CAPITULO 2

DISTRIBUCIN DE ESFUERZOS.

2.1 Esfuerzos en la masa de suelo

Los esfuerzos dentro de un suelo se producen por el peso propio del mismo o por cargas que se encuentren sobre ste. Con la finalidad de establecer un orden en este capitulo, empezaremos por analizar los esfuerzos verticales que se generan en la masa de suelo por el peso propio de los materiales.

En un suelo seco (sin N. A. F.), el esfuerzo vertical a una profundidad z puede calcularse considerando el peso del suelo que se encuentra encima de la partcula que se est analizando. As, considerando un suelo homogneo con un peso especfico constante, tendr un esfuerzo vertical:

z=z(2.1)

Si el suelo es estratificado y el peso especfico de cada estrato es diferente, los esfuerzos verticales, sern la suma del peso de los diferentes estratos:

12n z i zi i1

(2.2)

Ejemplo

Determinar el esfuerzo vertical en una partcula de suelo ubicada a 8 metros de profundidad en suelos estratificados, los cuales tienen los siguientes pesos especficos y espesores:

Suelo 11=1.6 t/m3z1=2 m

Suelo 22=1.8 t/m3z2=3 m

Suelo 33=2.0 t/m3z3=3 m

Las cotas estn en metros.

ProfundidadzEsfuerzo vertical

Z=2 m(1.6*2.00)=3.20z=3.20 t/m2

Z=5 m(1.8*3.00)=5.40z=8.60 t/m2

Z=8 m(2.0*3.00)=6.00z=14.60 t/m2

En una masa de suelo existen esfuerzos que se generan por contacto de sus partculas y cuando el nivel de aguas freticas es alto, existen esfuerzos dentro del agua que se encuentra en sus intersticios. Por lo que es importante analizar estos esfuerzos.

Si se tiene un suelo con el nivel de aguas freticas en la superficie y a una profundidad z una partcula de suelo (para fines didcticos imaginemos un cubo de

dimensiones diferenciales), la cara superior paralela a la superficie del suelo estar sometida a un peso W producto de la columna que se encuentra encima de sta,

Fig. 2.2 Partcula de suelo a una profundidad z

W=Ws+Ww(2.3)

El suelo debajo del nivel fretico se encuentra sometido a un empuje U (Principio de Arqumedes), de tal forma que el peso que aplica sobre la partcula solo el suelo, es el Peso Efectivo:

Ws=Ws-U(2.4)

Dividiendo los pesos entre el rea de la superficie de la partcula (A), obtenemos los esfuerzos verticales

z= z -(2.5)

En donde nos queda que el Esfuerzo Total (z) es igual al Esfuerzo Efectivo (z) ms el Esfuerzo Neutro o Presin Intersticial ().

z=z+(2.6)

Esta ecuacin es valida no solo para esfuerzos verticales sino en cualquier direccin, como lo enunci el Dr. Kart Terzaghi en El Principio del Esfuerzo Efectivo, que propone que en cualquier punto de una masa de suelo saturado, el esfuerzo total en cualquier direccin es igual a la suma algebraica del esfuerzo efectivo en esa direccin y la presin intersticial que es la misma en cualquier direccin.

Ejemplo

Determinar los esfuerzos verticales en suelos estratificados, a las siguientes profundidades 0, 4 y 10 metros, los cuales tienen los siguientes pesos especficos y espesores:

Suelo 1: ARENA SECA1=1.7 t/m3z1=4 m

Suelo 2: ARCILLA2=1.9 t/m3z2=6 m

El Nivel del Aguas Freticas NAF se encuentra a 4 metros y 2 es el peso especfico saturado de la arcilla.

Las cotas estn en metros-

Esfuerzos verticales:

ProfundidadEsfuerzo efectivozEsfuerzo neutroEsfuerzo totalz

Z=0 m.000 t/m2

Z=4 m.(1.7*4.00)=6.80 t/m206.80 t/m2

Z=10 m6.80+(1.9-1.0)(6.00)=12.20 t/m2(1.0*6.00)=6.00 t/m218.20 t/m2

2.2. Ecuaciones de Boussinesq y Steinbrenner

Boussinesq en 1883 propuso una solucin al problema de determinar los esfuerzos en una partcula de suelo producto de cargas en la superficie, proponiendo un modelo que considera un medio homogneo, elstico, istropo y semi-infinito.

