Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales
Hugo Lombardo Flores
13 Abril 2011
1 Ecuaciones diferenciales de primer orden
1.1 Ecuaciones lineales y reducibles a estas.
1.
dy
dx+ 2y = 0
Definimos el factor integrante.
p(x) = 2factor integrante: e
2dx= e2x
multiplicamos la ecuacion por el factor integrante.
e2x dydx + 2e2x = 0
el lado izquierdo de la ecuacion se reduce a:
ddx [e
2xy] = 0separamos variables e integramos.
ddx [e
2xy] = 0dx+ c
e2xy = c
y = ce2x
2.
dy
dx= 3y
forma lineal.
dydx 3y = 0
p(x) = 3
Factor integrante: e 3dx=e3x
multiplicamos por factor integrante.
1
e3x dydx 3e3xy = 0
dydx [e
3xy = 0dx+ c
e3xy = c
y = ce3x
3.
3dy
dx+ 12y = 4
pasamos la ecuacion a la forma lineal.
dydx + 4y =
43
p(x) = 4
Factor integrante: e4dx=e4x
e4x dydx + 4e4xy = 43e
4x
ddx [e
4xy] =e4xdx+ c
e4xy = 14e4x + c
y = 14 + ce4x
4.
y = 2y + x2 + 5forma lineal
y 2y = x2 + 5Factor integrante: e
2dx = e2x
e2xy 2e2xy = e2xx2 + 5e2x
ddx [e
2xy] =e2xx2 + 5
e2x + c
e2xy = 52e2x 14e2x(2x2 + 2x+ 1) + C
y = x22 x2 14 + 52 + ce2x
5.
ydx 4(x+ y6)dy = 0ydx = 4(x+ y6)dy
dxdy =
4(x+y6)y ;
dxdy =
4xy +
4y6
y
2
denimos la forma lineal.
dxdy 4xy = 4y5
Factor integrante: e4
1y dy; e4 log(y); elog(y)
4; y4 = 1y4
1y4
dxdy 1y4 4xy = 1y4 4y5
ddy [
1y4x] = 4y
ddy [
1y4x] = 4
ydy
1y4x = 2y
2 + C
x = 2y6 + cy4
6.
xy+ y = ex
y+ 1xy = ex
x
Factor integrante:
e
1xdx = elog x = x
xy+ xxy = xex
x
ddx [xy] = e
x
Integramos:
ddx [xy] =
exdx+ c
xy = ex + c
y = exx1 + cx1
7.
xdy
dx+ y =
2
y2
dydx +
yx =
2xy2 ...(1)
hacemos la sustitucion: u = y1ndonde n = 2u = y1(2) = y3;u1/3 = y
Derivamos esta ultima.
13u2/3 du
dx =dydx
3
Sustituimos en la ecuacion diferencial 1.
13u2/3 du
dx +u1/3
x =2(u1/3)2
x
Acomodamos a la forma lineal, multiplicando toda la ecuacion por
13u
2/3.
dudx + 3
ux =
6x
Esta es una ecuacion lineal. Denimos el factor integrante.
e3
1xdx = e3 log x = elog x
3
= x3
Multiplicamos por factor integrante.
x3 dudx + 3x3 ux = x
3 6x
ddx [x
3u] = 6x2
integramos.
ddx [x
3u] = 6x2 + c
x3u = 2x3 + c
u = 2 + cx3
Sustituimos u = y3
y3 = 2 + cx3
8. y1/2 dydx + y3/2 = 1; condicion y(0) = 4
dydx +
y3/2
y1/2= 1
y1/2 dydx + y = y1/2
u = y1n; n = 1/2; u = y1(1/2) = y3/2
u2/3 = y
23u1/3 du
dx =dydx
Sustituimos.
23u1/3 du
dx + u2/3 = (u2/3)1/2
Multiplicamos la ecuacion por
23u
1/3
dudx +
32u =
32
La ecuacion se redujo a una lineal.
Factor integrante: e32
dx = e
32x
4
e32x du
dx + e32x 3
2u = e32x 3
2
ddx [e
32xu] = 32e
32x
ddx [e
32xu] =
32e
32xdx+ c
e32xu = e
32x + c
u = 1 + ce32x
Sustituimos u = y3/2
y3/2 = 1 + ce32x Solucion general.
Ahora aplicamos las condiciones iniciales. y(0) = 4
43/2 = 1 + ce32 0
8 1 = cc = 7Sustutuimos el valor de c en la ecuacion general.
y3/2 = 1 + 7e32x Solucion particular.
9.
y+ 2xy = 2xy2
u = y1n; donde n = 2entonces:
u = y12; u = y1; u1 = y
u2 dudx = dydxsustituimos en la ecuacion.
u2 dudx + 2xu1 = 2x(u1)2
multiplicamos por u2dudx 2xu = 2xesta es una ecuacion lineal con p(x) = 2xobtenemos el factor integrante.
e2
1xdx = elog x
2= x2
x2 dudx x2 2xu = x22xddx [x
2u] = 2x1
integramos.
5
ddx [x
2u] =2x1dx+ c
x2u = 2 log x+ c
u = 2x2 log x+ cx2
sustituimos u = y1
y la solucin es entonces:
y = 12x2 log x+cx2
10,
y+ xy = xy1/2
sea. n = 1/2
u = y1n; u = y1(1/2); u = y3/2; y = u2/3
dydx =
23u1/3
sustituimos en la ecuacion.
23u1/3 + xu2/3 = x(u2/3)1/2
multiplicamos por
23u
1/3
dudx +
32xu =
32x que es una ecuacion lineal con p(x) =
32x
Factor integrante:
e32
xdx = e
34x
2
e34x
2 dudx + e
34x
2 32xu = e
34x
2 32x
ddxe
34x
2
u = 32xe34x
2
dx+ c
ddxe
34x
2
u = 32xe
34x
2
dx+ c
e34x
2
u = e34x
2
+ c
u = 1 + ce34x
2
sustituimos u = y3/2
y3/2 = 1 + ce34x
2
6
1.2 Ecuaciones exactas y reducibles a exactas.
1.(2x 1)dx+ (3y + 1)dy = 0M(x, y) = 2x 1;N(x, y) = 3y + 1Comprobamos que la ecuacion sea exacta, esto es si secumple la condicion
My =
Nx
My = 0 ;
Nx = 0
son iguales, por lo tanto la ecuacion es exacta.
Ahora tomamos una funcion fx(x, y) =M(x, y)
fx(x, y) = 2x 1
integramos respecto a x, y la constante de integracion sera una funcion g(y)
Mx = 2
xdx dx+ g(y)
f(x, y) = x2 x+ g(y)... (1)
Esta funcion la derivamos con respecto de y.
fy = g
(y)
igualamos con N(x,y)
g(y) = 3y + 1
integramos respecto a y
g(y) = 3
ydy +
dy + c
g(y) = 32y2 + y + c
sustituimos la funcion en (1).
x2 x+ 32y2 + y = c
esta es una solucion en forma implicita de la ecuacion.
2.
(seny ysenx)dx+ (cosx+ xcosy y)dy = 0
M(x, y) = seny ysenx; N(x, y) = cosx+ xcosy yMy = cosy senxNx = senx+ cosy
7
My =
Nx por lo tanto es una ecuacion exacta.
tomamos fx(x, y) = seny ysenxintegramos con respecto a x
fx(x, y)dx =
(seny ysenx)dx
f(x, y) = xseny y(cosx) + g(y)...(1)
derivamos esta ecuacion respecto a y, e igualamos con N(x,y)
fy(x, y) = cosx+ xcosy + g(y) = cosx+ xcosy y
g(y) = y
integramos respecto de y
g(y) = ydy + cg(y) = 12y2 + c
sustituimos en (1)
f(x, y) = xseny + ycosx 12y2
nos queda la solucion implicita.
xseny + ycosx 12y2 = c
3.
(3x2y + ey)dx = (x3 + xey 2y)dy
M(x, y) = 3x2y + ey; N(x, y) = x3 + xey 2y
My(x, y) = 3x2 + ey
Nx(x, y) = 3x2 + ey
My(x, y) = Nx(x, y) entonces es una ecuacion diferencial exacta.Integramos fx(x, y) con respecto de x, y obtenemos una funcion g(y) deconstante de integracion.
f(x, y) =(3x2y + ey)dx
f(x, y) = x3y + xey + g(y)... (1)
Derivamos con respecto de y (1) e igualamos con N(x,y)
fy(x, y) = x3 + xey + g(y) = x3 + xey 2y
g(y) = 2y
8
Integramos respecto de y
g(y) = 2 ydy + cg(y) = y2 + csustituimos en (1)
x3y + xey y2 = c... solucion implicita.4.
(6xy 2y2)dx+ (3x2 4xy)dy = 0My(x, y) = 6x 4y, Nx(x, y) = 6x 4yla ecuacion es exacta.
integramos fx(x, y) respecto a x.
f(x, y) =(6xy 2y2)dx
f(x, y) = 3x2y 2xy2 + g(y)...(1)derivamos respcto de y
fy(x, y) = 3x2 4xy + g(y)igualamos con N(x,y)
3x2 4xy + g(y) = 3x2 4xy g(y) = 0integramos respecto de y
g(y) = c
sutituimos en la ecuacion (1)
3x2y 2xy2 = c5.
