Date post: | 08-Aug-2015 |
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Examen N°1 de Procesos
Problema 1
El sistema de nivel de líquido que se muestra en la figura, inicialmente está operando en estado estacionario cuando ocurre la siguiente perturbación: en el tiempo t=0+, repentinamente se agrega 1 pie3 de agua al tanque; en t=1 se agrega 2 pie3 de agua al tanque. Dibujar la altura del tanque h con variables absolutas y con variables desviadas en t=0.5, t=1 y t= 1.5.
f ( t ) es flujo
Primero analizamos sin la perturbacion.
Usamos balance de masa:
ρ f 1 ( t )−ρ f 0 ( t )=ρ d [A h(t)]dt
hay que recordar que la ecuacion que nos dice como relacionar f y h es:
f 0 ( t )=h( t)R…………………………………………………….(1ecuacion ,2incgnitas)
La densidad contante se simplifica quedando:
f (t )−h( t)R
=Ad [h( t)]dt
F ( t )−H (t)R
=Ad [H (t)]dt
………………………………………(2ecuaciones ,2incognitas)
Donde:
F=f (t )−f H ( t )=h ( t )−h
Para transformar a Laplace:
F ( s )−H ( s )R
=sAH (s )
F ( s )=H ( s )R
+sAH ( s )
Simplificando:
F ( s )=H (s )[ 1R +sA ]De donde tomamos la funcion:
F (t)H ( s )
= 11R
+sA= Kτs+1
= R(AR ) s+1
Donde:
τ=AR=1minK=R=0.5Sabemos que: h=0 , f=0
y si reemplazamos con valores : f (t )=10u (t )
Siendo en Laplace, F ( s )=10s
, al reemplazar tendriamos:
H (s )= 5s (s+1 )
=5s− 5s+1
Siendo la inversa: h (t )=5−5e−t
h=limt→∞h(t)=5
Ahora con la perturbación:
Tenemos que f es constante=10cfm
Balance de masas con la perturbación:
ρ∗f ( t )+ρ f 2(t )−ρ f 0 ( t )=ρ d [Ah (t)]dt
Donde: f 2(t), es la perturbación que se le considera de ingreso.
Eliminamos la densidad que se mantiene constante
f (t )+ f 2(t)−f 0 (t )=d [Ah( t)]dt
Ahora pasándolo a Laplace:
F2 ( t )−H ( s )R
=A∗sH (s)
F2 ( s)−H (s )R
=A∗sH (s )
F2 ( s)=H ( s )[sA+ 1R
]
H (s )F2 ( s )
= RsAR+1
= Rsτ+1
El problema nos dice que en 0+ se agrega un 1ft3 y en 1 se agrega 2 ft3:
f 2 (t )=δ ( t )+2δ (t−1 )
Esto se reemplazara pero antes hay que pasarlo a Laplace:
F2 ( s)=1+2e−s ,
No hay que olvidar el valor de h en estado estacionario: h=5 ft
Ahora reemplazamos:
H (s )=(1+2e−s )∗0.5s+1
H (s )= 0.5s+1
+ e−s
s+1
Ahora hallamos en función del tiempo:
H (t )=0.5e−t+e−(t−1)∗u(t−1)
La variable de desviación es:
H ( t )=h ( t )−h
h (t )=h+0.5e−t+e−(t−1)u (t−1)
Y por ultimo hallamos en los tiempos en t=0.5, t=1 y t= 1.5.:
Sabemos recordando que:h=5 ft
h (0.5 )=5+0.5e−0.5+e−(t−1)∗u (t−1 )=5.303 ft
h (1 )=5+0.5e−1+e−(1−1)=5.303 ft
h (1.5 )=5+0.5e−1.5+e−(1.5−1)=5.712 ft
Para las graficas:
a)Con desviacion
H (t )=5+0.5e−t+e−(t−1)∗u(t−1)
b) Sin desviacion
h (t )=0.5e−t+e−(t−1 )u( t−1)
Siendo el diagrama de bloques:
h ( s)=y (s)x (s )
=5s+ 0.5s+1
+ e−s
s+1
Problema 2
El sistema de nivel de líquido que se muestra en la figura, inicialmente está en estado estacionario con el caudal de entrada en 1cfm (1 pie3/minuto). El área A del tanque es A=1 pie2, y la válvula de salida se puede representar por una resistencia lineal R=1.
