CEB-78, para las bielas comprimidas de Hº se halla el Vd en el extremo de la vigapara hallar las armaduras se toma el Vd a una distancia d del extremo.Luego, el valor del Esfuerzo Cortante será:
Vd = 1,35 x Vg + 1,50 x fV(q+Q)
Vd en el extremo Vd = 119,566 t
b) En una sección a una distancia d = 1,73 m del apoyo
fV(q+Q) = 30,29 t
Vd' = 1,35 x Vg + 1,50 x fV(q+Q)
Vd' = 108,11 t
c) En una sección a la mitad de la distancia del apoyo al centro de la viga
fV(q+Q) = 8,97 t
Vd'' = 1,35 x Vg + 1,50 x fV(q+Q)8
Vd'' = 63,90 t
11.3- Trazado Geométrico de las Armaduras de Pretensado:
El trazado de las Armaduras de Pretensado que adoptaremos será el tipo parabolico determinado pordos tramos. Esto realizaremos para poder resistir mejor los esfuerzos cortantes en los extremos.El angulo a varía de 20 a 30º siendo usual 20º, tomando 24º14' como a máximo para hallar Dx p/ r minValor recomendado de r min de parabola para 12 cabos de 1/2" es 8m (Pfeil vol. 2, pag 281)
p/ taga = 0,45 y d = 0,9 h
3,86 m r min = 8 mh= 1,03 m
El tramo recto para este cabo es 1.00 mEs decir que nosotros al tener 14 m. de longitud tendremos mayor radio
B A
Tramo Geométria
A-B Parábola
CABLE 1CABLE 2CABLE 3
X =
=+=∆ hrx 2225.0 min
=+=∆ )(cot2min αα angdtgrx
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ANEXO1 156
11.3.1- Determinación de la Ecuación de la Parábola:
Para el cable 1Ecuación de la Parábola:
Y = aX²Pendiente de la Parábola:
dy/dx = 2aX
Los Puntos que cumplen la Ecuación de la Parábola son los siguientes;
Puntos X (m) Y (m)A 0,000 0,000B 14,000 0,930
Además, sabemos que en el Punto A, la Pendiente es nula, o sea;
dy/dx = 0
Verificando los puntos en la ecuación de la Parábola, obtenemos un sistema formado por tres ecuacionescon Tres incognitas que son las siguientes;
p/x=14 0,93 = 196 x a……………1
Resolviendo el sistema de Ecuación, obtenemos los valores de a, b y c que son;
a = 0,00474Luego la Ecuación de la Parábola para el Tramos A-B será;
Y = 0,00474 X²
11.3.2- Determinación de los valores del angulo aaaa1 para cada situación
a) En el Apoyo (en realidad es 1 m antes del apoyo donde termina la parábola):
Para el cálculo del ángulo a1 se procede a determinar primeramente la Pendiente de la ecuación de la Parábola de la siguiente manera;
dy/dx = 2aX = Tg a1
a X Tg a10,00474 14,000 0,1329
Luego, el ángulo a1 se puede obtener rápidamente y su valor para el apoyo será;
a1 = Arc.( Tg a1 )
a1 = 7,57 ºa1 = 0,132 rad
b) A una distancia d = 1,73 m del apoyo
Para el cálculo del ángulo a1 se procede a determinar primeramente la Pendiente de la ecuación de la Parábola de la siguiente manera;
a X Tg a10,00474 13,270 0,1259
Luego, el ángulo a1 se puede obtener rápidamente y su valor será;
a1 = Arc.( Tg a1 )a1 = 7,2 º
c) A la mitad de la distancia del apoyo al centro de la viga
a X Tg a10,00474 7,500 0,0712
a1 = Arc.( Tg a1 )a1 = 4,1 º
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ANEXO1 157
Para el cable 2Ecuación de la Parábola:
Y = aX²Pendiente de la Parábola:
dy/dx = 2aX
Los Puntos que cumplen la Ecuación de la Parábola son los siguientes;