(2y 2xy3 + 4x+ 6)dx+ (2x 3x2y2 1)dy = 0con la condicion y(1) = 0
My = 2 6xy2 = NXUna vez comprobada que sea exacta.
integramos fx(x, y) respecto a x
f(x, y) =(2y 2xy3 + 4x+ 6)dx
f(x, y) = 2xy 3x2y3 + 2x2 + 6x+ g(y)...(1)
9
derivamos respecto a y:
fx(x, y) = 2x 3x2y2 + g(y)igualamo con N(x, y)
2x 3x2y2 + g(y) = 2x 3x2y2 1g(y) = 1integramos:
g(y) = y + csustituimos en (1)
2xy x2y3 + 2x2 + 6x y = c... solucion implicita.para y(1) = 0
2(1)2 + 6(1) = cc = 4entonces la solucion particular al caso y(-1)=0 es:
2xy x2y3 + 2x2 + 6x y = 46.
(xy sinx+ 2y cosx)dx+ 2x cosxdy = 0;Use el factor integrante (x, y) = xy
My(x, y) = x sinx+ 2 cosxNx(x, y) = 2x sinx+ 2 cosx
NX 6=Myla ecuacion es no exacta, en este ejemplo se nos dio el factor integrante, por
lo tanto procedemos a multiplicar toda la ecuacion por el factor integrante.
xy(xy sinx+ 2y cosx)dx+ xy(2x cosx)dy = 0(x2y2 sinx+ 2xy2 cosx)dx+ (2x2y cosx)dy = 0comprobamos que esta ecuacion sea exacta.
My(x, y) = 2yx2 sinx+ 4xy cosxNX(x, y) = 4xy cosx 2x2y sinx
MY = NX por lo tanto esta ecuacion es exacta y la resolvemos como tal.
10
fx(x, y) = x2y2 sinx+ 2xy2 cosxintegramos respecto a x:
f(x, y) =(x2y2 sinx+ 2xy2 cosx)dx
f(x, y) = x2y2 cosx+ g(y)...(1)
derivamos respecto a y:
fy(x, y) = 2x2y cosx+ g(y)igualamos con Nx
2x2y cosx+ g(y) = 2x2y cosxg(y) = 0integramos respecto a y:
g(y) = c
sustituimos en (1)
f(x, y) = x2y2 cosx+ c
2 Ecuaciones de orden superior
2.1 Ecuaciones diferenciales de orden superior reducibles
a primer orden.
1. y = 2x2
Integramos ambos lados de la ecuacion:y = 2 x2dx+ c
y = 23x3 + c1Volvemos a integrar:y = 23
(x3 + c1)dx+ c2
y = ( 23 )(14 )x
4 + xc1 + c2
Solucion:
y = 16x4 + c1x+ c2
11
2. y = sen(kx)Integramos ambos lados de la ecuacion:y = sen(kx)dx+ c1
y = kcos(kx) + c1y = k cos(kx)dx+ c1 dx+ c2
y = k2sen(kx) + xc1 + c2y = k2 sen(kx)dx+ c1 xdx+ c2 dx+ c3
y = k3cos(kx) + 12c1x2 + c2x+ c3
3. y = 1xIntegrando:y = 1xdx+ c1
y = log x+ c1y = log xdx+ c1 dx+ c2
y = x log x x+ c1x+ c2y = x log xdx xdx+ c1 xdx+ c2 dx+ c3
y = x2
2 (log x 12 ) 12x2 + c1 12x2 + c2x+ c34. y = x+ sinxIntegrando:y = xdx+ sinxdx+ c1
y = 12x2 cosx+ c1y = 12
x2dx cosxdx+ c1 dx+ c2
y = 16x3 sinx+ c1x+ c25. y = x sinx, y(0) = 0 y(0) = 0 y(0) = 2Resolvemos la ecuacion diferencial integrando tres veces:y = x sinxdx+ c!
y = sinx x cosx+ c1y = sinxdx x cosxdx+ c1 dx+ c2
y = cosx (cosx+ x sinx) + c1x+ c2y = cosxdx cosxdx x sinxdx+ c1 xdx+ c2 dx+ c3
y = sinx sinx (x cosx+ sinx) + 12c1x2 + c2x+ c3y = 3 sinx+ x cosx+ 12c1x2 + c2x+ c3
12
2.2 Reducibles a primer orden
1. xy+ y = 0Deniendo:
p(x) = dydxdpdx =
d2ydx2
xp+ p = 0nos queda una ecuacion lineal homogenea de orden 1 de variables
separables.
1xdx = 1pdp1xdx =
1pdp+ c1
log x = log p+ log c1log x = log( c1p )
Aplicando exponencial a ambos lados de la ecuacion.
x = c1p
hacemos p(x) = dydx
x = c!dy/dx
x = c1dxdy
integrando:1xdx =
1c1
dy + c2
log x = 1c1 y + c2
y = c1 log x + c2. La constante de integracion conviene que tomevalor positivo.
2.(x 1)y y=0Denimos:
p(x) = dydxdpdx =
d2ydx2
(x 1)p p = 0Dividimos entre (x 1)x1x1p 1x1p = 0p 1x1p = 0nos queda una ecuacion lineal homogenea.
dpdx 1x1p = 0dpdx =
1x1p
1pdp =
1x1dx
integrando:1pdp =
1
x1dx+ c1
13
log(p) = log(x 1) + log(c1)log(p) = log[c1(x 1)]p = c1(x 1)haciendo p = dydxdydx = c1(x 1)dy = c1(x 1)dxintegrando:dy = c1
(x 1)dx+ c2
y = c112x
2 x+ c23.
2.3 Ecuaciones lineales homogeneas.
1.y+ y 2y = 0Resolvemos la ecuacion caracteristica asociada.
m2 +m 2 = 0(m+ 2)(m 1) = 0m1 = 2 m2 = 1Suponemos una solucion y = emx
y1 = e2x
y2 = ex
y(x) = c1e2x + c2ex
2.
y 2y+ y = 0
Ecuacion caracteristica asoiada m2 2m+ 1 = 0(m 1)2 = 0m1,2 = 1
solucion y = emx
y1 = ex
y2 = y1ep(y)dy
y21dx
y2 = exe2x
e2x dx
y2 = exx
solucion.
y(x) = c1ex + c2xe
x
3. 4y 8y+ 5y = 0
14
Ecuacion caracteristica.
4m2 8m+ 5 = 0m1,2 =
864808
m1,2 = 1 12 isolucion.
y = c1exei
12x + c2e
xei12x
y = ex(c1ei 12x + c2e
i 12x)
y = ex(c1cos12x+ c2sen
12x)
4.3y 2y 8y = 0Ecuacion caracteristica:
3m2 2y 8 = 0(3m+ 4)(m 2)m1 = 2
m2 = 43Solucion propuesta de la forma, y = emx
y1 = e2x
y2 = e 43xSolucion:
y(x) = c1e2x + c2e
43x
5.yv 10y+ 9y = 0Ecuacion caracteristica.
m5 10m3 + 9m = 0m(m4 10m2 + 9) = 0m1 = 0 (m
2 9)(m2 1) m2,3 = 3 m4,5 = 1Entonces tenemos las soluciones:
y1 = e0 = 1
y2 = e3x
y3 = e3x
y4 = ex
y5 = ex
Solucion:
y(x) = c1 + c2e3x + c3e
3x + c4ex + c5ex
6. y+ 4y+ 3y = 0 y(0) = 2 y(0) = 3Ecuacion caracteristica.
m2 + 4m+ 3 = 0
15
m1,2 =436
2
m1,2 = 2 3iSolucion:
y(x) = e2x(c1 cos 3x+ c2 sin 3x)
y(x) = e2x(3c1 sin 3x+ 3c2 cos 3x) 2e2x(c1 cos 3x+ c2 sin 3x)Resolveremos para los casos y(0) = 2 y y(0) = 3 particularmente.Para y(0) = 2
2 = e0(c1 cos 0 + c2 sin 0)
2 = c1
Para y(0) = 33 = e0(3c1 sin 0 + 3c2 cos 0) 2e0(c1 cos 0 + c2 sin 0)3 = 3c2 2c13 = 3c2 2(2)3 + 4 = 3c2c2 =
13
Por lo tanto la solucion para el caso en general es:
y(x) = e2x(2 cos 3x+ 13 sin 3x)
7.
d4ydx4 7 d
4ydx2 18y = 0Ecuacion caracteristica:
m4 7m2 18 = 0
2.4 Ecuaciones no homogeneas de segundo orden
2.4.1 Coecientes indeterminados.
1.
y+ 3y+ 2y = 6
Resolvemos la ecuacion homogenea asociada
yh = y+ 3y+ 2y = 0Ecuacion caracteristica:
m2 + 3m+ 2 = 0
(m 1)(m 2)m1 = 1 m2 = 2
yh = c1ex + c2e
2x
Ahora resolvemos la parte no homogena suponiendo una solucion
particular.