En t=0+, repentinamente se agrega 1 pie3 de agua al tanque; en t=1 nuevamente se agrega 1 pie3
de agua al tanque; en t=2 nuevamente se agrega 1 pie3 de agua al tanque; etc. En otras palabras, al tanque se le está aplicando un tren de impulsos en intervalos de 1 minuto. Al final, en la salida
(la altura del tanque) se forma un tren de ondas que se hace periódico. Dibujar la altura del tanque h con variables absolutas y con variables desviadas.
Solución
Balance de masas
La masa que ingresa – la masa que sale = la masa que se encuentra dentro
ρ∗q ( t )−ρ∗q0 ( t )=d [ ρ∗A∗h (t)]dt
…………………(1ecuacion ,3incognitas q (t ) , q0 ( t ) , h( t))
Debido a que al tanque se le está aplicando un tren de impulsos en intervalos de 1minuto.
q (t )=δ ( t )+δ ( t+1 )+δ ( t+2 )+δ (t+3 )+…
(2ecuaciones ,3 incognitas q (t ) , q0 (t ) , h(t))
Hablando del flujo la ecuación de relación respecto a la altura y a R es:
q0 (t )=h ( t )R……………………………………………(2ecuaciones ,3 incognitas q (t ) ,q0 (t ) , h(t))
Reemplazando:
ρ∗q (t )−ρ∗h(t )/R=d [ ρ∗A∗h (t)]dt
Balance de masa en estado estacionario.
ρ∗q−ρ∗h/R=0
Las variables de desviación:
ρ∗Q (t )−ρ∗H (t )/R=d [ ρ∗A∗H (t )]
dt
donde:
Q ( t )=q ( t )−q
H ( t )=h ( t )−h
Laplace:
ρ∗Q (t )−ρ∗H (t )/R=d [ ρ∗A∗H (t )]
dt
ρ∗Q (s )− ρ∗H ( s)R
=ρ∗A [s∗H ( s )−H (0 )]
Q (s )−H (s )R
=A [s∗H ( s )]
Q (s )=H (s )R
+A [s∗H (s )]
Q (s )=H ( s)∗[ 1R +As¿]=H (s )∗[ 1+RAsR ]H ( s )Q ( s )
= RRAs+1
= kτs+1
Donde
k=R y τ=R∗A ,min
Reemplazando valores tenemos
k=1 y τ=1minft2
∗1 ft2=1min
Entonces nuestra función de transferencia es:
H (s )Q(s )
= 1(s+1)
Para poder hallar H(s), necesitamos Q(S) lo cual seria la varia q(t) mas su estado estacionario que en el enunciado nos da que es 1(ft^3/min)dándonos:
Q(t)=q(t)+q0=1+ q(t)
Q ( t )=1+δ ( t )+δ ( t+1 )+δ ( t+2 )+δ (t+3 )+…
Laplace:
Q (s )=1s+1+e−s+e−2 s+e−3 s+e−4 s+…
Reemplazando en la función de transferencia nos da:
H (s )=( 1s+1+e−s+e−2 s+e−3 s+e−4 s+…)∗1
(s+1)
Aplicando la transformada inversa
H ( t )=1+2∗e−t∗u (t )+e−t+1∗u (t−1 )+e−t+2∗u (t−2 )+e−t+3∗u (t−3 )+…
Reemplazando en tenemos:
h (t )=h+H (t)
Si h=q∗R=1 ft3
min∗1 minft2
=1 ft
Por lo tanto:
h( t)=2+2e−t∗u (t )+e−t+1∗u ( t−1 )+e−t+ 2∗u ( t−2 )+e−t+3∗u ( t−3 )+…
Para las graficas:
a)Con desviacion
h (t )=2+2e−t∗u (t )+e−t+1∗u (t−1 )+e−t+2∗u (t−2 )+e−t+3∗u (t−3 )+…
0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
t-min
h-altura
b) Sin desviación:
H (t )=1+2e−t∗u (t )+e−t+1∗u ( t−1 )+e−t+2∗u ( t−2 )+e−t+3∗u (t−3 )+…
Diagrama de bloques
h ( s)=y (s)x (s )
=1s+ 1s+1
+ e−s
s+1+ e
−2 s
s+1+ e
−3 s
s+1+…
0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
t(min)
h(altura)
Problema 3
En la figura, se muestra un proceso de mezclado con dos tanques que contiene un lazo de recirculación que transfiere solución desde el tanque 2 hacia el tanque 1 con un caudal de α q0.
