II.- Determine los valores de “𝑥” que satisfacen al menos una de las condiciones.
1) 2(𝑥 + 2) − 2 > 𝑥 + 1 ∨ 8𝑥 + 20 < 16(1 +𝑥
4)
2) 3𝑥 + 2 ≤ −1 ∨ 𝑥 ≥2𝑥 + 1
3
3) − 4 − 𝑥 > −5 ∨ 3
2(3𝑥 − 6) ≥ 4𝑥 − 7
4) 3𝑥 −5
7> 2 (
−5
7+ 𝑥) ∨ 3𝑥 ≤ 2(
−13
4+ 𝑥)
III.- Encuentra los valores de "𝑥" tales que la expresión sea: positivo, negativa, igual
a cero, para cada inciso.
1) 10𝑥 + 5
5
2) (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
3) 𝑥2 + 1
4) 1
𝑥+ 1
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Laboratorio #2 Inecuaciones
I.- Encontrar los valores de “𝑥” que satisfacen la desigualdad para cada inciso.
Representa la solución de forma gráfica.
1) 2𝑥 + 1
𝑥 − 1> 1
2) 2𝑥2 − 8 > 10
3) |𝑥3 − 𝑥 + 3| ≥ 3
4) |𝑥2 + 1
2| < 3
5) 𝑥5 − 1 ≤ 5
II.- Resuelve para “𝑥” ∈ ℝ
1) |5 − 𝑥| = 4
2) |𝑥2 − 1| = 4
3) |3𝑥 + 1| + |4𝑥 + 9| = 10
4) |3𝑥 + 5
3| = 9
5) |𝑥 + 4| + 3𝑥 = 2
III.- Despejar “𝑥” de la desigualdad dada y escribir la solución usando la notación
de valor absoluto.
1) 𝑥4 − 16 < 0
2) 𝑥2 − 𝑥 ≤ 6
3) 3𝑥 + 3
2𝑥 − 4< 0
4) 2𝑥 + 3 < 7𝑥 − 6
5) 𝑥2
3+ 2 (𝑥 +
1
2) < −
5
3
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Laboratorio #3 Funciones I
1.- Determina cuales de las siguientes gráficas representan una función.
1) 2) 3)
4) 5) 6)
II.- Determine si la ecuación dada representa una función.
1) 2𝑦2 − 𝑥𝑦2 = 𝑥 − 1
2) 𝑦 = √𝑥2 + 𝑥 + 1
3) 𝑥2 + 𝑦2 = 64
4) 𝑦 = |𝑥3|
III.- Calcula las funciones 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓𝑔,𝑓
𝑔 𝑦 𝑓𝜊𝑔 especificando el dominio en
cada caso.
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 5
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 4
y
x0
y
x0
y
x0
y
x0
y
x0 0x
y
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Laboratorio #4 Funciones II
I.- Para la función dada obtener 𝑓(0) y los valores de "𝑥” para los cuales 𝑓(𝑥) = 0.
1) 𝑓(𝑥) =1−𝑥+𝑥2
𝑥2−4𝑥 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1
3) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 𝑥 + 1 4) 𝑓(𝑥) = √3−𝑥
𝑥2−1
5) 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 5𝑥 + 6| 6) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 + 12
7) 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 2
−𝑥2 + 4𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
8) 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
9) 𝑓(𝑥) = |4 − 2𝑥| + 3 10) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 8|
11) 𝑓(𝑥) = √169 − 3𝑥 12) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 3
13) 𝑓(𝑥) =2𝑥2 + 1
2𝑥 + 1
II.-Determina si la función dada es par, impar o ninguna de las anteriores.
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥3 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 − 8
3) 𝑓(𝑥) =𝑥2
1−𝑥2 4) 𝑓(𝑥) =𝑥
1−𝑥3
5) 𝑓(𝑥) =𝑥2
2−𝑥 6) 𝑓(𝑥) =
1
2𝑥+1
7) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥 8) 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥4
III.-Calcular 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ, ℎ ≠ 0 si:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥3
2) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 4|
3) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1
4) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2)2
5) 𝑓(𝑥) =3𝑥 − 5
𝑥 − 1
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Laboratorio #5 Gráficas de Funciones
I.-Traza la gráfica de la función señalada
1) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 2
2) 𝑓(𝑥) = {𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑥2 − 6𝑥 + 7 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
3) 𝑓(𝑥) = {𝑥 − 1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑥2 𝑠𝑖 2 < 𝑥 ≤ 3
4) 𝑓(𝑥) = {−𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
−√1 − 𝑥2 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 1𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
5) 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
1
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1
6) 𝑓(𝑥) = {1 𝑠𝑖 𝑥 < 0
2 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
7) 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 1|
8) 𝑓(𝑥) =|𝑥|
𝑥
9) 𝑓(𝑥) = |2 − 𝑥| − 2
10) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − |𝑥|
11) 𝑓(𝑥) = |𝑥3|
12) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1| + 𝑥 + 1
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Laboratorio #6 Limites
I.- Evaluar el limite indicado utilizando la definición.
