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EXAMEN DE SELECTIVIDAD JULIO 2014. MATEMÁTICAS II

OPCIÓN A

Problema A.1. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El valor del determinante de la matriz

531

111

122

S , (2 puntos) y la matriz S -1 , que es la

matriz inversa de la matriz S. (2 puntos). Indicar la relación entre que el valor del determinante de

una matriz S sea o no nulo y la propiedad de que esta matriz admita matriz inversa S -1 . (1 punto).

1

332313

322212

312111

1

020S Si

411

22 4

31

22 4

31

11

111

12 11

51

12 6

51

11

311

12 13

53

12 235

53

11

444

1116

3132

20

11

2051510612310

531

111

122

S

SSS

SSS

SSS

AdjS

S

SS

t

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b) El determinante de la matriz (4( T2 )) -1 , sabiendo que T es una matriz cuadrada de 3 filas y que 20 es

el valor del determinante de dicha matriz T. (3 puntos).

25600

1

202064

1

64

1

4

13x3 matrizser por

4

11T que dado4

2232

112

TTTTT

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c) La solución a de la ecuación

143

421

31

143

421

31

2

22

2

a

aa

aa

a

aa

aa

(2 puntos).

Para averiguar el valor de a que cumple la ecuación anteriormente descrita, cada uno de los términos de las

matrices deben cumplir la igualdad, y nos queda:

1a esecuación la de asolución la por tanto Y

22

4

2

16164044

12

31

22

31

2

31

2

81102

044

02

44

11

2

2

2

2

2

2

aaa

aaa

aa

aa

aa

aa

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Problema A.2. Se dan los puntos A 1, 5, 7y B 3, 1, 1.

Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Las ecuaciones de los planos y que son perpendiculares a la recta r que pasa por los

puntos A y B, sabiendo que el plano pasa por el punto A y el plano pasa por el punto

medio del segmento cuyos extremos son los puntos A y B. (4 puntos distribuidos en 2 puntos

por cada plano).

Primero construimos la recta r, a partir de los puntos A y B, para ello necesitamos un vector director.

0244z-3y- x:

24D0D28-15-10D74-53-1

solicitan. nos que plano delecuación la

cumple entonces , A comoy nte,independie términodel valor elaveriguar falta Nos

0d4z-3y- x:

entonces r, alar perpendicu es Como

47

35

1

:

7,5,1

4,3,18,6,27,5,11,1,3

1

1

1

1 1

nd

z

y

x

r

A

ABBAd

r

r

0164z-3y- x:

16D0D12-6-20D34-23-2

solicitan. nos que plano delecuación la

cumple entonces , comoy nte,independie términodel valor elaveriguar falta Nos

0d4z-3y- x:

entonces r, alar perpendicu es Como

3,2,22

17,

2

15,

2

31

2

2

2

2 2

AB

r

AB

PM

nd

PM

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b) La distancia entre los planos y . (2 puntos).

u 2626

2626

26

26

26

26

431

4216,

paralelos. planos dos de distancia la ante Estamos

222222

12

21

CBA

DDd

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c) Las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos A y B, (2 puntos), y los puntos de la

recta r que están a distancia 3 del punto C (1, 0, 1) . (2 puntos).

3,2,2147,135,11X

1,1,3247,235,21X

:son piden nos quey igualdad, lacumplen que puntos los Por tanto

126

1339

226

1339

26

1339

26

16939

26

1352152139

132

261343939

0263913

0527826

936481625309

36453

34715311

3,/

47

35

1

:

7,5,1

4,3,18,6,27,5,11,1,3

2

1

2

2

2

222

222

222

CXdrX

z

y

x

r

A

ABBAd r

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Problema A.3. Sea f la función real definida por f (x) = xex - 3x .

Se pide la obtención razonada, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, de:

a) Los puntos de corte de la curva y = f (x) con el eje X. (2 puntos).

0,0 corte de Punto

00300y

0)(x Y EJE EL CON CORETES

ln3,0 0,0 corte de Puntos

3ln303

00303ex

0)y ( X EJE EL CON CORTES

0

3x

e

xee

xexx x

x

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b) El punto de inflexión de la curva y = f (x) , (2 puntos), así como la justificación razonada de que la

función f es creciente cuando x > 2 . (2 puntos).

2 xcuando creciente es xf Por tanto0342.7734)3('

3e1'

2. xcuando creciente esfunción la entonces cera, quemayor es resultante valor el si

,3y'calcular y derivada primera lacalcular a vamos2, xcuando creciente es f que justificar Para

262,- inlfexión de Punto

2623e2- y(-2)

inflexión de puntoun hay 2- En x 01

e322'''

e3e2e'''

solución tieneNo 0e

2020e2e2e1e''

3e13e'

3e xy

derivada. terceralaen positivo es derivada segunda la anula que punto el

quecomprobar y cero, aigualar e derivada segunda lacalcular quehay inflexión de punto elhallar Para

3

x

2

2

2-

2

2-

xxx

x

xxxx

xx

x

ey

xy

e

e

ey

xxy

xxxxxy

xxey

x

x

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c) El área limitada por el eje X y la curva y = f (x) , cuando 0 ≤ x ≤ ln3, donde ln significa logaritmo

neperiano. (4 puntos).

