Elasticidad Problemas Resueltos PDF

7/28/2019 Elasticidad Problemas Resueltos PDF

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INTRODUCCI NHasta ahora en nuestro estudio de mecnica hemosasumido que los cuerpos son indeformables; esto noes cierto, aunque se justifica cuando los efectos delas deformaciones carecen de importancia.En este captulo trataremos sobre los cambios deforma producidos en un cuerpo cuando est bajo laaccin de una fuerza, esto es, en el sentido delcomportamiento de los materiales bajo la accin dediversos esfuerzos, inicindonos en la tcnica deldiseo.

PROPIEDADES MECNICAS DE LOSMATERIALESMuchos materiales cuando estn en servicio estnsujetos a fuerzas o cargas. En tales condiciones esnecesario conocer las caractersticas del materialpara disear el instrumento donde va a usarse de talforma que los esfuerzos a los que vaya a estarsometido no sean excesivos y el material no sefracture. El comportamiento mecnico de unmaterial es el reflejo de la relacin entre su respuestao deformacin ante una fuerza o carga aplicada.Hay tres formas principales en las cuales podemosaplicar cargas: Tensin, Compresin y Cizalladura.

Muestra tpica de seccin circular para el ensayo de

tensin - deformacinDurante la tensin, la deformacin se concentra en

la regin central ms estrecha, la cual tiene unaseccin transversal uniforme a lo largo de sulongitud. La muestra se sostiene por sus extremos enla mquina por medio de soportes o mordazas que asu vez someten la muestra a tensin a una velocidad

constante. La mquina al mismo tiempo mide lacarga aplicada instantneamente y la elongacinresultante (usando un extensmetro). Un ensayo detensin normalmente dura pocos minutos y es unensayo destructivo, ya que la muestra es deformada

permanentemente y usualmente fracturada.


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Cuando una pieza se somete a una fuerza de tensinuniaxial, se produce una deformacin del material.Si el material vuelve a sus dimensiones originalescuando la fuerza cesa se dice que el material hasufrido una DEFORMACIN ELASTICA. Elnmero de deformaciones elsticas en un material es

limitado ya que aqu los tomos del material sondesplazados de su posicin original, pero no hasta elextremo de que tomen nuevas posiciones fijas. Ascuando la fuerza cesa, los tomos vuelven a susposiciones originales y el material adquiere su formaoriginal.Si el material es deformado hasta el punto que los

tomos no pueden recuperar sus posicionesoriginales, se dice que ha experimentado unaDEFORMACIN PLASTICA.

DIFERENCIA ENTRE LOS CUERPOSELASTICOS Y LOS INELASTICOS. Loscuerpos elsticos son los cuerpos que despus deaplicarles una fuerza vuelven a su forma normalmientras que los inelsticos tienen su grado deelasticidad muy bajo y si los deforman no vuelven asu forma original.

LEY DE HOOKE.En la parte de comportamiento elstico se cumple laLey de Hooke. Robert Hooke fue el primero enenunciar esta relacin con su invento de un volantede resorte para un reloj. En trminos generales,encontr que una fuerza que acta sobre un resorteproduce un alargamiento o elongacin que es

Por definicin, El esfuerzo Sen la barra es igual alcociente entre la fuerza de tensin uniaxial media F

y la seccin transversal original 0A de la barra.

0A

FS= , sus unidades son

m

N.

Deformacin unitaria: Por definicin, ladeformacin unitaria originada por la accin de unafuerza de tensin uniaxial sobre una muestrametlica, es el cociente entre el cambio de longitudde la muestra en la direccin de la fuerza y lalongitud original.

l

l

l

ll =

= 0 , la deformacin unitaria es una

magnitud adimensionalEn la prctica, es comn convertir la deformacinunitaria en un porcentaje de deformacin oporcentaje de elongacin% deformacin = deformacin x 100 % = %

elongacin

MODULO ELASTICO O DE ELASTICIDAD.A la constante de proporcionalidad, podemosescribir la ley de Hooke en su forma general.

ndeformaci

esfuerzo=ElsticoMdulo

Para el caso de Deformacin por traccin ocompresin longitudinal

El esfuerzo esF

S= , la deformacin unitaria es


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la posicin de los dientes mediante arcos tensores.Por qu?

Solucin.Bajo mdulo de Young para que sea relativamentefcil deformarlo elsticamente para montar los arcosen los dientes. La tensin deber ser menor que la

tensin de fluencia del material, de ah que el lmiteelstico tenga que ser alto, ya que si el arco sedeforma plsticamente, su deformacin esirreversible y por lo tanto, no estar tensionando losdientes para corregir su posicin transversal seconvierte en un paralelogramo.

Ejemplo 2. De un alambre de cobre de 1,5 m delongitud y 2 mm de dimetro se cuelga un peso de 8kg. Se pregunta:a) Hemos rebasado el lmite de elasticidad?b) Se romper el alambre?c) En caso de ser negativas las preguntas anteriores,cul es su alargamiento?

Mdulo de Young = 12x1010N/m2Lmite de elasticidad de 3x107 a 12x107N/m2

Lmite de ruptura de 20x107 a 50x107N/m2

Solucin.a) y b) La seccin del alambre es:A =r2 = 3,14 mm2 = 3,14x10-6 m2

La fuerza que corresponde a cada m2 de seccin es:

61014,38,98

==

A

Mg

A

F

7 N10492

Suma de fuerzas verticales:

0= yF 0sen2 = MgT

sen2

MgT= .