Puntos X (m) Y (m)A 0,000 0,000B 14,000 0,580
Además, sabemos que en el Punto A, la Pendiente es nula, o sea;dy/dx = 0
Verificando los puntos en la ecuación de la Parábola, obtenemos un sistema formado por la ecuacion
p/x=14 0,58 = 196 a……………1
Resolviendo el sistema de Ecuación, obtenemos los valores de a, b y c que son;
a = 0,00296
Luego la Ecuación de la Parábola para el Tramos A-B será;
Y = 0,00296 X²
11.3.3- Determinación de los valores del angulo aaaa2 para cada situación
a) En el Apoyo (en realidad es 1 m antes del apoyo donde termina la parábola):
Para el cálculo del ángulo a2 se procede a determinar primeramente la Pendiente de la ecuación de la Parábola de la siguiente manera;
dy/dx = 2aX = Tg a2
a X Tg a20,00296 14,000 0,0829
Luego, el ángulo a2 se puede obtener rápidamente y su valor para el apoyo será;
a2 = Arc.( Tg a2 )
a2 = 4,7 ºa2 = 0,083 rad
b) a una distancia d = 1,73 m del apoyo
Para el cálculo del ángulo a2 se procede a determinar primeramente la Pendiente de la ecuación de la Parábola de la siguiente manera;
a X Tg a20,00296 13,270 0,0785
a2 = Arc.( Tg a2 )a2 = 4,5 º
c) A la mitad de la distancia del apoyo al centro de la viga
a X Tg a20,00296 7,500 0,044387755
a2 = Arc.( Tg a2 )a2 = 2,5 º
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ANEXO1 158
11.4- Esfuerzos Cortantes de Proyecto:
11.5- Cálculo de los Esfuerzos Cortantes Reducidos de Proyecto:
Los Esfuerzos Cotantes Reducidos se determinan por la Fórmula siguiente:
0,9 por el efecto favorable Vdred = Vd - 0,9 x P∞ x sen a
Tomaremos nada mas que el cable 1 y 2 ya que el tres es casi horizontal, y su componente vertical es minima
Cortante residual debido a la accion del cable 1a) En la sección del Apoyo:
Panc1 = Panc - perdidas acortamiento del hº - perdidas retardadasPanc1 = 120,521 t en el extremo de la viga
sen a1 Panc1 Vd(t) Vdred(t)0,13170 120,52 119,57 105,28
Vdred = 105,28 tb) En una sección a una distancia d = 1,73 m del apoyo
sen a1 Panc1 Vd'(t) Vdred(t)0,12494 120,52 108,11 94,56
Vdred' = 94,56 tc) En una sección a la mitad de la distancia del apoyo al centro de la viga
Tomamos P∞ en el medio de la viga, en realidad su valor es mayor pero queda por el lado de la seguridadsen a1 P∞1 Vd''(t) Vdred(t)0,07099 125,36 63,90 55,89
Vdred'' = 55,89 tCortante residual debido a la accion del cable 2a) En la sección del Apoyo:
Panc2 = 122,42 t en el extremo de la viga
sen a2 Panc2 Vdred(t) Vdredfinal(t)0,0826 122,42 105,28 96,18
Vdredfinal = 96,18 tb) En una sección a una distancia d = 1,73 m del apoyo
sen a2 Panc2 Vdred(t) Vdredfinal'(t)0,0783 122,42 94,56 85,93
Vdredfinal' = 85,93 tc) En una sección a la mitad de la distancia del apoyo al centro de la viga
Tomamos P∞ en el medio de la viga, en realidad su valor es mayor pero queda por el lado de la seguridadsen a P∞2 Vd''(t) Vdredfinal"(t)
0,04434 128,39 55,89 50,77
Vdredfinal'' = 50,77 tObservación:Como podemos apreciar, los esfuerzos cortantes son disminuidos por el esfuerzo de los cabos y la inclinación que estos tienen
11.6- Verificación de la Resistencia del Hormigón:
Se debe verificar que; td < tdlim.
