Propiedad Intelectual Cpech
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Propiedad Intelectual Cpech
ACOMPAÑAMIENTO ANUALBLOQUE 21
PP
TC
AC
046
MT
21
-A15
V1
Propiedad Intelectual Cpech
¿Cómo reviso mis resultados?
Atiendo al resultado,
comparo mi puntaje con el
ensayo anterior.
Reviso mi puntaje, veo cuánto he
avanzado y me comparo con el
curso.
O soy el que además,
identifico los contenidos que
tengo que reforzar.
INFORME ACADÉMICO RESULTADOS POR ALUMNO
Propiedad Intelectual Cpech
INFORME ACADÉMICO RESULTADOS POR ALUMNO
Puedes aquí comparar tu resultado con tu grupo curso y sede
Tus datos
Propiedad Intelectual Cpech
Resultados por habilidad y contenido
En este cuadro puedes relacionar tu desempeño por contenido con la habilidad asociada a él y además, compararlo con el resultado
obtenido por la sede
Propiedad Intelectual Cpech
¿Entonces…cómo reviso mis resultados?
INFORME ACADÉMICO RESULTADOS POR ALUMNO
Reviso mi resultado, veo mi avance, lo comparo con mi curso y me fijo en los contenidos que debo fortalecer.
Propiedad Intelectual Cpech
Aprendizajes esperados
• Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita, con raíces reales o complejas.
• Deducir la fórmula de la ecuación general de segundo grado y el comportamiento de sus raíces.
• Determinar concavidad, vértice, eje de simetría e intersección con el eje de las ordenadas en una función cuadrática, estudiando las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros y determinar el dominio y recorrido de la función.
• Analizar la existencia de los ceros o raíces de una función cuadrática, mediante la interpretación del discriminante y determinarlos, indicando a qué conjunto pertenecen.
• Analizar las distintas representaciones de la función cuadrática.
• Utilizar la función cuadrática para modelar situaciones o fenómenos en contextos significativos, y representarlos gráficamente.
Propiedad Intelectual Cpech
Contenidos
Resolución de ecuaciones de segundo grado.
Ecuación de segundo grado
y función cuadrática
Análisis de función cuadrática.
Determinación y análisis del discriminante.
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuación de segundo grado
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma:
ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0
Ejemplos:
1) 5x2 + 3x + 1 = 0
2) – 2x2 + 7x – 1 = 0
3) x2 – 2x + 8 = 0
Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces.
a = 5, b = 3 y c = 1
a = – 2, b = 7 y c = – 1
a = 1, b = – 2 y c = 8
Propiedad Intelectual Cpech
Raíces de una ecuación de segundo grado
Ejemplo:
¿Cuáles son las raíces o soluciones de la ecuación x2 – 3x – 4 = 0?
–(– 3) ± (– 3)2 – 4·1·(– 4)2·1x =
3 ± 9 + 162
x =
– b ± b2 – 4ac
2ax =
Ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado, se resuelve mediante la siguiente fórmula:
a = 1, b = – 3 y c = – 4
Propiedad Intelectual Cpech
2x1 =
82
x2 = – 2
x1 = 4 x2 = – 1
3 ± 252
x =
3 ± 52
x =
Raíces de una ecuación de segundo grado
Ecuación de segundo grado
Propiedad Intelectual Cpech
También podemos obtener las raíces de la ecuación, factorizando como producto de binomios:
x2 – 3x – 4 = 0
(x – 4)(x + 1) = 0
(x – 4)= 0 ó (x + 1)= 0
x1 = 4 x2 = – 1
Raíces de una ecuación de segundo grado
Ecuación de segundo grado
Ejemplo:
Propiedad Intelectual Cpech
ca
x1 · x2 =
Propiedades de las raíces
Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado, de la forma ax2 + bx + c = 0, entonces:
– ba
x1 + x2 =1)
2)
Ecuación de segundo grado
Ejemplo:Si en la ecuación x2 – 3x – 4 = 0, a = 1, b = – 3 y c = – 4, entonces:
–(– 3)1
x1 + x2 =
x1 + x2 = 3
– 41
x1 · x2 =
x1 · x2 = – 4
Propiedad Intelectual Cpech
x2 – (x1 + x2)·x + x1·x2 = 0
Propiedades de las raíces
¿Cómo determinar una ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones x1 y x2?
