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7/26/2019 Cap 11 Linealizacion
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Anlisis de Seales y SistemasHector Pea M. EIE - UCV
CAPITULO 11
LINEALIZACION: ESTUDIO DE
NOLINEALES A PEQUEA
SEAL
f(aX+bY) ! af(X)+bf(Y)
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Anlisis de Seales y SistemasHector Pea M. EIE - UCV
Sistemas 332
El estudio de nolineales o sistemas nolineales es motivo de
gran actividad. Los fundamentos matemticos, conocidocomo teora cualitativa de ecuaciones diferenciales, es un
ejemplo.En general la situacin, para este curso, es la de utilizar de los
fundamentos de los lineales y con ellos determinar un
comportamiento aproximado del nolineal, a lo menos en
las cercanas inmediatas de inters.
Un ejemplo apropiado que muestra esta situacin es el delpndulo. La ecuacin que rige un pndulo real es :
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Sistemas 333
donde:
b coef. de roce
0sen2
2
"## !!!
l
g
dt
d
m
b
dt
d
mg
mgsen$
$
$
00
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Anlisis de Seales y SistemasHector Pea M. EIE - UCV
Sistemas 334
Para simplificar hacemos b = 0 y asumimos que el ngulo $sufre pequeos cambios y adems supondremos que estosse verifican en la posicin de reposo $ = 00.
Tenemos entonces:
por lo visto en el Cap. 5, escribimos:
obteniendo as:
02
2
"# !!l
g
dt
d
%
"
"
!
!
2
1
x
x
12
21
xl
gx
xx
&"
"%
%
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Sistemas 335
Como este modelo corresponde a uno lineal, entonces
determinamos los valores propios obteniendo:
es decir, complejos conjugados son parte real nula (i.e. sin
atenuacin), esto corresponde a una oscilacin de amplitudmantenida y frecuencia angular:
rad/s
''(
)
**+
,
&" 0
10
lgA l
g
j-"2,1"
l
g"#
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Anlisis de Seales y SistemasHector Pea M. EIE - UCV
Sistemas 336
Para tener una visin compacta de la posicin y velocidadangular se genera una ecuacin para un plano
(denominado PLANO DE FASE), como sigue:
a) divida la 2a ecn. por la 1a :
b) separe las variables:
c)integrando se obtiene:
),(%
!!
1
2
2
1
1
2
dx
dx
x
xlg
x
x"
&"
%
%
1122 dxxl
gdxx &"
Econstantexl
gx ""# 21
2
222
1
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Anlisis de Seales y SistemasHector Pea M. EIE - UCV
Sistemas 337
La ltima ecuacin corresponde con una elipse, cuyossemiejes quedan definidos como se muestra en la figura:
x1
x2
- E2
Eg
l2-
t
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Anlisis de Seales y SistemasHector Pea M. EIE - UCV
Sistemas 338
La respuesta angular versus tiempo ser entonces:
claramente la amplitud de la oscilacin, as como su
frecuencia, variar de acuerdo al valor de .
Observemos algunas caractersticas de comportamiento de
este sistema: PENDULO
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Anlisis de Seales y SistemasHector Pea M. EIE - UCV
Sistemas 339
Algunas preguntas:
Qu sucede cuando $ = 00 ? cuando $ = 1800 ? $=900?
Y entonces cmo responder estas preguntas? qu
herramientas puedo utilizar para desarrollar unconocimiento y comprensin de la dinmica de unsistema?
La respuesta es doble:
Para estudiar los nolineales es necesario estudiar teoracualitativa . (postgrado)
Determinar comportamiento aproximado con los lineales. (S)
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Sistemas 340
Veamos, entonces, como nos ayuda lo estudiado en
matemticas.
6.1 PUNTOS DE OPERACIN
Se habla de punto o condicin de operacin, valor nominal,punto de equilibrio, punto Q, flujo de carga, etc. para
referirse a una condicin de estado estacionario o reposo.Es decir, condicin en la cual las variaciones son nulas.
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Sistemas 341
Para una ecuacin diferencial de orden n esto equivale aanular todas las derivadas de la variable dependiente, por
ejemplo, sea:
haciendo las derivadas cero, se obtienen dos soluciones para
la variable :
estos son puntos estacionarios o puntos de operacin.Corresponden con los ngulos 0 y 180 del pndulo.
0)()1(24 22 "###%%%%%%
yyyyyy
10 00 &"" yy
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Sistemas 342
Determinar los puntos de operacin es de importancia porcuanto ser posible determinar un modelo lineal vlido enlas cercanas de ellos. Recuerde la expansin en Serie de
Taylor:
observen que esto puede reescribirse como:
.supordendetrminos)()(),(),( 000000
00
#&.
.#&
.
.#" yy
y
fxx
x
fyxfyxf
yxyx
.supordendetrminos)()(),(),( 000000
00
#&.
.#&.
."& yyy
fxxx
fyxfyxf
yxyx
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Sistemas 343
Defina cada diferencia como un incremento en la variable o
funcin, es decir:
claramente las parciales evaluadas en x0,y0 corresponden, en
este caso, a constantes (en el caso general a matrices con
coeficientes constantes), por lo que escribimos:
.supordendetrminos00
00
),( #/.
.
#/.
.
"/ yy
f
xx
f
yxfyxyx
yJxJyxf /#/"/ 21),(
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Sistemas 344
Grficamente corresponde a:
x
y
f(x,y)
x0
y0/y
/x
/f(/x, /y)
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Sistemas 345
Como se destaca, la funcin f(x,y) , no lineal, ha sidoaproximada por una lineal en las cercanas de (x0,y0).