(a) Desarrolle una función de transferencia que relacione la concentración en el tanque 2, c2 ,
a la concentración en la alimentación x. Es decir debe de hallar C2(s) /X2(s ) donde
C2(s) y X2(s) son variables de desviación. Por facilidad suponga que las concentraciones
iniciales (en t=0-) son x = c1 = c2= 0.(b) Si se aplica un cambio en forma de escalón unitario en la concentración de entrada x,
determine el tiempo que se necesita para que la concentración c2 alcance 60% de su valor final para los casos en queα=0, α=1 y α=∞.
(c) Dibuje la respuesta para α=∞.(d) Responda las preguntas (b) y (c) por lógica o intuición.
Asuma que cada tanque tiene un volumen constante de 1 pie3. Desprecie el tiempo muerto en las tuberías que conectan los dos tanques y en la tubería de recirculación.
a)
Tanque 1:Balance de Masa:
La masa que ingresa – la masa que sale = la masa que se encuentra dentro
Partimos por:
q0+∝q0=q1
q0 (1+∝ )=q1
Del balance de masa, relacionamos las concentraciones:
q0 x−q1 c1+∝q0c2=Vd c1dt………(1ecuacion ,3incognitas x (t ) , c1 (t ) , c 2(t))
q0 x−q0 (∝+1 ) c1+∝q0 c2=Vdc1dt
Antes de pasar a variables de desviación, V=1pie3 y q0=1pie3/min:
x−(∝+1 ) c1+∝ c2=d c1dt
Ahora sí:
X−(∝+1 )C1+∝C2=dC1dt
Donde:
C1=c1−c1lbmol / pie3
C2=c2−c2 lbmol / pie3
X=x−x lbmol / pie3
Tanque 2
q0 (∝+1 ) c1−(∝+1 )q0 c2=Vd c2dt……… (2ecuacion ,3 incognitas x (t ) , c1 ( t ) , c 2 (t ) )
Y para que puedan ser 3 ecuaciones y 3 incógnitas de la parte b, tomamos:
x (t )=u (t )……………………… (3ecuacion ,3 incognitas x ( t ) , c1 (t ) , c 2 (t ) )
Antes de pasar a variables de desviación, V=1 y q0=1:
(∝+1 ) c1−(∝+1 ) c2=d c2dt
Ahora sí:
(∝+1 )C1−(∝+1)C2=d C2dt
Donde:
C1=c1−c1
C2=c2−c2
TRANSFORMACION DE LAPLACE:
x−(∝+1 )C1+∝C2=d C1dt
x (s )−(∝+1 )C1 ( s )+∝C2 ( s )=sC1 (s )dado quec1 (0 )=0
x (s )=(∝+1 )C1 ( s )−∝C2 ( s )+sC1 (s )
x (s )=C1 ( s ) ( (∝+1 )+s )−∝C2 (s )………………….a
(∝+1 )C1−(∝+1)C2=d C2dt
(∝+1 )C1(s)−(∝+1)C2(s)=sC2dado quec2 (0 )=0
(∝+1 )C1 (s )=(∝+1 )C2 (s )+sC2
(∝+1 )C1 (s )=C2 ( s) ¿
(∝+1 )C1 (s )−( s+(∝+1 ) )C2 (s )=0
Resolviendo:
C1 ( s)= s+(∝+1 )∝+1
C2 ( s )……………………………b
Reemplazando b en a:
X ( s)= [ s+(∝+1 ) ]∗[ (∝+1 )+s ]∝+1
C2 ( s)−∝C2 ( s)