Ecuación de segundo grado
Ejemplo:
Al conocer x1 y x2, la ecuación se puede escribir como
Una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 4 y − 2 es
x2 – (4 + (– 2))·x + 4·(– 2) = 0
x1 = 4, x2 = – 2
x2 – 2x – 8 = 0
Propiedad Intelectual Cpech
Discriminante
En una ecuación de segundo grado, de la forma ax2 + bx + c = 0,la expresión b2 – 4ac, se denomina “discriminante” y su valor permite conocer la naturaleza de las raíces.
Δ = b2 – 4ac
a) Si b2 – 4ac > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.
Ecuación de segundo grado
b) Si b2 – 4ac < 0, entonces la ecuación NO tiene solución real.
c) Si b2 – 4ac = 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales.
Propiedad Intelectual Cpech
Discriminante
Ecuación de segundo grado
Ejemplo:
1) 2x2 – x – 3 = 0 b2 – 4ac = (– 1)2 – 4∙2∙(– 3)
b2 – 4ac = 1 + 24
b2 – 4ac = 25 > 0
Entonces la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas
Al resolver la ecuación, lo podremos comprobar.
a = 2, b = – 1 y c = – 3
– b ± Δ
2ax =
1 ± 25
4x =
1 + 5
4x1 =
1 – 5
4x2 = x2 = – 1
32
x1 =
Propiedad Intelectual Cpech
Discriminante
Ecuación de segundo grado
Ejemplo:
2) x2 – 6x + 10 = 0 b2 – 4ac = (– 6)2 – 4∙1∙(10)
b2 – 4ac = 36 – 40
b2 – 4ac = – 4 < 0
Entonces la ecuación tiene no tiene solución real. Tiene dos soluciones complejas conjugadas.
a = 1, b = – 6 y c = 10
Al resolver la ecuación, lo podremos comprobar. – b ± Δ
2ax =
6 ± – 4
2x =
6 + 2i
2x1 =
6 – 2i
2x2 = x2 = 3 – i
x1 = 3 + i
Propiedad Intelectual Cpech
Discriminante
Ecuación de segundo grado
Ejemplo:
3) 25x2 + 10x + 1 = 0 b2 – 4ac = (10)2 – 4∙25∙(1)
b2 – 4ac = 100 – 100
b2 – 4ac = 0
Entonces la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales.
a = 25, b = 10 y c = 1
Al resolver la ecuación, lo podremos comprobar. – b ± Δ
2ax =
– 10 ± 0
50x =
– 10 + 0
50x1 =
– 10 – 0
50x2 =
x1 = – 1 5
x2 = – 1 5
Propiedad Intelectual Cpech
Ecuación de segundo grado
ax2 = 0
con a ≠ 0
Ejemplo:
3x2 = 0
ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0
Las soluciones son
con a ≠ 0 con a ≠ 0
Ejemplo:
x2 + 3x = 0
x(x + 3) = 0
x1 = 0x2 = – 3
Ejemplo:
x2 – 25 = 0
x2 = 25
x1 = 5 x2 = – 5
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando b o c (o ambos) son iguales a cero. Por tanto, existen tres tipos:
x1 = 0
x2 = 0
Las soluciones son
x1 = 0
x2 = a
b a
c
Las soluciones son
a
c
x1 =
x2 =
x1 = 0x2 = 0
Propiedad Intelectual Cpech
Función cuadrática
Definición
Es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c
Ejemplos:
y su representación gráfica
corresponde a una parábola
a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1
b) Si f(x) = 4x2 – 5x – 2
a = 2, b = 3 y c = 1
a = 4, b = – 5 y c = – 2
con a 0; a, b, c IR
Propiedad Intelectual Cpech
Intersección con eje Y
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente c indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta al eje Y.
x
y
x
y
c(0, c)
Función cuadrática
Propiedad Intelectual Cpech
Concavidad
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
Si a > 0,es cóncava hacia arriba
Si a < 0,es cóncava hacia abajo
Función cuadrática
Propiedad Intelectual Cpech
Concavidad
Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0, – 4) y es
cóncava hacia arriba.
x
y
Ejemplo:
En la función f(x) = x2 – 3x – 4 , a = 1 > 0 y c = – 4.