Por la ley de Hooke deducimosque

YAT

=

l

l

Igualando:

sen2

MgYA =

l

l

De la figura siguiente:


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21

21

2 MgYA =

+

22

2 MgYA =

YA

Mg=3

Finalmente

3

YA

Mg=

Ejemplo 4. Se cuelga una viga de 2000 kg de doscables de la misma seccin, uno de aluminio y otro de

acero. Al suspenderla, ambos cables se estiran lomismo. Calcular la tensin que soporta cada uno.Mdulos de Young: acero = 20x1010 N/m2, aluminio=7x1010 N/m2

Solucin.Partiendo de los conceptos de simetra, es evidenteque el alargamiento de los hilos ser igual.

Designemos este alargamiento por l .De acuerdo con la ley de Hooke, la tensin del hilode acero es

ll

= aaAY

F yladel hilo de cobre, es

l

l

= cc

AYF

De donde concluimos que la relacin de lastensiones es igual a la relacin de los mdulos deelasticidad correspondientes:

2

1==

a

c

a

c

Y

Y

F

F.

En equilibrio2Fc + Fa= mg.Por consiguiente,

mgF 250 N F 2F 500 N


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estn ligados al peso y a los apoyos, los cuales sonindeformables.Encontrar las reacciones que se producen en losapoyos.

Solucin.Diagramas del cuerpo libre del conjunto y de laspartes:

Por equilibrio esttico, 0= yF :

021=+

WRR (1)Geomtricamente, tiene que cumplirse que losalargamientos sean iguales:

21 ll =

Solucin.Bajo la accin de la fuerza de compresin F, el tubodisminuye en AYF /l . y bajo la accin de lafuerza de extensin F, elperno se alarga en el valor

aaYAF /l . La suma ccaa YAFYAF // ll + esigual al desplazamiento de la tuerca a lo largo delperno:

hYAFYAF ccaa =+ // ll , de donde:

+=

ccaa

ccaa

YAYA

YAYAhF

l.

Ejemplo 9. Viga horizontal sostenida mediante untirante. En el sistema mostrado en la figura, cuntobajar el peso Wrespecto a la posicin en la cual eltensor no estaba deformado?

La barra es indeformable y de pesoP.El tensor BC es de peso despreciable, rea A y

d l d l i id d


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Luego,

AY

Tx

l2= (2)

Reemplazando la expresin (1) en (2):

( )AY

WPx

l22 +=

Ejemplo 10. Deformaciones no uniformes porpeso propio.Determinar la deformacin producida en una barra

debido a su peso propio de una barra del largoL,seccinA, mdulo de elasticidad Yy densidad .

Solucin.El elemento diferencial dy soporta el peso 'P de laporcin de barra de longitud y que est sobre l.

AyggVgmP === ''' Siendo la longitud de la barraL, su deformacin ser

L , la deformacin del elemento diferencial dy debido al peso 'P , ser ( )Ld .

( ) ydyAgdyP

Ld

=='

Solucin.

El elemento de columna dy es deformado por el pesode la masa m.

( )YA

dymgLd =

Clculo de m.

ydydydm ==l

L

y

L

y

y

ydym 2

2

==

= ( )222

yL


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Solucin.1020,4 kg/cm2 = 1 020,4x9,8 N/cm2 =108 N/m2; = 8930 kg/m3.Para que el hilo se rompa, su peso ha de ser por lomenos de 108A N, siendoA la seccin.O sea:

AgAmgP8

10=== l Es decir:

8,98930

1010 88

xgA

A==

l =1143,6 m

Ejemplo 13.Deformaciones por aceleracin

Una barra uniforme de acero (Longitud L, rea deseccin rectaA densidad , mdulo de young Y) se

halla sobre un plano horizontal exento de rozamientoy se tira de ella con una fuerza constanteF.Cul es el alargamiento total de la barra aconsecuencia de la aceleracin?

Solucin.a) Sea m la masa total de la barra

ALm = Tomemos un elemento diferencial dx, cuya masa es

dmAdxdm =

xdxYAL

FLd = )( , y

=

=

==Lx

x

xdxYAL

FLdL

0

)(

De dondeYAFLL

21=

Ejemplo 14. Se tiene una columna de largoL,seccin transversalA, densidad, mdulo deelasticidad Y. Se jala cobre un piso liso de la maneracomo se muestra en la figura. Calcule cuanto estira

el cuerpo.

Solucin.Primer mtodo.Aplicando la segunda ley de Newton:

= maF

maFF =3 AL

F

m

Fa

22==

Haciendo el diagrama del cuerpo libre l f l l l fi ( )


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el efecto total, tal como se muestra en la figurasiguiente:

La primera parte es la deformacin de un cuerpojalado por la fuerza 2F:

( )YA

FL

YA

LFL ==

2

2

11

La segunda parte es la deformacin de un cuerposujeto a la tensinF:

YAFLL = 2

La deformacin total es la suma de lasdeformaciones parciales:

YA

FL

YA

FLLLL +=+= 21

=AYFL2

Ejemplo 15 Si la barra se jala hacia arriba con una

amgmR ''2 = ( )agmR += '2 ,

Aym =' y

=

= g

AL

F

m

mgFa

,

Tenemos:

( ) LyFALFAyR =

= 2

ydyYAL

FLd = )( , y

==L

ydy

YAL

FLdL

0)(

De donde

YA

FLL

2

1=

Ejemplo 16. Para la barra compuesta mostradadetermine:

a) Su aceleracin.b) La deformacin de cada una de sus tres partes ysu deformacin total.

