1AULA 6: INCERTEZA I - Loterias e Atitudes diante do Risco 1. Motivao

2. Preferncias sobre Loterias; 3. Utilidade Von Neumann-Morgenstern; 4. Atitudes face ao Risco;

5. Medidas de Averso ao Risco; 6. Exerccios sugeridos e Bibliografia

1. Motivaao Em inmeras situaes reais, o resultado das decises de um agente incerto: na compra de um ativo real ou financeiro, na deciso de mudar ou no de emprego, na escolha da futura esposa (ou esposo)...etc. Nas situaes concretas em que o resultado da escolha no depende substancialmente da interao de outros agentes, o problema pode ser representado, de forma estilizada, como um problema de escolha entre diferentes loterias. O caso em que o resultado da escolha individual depende da ao de outros agentes identificados ser estudado mais frente na teoria dos jogos. Uma loteria um jogo que paga um premio em cada resultado possvel do experimento. Por exemplo, se o jogo consiste no lance de uma moeda equilibrada pagando 1 real se o resultado for cara e -1 real se o resultado for coroa, podemos formalizar o jogo da seguinte maneira:

2{ coroacara ,= } :conjunto dos resultados possveis;

coroacaraP ,;2/1)( == : probabilidade dos eventos aleatrios;

==+=

coroacara

X

;1;1

)( : prmios associados aos

resultados. natural que o decisor considere o premio esperado da loteria. Asssim, se g designa a loteria acima, o premio esperado desta loteria : )().()().()()( coroaXcoroaPcaraXcaraPEXgE +== 0)1(

21)1(

21 =++=

Dize-se que uma loteria justa se ela tem valor esperado igual 0. Se uma loteria no justa, sempre possvel torn-a justa cobrando-se uma taxa de entrada igual ao seu premio esperado. Assim, se no exemplo acima o premio de cara fosse igual 10 reais, teramos 5.42/15)( ==gE . Neste caso, cobrando 4.5 reais como entrada no jogo,

os prmios seriam:

====+=

coroacara

X

;5.55.41;5.55.410

)( de

modo que teremos assim uma loteria justa. Em princpio, o agente estaria disposto a pagar at o valor do premio esperado para ter acesso loteria. Se o custo do acesso for menor que o premio esperado, o premio lquido positivo de modo que o agente estaria disposto a comprar a loteria. Entretanto, o uso do premio esperado para se definir o custo de acesso loteria nem sempre faz sentido.

3 Com efeito, a maioria dos agentes avessa ao risco e reluta em comprar uma loteria cujo preo muito alto, ainda que esta tenha um premio liquido positivo. Tal fato ilustrado pelo famoso paradoxo de So Petersburgo, do sculo XVIII (D.Bernoulli). Suponha que uma moeda equilibrada seja lanada indefinidamente at que a primeira cara aparea. Sendo N o nmero de lances at a obteno de uma cara, sabemos do Curso de Probabilidade que N uma v.a. geomtrica com parmetro 2/1 e funao de probabilidade ,....2,1;)2/1()( === nnNP n Se g designa a loteria que paga se o resultado cara obtido no

NNX 2)( =moN lance, o premio

esperado da loteria ser: . +===== = == 1 11 1)2/1(2)()()( n nnnn nNPnXgE Estaria algum disposto a pagar uma soma infinita para participar desta loteria ? A resposta obviamente negativa, donde a necessidade de se buscar um critrio distinto do premio esperado para se definir o custo de acesso esta loteria. A soluo do paradoxo de So Petersburgo passa pelo uso de uma funo de utilidade que, cada premio possvel da loteria, associa a utilidade extrada pelo agente daquela renda monetria. Com efeito, no razovel supor que o agente seja neutro ao risco, isto , que atribua ao 10 Real o mesmo peso que a 1000 Real, se estes valores so incertos, isto , ocorrem com uma certa probabilidade.