(0, – 4)
Función cuadrática
Propiedad Intelectual Cpech
Eje de simetría y vértice
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela al eje Y.
x
y Eje de simetría
Vértice
El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad.
Función cuadrática
Propiedad Intelectual Cpech
Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces:
b) Su vértice es:
a) Su eje de simetría es:
2a 2aV = –b , f –b
4a –b , 4ac – b2
2aV =
–b2a
x =
Eje de simetría y vértice
Función cuadrática
Propiedad Intelectual Cpech
Ejemplo:
2·1 –2x =
En la función f(x) = x2 + 2x – 8, a = 1, b = 2 y c = – 8, entonces:
V = (– 1, f(– 1) )
a) Su eje de simetría es: x = – 1
b) Su vértice es:
V = (– 1, – 9)
2a –b
x =
–b , f –b2a 2a
V =
Eje de simetría y vértice
Función cuadrática
Propiedad Intelectual Cpech
f(x)
V = (– 1, – 9 )
x = – 1Eje de simetría:
Vértice:
Eje de simetría y vértice
Función cuadrática
Propiedad Intelectual Cpech
Eje de simetría y vértice
Nota: Si la parábola es cóncava hacia arriba, el vértice es el punto mínimo y si la parábola es cóncava hacia abajo, el vértice es el punto máximo.
Función cuadrática
Propiedad Intelectual Cpech
Discriminante
Al igual que en la ecuación de segundo grado, el discriminante de una función cuadrática se define como:
Δ = b2 – 4ac
a) Si el discriminante es positivo, entonces la parábola intersecta
en dos puntos al eje X.
Δ > 0
Función cuadrática
Propiedad Intelectual Cpech
b) Si el discriminante es negativo, entonces la parábola NO
intersecta al eje X.
Δ < 0
Discriminante
Función cuadrática
Propiedad Intelectual Cpech
c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la parábola
intersecta en un solo punto al eje X, es decir, es tangente
a él.
Δ = 0
Discriminante
Función cuadrática
Propiedad Intelectual Cpech
x2x1
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma:
ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0
Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces. Si estas son reales, corresponden a los puntos de intersección de la parábola f(x) = ax2 + bx + c con el eje X.
Relación entre función y ecuación cuadrática
Función cuadrática
Propiedad Intelectual Cpech
Ejemplo:
Para determinar los puntos de intersección con el eje X de la función f(x) = x2 – 2x – 15, se debe resolver la ecuación cuadrática x2 – 2x – 15 = 0, ya que la curva corta al eje X cuando f(x) es cero.
Función cuadrática
Relación entre función y ecuación cuadrática
Como x2 – 2x – 15 = (x + 3)(x – 5) (x + 3)(x – 5) = 0
Luego, las soluciones o raíces de la ecuación son x1 = – 3 y x2 = 5, debido a que un producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero.
Por lo tanto, los puntos de intersección de la parábola f(x) = x2 – 2x – 15 con el eje X son (– 3, 0) y (5, 0).
Propiedad Intelectual Cpech
La alternativa correcta es…
I) Si a > 0, entonces la gráfica de la función es una parábola
que se abre hacia arriba.
II) La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto
(0,c).
III) Si a = 0 y b ≠ 0, su gráfica es una recta que pasa por el
punto (0,c).
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
Apliquemos nuestros conocimientos
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s),
con respecto a la función f(x) = ax2 + bx + c?
Propiedad Intelectual Cpech
EHabilidad: ASE
Resolución:
Apliquemos nuestros conocimientos
I) Verdadera, ya que si a > 0, entonces la gráfica de la función
es una parábola que se abre hacia arriba.
II) Verdadera, ya que si x = 0, f(0) = a∙02 + b∙0 + c = c. Luego,
la gráfica pasa por el punto (0,c), intersectando en ese
punto al eje de las ordenadas.
III) Verdadera, ya que si a = 0 y b ≠ 0, entonces f(x) = bx + c.