Solucin.a) LAm 21 = , LAm 42 = y LAm 23 = Aplicando la segunda ley de Newton:

( )

F25


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= F2,5 Deformacin de 3.La deformacin por fuerza es debido a 3F:

YA

FL

YA

LFL 12

433 ==

La deformacin por desplazamiento es debido a serjalado por la fuerza R2 3F= 1,6F

YA

FL

YA

LFL 2,3

2

46,1'3 ==

Deformacin total de 3:

YA

FL

YA

FL

YA

FLL Total 2,152,3123 =+=

Deformacin de 2.La deformacin por fuerza es debido aR2:

YA

FL

YA

LRL 2,9

222 ==

La deformacin por desplazamiento es debido a serjalado por la fuerzaR1 -R2 = 5,2F 4,6F= 0,6F

YA

FL

YA

LFL 6,0

2

26,0'2 ==

Deformacin total de 2:

YA

FL

YA

FLL Total 6,02,92 +=

=YA

FL8,9

Deformacin de 1

Solucin.

Para calcular la aceleracin de la barra aplicamos:yy maF =

MaMgMgMg 25 = ga2

3=

t d b l li f F


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El elemento diferencial se deforma ( )Ld debido a

la reaccin 2R , ( )21 RR le da la aceleracinga

2

3= , luego:

( )YA

dyRLd 2= =

YA

dyL

yMg

+1

2

5

= dyL

y

YA

Mg

+1

2

5

Integrando:

+=

L

dy

L

y

YA

MgL

01

2

5=

+

L

LL

YA

Mg

22

5 2

=YA

MgL

4

15

Segundo mtodo.Comenzando con la deformacin la los efectos delas fuerzas en los extremos de la barra.Nota: EnR3 ya est considerado el peso de la masapuntualMcolocada en el extremo inferior de labarra.

arrastrado sobre un plano liso, con una fuerza F=2W.a) Hallar la deformacin longitudinal unitariacuando el plano es horizontal.b) Hallar la deformacin de la dimensin paralela alplano, cuando el bloque sube sobre el plano que estainclinado 37.

Solucin.a)

22

2

2

1

YL

W

YL

W

L

L==

b)

Resuelto por integracin.Calculo de la aceleracin.

maF=

ag

WWW = 37sen2 a

g

WWW = 6,02

ga 4,1=

Estiramiento debido a la aceleracin:


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Estiramiento debido a la aceleracin:

Calculo de la aceleracin.

maF=

ag

WWW = 37sen2 a

g

WWW = 6,02

ga 4,1= ( )

YL

W

YL

LWWLa

7,06,02

2

12

=

=

Estiramiento debido al peso:

YL

W

YL

WLL

p

3,06,0

2

1

2

==

Estiramiento total:

YL

W

YL

W

YLL =+=

3,07,0

Parte 1: Clculo de la fuerza total sobre una seccintransversal a la distancia rdel pivote.

Debido a la aceleracin centrpeta se tiene unafuerza:

( ) ( ) rdmadmdF c2==

Ejemplo 20 Una barra de hierro de 100 mm2 del


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Ejemplo 20. Una barra de hierro de 100 mm deseccin y 50 cm de longitud gira alrededor de unode sus extremos con una velocidad angular uniformede radianes por segundo. Se pide cul debe seresta velocidad para que la barra se rompa por latraccin que origina la fuerza centrfuga, sabiendoque el material de que est hecha se rompe portraccin cuando se le carga con 30 kg por mm2.Solucin.Se romper cuandoFc= (30x9,8) x100 = 29400 N.Llamando dm a un elemento de masa situado a ladistanciax del eje de giro, ser:

xdVxdmdFc22

== = Axdx2

Integrando:

225,0

0

2

2

1AxAxdxFc ==

= ( ) ( )( )262 5,01010078002

1

Luego:

( ) ( )( ) 294005,01010078002

1 262 =

Por tanto:

301538101950294002 42 ==

, o sea

rad/s549301538 == .

=l

0

2dmrF

Donde l es la longitud de]a barra, es lavelocidad angular de larotacin; r, la distancia quehay desde el elemento de masa dm hasta el eje de

rotacin. Para una barra homognea Adrdm =

,siendo la densidad de la sustancia que forma la

barra yA, su seccin. Integrando, obtenemos

2

22lA

F=

De donde el nmero lmite de revoluciones porsegundo ser

2

22l

==A

FSr 2

2

l r

S= ,

reemplazando valores;

( )( )( ) srad23918600 10.45,22 28

==

o rev/s382

239=

Deformaciones no uniformes por rea variable.

Ejemplo 23. Calcular cunto se comprime el bloquemostrado en la figura, cuando se le aplica una fuerzaP. Mdulo de elasticidad Y.

Pdy


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Usando las figuras anteriores

)2( xaaA += y yh

ax

2= reemplazando

obtenemos;

)()(

yh

aaYa

Pdyhd

+

= o)(

)(2 yhYaPhdyhd

+=

Luego, como

+

==hh

yhYa

Phdyhdh

0

2

0 )(

)(

Integrando

2ln)ln(202 Ya

Phyh

Ya

Phh

h =+=

El bloque se comprime2

692,0Ya

Phh =

Ejemplo 24. Una pirmide truncada de basescuadradas de lados a y 2a respectivamente dealtura h y modulo elstico Y se somete en la

YA

Pdyhd = )(

Usando las figuras anteriores

2

)2( xaA += y yh

a

x 2= reemplazandoobtenemos;

22

2

)()(

yhYa

dyPhhd

+=

Luego, como

+==

hh

yhYadyPhhdh

022

2

0 )()(

Integrando

22Ya

Phh =

El bloque se comprime 221 YaPhh =

Ejemplo 25. Determine la deformacin debido a la

( )Fdy dyF Este elemento sufre una acortamiento d(h) debido


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( )( )2xRY

FdyHd

+=

=

2

+ x

H

RR

dy

Y

F

= ( ) dyxHY

FH 22

2+

( )+==

H

dyxHYR

FHHH

0

2

2

2

=( )

H

xH

YR

FH

0

1

2

2

1

+

YR

FH

HYR

FHH

22

2

22

1

=

=

Deformaciones no uniformes por peso propio yrea variable.