4Assim, adotando a hiptese que sua utilidade marginal da renda seja decrescente, a funao de utilidade do indivduo ser cncava. Com utilidades cncavas, em muitos casos o paradoxo de So Petersburgo pode ser resolvido, se o agente est disposto a pagar a utilidade esperada da loteria. Tal o caso, no exemplo acima, se a utilidade da renda for, por exemplo: XXu ln)( = Neste caso, a utilidade cresce menos rapidamente que o valor monetrio dos prmios ( 0;ln >< XXX ), de modo que a utilidade esperada da loteria finita:

= == === 1 11 )2/1(2ln)2/1(2ln)())(()( n n nnnn nnNPnXugu Ora,

2/12/111 2/11 2/11

1 |)1(

21|)(

21|

21|

21)2/1( ==== == =

=

==

== xxni nni xn

ni x

nn

n

xx

xx

xxxnxn

Ou: 2|

)1(1

21)2/1( 2/121 == =

= xn n xn .

(Obs.: na terceira desigualdade, escrevemos a soma das derivadas como a derivada da soma infinita porque esta convergente na vizinhana de 2/1=x . Voce pode obter esta soma diretamente se lembrar que ela no outra que o valor esperado da v.a. geomtrica: 2)2/1/(1)/1/(1 === pEN ). Logo, 39.12ln2)( ==gu . Este o valor moral da loteria, representando o que ela vale para o agente com esta funao de utilidade. Este tambm o valor mximo que ele estaria disposto a pagar para participar da loteria.

5O exemplo do paradoxo de So Petersburgo mostra que uma teoria adequada para a escolha dos agentes decisores entre loterias precisa levar em considerao suas atitudes em face do risco. Como veremos nas sees seguintes, assim como no caso da teoria do consumidor, as atitudes dos agentes diante da incerteza tambm admitem uma caracterizao fundamentada nas suas preferencias entre loterias e na funao de utilidade que representa estas preferencias. 2. Preferncias entre loterias

Na teoria do consumidor, assumia-se que o consumidor tinha preferncias sobre diferentes cestas de bens, disponveis certamente apreciao e, eventualmente, escolha dele. Para esta escolha, ele dispunha de uma funao de utilidade que lhe permitia ordenar as diferentes cestas, de acordo com a utilidade associada a cada uma delas. O consumidor escolhia ento a cesta tima, que lhe proporcionava o maior valor de utilidade, dentro do seu conjunto de consumo factvel. Para tratarmos da escolha sob incerteza, vamos supor nesta aula que o consumidor tem preferncias entre diferentes loterias, cada uma delas apresentando uma seqencia finita de resultados possveis , o

resultado ocorrendo com probabilidade . naa ,...,1

ia ip Um resultado (outcome, em ingls) ou prmio

(prize em ingls), pode ser uma cesta de bens, um montante em dinheiro positivo ou negativo, ou qualquer outra coisa.

ia

6A diferena que este deve ser visto como o resultado de um jogo, de um experimento aleatrio: o resultado ocorre com probabilidade .

ia ip Loterias Seja o conjunto finito de resultados de uma

experimento aleatrio qualquer. },...,{ 1 naaA =

Definio: Uma loteria simples g sobre A , definida por uma funao de probabilidade

npp ,...,1 associada a cada ev ento de A . Esta ser notada pela n-upla: ),...,( 11 nn apapg oo . Uma outra loteria sobre h A difere de g por atribuir uma outra funao de probabilidade aos resultados de A , por exemplo: . ),...,11 naaqh oo( nq O conjunto de todas as loterias simples sobre A definido por: = = ni iinn ppapapG 111 }1,0:),...,{( oo onde se impe que as probabilidades sejam no negativas e somem 1. Quando um ou mais premios forem improvveis,

isto , tem probabilidade 0 de ocorrer, estes sero excludos da notao.

ia

Por exemplo, a loteria ))1(,0,...,0,( 121 nn aaaa oooo

))1(,1 naa oo ser

notada simplesmente: ( . Note que o conjunto G tambm contm A , pois se o resultado ocorrer certamente, podemos caracteriz-

lo pela loteria: . ia

)1( iao

7 Loterias Compostas Uma loteria composta uma loteria seqencial na qual um dos prmios um ticket de acesso uma outra loteria. Por exemplo, a loteria ))1(,( 1 hag oo = onde

))1(,( 21 aah oo = { }21 ,aaA =, uma loteria composta sobre

, porque a loteria simples um dos

prmios de h

g . Note agora que as probabilidades efetivas dos prmios e so, respectivamente,

1a 2a )1( + e )1)(1( , de modo que o agente estar indiferente

entre a loteria composta g e a loteria simples

)))1)(1(()) o ,1a1(((*g ho += , isto : *gg . Na verdade, dizemos que *g a loteria simples induzida pela loteria composta g . O agente leva em conta nicamente as probabilidades efetivas dos prmios. Assim, para escolher entre duas loterias quaisquer, ele far a comparao entre as loterias simples que so induzidas por elas. Da mesma maneira como na teoria do consumidor os objetos de escolha so as cestas de bens, na teoria da escolha sob incerteza os objetos de escolha so as loterias. Na sequencia definiremos a relao de preferncias sobre o conjunto das loterias e os axiomas associados ela, muitos dos quais j nos so familiares.