El incremento de esfuerzo vertical producto de una carga puntual esta dado por la ecuacin:

3 z

3P z

2r 2 z 2 5232 R5

3Pz

(2.7)

Fig. 2.3 Incremento de esfuerzo vertical en una partcula de suelo, producto de una carga puntual

Ejemplo

Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual P=25 t. con x=1.0m y y=1.4m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

1.02 1.42r

z

325

21.722 z 2 52

1.72m z3

Diagrama de esfuerzos (Bulbo de presiones)

ProfundidadIncremento de esfuerzo vertical

z=0m2z=0.00 t/m

z=1m2z=0.38 t/m

z=2m2z=0.75 t/m

z=3m2z=0.65 t/m

z=4m2z=0.49 t/m

z=5m2z=0.36 t/m

z=6m2z=0.27 t/m

z=7m2z=0.21 t/m

z=8m2z=0.17 t/m

z=9m2z=0.13 t/m

z=10m2z=0.11 t/m

Boussinesq. Incremento de esfuerzo vertical producto de una carga lineal de longitud finita esta dado por la ecuacin:

p

2 (x2 z 2 )x2 y 2 z 2 z

yz3

11

2 x y 2

z 2

2

x2 z 2

(2.8)

Fig. 2.4 Incremento de esfuerzo vertical en una partcula de suelo, producto de una carga lineal

Ejemplo

Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga lineal de p=20 t/m. con x=1.0m y y=4.0m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

20

2 (12 z 2 )12 42 z 2 z

4z 3

11 22

2

222

1 4 z1 z

ProfundidadIncremento de esfuerzo vertical

z=0m2z=0.00 t/m

z=1m2z= 1.58 t/m

z=2m2z=1.99 t/m

z=3m2z=1.61 t/m

z=4m2z=1.23 t/m

z=5m2z=0.95 t/m

z=6m2z=0.75 t/m

z=7m2z=0.59 t/m

z=8m2z=0.48 t/m

z=9m2z=0.40 t/m

z=10m2z=0.33 t/m

Boussinesq. Incremento de esfuerzo vertical producto de una carga bajo la esquina de un rea flexible rectangular cargada, esta dado por la ecuacin:

w 2xyz

x2 y 2 z 2

x2 y 2

z 2

2xyz

x2 y 2 z 2

2 tan1

(2.9)

z4 z 2 x2 y 2 z 2 x2 y 2

x2 y 2 z 2

z 2 x2 y 2 z 2 x2 y 2

Fig. 2.5 Incremento de esfuerzo vertical en una partcula de suelo, producto de una carga rectangular uniformemente distribuida

Steinbrenner. En este mismo caso existe el mtodo de Steinbrenner, que presenta un mejor modelo del incremento de esfuerzos en el suelo a cualquier profundidad, con la siguiente ecuacin (homologando la nomenclatura con el mtodo anterior):

Q

yxx2 y 2 2xzR z

yzxR2 z 2

z

tan1

(2.10)

2

z x2 y 2 R z zR z2

y 2 z 2 x2 z 2 R

Donde:

x2 y 2 z 2R (2.11)

Ejemplo

Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga rectangular de w=20 t/m2, con x=2.0m y y=4.0m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

22 42 z 2R

20

4 222 42 2(2)zR z

4z2R2 z 2

z

tan1

2

z 22 42 R z zR z2

42 z 2

22 z 2 R

ProfundidadIncremento de esfuerzo vertical

z=0.01m2z= 5.00 t/m

z=1m2z= 4.78 t/m

z=2m2z= 4.00 t/m

z=3m2z= 3.12 t/m

z=4m2z= 2.40 t/m

z=5m2z= 1.86 t/m

z=6m2z= 1.46 t/m

z=7m2z= 1.17 t/m

z=8m2z= 0.95 t/m

z=9m2z= 0.78 t/m

z=10m2z= 0.65 t/m

2.3 Solucin grfica de Newmark y grficas de Fadum

Newmark, Desarrolla en 1942 un mtodo grfico que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussineq, en medio semiinfinito, homogneo, istropo y elstico, a travs de la ecuacin:

zw

1

3 212 r

(2.12)

1 z

Fig. 2.6 Incremento de esfuerzo vertical en una partcula de suelo, producto de una carga circular uniformemente distribuida

Considerando una profundidad unitaria z, y determinando los radios de los crculos para incrementos de esfuerzos a cada 10%.

z

wr

0.10.269752

0.20.400496

0.30.518106

0.40.636962

0.50.766421

0.60.917614

0.71.1097

0.81.38709

0.91.90829

1

Tabla 2.1 Radios de la carta de Newmark, en funcin del porcentaje de esfuerzo

Con lo que se puede elaborar una carta de acuerdo a Newmark, dibujando circunferencias concntricas y dividindolas en sectores ms pequeos (en este caso a travs de familias de rectas que pasan por el centro de las circunferencias), llamndole al porcentaje que representan cada uno de los sectores: valor de influencia.