APP pancanc ×∆−= σ1
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ANEXO1 159
En el apoyo
Según las Normas, la sección en la cual se calcula el Esfuerzo Cortante solicitante de cálculo ( Vd ) seencuentra situada a una distancia d, para la capacidad resistente del hormigón tomamos en el extremo
bw 20,4 cm tdnom = ( Vdredfinal / ( bwnom x dp ) )vaina = Ø 6,7 cmbwnom 17,05 cm se usa tdnom cuando Ø > a bw/8
d' prom(m) hv(m) dpapoyo(cm) Vdredfinal(kg) tdnom(kg/cm²)0,67 1,79 111,67 96.182,29 50,52
El valor del Cortante Admisible o Límite esta dada por la siguiente expresión:
tdlim. = 0,3 x ( fck/gc ) < 4,5 MPa NBR 7197/89
fck(kg/cm²) gc tdlim(kg/cm²)300 1,5 60
tdlim. = 60 kg/cm²
tdnom = 50,52 kg/cm²
tdlim. = 45 kg/cm²
60 kg/cm² > 50,05 kg/cm² > 45 kg/cm²
(no verifica por norma pero considerando que en la sección hay un ensanchamiento en el extremo debido a los bloques de anclajes,y además está por debajo de tdlim, podemos aceptar)
11.7- Cálculo de la Armadura Transversal Necesaria:
La Armadura transversal necesaria es determinada para la solicitación actuando a una distancia d = 1,73 m del apoyo td= ( Vdredfinal' / ( bw x dp ) )
td = 37,72 kg/cm²
El Momento de Descompresión de la sección en el apoyo está dado por Mop =
yi'' (m) epapoyo(m) A''(m2) I''(m4) P∞apoyo(t) Mop(t.m)1,09 0,41 1,01 0,41 371,15 263,43
Mop = 263,43 Ton.m
El Momento de Proyecto ( Md ), a d = 1.73 m del extremo tomamos como un tercio del momento ultimo máximo:Md/3 = 311,43 Ton.m
Para fck = 300 kg/cm², tenemos de la tabla del Cuadro 5.3.1 pág. 169 del W. Pfeil "Concreto Protendido 1"el valor de tc = 8.5 kg/cm², para gc = 1,5tc(kg/cm²)= 0.02xfck+2.5kg/cm² = 8,50
Calculando por el método estándar del Codigo Modelo C.E.B., determinamos a continuación las armaduras transversales constituidos por Estribos Normales:
Asw/s = 1,1 x bw x ( td - tcp ) / fyd
tcp = bp x tc
bp = ( 1 + Mop/(Md en la seccion)) (bp no debe ser mayor que 2)
bw (cm) fyk(kg/cm²) bp tc(kg/cm²) tcp(kg/cm²) td (kg/cm²) Asw/s(cm²/cm)20,4 5.000 1,85 8,5 15,69 37,72 0,0989
Luego, el Area necesaria por metro será:Asw/s = 9,89 cm² / m. ambas caras
Asestribo/s = 4,94 cm² / m. c/caraLa Armadura mínima establecida por las Normas estan determinadas de la siguiente manera;
Aswmin/s= 0,15% x bw x100bw(cm) Aswmin/s(cm²)
20,4 3,06
Aswmin/s = 3,06 cm² / m. ambas caras
)""
"(9.0
AyIepPi
apoyoapoyo ×+× ∞
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ANEXO1 160
11.8- Armaduras Transversales Adoptadas:
Adoptaremos para toda la sección de la viga las armaduras que obtenemos del cálculo para el áreAsw/s = 9.89 cm²/m, considerando lo especificado por el CEB dichas armaduras son;
Hierros = F 12 mm. c/ 22 cm. Pos8
Según lo establecido por el CEB, está armadura adoptada para Estribo nos proporciona la siguiente áreaque verifica el área necesaria;
Asw'/s = 2 x ( p x F² / 4 )*(100/22)
Asw'/s = 10,28 cm² / m ambas carasEn la mitad de la distancia del apoyo al centro de la viga
bw = 20,4 cm tdnom = ( Vdred / ( bwnom x dpeq ) )bwnom = 17,05 cm
Vdredfinal" (kg) tdnom(kg/cm²)50.768,95 21,22
El valor del Cortante Admisible o Límite esta dada por la siguiente expresión;
tdlim. = 0,3 x ( fck/gc ) < 4,5 MPa NBR 7197/89
fck(kg/cm²) gc tdlim(kg/cm²)300 1,5 60
tdlim. = 60 kg/cm²Luego, hacemos la verificación final:
tdnom = 21,22 kg/cm²
tdlim. = 45 kg/cm²
21.22 kg/cm² < 45 kg/cm² ( Verifica )
11.9- Cálculo de la Armadura Transversal Necesaria:td= ( Vdredfinal"/ ( bw x dp ) )
td = 17,7 kg/cm²
El Momento de Descompresión de la sección en el apoyo está dado por Mop =
ep"(m) A''(m2) I''(m4) P∞(Ton) Mop(Ton.m)0,99 1,01 0,41 384,64 484,58
Mop = 484,58 t.m
El Momento de Proyecto ( Md ), en el centro es lo mas desfavorable ya que es máximo:
Md = 934,29 t.m
Para fck = 300 kg/cm², tenemos de la tabla del Cuadro 5.3.1 pág. 169 del W. Pfeil "Concreto Protendido 1"el valor de tc = 8.5 kg/cm², para gc = 1,5Calculando por el método estándar del Codigo Modelo C.E.B., determinamos a continuación las armaduras transversales constituidos por Estribos Normales;