Ejemplo 26. Determine la deformacin que sufre laaltura de la Gran pirmide de Keops en Egiptodebido a su propio peso, sabiendo que posee unaaltura de 147 m, su base es cuadrada de lado 230 my que fue construida con bloques de piedra caliza ygranito con mdulo de Young = 35 x 109 N/m2 ydensidad = 2400 kg / m3.Solucin.

Este elemento sufre una acortamiento d(h), debidoal peso de la porcin de pirmide que soporta (dealturay, radio base de lado 2x).

El peso que soporta es: )43

1

(Peso

2

yxg= elrea de su base es: 24xAx =

ydyY

g

xY

ydyxghd

343

4)( 2

2 ==

Integrando desdey = 0 hastay = h

Y

ghy

Y

gydy

Y

gh

hh

321

233

2

0

2

0

===

Como el Peso total es3

gAh, obtenemos:

)baseArea(

)totalPeso(

2

1

Y

h

h =

Ejemplo 27. Encontrar cuanto se comprime el cono

Clculo del peso de la de la parte tronco de pirmide


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El peso que soporta es: )3

1( 2yrgpeso = el

rea de su base es: 2rA =

ydy

Y

g

rY

ydyrghd

33

)(2

2

==

Integrando desdey = 0 hastay = h

Y

ghy

Y

gydy

Y

gh

hh

32

1

233

2

0

2

0

===

Como el Peso total esgAh/3, obtenemos:

)baseArea( )totalPeso(21 Yhh =

Ejemplo 28. En la figura se muestra un tronco rectode pirmide regular de base cuadrada. Determinarcunto se comprime el slido homogneo debido asu peso propio.

Datos: Densidad =, gravedad =g, mdulo deYoung = YLado de la base menor = 2a; lado de la base mayor =4a

Clculo del peso de la de la parte tronco de pirmideque est sobre el elemento diferencial.Para esto tomamos un elemento diferencial de alturady y lo integramos desdex = 0 hastax =x.

El peso del elemento diferencial es:

( ) ''4 2 dyxaggdVdP +== Del dibujo siguiente:

Obtenemos:'' x

x

yy = y '' dx

x

ydy = :

( ) ''4 2 dxxax

ygdP +=

Integrando desdex = 0 hastax =x:

( ) +=='

0

2 ''4x

dxxaxygdPP

( )x

xay3'+

H H


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xa

Hy = , dx

a

Hdy = :

( )( )

( )dx

xa

axa

a

H

Y

gHd

2

33

2

2

3 +

+=

= ( )[ ]dxxaaxaaH

Yg 23

2

2

3++

Integrando desdex = 0 hastax = a:

( ) = HdH

=

( )[ ]

++a

dxxaaxaa

H

Y

g

0

23

2

2

3

=( )

a

xa

axax

a

H

Y

g

0

32

2

2

23

+++

=

++ 2

222

2

2

223

aaa

a

a

H

Y

g

=Y

gH2

3

1

Ejemplo 29. Determine la deformacin que sufre laaltura debido al peso propio

El slido mostrado tiene pesoF, modulo elstico Y,alturaHy bases circulares de radiosR y 2R

El peso del elemento diferencial es:

( ) '' 2 dyxRggdVdP +== Del dibujo siguiente:

Obtenemos:

'' xx

yy = y '' dx

x

ydy = :

( ) '' 2 dxxRx

ygdP +=

Integrando desdex = 0 hastax =x:

( ) +=='

0

2 ''x

dxxRxygdPP

( )x

xRy3'+

Hd

Hd

El elemento diferencial soporta el pesoPde la parte


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xH

y = , dxH

dy = :

( )( )[ ]

( )dx

xR

RxR

R

H

Y

gHd

2

33

2

2

3 +

+=

= ( )[ ]dxxRRxRHYg23

2

2

3++

Integrando desdex = 0 hastax =R:

( ) = HdH

= ( )[ ]++

R

dxxRRxR

R

H

Y

g

0

232

2

3

=( )

R

xa

RxRx

R

H

Y

g

0

32

2

2

23

+++

=

++ 2

222

2

2

223R

RRR

R

H

Y

g

=Y

gH2

3

1

El peso del tronco de cono es:

( ) ( ) ( ) ( ) gHRgHRF 223

122

3

1=

= ( ) gHRgHR 223718

31 =

Luego

p p p

de hemisferio que est sobre l.

De tal manera que se deforma:

( ) ( )

YA

dyPRd

y=

Clculo de )(yP

Peso del elemento diferencial

( ) ''22)( dyyRgdPy =

El peso )(yP de la porcin de hemisferio es:

=R

y dyyRgP ')'(22

)( =

RgR

22 Cobre 0,35


18/33

=( )

dyyyR

R

Y

g

+0

2

3

= ( )R

yyRR

Y

g

0

22

2ln2

3

+

=

2

12ln2

3

2

Y

gR=

Y

gR230,0

La altura del hemisferio disminuye

YgRR

2

30,0 = Debido al peso propio

DEFORMACION LATERAL MODULO DEPOISSONAdicionalmente, cuando estiramos un bloque en unadireccin ste se contrae en las dimensionesperpendiculares al estiramiento, la contraccin de lascaras laterales es en la misma proporcin para elancho (a) y el alto (h). Por ejemplo, la contraccin

a en el ancho es proporcional al ancho a y tambin

al

l, lo que resumimos en la siguiente expresin:

l

l== - h

h

a

a

Donde es otra constante del material conocida

Oro 0,41Hierro, fundido 0,28Plomo 0,33Nickel 0,30Platino 0,38

Plata 0,37Latn 0,33

Ejemplo 31. El paraleleppedo de la figura esthecho de un material con mdulo de Young Y, yconstante poisson . Cul es el valor de V/V?