G

8 Axiomas da Escolha sob Incerteza (A1) Completude Para quaisquer loterias Ghg , , temos ou hg ou gh onde o sinal designa aqui a preferncia fraca; (A2) Transitividade Para quaisquer loterias Gmhg ,, , se hg e ento teremos tambm

mh mg .

Acima mencionamos que cada premio pode ser

visto como um jogo degenerado pertecendo . ia

G Assim sendo, os axiomas (A1) e (A2) permitem hierarquizar os prmios .

ia Suporemos entao, sem perda de generalidade, que os prmios so indexados do melhor para o pior, isto :

. naaa ...21

Deste modo, no h loteria melhor que ))1(,( 1 naa o se 1= ou pior que ))1(,( 1 naa o se 0= . Isto sugere que, haver um valor intermedirio que torna, para o agente decisor, a loteria acima indiferente a qualquer loteria Gg : )1(,( 1 nag )a o . Temos entao o seguinte axioma: (A3) Continuidade Para qualquer loteria Gg , existe uma probabilidade [ 1,0 ] tal que ))1( nag ,( 1a o .

9 O prximo axioma exprime a idia de que, entre duas loterias envolvendo o melhor e o pior prmio, o agente decisor preferir aquela que atribui ao melhor premio a probabilidade mais elevada. (A4) Monotonicidade Para quaisquer probabilidades [ 1,0, ] , temos tal que ))1(,())1(,( 11 nn aaaa oooo se e smente se

. Obs.: Na primeira expresso, designa a preferncia fraca; na segunda, designa a desigualdade fraca.

O axioma seguinte estabelece a equivalencia entre loterias cujos prmios o agente considera como equivalentes. (A5) Substituio Se e ),...,( 11

nn gpgpg oo ),...,( 11 nn hphph oo so duas

loterias de G , e se ihig para todo i , entao hg . Observe que este axioma, junto com (A1), implica que quando o agente indiferente entre duas loterias, ele tambm o entre qualquer combinao convexa destas loterias. O ltimo axioma estabelece que, ao considerar uma loteria em particular, s as probabilidades efetivas dos diferentes prmios importam para o agente decisor. (A6) Reduo loteria simples Se a loteria simples induzida

por ),...,(* 11 nn apapg oo

Gg , entao gg * .

10 Observe que por este ltimo axioma e pela transitividade (A2), as preferencias do agente decisor sobre quaisquer loterias compostas sero completamente determinadas pelas suas preferncias sobre as loterias simples induzidas por elas. Vamos agora considerar a representao das preferncias sobre loterias atravs de uma funao de utilidade. 3. Utilidade Von Neumann-Morgenstern Na teoria do consumidor das aulas anteriores, na qual a escolha entre as cestas feita sem incerteza, vimos que os axiomas da completude e da transitividade, acrescido de uma condiao de continuidade das preferncias, garantia a existncia de uma funao de utilidade contnua. No caso presente, alm dos axiomas (A1), (A2) e (A3), foram acrescentados trs outros axiomas. Assim, espera-se que a utilidade que representa as preferncias do agente decisor entre as loterias, venha a ter outras propriedades adicionais, alm da continuidade. Tal efetivamente o caso. Veremos que se as preferncias entre loterias atendem aos axiomas (A1)-(A6), ento ela poder ser representada por uma funao de utilidade que exibir, alm da continuidade, uma importante propriedade: a da linearidade com relao s probabilidades efetivas de cada prmio. Tal funo de utilidade dita ter a propriedade da utilidade esperada.