Luego, la función sería del tipo afín, o lineal si c = 0, y su
gráfica sería entonces una recta que pasa por el punto
(0,c). Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
Propiedad Intelectual Cpech
La alternativa correcta es…
A) – 1 y 24
B) – 2 y 12
C) – 12 y 2
D) – 8 y 3
E) – 3 y 8
Apliquemos nuestros conocimientos
2. ¿Cuáles son las raíces o soluciones de la ecuación x2 + 5x = 24?
Propiedad Intelectual Cpech
DHabilidad: Aplicación
Resolución:
Apliquemos nuestros conocimientos
Al resolver la ecuación x2 + 5x = 24, resulta
(Factorizando)
x2 + 5x = 24
(x – 3) (x + 8) = 0
x2 + 5x – 24 = 0
(x + 8) = 0ó
x2 = – 8x1 = 3
(x – 3) = 0
Propiedad Intelectual Cpech
La alternativa correcta es…
Apliquemos nuestros conocimientos
3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa, con respecto a la
ecuación x2 – 3x + 7 = 0?
A) La ecuación no tiene solución real.
B) El producto de sus raíces o soluciones es 7.
C) Tiene dos soluciones reales y distintas.
D) El discriminante asociado a la ecuación es igual a – 19.
E) Una de sus raíces o soluciones es 4
19- 3
Propiedad Intelectual Cpech
CHabilidad: Aplicación
Resolución:
Apliquemos nuestros conocimientos
En la ecuación x2 – 3x + 7 = 0, el discriminante es: b2 – 4ac = (– 3)2 – 4∙1∙(7)
a = 1, b = – 3 y c = 7
b2 – 4ac = 9 – 28
b2 – 4ac = – 19
Como el discriminante es -19, menor que cero, entonces la ecuación no tiene solución real. Luego, la alternativa C es falsa, confirmando la veracidad de las alternativas A y D. Además,
3 ± -19
2x =
3 + -19
2x1 =
3 – -19
2x2 =
Por lo tanto, se verifica la alternativa E. Finalmente, B también es verdadera ya que
ca
x1 · x2 = = 7
Propiedad Intelectual Cpech
La alternativa correcta es…
Apliquemos nuestros conocimientos
4. ¿Cuál de las siguientes funciones podría estar representada en la parábola del gráfico?
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2013.
51
5
A) f(x) = – x2 + 6x – 5
B) g(x) = x2 + 6x + 5
C) h(x) = x2 – 6x + 5
D) m(x) = x2 + 5x + 6
E) n(x) = – x2 + 5x + 5
Propiedad Intelectual Cpech
CHabilidad: Comprensión
Resolución:
Apliquemos nuestros conocimientos
51
5
La parábola, es abierta hacia arriba, por lo tanto, el coeficiente que acompaña a x2 es positivo. Así, descartamos las funciones f y n (alternativas A y E).
Por otro lado, la parábola intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,5). Luego, descartamos la función m (alternativa D), ya que su coeficiente de posición es 6.
x2 – 6x + 5 = 0
La función h, es abierta hacia arriba, intersecta al eje de las ordenadas en el 5, y al resolver la ecuación cuadrática asociada resulta:
(x – 1)(x – 5) = 0 (x – 5) = 0ó
x1 = 1 x2 = 5
(x – 1) = 0
Por lo tanto, intersecta al eje de las abscisas en 1 y 5.
Propiedad Intelectual Cpech
Apliquemos nuestros conocimientos
5.
La alternativa correcta es…
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s),
con respecto a la función f(x) = x2 – 4x – 18?
I) Su eje de simetría es x = 2
II) Su gráfico intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, – 18).
III) El valor mínimo que alcanza es – 22.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
Propiedad Intelectual Cpech
EHabilidad: ASE
Resolución:
Apliquemos nuestros conocimientos
I) Verdadera, ya que el eje de simetría es
II) Verdadera, ya que si c = – 18, la parábola intersecta al eje de las
ordenadas en el punto (0, – 18).
III) Verdadera, ya que el valor mínimo que alcanza la función es
x = = = 2. 2a –b
Si f(x) = x2 – 4x – 18, entonces a = 1, b = – 4 y c = – 18. Luego:
2 4
18242 f(2) 2a
bf 2
1884 22
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
Propiedad Intelectual Cpech
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos
Función raíz cuadrada y función potencia