Definición de la Derivada

Dr. Juan R. Mejías Ortiz

By PresenterMedia.com

CURSO CÁLCULO I

SECANTE Y TANGENTE

Una secante es una línea que interseca en dos o más puntos a una curva. La pendiente de una línea secante se encuentra siguiendo la fórmula

𝒎𝒔𝒆𝒄 =∆𝒚

∆𝒙=

𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

SECANTE Y TANGENTE

La pendiente de la recta secante pasa por los puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)). Observe la gráfica a la derecha. Al aplicar la fórmula para encontrar la pendiente de la secante obtenemos:

𝑚𝑠𝑒𝑐 =∆𝑦

∆𝑥=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑚𝑠𝑒𝑐 =∆𝑦

∆𝑥=

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

𝑎 + ℎ − 𝑎

𝒎𝒔𝒆𝒄 =∆𝒚

∆𝒙=

𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂)

𝒉

•Encuentra la pendiente de la recta secante en 𝒇 𝒙 =𝒙𝟐 + 𝟑.

𝑚𝑠𝑒𝑐 =(𝑥 + ℎ)2+3 − (𝑥2 + 3)

ℎ

𝑚𝑠𝑒𝑐 =[(𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2) + 3] − (𝑥2 + 3)

ℎ

𝑚𝑠𝑒𝑐 =𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 3 − 𝑥2 − 3

ℎ

𝑚𝑠𝑒𝑐 =2𝑥ℎ + ℎ2

ℎ

𝒎𝒔𝒆𝒄 = 𝟐𝒙 + 𝒉

Se le suma h a

toda x

Simplificar

términos

semejantes

Dividir y

simplificar h

•SECANTE Y TANGENTE

En la medida que la distancia de los puntos de la secante disminuyen h se va acercando a 0. Cuando esto ocurre eventualmente la recta secante pasa a convertirse en la recta tangente de la curva.

La pendiente 𝑚𝑡𝑎𝑛 de la línea tangente a y = f(x) en x = a está dada por:

𝒎𝒕𝒂𝒏 = 𝐥𝐢𝐦

𝒉→𝟎

𝒇 𝒂 + 𝒉 − 𝒇(𝒂)

𝒉

siempre que el límite exista.

Definición Pendiente de la Recta Tangente

SECANTE Y TANGENTES

La recta tangente pasa por el punto (a, f(a)) y tiene pendiente (mtan) determinada por:

𝒎𝒕𝒂𝒏 =

𝒚 − 𝒇(𝒂)

𝒙 − 𝒂

De manera que la ecuación de la recta tangente es:

𝒚 = 𝒎𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝒂 + 𝒇(𝒂)

Encuentre una ecuación de la recta tangente a 𝑦 = 3𝑥2 − 5 en x = 2.

𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

[𝟑 𝒙 + 𝒉)𝟐 − 𝟓 − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟓)

𝒉

𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

[𝟑 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉𝟐) − 𝟓 − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟓)

𝒉

𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐 − 𝟓 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓

𝒉

𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐 − 𝟓 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓

𝒉

Se le suma h a

toda x

Simplificar

términos

semejantes

Encuentre una ecuación de la recta tangente a 𝑦 = 3𝑥2 − 5 en x = 2.

= 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐

𝒉

= 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝟔𝒙 + 𝟑𝒉

Si x = 2, 𝑓 2 = 3(2)2−5. Así que el punto correspondiente a x = 2 es (2, 7) y la recta de la pendiente m = 12. Ya que 𝑦 = 𝑚 𝑥 − 𝑎 + 𝑓(𝑎). O sea, 𝑦 = 12 𝑥 − 2 + 7

𝒚 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟕

= 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝟔 𝟐 + 𝟑 𝟎 = 𝟏𝟐

Simplificar

términos

semejantes

La derivada de f(x) es la función es la función f’(x) dada por

𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦

𝒉→𝟎

𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)

𝒉

siempre que el límite exista. Este proceso se conoce como derivación.

Definición de la Derivada

DERIVADA

•Calcule la derivada 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟏.

𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)

𝒉

𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎

[𝟒 𝒙 + 𝒉 + 𝟏 − (𝟒𝒙 + 𝟏)

𝒉

= 𝟒𝒙 + 𝟒𝒉 + 𝟏 − 𝟒𝒙 − 𝟏

𝒉

= 𝟒𝒉

𝒉

𝒇′(𝒙) = 𝟒

Se le suma h a

toda x

Simplificar

términos

semejantes

Dividir y

simplificar h

•Calcule la derivada 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕.

𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)

𝒉

𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝟑 𝒙 + 𝒉 𝟐 − 𝟓 𝒙 + 𝒉 + 𝟕 − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕)

𝒉

𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝟑(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉𝟐) − 𝟓 𝒙 + 𝒉 + 𝟕 − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕)

𝒉

𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟓𝒉 + 𝟕 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟕

𝒉

𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉𝟐 − 𝟓𝒉

𝒉 𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙 + 𝟑𝒉 − 𝟓

𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙 + 𝟑 𝟎 − 𝟓 𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙 − 𝟓

•Calcule la derivada de 𝒇 𝒙 =𝟐

𝒙+𝟑.

𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎

𝟐𝒙 + 𝒉 + 𝟑

−𝟐

𝒙 + 𝟑

𝒉

= lim𝒉→𝟎

𝟐 𝒙 + 𝟑 − 𝟐(𝒙 + 𝒉 + 𝟑)𝒙 + 𝒉 + 𝟑 (𝒙 + 𝟑)

𝒉

= lim𝒉→𝟎

𝟐𝒙 + 𝟔 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒉 − 𝟔(𝒙 + 𝒉 + 𝟑) (𝒙 + 𝟑)

𝒉

= lim𝒉→𝟎

−𝟐𝒉𝒉 + 𝒙 + 𝟑 (𝒙 + 𝟑)

𝒉

= lim𝒉→𝟎

−𝟐𝒉

(𝒙 + 𝒉 + 𝟑)(𝒙 + 𝟑)×

𝟏

𝒉

= lim𝒉→𝟎

−𝟐

(𝒙 + 𝟎 + 𝟑)(𝒙 + 𝟑)

𝒇′(𝒙) =−𝟐

(𝒙 + 𝟑)𝟐

•Calcula la derivada de 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟓.

𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎

𝒙 + 𝒉 + 𝟓 − 𝒙 + 𝟓

𝒉

𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎

𝒙 + 𝒉 + 𝟓 − 𝒙 + 𝟓

𝒉×

𝒙 + 𝒉 + 𝟓 + 𝒙 + 𝟓

𝒙 + 𝒉 + 𝟓 + 𝒙 + 𝟓

𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎

(𝒙 + 𝒉 + 𝟓) − (𝒙 + 𝟓)

𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)

𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎

𝒙 + 𝒉 + 𝟓 − 𝒙 − 𝟓

𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)

Racionalizar el

numerador

Denominador

común

•Calcula la derivada de 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟓.

𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎

𝒙 + 𝒉 + 𝟓 − 𝒙 − 𝟓

𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)

𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎

𝒉

𝒉( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)

𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎

𝟏

( 𝒙 + 𝒉 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)

𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎

𝟏

( 𝒙 + 𝟎 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓)

𝒇′ 𝒙 = lim𝒉→𝟎

𝟏

( 𝒙 + 𝟓)( 𝒙 + 𝟓) =

𝟏

𝟐 𝒙 + 𝟓