Solucin.

Debido a la compresin ocasionada por la fuerza F:

YA

F

L

L=

y como

L

L

b

b

a

a =

=

Obtenemos:YA

F

b

b

a

a=

=

Como b

b

a

a

L

L

V

V

+

+

=

Reemplazando

FFFV ++

410101,0 ax ) P l l

Shl di


19/33

4101100

,==

a

x ,

5106100

006,0 ==

a

ay

Haciendo un anlisis de los cambios de longitudes:

El esfuerzo enx es mayor y la longitud enxaumenta mientras que eny disminuye, siendo elesfuerzo eny menor, se puede concluir que elesfuerzo enx es de traccin y el esfuerzo eny es decompresin.

b) El paraleleppedo esta sujeto a esfuerzo por cuatro

caras, como se muestra en la figura siguiente:

Sea Sel esfuerzo sobre cada una de las caraslaterales.

La deformacin del lado horizontal xa es:

4

101

200400 =+=

YYa

ax

(1)

La deformacin del lado horizontal ya es:

4400200a

a) Para la alturaYh

= , para el dimetro

Y

S

h

h

D

D =

=

El cambio de volumen es D

D

h

h

V

V

+

=

2 =

Y

S

Y

S2 = ( )21

Y

S, por lo tanto

( )VY

SV 21= = ( )

421

2hD

Y

S

b) V es igual a cero cuando ( ) 021 = 5,0=

c) Para la mayora de metales con un valor de aproximado a 0,3:

( )[ ]3,021=

Y

S

V

V=

Y

S4,0

Para el corcho, con un valor de aproximado a0,0:

( )[ ]0,021=

Y

S

V

V=

Y

S

Para el caucho, con un valor de aproximado a0,5:

( )[ ]5,021=Y

S

V

V= 0,0

( ) 0'31

SS 0'3 SS SSH '

2+


20/33

( ) 0'3 = SSY

0'3 = SS

SS 3'=

Ejemplo 35. Se tiene el paraleleppedo mostrado enla figura que encaja perfectamente en una caja

rgida. Luego de encajo el paraleleppedo se colocaun pesoPsobre ste, tal que lo aplastauniformemente, la caja impide las expansioneslaterales.a) Cul es el esfuerzo sobre las paredes laterales?b) Cul es el cambio en la altura 'HH = del paraleleppedo?

Solucin.El paraleleppedo esta sujeto a esfuerzo por sus seiscaras, como se muestra en la figura siguiente:

YYH2+=

( ) YS

Y

S

H

H

+=

1

2 2

( )

=

121

2

YS

HH

( )H

Ya

PH

=

1

21

2

2

Ejemplo 36. Hallar el valor del mdulo de Poissonpara el cual el volumen de un alambre no vara alalargarse.Solucin.

l

l=

r

r, de aqu el mdulo de Poisson

l

l

= r

r

, siendo rel radio del alambre y l su

longitud. El volumen de dicho alambre antes de

estirarlo es l2

1 rV = y su volumen despus de

estirado es ( ) ( )ll += 22 rrV Si el volumen no vari con el alargamiento,

tendremos que ( ) ( )lll += 22 rrr . Y


21/33

cuando sobre l acta una fuerza que cambia sul ( t d l it d) Ah

b) Cul es la deformacin de corte?) C l l d l d t ?


22/33

volumen (aumentando su longitud). Ahora,examinaremos la deformacin por cizalladura en elque no hay cambio de volumen pero si de forma.Definimos el esfuerzo comoF/A la razn entre lafuerza tangencial al reaA de la cara sobre la que seaplica. La deformacin por cizalla, se define como larazn x/h, donde x es la distancia horizontal quese desplaza la cara sobre la que se aplica la fuerza yh la altura del cuerpo, tal como vemos en la figura.

uando la fuerzaFque acta sobre el cuerpo esaralela a una de las caras mientras que la otra cara

ermanece fija, se presenta otro tipo de deformacinenominada de cizalladura en el que no hay cambio deolumen pero si de forma. Si originalmente el cuerpoiene forma rectangular, bajo un esfuerzo cortante la

seccin transversal se convierte en un paralelogramo.

l mdulo de cizalladura o de rigidez G es una

ropiedad mecnica de cada material

Siendo pequeos los ngulos de desplazamientoodemos escribir

c) Cul es el mdulo de corte?Solucin.

a)( ) 22 m

N11,11

30,0

1===

A

FSt

b) 033,0301 === hx

c) 33,333033,0

11,11===

tSG

Ejemplo 40. Un cubo de acero de 5 cm de

arista se halla sometido a 4 fuerzas cortantes,de 1200 kg, cada una, aplicadas en sentidosopuestos sobre caras opuestas. Calcule ladeformacin por cizalladura.

Solucin.G Acero al carbono = 8 x10

9 N/m2

tS

h

AF

ndeformaci

esfuerzo

G ===

( )( )8,91200==

FS = 4 704 x106 N/m2 = 2,65 x 105 N


23/33

El cubo se deforma en el plano del papel ytoma la forma de un rombo con ngulos

2

2y

+

2

2

Ejemplo 41. Una estatua se encuentra soldada a un

pedestal de latn, que se muestra en la figura. Alproducirse un movimiento ssmico se observa undesplazamiento lateral de la cara superior delpedestal de 0,25mm.