1) lim𝑥→0
2𝑥 − 3 2) lim𝑥→3
5𝑥 + 8
3) lim𝑥→2
(𝑥 − 5)𝑥
II.- Evaluar el límite
1) lim𝑥→−6
(𝑥2+3𝑥−18)
(𝑥2−36) 2) lim
𝑥→0
5𝑥2+1
5𝑥2+𝑥
3) lim𝑥→9
𝑥−9
√𝑥−3 4) lim
𝑥→1√
(𝑥3−1)
𝑥2−1
5) lim𝑥→0
6𝑥2+6𝑥
𝑥 6) lim
𝑥→1√(𝑥 − 1)
7) lim𝑥→5
(𝑥2+10𝑥+25)
(𝑥2+25) 8) lim
𝑥→∞
3𝑥3+5𝑥2+6𝑥+3
𝑥3
9) lim𝑥→∞
20𝑥+10
5𝑥2 10) lim𝑥→0
6𝑥2
2𝑥2
11) lim𝑥→−1
(𝑥3+3𝑥2+𝑥+1)
(𝑥2+2𝑥+1) 12) lim
𝑥→0(𝑥 +
2𝑥2+𝑥
𝑥)
13) lim𝑥→0
|6𝑥|
3𝑥
III.-Trazar la gráfica de la función por medio de asíntotas.
1) 𝑓(𝑥) =1
𝑥
2) 𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥 − 2
3) 𝑓(𝑥) =1 − 5𝑥
𝑥 + 5 4) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2+5
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Laboratorio #7 Continuidad
I.- Determinar los valores de x para los cuales es discontinua la función dada.
1) 3 29 7f x x x 2) 1
2 9 18f x x x
3) 2
4
1
1
xh x
x
4)
1
2
xR x
sen x
5) 3
tg xV x
x
6)
2 25, 5
5
10 , 5
xx
f x x
x
7)
2 1, 1
1
2 , 1
xx
f x x
x
8) , 0
1 , 0
xx
f x x
x
II.- Determinar los valores de a y k de modo que la función dada sea continua en los reales
1)
, 3
, 3
2 9 , 3
a x x
f x k x
x x
2)
2 4, 2
2
, 2
xx
f x x
k x
3)
, 1
5 , 1
2 , 1
a x k x
f x x
a x k x
III.- Verificar las condiciones del teorema del valor intermedio para la función dada en el intervalo indicado. Si las condiciones se cumplen, halla el valor de c que satisfaga la conclusión del teorema
1) 2 2 , 1 , 5 ; 8f x x x k
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2) 2 1 , 2 , 3 ; 6f x x x k
IV.- Evaluar el limite indicado.
1)
0
4limt
sen t
t
2)
0
cos 2lim
cos3x
x
x
3) 2
20
2lim
cos
sen
4)
0
1lim
1 cosr
sen r
r
5) 0
1 coslim
z
z
z
6)
2
2lim
x
x
sen x
7)
2
5 10lim
4 8t
sen t
t
V.- Trazar dos periodos de la gráfica de las funciones siguientes.
1) cos3
xf x
2)
3f t sen t
3) 2f x tg x
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Laboratorio #8 Derivadas
I.- Obtener la derivada de las funciones siguientes por definición y simplificar el
resultado.
1) 𝑓(𝑥) = 4
2) 𝑔(𝑧) = 2𝑧 + 3
3) ℎ(𝑦) =1
√𝑦+2
4) 𝑓(𝑡) = 𝑡2(𝑡 + 5)
II.- Obtener la derivada de las funciones siguientes y simplificar el resultado.
1) 𝑔(𝑡) =6
(𝑡2+𝑡)3
2) ℎ(𝑡) = (𝑡5 + 5𝑡)(𝑡2 + 1)
3) 𝑉(𝑡) = (1
2𝑡3)2(5𝑡3 + 3)2
4) 𝑌(𝑟) =5
𝑟2(𝑟+1)3
5) 𝑋(𝑠) = (5𝑠 + 1)5(𝑠2𝑠 + 1)
6) 𝑇(𝑡) =√𝑡2+1
6
√5𝑡+83
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Laboratorio #9 Derivadas II
I.- Obtener la derivada de las funciones siguientes y simplificar cada resultado.