Utilicemos lo visto y aplicando sobre la ecuacin del pndulo
obtenemos como puntos de operacin:
$ = 0, -0, -20, etc.
Aplicamos ahora la serie de Taylor, slo en aquellos trminosnolineales:
0sen2
2
"## !!!
l
g
dt
d
m
b
dt
d
0sen "!
0cos 02
2
"/#/
#/
!!!!
l
g
dt
d
m
b
dt
d
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Sistemas 346
Para $ = 0, la EDO lineal viene dada como:
(1)
Para $ = -0 la EDO lineal viene dada como:
(2)
supongamos por simpleza, que =1, b=0, entonces para la
Ecn (1)
Ecn.(2)
02
2
"/#/
#/
!!!
l
g
dt
d
m
b
dt
d
02
2
"/&/
#/
!!!
l
g
dt
d
m
b
dt
d
02
2
"/#/
!!
gdt
d
02
2
"/&/
!!
gdt
d
l
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Anlisis de Seales y SistemasHector Pea M. EIE - UCV
Sistemas 347
Ahora con
obtenemos:
es decir
es decir, cada punto de operacin tiene un espectro diferente,
uno corresponde con races complejas con parte real nula,y el otro corresponde a races reales de signo contrario.
%
"" !! 21 y xx
'(
)*+
,
&"
0
101
gA '
(
)*+
,"
0
102
gA
gA -")( 2"gjA -")( 1"
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Anlisis de Seales y SistemasHector Pea M. EIE - UCV
Sistemas 348
Estas diferentes soluciones se presentan generalmente en un
plano de fase, que corresponde al campo de solucin de laecuacin diferencial, tal como se muestra a continuacin:
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Anlisis de Seales y SistemasHector Pea M. EIE - UCV
Sistemas 349
En las cercanas de cada punto de operacin obtenemos lossiguientes planos de fase:
/x2
/x1
$ = 0
/x2
/x1
-0centro silla
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Sistemas 350
Vemos que entorno a 00 las soluciones son peridicas en elsentido reloj. En torno a -0 las soluciones son separatrices(de punto silla), que provienen de y se acercan a la
posicin de equilibrio vertical para tiempo muy largo yseparan las soluciones peridicas (ida y vuelta) de lassoluciones giratorias sin parar.
Veamos ahora como procederemos. Supondremos que hemos
obtenido un modelo de estado nolineal que denotaremos
como:
),(),(
uxgyuxfx
""
%
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Sistemas 351
Primeramente debemos determinar los puntos de operacin(P.O.), es decir:
la solucin de estos conjuntos de ecuaciones pueden o no,depender de la entrada u. Visto que se determinan puntos
de operacin, estas entradas debern encontrarse en estadoestacionario.
En segundo lugar debemos aproximar el modelo no lineal por
uno lineal vlido en cada P.O., es decir:
0),( "uxf
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Sistemas 352
dondeuJxJyuJxJx
/#/"/#/"/
%
43
21
'''
'
(
)
***
*
+
,
.
...
.
.
.
.
"
n
nn
n
x
f
x
f
x
f
x
f
J
1
1
1
1
1
'''
'
(
)
***
*
+
,
.
...
.
.
.
.
"
n
nn
n
u
f
u
f
u
f
u
f
J
1
1
1
1
2
'''
'
(
)
***
*
+
,
.
...
.
.
.
.
"
n
nn
n
x
g
x
g
x
g
x
g
J
1
1
1
1
3
'''
'
(
)
***
*
+
,
.
...
.
.
.
.
"
n
nn
n
u
g
u
g
u
g
u
g
J
1
1
1
1
4
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Sistemas 353
Cada matriz J as calculada se denomina Jacobiana .
En tercer lugar se evala cada jacobiana en cada P. O.obteniendose as, el modelo lineal vlido en el respectivo
P.O.La particular dinmica en torno a cada P.O. se calcula va los
valores propios de cada matriz de planta obtenida.
Para nuestro pndulo, el modelo de estado nolineal vienedado como:
uxm
bx
l
gx
xx#&&"
"%
%
212
21
sen
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Sistemas 354
Clculo de los P.O.
Para simplificar, se supone u(t)=0, y se obtiene:
es decir x10 x20
P.O.1 0 0P.O.2 -0 0
0),(sen
0),(
2121
212
""#&&
""
xxfuxm
bx
l
gxxfx
21
12
0sen0
xxxx
1"1"
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Sistemas 355
Esto equivale en un plano de fase a :
Clculo de Jacobiana
x1
x2
-0 0
''(
)
**+
,
&&"
m
b
xl
gJ101 cos
10
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Sistemas 356
Evaluando en cada P.O. se obtiene:
P.O. 1:
P.O.2:
'
'
(
)
*
*
+
,
&&"
m
b
l
gJ10
1
''(
)
**+
,
&" m
b
l
gJ
10
1 $ ''(
)
**+
,
&"& m
b
l
gJ
10
1 $
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Sistemas 357
Es posible evaluar los valores propios como:
P.O. 1
reales diferentes
P.O. 2
complejas conjugadas
reales iguales reales distintas
l
g
m
b
m
b 4
2
1
2
2
2,1 #23
456
7-&""
l
g
m
b
m
b 4
2
1
2
2
2,1 &23
456
7-&""
04
2
8&23
456
7l
g
m
b
0
42
"&23
4
56
7l
g
m
b
0
42
9&23
4
56
7l
g
m
b
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Sistemas 358
Esto se puede graficar en el plano Traza-Determinante
g/l(determinante)
b/m (traza)
04
2
8&23
456
7l
g
m
b
04
2
9&2
3
45
6
7
l
g
m
b
04
2
"&234567 l
g
m
b
0
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Sistemas 359
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