X ( s)=[ s2+2 (∝+1 ) s+ (∝+1 )2−∝ (∝+1 ) ]
∝+1C2 ( s)
X ( s)=[ s2+2 (a+1 ) s+(∝+1 ) ]
∝+1C2 ( s )
C2 (s )X (s )
= 1
[ 1∝+1 ]s
2
+2 s+1
b) Ahora trabajamos para:
x (s )=1s
Caso ∝=0C2 (s )X (s )
= 1
[ 10+1
]s2+2 s+1
C2 ( s)= 1
s ( s2+2 s+1 )
1
s (s+1 )2= As
+ B
( s+1 )2+ Cs+1
Hallamos los numeradores:
A∗(s+1 )2+Bs+C∗s∗(s+1 )=0∗s2+0∗s+1
A s2+2 As+A+Bs+Cs2+Cs=0∗s2+0∗s+1
( A+C ) s2+ (2 A+C+B ) s+A=0∗s2+0∗s+1
( A+C )=0∗s2
(2 A+C+B ) s=0∗s
A=1
Bueno conociendo A hallamos C
( A+C )=0
C=−1
Conociendo A y C hallamos B:
2 A+C+B=0
C=−1
Reemplazando:
C2 ( s)=1s− 1
(s+1 )2− 1s+1
C2 ( t )=1−e−t−t e−t , para∝=0
Ahora se necesita t para que C2(t) 0.6:
Usando MATLAB para encontrar el tiempo:
≫ tiempo=fzero¿
tiempo=2.0223 , para∝=0
CASO ∝=∞C2 (s )X (s )
= 12 s+1
C2 ( s)= 1s [2 s+1 ]
C2 ( t )=1−e−t /2 , para∝=∞
Ahora se necesita t para C2(t) 0.6:
0.6=1−e−t2
e−t2 =0.4
t=1.83min
CASO ∝=1
C2 (s )X (s )
= 1
[0.5 s2+2 s+1 ]
C2 ( s)= 1
s [0.5 s2+2 s+1 ]
Raí ces=−2±√4−21
Raices=−2±√2
Raices=−3.414 ,−0.586
C2 ( s)=¿ As
+ Bs+0.586
+ Cs+3.414
Hallando los coeficientes:
A∗(s+0.586 )∗( s+3.414 )+B∗s∗(s+3.414 )+C∗s∗( s+0.586 )=0∗s2+0∗s+1
A s2+4 As+2.000604 A+Bs2+3.414Bs+Cs2+0.586Cs=0∗s2+0∗s+1
( A+B+C ) s2+(4 A+0.586C+3.414 B ) s+2.000604 A=0∗s2+0∗s+1
( A+B+C )=0∗s2
(4 A+0.586C+3.414 B ) s=0∗s
2.000604 A=1 ; A=0.4998
Bueno conociendo A hallamos C y B
(0.4998+B+C )=0
−0.4998−C=B
Reemplazamos
(4∗0.4998+0.586C+3.414 B )=0
(4∗0.4998+0.586C+3.414∗(−0.4998−C ))=0
(1.9992+0.586C−1.7−3.414C )=0
0.2992=2.828C
De donde obtenemos:
A=0.4998 ;C=0.1057 ;B=−0.6055
C2 ( s)=0.4998s
− 0.6055s+0.586
+ 0.1057s+3.414
C2 ( t )=0.4998−0.6055e−0.586 t+0.1057 e−3.414 t
Ahora se necesita t para C2(t) al 60% ó 0.6:
≫ tiempo=fzero(@+0.2−0.6055∗exp (−0.586∗x )+0.1057∗exp(−3.414∗x ) ,1)
tiempo=1.8889min
Para explicarlo mejor la función fzero trabaja con los numeradores asi colocamos una función y señalamos su variable con@. En este caso a diferencia del resto su valor máximo siempre era 1 ahora era 0.5 aprox, por lo tanto el 60% del valor máximo en los anteriores casos fue 0.6 que al restar daba 0.4 pero ahora su valor máximo es 0.5 siendo el 60% 0.3 que al restar nos daba 0.2 el cual va a la función para el Matlab.