11 Propriedade da Utilidade Esperada A utilidade sobre loterias: )(:: gugRGu tem a propriedade da utilidade esperada se: == ni ii aupgu 1 )()( onde a utilidade do prmio na loteria

degenerada e a probabilidade efetiva do

prmio na loteria simples , induzida

por

)( iau

ia

ia

ao)1( iao ip

),...,( 11 nnpap og .

As funoes de utilidade que possuem a propriedade da utilidade esperada so chamadas de funoes de utilidade von Neumann-Morgenstern (VNM), em razo do teorema seguinte, fundamental na teoria da escolha sob incerteza: Teorema 1: Existncia de uma Utilidade VNM sobre G Seja uma relao de preferncias sobre o )(conjunto das loterias com prmios em G A, a qual satisfaz os axiomas (A1) (A6). Entao, existe uma funao de utilidade

)(:: gugRGu representando , tal que u tem a )(propriedade da utilidade esperada. Este teorema foi demonstrado por J. Von Neumann e O.Morgenstern (1944) no livro The Theory of Games and Economic Behavior. A prova do teorema construtiva: Para cada loteria

Gg , o nmero )(gu definido como a probabilidade do melhor premio de A que deixa indiferente o

12agente decisor entre a loteria g e o jogo melhor-pior, isto : )n))(1(,)(( 1 aguagug oo . Observe que pelo axioma (A3) este nmero )(gu existe e, por (A4), nico. Isto define uma funao de utilidade . [ ]1,0: Gu fcil de ver que u assim definida representa a preferncia ( ) : Com efeito, por (A3) temos a equivalncia:

)))(1(,()))(1(,)(( 11 nn ahuauaguaguhg oooo )(h e, por (A4), a equivalncia desta ltima relao com a desigualdade fraca: )()( hugu . Logo, )()( huguhg

, de modo que a utilidade

assim definida representa a preferncia. (Obs.: esquerda, indica a preferncia fraca; direita, a desigualdade fraca). Finalmente, usando os axiomas (A5) e (A6) possvel mostrar que a utilidade definida acima tem a propriedade da utilidade esperada: Se a loteria simples induzida por ),...,(* 11 nn apapg oo=g , teremos: == ni ii aupgu 1 )(*)( A prova desta ltima parte ser omitida (Veja Jehele e Reny, pp.98-99.) Exemplo 1: Suponha uma loteria que paga 3 premios possveis: { }000.10$,000.20$,000.50$ =A .

13Sabemos que o agente indiferente entre ganhar

com certeza e participar de uma loteria que paga com probabilidade e

000.20$000.50$ 6.0 000.10$ com

probabilidade . 4.0 (a) Construir a utilidade VNM; (b) Entre as loterias: )000.50$8.0,000.20$2.0( oo=g

)000.50$9.0, o e

qual delas o

agente preferir ? 000.20$03.0,000.10$07.0( oo =h

Soluo: (a) Visto que )000.10$0,000.50$1(000.50$ oo

)000.10

e

$1,000.50$0(000.10$ oo.0)000.10( =u

, colocamos: e

1=)000.50(u

Visto que )000.10$4.0,000.50$6.0(000.20$ oo colocamos

, de modo que a utilidade VNM est

completamente definida sobre 6.0)000.20( =u

A . (b) Como a utilidade acima tem a propriedade da utilidade esperada, temos entao:

92.0)1(8.0)6.0(2.0)000.50(8.0)000.20(2.0)( =+=+= uugu e

++=++= )6.0(03.0)0(07.0)000.50(9.0000.20(03.0)000.10(07.0)( uuuhu . 918.0)1(9.0 =Assim, como )()( hugu > o agente preferir a loteria g . Multiplicidade da representaao VNM Na teoria do consumidor, onde a escolha entre cestas de bens feita sem incerteza, vimos que a funao de utilidade nica a menos de uma transformao crescente desta utilidade.

14Isto , qualquer transformaao crescente de uma dada funao de utilidade representa as mesmas preferncias que esta funao. No caso da utilidade VNM, que representa as preferncias entre loterias, os valores de utilidade tambm tem funao ordinal, mas o significado destes valores vai um pouco alm. Veremos que, de um modo geral, s uma classe menor de transformaes crescentes da utilidade no alteram a representaao das preferncias: a classe das transformaes crescentes afim. Com efeito, suponha uma loteria sobre

onde e suponha que a relao de preferncias atenda os axiomas (A1)-(A6).