16
en este caso la parte no homogenea es 6, lo que nos sugiere usemos
una solucion de la forma A
yp = A
yp = 0yp = 0Sustituimos en la ecuacion original.
0 + 3(0) + 2A = 6
A = 3
Entonces la solucion es y(x) = yh + yp
y(x) = c1ex + c2e
2x + 3
2. y+ y = sinxResolvemos primer la ecuacion homogenea asociada.
y+ y = 0La ecuacion caracteristica de esta ecuacion es.
m2 + 1 = 0
m2 = 1 m1,2 = 1 m1,2 = i donde = 0 y = 1
m1,2 = iyh = c1e
x cosx+ c2ex sinx
yh = c1 cosx+ c2 sinx
Ahora buscamos una solucion particular, para sinx nos proponenuna solucion de la forma A sinx+B cosx, sin embargo podemosobservar que esta ya es una solucion de la ecuacion homogenea
asociada y + y = 0, entonces segun la regla de multiplicacionpara este caso, debemos multiplicar por xndonde n es el numerode enteros positivos que elimina la duplicacion.
yp = Ax sinx+Bx cosx
yp = A sinx+Ax cosx+B cosxBx sinxyp = A cosx + A cosx Ax sinx B sinx Bx cosx B sinx =
2A cosx 2B sinxAx sinxBx cosxSustituimos en la ecuacion original
2A cosx2B sinxAx sinxBx cosx+Ax sinx+Bx cosx = sinx2A cosx 2B sinx = sinx2A = 0 entonces A = 0
2B = 1 entonces B = 12Sustituyendo
yp = 12x cosx
17
y(x) = yh + yp
y(x) = c1 cosx+ c2 sinx 12x cosx3. y 10y+ 25y = 30x+ 3Resolvemos la ecuacuion homogenea asociada.
m2 10m+ 25 = 0m1,2 = 5
yh = c1e5x + c2xe
5x
La solucion particular propuesta para 30x+ 3 es Ax+B
yp = Ax+B
yp = Ayp = 0sustituimos en la ecuacion
10(A) + 25(Ax+B) = 30x+ 325A = 30...(1) entonces A = 65
25B 10A = 3...(2)25B 10( 65 ) = 325B = 3 + 12
B = 35
yp =65x+
35
y(x) = yh + yp
y(x) = c1e5x + c2xe
5x + 65x+35
4.
14y+ y+ y = x2 2xResolvemos la ecuacion homogenea asociada.
14y+ y+ y = 014m
2 +m+ 1 = 0
m1,2 = 2yh = c1e
2x + c2xe2x
Ahora suponemos una solucion particular para el caso de f(x) =x2 2x
yp = Ax2 +Bx+ C
yp = 2Ax+B
yp = 2A
Sustituimos en la ecuacion original.
14 (2A) + 2Ax+B +Ax
2 +Bx+ C = x2 2x12A+B +Ax
2 + 2Ax+Bx+ C = x2 2x
18
A = 1
2A+B = 2
B = 2 2 = 012A+B + C = 012A+ C = 0
C = 12A = 12yp = x
2 12y(x) = yh + yp
y(x) = c1e2x + c2xe2x + x2 125. y+ 3y = 48x2e3xSe resuelve la parte homogenea.
y+3y=0m2 + 3 = 0
m1,2 =3 m1,2 =
3i
yh = c1cos3x+ c2sen
3x
suponemos una solucion particular para 48x2e3xyp = e
3x(Ax2 +Bx+ C)
yp = 3e3x(Ax2 +Bx+ C) + e3x(2Ax+B)yp = 9e3x(Ax2 + Bx + C) + 3e3x(2Ax + B) + 3e3x(2Ax + B) +
e3x(2A) = 9e3x(Ax2 +Bx+ C) + 3e3x(4Ax+ 2B) + e3x(2A)
Susituimos en la ecuacion.
9e3x(Ax2+Bx+C)+3e3x(4Ax+2B)+ e3x(2A)+9e3x(Ax2+Bx+C) + 3e3x(2Ax+B) = 48x2e3x
9e3xAx2+9e3xBx+9e3xC+12e3xAx+6e3xB+2e3xA+9e3xAx2+9e3xBx+ 9e3xC + 6e3xAx+ 3e3xB = 48x2e3x
9A+ 9A = 4818A = 48A = 83B = 0
C = 0
6.y y = 3y-y=0m2 m = 0m(m 1) = 0m1 = 0 m2 = 1
19
yh = c1e0x + c2e
x = c1 + c2ex
En este caso podemos ver claramente que existe ya una solucion que
es c1igual con 3entonces por la regla de multiplicidad. la solucion propuesta yp = Ax
yp = Ax
yp = Ayp = 0Sustituyendo en la ecuacion.
0A = 3 entonces, A = 3yp = 3x
y(x) = yh + yp
y(x) = c1 + c2ex + 3x
7. y 6y = 3 cosxEcuacion homogenea asociada yh = y 6y = 0m3 6m2 = 0m2(m 6) = 0m1,2 = 0 m3 = 6
yh = c1 + c2x+ c3e6x
La solucion particular propuesta para 3 cosx es yp1 = A yp2 =Bcosx + Csenxsin embargo en la solucion yp1 se repite la con-stante, entonces la multiplicamos por x de acuerdo a la ley de
multiplicidad nos queda.yp1 = Ax2
yp = Ax2 +Bcosx+ Csenx
yp = 2AxBsenx+ Ccosxyp = 2ABcosx Csenxyp = Bsenx CcosxSusituyendo en la ecuacion original.
Bsenx Ccosx 12A+ 6Bcosx+ 6Csenx = 3 Cosx12A = 3 ; A = 146B C = 1...(1)6C +B = 0...(2)
Igualando 1 y 2
B = 637C = 137yp =
12x
3 + 637cosx+137senx
y(x) = c1 + c2x+ c3e6x 14x2 + 637cosx+ 137senx
20
9.y+ 2y+ y = senx+ 3cos2xyh = y+ 2y+ y = 0m2 + 2m+ 1 = 0
(m+ 1)2 = 0
m1,2 = 1yh = c1e
x + c2xex
Solucion particular
yp = Acosx+Bsenx+ Ccos2x+Dsen2x
yp = Asenx+Bcosx 2Csen2x+ 2Dcos2xyp = AcosxBsenx 4Ccos2x 4Dsen2xsustituyendo.
AcosxBsenx4Ccos2x4Dsen2x2Asenx+2Bcosx4Csen2x+4Dcos2x+Acosx+Bsenx+Ccos2x+Dsen2x = senx+3cos2x
3Ccos2x 3Dsen2x 2Asenx+2Bcosx 4Csen2x+4Dcos2x =senx+ 3Cos2x
3C + 4D = 3...(1)3D 4C = 0...(2)C = 925
D = 1225
2A = 1 ; A = 122B = 0 ; B = 0
y(x) = c1ex + c2xe
x 12cosx+ 925cos2x+ 1225sen2x
2.5 Variacion de parametro.
1. y+ y = secxResolvemos la parte homogenea de la ecuacion esta es yh = y+ y = 0Para la ecuacion homogenea asociada, resolvemos la ecuacion caracteristica.
m2 + 1 = 0
m2 = 1
m1,2 =1 ; m1,2 = i
m1,2 = i ; donde = 0 = 1
21
yh = c1cosx+ c2senx
Ahora identicamos y1 = cosx y y2 = senx y las derivamos.
y1 = cosx y2 = senx
y1 = senx y2 = cosxA continuacion calculamos el Wronskiano:
W =y1 y2y1 y
2
=cosx senxsenx cosx = [(cosx)(cosx)] [(senx)(senx)] =
cos2x+ sen2x = 1
W1 =0 y2
f(x) y2=
0 senxsecx cosx
= [(0)(cosx)] [(senx)(secx)] =senxsecx = senxcosx = tanx
W2 =y1 0y1 f(x)
=cosx 0senx secx = [(cosx)(secx) (0)(senx)] =cosxsecx = cosxcosx = 1
u1 =W1W =
tanx1 = tanx ; u1 =
tanxdx = [ln(cosx)] = ln(cosx)
u2 =W2W =
11 = 1; u2 =
dx = x
yp = u1y1 + u2y2
yp = ln(cosx)cosx+ xsenx
y(x) = yh + yp
y(x) = c1cosx+ c2senxi+ cosxln(cosx) + xsenx
2. y+ y = senxResolvemos yh = y+ y = 0
m2 + 1 = 0
m2 = 1m1,2 =
1 ; m1,2 = iDonde:
= 0 y = 1
yh = ex(c1cosx+ c2senx)
yh = e0x(c1cosx+ c2senx)
22
yh = c1cosx+ c2senx
Denimos y1, y2
y1 = cosx ; y1 = senx
y2 = senx ; y2 = cosx
Calculamos el Wronskiano.