c)
Graficando para α=∞
0 5 10 15 20 25 30 350
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
d)
Se puede intuir de la función de transferencia:
C2 (s )X (s )
= 1
[ 1∝+1 ]s
2
+2 s+1
Sea el valor que sea de alfa siempre el tiempo que se demore en llegar al 60% debe ser relativamente parecido, además sabiendo los polos que sean iguales o en cero nos daría un valor máximo en uno, por lo que ya sabríamos que el 60 % seria 0.6, con excepción en el de diferentes raíces debido a que el set point variaría y asi se comprobó en la practica.
En el diagrama de bloques desarrollamos la función transferencia con la ecuación general:
Raí ces=−b±√b2−4 ac2a
Siendo a=[ 1∝+1 ]; b=2 y c=1, usamos divisiones parciales y nos daría:
Problema 5
a) Un termómetro que tiene una respuesta dinámica de primer orden con una constante de tiempo de 1 minuto es colocado en un baño de temperatura a 100 ℉ . Después de que el termómetro alcanza el estado estacionario repentinamente en t=0+ se le coloca en un baño que está a 110 ℉ y se le deja allí por 1 minuto, después del cual se le vuelve a retornar al baño a 100 ℉ .
1-Dibuje la variación de la lectura del termómetro versus el tiempo.
2-calcule la lectura del termómetro en t= 0.5 min y en t=2 min.
b) repita lo mismo de la parte a si el termómetro es dejado solamente 10 segundos en el baño de
110 ℉ .
Solución:
Flujo de entrada al proceso – Flujo de salida del proceso = Tasa de acumulación de energía en el proceso
hA (x− y )−0=mC dydt
A = superficie del bulbo, ft2 pies cuadradosC = capacidad calorífica del mercurio, Btu/ (lb,) (F)m = masa del mercurio en el bulbo, lb librast = tiempo, hr horash = coeficiente de transferencia de calor, Btu/ (hr) (ft2) (T)
Para el estado estacionario:
hA (x− y )=0 t<0
hA [ (x−x )−( y− y ) ]=mC d( y− y )dt
Variables De Desviacion:
X=x−x
Y= y− y
Reemplazando las variables en la ecuacion principal:
hA (X−Y )=mC dYdt…………………………………… .1ecuacion ,1 incognita(Y (t))
Aplicando Laplace
hAX (s )−hAY ( s)=mC (sY (s ) )…………… ..debidoaque Y (0)=0
h A∗X (s )−hA∗Y (s )=mC∗sY (s)
hA∗X (s )=hA∗Y ( s)+mC∗sY (s)
hA∗X (s )=Y (s )(hA+mC∗s )
Quedando:
Y ( s)X (s )
= hAhA+mC∗s
= 1mChA
∗s+1
Comparando con:Y (S)X (S)
= 1τs+1
= 1mChA
∗s+1
τ=mChA
Por dato sabemos que la constante de tiempo es de 1 minuto por lo que la ecuación de transferencia quedaría como:
Y (S)X (S)
= 1s+1
Debido a que la función forzante es la función impulso:
Porque nos dicen que lo colocan en un baño de 110 °F por 1 min y luego regresa a su temperatura de 100°F
Entonces X(S) = A/S
Donde A es la amplitud igual a 10 °F
Osea 110-100=10°F
Y (S )=10 1s (τs+1)
Transformando:
1)Graficando en función del tiempo:
0 200 400 600 800 1000 12000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ojo el eje Y esta relacionado en 0 como 100 °F y en 10 como 110°F, y asi lo trabajamos en las ecuaciones.