{ }cbaA ,,=cba ff

)( Por (A3) e (A4) existe um nmero )1,0( tal que ))1(,( cab oo . Este nmero est diretamente relacionado com as preferencias do agente decisor: qualquer alterao no seu valor significa alterao na sua preferncia. Pelo teorema 1 existe uma funao de utilidade VNM

tal que u )()1()()( cuaubu += de modo que:

)()()()(1

cububuau

=

Vemos que qualquer transformao da utilidade u que preserva a razo das diferenas direita da igualdade acima, no altera o valor da razo /)1( do lado esquerdo e, consequentemente, no altera a representaao das preferncias. Por exemplo, uma transformao crescente afim de u , do tipo 0>: ;+= uv serve, pois:

15

==+

+=

1)()()()(

)()()()(

)()()()(

cububuau

cububuau

cvbvbvav

O teorema seguinte estabelece no apenas a suficincia deste resultado, mas tambm a sua necessidade. Teorema 2: A utilidade VNM nica a menos de uma trasformaao positiva afim. Suponha que a funao de utilidade u represente as preferncias . Entao, a funao de utilidade )( v representa as mesmas preferncias se e smente se, para alguma constante e algum escalar 0> , )()( gugv += Para qualquer loteria Gg . A demonstrao da necessidade deste resultado, isto , de que nenhuma outra transformao alm da afim capaz de preservar a mesma representaao, se encontra no livro de Jehle e Reny, pp.102-104. 4. Atitudes face ao Risco Vamos agora supor que os prmios da loteria so nmeros reais no negativos, na forma de renda monetria. Assim um conjunto contnuo. Todavia,

continuaremos a considerar loterias com um nmero finito de prmios : .

+= RAn nxxx ,...,, 21

Uma loteria simples g notada: ),...,( 11 nn xpxpg oo= . Vamos agora caracterizar as atitudes do agente face ao risco atravs da utilidade VNM.

16 O premio esperado da loteria g : . == ni ii xpgE 1)( Suponhamos que o agente tenha de escolher entre uma loteria g e uma renda certa igual )(gE . Qual delas ele preferir ? Se suas preferncias entre loterias atendem os axiomas (A1)-(A6) da seo 2 sabemos que ele poder usar sua utilidade VNM u , para comparar estas duas alternativas: Loteria :g == ni ii xupgu 1 )()( Renda certa )(gE : == ni ii xpugEu 1 )())(( Se o agente prefere a renda certa )(gE renda aleatria da loteria g , dizemos que ele avesso ao risco em g. Se ele indiferente entre a renda certa e a renda aleatria de g , dizemos que ele neutro ao risco em g . Se ele prefere a loteria g renda certa )(gE , dizemos que ele propenso ao risco de g. Como a preferncia do agente representada pela utilidade VNM u , temos ento as seguintes definies: Definies: Seja a utilidade VNM do agente, definida para uloterias cujos prmios monetrios so no negativos. Seja uma loteria simples ),...,( 11 nn xpxpg oo= no degenerada. O agente dito: (i) Avesso ao risco se: GggugEu > ,)())((

17(ii) Neutro ao risco se: GggugEu = ,)())(( (iii) Propenso ao risco se: GggugEu < ,)())(( A cada uma destas atitudes em face do risco corresponde uma propriedade especfica da utlidade VNM u . Se o agente avesso ao risco, sua utilidade VNM estritamente cncava; Se o agente neutro ao risco, sua utilidade VNM linear; Se o agente propenso ao risco, sua utilidade VNM estritamente convexa; Para vermos a relaao entre a concavidade da utilidade VN e a averso ao risco do agente, considere que u estritamente cncava se e smente se a reta secante passando por dois pontos quaisquer

e ( estritamente menor que os valores da funao entre estes dois pontos.

))(,( nn xux ))( 11 xx , u

Isto , supondo sem perda de generalidade, que

, no caso de concavidade estrita devemos ter: nxx >1

)()( xSxu > para todo ),( 1xxx n

onde )()()()()(1

1n

n

nn xxxx

xuxuxuxS += a reta secante

passando pelos pontos acima. Considere agora que seja oferecido ao agente a escolha entre a loteria ))1(,( 1xpxpg n oo = e a renda certa .