Calcular:

a) El esfuerzo de corte.

b) La magnitud de la fuerza producida por elmovimiento ssmico.El pedestal de latn tiene una altura de 1m y unaseccin cuadrada de 0,5m de lado.El mdulo de Young del latn es 3,5x1010 PaMdulo de rigidez G del latn es 1,7 x1010 N/m2

Ejemplo 42. El acero promedio requiere,tpicamente, un esfuerzo de 3,45 x 108 N/m2para laruptura por cizalladura. Determine la fuerzarequerida para perforar un agujero del dimetro 2,5cm en una placa de acero de de pulgada (6,25

mm) de espesor.

Solucin.La circunferencia de un crculo del dimetroD = 2,5

cm es m1085,7 2== xDC , El rea del bordedel disco cortado AAAA es el producto de lacircunferencia Cpor el espesor del material, esto es

( )( )23 1085,71025,6 = 25 m1006,49 .Una fuerza de la magnitudFse ejerce en el sacador,el esfuerzo de corte (fuerza por unidad de rea) a

travs del borde esF

S=

ASF .= = ( )( )58 1006,491045,3 = 1,69 x 105 N. La hoja de acero se corta por

cizalladura cuando el esfuerzo llega a ser igual 3,45x 108 N/m2, es decir, cuandoF = 1,69 x 105 N.Esta es la fuerza de 1,69 x 105N, equivalente a 17,3t l d id f l j d

r==


24/33

ll

El esfuerzo cortante es

l

GrGSt ==

Como el esfuerzo cortante es la fuerza tangencialpor unidad de rea, multiplicndolo por el rea de laseccin transversal de la Capa, 2rdr, nos dar lafuerza tangencial dFsobre la base de la Capa

dASdF t= = ( )rdrGr

2

l= drrG

22l

El torque sobre la base de la Capa cilndrica esrdFd = =

drrGr

22l

= drrG

32l

Integrando de 0 a R, el torque total sobre la base delcilindro es

l

4

2

RG=

De aqu

4

2

RG

l=

O sea, para determinar C bastar con medir el

ngulo que se produce al aplicar el torque M.

Ejemplo 44. Una varilla de cobre de 40 cm delongitud y de 1 cm de dimetro est fija en su base y

l

4

2

RG=

l

4

32

DG= ,

Como FD=

l

4

32

DGFD = , de aqu

=

3

32

DG

F l

Para la varilla de 100 cm y de 80 cmrespectivamente son:

=

31

1

1

32

DG

F l

Y

=

32

2

2

32

DG

F l

De estas ltimas obtenemos:

1

3

2

1

1

22

=

D

D

l

l 1

2

1

100

803

=

= 0,1

DEFORMACION VOLUMETRICA. MODULODE ELASTICIDAD VOLUMETRICO.Mdulo de elasticidad volumtrico.

Hierro 16Plomo 17 Ejemplo 48 Si con aluminio se fabrica un cubo de


25/33

Plomo 17Nckel 4,1Vidrio ptico 5,0Latn 6,0Acero 16

Agua 0,21Mercurio 2,8

Ejemplo 46. Qu incremento de presin se requierepara disminuir el volumen de un metro cbico deagua en un 0,005 por ciento?Solucin.Por elasticidad volumtrica tenemos:

V

VBp

=

El mdulo de compresibilidad del agua es

2,1 x 10 9N/m 2

= V

Vp 00005,0101,2 9

= 1,05 x105 N/m 2

Ejemplo 47. Calcule densidad del agua del ocano auna profundidad en que la presin es de 3430 N/cm2.

La densidad en la superficie es 1024 kg/m

3

.El mdulo de compresibilidad del agua es 2,1 x

10 9N/m 2 Solucin.

Ejemplo 48. Si con aluminio se fabrica un cubo de10 cmde lado, se quiere saber las deformacionesque experimentar en una compresin uniforme,perpendicular a cada una de sus caras, de unatonelada, y cundo esta misma fuerza actatangencialmente a la superficie de una de sus caras,

estando el cubo s1idamente sujeto por la caraopuesta.Solucin.La presin que soporta, cada cara, en el primer caso,ser:

Pa108,9

1,0

)8,9)(100(2

===

A

Fp

Como el mdulo volumtrico del aluminio esB = 3,5x 1010 N/m2:

510

5

108,2105,3

108,9 =

==

B

p

V

V

De donde:

V= - 2,8x 10-5

V= - 2,8x 10-5

x 10-3

= - 2,8x 10-8

m3.En cuanto a la deformacin, se obtiene a partir de laexpresin de la deformacin de cizalla, que es:

A

F

G

1tan = =

2

3

111 10

)8,9)(10(

10103

1 x

= 3,27x10-5

rad

RELACION ENTRE CONSTANTES

Dimensin a: - Propia:pb


26/33

Y

p

a

a=

Dimensin b:

Y

p

b

b=

Pero, como la deformacin de una dimensin lleva ala deformacin de las otras dimensiones, tenemos.Deformacin de l:- Propia:

Y

p=

l

l1

- Debido a la deformacin de a:

Y

p

Y

p

a

a =

=

=

l

l 2

Debido a la deformacin de b:

Y

p

b

b=

1

- Debido a la deformacin de a:

Y

p

Y

p

a

a

b

b =

=

=

2

- Debido a la deformacin del:

Y

p

Y

p

b

b =

=

=

l

l3

Deformacin total

b

b

b

b

b

b

b

b 321

+

+

=

= ( )21Y

p

El cambio de volumen es:

b

b

a

a

V

V +

+

=

l

l

= ( )213

Y

p

Sabemos nosotros que el mdulo de compresibilidades

VV

pB

=

Luego:

YB

( )=

YB ( )

Y

321 =


27/33

( )213 ( )

B3

23

1B

Y

=

( )

2107,1373

101201 9

9

= = 0,35

Relacin entre G, Yy Muestra sometida a esfuerzo cortante.Determinacin de la relacin entre el mdulo derigidez, el mdulo de Young y el mdulo dePoisson.Pretendemos analizar la relacin entre los esfuerzoscortantes y los esfuerzos de compresin y detraccin. Para ello consideremos primero el caso delbloque de la Figura que est sometido, por una parte,a un esfuerzo de compresin y en la otra direccin aun esfuerzo de traccin. Sea 1 su longitud en ladireccin horizontal y h su altura.

