ECUACIONES DIFERENCIALES J22

~ 1 ~

ECUACIONES DIFERENCIALES

JAIR OSPINO ARDILA

VALLEDUPAR-CESAR

ECUACIONES DIFERENCIALES J22

~ 2 ~

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BESSEL

La E.D. de Bessel es la ecuación diferencial de segundo orden lineal propuesta por

𝑥2𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑥2 − 𝑛2 𝑦 = 0.

De manera equivalente, dividiendo por𝑥2,

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+

1

𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 1 −

𝑛2

𝑥2 𝑦 = 0.

Las soluciones a esta ecuación definen las funciones de Bessel𝐽𝑛 𝑥 y 𝑌𝑛 𝑥 . La ecuación tiene una regular singularidad a 0 y una regular singularidad en ∞. Una versión transformada de la ecuación diferencial de Bessel propuesta por Bowman (1958) es

𝑥2𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ (2𝑝 + 1)𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎2𝑥2𝑟 + 𝛽2 𝑦 = 0.

La solución es

𝑦 = 𝑥−𝑝 𝐶1𝐽𝑞/𝑟 𝛼

𝑟𝑥𝑟 + 𝐶2𝑌𝑞/𝑟

𝛼

𝑟𝑥𝑟 ,

Donde

𝑞 ≡ 𝑝2 − 𝛽2,

𝐽𝑛 𝑥 y 𝑌𝑛 𝑥 son las funciones de Bessel de primera y segunda clase , y 𝑐1 y𝑐2 son

constantes. Otra forma se da por dejar que 𝑦 = 𝑥𝜕𝐽𝑛 𝛽𝑥𝑦 , 𝑛 = 𝑦𝑥−𝜕 , 𝑌 𝜀 =

𝛽𝑥𝑦 (Bowman, 1958, p.117), a continuación,

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2−

2𝛼 − 1

𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝛽2𝑦2𝑥2𝑦−2 +

𝛼2 − 𝑛2𝑦2

𝑥2 𝑦 = 0.

La solución es

ECUACIONES DIFERENCIALES J22

~ 3 ~

𝑦 = 𝑥𝛼 𝐴 𝐽𝑛 𝛽𝑥𝑦 + 𝐵 𝑌𝑛 𝛽𝑥𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑛

𝑥𝛼 𝐴 𝐽𝑛 𝛽𝑥𝑦 + 𝐵 𝐽−𝑛 𝛽𝑥𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑛.

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE

La ecuación diferencial de Legendre es la ecuación diferencial normal de segundo orden.

1 − 𝑥2 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 1 𝑙 + 1 𝑦 = 0,

Que puede ser reescrito

𝑑

𝑑𝑥 (1 − 𝑥2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑙(𝑙 + 1)𝑦 = 0.

El formulario anterior es un caso especial de la "ecuación diferencial de Legendre

asociada" llamada correspondiente al caso𝑚 = 0.La ecuación diferencial de Legendre

tiene puntos singulares regulajres en −1, 1 y ∞.

Si la variable x se sustituye por cos 𝜃 , Entonces la ecuación diferencial de Legendre se convierte en

𝑑2𝑦

𝑑𝜃2+

cos 𝜃

sin 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝜃+ 𝑙 𝑙 + 1 𝑦 = 0,

derivados a continuación para el asociado (𝑚 ≠ 0) Caso.

Dado que la ecuación diferencial de Legendre es una ecuación ordinaria de segundo

orden, tiene dos soluciones linealmente independientes. Una solución𝑃1(𝑥) que es regular en los puntos finitos, se llama una función de Legendre de primera especie,

mientras que una solución 𝑄1(𝑥) que es singular en ±1, se llama una función de Legendre de segunda especie . Si l es un número entero, la función de la primera clase se reduce a un polinomio conocido como el polinomio de Legendre .