1)1()( xppxgE n +=

18Avaliando a desigualdade acima no ponto )(gEx = teremos:

))1(()()()())(())(( 11

1nn

n

nn xxppxxx

xuxuxugESgEu ++=>

)()1()())()()(1()( 11 xupxpuxuxupxu nnn +=+= )(gu= (averso ao risco). Vemos entao que a concavidade estrita de u implicar que o agente seja avesso ao risco. Fig.1: Utilidade VNM cncava e Averso ao Risco

x1xn

u(x1)

u(xn)

u(x)

S(x)

E(g)

u(E(g))

u(g)

EC

P

Aversao ao Risco

renda0

19Na Figura acima, o indivduo prefere a renda certa

)(gE renda incerta da loteria g . Equivalente Certeza Mas existe um montante de renda positivo )(EC que, se lhe fosse oferecido, o agente avesso ao risco estaria indiferente entre aceitar este valor ou aceitar a loteria g . Este montante a renda EC ilustrada no grfico, chamada equivalente certeza. Vemos que: gEC , pois ).()( guECu = possvel facilmente provar que, se o agente avesso ao risco e sempre prefere mais renda a menos renda, o equivalente certeza um montante menor que a renda esperada da loteria: )(gEEC < . Premio de Risco O premio de risco P associado uma loteria g o montante de renda adicional mximo que o agente est disposto a renunciar, ou pagar, para evitar o risco inerente de g . Formalmente, P um valor tal que )())(( guPgEu = . Sendo u estritamente monotonica, temos entao: ECgEP = )(

20 como indicado na Figura 1. Exemplo 2: O agente tem utilidade sobre a renda

0>R igual . Esta funao estritamente cncava, de modo que o agente avesso ao risco.

10/)( ReRu = O agente tem uma renda inicial igual 100 il reais e faz face uma loteria

m

g que lhe permite ganhar ou perder mil reais com idntica probabilidade: 10

)9021,110

21( oo=g .

Vamos calcular o equivalente certeza e o premio de risco desta loteria, para este agente.

1002/902/110)( =+=gE e temos: 10/)( CEeCEu = e )1(

21)(

21)(

21)( 21110/9010/110 eeeegu +=+= .

Igualando estes duas ltimas expresses e tomando o logaritmo Neperiano dos dois lados vem, aps multiplicao da equaao por 1 :

)433.1(10110)2/)1ln((10110)1ln(11)2ln(101 22 =+=++= eCEeCE

Ou, ainda: 67.9533.4100 ==CE O premio de risco , portanto:

33.467.95100)( === CEgEP mil reais, o que corresponde 4.33% do capital inicial. Este o valor mximo que o agente estaria disposto a pagar, para evitar o risco inerente da loteria. A identificao das atitudes dos agentes em face do risco com a curvatura da funao de utilidade a aplicao utilidade VNM de um resultado geral,

21encontrado no curso de Estatstica, a desigualdade de Jensen. Desigualdade de Jensen Considere uma varivel aleatria , com suporte X

RX e valor esperado EX finito e a funao , Rg X :que suporemos seja diferencivel em uma vizinhana de EX . Entao, g cncava (convexa) em uma vizinhana de EX se e somente se )()( XEgEXg ))()(( XEgEXg . A prova da desigualdade de Jensen simples: Temos g cncava em uma vizinhana de EX se e smente a reta tangente g em EXX = , )(XT no ficar abaixo da funao, nesta vizinhana, isto : )())(()()( XgEXXEXgEXgXT += Tomando ento o valor esperado de ambos os lados da desigualdade e usando o fato que E um operador monotonico, obtemos )()( XEgEXg . 5. Medidas de Averso ao Risco Em muitas situaes reais, no basta saber se o agente ou no avesso ao risco; necessrio saber tambm o quanto avesso ele . Alm disso, ao analista de risco, importante ter em mos alguma medida de risco sumria que permita efetuar comparaes interpessoais ou avaliar como esta medida varia de acordo com diferentes nveis de riqueza do agente.