El esfuerzo de compresin sobre el planoB resultaser

A

G

A

GSB ==

2

2

A e igualmente el esfuerzo de traccin sobre C

A

G

A

GSC ==

2

2

Las deformaciones de las diagonalesB y Cseescriben entonces

YA

H

D

DB

)1( +=

yYA

H

D

DC )1( +=

(1)

Si expresamos el esfuerzo tangencial en trminos delngulo , ya que suponemos que la deformacin espequea resulta

D

D

h

D

h

CC =

= 22

tan


28/33

( )221

xh

GAW = = xF

21

Usando los diagramas del cuerpo libre mostrados enlas figuras tenemos:


29/33

( )2 h 2

La densidad de energa es

xSxA

F

A

Wt=

=

2

1

2

1

Ejemplo 53. La elasticidad de una banda de gomade longitudLo es tal que una fuerzaFaplicada acada extremo produce una deformacin longitudinalde una unidad. Se sujetan dos pesos del mismovalorP, uno en un extremo y el otro en la mitad dela banda y a continuacin se levanta la banda con

los pesos por su extremo libre. Cul es la mnimacantidad de trabajo que har elevar ambos pesos delsuelo?

Solucin.Como cuando se aplicada a cada extremo una fuerzaFse produce una deformacin longitudinal de unaunidad:

YA

FLL 01 == , luego 0FLYA =

gPara la parte de la liga L1: tenemos:

F

P

FL

PL

YA

PLL

2

2/2/

0

001 ===

Para la parte de la ligaL2, tenemos:

F

P

FL

PL

YA

PLL ===

0

002

2/22/2

La mnima cantidad de trabajo que har elevarambos pesos del suelo es:Trabajo = Energa para estirarL1 + Energa para

estirarL2 + Energa para elevar un pesoPla alturaL1, el peso inferior no se levanta, solamente sedespega del piso.Energa para estirar una banda elstica es

2

2

1kxU=

En este caso FL

FL

L

YAk

o

22/2/

0

0

=== , y1

Lx = ,

o 2L , segn corresponda

( ) ( ) 12

22

1 22

12

2

1Trabajo PLLFLF ++=

Como conocemos 1L , 2L y

F

PLL

LL 222

0101 +=+= Tenemos

PL

PP

FP

F 21

21

T b j 022

b) Con la misma presin, cunto peso podransoportar 2 sandalias planas cada una con un rea de

12. Una varilla metlica de 4 m de largo y seccin0,5 cm2 se estira 0,20 cm al someterse a una tensin


30/33

200 cm2?

5. Cul debe ser el dimetro mnimo de un cablede acero que se quiere emplear en una gra diseadapara levantar un peso mximo de 10000 kg.?El

esfuerzo de ruptura por traccin del acero es de30107 Pa. Igual pero si se quiere un coeficiente deseguridad de 0,6.

6. Dos alambres del mismo material, y misma

longitud l , cuyos dimetros guardan la relacin

n.Qu diferencia de alargamientos tendrn bajo lamisma carga?

7. Un ascensor es suspendido por un cable de acero.Si este cable es reemplazado por dos cables de acerocada uno con la misma longitud que el original perocon la mitad de su dimetro, compare elalargamiento de estos cables con el del cableoriginal.

8. Una cierta fuerza se requiere para romper unalambre. Que fuerza se requiere para romper unalambre del mismo material el cual esa) del doble de longitud?

b) el doble en dimetro y d la misma longitud?

9. Un hilo de 80 cm de largo y 0,3 cm de dimetro seestira 0 3 mm mediante una fuerza de 20 N Si otro

de 5000 N. Qu mdulo de Young tiene el metal?

13. Una cuerda de Nylon se alarga 1,2 m sometidaal peso de 80 kg de un andinista.Si la cuerda tiene 50 m de largo y 7 mm de dimetro,

qu mdulo de Young tiene el Nylon?

14. Para construir un mvil, un artista cuelga unaesfera de aluminio de 5 kg de una alambre verticalde acero de 0,4 m de largo y seccin 310-3 cm2. Enla parte inferior de la esfera sujeta un alambresimilar del cual cuelga un cubo de latn de 10 kg.

Para cada alambre calcular la deformacin portensin y el alargamiento.

15. En el sistema mostrado en la figura, la barra OEes indeformable y, de pesoP; los tensores AC y DEson de peso despreciable, rea A y mdulo deelasticidad Y.

Determinar cunto bajar el peso W respecto a laposicin en la cual los tensores no estabandeformados.

estas barras son iguales de rea A, longitud l ymdulo de elasticidad Y. 22. Un alambre de cobre de 31 cm de largo y 0,5 mm


31/33

19. En el sistema mostrado en la figura, calcularcunto desciende el extremo B de la barraindeformable y de peso despreciable, cuando se lecoloca un peso de 10 Ton. en ese extremo.