La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de Frobenius,

haciendo un desarrollo en serie con 𝑘 = 0 ,

𝑦 = 𝑎𝑛𝑥𝑛

∞

𝑛=0

ECUACIONES DIFERENCIALES J22

~ 4 ~

𝑦′ = 𝑛 𝑎𝑛𝑥𝑛−1

∞

𝑛=0

𝑦′′ = 𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛−2

∞

𝑛=0

Enchufar el aparato,

(1 − 𝑥2) 𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛−2 − 2𝑥 𝑛𝑎𝑛𝑥

𝑛−1

∞

𝑛=0

+ 𝑙(𝑙 + 1) 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0

∞

𝑛=0

∞

𝑛=0

𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛−2 − 𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥

𝑛

∞

𝑛=0

∞

𝑛=0

−2𝑥 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1 + 𝑙 𝑙 + 1 𝑎𝑛𝑥

𝑛 = 0

∞

𝑛=0

∞

𝑛=0

𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛−2 − 𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥

𝑛

∞

𝑛=0

∞

𝑛=0

−2𝑥 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1 + 𝑙 𝑙 + 1 𝑎𝑛𝑥

𝑛 = 0

∞

𝑛=0

∞

𝑛=0

𝑛 + 2 (𝑛 + 1)𝑎𝑛+2𝑥𝑛

∞

𝑛=0

− 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛𝑥𝑛

∞

𝑛=0

−2 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑙 𝑙 + 1

∞

𝑛=0

𝑎𝑛𝑥𝑛

∞

𝑛=0

= 0

{(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)𝑎𝑛+2 + [−𝑛 𝑛 − 1 − 2𝑛 + 𝑙(𝑙 + 1)]𝑎𝑛} = 0,

∞

𝑛=0

por lo que cada término debe desaparecer y

ECUACIONES DIFERENCIALES J22

~ 5 ~

𝑛 + 1 𝑛 + 2 𝑎𝑛+2 + −𝑛 𝑛 + 1 + 𝑙(𝑙 + 1) 𝑎𝑛 = 0

𝑎𝑛+2 =𝑛 𝑛 + 1 − 𝑙(𝑙 + 1)

𝑛 + 1 (𝑛 + 2)𝑎𝑛

𝑎𝑛+2 = −[𝑙 + 𝑛 + 1 ](𝑙 − 𝑛)

𝑛 + 1 (𝑛 + 2)𝑎𝑛

Por lo tanto,

𝑎2 = −𝑙 𝑙 + 1

1.2𝑎0

𝑎4 = − 𝑙 − 2 (𝑙 + 3)

3 ∗ 4𝑎2

𝑎4 = (−1)2 𝑙 − 2 𝑙 [(𝑙 + 1)(𝑙 + 3)]

1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4𝑎0

𝑎6 = − 𝑙 − 4 (𝑙 + 5)

5 ∗ 6𝑎4

𝑎6 = (−1)3 𝑙 − 4 𝑙 − 2 𝑙 [(𝑙 + 1)(𝑙 + 3)(𝑙 + 5)]

1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6𝑎0

Por lo que la solución par es

𝑦1 𝑥 = 1 + −1 𝑛∞

𝑛=1

𝑙 − 2𝑛 + 2 … 𝑙 − 2 𝑙 𝑙 + 1 𝑙 + 3 … 𝑙 + 2𝑛 − 1

2𝑛 !𝑥

Del mismo modo, la solución impar es

𝑦2 𝑥 = 𝑥 + (−1)𝑛 𝑙 − 2𝑛 + 1 … 𝑙 − 3 𝑙 − 1 𝑙 + 2 𝑙 + 4 … 𝑙 + 2𝑛

2𝑛 + 1 !