Fig. 2.7 Carta de Newmark

Ejemplo

Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga rectangular de w=20 t/m2., con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m.

NivelSectoresValor de influenciaInfluencia por nivel

150.0050.025

250.0050.025

350.0050.025

450.0050.025

550.0050.025

650.0050.025

74.50.0050.0225

82.90.0050.0145

92.20.0050.011

100.20.0050.001

=0.199

El incremento de esfuerzo vertical es:

z (20)(0.199)

z 3.98t / m2

Fadum, Desarrolla en 1941 un mtodo grfico (semi logartmico) que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussineq, en medio semiinfinito, homogneo, istropo y elstico, a travs de las ecuaciones presentadas en forma adimensional introduciendo los parmetros

m xz

n yz

(2.13)

Expresndose la formula para una carga lineal:

z 1

2(m2 1)m2 n2 1z p

n1 m2n2

2

1m21

(2.14)

Abreviando z p

z

po

z poz

(2.15)

p Expresndose la formula para una carga rectangular:

z

1 2m

m n 2

tan1 2m

n m2 n2 1(2.16)

222

22

n m2 n2 12 22

222 2

w4 m n

1 m n

m n

1

m n

1 m n

Abreviando

zw

wo

z

wo w

(2.17)

Ejemplo

Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga rectangular de w=20 t/m2. con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m.

m 2 12

n 4 22

Segn grficas

0.2

0.15wo(m n)0.1

0.05

00.010.1110nGfica tipo Fadum para m=1

Wo=0.20

Como se puede observar el incremento de esfuerzo vertical, es el siguiente:

z (0.20) (20) 4.0

z 4.00t / m2

2.4 Incrementos de esfuerzo vertical bajo diferentes condiciones de carga

2.4.1 Carga lineal de longitud infinita, esta dado por la ecuacin:

2 pz3 z (x2 z 2 )2

(2.18)

Fig. 2.8 Incremento de esfuerzo vertical en una partcula de suelo, producto de una carga lineal de longitud infinita

Ejemplo

Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga lineal de p=20 t/m. con x=1.0m y a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

2(20)z3 z (12 z 2 )2

ProfundidadIncremento de esfuerzo vertical

z=0m2z=0.00 t/m

z=1m2z= 3.18 t/m

z=2m2z=4.07 t/m

z=3m2z=3.43 t/m

z=4m2z=2.82 t/m

z=5m2z=2.35 t/m

z=6m2z=2.00 t/m

z=7m2z=1.75 t/m

z=8m2z=1.54 t/m

z=9m2z=1.38 t/m

z=10m2z=1.24 t/m

2.4.2 Carga de franja de ancho finito (B) y longitud infinita

z

q sen cos 2

(2.19)

Fig. 2.9 Incremento de esfuerzo vertical en una partcula de suelo, producto de una carga de franja de ancho finito y longitud infinita

Donde

x B tan1 2z

x By tan1 2 z

(2.20)

Ejemplo

Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga de franja de carga q=10 t/m2, con un ancho B=2.0 m, a una distancia x=3.0m y a la profundidades de 1 a 10m a cada metro.

3 2

z

10 sen cos 2

3 2

tan1 2z

y tan1 2 z

ProfundidadIncremento de esfuerzo vertical

z=1m2z= 0.17 t/m

z=2m2z=0.70 t/m

z=3m2z=1.14 t/m

z=4m2z=1.34 t/m

z=5m2z=1.39 t/m

z=6m2z=1.36 t/m

z=7m2z=1.30 t/m

z=8m2z=1.22 t/m

z=9m2z=1.14 t/m

z=10m2z=1.07 t/m

2.5 Otras teoras:

2.5.1 Mtodo 2:1

Es un mtodo aproximado para calcular el incremento promedio del esfuerzo vertical a una profundidad z debajo de una cimentacin de dimensiones B por L. Este mtodo propone que los esfuerzos disminuyen en la masa del suelo de acuerdo a que con la profundidad la carga se reparte en una mayor rea, formndose una pirmide truncada de pendiente 2:1, por lo que la formula quedara de la siguiente forma:

Fig. 2.10 Incremento de esfuerzo vertical en el suelo de acuerdo al criterio del mtodo 2:1

w(BL)z(B z)(L z)

(2.21)

Este mtodo proporciona valores preliminares, tomando en cuenta que considera el mismo incremento de esfuerzo a la misma profundidad de cualquier punto, siempre y cuando se encuentre dentro de la pirmide, y fuera de esta no indica incrementos.