W =cosx senxsenx cosx = cos
2x+ sen2x = 1
W1 =0 senx
senx cosx= sen2x
W2 =cosx 0senx senx = senxcosx
Ahora calculamos u1, u2.
u1 = sen2x1 = sen2x
u1 = sen2xdx = x2 14sen2x
u2 =senxcosx
1 = senxcosx
u2 =senxcosxdx = 12sen
2x
yp = u1y1 + u2y2 = (x2 14sen2x)cosx+ 12sen2x(senx)
yp =12xcosx 14cosxsen2x+ 12sen3x
y(x) = yp + yh
y(x) = c1cosx+ c2senx+12xcosx 14cosxsen2x+ 12sen3x3. y + y = cos2x
Ecuacion homogenea asociada yh = y + y = 0Esta ecuacion tiene solucion de la forma:
yh = c1cosx+ c2senx
Denimos y1, y2
y1 = cosx ; y1 = senx
y2 = senx ; y2 = cosx
Calculamos los Wronskianos:
23
W =cosx senxsenx cosx = cos
2x+ sen2x = 1
W1 =0 senx
cos2x cosx= senxcos2x
W2 =cosx 0senx cos2x = cos
3x
Denimos u1, u2
u1 =senxcos2x
1= senxcos2x
u1 = senxcos2xdx =
[cos
3x
3
]=cos3x
3
u2 =cos3x
1= cos3x
u2 =cos3xdx = senx sen
3x
3
yp = u1y1 + u2y2 =
(cos3x
3
)(cosx) +
(senx sen
3x
3
)(senx)
yp =cos4x
3+ sen2x sen
4x
3
y(x) = c1cosx+ c2senx+cos4x
3+ sen2x sen
4x
3
4.y y = coshx
Ecuacion homogenea asociada y y = 0
m2 1 = 0
m2 = 1; m1,2 = 1 = 1
yh = c1ex + c2e
x
Denimos y1 , y2
y1 = ex; y1 = e
x
y2 = ex; y2 = ex
Calculamos los Wronskianos:
24
W =ex ex
ex ex = ex(ex) ex(ex) = 1 1 = 2
W1 =0 ex
coshx ex = ex(coshx) = excoshx
W2 =ex 0ex coshx
= excoshx
Calculamos u1 y u2
u1 =excoshx2 =
12excoshx
u1 =12
excoshxdx = 18e
2x(2e2xx 1)
u2 =excoshx
2 = 12excoshx
u2 = 12excoshxdx = 12 [
x
2+e2x
4]
yp = ex[ 18e
2x(2e2xx 1)] + (ex)(x4 e
2x
8)
yp =18ex(2e2xx 1) + xe
x
4+ex
8
y(x) = c1ex + c2e
x + 18ex(2e2xx 1) + xe
x
4+ex
8
4. y + 3y + 2y =1
1 + ex
Ecuacion homogenea asociada yh = y + 3y + 2y = 0
m2 + 3m+ 2 = 0
(m+ 2)(m+ 1) = 0
m1 = 2 m2 = 1
yh = c1e2x + c2ex
Denimos y1, y2.
y1 = e2x; y1 = 2e2x
y2 = ex; y2 = ex
Calculamos Wronskianos:
25
W =e2x ex
2e2x ex = (e2x)(ex) (ex)(2e2x) = e3x + 2e3x =
e3x
W1 =0 ex1
1+ex ex= e
x
1 + ex
W2 =e2x 02e2x 11+ex
=e2x
1 + ex
Calculamos u1,u2
u1 = ex
1 + exe3x =
ex
(e3x)(1 + ex)=
1
e2x(1 + ex)= 1
e2x + ex
u1 = 1e2x + ex
dx = ex + ln(ex + 1) 1
u2 =
e2x
1 + ex
e3x=
e2x
(e3x)(1 + ex)=
1
ex + 1
u2 = 1ex + 1
dx = x+ ln(ex + 1)
yp = (e2x)[ex + ln(ex + 1) 1] + [x+ ln(ex + 1)](ex)
yp = ex + e2xln(ex + 1) e2x + xex + exln(ex + 1)y(x) = c1e
2x + c2ex ex + e2xln(ex + 1) e2x + xex + exln(ex + 1)5.3y 6y + 6y = exsecxyh = 3y
6y + 6y = 03m2 6m+ 6 = 0
a = 3 , b = 6 , c = 6Denimos y1, y2
m1,2 =(6)(6)2 4(3)(6)
2(3)=
6
636 726
= 1366
= 1 i
= 1 , = 1
yh = ex(c1cosx+ c2senx)
Deniendo y1 , y2
26
y1 = excosx ; y1 = e
xcosx exsenx
y2 = exsenx ; y2 = e
xsenx+ excosx
Calculamos los Wronskianos
W =excosx exsenx
excosx exsenx exsenx+ excosx = (excosx)(exsenx+ excosx)
(exsenx)(excosx exsenx) = ex(cosxsenx+ cos2x cosxsenx+ sen2x)
W = ex(cos2x+ sen2x) = ex
W1 =0 exsenx
exsecx exsenx+ excosx= (exsenx)(exsecx) = ex(senx
cosx) =
extanx
W2 =excosx 0
excosx exsenx exsecx = (excosx)(exsecx) = ex(
cosx
cosx) = ex
Calculamos u1, u2
u1 = extanx
ex= tanx
u1 = tanxdx = (lncosx) = lncosx
u2 =ex
ex= 1
u2 =dx = x
yp = lncosx(excosx) + x(exsenx)
y(x) = ex(c1cosx+ c2senx) + excosxlncosx+ xexsenx
2.6 Ecuaciones de Cauchy-Euler
x2y 2y = 0Suponemos una solucin de la forma y = xm .
y = xm
y = mxm1
y = (m 1)mxm2
Sustituimos en la ecuacin original.
x2[(m 1)mxm2] 2(xm) = 0
27
x2[(m 1)mxmx2] 2(xm) = 0
(m 1)mxm 2xm = 0
xm[(m 1)m 2] = 0
xm(m2 m 2) = 0
asi obtenemos la ecuacion auxiliar
m2 m 2 = 0
(m+ 1)(m 2) = 0
m1 = 1 ; m2 = 2
Son races reales y distintas, asi que la solucin es:
y = c1x1 + c2x2
2.
x2y + y = 0
Suponemos la solucion y = xm
y = xm
y = mxm1
y = (m 1)mxm2
Sustituimos en la ecuacin
x2[(m 1)mxm2] + xm = 0
(m 1)mx2xmx2 + xm = 0
(m2 m)xm + xm = 0
xm(m2 m+ 1) = 0
Ecuacin auxiliar
m2 m+ 1 = 0
m1,2 =12 12
3i
donde: = 12 =12
3
y = c1x12+
12
3i + c2x
12 12
3i
28
Usando la identidad,
xi = (elnx)i = eilnx
con la formula de Euler, es lo mismo que
xi = cos(lnx) + isen(lnx)
xi = cos(lnx) isen(lnx)entonces
xi + xi = cos(lnx) + isen(lnx) + cos(lnx) isen(lnx) = 2cos(lnx)xi xi = cos(lnx) + isen(lnx) cos(lnx) + isen(lnx) = 2isen(lnx)si y = C1x
+i + C2xi
y1 = x(xi + xi) = 2xcos(lnx)
y2 = x(xi xi) = 2xisen(lnx)se concluye que
y1 = xcos(lnx) y = xsen(lnx)
As la solucion general es
y = x[c1cos(lnx) + c2sen(lnx)]
y = x12 [c1cos(
12
3lnx) + c2sen(
12
3lnx)]
3.
x2y + xy + 4y = 0
Suponemos la solucin:
y = xm
y = mxm1
y = (m 1)mxm2
Sustituimos en la ecuacin.
x2[(m 1)mxm2] + x(mxm1) + 4(xm) = 0xm(m2 m+m+ 4) = 0
xm(m2 + 4) = 0
m2 = 4
29
m1,2 = 4
m1,2 = 2i
= 0 = 2
y = x0(c1cos2lnx+ c2sen2lnx)
y = c1cos2lnx+ c2sen2lnx
4.
x2y 3xy 2y = 0Solucion propuesta.
y = xm
y = mxm1
y = (m 1)mxm2
Sustituimos.
x2[(m 1)mxm2] 3x(mxm1) 2(xm) = 0
xm[(m2 m) 3m 2] = 0
xm(m2 4m 2) = 0
m1,2 = 26
y = c2x2+6 + c1x
26
5.
25x2y + 25xy + y = 0
Solucin propuesta.
y = xm
y = mxm1
y = (m 1)mxm2
Sustituimos.
25x2[(m 1)mxm2] + 25x(mxm1) + xm = 0
xm[25m2 25m+ 25m+ 1] = 0
30
25m2 + 1 = 0
m1,2 = 125
= 15i
= 0, =1
5
y = x0(c1cos1
5lnx+ c2sen
1
5lnx)
y = c1cos1
5lnx+ c2sen
1
5lnx
6.
x2y + 5xy + y = 0
Solucion propuesta.
y = xm
y = mxm1
y = (m 1)mxm2
Sustituimos.
x2[(m 1)mxm2] + 5x(mxm1) + xm = 0xm(m2 m+ 5m+ 1) = 0m2 + 4m+ 1 = 0m1,2 = 2
3
y = c1x2+3 + c2x
23
7.
xy 4y = x4
Solucin propuesta.
y = xm
y = mxm1
y = (m 1)mxm2
Hacemos la ecuacion de la forma de Cauchy Euler, para esto la multiplicamos
por x.
x2y 4xy = x5Resolvemos la parte homogenea.
yh = x2y 4xy = 0Sustituimos
x2[(m 1)mxm2] 4x(mxm1) = 0
31
xm(m2 m 4m) = 0m(m 5) = 0m1 = 0 m2 = 5yh = c1x
0 + c2x5
yh = c1 + c2x5
Resolvemos por variacion de parmetros.