∞

𝑛=1

Si l es un entero, la serie y1(x) se reduce a un polinomio de gradol con sólo hastapotencias de xy la serie y2(x) diverge. Si l es un impar entero, la serie y2(x) se reduce a un polinomio de grado l con sólo impares de xy la serie y1(x) diverge. La solución general para un número enterolentonces se da por el polinomio de Legendre

ECUACIONES DIFERENCIALES J22

~ 6 ~

Evenodd

𝑃𝑛 𝑥 = 𝑐𝑛 𝑦1 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠

𝑦2 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠

𝑃𝑛 = 𝑐𝑛 2𝐹1 −

1

2,1

2 𝑙 + 1 ;

1

2, 𝑥2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙 𝑝𝑎𝑟

𝑥 2 𝐹1 1

2 𝑙 + 2 ,

1

2 1 − 𝑙 ;

3

2; 𝑥2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

Donde 𝑐𝑛 se seleccionara de forma que el rendimiento de la normalización 𝑃𝑛 1 = 1

y 2𝐹1 𝑎, 𝑏; 𝑐; 𝑧 es una función hipergeometrica. El asociado de la ecuación diferencial de Legendre es

𝑑

𝑑𝑥 1 − 𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑙 𝑙 + 1 −

𝑚2

1 − 𝑥2 𝑦 = 0,

Que se puede escribir

1 − 𝑥2 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 2𝑥

𝑑𝑦

𝑦𝑥+ 𝑙 𝑙 + 1 −

𝑚2

1 − 𝑚2 𝑦 = 0

Las soluciones 𝑃1𝑚 (𝑥) a esta ecuación se llaman los polinomios asociados de Legendre

(si l es un número entero), o las funciones asociadas de Legendre de primera especie (si l no es un número entero). La solución completa es

𝑦 = 𝐶1𝑃1𝑚 𝑥 + 𝐶2𝑄1

𝑚 𝑥 ,

Donde 𝑄1𝑚 𝑥 es una función de Legendre de segunda especie.

La ecuación diferencial asociada de Legendre se escribe a menudo en una forma que se

obtiene mediante el establecimiento de 𝑥 ≡ cos 𝜃. Al conectar las identidades

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑(cos 𝜃)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

1

sin 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝜃

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

1

sin 𝜃

𝑑

𝑑𝜃

1

sin 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝜃

ECUACIONES DIFERENCIALES J22

~ 7 ~

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

1

𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑑2𝑦

𝑑𝜃2−

cos 𝜃

sin 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝜃

En (◇), entonces da

𝑑2𝑦

𝑑𝜃2−

cos 𝜃

sin 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝜃 + 2

cos 𝜃

sin 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝜃+ 𝑙 𝑙 + 1 −

𝑚2

𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑦 = 0

𝑑2𝑦

𝑑𝜃2+

cos 𝜃

sin 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝜃+ 𝑙 𝑙 + 1 −

𝑚2

𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑦 = 0.

Luna y Spencer (1961, p. 155) llamada

1 − 𝑥2 𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ − 𝑘2𝑎2 𝑥2 − 1 − 𝑝 𝑝 + 1 −𝑞2

𝑥2 − 1 𝑦 = 0

Función de onda de Legendre (Zwillinger 1997, p. 124).

ECUACIONES DIFERENCIALES J22

~ 8 ~

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE HERMITE

El segundo fin de las ecuaciones diferenciales ordinarias

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2− 2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝜆𝑦 = 0. (1)

Esta ecuación diferencial tiene una irregularidad en ∞. Se puede resolver utilizando el método de la serie

𝑛 + 2 𝑛 + 1 𝑎𝑛−2𝑥𝑛 − 2𝑛𝑎𝑛𝑥

𝑛 + 𝜆𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0∞

𝑛=0∞𝑛=1

∞𝑛=0 (2)

2𝑎2 + 𝜆𝑎0 + 𝑛 + 2 𝑛 + 1 𝑎𝑛+2 − 2𝑛𝑎𝑛 + 𝜆𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0.∞

𝑛=1 (3)

Por lo tanto,

𝑎2 = −𝜆𝑎0

2 (4)

Y

𝑎𝑛+2 =2𝑛−𝜆

𝑛+2 𝑛+1 𝑎𝑛 (5)