Ejemplo

Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga rectangular de w=20 t/m2. con B=2.0m y L=4.0m, a una profundidad de 2m.

z

20(2)(4)(2 2)(4 2)

z 6.67t / m2

2.5.2 Westergaard

Westergaar public en 1938 una frmula que se considera se ajusta mas a las condiciones elsticas de suelos estratificados. Supone que el suelo es una masa homognea, elstica y reforzada por laminas horizontales, proponiendo la siguiente formula para determinar el incremento de esfuerzo vertical producido por una carga concentrada, aplicada en la superficie del suelo

z

P

32 r 2z 2 1

(2.22)

z

Considerando el mismo criterio de aplicacin de la carga y el incremento de esfuerzo que se toma con Boussinesq.

Fig. 2.11 Incremento de esfuerzo vertical en una partcula de suelo, producto de una carga puntual

Ejemplo

Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual P=25 t. con x=1.0m y y=1.4m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

1.02 1.42r 1.72m

25

3z 2 1 22 1 .72 z

z

ProfundidadIncremento de esfuerzo vertical

z=1m2z=1.01 t/m

z=2m2z=0.87 t/m

z=3m2z=0.58 t/m

z=4m2z=0.39 t/m

z=5m2z=0.26 t/m

z=6m2z=0.20 t/m

z=7m2z=0.15 t/m

z=8m2z=0.12 t/m

z=9m2z=0.09 t/m

z=10m2z=0.08 t/m

2.5.3 Burmister

Burmister estudi la distribucin de esfuerzos en un sistema formado por dos capas, homogneas, istropas y elsticas, la primera capa horizontal y de espesor h, la segunda subyacente y semiinfinita. Se considera una frontera plana entre las dos capas, de contacto continuo y rugoso. Los estudios estn enfocados al diseo de pavimentos en los cuales el mdulo de elasticidad de la capa superior (E1) es mayor que el de la capa subyacente (E2), considerndose que si E1=E2, E1/E2=1, el incremento de esfuerzo vertical corresponde al calculado con las formulas de Boussinesq.

Considerando una carga p aplicada en la superficie, circular y uniformemente distribuida. El incremento de esfuerzo vertical en el centro a la profundidad z, la cual es igual al r (el radio) e igual a h (espesor de la primera capa) y =0.5 (relacin de Poisson), segn Burmister, tenemos.

Fig. 2.12 Incremento de esfuerzo vertical en un suelo estratificado de acuerdo al criterio de Burmister

E1/E2z

170%

255%

540%

1030%

2022%

10010%

Tabla 2.2 Porcentaje de incremento de esfuerzo vertical, en funcin de la relacin de mdulos de elasticidad

2.5.4 Frhlich

Frhlich en 1942 investiga la distribucin de esfuerzos en la masa de suelo semi infinita elstica pero no isotrpica, proponiendo para calcular el incremento de una carga concentrada en la superficie la expresin:

Fig. 2.13 Incremento de esfuerzo vertical en una partcula de suelo, producto de una carga puntual de acuerdo al criterio de Frhlich

z

P2z 2

cos 2

(2.23)

En donde es el factor de distribucin de esfuerzos de Frhlich,

1.5234CaractersticasIncremento de esfuerzo vertical aproximadamente igual a la solucin de Westergaard para una masa de suelo semi infinita y estratificada.Incremento de esfuerzo vertical en un estrato semi infinito intermedio entre un suelo isotrpico y un suelo altamente estratificado.Incremento de esfuerzo vertical igual a la solucin de Boussinesq para una masa de suelo semi infinita e isotrpica.Incremento de esfuerzo vertical equivalente a la solucin de Frlich para una masa de suelo semi infinita y un con mdulos de esfuerzo que decrecen con la profundidad.

Tabla 2.3 Valores del factor de distribucin de esfuerzos

B B 2e

(4.31)

Con la formula anterior se considera que en ancho de 2e no contribuye a la capacidad de la carga. Si la cimentacin es cuadrada o rectangular y se tiene doble excentricidad, la anterior frmula se aplica en los dos sentidos.

Por lo anterior para considerar los diferentes efectos aqu descritos la formula de capacidad de carga se puede escribir:

qu

Q BL

1BN d i cNcdcic q Df Nqdqiq2

(4.32)

21