Para esto tenemos que escribir la ecuacion en la forma estandar P (x)y +Q(x)y = f(x)Dividimos la ecuacin original entre xy 4 yx = x3identicamos f(x) = x3
Denimos y1, y2y1 = 1 , y
1 = 0
y2 = x5, y2 = 5x
4
W =1 x5
0 5x4= 5x4 0 = 5x4
W1 =0 x5
x3 5x4= 0 x8 = x8
W2 =1 00 x3
= x3
Calculamos u1, u2u1 =
x85x4 = 15x4
u1 = 15x4dx = 125x5
u2 =x3
5x4 =15x
u2 =15
1xdx =
15 lnx
yp = 125x5(1) + 15 lnx(x5)yp = 125x5 + x
5
5 lnxy(x) = yh + yp
y(x) = c+ c2x5 125x5 + x
5
5 lnx7.
x2y xy + y = 2xSolucion propuesta.
y = xm
y = mxm1
y = (m 1)mxm2
Resolvemos la ecuacion homogenea asociada.
yh = x2y xy + y = 0Sustituimos en la ecuacin original.
x2[(m 1)mxm2] x(mxm1) + xm = 0m2 mm+ 1 = 0m2 2m+ 1 = 0
32
(m 1)2m1,2 = 1yh = c1x+ c2xlnxPonemos la ecuacin en la forma estandar
y 1xy + 1x2 y = 2xIdenticamos f(x) = 2xIdenticamos y1 = x , y2 = xlnx y y
1 = 1 , y
2 = lnx+ 1Calculamos los Wronskianos
W =x lnx1 lnx+ 1
= (x)(lnx + 1) (lnx)(1) = xlnx + x lnx = xlnx lnx+ x = xlnxx + x = xln(1) + x = x
W1 =0 lnx2x lnx+ 1
= (lnx)( 2x ) =2x lnx
W2 =x 01 2x
= 2xx 0 = 2Calculamos u1, u2
u1 =2x lnx
x =2lnxx2
u1 = 2lnxx2 = lnx+1x
u2 =2x
u2 = 2
1x = 2lnx
yp = y1u1 + y2u2 = x( lnx+1x ) + xlnx(2lnx) = lnx+ 1+8.
x2y 2xy + 2y = x4ex
Solucin propuesta.
y = xm
y = mxm1
y = (m 1)mxm2
x2[(m 1)mxm2] 2x(mxm1) + 2xm = x4exSolucionamos la ecuacion homogenea
x2y 2xy + 2y = 0xm(m2 m 2m+ 2) = 0m2 3m+ 2 = 0(m 2)(m 1) = 0m1 = 2 , m2 = 1yh = c1x
2 + c2xConvertimos la ecuacion original a la forma estandar
y 2xy + 2x2 y = x2exDenimos y1, y2 , f(x) = x
2ex
y1 = x2; y1 = 2x
y2 = x ; y2 = 1Calculamos el Wronskiano
33
W =x2 x2x 1
= x2 2x2 = x2
W1 =0 x
x2ex 1= 0 x3ex = x3ex
W2 =x2 02x x2ex
= x4ex
Calculamos u1, u2u1 =
x3exx2 = xe
x
u1 =xexdx = ex(x 1)
u2 =x4ex
x2 = x2exu2 =
x2exdx = ex(x2 2x+ 2)
yp = u1y1 + u2y2 = [ex(x 1)]x2 + [ex(x2 2x+ 2)]x
yp = x2ex(x 1) + xex(x2 2x+ 2)
y(x) = yp + yhy(x) = c1x
2 + c2x+ x2ex(x 1) + xex(x2 2x+ 2)9.
3 Soluciones en series de potencias
1.
y xy = 0Sutituyendo y =
n=0 cnx
ny la segunda derivada y =n=2(n1)ncnxn2
n=2(n 1)ncnxn2 x (n=0 cnx
n) = 0n=2(n 1)ncnxn2
n=0 cnx
n+1 = 0
Ahora sumamos las dos series igualando los indices de ambas sumas.
2(1)c2x0n=3 n(n 1)cnxn2
n=0 cnx
n+1 = 0
2c2n=3 n(n 1)cnxn2
n=0 cnx
n+1 = 0
hacemos k = n 2 para la primera serie y k = n+ 1 para la segunda serie,de modo que: n = k + 2 , n = k 1 respectivamente.Sutituimos
2c2n=3 n(n 1)cnxn2
n=0 cnx
n+1 = 0
2c2k=1(k + 2)(k + 1)ck+2x
k k=1 ck1xk = 02c2k=1[(k + 2)(k + 1)ck+2 ck1]xk = 0(k + 2)(k + 1)ck+2 ck1 = 0
ck+2 =ck1
(k + 2)(k + 1)
34
Esta relacion genera coecientes consecutivos de la solucion propuesta, con
el valor de k como enteros positivos.Ahora
2c2 = 0 ; c2 = 0
k = 1 , c3 =c03(2) =
16c0
k = 2 , c4 =c14(3)
= 112c1
k = 3 , c5 =c25(4)
= 120c2 = 0 c2 = 0
k = 4 , c6 =c36(5)
= 130 (16 )c0 =
1180c0
k = 5 , c7 =c47(6)
= 142 (112 )c1 =
1504c1
k = 6 , c8 =c58(7)
= 0 c5 = 0
k = 7 , c9 =c69(8)
= 172 (1180 )c0 =
112960c0
k = 8 , c10 =c7
10(9)= 110(9)(504)c1
k = 9 , c11 =c8
11(10)= 0 c8 = 0
Sustituyendo coecientes en la suposicion original
y =c0+c1x+c2x
2+c3x3+c4x
4+c5x5+c6x
6+c7x7+c8x
8+c9x9+c10x
10+c11x11+...,
y =c0+c1x+0+
16c0x
3+ 112c1x4+0+ 1180c0x
6+ 1504c1x7+0+ 112960c0x
9+ 190(504)c1x10+0
y = c0(1 +16x
3 + 1180x6 + 112960x
9) + c1(x+112x
4 + 1504x7 + 190(504)x
10)
2
y+ x2y+ xy = 0Sutituyendo:
y =n=0 cnx
n
y =n=1 cnnxn1y =n=2(n 1)ncnxn2En la ecuacin originaln=2(n 1)ncnxn2 + x2
[n=1 cnnx
n1]+ x [ cnxn] = 035
n=2(n 1)ncnxn2 +
n=1 cnnx
n+1 +n=0 cnx
n+1 = 02c2x
0+6c3xn=4(n1)ncnxn2+
n=1 cnnx
n+1+c0x1n=1 cnx
n+1 = 0Hacemos k = n2 para la primera serie, yk = n+1para la segunda y terceraseries.
2c2x0+6c3x
k=2(k+21)(k+2)ck+2xk+22+
k=2 ck1(k1)xk1+1+
c0x1k=2 ck1x
k1+1 = 02c2 + 6c3x+ c0x
k=2(k + 1)(k + 2)ck+2x
k + ck1(k 1)xk + ck1xk = 02c2 + 6c3x+ c0x
k=2[(k + 1)(k + 2)ck+2 + ck1(k 1) + ck1]xk = 0
(k + 1)(k + 2)ck+2 + ck1(k 1) + ck1Entonces tenemos
2c2 = 0 ; c2 = 06c3 + c0 = 0c3 = 16c0ck+2 =
[(k1)+1]ck1(k+1)(k+2) =
kck1(k + 1)(k + 2)Sustituyendo k = 2, 3, 4, ... en la formula se obtienec4 =
2c13(4) =
16c1
c5 =3c24(5) = 0 c2 = 0
c6 =4c35(6) =
215 ( 16c0) = 145c0
c7 =5c46(7) =
542 (
16c1) =
5136c1
c8 =6c57(8) =
656 (0) = 0
c9 =7c68(9) =
772 ( 145 )c0 = 772(45)c0
c10 =8c79(10) =
445 (
5136c1) =
545(34)c1
c11 =9c8
10(11) =9110 (0) = 0
c12 =10c911(12) =
566 ( 772(45)c0) = 766(72)(9)c0Por tanto,
y = c0 + c1x+ c2x2 + c3x
3 + c4x4 + c5x
5 + c6x6 + c7x
7 + c8x8 + c9x
9 + ...y = c1[
16x
4 + 5136x7 + 59(34)x
10] c0[ 145x6 + 772(45)x9 + 766(72)(9)x12]3.
