Date post: | 05-Jul-2015 |
Category: |
Technology |
Upload: | sencico |
View: | 172 times |
Download: | 0 times |
Cuaderno de Actividades: Física II
10) OSCILACIONES ELECTROMAGNÉTICAS
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 187
Cuaderno de Actividades: Física II
10.1) Circuitos LC
− −
+
→ + ≡
→ ≡
≡
&
&&
&
De la 2ª Ley de Kirchhoff :q diL
1q
0C dt1 q Lq 0
qLC
C
0
Esta ecuación ya se ha encontrado en la mecánica clásica.
( )
≡ ≡+
≡ +
&& 2,
x t Asenωt δm
mx kx 0 kω
Simetría con Movimiento Oscilatorio,MAS :
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
( )i t
0q
C
188
Cuaderno de Actividades: Física II
• Simetrías
1,1
x q
k C Cm L
−
⇔⇔
⇔
⇔
MECANICA ELECTROMAGNETISMO
( )
( )
0
0
1 1,
2
1 1cos
2
2q t q sen t LCLC
i t q tLC LC
π ω
π
≡ + ≡
≡ + ÷
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
k m
PE
0 x x
189
Cuaderno de Actividades: Física II
2
2T LCπ π
ω≡ ≡
10.2) Circuitos RLC en serie
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 190
Cuaderno de Actividades: Física II
( )Ri q q t− − − ≡ ¬ ≡
2ª Ley de Kirchoff :
q diL 0C dt
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
C L R0t ≡ 0t >
( )i i t≡
km
PE
0 x x
" " f bv⊕ ≡
mFr
191
Cuaderno de Actividades: Física II
+ + ≡
&& &R 1 Cq q q 0L L
( ) 2(0)R
tLq t q e sen tω ϕ
−
≡ +
12 2 2 220 0
1; ,
2b b
R
L
C Lω ω ω ω ω≡ + ≡ ≡
rF kx bv ma≡ − − ≡2ª Ley de Newton :
( )
2
2 2 20 0
0
, ,2
bt
m
2b b
b kx x x
m m
k b
m
x t Ae se t
m
n
ω ω ω ω ω
ω ϕ−
≡ +→ + + ≡ →
≡ − ≡ ≡
&& &
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
km
" " f bv⊕ ≡
192
Cuaderno de Actividades: Física II
1,1
b R
m L
k C C−
⇔⇔⇔
⇔
MECANICA ELECTROMAGNETISMO
*La masa inercial, m, se relaciona con L pues las dos tiene carácter opositor.*Si k es muy grande la deformación, x, es pequeña, a mayor k menor x; análogamente, si el C es grande se tendría gran carga, q, por eso k se
relaciona con C-1.
S6P8) El circuito mostrado tiene el condensador con carga Q.a) Halle la ED en función de q(t)b) Resuelva la EDc) Grafique q(t) e I(t)d) ¿Para que valores de resistencia la forma de q(t) será diferente?
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
10 Ω
45µF8mH
193
Cuaderno de Actividades: Física II
1/
b R
k C
m L
===
+ + ≡
&& &R 1 Cq q q 0L L
0
21
R
k
Rw
L
w wLC
m L
=
= =
=
0RP a w
A
r wa
M A
<
→
0Rw w
M Amortiguado Cr
Para
itico→
=
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 194
Cuaderno de Actividades: Física II
0Rw w
M SobreAmorti
Para
guado
>
→
3
0 3 6
10
2 2 8 101 1
8 10 45 10?
R
k
Rw
L
w wLC
−
− −
= =× ×
= = =× × ×
L
S6P28)
En el circuito que se muestre en la figura, el interruptor S está cerrado en el instante t = 0, produciendo una corriente i1 a través de la rama inductiva y una
corriente i2 a través de la rama capacitiva. La carga inicial en el capacitor es
cero y la carga en el instante t es q2.
a) Deduzca lasexpresiones para i1 , i2 y q como funciones del tiempo.
Exprese su respuesta en términos de ε, L, C, R1, R2 y t. Para el resto del
problema, tome los siguientes valores para los elementos del circuito: ε = 48 V, L = 8,0 H, C =20 µF, R1 = 25 Ω y R2 = 5000 Ω,
b) ¿Cuál es la corriente inicial a través de la rama inductiva? ¿Cuál es la corriente inicial a través de la rama capacitiva? c) ¿Qué valores tienen lascorrientes a través de la rama inductiva y de la rama capacitiva un tiempo grande después de que el interruptor ha sido cerrado? ¿Qué se puedeconsiderar como un “tiempo grande”? Explique su respuesta, d) ¿En qué instante t1 (exacto hasta dos cifras significativas) serán iguales las
corrientes i1 e i2 ? (sugerencia: Podría considerar el uso de los desarrollos en
serie para los exponenciales) e) Para las condiciones dadas en d) determine i1,
f) La corriente total a través de la batería es i = i1 + i2 ,¿En qué instante t2 (exacto hasta dos cifras significativas) será igual a la mitad de su valor final?