22Pratt (1964) e Arrow (1970) propuseram o seguinte indicador, chamado Aversao Absoluta ao Risco:

)()()(

RuRuRA

= Nesta frmula, o numerador identifica a atitude face ao risco: se a derivada segunda )(Ru for negativa (nula, positiva), o indicador )(RA positivo (nulo, negativo), a utilidade VNM cncava (linear, convexa), o que permite caracterizar a averso (neutralidade, propenso) ao risco, como vimos anteriormente. Por outro lado, a diviso pela utilidade marginal da renda , na frmula de )(Ru )(RA , permite padronizar as variaes da curvatura da utilidade causadas por mudanas no nvel da riqueza, o que torna a medida invariante a transformaes afins da utilidade. Isto muito importante, pois a representaao das preferncias s invariante a transformaes crescentes afins da utilidade VNM. J a magnitude do indicador )(RA uma medida da intensidade da aversao ou propenso ao risco. Quanto maior seu valor (em mdulo) maior a curvatura da utilidade e, em conseqncia, maior a aversao ou propenso ao risco. Pode-se provar, com efeito, que elevados valores de

)(RA esto associados baixos valores do equivalente certeza )(EC e elevados prmios de risco )(P . Exemplo 3: No caso das seguintes funes de

utilidade: (a) RRu ln)( = ; (b) 0,1;)(

23

(a)R

RA 1)( = ; (b) R

RA = 1)( ; (c) =)(RA ; (d)cRbcRA

22)( +

= Nos casos (a) e (b) a intensidade da aversao ao risco decresce com o aumento da renda (riqueza) do agente. Para caracterizar esta atitude, a literatura usa a sigla DARA (Decreasing Absolute Risk Aversion) No caso (c) ela constante. Esta atitude recebe o a sigla CARA (Constant Absolute Risk Aversion). No caso (d) ela aumenta com o aumento da riqueza, nos nveis compatveis com utilidade crescente. Aversao Absoluta e Riqueza A intuio econmica e a evidencia emprica sugerem que, na maioria das vezes, a aversao absoluta ao risco decrescente com relao ao nvel da riqueza. Isto , pessoas mais ricas seriam mais tomadoras de risco, suas medidas de aversao ao risco )(RA decresceriam com aumentos de R , como nos casos (a) e (b) sugeridos acima. Isto ocorreria porque a propenso a pagar para evitar o risco de uma loteria justa deveria diminuir com o aumento da riqueza, pois o decrescimento da utilidade marginal da renda tornaria as perdas potencias da loteria menos graves para pessoas mais abastadas. Entretanto, deve-se considerar, em contrrio, que o decrescimento da utilidade, na margem, tambm tornaria os ganhos potenciais da loteria menos atrativos, de modo que pessoas mais abastadas poderiam demandar menos loterias, isto , apresentar maior aversao ao risco, justamente por causa da menor atratividade da renda lotrica.

24A ao destes dois efeitos opostos torna de fato, indeterminada a relao entre a aversao ao risco e o nvel da riqueza. Apesar da intuio econmica e a evidencia emprica, ambas apontarem para a dominncia do primeiro efeito, tudo depende na verdade das preferncias de cada agente, isto , da forma da sua funao de utilidade, como sugerem os quatro casos apresentados acima. Aversao Relativa ao Risco Entretanto, pouco provvel que a propenso a pagar para evitar o risco associado uma dada loteria seja independente da renda da pessoa. Como mencionado acima, uma hiptese plausvel que a aversao absoluta ao risco decresa com a renda e o faa de modo inversamente proporcional ela, como nos casos (a) e (b) de Exemplo 3 acima. Seguindo esta ordem de raciocnio, Pratt (1964) argumentou que a expresso )(RRA deveria ser aproximadamente constante. Isto o levou a definir a Aversao Relativa ao Risco:

)()()(

RuRuRRa

= Observe que a aversao relativa ao risco no outra coisa que o negativo da elasticidade da utilidade

marginal da renda: RRuRa

ln)(ln)(

= . Assim, no Exemplo 3, teremos, no caso (a) : 1)( =Ra e, e no caso (b): = 1)(Ra ambos constantes.

25 6. Bibliografia e Exerccios sugeridos Bibliografia: [SN] Cap.7 [N] Cap.18 [JR] Sec.2.4 Exerccios Sugeridos. Anpec: 2012/ Q05 2011/ Q05 2010/ Q04, Q05 2009/ Q08 2008/ Q03, Q04 [SN]: 7.1 - 7.5, 7.7 e 7.9-7.10 (Analytical) [JR] : 2.23 - 2.28