y 2xy+ y = 0Sutituyendo:
y =n=0 cnx
n
y =n=1 cnnxn1y =n=2(n 1)ncnxn2En la ecuacin originaln=2(n 1)ncnxn2 2x
[n=1 cnnx
n1]+n=0 cnxn = 0n=2(n 1)ncnxn2 2
n=1 cnnx
n +n=0 cnx
n = 02c2n=3(n 1)ncnxn2 2
n=1 cnnx
n + c0n=1 cnx
n = 0Hacemos k = n 2 para la serie uno y k = n para las dos y tres.2c2k=1(k + 2 1)(k + 2)ck+2xk+22 2
k=1 ckkx
k + c0k=1 ckx
k = 02c2 + c0
k=1(k + 1)(k + 2)ck+2x
k +k=1 ckkx
k +k=1 ckx
k = 02c2 + c0
k=1(k + 1)(k + 2)ck+2x
k 2ckkxk + ckxk = 02c2 + c0
k=1(k + 1)(k + 2)ck+2x
k 2ckkxk + ckxk = 0
36
De esta igualdad se concluye que
2c2 + c0 = 0c2 = 12c0(k + 1)(k + 2)ck+2x
k 2ckkxk + ckxk = 0[(k + 1)(k + 2)ck+2 2ckk + ck]xk = 0(k + 1)(k + 2)ck+2 2ckk + ckck+2 =
(2k + 1)ck(k + 1)(k + 2)Sustituyendo k = 1, 2, 3, 4, ...
c3 =3c12(3) =
12c1
c4 =5c23(4) =
512 ( 12c0) = 524c0
c5 =7c34(5) =
720 (
12c1) =
740c1
c6 =9c45(6) =
930 ( 524c0) = 116c0
c7 =11c56(7) =
1142 (
740c1) =
116(40)c1
c8 =13c67(8) =
1356 ( 116c0) = 1356(16)c0
c9 =15c78(9) =
1572 (
116(40)c1) =
16172(240)c1
c10 =17c89(10) = 17(13)9(10)(56)(16)c0
c11 =18c910(11) =
155 (
1618(240) )c1
y = c1
[12x
3 + 740x5 + 11240x
7 + 16172(240)x9 + 16155(8)(240)x
11]
c0
[524x
4 + 116x6 + 1356(16)x
8 + 17(13)90(56)(16)x10]4.
(x2 + 2)y+ 3xy y = 0Sutituyendo:
y =n=0 cnx
n
y =n=1 cnnxn1y =n=2(n 1)ncnxn2
(x2 + 2)n=2(n 1)ncnxn2 + 3x
n=1 cnnx
n1 n=0 cnxn = 0x2n=2(n1)ncnxn2+2
n=2(n1)ncnxn2+
n=1 3cnnx
nn=0 cnxn =0
37
n=2(n 1)ncnxn +
n=2 2(n 1)ncnxn2 +
n=1 3cnnx
n n=0 cnxn = 0n=2(n 1)ncnxn +
n=2 2(n 1)ncnxn2 + 3c1x
n=2 3cnnx
n c0 +c1x
n=2 cnx
n = 0
3c1x+ c0 + c1xn=2(n 1)ncnxn + 2(2 1)2c2x22 + 2(3
1)3c3x32
n=4 2(n 1)ncnxn2 +n=2 3cnnx
n n=2 cnxn = 03c1x+ c0 + c1x+ 4c2 + 12c3x
n=2(n 1)ncnxn +
n=4 2(n 1)ncnxn2 +
n=2 3cnnxn n=2 cnxn = 0Hacemos k = n 2 para la segunda serie y k = n para las demas3c1x+ c0 + c1x+ 4c2 + 12c3x
k=2(k 1)kckxk +
k=2 2(k + 2 1)(k +
2)ck+2xk+22 +
k=2 3ckkx
k k=2 ckxk = 04c1x+ c0+4c2+12c3x
k=2[(k1)kck+2(k+1)(k+2)ck+2+3ckk ck]xk = 0De esta igualdad se obtiene
4c1 + 12c3 = 0c3 = c13c0 + 4c2 = 0c2 = c04(k 1)kck + 2(k + 1)(k + 2)ck+2 + 3ckk ckck+2 =
3kck + ck (k 1)kck2(k + 1)(k + 2)
=[3k + 1 k2 k]ck
2(k + 1)(k + 2)=
[4k + 1 k2]ck2(k + 1)(k + 2)Sustituyendo valores de k = 2, 3, 4, 5, ...c2 = c04c3 = c13c4 =
(6+142)c22(3)(4) = 1124 ( 14c0) = 1196c0
c5 =(12+19)c3
2(4)(5) = 2040c3 = 12 ( 13c1) = 16c1c6 =
(16+116)c42(5)(6) = 3160c4 = 3160 ( 1196c0) = 31(11)(60)(96)c0
c7 =(20+125)c5
2(6)(7) =4484 c5 =
1121 (
16c1) =
11126c1
c8 =(24+136)c6
2(7)(8) =59112 (
11(31)60(96)c0) =
11(31)112(60)(96)c0
y = c0[ 14x2 + 1190x4 + 31(11)60(96)x6 + 11(31)112(60)(96)x8] + c1[ 13x3 + 16x5 + 11126x7]
4 Transformada de Laplace
1.
f(t)
{1, 0 t < 11, t 1
L{f(t)} = 0estf(t)dt = 1
0est(1) +
1est(1)
= ests |10 + ests |1
38
= es(1)s [ es(0)s ] +
es(1)s e
s()s
= ess 1s + e
ss +
0s
= 2ess 1s2.
f(t) =
{t,
1,
0 t < 1t 1
L[f(t)] = 0estf(t) =
10esttdt+
1est(1)dt
= ests (t 1s )|10 + ests |1
= es(1)s (1 1s ) [ es(0)s (0 1s )] + [ e
s()s e
s(0)s ]
= ess + ess2 +
1s2 1s
f(t) = te4t
L{te4t} = 0estte4tdt =
0te(s4)tdt
= e(s4)t
(s 4)2[s+ 3]|0
= e(s4)
(s 4)2 [e(s4)0
(s 4)2 ]
=0
(s 4)2 +1
(s 4)2
=1
(s 4)2
3.
y+ 3y+ 2y = 0y(0) = 1 , y(0) = 1Aplicamos transformada de Laplace a toda la ecuacin
L[y] + 3L[y] + 2L[y] = 0[s2Y (s) sy(0) y(0)] + 3[sY (s) y(0)] + 2[Y (s)] = 0s2Y (s) sy(0) y(0) + 3sY (s) 3y(0) + 2Y (s) = 0Sustituimos los valores iniciales
s2Y (s) s(1) 1 + 3sY (s) 3(1) + 2Y (s) = 0s2Y (s) s 1 + 3sY (s) 3 + 2Y (s) = 0Factorizando
Y (s)(s2 + 3s+ 2) s 4
39
Y (s) =4 + s
s2 + 3s+ 2Separamos en fracciones parciales
4 + s
(s+ 2)(s+ 1)=
A
s+ 1+
B
s+ 2Por el mtodo de Heaviside
A =(4 + s)(s+ 1)
(s+ 2)(s+ 1)|s=1 = 4 + (1)1 + 2 = 3
B =(4 + s)(s+ 2)
(s+ 1)(s+ 2)|s=2 = 4 22 + 1 = 2Sustituimos en la ecuacion transformada.
Y (s) =3
s+ 1 2s+ 2Aplicamos la transformada inversa a cada trmino del desarrollo anterior.
y(t) = L1[ 3s+ 1
] L[ 2s+ 2
]
y(t) = 3L1[ 1s+ 1
] 2L[ 1s+ 2
]
y(t) = 3et 2e2t
y xy = 0Sutituyendo y =
n=0 cnx
ny la segunda derivada y =
n=2(n1)ncnxn2
n=2(n 1)ncnxn2 x (n=0 cnx
n) = 0n=2(n 1)ncnxn2
n=0 cnx
n+1 = 0
Ahora sumamos las dos series igualando los indices de ambas sumas.