De n=1, 2,… puesto que (4) es solo un caso especial de (5),

𝑎𝑛+2 =2𝑛−𝜆

𝑛+2 𝑛+1 𝑎𝑛 (6)

De n=0, 1,… Las soluciones linealmente independientes son luego

𝑦1 = 𝑎0 1 −𝜆

2!𝑥2 −

(4−𝜆)𝜆

4!𝑥4 −

8−𝜆 4−𝜆 𝜆

6!𝑥6 − ⋯ (7)

𝑦2 = 𝑎1 𝑥 +(2−𝜆)𝜆

3!𝑥3 +

6−𝜆 2−𝜆

5!𝑥5 + ⋯ .(8)

ECUACIONES DIFERENCIALES J22

~ 9 ~

Esto se puede hacer de forma cerrada como

𝑦 = 𝑎0 1𝐹1 −1

4;

1

2; 𝑥2 + 𝑎1𝑥1𝐹1 −

1

4 − 2 ;

3

2; 𝑥2 (9)

𝑦 = 𝑎0 1𝐹1 −1

4;

1

2; 𝑥2 + 𝑎2𝐻

2

𝑥 ,(10)

donde es una función hipergeométrica confluente de primera especie y

es un polinomio de Hermite . En particular, para=0, 2, 4,..., las soluciones pueden

ser escritas

𝑦=0 = 𝑎0 +1

2 𝜋𝑎1 𝑒𝑟𝑓𝑖(𝑥)(11)

𝑦=2 = 𝑎0 𝑒𝑥2

− 𝜋 𝑥 𝑒𝑟𝑓𝑖(𝑥) + 𝑥𝑎1(12)

𝑦=4 = 1

4 2𝑒𝑥2

𝑥𝑎1 − 2𝑥2 − 1 4𝑎0 + 𝜋𝑎1 𝑒𝑟𝑓𝑖(𝑥) ,(13)

dondeerfi(X) es la función erfi.

Si =0, entonces la ecuación diferencial de Hermite se convierte en

𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ = 0,(14)

Que es de la forma 𝑃2 𝑥 𝑦′′ + 𝑃1 𝑥 𝑦

′ = 0 y así tiene solucion

𝑦 = 𝑐1 𝑑𝑥

exp 𝑃1𝑝2

𝑑𝑥 + 𝑐2(15)

𝑦 = 𝑐1 𝑑𝑥

𝑒𝑥𝑝 −2𝑥 𝑑𝑥+ 𝑐2(16)

𝑦 = 𝑐1 𝑑𝑥

𝑒−𝑥2 + 𝑐2 = 𝑐1 𝑒𝑟𝑓𝑖 𝑥 + 𝑐2.(17)

ECUACIONES DIFERENCIALES J22

~ 10 ~

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LAGUERRE

La ecuación diferencial de Laguerre viene dada por

𝑥𝑦′′ + 1 − 𝑥 𝑦′ + 𝑦 = 0.

Esta ecuación es un caso especial de la más general “ecuación diferencial de Laguerre asociados”, definido por

𝑥𝑦′′ + 𝑣 + 1 − 𝑥 𝑦′ + 𝑦 = 0

Donde y vson números reales con v=0.

La solución general de la ecuación asociada es

𝑡 = 𝐶1𝑈 −, 1 + 𝑣, 𝑥 + 𝐶2𝐿𝑣 𝑥 ,

Donde U(a,b,x) es una función hipergeometrica confluente de primera especie y 𝐿𝑣 𝑥

es un polinomio generalizado de Laguerre.