Asw/s = 1,1 x bw x ( td - tcp ) / fydtcp = bp x tc
bp = ( 1 + Mop/(Md en la seccion)) (bp no debe ser mayor que 2)
bw(cm) fyk(kg/cm²) bp tc(kg/cm²) tcp(kg/cm²) td(kg/cm²) Asw/s(cm²/cm)20,4 5000,00 1,52 8,50 12,91 17,7 0,0217
Luego, el Area necesaria por metro será;Asw/s = 2,17 cm² / m. ambas caras
A la mitad de la mitad del vano Asestribo/s = 1,08 cm² / m. c/caraLa Armadura mínima establecida por las Normas estan determinadas de la siguiente manera;
Aswmin/s= 0,15% x bw x 100bw(cm) Aswmin/s(cm²/m)
20,4 3,06
Aswmin/s. = 3,06 cm² / m. ambas caras
(dpapoyo+dp)/2 (cm)140,33
)""
""(9.0Ay
IepPi ×
+× ∞
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ANEXO1 161
11.10- Armaduras Transversales Adoptadas:
Adoptaremos para toda la sección de la viga las armaduras que obtenemos del cálculo para el áreAsw = 3,06 cm²/m, considerando lo especificado por el CEB dichas armaduras son;
Hierros = F 12 mm. c/ 30 cm. Pos8'
Según lo establecido por el CEB, está armadura adoptada para Estribo nos proporciona la siguiente áreaque verifica el área necesaria;
Asw'/s = 2 x ( p x F² / 4 )*(100/30)
Asw'/s = 7,54 cm² / m ambas caras
12- Cálculo de las Armaduras de Distribución de Tensiones:
a) Armaduras de Regularización de Tensiones:
El Esfuerzo de Postensado para 3 cabos formado por 12 F ½", es de 169,29 t, por cabo; las placas de losanclajes son de 25 cm x 25 cm.Luego, la armadura de regularización de tensiones de 1 cabo son calculadas en un prisma ideal con una longitud a1= 44 cm y un alto de a1= 44 cm, de la siguiente manera;
At = ( 0,3 x gp x gs x Po / (N x fyk) ) x ( ( a1 - ao ) / a1 )Donde:
gp = 1,2
gs = 1,15
Po/N = 169,29 Ton
a1 = 44 cm
ao = 25 cm
fyk = 5 Ton/cm²
At = ( 0,3 x 1,2 x 169,29 x 1,15 / 5.0 ) x ( ( 44 - 25 ) / 44 )
At = 6,05 cm²2 As 10 mm 1,571 cm²
sep 11 cmPara esta Area, At = 6,05 cm², adoptamos la siguiente armadura;
6,28 cm² Hierros: 4 F 10 mm. 1 cada 11 cm Pos12
Usamos 4 estribos F 10 mm, ( A = 6,28 cm² ), colocando el primer estribo a 0.2xa1 del extremo de la Viga.Colocamos a 9 cm del extremo de la viga, el primer estribo
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ANEXO1 162
b) Armaduras Superficiales ( At1 y At2 ):
Cálculo de At1:At1 = ( 1,5% x gp x Po/N x gs / fyk )
At1 = ( 0,015 x 1,2 x 169,29 x 1,15 / 5 )
At1 = 0,70 cm²Cálculo de At2:
Admitiendo, el valor de la Tga ≅ 1/10:At2 = ( Tga x gp x Po/N x gs / fyk )
At2 = ( 0,10 x 1,2 x 169,29 x 1,15 / 5 )
At2 = 4,67 cm²
Luego, la Armadura Superficial es determinada por el mayor valor de las expresiones de At1 y At2;en este caso At2 = 4,67 cm²Adoptamos, grampas de F 12
5 grampas de F 12 mm. Pos13
13- Determinación de las Deformaciones y Flechas:
Para el cálculo de la flecha se deben considerar las etapas iniciales y finales, durante laetapa inicial de carga o de transferencia la viga pretensada todavia no ha sido colocadaen su sitio, luego la viga es colocada en obra sobre la viga de portico e inicia su función de trabajo.En ese momento las clases de flechas a considerar son; las flechas instántaneas o inmediatas, y lasflechas diferidas o retardadas.Para el cálculo de las flechas, segiremos las recomendaciones dadas por la ACI ( 318 / 89 ), quese puede encontrar en la bibliográfia Nawy, E (2003) "Prestressed concrete, a fundamental approach"Cuarta edición, Cap. 7Para la flecha total se considera el estado de carga de servicio frecuente, para este caso, la viga está sin fisura (pretensado limitado)
13.1- Cálculo de la Flecha en etapa inicial, en to13.1.1- Cálculo de la Flecha instantanea debida al Peso Propio de la Viga ( δg1 ):
to = 9 dias, en el momento del postensado
fckj en MPa
L (m) g1 (t/m) fckj (Mpa) Ecto (t/m²) I' (m4) δg1 (m)30,00 1,64 23,18 2.695.920 0,212 0,0302
δg1 = 3,02 cm
13.1.2- Cálculo de la Flecha instantanea debida al Pretensado ( δpo ) antes de las perdidas:
La etapa del Pretensado a considerar para el cálculo de la flecha es la inicial, es decir cuando Po = 507,87 Ton y su cálculo se hace de la siguiente manera.