2(1)c2x0n=3 n(n 1)cnxn2
n=0 cnx
n+1 = 0
2c2n=3 n(n 1)cnxn2
n=0 cnx
n+1 = 0
hacemos k = n 2 para la primera serie y k = n+ 1 para la segunda serie,de modo que: n = k + 2 , n = k 1 respectivamente.Sutituimos
2c2n=3 n(n 1)cnxn2
n=0 cnx
n+1 = 0
2c2k=1(k + 2)(k + 1)ck+2x
k k=1 ck1xk = 02c2k=1[(k + 2)(k + 1)ck+2 ck1]xk = 0(k + 2)(k + 1)ck+2 ck1 = 0
ck+2 =ck1
(k + 2)(k + 1)
40
Esta relacion genera coecientes consecutivos de la solucion propuesta, con
el valor de k como enteros positivos.Ahora
2c2 = 0 ; c2 = 0
k = 1 , c3 =c03(2) =
16c0
k = 2 , c4 =c14(3)
= 112c1
k = 3 , c5 =c25(4)
= 120c2 = 0 c2 = 0
k = 4 , c6 =c36(5)
= 130 (16 )c0 =
1180c0
k = 5 , c7 =c47(6)
= 142 (112 )c1 =
1504c1
k = 6 , c8 =c58(7)
= 0 c5 = 0
k = 7 , c9 =c69(8)
= 172 (1180 )c0 =
112960c0
k = 8 , c10 =c7
10(9)= 110(9)(504)c1
k = 9 , c11 =c8
11(10)= 0 c8 = 0
Sustituyendo coecientes en la suposicion original
y =c0+c1x+c2x
2+c3x3+c4x
4+c5x5+c6x
6+c7x7+c8x
8+c9x9+c10x
10+c11x11+...,
y =c0+c1x+0+
16c0x
3+ 112c1x4+0+ 1180c0x
6+ 1504c1x7+0+ 112960c0x
9+ 190(504)c1x10+0
y = c0(1 +16x
3 + 1180x6 + 112960x
9) + c1(x+112x
4 + 1504x7 + 190(504)x
10)
2.
y (x+ 1)y y = 0Sutituyendo y =
n=0 cnx
nla primera derivada
n=1 cnnx
n1y la segunda
derivada y =n=2(n 1)ncnxn2
n=2(n 1)ncnxn2 (x+ 1)n=1 cnnx
n1 n=0 cnxn = 0n=2(n 1)ncnxn2
n=1 cnnx
n n=1 cnnxn1 n=0 cnxn = 041
2c2x0n=3(n 1)ncnxn2
n=1 cnnx
n c1x0n=2 cnnx
n1 c0x
0n=1 cnx
n = 0
hacemos k = n 2 para la primera serie, k = n 1 para la tercera, k = npara la segunda y la cuarta serie.
c2c1c0+n=3(n1)ncnxn2
n=1 cnnx
nn=2 cnnxn1n=1 cnxn =0
c2 c1 c0 +k=1(k + 2 1)(k + 2)ck+2xk
k=1 ckkx
k k=1 ck+1(k +1)xk k=1 ckxk = 0
c2 c1 c0 +k=1[(k + 1)(k + 2)ck+2 kck (k + 1)ck+1 ck]xk = 0
De aki se concluye que
c2 = 0
c1 = 0
c0 = 0
(k + 1)(k + 2)ck+2 (k + 1)ck+1 kck ck = 0
ck+2 =(k + 1)ck+1 + (k + 1)ck
(k + 1)(k + 2)
Sustituyendo k = 1, 2, 3, ...,k = 1 , c3 =
2c2+2c12(3) = 0
k = 2 , c4 =3c3+3c23(4) =
312c3 = 0
k = 3 , c5 =4c4+4c34(5) = 0
Serie de Taylor
1.
y = x+ 2y2
y(0) = 0
y(o) = 1
Derivando
y = 1 + 4yy
y = 4yy + 4yy
yiv = 4yy + 4yy + 4yy + 4yy = 12yy + 4yy
yv = 12yy + 12yy + 4yy + 4yyiv
42
yvi = 12yy+12yy+12yy+12yyiv+4yy+4yyiv+4yyiv+4yyv =36yy + 12yyiv + 4yy + 4yyiv + 4yyiv + 4yyv
y(0) = 1 , y(0) = 4 , yiv(0) = 12 , yv(0) = 76 , yvi(0) = 408
y(x) = x1! +x2
2! +4x3
3! +12x4
4! +76x5
5! +408x6
6!
1.
f(t) = 4t 10L[f(t)] = 4L[t] 10L[1]L[f(t)] = 4
0testdt 10
0estdtIntegramos por partes la primera integral
40testdt =
u = t , du = 1
dv = est , v = ests= 4[(1)( ests )|0 + 1s
0(1)(est)]dt
= 4ses() ( 4ses(0)) + 1s ests |0
= 4s +1s
[( es()s e
s(0)s )
]= 4s +
1s ( 1s ) =
4
s 1s2Hacemos la segunda integral
100estdt = ests |0
= es()s ( es(0)s )
=1
sentonces
L[f(t)] = 4s 1s2 1s=
3
s 1s2
2.
f(t) = et/5
L[f(t)] = L[et/5] = 0et/5estdt
=0et5 (15s)dt = e
t5(15s)
15 (15s)
|0= e
5(15s)
15 (15s)
e05(15s)
15 (15s)
= 51 5s =
5
5s 1
3.
f(t) = et2
L[f(t)] = L[et2]
43
=0et2estdt = e2
et(1s)dt
= e2[ et(1s)1s ]|0 = (e2)( e
()(1s)1s ) (e2)( e
(0)(1s)1s )
= e2
1 s =e2
s 1
4.
f(t) = et cos t
L[f(t)] = L[et cos t]Por el teorema de traslacion del eje sL[f(t)] = F (s)L[eatf(t)] = F (s a)a = 1
L[cos t] = ss2+1 = L[et cos t] =s
(s 1)2 + 1
5.
f(t) = et cos t
L[f(t)] = L[et cos t]Por el teorema de traslacion del eje sL[f(t)] = F (s)L[eatf(t)] = F (s a)a = 1L[cos t] =
0est(cos t)dtIntegramos por partes
u = cos t , du = sin tdv = est, v =
estdt = ests
0est(cos t)dt = cos t(e
st
s)|0
0ests ( sin t)dt
= (cos t)est
s|0 1s
0est(sin t)dtEvaluamos el primer trmino y volvemos a integrar por partes el segundo
trmino
u = sin t , du = cos t
dv = est , v = ests= [(cos)e
s (cos 0)e
0
s] 1s
[sin t( ests )|0
0( ests ) cos tdt
]=(1 + 1s2
) (0est cos tdt
)=
1
s2estsin t|0
1
sestcos t|0 =
1
s
0est cos tdt =
1s
1 + 1s2=
s
s2 + 1Aplicando el teorema de traslacion del eje sL[f(t)] = F (s)L[eatf(t)] = F (s a)
44
a = 1L[et cos t] = s+ 1
(s+ 1)2 + 1
6.
f(t) =
10
1
0 < t < 2
2 t < 4t 4
L[f(t)] = 0estf(t)dt =
20est(1)dt+ 4
2est(0)dt+
4est(1)dt
20est(1)dt = [1
sest]20 =
1
se2s 1
se0 =
1
s
[e2s 1] 4
2est(0)dt = 0
4est(1)dt = 1
sest|4 =
1
set +
1
se4s =
1
se4s
L[f(t)] = 1s
(e2s 1)+ 1
se4s =
1
s
(e2s + e4s 1)7.
f(t) =
{3t
0
0 < t < 1
t 1L[f(t)] = 1
0est3tdt+
1est(0)dt 1
0est3tdt = 3
10testdt
u = t , du = 1
dv = est , v = est
s
= 3
{t(e
st
s)|10
10(e
st
s)dt = t(e
st
s)|10
1
s[est
s]
}
=3
s
{t(est)|10
1
s[est]10
}=
1
s
{[(es) 0] 1s [(es) 1]
}3
s[es 1ses] =
3
ses(1 1
s) +
1
s21
0dt = 0
L[f(t)] = 3ses(1 1
s+
1
s)
Encontrar f(t) dada su transformada de Laplace F (s), donde f(t) = L1{F (s)}
8.
F (s) =1
s2
45
L1[ 1s2 ]L1[ n!sn+1 ] = f(t) = tnL1[ 1s2 ] = t
Usar el teorema de la transformada de la derivada de una funcion para
encontrar F (s) dada f(t)
9.
f(t) = t sin 3t
sean f(t) = t sin 3t , f(0) = 0f (t) = sin 3t+ 3t cos 3t, f (0) = 0f (t) = 3 cos 3t+ 3 cos 3t 9t sin 3t, f (0) = 6L[f (t)] = s2F (s) f(0) f (0)L[3 cos 3t+ 3 cos 3t 9t sin 3t] = s2L[t sin 3t] 0 06L[cos 3t] 9L[t sin 3t] = s2L[t sin 3t]6L[cos 3t] = s2L[t sin 3t] + 9L[t sin 3t]6L[cos 3t] = (s2 + 9)L[t sin 3t]6[
s
s2 + 9] = (s2 + 9)L[t sin 3t]
L[t sin 3t] = 6s(s2 + 9)2
10.
f(t) = t cosh t
sean:
f(t) = t cosh t , f(0) = 0f (t) = cosh t+ t sinh t , f (0) = 1f (t) = sinh t+ sinh t+ t cosh tL[f (t)] = s2F (s) f(0) f (0)L[2 sinh t+ t cosh t] = s2L[t cosh t] 0 12L[sinh t] + L[t cosh t] = s2L[t cosh t] 12L[sinh t] = s2L[t cosh t] L[t cosh t] 12
1
s2 1 = (s2 1)L[t cosh t] 1
2
(s2 1) + 1 = (s2 1)L[t cosh t]
2 + s2 1(s2 1) = (s
2 1)L[t cosh t]
L[t cosh t] = s2 + 1
(s2 1)2
46
11.
f(t) = t2 cos 3t
Sean:
f(t) = t2 cos 3t , f(0) = 0
f (t) = 2t cos 3t 3t2 sin 3t , f (0) = 0
f (t) = 2 cos 3t6t sin 3t(6t sin 3t+9t2 cos 3t) = 2 cos 3t12t sin 3t9t2 cos 3t
Aplicando el teorema
L[f (t)] = s2F (s) f(0) f (0)
L[2 cos 3t 12t sin 3t 9t2 cos 3t] = s2L[t2 cos 3t] 0 0
2L[cos 3t] 12L[t sin 3t] 9L[t2 cos 3t] = s2L[t2 cos 3t]
2L[cos 3t] 12L[t sin 3t] = s2L[t2 cos 3t] + 9L[t2 cos 3t]
2s
s2 + 9 12 6s
(s2 + 9)2= (s2 + 9)L[t2 cos 3t] podemos observar que la
transformada de t sin 3t es6s
(s2 + 9)2pues ya la habiamos resuelto
anteriormente.