Los tirantes son de acero y de 2cm2

de rea cadauno, suponga deformaciones pequeas de tal maneraque se puedan hacer las aproximaciones geomtricasapropiadas.

Respuesta. y

= 17,1 x 10

-3

m

20. En el sistema mostrado en la figura, calcularcuanto desciende el extremo B de la barra horizontal

de dimetro est unido a un alambre de latn estiradode 108 cm de largo y 1 mm de dimetro. Si unadeterminada fuerza deformadora produce unalargamiento de 0,5 mm al conjunto total y un valorde Y = 12 x 1010 Pa, cul es el alargamiento de cada

parte?Respuesta.l = 0,27 mm para el latn.l = 0,23 mm para el cobre

23. Un alambre de acero dulce de 4 m de largo y 1mm de dimetro se pasa sobre una polea ligera,uniendo a sus extremos unos pesos de 30 y 40 kg.Los pesos se encuentran sujetos, de modo que elconjunto se encuentra en equilibrio esttico.Cuando se dejan en libertad, en cunto cambiarla longitud del alambre?Respuesta.l = 1,0 mm

24. Un hilo est formado por un ncleo de acerodulce de 1,3 cm de dimetro, al cual se le hafusionado una capa exterior de cobre (Y= 12 x1010 Pa) de 0,26 cm de gruesa. En cada extremo delhilo compuesto se aplica una fuerza de traccin de9000 N. Si la deformacin resultante es la mismaen el acero y en el cobre, cul es la fuerza quesoporta el ncleo de acero?Respuesta.F 5812 N

c) y = 85,3 m.


32/33

27. Un cable pesado de longitud inicial y rea deseccin rectaA tiene una densidad uniformey unmdulo de Young Y. El cable cuelga verticalmentey sostiene a una cargaFgen su extremo inferior. Lafuerza tensora en un punto cualquiera del cable es

evidentemente suma de la cargaFgy del peso de laparte del cable que est debajo de dicho punto.Suponiendo que la fuerza tensora mediadel cable

acta sobre la longitud total del cable 0l , hallar el

alargamiento resultante.Respuesta.

+

= 0

0

21 lll g

AF

Y

g

28. Demostrar que cuando se somete un cuerpoelstico a una tensin de corte pura que no supera ellmite elstico de corte para el material, la densidad

de energa elstica del cuerpo es igual a la mitad delproducto de la tensin de corte por la deformacinde corte.

29. El esfuerzo de la ruptura del cobre rolado para lacizalladura es tpicamente 1,5 x 108.Qu fuerzasFse deben aplicar a las cuchillas de

metal mostradas en la figura para cortar una tira deuna hoja de cobre de 5 cm de ancho y 1,27 mm deespesor?

Respuesta. = 0,00422

32. a) Desarrollar una expresin para la constantede torsin de un cilindro hueco en funcin de sudimetro internoRo,su radio externoR1,sulongitud l y su mdulo de corte G.

b) Cul deber ser el radio de un cilindro macizode la misma longitud y material y que posee lamisma constante de torsin?c) Cul deber ser el ahorro de masa si se utilizaseel cilindro hueco en un eje de una mquina en lugarde utilizar el cilindro macizo?Respuesta.

a) ( )40410 2RRG

=

l , b) ( )4

1

40

41 RRR =

c) Ahorro =( )( )

%110020

21

20

21

+

RR

RR

33. A profundidades ocenicas de unos 10 km lapresin se eleva a 1 kilobar, aproximadamente.a) Si se hunde un trozo de acero dulce hasta estaprofundidad en cunto variar su densidad?

36. En cada extremo de una barra horizontal de 1,5 mde larga, 1,6 cm de ancha y 1 cm de larga se aplica

fuerzas de compresin (valores negativos de F),siempre disminuyen de volumen Apoya esta


33/33

una fuerza de traccin de 2 800 N. El mdulo deYoung y el coeficiente de Poisson del material de la

barra son Y= 2 x 106 Pa y = 0,3.a) Hallar la deformacin transversal barra.

b)Cules son las variaciones relativas de la anchura

y altura?c) Cul es el aumento de volumen?d) Cul es la energa potencial adquirida por la

barra?Respuesta.

a) 4

0

10625,2 ==

d

d,

b) cmd 4102,4 =

c) cmh 410625,2 = 37.a) Demostrar que el coeficiente de Poisson vienedado por

)3(22.3SBSB

+=

b) Demostrar que a partir de esta ecuacin se sigueque el coeficiente de Poisson debe estar comprendido

entre -1 y2

1.

c) La experiencia demuestra que las barras sometidasa fuerzas de traccin (valores positivos siempreaumentan de volumen, mientras que si se someten a

afirmacin el hecho de que no existe ningn material

para el cual2

1 ?

38. Un manual de materiales relaciona estos datospara el aluminio en hoja laminadaMdulo de Young, 7 x 1010 PaLmite elstico a la traccin, 7,2 x 107 PaCoeficiente de Poisson, 0,33Tensin de traccin final, 14 x 107 PaTensin de traccin permisible, 0,4 de la tensin de

traccin finalLa tensin de traccin permisible es la mximatensin que se considera segura cuando este materialse utiliza en estructuras sometidas a de traccinconocidas y constantes. Una tira de este aluminio de76 cm de larga, 2,5 cm de ancha y 0,8 mm de gruesase estira gradualmente hasta que la tensin detraccin alcanza su lmite permisible. Calculara) su variacin de longitud,

b) su variacin de volumen,c) el trabajo realizado yd) la ganancia en la densidad de energa elstica.Respuesta.

a) l = 0,688 mm, b) V = 0,0041 cm3,c) W= 0,341 J, d)

U = 22400 J/m3

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