2/15600 ck jto fEc ×= '38415 4
1 IEcLg
tog ××
××=δ
'48'5 2
IEcLepP
to
opo ××
×××−=δ
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ANEXO1 163
Para los tres cables, en el medio del vano:
Po(Ton) ep'(m) L(m) Ecto (t/m²) I' (m4)507,87 0,73 30,000 2.695.920 0,212
Cálculo de la Flecha:δpo = -0,061 m
δpo = -6,06 cm hacia arribaObservación:El signo negativo nos indica que la deflexión de la viga es hacia arriba.flecha instantanea inicial al tiempo to : δio = δpo+δg1La flecha instantanea inicial fpo, debida al postensado será δpo = -6,06 cm
δg1 = 3,02 cmAASHTO permite L/800 (cm)
Vemos que esté dentro de lo admisible, δio = -3,03 cm hacia arriba ≈ 3,75
13.2- Cálculo de la Flecha en etapa final, en t ∞
13.2.1 Cálculo de la Flecha instantanea ( δq ), debida a la Carga Movil:
0,8 M(q+Q): Carga movil frecuente con impacto
0,8 M(q+Q) t.m L (m) Ecviga (t/m²) I'' (m4) δq (m)233,72 30,00 3.067.246 0,4089 0,0175
δq = 1,75 cm13.2.2- Cálculo de la Flecha instantanea ( fsg ), debida a la Carga Superimpuesta (Mg-Mg1):
∆g = g-g1
g (Ton/m) g1 (Ton/m) ∆g (t.m) L (m) Ecviga (t/m²) I'' (m4) δsg (m)3,18 1,64 1,54 30,00 3.067.246 0,4089 0,0130
δsg = 1,30 cm
Cu: Coeficiente de fluencia de larga duración del hº, igual a 2,35 con curado normal con agua.Ct: Coeficiente de fluencia en tiempo t, con curado normal con agua.
Po(Ton) P∞(Ton) Ap real(m²) Cu t∞(años) Ct (5 años)507,87 384,64 0,004 2,35 5,00 2,12
∆P(Ton) λ kr Ka factor en la edad de aplicacion de la carga123,23 0,88 0,56 0,52 permanente supeimpuesta
13.2.3- La flecha final δ, ser á:
δ = -0,45 cm hacia arriba
13.2.4- Flecha Admisible según las Normas ( δadm.):
Según las normas AASHTO, para el caso específico de Puentes, el valor de la Flecha Total admisible se dápor la siguiente expresión para L = 30 m:
para transito vehicular y de personas δadm. = ( L / 1000 )
δadm. = ( 3000 / 1000 )
δadm. = 3 cm
13.2.5- Verificación de la Flecha Total con la Admisible:
δ= 0,45 cm < 3 = δadm ( Verifica )
Esta verificación de flecha fue realizada con la combinación de cargas de servicio frecuentes
ut Ct
tC 6.0
6.0
10 +=
oPP
21 ∆−=λ
AprealAskr /1
1+
=
"488.05 2
)(
IEcLM
t
Qqq ××
×××=
∞
+δ
"3845 4
IEcLg
tsg ××
×∆×=
∞
δ
[ ] [ ] qCkKCkCkPoP
trasgtrgtrpo δδδλδδ +++++
+∆−−= 11)(1 1
118.025.1 −×= tK a
Ing. Hermann Pankow VIGA30