Date post: | 24-Jul-2015 |
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EJERCICIO 4 OPCIÓN A. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
Se supone que el peso en kilogramos de los alumnos de un colegio de Educación Primaria el primer día del curso se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 2,8 kg. Una muestra aleatoria simple de 8 alumnos de ese colegio proporciona los siguientes resultados (en kg):
26 27,5 31 28 25,5 30,5 32 31,5
a) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 90% para el peso medio de los alumnos de ese colegio el primer día de curso.
b) Determínese el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor o igual que 0,9 kg con un nivel de confianza del 97%.
Solución: 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝛔 = 𝟐,𝟖
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎:𝒏 = 𝟖 Cálculo de la media muestral:
𝑋 =26 + 27,5 + 31 + 28 + 25,5 + 30,5 + 32 + 31,5
8 = 29
a) 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎:𝟏 − 𝜶 = 𝟎,𝟗 𝒁𝜶
𝟐= 𝟏,𝟔𝟒𝟓
El intervalo de confianza viene dado por la siguiente expresión:
𝑋 ± 𝑍!!∗𝜎𝑛
Sustituyendo por los respectivos valores, tendremos el intervalo de confianza pedido:
29 − 1,645 ∗2,88; 29 + 1,645 ∗
2,88
𝟐𝟕,𝟑𝟕;𝟑𝟎,𝟔𝟑
b) El error cometido en la estimación (E) es 0,9; y viene dado por la siguiente expresión:
𝐸 = 𝑍!!∗𝜎𝑛
Teniendo en cuenta que:
Para un nivel de confianza: 𝟏 − 𝜶 = 𝟎,𝟗𝟕 𝒁𝜶𝟐= 𝟐,𝟏𝟕. Por tanto,
sustituyendo, tendríamos:
0,9 = 2,17 ∗2,8𝑛
𝒏 = 𝟒𝟓,𝟓𝟕.
Por lo tanto, la muestra debe tener un mínimo de 46 alumnos.