2s(s2 + 9) 36s(s2 + 9)2
= (s2 + 9)L[t2 cos 3t]2s3 + 18s 36s
(s2 + 9)2= (s2 + 9)L[t2 cos 3t]
2s3 18s(s2 + 9)2(s2 + 9)
= L[t2 cos 3t]
L[t2 cos 3t] = 2s3 18s
(s2 + 9)3
. Hallar f(t) mediante el teorema de la transformada de la integral dadaF (s)
12.
F (s) =1
s(s 4)
L1[
1
s(s 4)]Sabemos que L1
[1
s a]= eat, entonces:
47
L1[
1
s(s 4)]=
t0ead =
ea
a|t0 =
eat
a 1adonde: a = 4
=e4t
4 1
4=
1
4(e4t 1)
13.
F (s) =1
s2(s+ 3)
L1[
1
s2(s+ 3)
]=
Si L1[
1
(s+ a)
]= eat , donde a = 3, entonces:
L1[
1
s(s+ 3)
]=
t0e3d =
1
3e3 |t0 =
1
3e3t 1
3
L1[
1
s2(s+ 3)
]=
t0
(1
3e3t 1
3
)d =
[1
9e3 1
3
]t0
=1
9e3t 1
3t 1
9
f(t) =1
9(e3t 3t 1)
14.
F (s) =3
s2(s2 9)
L1[
3
s2(s2 9)]=
Conociendo L1[
a
s2 a2]= sinh at, donde a = 3, entonces:
L1[
3
s(s2 9)]=
t0sinh 3d =
1
3cosh 3 |t0 =
1
3cosh 3t 1
3
L1[
3
s2(s2 9)]=
t0
(1
3cosh 3 1
3
)d =
[1
9sinh 3 1
3
]t0
=1
9sinh 3t
1
3t
f(t) =1
9(sinh 3t 3t)
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, usando la transformada de
Laplace
15.
y+ y = 0 , y(0) = 1
L{y+ y} = L{0}
48
Por el teorema de transformadas de derivadas
s2Y (s) sy(0) y(0) + Y (s) = 0Sustituyendo el valor inicial
s2Y (s) s(1) 0 + Y (s) = 0Y (s)(s2 + 1) 1 = 0Y (s) =
1
s2 + 1Aplicamos la transformada inversa a Y (s)
L1[
1
s2 + 1
]= et
por linealidad
y = ex
16.
y+ 4y = 2 , y(0) = 0 , y(0) = 0
L [y+ 4y] = L [2]s2Y (s) sy(0) y(0) + 4Y (s) = 2
sSustituyendo el valor inicial
s2Y (s) 0 0 + 4Y (s) = 2s
Y (s)(s2 + 4) =2
s
Y (s) =2
s(s2 + 4)se aplica la transformada inversa
L1[
2
s(s2 + 4)
]=
Si L1[
s2 + 2
]= sint donde = 2, entonces
L1[
2
s(s2 + 4)
]=
t0sin 2d = 1
2cos 2 |t0 =
1
2cos 2t+
1
2
f(t) =1
2 1
2cos 2t
por linealidad
y =1
2 1
2cos 2x
17.
y+ 16y = 4 , y(0) = 1 , y(0) = 0
Aplicamos transformada de Laplace a la ecuacin
L[y+ 16y] = L[4]
49
s2Y (s) + sy(0) + y(0) + 16Y (s) = 4sSustituimos los valores iniciales, y despejamos Y (s)
Y (s)(s2 + 16) + s+ 0 =4
s
Y (s) =
4
s s
(s2 + 16)=
4s2s
(s2 + 16)=
4 s2s(s2 + 16)Aplicamos transformada inversa
L1[
4 s2s(s2 + 16)
]= L1
[4
s(s2 + 16)
] L1
[s
(s2 + 16)
]=
L1[
s
s2 + 2
]= cost , donde = 4
L1[
s
(s2 + 16)
]= cos 4t
Entonces para L1[
4
s(s2 + 16)
]si L1
[
s2 + 2
]= sint , donde = 4
L1[
4
s(s2 + 16)
]=
t0sin 4d =
[1
4cos 4
]t0
= [1
4cos 4t 1
4
]=
14cos 4t+
1
4
L1[
4 s2s(s2 + 16)
]= 1
4cos 4t+
1
4 cos 4t = 3
4cos 4t+
1
4
por linealidad
y =3
4cos 4x+
1
418.
y 2y+ 5y = 0 , y(0) = 2 , y(0) = 4;Aplicamos la transformada de Laplace a la ecuacin
L [y 2y+ 5y] = L [0]Usamos formulas de transformadas de Laplace de derivadas
L[y](s) = Y (s)L[y](s) = sY (s) y(0) = sY (s) 2L[y](s) = s2Y (s) sy(0) y(0) = s2Y (s) 2s 4Al sustituir estas expresiones en la ecuacin nos da
s2Y (s) 2s 4 2 [sY (s) 2] + 5Y (s) = 0s2Y (s) 2s 4 2sY (s) 4 + 5Y (s) = 0Factorizamos y despejamos Y (s)Y (s)(s2 2s+ 5) 2s 8 = 0Y (s)(s2 2s+ 5) = 2s+ 8Y (s) =
2s+ 8
(s2 2s+ 5)Ahora calculamos la transformada inversa de la funcin racional Y (s), paraesto usaremos un desarrollo en fracciones parciales
50
Como s22s+5 es irreducible, escribimos este factor en la forma (s)2+2(s 1)2 + 22Y (s) =
2s+ 8
(s 1)2 + 22 =A(s 1) + 2B(s 1)2 + 4
2s+ 8 = A(s 1) + 2BHacemos s = 1, 1en el primer caso obtenemos
2(1) + 8 = A(2) + 2B , 6 = 2A+ 2B2(1) + 8 = A(0) + 2B , B = 56 = 2A+ 10 , A = 2Sustituimos estos valores en el desarrolo de fracciones parciales.
Y (s) =2(s 1) + 2(5)(s 1)2 + 4 =
2s 2 + 10(s 1)2 + 4 =
2s+ 8
(s 1)2 + 4aplicamos transformada inversa de Laplace
2L1[
s
(s 1)2 + 4]+ 4L1
[2
(s 1)2 + 4]
f(t) = 2et cos 2t+ 4et sin 2t
19.
w+ w = t2 + 2 , w(0) = 1 , w(0) = 1s2W (s) sw(0) w(0) +W (s) = L[t2] + L[2]W (s)(s2 + 1) s+ 1 = 2
s3+
2
s
W (s)(s2 + 1) =2 + 2s2
s3+ s 1
W (s) =
2(1 + s2) + s4 s3s3
s2 + 1=
2 + 2s2 + s4 s3s3(s2 + 1)Aplicamos la transformada inversa
f(t) = L1[
2
s3(s2 + 1)
]+L1
[2
s(s2 + 1)
]+L1
[s
(s2 + 1)
]L1
[1
(s2 + 1)
]Aplicamos el teorema de la transformada de la integral para las dos primeras
transformadas inversas.
L1[
2
s3(s2 + 1)
]=
t02 sin d = 2 cos |t0 = 2 cos t+ 2
= 2 t0[cos 1] d = 2(sin )|t0 = 2(sin t t) = 2t 2 sin t
= 2 t0( sin )d = 2(1
22 + cos )|t0 = t2 + 2 cos t 1
= t0(2 + 2 cos 1)d = (1
33 + 2 sin )|t0 =
1
3t3 + 2 sin t t
L1[
2
s(s2 + 1)
]=
t02 sin d = 2 cos |t0 = 2 cos t+ 2
L1[
s
(s2 + 1)
]= cos t
51
L1[
1
(s2 + 1)
]= sin t
Sustituyendo
f(t) =1
3t3 + 2 sin t t 2 cos t+ 2 + cos t sin t
References
[1] Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill,
Novena edicin, Editorial Cengage learning. Ejercicios 7.1, Problema 21
[2] Ecuaciones diferenciales, Isabel Carmona Jover, Cuarta edicin, Editorial
Pearson Educacin, Ejercicios 7.1, Problemas 1, 4, 14, 18. Ejercicios 7.2,
Problemas 1, 2, 5, 9, 10, 15, 18, 19
[3] Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, R. Kent Na-
gle, Edward B. Sa, Arthur David Snider, Cuarta edicin, Editorial Pearson
educacin. Ejercicios 7.5, Problemas 1
52