1) 𝑓(𝑟) =1
5𝑟2+10𝑟+3
2) 𝑓(𝑧) = √𝑧 + 1 +1
√𝑧2−1
3) 𝑌(𝑡) = (𝑡+5
𝑡−1)−
1
2
4) 𝑋(𝑦) =(𝑦−1)2
(𝑦2−1)2
5) 𝑋(𝜃) =(𝜃+1)2+𝜃
√𝜃
6) 𝑓(𝜃) = 1 + 3𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑐𝜃
7) 𝑔(∝) =∝ +𝑡𝑎𝑛2 ∝
8) 𝑟(𝜃) = 𝜃5𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠5𝜃
9) 𝑔(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛5𝑡 𝑐𝑠𝑐5𝑡
10) ℎ(𝑡) = 𝑡𝑎𝑛2(1
𝑡2)
11) 𝑓(𝜃) =𝑐𝑜𝑠𝜃
√𝑠𝑒𝑛𝜃
12) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 5)6 tan (3𝑥 + 1)
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Laboratorio #10 Aplicaciones geométricas de la derivada y derivación
implícita
I.- Resuelve los siguientes problemas.
1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥 + 2 en el
punto (4,8)
2. Obtener el punto de la gráfica 𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥 − 2 en el cual la pendiente de la
recta tangente sea igual a 6.
3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 4𝑥2 − 10 que es
paralela a la recta 3x-y+12=0.
II.- Usar diferenciación implícita para obtener 𝑑𝑥
𝑑𝑦.
1) 3𝑥4 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 9 − 𝑦 = 0
2) 5𝑥2 − 3𝑦2 + 2𝑥𝑦 − 2𝑥 + 1 = 0
3) 7𝑥𝑦2 − 5𝑦 + √𝑥2𝑦 = 41
III.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica dada en el punto indicado.
1) 𝑦 = 2𝑥3 +1
2𝑥2 − 6; (2,12)
2) 𝑦 = 𝑥5 − 𝑥4 + 1; (1,1)
3) 𝑦 = 𝑥3 + 6𝑥2 − 9; (−1, −4)
IV.- Obtener los puntos de la gráfica de la ecuación dada en los cuales la recta
tangente es horizontal.
1) 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 − 2
2) 𝑦 = 2𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥
3) 𝑦 = 3𝑥2 − 12𝑥
V.-Hallar y simplificar 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
1) 𝑦 = 3𝑥2 − 9𝑥5 + 3𝑥4
2) 𝑥𝑦 + 7𝑥 − 8𝑦 = 5
3) 𝑥3 + 𝑦3 + 3𝑥2𝑦 − 12𝑦 = 0
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Laboratorio #11 Aplicaciones gráficas
I.- Para la función obtener:
a) Sus valores máximos y mínimos relativos
b) Los intervalos donde es creciente y los cuales donde es decreciente
c) Puntos de inflexión
d) Intervalos donde es cóncava hacia arriba o hacia abajo
1) f(x) = x2 + 4x + 3
2) f(x) = 1
𝑥
3) f(x) = x3 + x2 + 3
4) f(x) = x2+5
5𝑥+1
5) f(x) = x4 + 2x
6) f(x) = x + 1
𝑥
II.-Trazar la gráfica de una función continua que cumpla con las condiciones dadas.
1) f(3) = 0
f’(3) = 0
f’’(x) > 0
2) f(0) = 3
f’(x) < 0
f’’(x) < 0
3) f(0) = 5
f’(x) = 0
f’’(x) = 0
4) f(0) = 0
f’(x) > 0
f’’(x) > 0
para x > 0
f’’(x) < 0
para x < 0
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Laboratorio #12 Problemas de optimización
I.-Resuelve los siguientes problemas
1) Dos hermanas empezarán en el negocio de la cosecha y van a comprar un
terreno de 30𝑚2(rectangular). Cada uno cercará 2 lados (de la misma longitud) del terreno. El hermano x gastará $5 dólares por metro. El hermano y gastará $6 dólares por metro. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno que cercará cada hermano si se requieren minimizar gastos?
2) El área de una superficie rectangular es de 18𝑚2. Sabemos que en su interior hay otra superficie rectangular de forma que los márgenes: superior e inferior rectangular entre ellas son de ¾ m (0.75m) y que los márgenes laterales son de 1/2 m (0.5m). Halla las dimensiones de la superficie exterior para que el área comprendida entre los márgenes sea máxima.
3) Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio
12 cm.
4) Se tiene una lámina de cartón de 80cm x 50 cm y se quiere construir una caja
con ella, para esto se recortara en cada esquina un cuadrado de lado x. Calcular x para que el volumen de dicha caja sea máximo.
5) Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm rota sobre su altura formando un
ceno. ¿Qué valor se debe dar a la base para que el volumen del cono se máximo?
6) Una imprenta tiene el trabajo de realizar un cartel con las siguientes
características: la zona impresa debe ocupar 100 𝑐𝑚2, el margen superior debe medir 3 cm, el inferior 2 cm el izquierdo 5 cm y el derecho 3 cm. Calcule las dimensiones del cartel para utilizar la menor cantidad de papel posible.
7) Un agricultor sabe que si vende hoy su cosecha podrá recoger 50000 kg que
le pagarán a un precio de $20 pesos por kg. Por cada día que espere la cosecha disminuirá en 800 kg pero el precio aumentará en $3 pesos por kg. ¿Cuántos días deberá esperar para obtener el mayor beneficio?