Y ( t )=10 (1−e−t )t<1
Y ( t )=10 ((1−e−t )− (1−e−(t−1))) t ≥1
2) Calculando la lectura del termometro en t= 0.5 y 2
En: t=0.5
Y (0.5 )=10 (1−e−0.5 ) t<1
T=103.93
En: t=2
Y (2 )=10 ((1−e−2 )−(1−e−(2−1))) t ≥1
T=102.3254
b) Repita lo mismo de la parte a si el termómetro es dejado solamente 10 segundos en el baño de
110 ℉ .
Debido a que ya tenemos la función la variación de la temperatura vamos a sumarle sus condiciones iniciales que seria 100°F entonces la expresión quedaría como:
Y (t )=110−10e−t
Y como ahora nos piden para 10 segundos cambiamos unidades a minutos
Y ( t )=110−10e−t60
Ahora evaluando en 10 segundos :
Y ( t )=110−10e−1060 =101.535
Ahora para un tiempo mayor a 10 segundos evaluamos en 30 segundos
Y ( t )=100−10e−2060 =101.099
3-)Una termocupla de área A, masa m, capacidad calorífica C y emisividad e, ha sido colocada en un horno que normalmente está en 𝑇𝑖𝑠℃. A esta temperatura la tranferencia de calor por conducción y la transferencia de calor por convección son despreciables comparadas con la transferencia de calor por radiación. Determine la función de transferencia linealizada entre la temperatura del horno 𝑇𝑖 y la temperatura de la unión de la termocupla 𝑇0.
Los datos son los siguientes:
M=0.1 g
C=0.12 cal/g.C
e=0.7
A=0.1 cm2
Tis=1100 C
Grafique la respuesta de la termocupla a un cambio en escalón en la temperatura del horno de 10℃ .
Compare su respuesta con la verdadera respuesta sin linealizar la ecuación diferencial.
RESOLUCION
Tenemos que usar una ecuación que describa el trasnferencia de calor debido a la temperatura y la unión de la termocupla, esta ecuación es la ley de Stefan-Boltzman.
Q=σeAT 4
Qentra−Qsale=∆U
Utilizando el balance de energía obtendremos:
σeA (T i4 ( t )−To4 ( t ) )=mc ∂T 0
∂t………… (1ecuacion ,1incognita T 0 ( t ) )
Para linealizar debemos hallar las variables de desviación:
Γ0=T 0−T 0
Γ i=T i−T i
F (T i ,T 0 )=σeAT i4−σeAT 04
a1=∂F∂T i
=4 σeAT i3
a2=∂F∂T 0
=4 σeAT 03
a1 (T i−T i )−a2 (T 0−T 0 )=mc∂ Γ 0∂ t
a1 (Γ i)−a2 (Γ 0 )=mc∂ Γ0∂ t
Aplicando la transformada de Laplace:
a1 (Γ i ( s ) )−a2 (Γ 0 ( s ) )=mc (s Γ 0 ( s ) )
a1 (Γ i ( s ) )=a2 (Γ 0 ( s ) )+mc (s Γ0 (s ) )
a1 (Γ i ( s ) )=Γ0 (s )∗(a2+mcs )
a1 (Γ i ( s ) )=Γ0 (s )∗(a2+mcs )
Γ0 (s )Γ i (s )
=a1
(a2+mcs )=a1/a2
(mca2 s+1)
Quedando
Γ0 (s )Γ i (s )
= Kτs+1
=
a1a2
(mca2 s+1)
K=a1a2
=4σeAT i
3
4σeAT 03=T i3
T 03 y τ=
mc4σeAT 0
3