51459,023ln32

33ln

2

0301

2

3ln33ln1

2

313-

1

2

31 3 3

2

2

0

2

3ln

3ln

0

23ln

0

2

eex

exdxxex

exeexdxeexdxex

edxevdxedv

dxduxu

xexdxxdxexdxxex

xx

xxxxxx

xxx

xxx

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OPCIÓN B

Se tiene el sistema de ecuaciones lineales

214

42

421

zyx

zyx

zyx

donde es un parámetro

real.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores del parámetro para los que el sistema es incompatible. (3 puntos).

compatibleSistema In rg(A*)Arg

A*A*

?, rg(A*)Arg Si

e valores dión de losos en func) Discutim

A

SIArg

Arg

Arg

32

0484032201636

854

421

412

4

854

421

412

4

24

1

22

26

42

26

2

26

2

32366

086961121814411

141

211

121

2141

4211

4121

141

211

121

A

ampliada. matriz lay escoeficient de matriz laconstruir necesito ello Para

Arg Si

SCI incógnitas de nºArg Si

SCD incógnitas de nºArg Si

.ecuaciones de sistema del ilidadincompatib la averiguo Frobenius-Rouché de teoremael Mediante

11

22

*

*

*

*

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b) Los valores del parámetro para los que el sistema es compatible y determinado. (3 puntos).

SCD incógnitas de nº 3*)(22y 4

SCD incógnitas de nºArg Si *

ArgArg Si

Arg

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c) Todas las soluciones del sistema cuando 2 . (4 puntos).

,,3

,3

125,,

3

1254

32,,

303

42

:queda nosY

2F2F3 que puesto 3 fila la Eliminamos

0260

0130

4121

21

21

4341

4211

4121

:queda nos Gauss aplicando

434

42

42

2

214

42

421

zyx

xzyzy

zyx

FF

FF

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

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Problema B.2. Se dan las rectas

10

0:

z

yxr y

13

8:

zyx

yxs

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Un vector director de cada recta (2 puntos) y la posición relativa de las rectas r y s. (2 puntos).

cruzan se sy r rectas las3*2

3*1055500005

500

011

811

?*

2211

11

?

500

011

811

*

00

11

1-1

M

:recta cada de puntoun y directores vectoressus mediante relativaposición laestudiar a vamosAhora

5,0,8

5,0,8

0,1,1

5

8

:

5813

8

13

8:

10,0,0

0,1,1

10

:

10,,10

0:

MrgMrg

Mrg

Mrg

Mrg

Mrg

M

ArAsArAs

As

d

z

y

x

s

z

xy

zyx

yxs

Ar

d

z

y

x

r

zxyz

yxr

r

r

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b) La ecuación del plano que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r. (3 puntos).

Si el plano contiene a la recta s, entonces el vector director de la recta s es vector director del plano. Y

puesto que el plano es paralelo a r, el vector director de r es también vector director del plano solicitado.

Finalmente el punto de la recta s es un punto del plano. Así pues:

501020550

005z

11y

118-x

:general formaEn

5

8

:

5,0,8

0,1,1

0,1,1

2

1

zzzz

z

y

x

A

d

d

s

s

r

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c) La distancia entre las rectas r y s. (3 puntos).

52

10

011

011

500

011

811

,,

,

kjidxd

AAdd

srd

sr

srsr

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Problema B.3. Un club deportivo alquila un avión de 80 plazas para realizar un viaje a la empresa VR. Hay

60 miembros del club que han reservado su billete. En el contrato de alquiler se indica que el precio de un billete será

800 euros si sólo viajan 60 personas, pero que el precio por billete disminuye en 10 euros por cada viajero adicional a

partir de esos 60 viajeros que ya han reservado el billete.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El total que cobra la empresa VR si viajan 61, 70 y 80 pasajeros. (1 punto).

Primero construimos la función que nos permite calcular el precio total que cobra la empresa VR en función

de un número “X” de pasajeros, siendo P(x) el precio total y X el número de viajeros.

P(x) = (60+x) (800 – 10x) 0 ≤ x ≤ 20

Cuando viajan 61 pasajeros x= 1

Cuando viajan 70 viajeros x= 10

Cuando viajan 80 pasajeros x=20

P(1) = (60+1) (800 – 10*1) = 61 * 790 = 48.190€

P(20) = (60+10) (800 – 10*10) = 70 * 700 = 49.000€

P(1) = (60+20) (800 – 10*20) = 80 * 600 = 48.000€

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b) El total que cobra la empresa VR si viajan 60 + x pasajeros, siendo 0 ≤ x ≤ 20. (4 puntos).

P(x) = (60+x) (800 – 10x) 0 ≤ x ≤ 20

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c) El número de pasajeros entre 60 y 80 que maximiza lo que cobra en total la empresa VR. (5 puntos).

Para ello vamos a obtener la primera derivada de la función P(x) y a calcular el valor que máximiza la

función.

P(x) = (60+x) (800 – 10x) = 48.000 - 600x + 800x -10x2 = -10x2 + 200x +48.000

P’(x) = -20x +200 = 0 x=10

P’’(x) = -20 P’’(10) = -20 y por tanto en x=10 hay un máximo

Puesto que (60+x) es el número de viajeros que realizan el viaje, entonces 60+ 10 = 70 es el números que

de pasajeros que maximiza la cantidad abonada a la empresa VR.

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