Tenga en cuenta que en el caso especial=0, La ecuación diferencial asociada Laguerre

es de la forma

𝑦′′ 𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦′ 𝑥 = 0,

así que la solución se puede encontrar con un factor de integración

𝜇 = exp 𝑃 𝑥 𝑑𝑥

𝜇 = exp 𝑣 + 1 − 𝑥

𝑥𝑑𝑥

𝜇 = exp 𝑣 + 1 ln 𝑥 − 𝑥

𝜇 = 𝑥𝑣+1𝑒−𝑥 ,

Como

ECUACIONES DIFERENCIALES J22

~ 11 ~

𝑦 = 𝐶1 𝑑𝑥

𝜇+ 𝐶2

𝑦 = 𝐶1 𝑒𝑥

𝑥𝑣+1𝑑𝑥 + 𝐶2

𝑦 = 𝐶2 − 𝐶1𝑥−𝑣𝐸1+𝑣 −𝑥 ,

Donde 𝐸𝑛 𝑥 es el n E-función.

Los asociados de ecuaciones diferenciales Laguerre tiene un punto singular regular a 0

y una singularidad irregulares en . Puede ser resuelto mediante un desarrollo en

serie,

𝑥 𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛−2 + (𝑣 + 1) 𝑛𝑎𝑛𝑥

𝑛−1 − 𝑥 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1 +

∞

𝑛=1

𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0

∞

𝑛=0

∞

𝑛=1

∞

𝑛=2

𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛−1 + (𝑣 + 1) 𝑛𝑎𝑛𝑥

𝑛−1 − 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛 +

∞

𝑛=1

𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0

∞

𝑛=0

∞

𝑛=1

∞

𝑛=2

𝑛 + 1 𝑛𝑎𝑛+1𝑥𝑛 + (𝑣 + 1) (𝑛 + 1)𝑎𝑛+1𝑥

𝑛 − 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛 +

∞

𝑛=1

𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0

∞

𝑛=0

∞

𝑛=0

∞

𝑛=1

𝑣 + 1 𝑎1 + 𝑎0 + 𝑛 + 1 𝑛 + 𝑣 + 1 𝑛 + 1 𝑎𝑛+1 − 𝑛𝑎𝑛 + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0

∞

𝑛=1

𝑣 + 1 𝑎1 + 𝑎0 + 𝑛 + 1 𝑛 + 𝑣 + 1 𝑎𝑛+1 + − 𝑛 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0

∞

𝑛=1

.

Para ello es necesario

ECUACIONES DIFERENCIALES J22

~ 12 ~

𝑎1 = −

𝑣 + 1𝑎0

𝑎𝑛+1 =𝑛 −

𝑛 + 1 𝑛 + 𝑣 + 1 𝑎𝑛

De n>1. Por lo tanto

𝑎𝑛+1 =𝑛 −

𝑛 + 1 (𝑛 + 𝑣 + 1)𝑎𝑛

De n=1,2,…, por lo que

𝑦 = 𝑎𝑛𝑥𝑛

∞

𝑛=0

𝑦 = 𝑎0 1𝐹1(−, 𝑣 + 1, 𝑥)

𝑦 = 𝑎0 1 −

𝑣 + 1𝑥 −

(1 − )

2 𝑣 + 1 (𝑣 + 2)𝑥2 −

1 − 2 −

2 ∗ 3 𝑣 + 1 𝑣 + 2 𝑣 + 3 𝑥3 − ⋯ .

Si es un entero no negativo , entonces la serie termina y la solución viene dada por

𝑦 = 𝑎0

! 𝐿𝑣 𝑥

𝑣 + 1 ,

donde𝐿𝑣 𝑥 está asociado un polinomio de Laguerre y (𝑎)𝑛 es un símbolo de

Pochhammer . En el caso especial v=0,El correspondiente polinomio de Laguerre se

derrumba a una costumbre polinomio de Laguerre y la solución se contrae para

𝑦 = 𝑎0𝐿 𝑥 .

ECUACIONES DIFERENCIALES J22

~ 13 ~

BIBLIOGRAFÍA

http://mathworld.wolfram.com/LegendreDifferentialEquation.html

http://mathworld.wolfram.com/HermiteDifferentialEquation.html

http://mathworld.wolfram.com/LaguerreDifferentialEquation.html

http://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html