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 195
+ ε s R
1 L
R2 C
Cuaderno de Actividades: Física II
Solución:( ) 1 20 : , 0 0, 48, 8, 20 , 25 5t s q L C R R kε µ= ↓ = = = = = ∧ =
11 1
12 2 1 1 2
2 :1) 0
2)
)
0
da diDela LK R i L
dtdiq
R i L R i q iC
a
dt
ε+ − − =
− − + + = ¬ =&
( ) ( ) ( )
( )2
2
2
2
/
/2
2
1 2 : 0 : !
0 " "
1
i
c
t R C
t R C
qDe en R q ojo malla externa
Cq
R q E DiF conocidaC
q C e
q eR
ε
ε
ε
ε
−
−
− − + = =
− − =
= −
= =
&
&
&
( ) '1 1 11 : 0 " "CD E Die Li R i F conocidaε+ − − =
2 0q
R qC
ε − − = &
' 11
1
01
iLi
R
ε+ − − = ÷
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 196
Cuaderno de Actividades: Física II
1
1
1
11 1
1 i 1 1
t
R tLR Le e
R R
εε
− ÷ −
÷
= − = − ÷ ÷ ÷ ÷
( ) ( ) ( ) 21 2 3
1
480 0 0 , 0 10
5 1)
0b i i
R
ε −= × = = ≈×
( ) ( )1 21
482 , 0
35) i t ic t
R
ε→ ∞ = = ≈ → ∞ =
3 62
1
: ? 5 10 20 10 0,1
8 0,32
25
C
L
t R C x x x
L
R
τ
τ
−→ ∞ = = =
= = =
K
1 1 2?/) id t i= =
( )1 1 i tε= ( )
1 1
2 11
1 iR t
Le tR
ε− − = = ÷
1
2
2
t
R CeR
−
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
i1
2
10-2
i2
0 t1 t
i
197
Cuaderno de Actividades: Física II
2 3xUsando: e =1+x
2! 3!
x x+ + L
( )1 1i tε= ( )
1
2 11
1 iR t
Le tR
ε− − = = ÷
1
2
2
t
R CeR
−
1 11
1 2 2
1 11 1 1
R tt
R L R R C
− − = − ÷
2
1
R
R1Rx 1
12
1t
tL R C
= − ÷
2 11 1 3
2 2
2
1 11 0,0016
5 10 118 0,1
R tt t
L R C xR
L R C
= − → = = ≈
++
( )25 0,0016
3 381 1e
48 i 1,6 10 1 9,6 10)
25
x
t x e x−− −
≈ = − ≈ ÷
1 2) f i i i= +
( ) ( )2 2
1 1t ?/ 2 1
2 2i t i t x= = → ∞ = =
( ) ( ) ( )2 1 2 2 2i t i t i t= + 1=
( )1 2 1i t =
( )1
2
1 21
i 1 1Rt
Lt eR
ε − = − = ÷
2
0,32481 1
25
t
e−
= − = ÷ ÷
2
250,32ln 1 0, 24
48t − − = =
S6P27) Considere un circuito RLC subamortiguado (débilmente amortiguado) se pide determinar:
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 198
Cuaderno de Actividades: Física II
a) Una formula para la energía U = UE + UB almacenadas en los campos
eléctricos y magnético como función del tiempo. Establecer el resultado en términos de la carga inicial Q0 del capacitor la resistencia R y la
inductancia L.b) Muestre cómo dU/dt se relaciona con el cambio de energía que se disipa
en el resistor.
Solución:
0 Rw w>
2 2 2
2 2 21 1 1 1 1
2 2 2 2)
2 2 2EM E Baq q Lq
E U U U C V LI LIC C
= ≡ + ≡ ∆ + ≡ + ≡ +&
( ) 2(0)RtLq t q e cos tω ϕ
−
≡ −
2 2(0) cos2
R Rt tL L
dq Ri I q e t e sen t
dt Lω ϕ ω ω ϕ
− − −≡ ≡ ≡ − − −
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
L
R S
C
199
Cuaderno de Actividades: Física II
22 2
2 2 21(0) cos (0) cos
2 2 2 2
R Rt t
L Lq Lq L R
U q e t q e wsenc c L
ω ϕ− − − ≡ + ≡ − + −
&&
2
2
2 22 2 2 2
2
1
4
(0) 1cos cos cos
2 4
Rt
L
R
LC L
q R Rwe L sen w sen
c L L
−
−
≡ + + +
( ) ( ) 2 20 1
cos cos 22 4
Rt
Lq R
U e Rw sen tC L
ω ϕ−
≡ + + −
b) α) Por conservación de la E
20
2R iE B
QE E E E
C+ + ≡ ≡r r
14243
2 2 2
2 20 0 0
2 2 2EM R
Q Q QE E Ri dt Rq dt
C C C≡ − ≡ − ≡ −∫ ∫ &
2 20M
d dE Rq dt Rq
dt dt→ ≡ − ≡ −∫ & &
2M
dE Rq
dt→ ≡ − &
β) Usando la Ec DIF
2
21
2 2M E B
qE U U Lq
c≡ + ≡ +r r &
2M
dE
dt≡
2
qq& 2
C+
2
Lqq&&& 21 RLq q q Lq q Rq
LC L
− ≡ + ≡ ≡ −
& && & & &14243
La EM disminuye y lo hace disipando energía a través de la R. (RI2 !)
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 200